（基础数学专业论文）拟双曲轨道的各种伪轨跟踪性.pdf

摘要 本文研究了拟双曲轨道的两类跟踪性：极限伪轨跟踪性和强伪轨跟踪性，还 证明了一个结构稳定的微分同胚关于两种连续方法的类具有强逆伪轨跟踪性 本文由三个部分组成 第一部分简单介绍了微分动力系统的发展过程，并给出了本文的基本概念和 主要结果 第二部分研究了拟双曲轨道的两类伪轨跟踪性在2 1 节中我们证明了c 闭 流形m 上的微分同胚关于拟双曲轨道的极限伪轨跟踪性：设，是一个c 闭流形 m 上的微分同胚，假定a 是，的闭的不变集合，并且a 具有连续不变分解死m = e o f ，则对任意入( 0 ，1 ) ，存在l 0 ，d 0 0 ，使得对任意d ( 0 ，d o 】和任 意入一拟双曲d - 极限伪轨 瓤，t t 】。o ：o 一，存在一点z m ，l d - 极限跟踪 戤，r g 】。c ：o 一 在2 2 节中我们证明了c 闭流形m 上的微分同胚关于拟双曲轨道的强伪轨跟踪 性 第三部分证明了一个结构稳定的微分同胚关于两种连续方法的类具有强逆 伪轨跟踪性 关键词：拟双曲轨道；极限伪轨跟踪性；强伪轨跟踪性；逆伪轨跟踪性；强逆 伪轨跟踪性：类 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt w ok i n d so fs h a d o w i n gp r o p e r t i e so nt h eq u a s i - h y p e r b o l i co r b i t ：l i m i ts h a d o w i n gp r o p e r t ya n ds t r o n gs h a d o w i n gp r o p e r t y , t h e p a p e ra l s op r o v e sas t r u c t u r a l l ys t a b l ed i f f e o m o r p h i s ml 凡t h es t r o n gi n v e r s es h a d - o w i n gp r o p e r t yw i t hr e s p e c tt ot w oc l a s s e so fc o n t i n u o u sm e t h o d s t h i sp a p e rc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s ： i nc h a p t e ri ，w es i m p l yi n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to fd y n a m i c a ls y s t e m s ，g i v e t h eb a s i cc o n c e p t sa n dt h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e r i nc h a p t e ri i ，w ec o n s i d e rt w os h a d o w i n gp r o p e r t i e s ：o nt h eq u a s i - h y p e r b o l i c o r b i t i ns e c t i o n2 1 w ep r o v et h el i m i ts h a d o w i n gp r o p e r t yo naq u a s i h y p e r b o l i c o r b i tf o rad i f f e o m o r p h i s mo nac l o s e dc m a n i f o l dm ：l e tf d i f f ( m ) a s s u m e t h a tki sac l o s e di n v a r i a n ts e to f a n dt h e r ei sac o n t i n u o u si n v a r i a n ts p l i t t i n g a m = eo fo na f o ra n y 入( 0 ，1 ) t h e r ee x i s t sl 0 ，d o 0s u c ht h a tf o r a n yd ( 0 ，d o 】a n da n ya - q u a s i h y p e r b o l i cd - l i m i tp s e u d o o r b i tx i ，n ， 。