（工程力学专业论文）平面RC结构离散变量优化设计方法研究.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 摘要 本文针对复杂钢筋混凝士( r c ) 结构在有限元分析基础上的优化设计润题， 主要研究r c 离散单元和离散变量的优化方法。 一方面，对于复杂的r c 结构，由于简单理论无法用于对结构进行精确的 力学分析，因此对r c 结构的优化设计，只能在有限元分析的基础上采用直接 方法进行计算和研究。另一方面，结构设计的特点决定了设计变量离散化的特 征，使得连续变量的许多成熟优化方法失去了前提或者难以实旖，对离散变量 的优化设计计算方面的研究工作方兴未艾。综合来看，对复杂结构进行次有 限元分析计算的工作量已经很大，如果需要对每一个可行的结构设计方案都计 算一次才能得到最优结果，计算量恐怕难以接受。针对离散变量，寻找和研究 有效、可靠的优化算法和途径，是必要的。 本文所做的主要工作包括： ( 1 ) 研究和讨论了用于r c 平面结构分析的各类单元的剐度矩阵。 在同位移场假设下讨论了r c 平面问题四边形单筋和多筋组合单元、分 离单元及均匀弥散单元的刚度矩阵；并定性地考虑钢筋与混凝土之间的粘结作 用，导出了非同一位移场下r c 平面四边形单元单筋组合单元的剐度矩阵。然 后用一个r c 深梁的例子，比较分析了三类单元的特点以及计算结果的精确度 和可靠性。 ( 2 ) 根据离散变量特征，针对r c 结构的优化设计问题，讨论了直接网格 法、虚实网格法以及网格复合形法等3 种优化设计方法。 从本质上说，这3 种方法都属于直接搜索法。而影响直接搜索法的三大直 接因素是起始点、步长和搜索方向。上述3 种优化设计计算方法，都是试图在 离散网格的基础上，寻找这三者之间的较好的配合，从而提高优化计算的效率 和效果。 ( 3 ) 对一个r c 平面框架结构以最低造价为目标进行了实例优化设计计算， 验证了本文给出的r c 单元和离散变量优化方法的正确性、有效性和计算效率。 关键词：有限元分析钢筋混凝土结构离散变量优化设计 直接网格法虚实网格法网格复合形法 武汉理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t a i m e da tt h eo p t i m a ld e s i g np r o b l e m sf o rt h ec o m p l e xr e i n f o r c e dc o n c r e t e 限c ) s t r u c t u r e sb a s e do nf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s ，t h i st h e s i sf o c u s e so nt h ee l e m e n t a r y s t i f f n e s sm a t r i x e so fp l a n er cm a t e r i a la sw e l la st h eo p t i m a lm e t h o d so ft h e d i s c r e t ev a r t a b l e sf o rr cs t r u c t u r e s 越t ot h ec o m p l e xr cs t r u c t u r e s t h et h e o r i e so fc l a s s i c a lm e c h a n i c sc a nh a r d l y b eu s e dt oa n a l y z et h e i rs t r u c t u r a lr e s p o n s e si nd e t a i la n d a c c u r a t e l y , s ot h a to p t i m a l d e s i g ns h o u l db ec a r r i e do u to nt h eb a s i so ff i n i t ee l e m e n tm e t h o d o nt h eo t h e r h a n d ，t h ed e s i g nv a r i a b l e s a r e n a t u r a l l y d i s c r e t ed u et ot h ec h a r a c t e r i s t i c so f s t r u c t u r a ld e s i g n ，w h e r et h ec o n v e n t i o n a lc o m m o n u s e do p t i m a la l g o r i t h m so ft h e c o n t i n u o u sv a r i a b l e sa r cn o ta b