（概率论与数理统计专业论文）带有事件风险的永久美式期权和game期权的定价.pdf

带有事件风险的永久美式期权和g a m e 期权的定价 i “ 摘要 期权定价是金融数学研究的核心内容之一，定价的结果越接近事实越好 在金融市场中，信用风险事件经常发生，因此，考虑带有信用风险的市场模型是 比较接近现实的，也比较有意义信用风险发生的时间r 般是不可观测的，也 就是关于资产流f = 五) 。；。+ 不是停时，为了给出具体的定价公式我们往往要对 金融市场做个合理的假设 本文像k u s u o k a ( 1 9 9 9 ) t m 一样，我们采用了一个( h ) 假设：任何的f 平方可 积鞅是g - 平方可积鞅这个假设是很自然的。其中g 是使得r 是得时的最小 的由f 扩大的n 代数在这种假设下的信用风险我们称为事件风险关于带有 事件风险的欧式期权的值及其套期保值，由l a n d o ( 1 9 9 s ) ”l ，e l l i o t te ta 1 ( 2 0 0 0 ) i ， 及b l a n c h e r 和j e a n l a n c ( 2 0 0 4 ) 1 1 5 1 ，c o l l i nd u h e s n e 和h u g o n n i e r ( 2 0 0 0 ) ”l 研究解决 了 a l e xs z i m a y e r ( 2 0 0 5 ) t 7 1 研究了带有事件风险的美式期权的定价及其最优停时 问题本文在他们工作的基础上，对解决该模型定价问题所需要的数学工具进行 系统的介绍和推广还介绍了近几年刚刚创新的g a m e 期权及其定价，g a m e 期 权它的执有者和卖方可以在任何时候终止合约，执有者a 可以在任何时候以某一 确定的价格购买( 或出售) 标的资产，若期权卖方终止合约，他( 她) 必须付给期权 执有者相应的取消折扣费 本文主要是利用( h ) 假设，s n e l l - 包络的内在陛质，给出了带有事件风险的永 久美式期权和g a m e 期权的定价；在一个给定的合适的等价鞅测度下，给出了带 有事件风险的永久美式期权的最优停时进一步，推导了带有事件风险的永久美 式朗权的上界和下界及上界套期保值和下界套期保值 关键词：永久美式期权；最优停时；g a m e 期权；事件风险 带有事件风险的永久美式期权和g a m e 期权的定价 a b s t r a c t t h ep r i c i n go fo p t i o n si st h e c e n t r a lp r o b l e mf o rr e s e a r c hi nm a t h e m a t i c a lf i n a n c e f o rt h er e s u l to fp r i c i n g ，t h ec l o s e rt ot h ef a c tt h eb e t t e r i naf i n a n c i a lm a r k e t ，c r e d i tr i s k e v e n t so f t e no c c u r c o n s e q u e n t l y , i ti sm o r ec l o s et ot h ef a c tt h a tw ec o n s i d e raf i n a n c i a l m a r k e tm o d e li nt h ep r e s e n c eo fc r e d i tr i s k s u p p o s et h er i s k ye v e n to e c u l sa tr a d o mt i m e r u s u a l l yri su n o b s e r v a b l e t h a t st os a y , ti sn o tas t o p p i n gt i m ew i t hr e s p e c tt ot h ea s s e t f i l t r a t i o nf = 五) t i no r d e rt oo b t a i nas p e c i f i e dp r i c i n gf o r m u l a ，u s u a l l yw en e e dt o m a k es o l n er e o s o n a b l eh y p o t h e s i si nf i n a n c i a lm a r k e t i nt h i sp a p e r ，a si nk n s u o k a ( 1 9 9 9 ) 1 1 2 1 ，t h eh y p o t h e s i s ( h 1i sa s s u m e dt oh o l d ：a n y f