o ：o 一，t h e r e e x i s t sap o i n tz mw h i c hl d - l i m i ts h a d o w s z i ，礼 ) 墨一i ns e c t i o n2 2 ，w ep r o v e t h es t r o n gs h a d o w i n gp r o p e r t yo naq u a s i - h y p e r b o l i co r b i tf o rad i f f e o m o r p h i s m o nac l o s e dc m a n i f o l dm i nc h a p t e ri i i ，w ep r o v eas t r u c t u r a l l ys t a b l ed i f f e o m o r p h i s mw h i c hh a st h e s t r o n gi n v e r s es h a d o w i n gp r o p e r t yw i t hr e s p e c tt ot w oc l a s s e so fc o n t i n u o u sm e t h - o d s k e yw o r d s ：q u a s i - h y p e r b o l i co r b i t ；l i m i ts h a d o w i n gp r o p e r t y ；s t r o n gs h a d - - o w i n gp r o p e r t y ；i n v e r s es h a d o w i n gp r o p e r t y ；s t r o n gi n v e r s es h a d o w i n gp r o p e r t y ； c l a s s 1 1 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文 中除特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人和其他机构已经撰写或发表过 的研究成果，其他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中 做出了明确的声明并表示谢意 签名： 亏江乡入 日期： 学位论文版权使用授权书 1 0 0 5 s 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅本人授权辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文保密的 论文在解密后使用本授权书 学位论文作者签名： 日 弓咨乡吵 ，o g 岁zd 导师签名： 日 期： 1引言 拟双曲轨道的各种伪轨跟踪性 1 1微分动力系统简介 1 9 世纪末，p o i n c a r d 等人从牛顿经典力学和常微分方程定性理论的研究 中，提出了动力系统的概念，而微分动力系统的现代研究，始于上世纪6 0 年代 初p e i x o t e 等人的工作由于微分几何和微分拓扑的发展，在s m a l e 等人的倡导和 推动下，这一学科的基本理论的研究取得了重大进展自7 0 年代以来，微分动力 系统的研究更广泛地向各个应用领域发展，在经济学、气象预报、数值计算、统 计力学、系统控制、流体力学、振动理论、化学反应、生理过程、生态和人口 问题等众多领域的研究中，微分动力系统理论都展示了广泛的发展前景从此看 出这一学科之所以受到普遍重视，不仅因为其丰富而深刻的理论，而且是由于它 