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摘要 摘要 实零点定理是实代数几何中特有的著名定理，实零点定理提出后，该定理得 到了广泛的应用与深入的推广。与非实的代数几何迥然不同，实代数几何的研 究往往会涉及到元素之间的序关系。正因为实代数几何的这一特点，正点定理 和非负点定理作为实零点定理的衍生结论被相应地建立。同时，出于各自不同 的研究对象和考虑角度，许多形式更为一般的“点定理 在域中被建立。 本文的主要目的是针对交换环上矩阵建立相应的点定理。作为预备工作， 我们给出了一些关于交换环上矩阵特征值的基本结论。藉助于适合交换环的抽 象点定理，我们建立了关于交换环上矩阵的正点定理，零点定理和非负点定理。 此外，作为本文的又一结论，我们进一步将点定理推广到多项式环上矩阵。 本文中结果可看作包括关于交换环的抽象点定理在内的相关结论的推广。 关键词：交换环上矩阵；特征值；序扩环；正点定理；零点定理； 非负点定理 a b s t r a c t a b s t r a c t i nr e a la l g e b r ag e o m e t r y , t h er e a ln u l l s t e l l e n s a t zi saf a m o u st h e o r e m w h i c hw a s f i r s tp r o p o s e db yd w ：d u b o i si n1 9 6 9a n dj j r i s l e ri n1 9 7 0i n d e p e n d e n t l y d i f f e r i n gf r o mo r d i n a r y a l g e b r ag e o m e t r y , r e a la l g e b r ag e o m e t r yo f t e ni n v o l v e s o r d e r i n g so fg r o u n df i e l d s b e c a u s eo ft h i sr e a s o n ，t h en i c h t n e g a t i v s t e l l e n s a t za n d p o s i t i v s t e l l e n s a t za lee s t a b l i s h e di nr e a la l g e b r a i cg e o m e t r ya st w od e r i v a t i v e so ft h e r e a ln u l l s t e l l e n s a t z v a r i o u sv e r s i o n so fs t e l l e n s f i t z eh a v eb e e ne s t a b l i s h e di nt h e c a t e g o r yo fr e a lf i e l d s t h ep r i n c i p a lp u r p o s eo ft h i sp a p e ri st oe s t a b l i s hc o r r e s p o n d i n g l ys t e l l e n s i i t z e f o rm a t r i c e so v e rac o m m u t a t i v er i n g a sap r e l i m i n a r y , w ee s t a b l i s hs e v e r a lb a s i c f a c t sa b o u te i g e n v a l u e so fm a t r i c e so v e rc o m m u t a t i v er i n g s w i t ht h ea i do ft h e “a b s t r a c t ”s t e l l e n s i t z ef o rc o m m u t a t i v er i n g s ，w ee s t a b l i s hap o s i t i v s t e l l e n s a t z ，a n u l l s t e l l e n s a t za n dan i c h t n e g a t i v s t e l l e n s a t zf o rm a t r i c e so v e rac o m m u t a t i v er i n g m o r e o v e r , a sa n o t h e rr e s u l ti n t h i sp a p e r , w ef u r t h e ro b t a i ns o m es t e l l e n s i i t z ef o r m a t r i c e so v e rp o l y n o m i a lr i n g s t h es