s q u r ei n t e g r a b l em a r t i n g a l ei sag s q u r ei n t e g r a b l em a r t i n g a l e t h i sh y p o t h e s i si sv e r y n a t u r e w h e r egi st h em i n i m a le n l a r g m e n to f fs u c ht h a tri sas t o p p i n gt i m ew i t hr e s p e c t t ot h ee n l a r g e df i l t r a t i o ng i nt h es e n s eo f t h i sh y p o t h e s i s ，c r e d i tr i s ki sc a l l e de v e n tr i s k f o r e u r o p e n c o n t i n g e n t c l a i m s i n a e v e n tr i s k s e t t i n g ，p r i c i n g a n d h e d 9 4 n g o f e u r o p e a n c o n t i n g e n t c l a i m sh a ss t u d i e da n ds o l o v e db yl a n d o ( 1 9 9 8 ) “e l l i o t te t a i ( 2 0 0 0 ) t 1 ，b l a n c h e t 、 j e u n a n c ( 2 0 0 4 ) i 1 c o l f i nd u f r e s n e 、h u g o n n j e r ( 2 0 0 0 ) 1 1 s l ，a l e xs z i m a y e r ( 2 0 0 5 ) 1 1h a s s t u d i e dt h ev a l u a t i o no fa m e r i c a no p t i o n si nt h ep r e s e n c eo fe v e n tr i s ka n ds o l o v e di t s o p t i m a ls t o p p i n gp r o b l e m o nt h eb a s i so ft h e i rw o r k ，t h i sp a p e ri n t r o d u c e sa n de n t e n d st h e m a t h e m a t i c a lt o o l sw h i c hw en e e di ns t u d yo ft h i sm o d e l b e s i d e s w ei n t r o d u c ean e w d e r i v a t es e c u r i t y g a m eo p t i o na n di t sp r i c i n g g a m eo p t i o n sa r ec o n t r a c t sw h i c he n b l e b o t ht h e i rb u y e ra n ds e l l e rt os t o pt h e ma ta n yt i m ea n dt h e nt h eb u y e rc a ne x e r c i s et h e r i g h tt ob u yf c a l lo p t i o n ) o rs e l l ( p u to p t i o n las p e c i f i e ds c o u r i t yf o rc e r t a i na g r e ep r i c e i f t h ec o n t r a c ti st e r m i n a t e db yt h es e h e rh em u s tp a yc e r t a i np e n a l t yt ot h eb u y e r i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yu s et h ep r o p e r t i e so f ( h ) h y p o t h e s i sa n ds n e l le n v e l o p et o s t u d yt h ev a l u a t i o no fp e r m a n e n ta m e r i c a no p t i o n sa n dg a m eo p t i o n si nt h ep r e s e n c eo f n o