的广泛而有成效的应用 伪轨跟踪性刻划的是动力系统的整体行为，它是伴随着动力系统扰动理论的 研究与发展而产生的1 9 7 5 年b o w e n 在文献【1 】中首次对一般微分同胚给出了跟踪 引理，这标志着动力系统跟踪性研究的开始 经过近3 0 年的研究与发展，伪轨及其跟踪性不仅成为动力系统理论研究中的 重要概念之一，而且成为动力系统理论中最重要的动力性质和技术性工具与其 相关的研究几乎涉及到动力系统的各个内容，例如近似计算和误差估计，稳定性 理论，混沌现象的存在性等等( 参见文献【1 】 2 1 3 【4 】【5 】) 目前，国际上对伪轨跟踪 性的研究仍十分活跃 通常，我们称一个系统具有伪轨跟踪性指的是对任一伪轨，存在系统的真正 轨道，使得在时间同步下它与这伪轨的差距在指定的误差范围内如果系统具有 伪轨跟踪性，那么在扰动系统的轨道附近都有原系统的一个轨道存在随着研究 的深入，人们根据理论和应用的需要从不同的角度和度量标准出发相继提出了不 同的伪轨跟踪性，例如极限伪轨跟踪性和强伪轨跟踪性等概念一个系统具有极 限跟踪性指的是当用某种数值计算的方法来近似地刻划该系统，并且精度逐步提 高( 且u 随着时间趋于无穷，单步误差趋于零) 时，通过数值计算得到的轨道必然趋 近于一条真正的轨道一个系统具有强伪轨跟踪性是指对于系统内任意一条强 伪轨都存在真正的轨道，在时间同步意义下该轨道与强伪轨的单步累积误差在指 定误差范围内强伪轨跟踪性是微分动力系统稳定性理论中的另一个重要概念之 一，它在计算数学中计算误差和研究计算方法的可靠性方面起着重要的作用 拟双曲轨道的各种伪轨跟踪性 在动力系统的理论中双曲集合的概念起着重要的作用双曲集合具有很好 的稳定性质，而伪轨跟踪性更是在稳定性理论的研究中扮演着重要的角色数十 年来在双曲集上的伪轨跟踪性的研究已经得到了很多重要的成果p i l y g i n 在文 献6 1 中给出了双曲集上的经典跟踪引理2 0 0 2 年甘少波在文献7 1 中给出了比双 曲集合更一般的概念拟双曲轨道的概念，并得到了拟双曲轨道的广义伪轨跟踪 定理 众所周知，具有伪轨踪性的系统未必具有极限伪轨跟踪性，反之亦然，朱玉 峻等人在文献i s l 中证明了这一点本文证明了闭光滑微分流形上的微分同胚在 拟双曲轨道上具有极限伪轨跟踪性和强伪轨跟踪性 逆伪轨跟踪性的概念最早是1 9 9 5 年c o r l e s s ，p i l y u g i n 等人在文献【9 】中提出 的所谓逆伪轨跟踪性是指系统内的任意一条真正轨道相对于一类方法都可被 一条伪轨跟踪，它反映了一类计算方法对一个系统的可靠性和稳定性近年来有 很多学者进行研究，并得到了广泛的应用文献【1 0 】、【n 】和【1 2 】分别阐述了微分 同胚在其双曲不变集上的各种伪轨跟踪性和逆伪轨跟踪性p i l y u g i n 在文献【1 1 中 证明了结构稳定的微分同胚有很好的伪轨跟踪性，而对于逆伪轨跟踪性，却要限 制相应的类实际上，文献9 1 中已经证明了对一个结构稳定的微分同胚，存在 一个类e ，使得，关于类e 不具有逆伪轨跟踪性在这个证明中，类e 中的方法是 由，附近不连续映射的轨道组成的一个动力系统具有强逆伪轨跟踪性是指相对 于一类方法而言，在这个系统中的任意一条真正轨道都可被这类中的一个方法的 伪轨所跟踪，而且可把每一步的计算所产生的累计误差总和减少到任意小的值 这个概念能准确的反映一类计算方法对一个动力系统的可行性 1 2准备知识 本文约定z 是整数集合，m 是一个n 维闭光滑流形，是微分流形m 上的一 个微分同胚，用d i f f ( m ) 表示m 上的所有c 1 微分同胚的集合我们研究由，生 成的离散动力系统设p 是m 上的黎曼度量，用瓦m 表示m 在z 点上的切空间， 用i i 表示切空间上的范数 下面我们来介绍一些微分动力系统中的基本概念，即各种伪轨及其上的跟踪 性 定义1 1 对于任意给定的数d 0 ，如果m 上的一个点列 z 。) n z 对所有 的佗z 都满足p ( ，( ) ，+ 1 ) 0 ，如果存在一 点可m ，使得对z ，满足p ( ，( 