t e l l e n s f i t z ei n t h i sp a p e rm a yb ev i e w e da sc e r t a i ng e n e r a l i z a t i o n so f r e l e v a n tt h e o r e m si n c l u d i n gt h ea b s t r a c ts t e l l e n s f i t z ef o rc o m m u t a t i v er i n g s k e yw o r d s ：m a t r i xo v e rac o m m u t a t i v er i n g ；e i g e n v a l u e ；o r d e r e de x t e n s i o nr i n g ； p o s i t i v s t e l l e n s a t z ；n u l l s t e l l e n s a t z ；n i c h t n e g a t i v s t e l l e n s a t z l 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得直昌太堂或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：懈签字日期：吖年z 月沙日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。，本人授权直昌太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授 权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名( 手写) ：懈 导师签名( 手写) 签字日期彩0 妒a 月矽日 签字日期：魄年p 月1 p 第1 章引言与预备工作 第1 章引言与准备工作 1 1 引言 数学的发展史，贯穿着数学问题的不断提出和解决。往往由于某个问题的 提出和解决，而建立新的数学理论与方法，这就导致新的数学分支的产生。 实域理论的发展应追溯到著名的h i l b e r t 第十七问题。1 9 0 0 年，伟大数学家 d h i l b e r t 在巴黎国际数学家大会上提出了著名的二十三个问题，其中第十七问 题可以表述为： 一个以有理数为系数的a 元有理函数厂，若变元取任意一组使厂有定义的实 数时，厂均为非负值，问厂可否表成有理函数的平方和? 当刀一1 时，h i l b e r t 最先考虑了此问题；其后，e l a n d a u 于1 9 0 3 年给出证明。 1 9 2 6 年，e a r t i n 和o s c h r e i e r 建立了实域理论，并使用该理论成功地对任意正 整数n 作出了回答。同时，他们还考虑了域的实扩张和序扩张，特别地研究了一 类极为重要的实域一实闭域，并得到了许多和实数域类似的重要性质。 实代数是一门交换代数和实域理论的交叉学科，是实代数几何的基础。在 研究代数闭域k 上的代数簇v 时，一条基本的定理即著名的h i l b e r t 零点定理指 出，在v 中所含的点( 指在仿射空间k ( ”) 内) 与v 的坐标环k 【v 】中所有的极大理 想之间，存在一一对应关系。但当k 为实闭域时，这种对应就不存在了。 为了研究实仿射空间中代数簇的几何性质，首先应判别在它的坐标环中，哪 些理想和代数簇的点相对应。实零点定理对此问题作出了回答。 实零点定理是实代数几何中一个著名的定理，它最初是由d w d u b o i s 1 l 和 j j r i s l e r 2 】分别于1 9 6 9 年和1 9 7 0 年各自独立获得的。通过对多项式环的理想引 进实根( 理想) ，d w d u b o i s 提出了他的实零点定理。j j r i s l e r 提出的实零点 定理在形式上与此稍异，参见文f 2 1 。 实零点定理提出后，被得到广泛的研究与应用。同时，鉴于基域中元素的 正负之分，更为一般的“点定理被建立。 1 9 7 4 年，g s t e n g l e 3 推广了理想的实根这一概念，从而在半实代数集上建 第1 章引言与预备工作 立了各种“点定理”。gs t e n g l e 所得到的“点定理”包括半代数零点定理， 非负点定理和正点定理。 随后，针对不同的对象，形式各异的“点定理 与相关结果被建立。 1 9 8 9 年，曾广兴建立了所谓的齐次半代数零点定理，非负点定理和正点定理。 参见文献6 1 。 1 9 9 0 年，曾广兴在亚序域上建立了关于矩阵的点定理，参见文献【7 】。 1 9 9 6 年，梁松新和曾广兴【8 】把实零点定理推广到无限维空间中。同时，他 们对适合无限维实零点定理的序域进行了初步刻画，并给出了适合无限维实零 点定理的序域的重要特性。 1 9 9 9 年，曾广兴藉助于实赋值的值群结构，建立了适合无限维实零点结构 的序域的结构定理，参见文献【9 ，1 0 】。 