（基础数学专业论文）＃富足半群的性质及其应用.pdf

l 。富足半群的性质及其应用 摘要 本文主要研究a 一富足半群的性质及其应用，全文共分四章 第一章绪论给出口一富足半群的基本概念及其发展背景，这些预备知识为 下文的进行打下铺垫 第二章研究g r e e n 关系的一些性质本章共分两节，第一节为预备知 识，介绍口一富足半群的一些基本概念，为g r e e n 关系的研究作出必要的准 备第二节推广了g r e e n + 一关系的相关结果，并给出若干4 一富足半群的性质 第三章研究l 一富足半群上的自然偏序本章以幂等元的形式给出自然 偏序的另一种刻画 第四章研究强e l 一富足半群本章共分三节，第一节完备右日富足半群， 研究它的结构并给出它的若干等价刻画第二节强e _ 富足半群上的同余关 系，本节给出包含在z ，瓦，死中的三个最大同余，利用这三个同余关系得到许 多等价条件，最终利用幂等元半格e ，刻画了强d 一富足半群的性质第三节 研究强e _ u - 富足半群上的平移壳，通过定义的两种关系，得到强b _ 富足半 群的平移壳是强e - u 一富足半群 关键词 1 富足半群，g r e e n 一关系，自然偏序，理想，同余，平移壳 曲阜师范大学硕士学位论文 p r o p e r t i e sa n da p p l i c a t i o no fl a b u n d a n ts e m i g r o u p s a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d yl a b u n d a n ts e m i g r o u p s i tc a nb ed i v i d e d i n t of o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h e r ei sab r i e fi n t r o d u c t i o n t h eb a s i cc o n c e p t s ， n e c e s s a r yp r e l i m i n a r i e sa n di t sd e v e l o p i n gb a c k g r o u n da r eg i v e n i nt h es e c o n dc h a p t e r w es t u d ys o m ep r o p e r t i e sa b o u tg r e e n s 一一r e - l a t i o n s i tc o n t a i n st w os e c t i o n s i ns e c t i o n1 ，s o m eb a s i cc o n c e p t sa n dp r e - l i m i n a n e sa b o u tl a b u n d a n ts e m i g r o u p sa r ei n t r o d u c e d ，t h e ya r en e c e s s a r i l y p r e p a r e dt os t u d yg r e e n s 一一r e l a t i o n s i ns e c t i o n2 ，w eg e n e r a l i z et h er e l a - t i v er e s u l t so fg r e e n s 一r e l a t i o n s a n dg e ts o m ep r o p e r t i e sa b o u t 口一a b u n d a n t s e m l g r o u p s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w es t u d yt h en a t u r a lp a r t i a lo r d e r o n 口一a b u n d a n t s e m l g r o u p s i tg i v e sa n o t h e re q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z eb yi d e m p o t e n te l e m e n t s i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w es t u d ys t r o n g l ye a - a b u n d a n ts e m i g r o u p s i t c o n t a i n st h r e es e c t i o n s i ns e c t i o n1 ，w ei n t r o d u c ep e r f e c tr i g h t # - a b u n d a n t s e m l g r o u p ，w ei n v e s t i g a t et h