可) ，x i ) 0 ，使得，的任意d 伪轨都能被卿某点e 跟 踪，则称，具有伪轨跟踪性，简称，具有p o t p 定义1 4 对给定的一个数d 0 ，如果m 上的序列【z n ) n z 使得对z ，满 足p ( f ( x t ) ，x i + 1 ) 0 ，如果m 上的序列 抚) 瞧z 满足p ( ，( 毛) ，以+ 1 ) 0 ，存在d 0 ，使得对于，的任意强d 伪 轨 兢) 讵z 都存在m 中的点z 满足p ( f ( z ) ，反) 0 ，如果 z n ) n zcu ( e ， z ，礼】) ，则称点z m 弱- 跟 踪 z n ) n z 其中u ( e ， z ，n ) ) 是 五n ) 的e - 邻域 如果对给定的e 0 ，存在d 0 ，使得，的的任意d - 伪轨都可被m 中某点 弱一跟踪，则称，具有弱伪轨跟踪性 如果厂具有伪轨跟踪性，那么它必定具有弱跟踪性，反之不然 定义1 9 对d 0 ，如果存在正整数n o = n o ( d ) ，使得对任意的正整数n n o o k z 一石1 ：1p ( ，( 戤+ 七) ，z 件k + 1 ) 0 ，存在d 0 ，使得，的平均击伪轨 z 竹) 。z 都可被某点z m 平均e - 跟踪，即 l i m s u p 丢p ( f 4 ( z ) ，x i ) 0 和d 0 0 ，使得对任意的正数d 0 ，使得对任意d ( 0 ，d o 】和任意a 拟双曲极 限d - 伪轨 以，啦) 墨一。，存在一点z ，l d - 极限跟踪x i ， 罂一在2 2 节中我们证明 了c o o 闭流形上的微分同胚在拟双曲轨道上的强伪轨跟踪性第二节在第一节的 基础上证明了c 闭流形上的微分同胚对任意a 一拟双曲强d - 伪轨 觑，啦) 墨一，都 存在一点z ，强e 一跟踪 既，) 墨一 第三章研究了关于连续方法的强逆伪轨跟踪性，证明了一个结构稳定的微分 同胚关于两种连续方法的类具有强逆伪轨跟踪性先证明了微分同胚，关于连续 的方法类e 。( 厂) 具有强逆伪轨跟踪性，接着证明了- 厂关于连续的方法类e 。( ，) 也 同样具有强逆伪轨跟踪性 5 2 拟双曲轨道的两类跟踪性 本章中我们研究关于拟双曲轨道的各种稳定性在2 1 节中证明了g o o 闭流形 上的微分同胚在拟双曲轨道上的极限伪轨跟踪性：设厂是一个c 0 0 闭流形m 上的 微分同胚，假定人是厂的闭的不变集合，并且人具有连续不变分解n m = e o f ，则 对任意a ( 0 ，1 ) ，存在l 0 ，d o 0 ，使得对任意d ( 0 ，d o 】和任意入一拟双曲d 极 限伪轨 以，n ，】。o ：o 一，存在一点z ，l d - 极限跟踪x i ，m ) 墨一2 2 节在2 1 节基本定 义不变的基础上证明了c 闭流形上的微分同胚在拟双曲轨道上的强伪轨跟踪 性 2 1拟双曲轨道的极限伪轨跟踪性 下面的定理就是我们这一节要证明的，而且它也是2 1 节最主要的定理 定理2 1 设f d i f f ( m ) ，a 是，的闭的不变集，并存在a 的连续切丛分解 a m = eof ，使得d f e = = 毋z ，d f f = = 毋则对任意a ( 0 ，1 ) ，存在l 0 ，d o 0 ，使得对任意d ( 0 ，d o 】和任意a 一拟双曲d 一极限伪轨 龟，啦) 罄一，存在一 点z m ，l d 一极限跟踪x i ，啦) 罂一 2 1 1 在巴拿赫空间中极限跟踪引理的一个序列形式 令( x ，”| i ) 是一个巴拿赫空间对任意7 7 0 ，x ( ，7 ) = x ：咿0 叩) 当x 是两个闭子空间e 和f 的直和时，e 和f 之间的角定义为： z ( e ，f ) = i n f l l u v l i ：e ，u 只i l u l l = 1 ) 或者( u e ，口只l i v l i = 1 ) ) 由于e 和f 是闭子空间，则0 0 ，l ：x _ x 是一个线性自同构，使 得l = ( 各g ) ：eof _eof 对给定的入( 0 ，1 ) 和e 0 ，有l l a l i a ， i i d - 1 1 i 