作为点定理在交换环范畴中的一个推广，半实环上的零点定理，非负点定 理和正点定理也获得建立，参见文献【4 】或【5 】。关于交换环的点定理可看作所谓 的“点定理”的高度抽象化，因为在它们的基础上很容易导出各种形式的点定 理。 为叙述关于交换环的抽象点定理，我们需要一些基本的概念和术语。 在本文中，所讨论的环均指带有乘法单位元1 的交换环。一个环r 称作半 实环，若对于尺中任意有限个元素口”，口。，有1 + 2 。口t 2 o 成立。环r 的一 个子集尸称作尺的一个序，若下面条件被满足：( 1 ) p + 尸p ；( 2 ) p p p ； ( 3 ) pu p = r ；( 4 ) pn p 是足的一个素理想。 作为实代数中一个熟知事 实，一个环r 有一个序，当且仅当尺是半实环。若k 是环尺的一个扩环，且p 是k 的一个序，则称伍，p ) 是环r 的一个序扩环。 环尺的一个元a 称为非负元 ( 恒正元，或中性元) ，如果对于尺的每一个序p ，a p ( ae e p 一p ，或 口e p n p ) 。 根据文献【4 】中定理7 3 或文献【5 】的5 中定理2 ，3 和4 ，关于交换环的点 定理的一种简洁形式可叙述如下： 命题设r 是一个半实环，且记yr 2 ：； y 7 口? l 刀为自然数，且 、二一1 - - 1 口”，a 。e r ，则对于r 中元素a ，下面的结论成- 0 - _ ( 1 ) ( 抽象正点定理)a 为恒正元，当且仅当如下的等式成立： 1 + s l = s 2 a ， 2 第1 章引言与预备工作 其中s l ，s 2 yr 2 。 j ( 2 ) ( 抽象非负点定理) a 为非负元，当且仅当有如下的等式成立： a 2 ”1 + a s ，：s ，+ a 烈， 其中r , l 为正整数，s l ，s 2 罗尺2 。 ( 3 ) ( 抽象零点定理)a 为中性元，当且仅当有如下的等式成立： a2 + s ；0 ， 其中k 为正整数，j y r 2 。 鉴于“点定理”的已有研究，自然会思考这样一个问题：能否针对更一般 的对象一交换环上矩阵，建立更一般的“点定理”? 本文是在关于半实环上的 抽象点定理以及关于域上矩阵的点定理的基础上，探讨关于交换环上矩阵的点 定理。本文的工作可看作文献【7 】中研究工作的继续和深入，而文献【5 】中关于半 实环上的抽象点定理也将成为本文结论的一种特款。 1 2 关于环上矩阵的基本事实 作为预备工作，本节将给出一些与交换环上矩阵相关的引理。鉴于文献【7 】 中对于域上矩阵的处理方法，我们应针对交换环上矩阵考虑它们的特征值。 一 些与交换环上矩阵相关的概念和结论可参见于文献【8 】。 设尺是一个交换环，且r x 】是尺上含未定元x 的多项式环。对于尺上一个玎 阶矩阵a ，x e a 是多项式环r x 】上一个阼阶矩阵。令o ) = d e t ( x e a ) ，其 中d e t ( x e 一彳) 表示矩阵厄一a 的行列式。显然，西 ) 是r x 】中一个首项系数为 1 的，1 次多项式。 根据文献【8 】第一章e ，该多项式西o ) 被称为矩阵彳的特征 多项式。 很自然，我们可以给出交换环上矩阵的特征值的如下定义： 定义1设尺和a 同上，m ) 是矩阵a 的特征多项式，且k 是r 的一个扩 环。k 中元称作矩阵a 在k 中一个特征值，若是矩阵a 的特征多项式西 ) 的一个根，即( ) ；0 。 3 第1 章引言与预备工作 应该指出，上面的定义不同于文献f 8 1 中第3 2 4 页上有关交换环上矩阵的特 征值的定义。实际上，我们可建立如下事实： 命题1 设记号足和a 同上，且r 。若按文献【8 】中定义，是矩阵a 的 一个特征值，则按上面的定义1 ，“是矩阵a 在尺中一个特征值。 证明记尺( ”) 为由尺上所有n 维列向量组成的自由尺模， 即 r “一 ( 口1 一，a 。) ri 口1 ，口。尺 ，其中( 口1 一，a 。) r 表示( a 1 ，a 。) 的转置。由文 献【8 1 中定义知，存在r t 4 ) 中一个可完备的幺模元口，使得a a 一肛口，即 ( 肛一爿k = 0 ，这里0 = ( o ，o ) r 。 由于口是尺( ”) 中一个可完备的幺模元，从而存在r t 4 ) 中元口：9o 9 口。，使得 口，口2 ，口。为自由r 一模冗”的一个基。令b = ，口2 ，口。) ，则艿显然是r 上 一个，l 阶可逆矩阵。此时，矩阵乘积( 肛一彳徊的第一列中元素全为零。由行列 式的定义可知，d e t ( ( g e 一爿徊) = 0 ，即d e t ( # e 一彳) d e t ( b ) = 0 。 由于b 是尺上 可逆矩阵，从而d e t ( b ) 是r 中一个可逆元。于是有d e t ( z e 一彳) = 0 。 换言之， 按上面的定义1 ，是矩阵a 在尺中一个特征值。证毕。 下面的例子表明，上面结论的逆命题不成立。 例设r 么【：、，其中t 为整数环z 上一个未定元，且记tat + ( f 2 ) 。 