l et ow o r kn o r m a l l y i th a sal o n gw a yt o g of o r d e v e l o p i n g t h eo p t i m a lm e t h o do fd i s c r e t ev a r i a b l e s i nf a c t , t h ec o m p u t a t i o n a lw o r k o ff i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sf o rt h ec o m p l e xr c s t r u c t u r e si se x p e c t e dn u m e r o u sf o r j u s to n et i m e i fo n em u s tg e tt h eo p t i m i z e dr e s u l ta f t e rc a l c u l a t i n ga l lo ft h ef e a s i b l e d e s i g np l a n s ，t h ec o m p u t a t i o n a lw o r km a y b eu n a c c e p t a b l e s o ，i t sn e c e s s a r yt o d e v e l o pa n ds e e ko u tt h ee f f e c t i v ea n dr e l i a b l eo p t i m a lm e t h o d sa n dr o u t i n e so ft h e d i s c r e t ev a r i a b l c s t h em a i nw o r k si nt h i st h e s i sa r ea sf o l l o w i n g ( 1 ) r e s e a r c ha n dd i s c u s s i o no nt h ee l e m e n t a r ys t i f f n e s sm a t r i x e so fv a r i o u s p l a n ee l e m e n t sf o rr c s t r u c t u r e s f i n i t ee l e m e n t a n a l y s i s w i t ha s s u m p t i o no ft h ei d e n t i c a ld i s p l a c e m e n tf i e l d ，t h ea u t h o rd e r i v e st h e f o r m u l a eo fs t i f f n e s sm a t r i xo fp l a n er c q u a d r a n g l ee l e m e n tw i t ho n eo rs e v e r a l t e n d o n si nc o m b i n 缸s e p a r a t ea n d h o m o g e n e o u sm o d e l sr e s p e c t i v e l y t h ec o h e s i v e f u n c t i o nb e t w e e nc o n c r e t ea n dt e n d o ni sc o n s i d e r e dq u a l i t a t i v e l yt of o r m u l a t et h e s t i f f n e s sm a t r i xo ft h ep l a n ec o m b i n e dr c q u a d r a n g l ee l e m e n tw i t ho n et e n d o ni n t h eu s - i d e n t i c a ld i s p l a c e m e n tf i e l d m a k i n ga ne x a m p l eo ff m i t ee l e m e n ta n a l y s i s f o rar c d e e pb e a m ，t h ea u t h o rc o m p a r e sa n da n a l y z e st h ef e a t u r e ，a c c u r a c ya n d r e l i a b i l i t yo f t h e s ee l e m e n t s ( 2 ) i nl i g h t o ft h ef e a t u r e so fd i s c r e t e v a r i a b l e ，t h ea u t h o r a n a l y z e s a n d 武汉理工大学硕士学位论文 第1 章概述 对于钢筋混凝土结构( 言：掣。