n - h e d g e a b l ee v e n tr i s k ；f o rag i v e ne q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r e ，t h eo p t i m a ls t o p p i n g p r o b l e mo f t h ep e r m a n e n ta m e r i c a no p t i o ni ss o l v e d a sam a i nr e s u l t ，n o - a r b i t r a g eb o u n d s f u r p e r m a n e n t a m e r i c a n o p t i o n v a l u e s i n p r e s e n c e o f e n v e tr i s k a r e d e r i v e d ，a s w e l l a s h e d g i n g 带有事件风险的永久美式期权和g a m e 期权的定价 s t r a g i e sc o r r e s p o n d i n gt ot h en o - a r b i t r a g eb o u n d s k e yw o r d s ：p e r m a n e n ta m e r i c a no p t i o n s ；o p t i m a ls t o p p i n gt i m e ；e v e n tr i s k ；g a m e o p t i o n s 带有事件风险的永久美式期权和g a m e 期权的定价 第一章预备知识 1 1 。1 金融衍生产品的概述 近2 0 到2 5 年中，金融市场的一个引人注目的发展就是衍生产品的日趋普遍 衍生产品( d e r i v a t i v es e c u r i t y , 也称衍生证券，衍生工具) 是一种金融工具( f i n a n c i a l i n t r u r a e n t ) ，其值依附于其它更基本的标的( u n d e r l y i n g ) 变量，这些标的变量常见的 有；可交易证券的价格；公司的股票价格；市场上的股票指数；商品的价格等等 事实上，衍生证券可以依附于几乎任何变量，从生猪价格到某个滑雪胜地的降雪 量衍生证券种类很多，主要的形式有期权( o p t i o n ) 、远期合约( f o r w a r dc o n t r a c t ) 、 期货( f u t u r e ) 、互换( s w a p ) 期权是衍生产品的最主要形式股票期权于1 9 7 3 首次在有组织的交易所内进 行交易，从此期权市场发展十分迅猛。期权分为看涨期权( c a l lo p t i o n ) 和看跌期权 ( p u to p t i o n ) ，期权的执有者( h o l d e r ) 称为期权的多头方( 1 0 n gp o s i t i o n ) ，期权的出售 方( w r i t e r ) 称为期权的空头方( s h o r tp o s i t i o n ) 看涨期权的执有者有权在某一确定 的时间以某一确定的价格购买标的资产看跌期权的执有者有权在某一确定的时 间以某一确定的价格出售标的资产期权合约中的价格被称为执行价格或敲定价 格( e x e r c i s ep r i c eo rs t r i k ep r i c e ) 合约中的日期称为到期日或期满日( e x p i r a t i o nd a t e o rm a t u r i t y ) 美式期权( a m e r i c a no p t i o n ) 可在期权有效期内的任何时候执行欧式 期权( e r o p e a no p t i o n ) 只能在到期日j 丸行需要强调的是，期权赋予其持有者做某 种事情的权利，持有者不是一定要行使这种权利所以投资者买一张期权合约必 须支付期权费 远期合约是一种特别简单的衍生产品，它是一个在将来确定的时间按确定的 价格购买或出售某种资产的协议通常是在两个金融机构之间或金融机构与其公 司客户之间签署该合约它不在规范的交易所内交易在远期合约中的特定价格 称为交割价( d e l i v e r yp r i c e ) 在远期合约签署的时刻，所选择的交割价应该使得远 期合约的价值对双方都为零这意味着无需成本就可处于远期合约的多头和空头 状态像远期合约一样，期货合约是两个对手之闻签定的个在确定的将来时间 带有事件风险的永久美式期权和g a m e 期权的定价 2 按确定的价格购买或出售某种资产的协议；与远期合约不同的是期货合约通常在 交易所内交易，要交保证金，可以在到期e t 之前通过反向的交易平仓 