es t r u c t u r eo fp e r f e c tr i g h tl a b u n d a n ts e m i g r o u p s ， a n dg i v es o m ee q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z e s i ns e c t i o n2 ，c o n g r u e n c er e l a t i o n so n s t r o n g l ye - 口一a b u n d a n ts e m i g r o u p s a r ei n t r o d u c e d ，t h et h r e eb i g g e s tc o n g r u e n c e r e l a t i o n sc o n t a i n e di nz ，瓦，丙a r eg i v e n ，m a n ye q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z e sa r eg i v e n b yt h et h r e ec o n g r u e n c er e l a t m n s f i n a l l y ，w ec h a r a c t e r i z et h ep r o p e r t i e so f s t r o n g l ye 4 - a b u n d a n ts e m i g r o u p sb ye i ns e c t i o n3 ，t h et r a n s l a t i o n a lh u l l o fs t r o n g l ye 口a b u n d a n ts e m i g r o u p s b yt w od e f i n e dr e l a t i o n s ，w eo b t a i n t h a tt h et r a n s l a t i o n a lh u l lo fs t r o n g l ye a - a b u n d a n ts e m i g r o u p si ss t r o n g l y e 一# 一a b u n d a n ts e m i g r o u p s i i 曲阜师范大学硕士学位论文 k e y w o r d s l a b u n d a n ts e m i g r o u p s ，g r e e n sr e l a t i o n s ，t h en a t u r a lp a r t i a lo r d e r ，i d e a l ， c o n g r u e n c e ，t h et r a n s l a t i o n a lh u l l i l l 第一章绪论 半群是一门基础课，它是群和环的推广从五十年代很多入( 如h o w i e ， f o u n t a i n ，l a w s o n ，b l y t h 等) 就开始研究正则半群( 【1 ，2 】等) ，当g r e e n 一关 系被给出后，许多半群学者利用g r e e n 一关系对正则半群( 如c l i f f o r d 半群， 逆半群、纯整半群、完全正则半群等) 作了深入的研究所以g r e e n - 关系在 正则半群的研究中所起的作用是显而易见的 在正则半群发展到一定阶段后，f o u n t a i n 3 1 于1 9 7 9 年利用g r e e n - 关系 把正则半群推广到富足半群f o u n t a i n 4 1 利用g r e e n 枷关系引入了富足半群 的概念，从而把g r e e n - 关系推广到g r e e n 关系，其关系如下t c 。= ( ，b ) s s ：( v x ，y s 1 ) n z = a y = b x = 6 可) ， 冗= ( 8 ，b ) s s ：( v z ，y s 1 ) z n = y a = x b = 掣6 ) ， 咒。= c n 冗+ d = v 冗+ 令s 是半群，若s 的每个c 一类含有幂等元，则称s 为右富足半群，记 为r p p 对偶地，若s 的每个7 才一类含有幂等元，则称s 是左富足半群，记为 l p p 若s 既是右富足的又是左富足的，则称s 是富足半群很多半群学者从 事富足半群的研究，如f o u n t a i n ，e l - q a l l a l i ，b l y t h ，n a m p o o r i p a d m c f a d d e n ， 郭聿琦，孔祥智，郭小江等，他们为半群的发展开辟了新领域 1 9 8 0 年e l q a l l a h 5 】提出了半富足半群的概念，从而把富足半群推广的半 富足半群，相应的g r e e n 一关系被推广到g r e e n 关系其关系如下： c = ( n ，b ) s s ：( r e e ( s ) ) a e = a 咎b e = 6 ， 7 已= ( o ，b ) s s ：( r e e ( s ) ) e a = a 营e b = 6 ) ， 萄：z n 宠 其中，c 是右同余，冗+ ，冗是左同余由于c 不是右同余，冗不是左同 余，所以富足半群的很多性质不能推广过去，于是郭聿琦教授与孔祥智教授分 1 第一章绪论 别在富足半群和半富足半群之问定义了一类半群称之为i - 富足半群【6 】，于是 在两类g r e e n 一关系之间定义一类新g r e e n 一关系从而c c ccc 从下面的例子可以看出，g r e e n 一关系不同于g r e e n 一关系和g r e e n 关 系 例子；设s = 1 ，b ，e ，d ，o ，a 2 ，) 是半群，其乘法运算由下面的c a y l e y 表给出； 经计算可得，s 有四个冗+ 一类： 1 ， ，( o ，n 2 ， c ，田；兰个瓦一 类： 1 ) ， 6 ，a ，a 2 ，) ， c ，d ) ；两个冗一类： 1 ，b ，a ，a 2 ，) ， c ，d 本文第二章我们主要给出口富足半群的相关概念及g r e e n 关系的一些 性质，推广了【4 ，7 】中g r e e n + 一关系的相关结果，从而把富足半群的结果推广 到口- 富足半群上 偏序关系是研究半群的有效工具，【2 】2 给出了逆半群的自然偏序， 【8 ，9 】 给出了正则半群上的自然偏序【1 0 ，1 1 】研究了富足半群上的自然偏序，本文 第三章主要研究h 富足半群上的自然偏序，本章以幂等元的形式给出自然偏 序的另一种刻画，推广了【l o 】的相关结果 c l i 舫r d 半群在正则半群理论中起着十分重要的作用许多学者对它进行 了多种重要的推广，并取得了一系列的结果( 【1 2 ，1 3 】等) f o u n t a i n 1 2 】引入了 2 曲阜师范大学硕士学位论文 具有中心幂等元的御半群，即c r p p 的概念，这是c l i f f o r d 半群的重要推 广之一 c r p p 半群在富足半群理论的地位类似与c l i f f o r d 半群在正则半群理论 中的地位【1 4 】引入了完备r p p 的概念利用c r p p 半群和正规带的织积给 出了完备r p p 的结构，并给出完备r p p 的等价条件第四章第一节引入完备右 i 一富足半群的概念，研究它的结构并给出它的若干等价刻画，推广了【1 4 】的结 果 同余在各类半群的研究中有非常丰富的结果例如【1 5 ，1 6 】等研究了正则 半群上的同余，【1 7 ，1 8 】等研究了完全正则半群上的同余，【3 】研究了富足半 群上的同余受他们的影响，第四章第二节研究_ 富足半群上的同余本节 给出包含在z ，瓦，死中的三个最大同余，利用这三个同余关系得到许多等价 条件，最终利用幂等元半格e ，刻画了强b _ 富足半群的性质 平移壳的研究在半群的代数理论中占据重要地位【2 8 】对于许多类型半群 的平移壳，都已经进行详细的研究( 见文献【2 8 3 l 】) ，其中的一个重要结果 是：逆半群的平移壳仍为逆半群【2 9 】文献【3 0 】将这一结果推广到适当半群【3 l 上 【3 l 】在文献f 3 0 】的基础上进一步研究型一a 半群的平移壳本章第三节 研究了口- 富足半群上的平移壳，得到强b # 富足半群的平移壳是强e d 。富足 半群推广了以上文献的结果 文中未说明的术语与符号见【2 】【3 】f 4 】【2 6 】f 27 】 3 第二章g r e e n 关系 g r e e n 一关系在正则半群、富足半群的研究中起到了重要的作用本章主 要研究它在o - 富足半群中的作用首先给出9 - 富足半群的左( 右卜理想的概 念，并在此基础上定义了一关系，研究g r e e n 一关系的一些基本性质，推广 了文【4 ，2 2 】的相关结果，并研究口富足半群的若干性质 2 1预备知识 首先给出4 一富足半群上的g r e e n 一- 关系 6 】： z = 0 ，b ) s s ：( v e ，e ( s 1 ) ) n e = a s b e = 6 ， 琵= ( n ，b ) s s ( v e ，e ( s 1 ) ) e n = f a 亭e b = ，6 ) 习= z n 瓦万= z v 瓦 易知c 和冗是等价关系以免混淆，我们记包含元素。的半群s 的c 一 类定义为l 。或者l 。( s ) ，我们知道如果s 是正则半群，那么s 的每个c 一类 至少包含一个幂等元，同理可得s 的每个冗一类【4 】中如果半群的每个一 和冗+ 一类包含一个幂等元，称其为富足半群若半群s 每个z 一，( 瓦一) 类包 含一个幂等元，称此半群为右( 左) 4 富足的，若半群s 既是左口。富足半群又 是右口一富足半群称其为口一富足半群易得c c ，如果正则元a ，b s ， ( a ，b ) z 当且仅当( a ，b ) 特别地，在正则半群中c = = z 我们已经 定义了g r e e n 关系；c ，冗和咒，d 我们称口- 富足半群s 的左( 右) 理想 ，是s 的左( 右) 一一理想，如果对任意的a i ，都有l 。