入，l l b | | ，i l cj i e 并且如果1 = 并器 1 ，那么算子，一l 是可 逆的，并且i i ( ，一l ) 一1 | l r = r ( a ，e ，q ) = 面丁j i 顶+ a r ；万 下面，对任意整数i z ，五将表示一个w 维欧几里德空间令y = 兀墨一五 = 仇) 罂一i v , k ，s u p ；zi i v , i i o 满足l = 躺 0 ，r = r ( 入，q ) = 丽再i 而+ a 0 ，如果x ，y m ，瓦m = 忍0 b ，已m = 黾0 日，么( b ，足) 口，么( 岛，日) 口，p ( d f ( e x ) ，毛) 刀， p ( d f ( r ) ，乃) 7 7 ，那么西= e x p , - 1o f o e x p z ：瓦m ( 叩) _ 刁m 能写成圣= l + 形 式，其中线性部分相对于分解b o b 具有形式l = ( 8g ) ，并且1 - - t 热 1 + 7 - ，1 一下骗1 + 7 - | i b i c l i e ，l i p 砂，y 这里的范数分别是 在e m 和瓦m 上黎曼度量诱导出的范数 有了以上引理的成立，我们就可以证明定理2 1 了 定理2 1 的证明令k = s u p x e m , h d l i d 1 i i ，a = i n f z ( e ，b ) ：z a 】 0 设【瓤，啦】罂一是一个拟双曲d - 渐近伪轨当m 歹 0 ，使 得l = 并器 o 和a 一拟双曲7 卜渐近伪轨 协) 罄，映 射呜= e x - 1o oe x p 协：玛( 叩) 一玛+ 1 具有形式呜= 岛+ 九这里岛= ( c a j j 爱) ：蜀0 最一e i + lo 只+ 1 ，l i p j 而1 当m j m + 1 1 时，奶( o ) = 0 ，岛= q = 0 ，且如= d ，l 马，b = d f l f j 当j = m + 1 - 1 时，i i 岛l qj l e 2 ，1 1 40 7 0 d ，i 马0 ，l i d ；10s t m ( d f l f ，) ， 而且i i 咖( o ) l i d ，! i mi l 咖( o ) i i = 0 令d o = 兰，固定d ( 0 ，d o 】如果 既，啦) 墨一是一个入一拟双曲d - 渐近伪轨，我 们就有1 i mi l a 0 ) l i = 0 ， l l & l l ，m ( 功) _ 1 ) 是一个胪拟双曲正数对序列因此 由引理2 2 ，存在一个良好的适合序列 吻 煞一，使得当七= m ，m + 1 2 时 有n 名肌b 1 ，且噶1b = 1 ，其中去b k 设g j = m ：t ，岛= 町1 岛，九( z ) = 玎1 咖( 乃一i x ) ，并且有呜= 岛+ 奶 记屿= 呜o o 圣肛，且屿= 呜o o 圣肌那么我们有屿= 玎1 屿由夕+ 1 - - 1 = l 得i + ，一l = 皿肌+ 1 - - 1 因此，我们得到 j ，l i p 矽j = 盯1 l i p c j g l l = 0 ，j = m ，m + 1 2 ； 【l i p i = l i p j ， j = m + 1 1 并且有 i 咖( o ) = 咖( o ) = 0 ， j = m ，魁+ 1 2 ； h 而( o ) 2 川1 i m 栅9 ，7 1 咖( o ) ，j = t + l _ 1 根据定理2 2 ，有毒= 鸯) ：y ( 叩) 一y 有唯一一个稳定点矛= 吗) 使得恻l l d ， 且1 i m 蚓i = 0 1 引- 。o 8 拟双曲轨道的各种伪轨跟踪性 对m 0 ，使得对于，的任意入一拟双曲强d - 伪轨x i ，n 】；o o 一，都存在一点巧强- 跟 踪 鼢，啦) 墨一 2 2 1在巴拿赫空间中强跟踪引理的一个序列形式 下面，对任意整数i z ，x 将表示一个w 维欧几里得空间令y = 兀墨一k = 饥) 墨一i v , 五，s u p 讵zi i 仇f i o 满足l = 垫a z 止( 1 - 出a ) 0 ，r = 兄( a ，印，q ) = 币碉i + a 0 设 兢，啦 墨一是一个a 一拟双曲强伪轨当m j 0 ，使 得1 = 丝a 2 丛( 1 址- t 出t ) o 和a 一拟双曲叩- 强伪轨 协 ，映射呜= e x p 2 + 。