互换是两个公司之间私下达成的协议，以按照事先的约定的公式在将来彼此 交换现金流两种常见的互换为利率互换和货币互换在利率互换中，一方同意 在几年内按本金的固定利率向另一方支付利息，作为回报，在同一时间内，它从另 一方收取按同一本金以浮动利率计算的利息在货币互换中，方同意以一种货 币按一定本金数量支付给对方利息，作为回报，它从另一方收取以另一种货币按 一定本金计算的利息在本质上，互换是一个债券多头与一种债券空头的组合 或者它可以被认为是一系列远期合约的组合 参与衍生证券市场交易的投资者可以分成三类： ( 1 ) 套期保管者( h e d g e r ) 成 功的公司把精力放在他们最擅长的经济活动上，他们拥有的资产暴露在价格、货 币、利率变动等风险中，他们利用衍生产品进行套期保值的目的是减少他们面临 的这些暴露风险；( 2 ) 投机者( s p e c u l a t i o n ) 他们把自己的资金投刭能获利的衍生 产品上，通过承担风险获取风险利润，与套期保值者所处的位置恰好相反，他们 频繁的投机活动使得套期保值策略得以实施 ( 3 ) 套利者( a r b i t r a g e u r ) 他们同时 进入多个市场进行交易，通过价格差套取无风险利润，由于这类投资者的存在， 大多数市场仅存在非常小的套利机会 1 1 2 金融衍生产品的基本定价方法 对金融衍生定价主要存在两种方法，一种是构造出一个可交易资产的自融资 投资组合( s e l f - f i n a n c i n gp o r t f o l i o ) 进行复制金融衍生证券的收益( p a y o f f ) ，若金融 衍生证券的价格是时间和标的资产价格的充分光滑函数，通过对标的资产的价格 建馍( 譬如，用几何b r o w n 运动，l e v y 过程描述标的资产价格的动态变动) ， 利用i t 0 引理得出个偏微分方程，结合该方程满足的初始条件和边界值条件， 通过解微分方程得出金融衍生证券的价格公式，这种方法称为微分方程定f f r ：y 法 ( d i f f e r e n t i a l e q u a t i o na p p r o a c h ) 另种称为等价鞅测度( e q u i v a l e n t - m a r t i n g a l em e a - 虬e 1 或风险中j 陛( r i s kn e u t r a l ) 定价方法。当或有权益的到期收益可以被一组可交 易资产的投资组合进行复制，则称该或有权益市场是完全的h a r r i s o n 和p l i s k a ( 1 9 8 1 ) 及d e l b e a a 和s c h w c h m e r m a g e r ( 1 9 9 4 ) 1 ，1 证叽在完全市场环境下有唯一的等价鞅测 带有事件风险的永久美式期权和g a m e 期权的定价 3 度，市场不存在套利机会( a r b i t r a g eo p p o r t u n i t y ) 通过选择个合适的与主观概率 ( s u b j e c t i v ep r o b a b i l i t y ) 测度等价的鞅测度( 称为风险中性测度) 和个作为计价单 位的资产( n u m e r a i r ea s s e t ) ，金融衍生证券所依赖的标的资产的价格过程用该资产 折现后在风险中性测度下是个鞅，从而衍生证券的现时价格可解释为其到期支 付函数经计价单位资产折现后在风险中性测度下的条件期望值 1 2 信用风险和信用风险模型发展回顾 1 2 1 信用风险 长期以来，信用风险都是金融市场上最基本、最古老，也是危害最大的风险之 一尤其是2 0 世纪8 0 年代中期以后，随着经济和金融的全球化，信用规模和风 险酸都呈指数式增长，信用风险问题受到了学术界和金融实业界广泛的关注 在任何份金融合约或投资组合中，区分市场风险( m a r k e tr i s k ) 和信甩风险( c r e d i t r i s k ) 是很重要的市场风险是来自利率、汇率等这样的市场变量的变化，使得合 约的价值转化为负值的可能陛 信用风险又叫违约风险，指的是合约对手( c o n t r a c t u a lc o u n t e r p a r t y ) 未履行合 约订立的义务而导致债权人发生经济损失的可能陛般的，金融合约中潜在的 市场风险可以通过持有适当的抵偿债券头寸进行对冲，而信用风险却不能众所 周知，在金融市场中，违约、破产、延期偿还债务等等都是信用违约事件很自然 地，信用风险的存在会影响期权执有者的策略，以无股息股票的美式看涨期权为 例在无信用风险的情况下，我们知道过早执行不是最优的，因此，美式看涨期 权和欧式看涨期权的值是重合的若存在信用风险，情况就会有很大的变化，如 