，( r 。，) s 的子 集，既是s 的左理想又是右理想，称其为s 的理想 设s 是理想，我们定义包含元素。最小的一理想为，( o ) ，并且定义 了= ( o ，b ) s s ：了( o ) = 了( 6 ) ) 如果s 是正则的，那么s 的每个左( 右， 双边) 理想是左( 右，双边) 理想另外，若s 为日一富足半群，幂等元e s ， 4 曲阜师范大学硕士学位论文 左( 右) 理想s e ( e s ) 是左( 右) 理想若o s e ，那么n = a e ，并且对于任意 元素b _ n ，都有b = b e s e 2 2 g r e e n 一关系 引理2 2 1 设e 是口- 富足半群s 的幂等元那么对a s ，下列条件等 价： ( 1 ) ( e ，a ) ； ( 2 ) a e = 口，对任意的g ，h e ( s 1 ) ，a g = a h 辛e g = e h 引理2 2 2 设s 为4 一富足半群，设，是s 理想且，l 那么， 是t ，理想 证明显然，是，的理想令a i 且在，中b 与。是z 一相关设 e ，是幂等元，且e 乙( s ) 口，z ( s ) b ，又j 是s 的理想，那么e ，j 从 而e c f 所以在s 中b 与a 是z 一相关的，故b i 因此l ( j ) j ，同理可 得见( j ) ，所以，是j 的一- 理想引理得证 1 引理2 2 3 设s 是口富足半群，设，是右理想并且t ，是左理 想，那么i j = i n j 证明 显然，n ，令a inj ，因为s 是_ 一富足半群，则存在 e e ( s ) 使得e r a 又e j - ，a j ，从而n = e a i j 引理得证 1 引理2 2 4 设s 是口一富足半群，若 厶：o r a ) 是s 的理想( 左一一 理想，右理想) 族，那么 ( 1 ) n 厶：o t a 是一一理想( 左理想，右一一理想) 或为空； ( 2 ) u 厶：o t a ) 是理想( 左理想，右一理想) 令a 是半群s 的元素，那么包含a 的最小的理想了( o ) ，最小的左( 右) 理想z ( n ) ( 再( n ) ) ，我们称了( n ) ( z ( o ) ，瓦( n ) ) 是由a 生成的主理想( 主左 - - 理想，主右- 一理想) 显然z ( o ) 了( o ) ，且再( o ) 了( n ) 下面给出理 想的等价刻画： 5 第二章g r e e n 关系 引理2 2 5 设s 是l 一富足半群，n s 则 ( 1 ) b ( 口) 当且仅当存在o , o ，d l ，a n 只z l ，z 。s 1 使得 o = 咖，b = 口n ，且( n l ，毛吼一1 ) c ( i = l ，n ) ； ( 2 ) b r ( a ) 当且仅当存在咖，口l ，b 。s ，z l ，z 。s 1 使得 a = a o ，b = a n ，且，a l - i x l ) 冗0 = 1 ，死) ； ( 3 ) b j ( a ) 当且仅当存在n 0 ，口l ，口n s ，x l ，z 。，y l ，s 1 使得o = 口o ，b = a n ，且( 8 ；，z ；8 | - 1 弘) d0 = 1 ，1 ) 证明( 2 ) 和( 3 ) 的证明与( 1 ) 类似，我们只证明( 1 ) 令，是满足上 述条件的s 中元素b 的集合对于任意b i ，则存在知，8 l ，n ，i s ， 。l ，z n s 1 ，使得a = o o ，b = 1 7 , n ，且( o ：，。i 口l 1 ) z ( t = l ，n ) 若 a ；一l z ( o ) ，那么, t s a l - 1 i ( o ) 因为z ( n ) 是左理想，所以o ；z ( n ) 又 a o = z ( n ) ，故吼乙( o ) 0 = 0 ，1 ，礼) 特别地，b z ( o ) 因此就有 ，- i ( a ) 另一方面，若b i ，显然对于s s ，有s 6si ，且己互f 因此f 是左 一理想又口i ，故i ( a ) = i 引理得证 i 引理2 2 6 设s 是4 一富足半群，若a ，b s ，则 ( 1 ) o z - 6 当且仅当z ( n ) = z ( 6 ) ； ( 2 ) o 佗6 当且仅当r ( a ) = 兄( 6 ) 证明( 1 ) 若n _ 6 ，则- l ( a ) = - l ( b ) 假设z ( o ) = z ( 6 ) 那么b - l ( a ) ，并 且据引理2 2 5 ，存在a o ，a l ，n 。s ，z l ，z n s 1 ，使得o = 印，b = o 。， 且( a 。，毛o ；一1 ) c ( z = 1 ，n ) 设e ，e ( s 1 ) 使得a e = o ，如果 o ；一l e = a , - l y ，那么x z a 。