o foe x p 协：玛( 7 7 ) _ 玛+ 1 具有形式呜= l j + 咖这里易= ( o a j 笥) ： 局。乃一易+ 1o 乃+ 1 l i p c j 而1 当m 歹 0 ，取d ，满足0 d r a i n d o ，毫) 设 以，n ， ，o ：o 一是 一个a 拟双曲强d - 伪轨， l l & l l ，m k 坳r , , ，x ，1 n 忙i + 胍l _ 1 是一个胪拟双曲正数对序列，由 引理2 2 ，存在一个良好的适合序列 ) 一，即当七= m ，m + l 一2 时， 有兀整吻1 ，且n 煞- 1b = l ，其中去吻k 设卯= 1 - i i , ：h 七，易= 町1 l j ，而( z ) = 盯1 九( 毋一i x ) ，并且有毛= 厶+ 西 记= 吻o o 圣肌，且嘭= 嘭o o 蚤那么我们有奶= 玎1 由弛+ 1 - - 1 = l 得皿i + 。一l = 皿t + l l ，因此，当j = m ，肌+ 1 2 时，l i p 妒j = 盯1 l l p 咖g j l = z 1 ，咖( 0 ) = 咖( o ) = 0 ；当j = m + 1 1 时，l 咖咖= 三i p 咖 根据定理2 4 ，有圣= 晦) ：y ( r ) 一y 有唯一一个稳定点矛= 吗) 使得恫l 令= o n , ，m j m + 1 1 时因为= 一i ( v n i ) = 卯一1 屿一1 = 毋一1 吗， 所以j i | i i i 吗i l ，并且由 + 。= 西肮+ 。= 画+ 1 - - 1 扣) = 皿+ l 一1 ( 移肌) = 西+ 1 一l ( u t + 。一1 ) 得出口是圣的一个不动点，即= 呜一1 ( 一1 ) ，l x l l v l i l d 令z = e x p 如( ) ，则运 用归纳法可得户( z ) = e x p 协( ) 对任意歹z 都成立由 p ( 协，尸( z ) ) = j e z j z o ( m ，e x p 协( ) ) = 得出名点强一跟踪 这就证明了定理2 3 的结论 i 0 l l v j l l l d 占 j e z 3关于连续方法的强逆伪轨跟踪性 1 9 9 5 年c o r l e s s ，p i l y u g i n 等人在文献【9 】中最早提出了逆伪轨跟踪性的概念 所谓逆伪轨跟踪性是指系统内的任意一条真正轨道相对于一类方法都可被一条 伪轨跟踪，它反映了一类计算方法对一个系统的可靠性和稳定性下面我们证明 一个结构稳定的微分同胚关于连续方法的类具有强逆伪轨跟踪性 3 1强逆伪轨跟踪性 本章约定z + 是正整数集合 定义3 1 称微分同胚，是结构稳定的，如果存在，的一个c 1 邻域w ，使得w 内 的任意微分同胚g 都拓扑共轭于， 我们已经知道，是结构稳定的充分必要条件是，满足公理a 和强横截条 件( 见【1 3 】) ，的一个6 一伪轨族称为，的一个方法，记作x ( f ，6 ) ，的一些方法的集 合o ( f ) = x ( ，6 ) ) 称为一个方法类下面先介绍两个连续方法类 0 。( n 方法类x ( f ，6 ) 中的每一个方法x ( f ，6 ) ( 记作x ( f ，6 ) 0 。( ，) ) ，对应 一个连续映射序列敝：m 一尬k z ，使得x o = i d ，且对所有z m ，序 列= x k m ：钆= 矶( z ) ，k z ) 是，的强正伪轨，即p ( ，( z 七) ，x k + 1 ) 0 ，使得对任意点p m 和任意方法x ( ，6 ) e ( ，) ，存在，的傩芦伪 轨= z 七：七z ) x ( y ，6 ) ，满足 p ( ，七( p ) ) ，引 1 对任意的r 0 ，记职( p ) = 口耳m ：7 我们可以选择o r 0 ，取o 6 m i n 赤， d o 。固定一个方法) ( ( ，6 ) 0 。