果期权的卖方违约就会使期权无效，这样期权执有者就会受到损失，这种情况下 较早地执行就会使期权执有者避免由对方的违约而产生的损失信用风险能以多 种不同方式影响衍生产品合约的定价第一，衍生产品合约可能含有交易对手的 违约风险第二，衍生产品的标的本身会遭受信用风险第三，信用风险本身可 能就是衍生合约的标的变量第四，衍生产品合约自身可能遭受交易对手风险 信胃风险在现实市场中是客观存在的，因此，研究这种市场环境下的期权的定价 是比较接近现实的，是很有实际意义的 带有事件风险的永久美式期权和g a m e 期权的定价 4 近十几年来，信用衍生证券市场发展迅猛，信用衍生证券交易量日益增长，越 来越多的金融机构使用信用衍生证券来管理它们的资产和投资组合中潜在的信用 风险信用衍生工具是指参与双方之间签订一项金融合约，该合约将信用风险从 标的资产中剥离出来并进行定价，使它能够转移给最适于承担或最愿意管理风险 的投资者信用衍生工具有四种基本种类，即信用违约互换( c r e d i td e f a u l ts w a p s ) 、 总收益互换( t o t a lr e t u r ns w a p s ) 、信用差幅期权( c r e d i ts p r e a do p t i o n ) 和信用连 接票据( c r e d i t - l i n k e dn o t e ) 1 2 2 信用风险模型发展回顾 信用风险定价模型的突破性进展，始于1 9 7 4 年m e r t o n 将期权定价理论运用 于有风险的贷款，将有可能违约的债务看作企业资产的或有权益，利用期权理论 进 亍定价分析之后，大批金融学家对其模型进行了更为深入的研究和推广 信用风险模型通常分为两类，结构模型和强度模型结构模型：由m e r t o n ( 1 9 7 4 ) d | 开创，经b l a c k ，c o x ( 1 9 7 6 ) s ，l o n g s t a f f 和s c h w a r t z ( 1 9 9 5 ) 1 4 等修正发展的结构方法 ( s t r u c t u r a la p p r o a c h ) 该模型限定，当合约空头方的资产总价值低于其债务总额或 某一外生的i 临界水平时空头方才会违约又可以根据违约现象发生在债务到期之 时还是企业的资产低于某个界限时立刻违约分为公司价值模型( f i r mv a l u em o d e l ) 和首达时模型( f ”s tp a s s a g em o d e l ) 前者限定合约未到期之前，公司不被清算，因 而公司破产或重组不会发生，合约空头方不违约合约到期时，若发生违约，债权 方( 合约多头方) 所获得的补偿率( r e c o v e r yr a t e ) 是违约方公司的资产与债务之比 ( a s s e t st ol i a b i l i t i e s ) 的函数资产债务比又称违约距离( d i s t a n c et od e f a u l t ) ，显然， 较大( 小) 的违约距离意味着较小( 大) 的信用风险首达时模型限定合约空头方 公司可以在合约未到期之前违约，违约发生后，合约双方可以选择立即清算，也 可以选择等到合约到期时清算，清算时合约多头方所获得的补偿率不一定是合约 空头方公司的资产债务比的函数，可以是一个与违约公司资产债务比独立的某一 个外生的补偿随机过程( s t o c h a s t i cr e c o v e r yp r o c e s s ) 这种允许提前违约的结构模型 是公司价值模型的丰富和发展，在一定程度上阻止了债权方进步遭受更大的损 失j o n k h a r t ( 1 9 7 9 ) s ，b r e n n a n 和s c h w a r t z ( 1 9 8 0 ) i ，m a s o n 和b h a t t a c h a r y a ( 1 9 8 1 ) 7 】 ，l o n g s t a f f 和s c h w a r t z ( 1 9 9 5 ) 4 ，n i e l s e n 等( 1 9 9 7 ) s 在这方面作出了一定的研究 带有事件风险的永久美式期权和g a m e 期权的定价 5 结构模型的优点是，从经济学的理论角度有很强的直观背景，且具有封闭形式 的解析定价公式，它把违约的补偿率和违约的原因紧密地联系起来 在结构模型中违约时间r 是关于资产价格流 五，t r + ) 是停时但是现实中 违约时间r 关于资产流不一定是停时为了计算出可违约收益的值，我们就引入了 违约强度的概念这就是所谓的强度模型( i n t e n s i t ym o d e l ) 又称为简化模型( r e d u c e d f o r mm o d e l ) ，是j a r r o w 