：产”“咖) ，由于结构材料由钢筋和混凝土 由两种不同性质的材料组合而成，给有限元计算带来较大的困难。 r c 结构在有限元分析基础上的离散变量优化设计，更是一个计算复杂的 难题。如何针对r c 结构的构造特点，减少离散变量、建立高效可靠的优化方 法，是解决这一难题的理论核心与关键过程。 1 1 钢筋混凝土单元模型的发展概况 较早研究r c 单元模型的是d n g o 和a c s o c r d e l i s ( 1 9 6 7 ) 。他们在对钢 筋混凝土平面简支梁的分析计算中，将钢筋和混凝土都离散成三角形单元，按 线性有限元分析钢筋和混凝土的应力；在钢筋和混凝土之间附加了一种沿钢筋 径向和切向都有刚度的粘结弹簧，用粘结力的变化来模拟两种材料的粘结性质； 在梁中预设裂缝来反映混凝土的开裂现象在裂缝两边用不同的节点进行离 散，并在裂缝两侧附加了一种特殊的联结弹簧元，以反映裂缝间的骨料咬合力 和钢筋的销栓作用。显然这种预设裂缝模式只能用来研究梁内部的局部性能， 不能用于连续的全过程分析。 1 9 6 8 年，n i l s o n 对以上工作进行了改进【2 】：不用预先设置裂缝，而按原始 状态计算，直到相邻单元应力超过混凝土抗拉强度，在共同边界处开裂为止( 即 停止加载) 。此时，再按已有裂缝重新进行单元划分及相应的有限元计算。如此 反复，直到破坏为止。以上所述都是模拟钢筋混凝结构的分离单元模式。 1 9 7 3 年，h a n d ，e r ，p e c k n o l d ，d a 和s c h n o b r i c h ，w ：c 等发展了用于 r c 结构的分层组合式单元l3 】：将混凝土按照钢筋层数分成若干条带，并假定每 一条带上的应力均匀分布来进行计算；对一般受弯构件，将混凝土分成7 l o 层即能满足工程要求。这种组合式单元的基本思想是：单元刚度阵的建立，不 仅要考虑混凝土材料的作用，而且要考虑钢筋对的贡献。该思想落实到平面问 武汉理工大学硕士学位论文 题，对应着带钢筋的平面四边形单元：落实到空间问题则对应于带钢筋薄膜的 六面体元 4 1 。这便是r c 结构的组合单元模式。 s u i d a n ，m ，s c h n o b r i c h ，w c ( 1 9 7 3 ) 眠d a r w i n ，d ，p e c h n o l d ，d a ( 1 9 7 6 ) 1 6 1 先后发展和应用了r c 结构的均匀单元模式：将钢筋均匀地弥散于整个块体单 元中，构成连续均匀块体单元。 采用三种模式对梁的一系列剪切破坏实验进行模拟，结果都比较符合实际 因此上述剪切破坏实验的结果，被许多学者作为验证r c 结构有限元分析 正确与否的比较实例。长期以来，三类单元被一直应用，其可靠性和精确性未 被怀疑和深入研究，也没有新的计算模式出现。事实上，除了上述以剪切破坏 实验( 结构、荷载、边界条件都十分简单的情况1 对各种r c 结构分析模式的验证 之外，对于一般复杂的结构和复杂工况，各种计算模式对破坏情况的模拟是否 也符合实际，并未见到进一步的实验检证和理论阐述。 以上三种单元模式的共同特点是刚度计算相对比较简便。但直观判断，它 们未必符合钢筋混凝土单元本身的构造所包涵的力学性态。初浅的分析可知， 三种计算模式都有自身的缺陷： 钢筋混凝土块体的力学行为不是各向同性和均匀的，因此采用均匀单元模 式十分粗糙。一般而言，只有当单元划分较小、且处于拉压状态时，其刚度阵 的力学性态比较符合构造实际( 如简支梁的剪切实验) ，而在拉压、弯、扭联合 作用下，其刚度阵的力学性态与实际相差甚远。因此，这类单元虽计算简便， 其可适用性值得探讨研究。 组合单元模式采用线性叠加原理模拟r c 结构在线弹性范围内的响应无可 厚非，但是找到既简便可行、概括一般，又比较贴近实际情况的组合方式的道 路还很长。例如，将钢筋转变成钢筋薄膜形式再与混凝土进行组合( 空间问题1 的计算效果究竟如何，应视具体情况而定：若块体单元较小，所处部位主要承 受拉压作用，可能有较高的精度：若块体单元较大，钢筋布置较稀疏，所处部 位又主要是承受弯扭联合作用，一般说来精度较差；若单元较大，布筋较稀， 所处部位又是承受弯剪作用，则钢筋薄膜是对实际钢筋刚度的削弱；相反，单 元较大而钢筋层布筋较密时，钢筋薄膜比较符合构造实际，因而计算精度较高， 等等。 2 武汉理工大学硕士学位论文 从有限元分析理论来看，采用分离单元模式是可行的，但计算耗费巨大， 难以普遍采用。一般而言，钢筋直径相对于混凝土尺寸，几乎小到可以略去不 计。即使是平面问题，要在每根钢簸狭长面上离散成若干面单元，除了简单构 件外，实际上是不可取的；对复杂的r c 结构，特别是空间问题，除了离散成 杆单元外，其它任何形式的单元都是行不通的，或者说是没有实用意义的。因 此，在某种形式的位移场下，将单元内的可能是任意布置的钢筋作为弹性杆， 考虑它对单元剐度阵的贡献，倒是值得研究的问题。 