显 t t ， 然，t 0 但f ；0 。注意到，环灭上2 阶零矩阵0 的特征多项式为x 2 。从而， 按上面的定义1 ，t 是2 阶零矩阵0 在尺中一个特征值。 假若按文献8 】中定义，t 是2 阶零矩阵0 的一个特征值，则存在r ( 2 中一个 可完备的幺模元口，使得0 a t c t ，即纽= 0 。由幺模元a 的可完备性知，存在 r c 2 ) 中元口，使得a ，口，为自由尺模r t 2 ) 的一个基。此时由等式t a = 0 知，t = 0 ， 矛盾! 因此，按文献f 8 1 中定义，t 不是2 阶零矩阵0 的一个特征值。 为建立本文的主要结论，我们首先需要建立如下引理： 引理1设尺是一个交换环，a 是rl ：- - + n 阶矩阵，尺b 是r 上一元多 项式环，且厂b ) 尺k 】。若是彳在r 的扩环k 中的一个特征值，则，( ) 是，0 ) 在k 中的一个特征值。 证明：设m g ) ；d e t ( x e 一爿) 是矩阵彳的特征多项式。 由于是爿在k 中 4 第1 章引言与预备工作 的一个特征值，从而m ( ) = d e t ( z e a ) = 0 。 令s ( x ) = a o + a l x + 口2 x 2 + + 口。x ”，其中a fe r ，i = 0 ，1 ，甩。 贝u ，( 彳) = a o e + 口1 爿+ a 2 a 2 + + a a “， 并且厂( 皿= a o e + 以1 肛+ 口2 u2 e + + 口。“e 。此时有 d e t ( f ( z ) e 一厂) ) ；d e t ( ( 肛一彳如。e + 口：( 胆+ 彳) ”+ 口。( z ”1 e + z - 2 a + + 趔”2 + 彳”1 ) ) ) z d e t ( 肛e 一彳) d e t ( a 1 e + 口2 ( 弘e + 4 ) + + 口。( z 4 - 1 e + z - - 2 a + + 弘4 4 2 + 4 ”1 = 0 这表明，( 弘) 是厂) 在k 中的一个特征值。证毕。 引理2 设k 是r 的一个扩环。若是r 上n 阶零矩阵q 在扩环k 中的一 个特征值，则z 是k 中幂零元。其中n 是正整数。 i i e n 设g ) = d e t ( x e q ) 是q 的特征多项式，则显然由b ) = x ”。 从而 有u “a0 。这表明，是k 中幂零元。证毕。 熟知的c a y l e y h a m i l t o n 定理是一个关于域上矩阵的特征多项式的重要结 论。实际上，c a y l e y h a m i l t o n 定理完全可推广到交换环上矩阵。根据文献【8 】 中定理i 8 ，我们将关于交换环上矩阵的c a y l e y h a m i l t o n 定理作为引理叙述如 下： 引理3 ( c a y l e y h a m i l t o n 定理的推广) 设a 是交换环r 上的一个，l 阶矩阵， 且西g ) 一d e t ( x e 一么) 是4 的特征多项式，则0 ) = 0 ，这里。为以阶零矩阵。 5 第2 章关于矩阵的点定理 第2 章关于矩阵的点定理 2 1 关于交换环上矩阵的点定理 在本节中，我们将建立关于交换环上矩阵的正点定理，零点定理和非负点 定理。为叙述方便起见，我们需要给出下面的定义： 定义2 设a 是环r 上的一个n 阶矩阵，且似，p ) 是r 的一个序扩环。称 a 在序扩环( k ，p ) 中的特征值都是正的( 中性的，或非负的) ，若对于a 在k 中 的每个特征值，p 一p ( p p n p ，或乒l e p ) 。 现在，我们可以建立本文的如下主要结果。 定理1 ( 交换环上矩阵的正点定理) 设a 是环r 上的一个n 阶矩阵，则a 在r 的每个序扩环中的特征值都是正的，当且仅当有如下等式成立： 仁+ t ng ? ) 妇= e + ；， ；) ， 其中m ，s 是正整数，g fg ) ，h jg ) 尺b 】，i = 1 ，l ；j 一1 ，s ，e 是r 上的n 阶单位矩阵。 证明：首先证明充分性。设定理中所述的等式成立。 现设伍，p ) 是r 的任意序扩环，且是a 在k 中的任意一个特征值，则 d e t ( t e 一彳) ；0 。令r ( - ) - ( 1 + ：。g ? g ) k 一( 1 + ；，j l z ；g ) ) ，其中g ig ) ，h jg ) 同 定理1 等式，i = 1 ，m ；_ = 1 ，s 。显然，g ) 尺k j ，且，) 是r 上的矩 阵。由引理1 知，厂( 肛) 是r ( a ) 在k 中的一个特征值。 另一方面，由上述等式知，i ( a ) = 0 。由引理2 知，( ) 是k 中幂零元， 即对于某个正整数k ，有，( ) = 0 。从而，( ) p n p 。注意到尸n p 是 k 的一个素理想，所以，( ) pn p 。由于【1 + 罗；。，j i z ；如) ) p 一p ，从而 ( 1 + ：。