一1 e = z l o l l ，又口t z 0 l 吼一l ，从而o l e = a d 又因 b = ，故b e = b 1 类似地可证，g ，h e ( s 1 ) 且的= b h ，那么a g = a h ，因 此。z 6 ( 2 ) 若0 7 _ 6 ，则再( ) = 瓦( 6 ) 假设瓦( o ) = 瓦( 6 ) 那么b 瓦( n ) ，并且 据引理2 2 5 ，存在0 0 ，a l ，a n 只o l ，z 。s 1 ，使得n = n o ，b = ， 且( o ：，a ：- l x 。) 瓦( 2 = 1 ，n ) 设e ，e ( s 1 ) 使得= ，o 如果 6 曲阜师范大学硕士学位论文 e a s l = ，n i l ，那么e o a l 戤= ，n i l t 又a i 瓦啦一l 甄，从而e a s = ，瓯又因 b = a n ，故e b = b 类似地可证，g ，h e ( s 1 ) 且g b = h b ，那么g a = h a 因 此口砌引理得证 i 文献【l o 】中，在半群s ，? 上，同态：s t 为良同态，如果任意 n ，b s ，a - l ( s ) b 则n 面( t ) 6 ，且。瓦( s ) 6 则n 毋瓦( t ) 硒另外，又因为幂等元 的同态像也是幂等元，从而4 - 富足半群的同态像也是一富足半群如果p 是 同余，s 到s p 的自然同态影射是良同态，那么就称半群s 上的同余p 是良 同余 下面定理推广了【2 】中l a l l e m e n t 引理 定理2 2 7 设s 是口一富足半群，e c s ) 是s 的子半群，令p 是s 上的 良同余若a p e ( 彤p ) ，那么存在z e ( s ) ，使得a p = x p 证明 设e ，f e ( s ) 且a c e ，n 瓦，因p 是良同余则有a p - z e p ，a p 瓦f p 若p ，e p ，p 都是幂等元，那么a p c e p 且a p t 已y p 所以 ( e p ) ( p ) = e p ，( a p ) ( e p ) = a p ， 并且 ( a p ) ( f p ) = p ，( f p ) ( a p ) = a p 又e f e ( s ) ，用二三两个式子得到： ( f p ) ( e p ) ( f p ) = ( a p ) ( f p ) ( e p ) ( f p ) = ( a p ) ( e p ) ( f p ) ( e p ) ( f p ) = ( a p ) ( e p ) ( f p ) = ( a p ) ( f p ) = ，户 又结合一四式可得： a p = ( f p ) ( a p ) = ( f p ) ( e p ) ( f p ) ( a p ) = ( f p ) ( e p ) ( a p ) = ( f p ) ( e p ) = ( f e ) p 又因，e 是幂等元，z 取代，e 即可定理得证 i 7 第二章g r e e n 关系 定理2 2 8 设s 是口- 富足半群。e ( s ) 是s 的子半群，且p 是s 上的 良同余那么s p 是口一富足的，且e ( s 力是s p 的子半群 证明由定理2 2 7 知s p 是口- 富足的，s p 中幂等元集合是 印：e 2 = e s ，它也是s p 的子半群定理得证 1 推论2 2 9 设口：s ? 是口一富足半群s 到半群t 的良同态那么即 是口一富足的，如果，是册的幂等元，那么存在幂等元e 只使得e o = ， 8 第三章# 富足半群上的自然偏序 下面引入1 富足半群z 一和瓦一类上的自然偏序元素z ，y s ，我们称 瓦瓦当且仅当面( z ) 再( ) ，其中五( z ) 是由元素z 生成的主右理想 ( f 3 】引理1 6 ) 同理可定义z 一类上的偏序 引理3 3 1 设s 是1 富足半群，则 ( 1 ) 对任意元素a ，x s ，瓦。瓦 ( 2 ) 若a ，b 是s 的正则元素，那么- o 瓦当且仅当兄风 证明( 1 ) a x a s l ，其为包含元素a 的最小的右理想又因面( o ) 是包含 元素a 的右理想，则有s 1 瓦( n ) ，从而a x 丙( n ) 另一方面，- 元( a x ) 是 包含a x 的最小主右理想，因瓦( n ) 是主右理想，那么再( ) 瓦( 口) ( 2 ) 设z 和y 分别是。