( ，) ， 皿七：k z ) 是相应的连续映射序列固定 任意一点p m ，- i d p 七= ，知) ，k z 引入几个在v k 职知) 有定义的映射 g 南是( 3 ) 式在m 点的对应映射，并定义 吼= + 。，oa ；* k ，皿七= a p 川oc k 。 定义e 是序列y = 仇耳。m ：k z ) 构成的空间，具有范数| i y l l l = i v k l k e z 2 l 0 6 对m z + ，引入序列空间，其中 = 讥耳。m ：i k l5m ) ，i i | 1 1 = i 讥i 2 l 0 5 s m 用7 和丌乞，m z ，分别表示e 到和局到的自然投射对序列y e ， 令z ( v ) = z k ( v ) ：k z ) ，其中。 z k + 1 ( y ) = g k ( v k ) + 皿k ( v k ) 一圣k ( ) ，坼撅) 因为比m 有p ( ，( z ) ，讥( z ) ) 5 所以 七z z ( v ) l l l = i g 七( 讥) + 皿知( 仇) 一雪知( 仇) i i g 七( ) i + k + 。fo ( 仇) 一n p 州。饥。嚷( 仇) 去彬| | 1 + 乏p ( ，( ( 岫) 一饥( ( 岫) ) 2 厶6 定义空间e 上的算子r ：r ( w ) = 叫七) ，其中 那么 量 伽七= d f 七一慨) p ( 鼽) 磊( y ) 一d f 一( 鼽) q 慨) 忍( y ) i = - o oi = k + 1 k r ( v ) i i = i d ，膏一o t ) p 慨) 忍( y ) 一d ，一( p i ) q 慨) 乞( y ) l 七zi = - o o - - - k + l 七0 0 i d 厂七一慨) p ( 鼽) 忍( y ) i + f d 厂七一p t ) q o i ) 磊( y ) k zi = - o ok zi = k + l 因此由i i p ( p ) i i c o ，l i q ( p ) i i c o 和 d ，( p ) u isc t 0 入七i v l ，k 0 ，u s ( p ) ； 1 3 拟双曲轨道的各种伪轨跟踪性 l d f 七0 ) 口i g a “，k 0 ， u 仞) 可以得到 七 k l d ，h 慨) p 慨) 磊( y ) i ( g 妒一j p ( p d z , ( v ) j ) z $ 。 0 0k e zi = - o o 瑶入m k m ( y ) i 磅击i i z ( v ) l l 其中m = k i 同理 i o f 扣慨) q 慨) 锄( y ) l 锘 l 魂+ 。( y ) i 皤击i i z ( v ) l l - 詹zi=k+1缸zn = l 其中佗= i k 所以 i i r ( v ) i i - 诺鲁i i z ( v ) 1 1 1 i i z ( v ) l l ， 2 l 。6 这就说明r 是e 至t e 自身的映射如果存在r 的不动点v = r ( y ) ，则有 钉七+ l = d f ( p k ) v k + 名七+ l ( y ) = d f ( p k ) v k + g 七( 讥) + 皿七( 口七) 一 i k ( v k ) = 皿七( u 七) 这就意味着对点列 = 嚷( 讥) ：k z ) ，有z 七+ 1 = 仇( z 七) 因为皿知= 唧。+ 。o 仇。嚷，所以 讥+ 1 = 0 p 。+ 。o 砂七o 0 ( 口七) = + 。o 妒七( z 知) 两边同时用q 未。