g ? ( 肛) k = ，( ) + ( 1 + 街如) ) p 一p 。 注意到1 + 罗：。g ? ( ) p 一p ，从而p 一p 。这表明，a 在r 的每个序扩环 中的特征值都是正的。 6 第2 章关于矩阵的点定理 再证明必要性。设a 在r 的每个序扩环中的特征值都是1 卜的。 ，、 记m b ) = d e t 陋一彳) 是矩阵a 的特征多项式，且作剩余环k = 尺眵& ) ) 。 显然，i ：篁石+ 佃b ) ) 是矩阵a 在k 中的一个特征值。 下面分两种情况讨论： ( 1 ) k 不是半实坏。 此时，一1 + 佃g ) ) = 罗：1 9 ；zg ) + 仕g ) ) ，这里m 为一 个自然数，g i g ) 尺旺】，i 一1 ，m 。- - 于是1 + 三，g ；2 g ) g ) ) 。 从而有 u ( x ) e r x 】，使得 1 + 罗刍g ；2 g ) ；m g k b ) 。 由引理3 知，e + 罗：= 。g ? 0 ) = 弦o ) = 0 。 此时有 忙+ ：，g ? 0 ) 皿= 0 = e + ”i - 1 9 ? 0 ) 。 令矗，( x ) = g ， ) ，j = 1 ，s 。则有仁+ ：，g ? 0 ) 皿= e + ；。 ；0 ) ， 上式正如同定理中所述。 ( 2 ) k 是半实环。由所设知，对于k + 的每个序，矩阵a 在k 中的特征值 i ( = x + 佃o ) ) ) 都是正的。 由抽象的正点定理，我们有 b + 乙厕2 声一1 + ；，丽2 ， 这里g ，o ) = g f ) + ( m ) ) k + 且j l ，o ) 一h j o ) + ( o ) ) k 。 ，其中 g ，g ) ，h ，b ) 尺k 】，i = 1 ，m ；，一1 ，s 。 于是( 1 + ：。g ：zo ) 乒一( 1 + ；，| f l i ) 2 ( 币 ) ) ob k 、而有u ( x ) r k 】，使得 ，( 1 + ”i - 1 9 i 2 9 ) k ，一( 1 + ；。 ；譬) ) = m g - g ) 。 f l 揭ln 3 知，忙+ ：，g ；0 ) 1 4 一忙+ ；。矗；0 ) ) = m 0 - 0 ) 一o 。 由此可得如下欲求的等式： 伍+ m mg ；20 ) 1 4 = e + ；。j l ；0 ) 。证毕。 定理2 ( 交换环上矩阵的零点定理) 设a 是环r 上的一个n 阶矩阵，则a 在r 的每个序扩环中的特征值都为中性元，当且仅当有如下等式成立： 么2 。+ 罗2 1 9 m ) = 0 ， 其中k 和m 是正整数，g 。b ) 尺b ，i = 1 ，m 。 证明：首先证明充分性。 设彳2 + 罗：。g ? ) = 0 ，其中k 和m 是正整数， g i g ) 尺k 】，i 一1 ，历。设伍，p ) 是r 的任意序扩环，且a 是a 在k 中任意一 个特征值，则d e t ( z e a ) ；0 。 7 塑三垩菱主：丝堕堕皇壅望 记h ) - - x 驮+ 三1 9 t ( x ) 。显然，g ) r k 。由引理1 知，厂( ) 是厂0 ) 在k 中的一个特征值。另一方面，由上述等式知，r ( a ) = 0 ，即i ( a ) 是零矩阵。 根据引理2 ，( ) 是k 中幂零元。于是对于某个正整数q ，有厂9 ( ) = 0 。从 而，9 ( ) pn p 。因为pn p 是k 的素理想，所以厂( ) pn p 。 于是 2 + y 三g ? 如) p n p 。由于pn p 是k 的一个实素理想，从而 e pn p 。这表明，a 在r 的每个序扩环中的特征值都为中性元。 充分性 获证。 再证必要性。设a 在r 的每个序扩环中的特征值都为中性元，且记 m g ) = d e t 陋一彳) 是矩阵a 的特征多项式。 令k = r 眵& ) ) ，则 i = z + 细g ) ) 是矩阵a 在k 中的一个特征值。 现分如下两种情况讨论： ( 1 ) k + 不是半实环。此时，一1 + 佃 ) ) = 罗：，j i l ? g ) + 油 ) ) ，其中m 是正整 数，吃g ) 尺k 】，i 一1 ，臃。从而，1 + 罗矗f g ) ( 西g ”。从而有蹦 ) 月k 】， 使得1 + 罗：。j i l 产g ) 一西g - g ) 。 由引理3 知，e + 罗三。九? 0 ) ；中m 似) = 0 。 此时有 a 2 + 汹m 亿，0 净) 2 ；仁+ m 鲥砰0 ) 曲2 一o 。 令g ；o ) ；h i 弦，i = 1 ，m 。此时有彳2 + 罗：，g ? 0 ) = o 。 上式正如同定理2 中所述。 ( 2 ) k 是半实环。由所设知，对于k 的每个序，矩阵a 在k 中的特征值 i ( ；x + 扣g ) ) ) 都为中性元。 由抽象的零点定理，我们有 + 罗刍g ( x ) 2 ，石， 这里g i ) = g i ) + ( ) ) k ，其中g ib ) 尺k 】，i ；l ，m ，其中k 和m 是正整数。