和b 的逆元，那么a t 已a x 和b t 已b x ，故瓦( n ) = a x s ， r ( b ) = b y s 由a x s b y 8 ，得出a b ( y s ) b s ，因此吼风 相反地，假设见风，那么a b s l 又存在o s 1 使得a = b x ，根据 ( 1 ) 可得也= 兄妇r b 引理得证 i 回顾【2 4 】中e ( s ) 上定义的偏序u ，对于e ，e ( s ) ，剀，当且仅当 e = e ，= 扎，记作u ( e ) = ( ，e ( s ) 1 1 w e 引理3 3 2 设s 是4 一富足半群，任意元素z ，y s ，在s 上定义如下两 种关系： z ，y 当且仅当瓦瓦，并且存在幂等元，瓦使得x = s y z ly 当且仅当瓦一l ，并且存在幂等元e 瓦使得z = y e 那么，( f ) 是s 上的偏序并且与e ( s ) 上的u 一致 证明由于s 是q 一富足半群，从而满足自反性假设z ，y rz ，其中 z ，y ，z s 那么就有瓦一r ：设存在幂等元，瓦，9 瓦使得z = y ， y = g z 那么r i r g 根据引理3 3 1 ，可得r b ，从而，9 e ( s ) ，9 u 9 铘，9 佗，又 z = ( 乃) z ，9 e ( _ ，) = e ( 瓦) 9 第三章i 富足半群上的自然偏序 于是 r 满足传递性令$ ry ，z ，那么瓦= 瓦，即存在幂等元，瓦 使得z = 向，从而z = y 结合其相似的讨论，得到 r 和s l 是s 上的偏序 显然他们与e ( s ) 上的u 是一致的引理得证 1 我们定义自然偏序= rn 鱼由【8 】中的1 2 可知，如果s 是正则的， 就有，= 1 下面以幂等元的形式给出自然偏序的另外一种刻画 定理3 3 3 设s 是# 富足半群，设以y s ，o s 当且仅当存在幂等元 e ，使得z = e y = ， 证明假设z = e y = ! ，由z = y l 及引理3 3 1 ，可得瓦= 瓦，瓦 取 z + e ( 忍) ，o = 石+ z = z + e y ， 又e z = z ，从而e 矿= 矿因此矿e 是幂等元，从而x + e 瓦故z ry 同理可得z fy 反之，显然定理得证 i 引理3 3 4 令z ，y s ，那么z ry 当且仅当对于每个矿e ( 瓦) ，存 在矿e ( r 。) 使得z + w y + 和z = 矿y 类似可得“ 证明假设x ，y ，那么_ zs 瓦，存在e e ( 瓦) 有z = e y 设 ，e ( 如) ，那么r 。= 磁如= r i 所以e t 已e f w f ，( e f ) y = e y = z 反之。假设存在e e ( 瓦) ，使得z = e y ，又存在，e ( 瓦) ，使得e u ， 那么e = f e ，所以有引理3 3 1 ，可得_ e = 一r i 。_ ，引理得证 i 我们记半群s 的正则元素集合为r e g ( s ) 定理3 3 5 设s 是口一富足半群，在r e g ( s ) 上，偏序，和f 是一致 的 证明设a ，b s ，a ，b 取幂等元，使得，瓦b 由定理3 3 4 ，存在幂 等元e ，使得e 醌，伽，且a = e b 取幂等元夕，使得9 _ 6 又b 是正则的，则 g c b 那么y v b ，且岛是正则口一类，从而存在b - 1 y ( 6 ) ，使得b - l b = g 故b b 一1 冗6 由引理3 3 4 知，存在幂等元e ，使e _ 口，从而e w b b ，a = e b 令 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 e l = b - t e b ，那么 e l 乙，e l u 6 1 b = g ，b e l = ( b b 一1 ) e b = e b = o ， 故a lb 定理得证i 定理3 3 6 设s 是口富足半群，那么 ( 1 ) 若e e ( s ) ，z ，e ( 茹je ) ，那么z e ( s ) ( 2 ) 若。是正则元，b ra ( b l 口) ，那么b 是正则元 ( 3 ) 若z ，y s ，使z 7 西( z z u ) ，z ，| ( z lz f ) ，那么z = y 证明只证明 r ，类似可得 ( 1 ) 如果z ，e 那么存在幂等元，使，氟，则z = i e 故砭瓦，从 而r i r 。，因此e f = ，即，e 是幂等元 ( 2 ) 设a r e g ( s ) ，假设b r 口那么存在，r b ，使得b = f a ，一r b 瓦 设x 矿( n ) ，那么 b z b = f a z f a = f ( a z f ) a 又a x 冗a ，所以 r i r b 见= ， 故r r 。，得出r i r 。从而a z f = ，故 b x b = f ( a z f ) a = ，2 = f a = b ， 因此b 是正则元 ( 3 ) 由z 瓦y ，瓦瓦，存在e e ( 瓦( s ) ) 使得正= e y 由假设e 瓦! ，从 而e y = y = z 定理得证 i 1 1 第四章强d # 富足半群 若幂等元集合e 是右_ - 富足半群s 的子半格，则称此半群为e _ u 拟富 足半群显然且右n 一富足半群的每个z 一类包含唯一个幂等元；若幂等元 集合e 是右口一富足半群s 的中心，则称半群为c 一右4 富足半群对于任 意a s ，若存在唯一一个与。