和t u r b u l l ( 1 9 9 5 ) 9 ，l a n d o 和j a r r o w 等( 1 9 9 7 ) ，m a d a n 和 u n a l ( 1 9 9 8 ) 1 1 提出的，最近几年迅速发展起来的该模型不考虑违约风险是否受 合约空头方公司资产一债务结构的影响，违约发生时合约的债权方所获得的补偿 率( r e c o v e r yr a t e ) 并不要求必须是违约公司的资产债务比的函数，而是采用个 外生的违约随机过程，譬如p o s s i o n 过程，l e v i 过程，c o x 过程来触发其中违 约过程的强度a 即为违约强度，他表示单位时间内违约发生的概率a 可以是常 数、确定的函数或随机变量 在强度模型的定价中，为了得出更具体的定价公式，大家在研究的过程中对 随机模型做了一些相对合理的假设，k u s u o k a ( 1 9 9 9 ) n 】就给出了( h ) 假设任意的 f _ i 防可积鞅是g 一平方可积鞅这里的g 是由f 扩大的，使得信用风险发生时 间r 是g 停时的最小5 r 一代数流把这种意义下的信用风险称为事件风险在过 去几年中，这方面有相当丰富的研究成果：关于带有事件风险的欧式期权的值及 其套期保值，由l a n d o ( 1 9 9 8 ) 1 1 3 1 ，e u i o t te ta 1 ( 2 0 0 0 ) 1 4 1 ，及b l a n c h e r 和j e a n l a n c ( 2 0 0 4 ) 1 q 研究解决了 c o l l i nd u f r e s n e 和h u g o n n i e r ( 2 0 0 0 ) 1 1 6 主要是讨论欧式期权的定价和 套期保值 a l e xs z i m a y e r ( 2 0 0 5 ) 1 e 研究了带有事件风险的美式期权的定价及其最 傀停时问题本文的第三章，第四章将分别给出带有事件风险的永久美式期权和 带有事件风险的g a m e 期权的定价 1 3b l a c k - s c h o l e s 的期权定价理论 任何研究衍生产品定价的人都应该熟悉b l a c k - s c h o l e s ( b - s ) 的期权定价理论， 他们对期权定价最直观和最基本的思想是：在不存在无风险套利机会的有效市场 中，任何具有零市场风险的组合的期望收益率必然等于无风险利率 带有事件风险的永久美式期权和g a m e 期权的定价 6 他们关于金融市场的作了如下假设： ( 1 ) 交易可以在时问上连续进行； ( 2 ) 无风险利率r 为常数日对所有到期日都相同； f 3 ) 在证券有效期内资产不付红利或其它收益； ( 4 ) 在买卖资产和期权的交易中没有交易费用和税收； ( 5 ) 资产是完全可分的； ( 6 ) 没有卖空的限制，允许使用卖空所得资金； ( 7 ) 不存在无风险套利机会 假设在时刻t 的资产价格s 遵循几何布朗运动： d s = p s d t + a s d w 其中p 为股票价格的预期收益率或漂移率，一通常被称为股票价格的波动率p 和 一都为常数w = m ：只+ ) 是带自然一一代数流的概率空间( n ，f ，佤) 。n + ，p ) 上的标准布朗运动( 也称w i n n e r 过程) ，五= 一( 帆，0 “t ) 假设c 是基于s 的某个看涨期权或其它衍生产品的价格变量c 一定是s 和t 的函数，即e = c ( s ，t ) 构造一个包含一单位欧式期权看涨期权的空头和m 单位的标的资产多头的组合，该组合的价值n 为：1 1 = 一e + m s 因为c 和h 都是随机过程，由i t o 微分公式我们有； 一筹出+ 筹姗譬s 2 面0 2 c 出 d r l = 一d e + m d s = ( 瓦0 c 一百a 2 。2 丽1 ) 2 c ) 出+ 一丽0 c ) d s = 一鲁一譬s 2 石0 2 万c + ( m 筹) “研出+ ( m 一丽o c p s d 我们可以看到组合的随机部分体现在最后一项( m 一器) c r 5 d w 如果我们选择m = 筹那么该组合成为无风险套期保值的，从模型的基本假设可以得出该证券组合的 瞬时收益率一定与其它短期无风险证券收益率相同如果该证券组合的收益率大 些，套利者就可以通过卖出无风险证券然后用其收入购买该证券组合来获取无风 带有事件风险的永久美式期权和g a m e 期权的定价 7 险利率；如果该证券组合的收益率小些，套利者就可以通过卖出证券组合来获取 无风险利率因此我们可以令脚= r h d t 即 皿= ( 一面0 c i 0 2 s z 塞) 出：r n 出：r ( 一c + s 丽0 c ) 出 整理得 篆+ 譬s 2 塞圳等- r c = o ( 1 - ) 上述方程( 