作用，有啾，( 口七+ - ) = 饥( z 七) ，a l l z k + l = 饥( 孤) ，所以= m ，考 虑算子7 厶r f ，它把v e 映成序列 叫：l k i m ) ，其中 七 w ：= d 厂七( p i ) p ( p i ) z i ( v ) 一d ，七一p t ) q 慨) 筋( y ) 1 4 拟双曲轨道的各种伪轨跟踪性 因此我们可以得到 i i r ( y ) 一以r t ( v ) i 1 = i w 七一以i i k l m 七 = i d ，七一慨) p ( p t ) 磊( y ) 一d ，七一慨) q p t ) 盈( y ) l k l mi = 一 i = k + l 七z 一d ，七一( p i ) p ( p i ) z i ( v ) + d ，k - i ( p i ) q ( a ) 旎( y ) i = 一li = k + l - l - 1 ( l d ，知一慨) p t ) 乞( y ) l + l d ，七一慨) q 慨) 旎( y ) 1 ) i k l 0 ，使得l ( 1 + 4 l o ) d r 取0 6 d ，假设方法x ( f ，6 ) 0 。( ，) 是由连 续映射序歹u x k ：k z ) 生成的令e 是同前面一样的序列y = 【讥：k z ) 构成 的空间对v e ，定义映射序列 c k ( v ) = 唧州o ，o 矶o ( 咖) ，皿七( y ) = a p ko ) ( 七。暗( 钉o ) 并定义z ( v ) = 【魂( y ) ：k z ，其中z k + l ( y ) = g k ( v k ) + 皿七+ l ( v ) 一圣七( y ) ，因而 i i z ( v ) 1 1 1 = i g k ( v k ) + 皿七+ l ( y ) 一圣七( y ) l 却刚- + 乏( 咿吣咧 记z = 晤( 如) ，则有 陬+ ，( y ) 一圣知( y ) i = k + 。，。舰。( 咖) 一+ 。x m 。( ) k e zk 6 z p ( f 。x k ( x ) ，x m ( z ) ) 6 k z 所以 i i z ( 圳1 瓦1 彬1 1 1 + 6 瓯1 2 6 + 6 = 2 6 0 ，只要取o 5 m i n d ，忐) ，就可以得到，关于类e 。( 厂) 具有 强逆伪轨跟踪性的结论 这就完成了定理3 1 证明 注记：利用类似的方法还可以考虑关于这两个类的其它伪轨跟踪性，如极限 伪轨跟踪性等 1 6 参考文献 【1 】r b o w e n w - l i m i ts e t sf o ra x i o mad i f f e o m o r p h i s m s j d i f f e q n s ，1 9 7 5 ，1 8 ：3 3 3 - 3 3 9 【2 】p w a l t e r s o nt h ep s e u d oo r b i tt r a c i n gp r o p e r t ya n dr e l a t i o n s h i pt os t a b i l i t y l e c - t u r en o t e si nm a t h e m a t i c s ，6 6 8 ：2 3 1 - 2 4 4 b e r l i n ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 7 【3 】r f t h o m a s s t a b i l i t yp r o p e r t i e so fo n e - p a r a m e t e rf l o w s p r o c l o n d o nm a t h s o c ， 1 9 8 2 ，4 5 ：4 7 9 - 5 0 5 【4 】r p a l m e r s h a d o w i n gi nd y n a m i c a ls y s t e m s t h e o r ya n da p p l i c a t i o n s ，k l u m e r a c a d e m i xp u b l i s h i e r s ，2 0 0 0 【5 】5 s y u p i l y u g i n s h a d o w i n gi ns t r u c t u r a l l ys t a b l ef l o w s j d i f f e r e q u a t ，1 9 9 7 ，1 4 0 ： 2 3 8 - 2 6 5 【6 1s p i l y u g i n s h a d o w i