于是z 2 + 罗：，g ? o ) ( ) ) 。 从而有u ( x ) s r x 】，使得 x 2 + 罗：，g ? o ) 一 沁 ) 。 由引理3 知， a 2 + 罗柚mg ? ) 一垂。沁口) = 0 ，此正为欲求的等式。 证毕。 定理3 ( 交换环上矩阵的非负点定理) 设a 是环r 上的一个，l 阶矩阵，则彳 在r 的每个序扩环中的特征值都是非负的，当且仅当如下等式成立： 0 2 t + ：。g ；0 ) 妇= 彳2 ，+ ；，j l ；0 ) ， 8 第2 苹关于矩阵的点定理 其中z ，k ，m 和s 都是正整数，g ；g 工h ib ) r b ，i = 1 ，肌；j = 1 ，s 。 证明：首先证明充分性。设定理3 中等式成立。现设( k ，p ) 是r 的任意序 扩环，且是a 在k 中任意一个特征值。 令，g ) = b 2 。+ ：。g ? b ) b b 2 。+ ；。j l ；g ) ) ，其中g 。g ) h j g ) 同定理3 中等式。 显然厂g ) 尺b 】。由引理1 知，( 肛) 是厂0 ) 在k 中的一个特征值。 另一方面，由定理3 中等式知，) ；0 ，即，0 ) 是零矩阵。由引理2 知，厂( ) 是k 中幂零元。于是对于某个正整数q ，q ( ) = 0 。从而f q 似) pn p 。 由 于pn p 是k 的一个素理想，从而厂似) pn p ， 即k 放+ 2 1 9 孑( ) k k 刃+ 。1 j i l 乡( ) j pn p c _ p 。 注意到列+ j ；】矗 ( ) p 。从而 k 2 七+ ? - 1 9 孑( ) k = k 型+ s 芷1 疗2 f ( ) j + f ( i u ) p + p p 。 假若喏p ，则( 一p ) p 。此时有a 2 七+ 罗：l g ? ( ) p 一p 。由此有 k 勰+ 7 - - 1 9 孑( ) 肛( 一p ) p ，矛盾! 从而p 。 这表明：a 在r 的每个序扩环中的特征值都是非负的。 再证必要性。 设a 在r 的每个序扩环中的锋年值都是非负的，且记 西g ) = d e t ( 扫一彳) 是矩阵彳的特征多项式。令k 。；r 眵( x ) ) ，则i = 石+ 仕g ) ) 是矩阵a 在k 中的一个特征值。 现分如下两种情况讨论： ( 1 ) k 不是半实环。此时，一1 + 0 ) ) ；罗汹mg ? g ) + ( m ”，其中聊是正 整数，g ig ) r b 】，i - - - 1 , ，m 。于是，1 + m f 。】g 孑g ) 伸 ) ) 。 从而有 “ ) r k 】，使得 1 + 罗柚mg ? g ) = b - g ) 。 由引理3 知， e + 罗m mg ? 0 ) 一似如( 彳) = 0 。 由此有 2 + ：。( g ，o p ) 2 妇= 但+ 罗柚mg ；似) 冲3 ；0 ， 且 4 2 + ( ：。g ，口净) 2 = 但+ 罗m mg ? 似) ) 么2 0 。 令h io ) 一g i 冷，i 一1 ，聊。此时有0 2 + 罗：，危? 0 ) 扣一a 2 + 罗：。j i z f 20 ) 。 上式正如同定理3 中所述。， ( 2 ) k 。是半实环。 由所设知，矩阵彳在k 中的特征值i ( = x + 佃 ) ) ) 对于k 的每个序都是非负昀。由抽象的非负点定理，我们有i e 戤- + ：，虿；g ) 卢一x 甜+ ；。万；g ) ， 1 0 第2 章关于矩阵的点定理 这罩l ，k ，m 和s 都是正整数，g ， ) = g ， ) + 伸o ) ) k + 且 h i ( x ) = o ) + ( ) ) k ，其中g ；g ) ，h ，b ) 尺k ，i = 1 ，所；j 一1 ，s 。 于是k 2 + ：。g ? o ) k x 2 7 + ；，。办；o ) ) 坤 ) ) 。从而有“ ) 只b 】，使得 b 2 。+ 刍g ? 呼) k _ k 2 + ；。- ，l ；( ? ) = m 姐 ) 。 由引理3 知， 0 2 2 + ：。g ? 0 ) 扣一- 2 7 + ；。 ；0 ) ) = 中。如o ) = 0 。 由此可得如下欲求的等式： 0 2 + ：。g ；z0 ) 皿= 彳2 。+ j 旬1 i i ；0 ) 。 证毕。 根据非负元，恒正元和中性元的定义以及定义2 ，易知，对于环r 中元素a ， a 是非负元( 恒正元，或中性元) ，当且仅当一阶矩阵 ) 在r 的每个序扩环中的 特征值都是非负的( 正的，或中性的) 。因此，上面的三个定理蕴含着关于交换 环的抽象点定理。 2 2关于多项式环上矩阵的点定理 设r 是一个交换环，r x 】是r 上含未定元组x 的多项式环，其中 x = b ，x 。) ，m 是正整数。对于r 【x 】上一个n 阶矩阵a ( 均，其中n 是正整数， y e a ( x ) 是多项式环r x l y 上一个咒阶矩阵。