1 1 ) 就是b l a c k - s c h o l e s 微分方程求解( 1 1 ) 就得到b s 定价公式但 ( 1 1 ) 只有在设定某边界条件( b o u n d a r yc o n d i t i o n s ) 下才有唯解对于我们的 模型而言边界条件表示衍生产品在到期日的现金流量( t h ef i n a lp a y o f f ) 就欧式看 涨期权而言，其到期现金流量为白= m a x ( s t k ，o ) ，欧式看跌期权而言，其到期 现金流量为c t = m & x ( ks t ，o ) 由不同衍生产品的到期现金流作为边界条件，解 出偏微分方程( 1 1 ) 的答案就是该衍生产品的定价公式 在匕述模型的推导中我们选择的兀是无风险避险组合，只有在无限短的时间 问隔内，才是无风险的当s ，t 变化时，原来的避险比率a = 舞也会变化，必须马 上修正，获得新的避险比率这样，避险组合才会重耨回到无风险部位，并可规避 下一小段股价变动所带来的风险因此必须在动态修正调整避险比率下( d y n a m i c h e d g i n g ) ，避险组合才是无风险的我们根据偏微分方程的解法得到欧式看涨期权 定价公式： q = g ( & ，) = e 一”( r 一。) e m 。( 岛- 一k ，o ) )( 1 2 ) 也就是说，欧式看涨期权的值等于在风险中性的情况下将期权到期现金流的期望 值，以无风险利率r 折现求解( 1 2 ) 右边的期望值可得欧式期权的具体定价模型； g = n ( d 1 ) 一k e7 ( 7 ) ( d 2 ) 这就是著名的b l a c k - s c h o l e s 的期权定价理论，它开创了期权定价理论的先河 本节内容主要参考文献【1 8 1 9 带有事件风险的永久美式期权和g a m e 期权的定价 设( n ，f = 五 t ；r + ，p ) 是个带流的完备的概率空间，f = 五 ：。r + 是满 足通常条件的n 代数流，我们假设r 关于f 不是停时，并且记肌= 如。m 以及 m = o ( n s ，0 ss 兰t ) 因此，h = 他) 。r + 是满足通常条件且使得r 是停时的 最小的一代数流令吼= 五v ，g = 慨 。r + 记咒；一( u 五) t e r + 2 i ( h + ) 假设及推广 ( 彤) 任意的f 一平方可积鞅是个g 平方可积鞅 这个假设隐含着f b r o w n 运动仍然是g b r o w n 运动文献 1 0 1 1 1 1 1 2 已经证 明了假设( h + ) 是与下面命题是等价的： ( h i ) v t r + ，给定五，只。与吼是条件独立的 ( h ；) v f ，r o t 吼，e ( f g t i 五) = e ( f i 五) e ( g t l ，气) ( h ；) v t r + ，v g t 曼，e ( c - j ，) = f ( g # l j 巳) ， ( h j ) v t r + v f j 。e ( f l g t ) = e ( f l 五) ( h ；) v s t ，p 卜茎t l 民) = p ( t 至t l f , ) 当t 【o ，= f _ j 时，上面的结论中把”o o 改成 ”丁 ”仍然是成立的( h ；) 在很多关于违约风险的文章都出现，并不需要( h + ) 假 设m a d a n 和u n a l ( 1 9 9 8 ) “】的主要结论都是在( h ；) 的假设下成立的 命题2 1 1 1 q 在( h + ) 假设下，若d fp ( r t 1 五) 是连续的，且对任意的t ，d t 1 下面两个条件是等价的 ( a ) 过程e 限! t l 五) 是递增的 ( b ) 如果( k ，t2o ) 是f 一鞅，则m 。t o ) 是g 鞅在这个条件下对任意的f 可料过程h e ，盼) = s t ，+ ，t e ( ，。 ( u ) e x p 【r ( t ) 一r ( u ) 】打( 训五) 其中r ( ) l n ( 1d 。) 2 2 关于s n e l l - 包络的性质 8 萱壅至堡墨堕堕垂叁去壅塑壑鱼旦! 坐塑壑塑窒笪 9 如果( 岛) 是一个b l a c k - s c h o l e s 模型中的风险资产价格，由1 2 0 11 2 1 我们知道执 行价格为k 的美式看跌期权在t 时刻的折现价格 = e s ss u pe e 一( 一岛) + 1 五) t ( 口 = 艘尊e 口( p n ) l 凡j l 由条件期望的单调收敛 定理，我们有 f 【j ( r ) i 五，】= ，墨恐e e j ( 加) l 再l i ，o = ，里恐e p ( 肌) l 兀jn o o e s ss u p e j ( p ) l 兀】) p m 。