有z 一关系的幂等元矿，使a = + = o r a ，称 此半群为强的本章主要研究强e _ u 一富足半群的一些应用 4 1完备右# 富足半群 本节在强e 一右口一富足半群上定义关系仉得到7 的性质利用关系7 得 到一些好结果，最终利用，y ，得出这类半群的结构定理及其等价条件另外， 给出这类半群的另一种刻画 若e ( s ) 是半群s 的半格，对于任意e e ( s ) ，在e ( s ) 中定义包含e 的 ，- 类为以= e ( e ) 若a = b c ，记e ( a ) = e ( a + ) e ( 6 ) ( e ( c ) ) 引理4 1 1 设s 为强b # 一富足半群，z 为右同余，a ，b s ，则有 ( 1 ) a c b 当且仅当o + = 6 + ( 2 ) ( a b ) + = ( 口+ 6 ) + ，特另0 地取b = e e ( s ) ，( o e ) + = = a + e 引理4 1 2 设| s 是强b 右# 一富足半群，z 为右同余，定义关系，y ：当 a ，b s ，存在e ，f e ( b + ) ，使a t b 当且仅当a = e b f ，那么e ( 6 + ) = e ( a + ) ， 并且，y 在s 上同余 证明若a y b ，根据，y 的定义，存在e ，f e ( 6 + ) 使口= e b i ，从而口= a f ， 又a a + ，a + = a + f 从而 e ( a + ) e ( f ) = e ( b + ) ，6 + 曲+ = 6 + e b f b + = b ， 所以e ( b + ) se ( a + ) ，从而e ( b + ) = e ( a + ) ，研n 自反性，传递性显然因此 ，y 是等价关系 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 下证，y 为右相容的设a ，b ，c s ，a y b ，则a = e b f ，其中e ，e e ( b + ) 那 么 口c = e b f c = e b c = ( 口c ) + b + e b + b c = ( n c ) + b c 又有 ( o c ) + z n c = ( o c ) + b c = ( o c ) ( 6 c ) + z ( c 曲+ ( 6 c ) + 又e 为半格， ( a c ) + = ( n c ) + ( 6 c ) + ，所以e ( ( n c ) + ) e ( ( 6 c ) + ) 根据7 是 等价关系对称可得。( b c ) + ( o c ) + = ( b c ) + ，因此e ( ( 6 c ) + ) e ( ( n c ) + ) 于是 e ( ( o c ) + ) = e ( ( 6 c ) + ) 由a c = ( o c ) + b c ，得a c y b c ，所以，y 右相容的 下证7 是左相容的由a = e b f 及e 是半格，有 c o = c e b = c 6 + e 6 + b f = c b f 则 c a b + = c e b f b + = c b c a = c b f f = c b f = c a 又d z ( c a ) + ，故( ) + ，= ( ) + 又 c a = ( c a ) + c a = ( c a ) + c b f = ( ) + ( c a ) b + ，= ( c a ) b + f 因此 ( c a ) + = ( c a ) + b + ，= ( c o ) + b + = ( c o ) + b + ， 从而 e ( ( c 口) + ) = e ( ( ) + ，) = e ( ( c o ) + b + ) 又 c b = c a b + = ( c a ) + c 吐( ( c 口) + b + ) 由，y 的定义得c a c b ，所以，y 同余引理得证 i 引理4 1 3 条件同引理4 1 2 ，那么 ( 1 ) ，y 是幂等纯的( 即若z 7 是幂等元，则z e ) 1 3 第四章强e j 一富足半群 ( 2 ) 7 n z = 蟊上的恒等关系) 证明( 1 ) 令x 7 e ( 剐7 ) ，则z ，y = ( 。，y ) 2 = ( z 2 ) ，y ，于是存在e ，e + ) 使得z 2 = e z ，从而z 2 = 矿e x i t , + = z ( 2 ) 设( a ，b ) 7 n z ，那么存在e ，e ( 6 + ) ，使a t b 当且仅当a = e b f ，又 因n _ 6 ，男5 么口+ = 6 + ， a = 0 6 + = e b f b + = 6 + e b + b b + f b + = b 引理得证1 半群s 上的同余p 称为良同余，如果满足a ，b s ，n 6 ，那么o p z ( 纠p ) 劬 引理4 1 4 条件同引理4 1 2 ，那么 ( 1 ) 7 是良同余 ( 2 ) e ( 剐，y ) 是s 7 的半格 证明( 1 ) 首先我们证明如果。