用m ( x ，y ) = d e t ( y e a ( ) ( ) ) 表示矩阵 y e - a ( x ) 的行列式，则m ( x ，y ) e r x i y 】。又设k 是r 的一个扩环，则对于任意 口= ( a 1 ，一，口。) e k “，矩阵a ( 口) 是k 上一个n 阶矩阵。此时，显然 由( 口，y ) = d e t ( y e a ( a ) ) 是k 上n 阶矩阵a ( 口) 的特征多项式。 为了将2 1 中关于矩阵的点定理推广到多项式环上，我们在定义2 的基础 上进一步给出如下定义： 定义3 设a ( x ) 是环r 【x 】上的一个n 阶矩阵，其中x = b l ，一，x 。) ，m 是正整 数，且 是r 的一个序扩环。称a ( x ) 在序扩环 中的特征值是恒正的 ( 恒中性的，或恒非负的) ，若对于任意a = ( a 1 ，一，口。) k “，矩阵a ( 口) 在k 中的每个特征值都是正的( 或中性的，或非负的) 。特别地，对于任意fe r x i ， 我们称f 在序扩环 中是恒正的( 恒中性的，或者恒非负的) ，如果阶矩阵 ( f ) 在序扩环 中的特征值都是正的( 中性的，或非负的) 。 1 0 第2 章关于矩阵的点定理 现在，我们根据前面矩阵的点定理，可以建立关于交换环上多项式矩阵的正 点定理，零点定理和非负点定理。 定理4 ( 多项式环上矩阵的正点定理) 设a ( x ) 是环r 【x 】上的一个n 阶矩阵， 则a ( x ) 在r 的每个序扩环中的特征值是恒正的，当且仅当有如下等式成立： 忙+ i 。g ? 伍，彳( x ) ) 扣( x ) = e + ；。，j l l ；( x ，彳( x ) ) ， 其中r s 是j 下整数，g j ，) ，) ，h ，( x ，y ) s r x ，y 】，i = 1 ，r ；_ = 1 ，s ，e 是r 上的n 阶单位矩阵。 证明：首先证明充分性。设定理中所述的等式成立。 设a ( x ) 是环r 【x 】上的一个i i 阶矩阵， 是r 的任意序扩环，且 口= ( 口l ，一，口。) k ”，则矩阵a ( a ) 是k 上一个n 阶矩阵。现设z 是a ( a ) 在k 中的任意一个特征值，则d e t ( ze - a ( a ) ) = o 。 令，( x ，y ) = ( 1 + 工，g ? ( x ，y ) 汐一( 1 + ；。 ；( x ，y ) ) ， 其中g i ( x ，y ) ， h ，伍，y ) 同定理4 ，i = 1 ，厂；j = 1 ，s 。显然，i ( x ，j ，) r 皿，y j ，则f ( a ，a ( a ” 是k 上的矩阵。由引理1 ， f ( 口，) 是f ( a ，a ( 口”在k 中的一个特征值。 另一方面，由上述等式知，f ( a ，a ( 口) ) = o ，即f ( 口，a ( 口”是k 中的一个零 矩阵。由引理2 知，厂( 口，) 是k 中幂零元，即对于某个正整数k ，有厂缸，) 一0 。 从而厂( 口，) 尸n p 。注意到pn p 是k 的一个素理想，所以 ，仁，肛) pn p 。 由于b + 。1 矗 仁，) j p 一p ，从而 ( 1 + - g ? 仁，) k 一厂( 口，) + ( 1 + 褂弛，”p 一p 。 注意到1 + 罗；。薛如，z ) ep 一p ，从而zg p 一p 。这表明，a ( a ) 在k 中的 任意一个特征值都是正的。由定义3 知，a ( x ) 在r 的每个序扩环中的特征值是 恒正的。 再证必要性。设a ( x ) 在r 的每个序扩环中的特征值是恒j 下的。 记m 伍，y ) - - d e t ( y e 一么( x ) ) 是矩阵a ( x ) 的特征多项式，且作剩余环 k - 月防，岁二( x ，y ) ) 。 显然，歹昌y + 佃伍，y ) ) 是k 上矩阵a ( i ) 在k 中的 一个特征值，这里xa 瓴，) ，其中篁x q + 伸伍，y ) ) k 。，口一1 ，m 。 下面分两种情况讨论： ( 1 ) k 不是半实环。此时，一1 + 佃伍，y ) ) = 罗，- 。g ? 伍，y ) + 佃( x ，y ) ) ，这里，为 第2 章关于矩阵的点定理 一个自然数，g ；伍，y ) g t x ，y l ，i = 1 ，厂。于是 1 + 罗r 2 ( x ，y ) ( m ( x ，y ) ) 。 b k 而f f u ( x ，y ) 月【x ，y 】，使得1 + 罗。r 。2 、x ，y ) = 垂( 石，y ) u ( x ，y ) 。 由引理3 知，e + 罗r 2 伍，彳( x ) ) = m ( x ，彳( 彳) 姐( x ，么( x ) ) = 0 。 此时有 仁+ 0 。g ? ( x ，彳( x ) ) 妇( x ) = 0 = e + ，_ 。g ? ( x ，彳( x ) ) 。 令j l ，( x ，y ) = g f ( x ，y ) ，j = 1 ，s 。贝u 有 仁+ ，- 。g ；( 彳，彳( x ) ) 乜( x ) = e + ；。