，7 另一j 方面，对任意的p m ，有j ( r ) e 【j ( p ) 孵l ，在这个不等式两边取条件期望 可得研，( r ) i 兀l e 【，( 力i 凡l ，这就可以推出e f ( r ) 1 只 e s 8s u p p m 。， e 旷( p ) l 矗】) 式( 2 2 ) 成立由于e s ss u p 。m 。 研，( p ) 防l e s ss u p ，m ， e p ( p ) 阮l = j ( ) ，由 式( 2 2 ) 有式( 2 3 ) 成立在式( 2 3 ) 中令”= 0 我们可以得到式( 2 4 ) 对任意的t ，m o t 定义朋舅= r m 。f ；r uo sp q ) ，并定义个随 机变量族 ，+ ( ) = s u p e 【，( r ) l 矗】) ”m o t r e j o in , 7 证毕 命题2 3 对任意的”朋叭对任意的单调递减序列 ) 黯。m 0 ，u = l i r a a 8 ，我们有 j ( t ，) = j + ( ) vi ( v ) n ， 正j + ( t ，) d p 。恕上7 沁) d p ，对任意的a 兀 推论2 1 对任意的”m o n 我们有1 ( v ) = ( u ) ， 定理2 1 ( ) 的8 i - e l l 包络为j 。( ) ，则对任意的u m m 一( ”) = j ( ”) 且 一( ) 控制玎) ( p ( j o ( t ) 2 邢) v 0 t t ；1 ) ，如果( - ) 是另个r c l l 上鞅控制 h ) ，贝4 ( ) 也控制j o ( ，) 定理2 2 个停时r 是最优的，即 e j ( r ) = j o ( o ) = s u pe ( p ) ， ( 2 5 ) 1 0 带有事件风险的永久美式期权和g a m e 期权的定价 当且仅当 且停止上鞅 了0 0a7 - * ) ，五，0 茎t 曼丁】是个鞅 ( 2 6 ) 证明：必要陛：假设一个停时r + 是最优的，由式( 2 4 ) 及最优停时的定义， 我们有e ，( r + ) = s u p ，。m ，e i ( p ) = e j o ( r ) ，同样的，对任意的”m o t ，e i ( 7 - + ) = s u p p h 。一e i ( p ) = e j o ( 7 - a 盯) 已知p 【j 。0 ) j 0 ) ，v ost 曼t = 1 且e i ( t + ) = j o ( 0 ) = s u p ，。m 。，e i ( p ) ，这样就可以得到式( 2 5 ) ，而且 一( a a r + ) 不依赖于口我们 就可以得到式( 2 6 ) 充制生- 由式( 2 5 ) 及式( 2 6 ) 可得e i ( 7 - + ) = e 户( r 4 ) = j o ( o ) = s u p ，m 。，e l ( p ) 证毕 定理2 2 描述了最优停时的本质特征，下面的定理我们给出最优停时存在的充 分条件通过构造个停时族逼近于最优停时对任意的 ( 0 ，1 ) 和”m o t 定 义停时 d 1 ( u ) = i n f t ( u t 】：a 。，o o ) ，( ) a t 一。t 由，( ) 及。，o ( ) 的右连续性，过程 d ：0 t5t ) 是右连续的进一步，对任意 的u e m o t 有 a j o ( 砂( ) ) 曼i ( d 1 ( u ) ) 一 ( 27 ) 命题2 4 任意的t ，m o t 和0 a 1 ，我们有 j o ( u ) ) = e j o ( ( 1 棚l 五】ns 对给定的t ，a 4 。，停时族 d 1 o 。一。关于a 是单调不减的， 义极限停时 d t ( u ) 一l i m d l ( ”) 因此我们可以定 ( 2 8 ) 堑查至堡墨堕! ! 垒叁薹查塑壑塑堡! 坐塑壑箜塞坌 定理2 3 假设比) 足关于轨道连续的，且e s u p o ! 蜓，例 o 。则对任意的 ”, m o t ，停时d + ( ”) 如式( 2 8 ) 所定义，满足 e i ( d t ( ”) ) 1 兀】_ 一1 0 ( t 棚= e s ss u ? e j ( p ) ) l 元】 ( 29 ) p m t ，t 特别的，当t 一0 时，e i i ( d 。( ”) ) 】j o ( o ) 进步有，对任意的”a 4 0 r 有 d + ( u ) = i n f te u ，明；j o ( t ) = ，( ) ) 口s ( 2 i o ) 证明：由命题2 3 和不等式( 2 7 ) 可以得到 一( ”) = e i j o ( ( ”) ) l 凡】1 a e i ( d 1 ( ”) ) i 兀1 ns 对任意的ae ( o ，1 ) ，