西，那么对z ，y e ( s 1 ) ，有x 7 ，y 7 e ( s ，y ) 1 ，由( a x ) 7 = ( a y ) 7 ，得到( b x ) 7 = ( b y ) ，y 由a x t a y 及，y 的定义知，存 在g ，h e ( ( o z ) + ) ，a y = g ( a x ) h 又e 是半格，则有 a y = 8 + a y = a + g ( a x ) + ( c 珏) + ( a x ) h = ( o ) + ( a z ) + 9 ( n z ) + ( a x ) h = ( n ) + ( n z ) + ( a x ) h = a x h 又e 是半格。并且n 西，则b y = b x h 又z 是右同余，对任意x s 1 ，a x - z b x ， 从而e ( ( n z ) + ) = e ( ( b z ) + ) ，由此h e ( ( 6 z ) + ) 由 的定义知，( k ，b ! ，) 7 ， 即( b z ) 7 = ( b y ) ，y 同理由其对偶及引理2 2 1 知，a t - ( s 7 ) 5 7 ，所以7 是良同 余 ( 2 ) 由( 1 ) 知纠，r 是右口一富足半群，设z ，y e ( s 7 ) ，由引理4 1 3 ( 1 ) 知 z e ( s ) 又e 为s 的半格，y 为同余，因此e ( 彤，y ) 是纠，y 的半格引理 得证 1 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 在这一部分，我们主要研究完备b 右_ 一富足半群的结构和g 一右# 一富足 半群 定义4 1 5 右# 富足半群称为完备右_ 一富足半群，如果满足下列条件： ( 1 ) s 是强b 右# - 富足半群； ( 2 ) z 在s 上同余 定理4 1 6 设s 是强e 一右o ，富足半群，z 右同余，那么下列条件等 价； ( 1 ) s 是完备右# 一富足半群； ( 2 ) 对所有a ，b s ，( a b ) + = a + b + ； ( 3 ) s y 是d 右口一富足半群，其中，y 是引理4 1 2 所定义s 上的等价关 系 证明( 1 ) 兮( 2 ) 由假设z 是s 上的同余，且e ( s ) 是半格，所以由n z 。+ ， 6 - b + 得，0 6 _ ( 6 ) + ，a b - z a + b + 因此( 0 6 ) + 乙矿b + 因每个- - 类含唯一的幂等 元，从而( a b ) + = a + b + ( 1 ) 号( 3 ) 由引理4 1 2 知7 是s 的同余，又根据引理4 1 4 知s ，y 是右 # 一富足半群若a 7 e ( 7 ) ，则a t a 2 因此存在e ，e ( s ) ，使a = e a 2 ，又 e a = o ，= a ，则a = a 2 ，即a e ( s ) 下证e ( 吖7 ) 是，y 的中心令x 7 s r ，e y e ( 剐，y ) ，则e = e 2 ，从而 由( x e ) e = z e 及x e - z ( x e ) + ，得( z e ) + e = ( z e ) + = e ( z e ) + 又 ( x e ) + ( e z ) e ( z e ) + = ( z e ) + e z e ( z e ) + = ( z e ) + z e ( z e ) + = z e 因为f ( ( z e ) + ) = e ( ( z e ) + e ) = e ( e ( 。e ) + ) ，所以( z e ) + ，e ( x e ) + e ( ( e 童) + ) ，故 x e , e x ，即e ( 剐，y ) 是s 7 的中心因此纠，y 是d 右4 一富足半群 ( 2 ) 净( 1 ) 设n ，b ，z ，y s 1 ，且a 一x ，b l y ，则口+ = 矿，6 + = 旷从而 q + 6 + = 矿旷又有( 2 ) 知，( a b ) + = ( z ! ，) + ，从而a b - x y ，故z 同余 1 5 第四章强b 1 富足半群 ( 3 ) 号( 2 ) 令s ，y 是d 右i 富足半群，则e ( 剐7 ) 是酬，y 的中心由 a , - z a + 7 ，b t z b + 7 ，以及z 是右同余，有 ( a b ) + 霄( s 7 ) ( a b ) 7 = a t b t - z ( s 7 ) a + ，y = 5 7 0 + 仨( s 7 ) b + 7 a + ，y = ( b + a + ) 7 因此e ( ( 0 6 ) + ) = e ( a + b + ) 于是有e ( ( n 6 ) + ) e ( a + ) 和e ( ( 0 6 ) + ) e ( b + ) ， 又o + ( 0 6 ) + c ( 0 6 ) + ，所以( a b ) + = o + ( 0 6 ) + 又0 6 = a b b + ，a b - ( a b ) + 可得 ( 口6 ) + = ( 。6 ) + b + - 因此 ( a b ) + = o + ( 口6 ) + 6 + = 口+ ( 0 6 ) + b + b + = o + ( 6 ) + ( n