， ；( x ，彳( x ) ) 。 上式正如同定理中所述。 ( 2 ) k 是半实环。由所设知，对于k + 的每个序，矩阵a ( i ) 在k 中的特征 值歹：= 罗+ ( 垂( x ，y ) ) 都是正的。由抽象的正点定理，我们有 ( 1 + o 。g , ( x , y i 2 ) 歹= 1 + ；。h j ( x , y ) 2 ， 这里g ；( x ，y ) = g ，( x ，y ) + ( 中( x ，y ) ) e k 且h j ( x ，y ) ；h j ( x ，y ) + ( m ( x ，y ) ) e k + ， 其中g ；( x ，y ) ，h ，( x ，y ) e r x ，y 】，i 一1 ，；j = 1 ，s 。 于是，我们有( 1 + ；，g ? ( x ，y ) 眵一( 1 + ；。- h 2 ( x ，) ，) ) 舾( x ，) ，) ) 。 从而有u ( x ，y ) e r x ，y l ，使得 ( 1 + i 7 。，9 2 ( x ，y ) b 一( 1 + x ：- ， ；( x ，y ) ) = 西( x ，y ) u ( x ，y ) 。 由引理3 知， 伍+ - g ? 伍，么( x ) ) b ( x ) 一扛+ ；，q ( x ，么僻) ) ) ；( x ，彳( x ) - 伍，彳( x ) ) = o 。 从而可得如下欲求的等式： 忙+ ，- 。g ? 伍，彳( x ) ) 扣( x ) 一e + ；，忍；伍，彳( x ) ) 。证毕。 定理5 ( 交换环上多项式矩阵的零点定理) 设a ( ) ( ) 是环r 【x 】上的一个n 阶 矩阵，则a ( x ) 在r 的每个序扩环中的特征值为恒中性的，当且仅当有如下等式 成立： 彳2 7 ( x ) + 罗，- ，g ? ( x ，彳( x ) ) = 0 ， 其中z 和r 是正整数，g i 僻，yj r 【x ，y 】，f = l ，。 证明：首先证明充分性。 设彳2 ( x ) + 罗工。g ：z 伍，彳( x ) ) = 0 ，其中z 和r 是正 整数，g ，伍，y ) r 【x ，y 】，f = 1 ，r 。现设 是r 的任意序扩环，且 1 2 第2 章关于矩阵的点定理 口= ( a 1 一，口。) e k ”，则矩阵a ( a ) 是k 上的矩阵。不妨设是a ( a ) 在k 中的任意一个特征值，则d e t ( ze a ( 口) ) = 0 。 记f ( x ，y ) = y 2 7 + 罗m rg ? ( x ，y ) ，其中g i ( x ，y ) 同定理5 等式中。显然 f ( x ，y ) e r x ，y j ，f ( 口，a ( 口) ) 是k 上的矩阵。由引理1 ，f ( a ，z ) 是厂( 口，a ( a ) ) 在k 中的一个特征值。 另一方面，由上述等式知，f ( a ，a ( 口) ) = o ，即f ( a ，a ( a ) ) 是k 中的一个零 矩阵。由引理2 知，厂( 口，肛) 是k 中幂零元，即对于某个正整数k ，有f 仁，) = 0 。 从而厂k ，t ) e pn p 。因为pn p 是k 的素理想，所以s ( a ，z ) pn p 。 于是2 。+ 罗二。g ? ( 口，) p n p 。 由于pn p 是k 的一个实素理想，从而e pn p 。这表明，矩阵a ( a ) 在k 中的任意一个特征值都为中性元。由定义3 可知，a ( x ) 在r 的每个序扩环 中的特征值恒为中性元。充分性获证。 再证必要性。设a ( x ) 在r 的每个序扩环中的特征值恒为中性元。 记由，y ) - - d e t ( y e 一么僻) ) 是矩阵a ( x ) 的特征多项式，且作剩余环 k - 尺b 岁舀( x ，y ) ) 。 显然，歹暑y + ( ( x ，y ) ) 是k 。上矩阵a ( i ) 在k 中的 一个特征值，这罩x ；“，) ，其中净+ 伸( x ，y ) ) k ，q 一1 ，m 。 现分如下两种情况讨论： ( 1 ) k + 不是半实环。此时，一1 + 仕伍，y ) ) = 罗rg ? 伍，y ) + 佃( x ，y ) ) ，这里r 为一个自然数，伍，y ) e r x ，y 】，i ；1 ，。于是 1 + 罗0 。g ? ( x ，y ) ( 西( x ，y ) ) 。 从而有“( x ，y ) e r x ，y 】，使得1 + 罗2 。g ? ( x ，y ) ；m ( x ，y k ( x ，y ) 。 由引理3 知，e + 2 。g ? 伍，彳( x ) ) = m ( x ，么( x ) ( x ，彳( x ) ) = 0 。 此时有 彳2 ( 彳) + i 7 - 1 ( g ，( x ，彳( x ) 净( x ) ) 2 = 仁+ rg ? ( x ，彳仁) ) 妇2 ( x ) = o 。 上述等式正如定理中所述。 ( 2 ) k 是半实环。由所设知，对于k 的每个序，矩阵a ( x ) 在k 中的特 征值歹