1 2 离散变量优化方法发展概况 r c 结构优化设计，一般都是离散变量优化设计，应采用离散变量的优化 方法。 由于设计变量的离散性，导致目标函数和约束条件的不连续性，这使连续 变量优化分析方法的应用受到限制。离散变量优化的数学模型属于非凸规划， 使得连续变量中的判优条件和理论也都失去了意义。 针对离散变量特征，提出新的优化方法，是近几十年来离散变量优化设计 研究的主体内容，并取得了一定的成果邮】。但已有的离散变量优化方法，还难 以适应r c 结构的构造特征所造成的计算过程的复杂性。因此，应该针对r c 结构的实际来研究优化设计理论与方法。 1 2 1 r c 结构离散变量优化设计的难点 针对r c 结构的复杂性，解析的数学工具用于离散变量的优化显得力所难 及，必须采用组合数学方法，而这种方法在组合优化数学中又属于n p 困难问 题f 1 仉1 ”，这正是r c 结构的优化设计难点之所在。 如果离散变量数为 ，其显式计算函数有两类，即 q ) 一善c f 再i ，2 ) = 善t ，( 1 - 1 ) 它们分别称为多项式时间函数和指数时间函数，其中c i 、e l 为同阶有界常数，m 为许用离散集的元素个数。 3 武汉理工大学硕士学位论文 显然，在多项式时间算法中，计算量按离散变量数的幂次增长；在指数时 间算法中，计算量按某一自然数( 例如2 或3 ) 的指数n 的增长。 例如，当 0 ) 鼍 ，j ( n ) = c l n 时，计算量与变量数成正比；当 o ) 确，2 ( n ) - - c i 2 时，计算量按n 2 增长；当f 2 ( n ) 吼，2 0 1 ) = 8 2 2 n 时，计算量按2 的指数n 增长。 一般说来，当n 较大时，指数时间算法比多项式时间算法的工作量大很多， 例如当n = 2 0 时，f 2 ( n ) = e 2 2 n c 2 n 2 _ 0 ) 。 在具有n 个设计变量的优化中，若可行方案集的元素有m 个时，则组合数 为m “。只要m ，n 稍大，则组合数大得惊人：m = 3 ，n = 1 0 时，组合数为5 9 0 4 9 ； 研= 3 ，n = 2 0 时，组合数为3 4 8 6 7 8 4 4 0 1 。可见，组合数随m ，l 的增长而急剧增 长。通常称这种增长为“组合爆炸”。因此，为了避免“组合爆炸”，必须研究多 项式时间算法，即直接法。 1 2 2 离散变量优化方法发展概况 以往用连续变量优化方法来求解离散变量结构优化问题，通常是将所得到 的连续解向靠近该值的离散集元素圆整。大多数情况下，这种结果不是真正的 离散变量最优解，特别是对复杂结构，两者可能相差甚大。 在直接针对离散变量的特点研究优化方法方面发展很慢，特别是针对离散 变量r c 结构的大规模优化设计问题，迄今尚没有有效的方法；至于形状优化、 拓扑优化等问题，研究成果更是屈指可数。 1 ) 低层次离散变量优化方法发展概况 针对特定的简单结构提出的离散变量优化设计方法，可分为三大类： ( 1 ) 精确算法枚举法、隐枚举法、g o m o r y 割平面法【1 2 】、d a k i n 改进的 分支定界法1 1 3 1 和b a l a s ( & j ( 0 ，1 ) ) 规划法【1 4 】，动态规划法等。这些方法的共同优 点是当约束函数为离散设计变量的显式函数时，可求褥全局最优解；共同缺点 是只能解较小规模的问题，离散变量的个数限于1 0 一2 0 之间。这些方法中枚举 法的效率最低，其它方法则相对高一些。 还有一种近似的精确算法，就是1 9 8 3 年t e m p l e m a i n 和y a t e s 1 6 蝌对桁架 离散变量优化问题，提出了离散变量优化问题转化为连续变量优化阀题的解法： 将一根杆离散成多个杆单元，使单元数等于许用离散集元素的个数，且各个单 4 武汉理工大学硕士学位论文 元的面积取为离散集元素所对应的已知面积，并以各单元长度作为设计变量。 这样，使离散变量优化问题转化成以单元长度为连续变量的线性规划问题。该 法的优点是降低了求解的难度。缺点是当许用离散集元素较多时，设计变量数 则按照元素的个数的倍数增长，而且只适用于常内力单元，且不能处理变量连 接问题。 ( 2 ) 近似算法求得近似最优解并估计其与精确解的最大误差。该方法优 点是可解相对较大的问题，缩减计算时间，但由于确定相对误差的界非常困难， 所以目前只有很少几个问题有近似算法。如( 0 ，1 ) 规划的几种相对差商法等， 它们可以给出近似最优解的误差估计公式及对近似最优解的修正算法。若最大 误差在工程允许范围内，或者利用改进的方法使得最大误差限制在工程允许范 围之内，则该方法不失为一种有效方法。然而其中可行解的计算需要针对特定 的问题使用特定的解析算法。 ( 3 ) 启发式算法。可以求得近似最优解，但无法估计与其全局最优解的最大 误差。它也属于近似算法，但与前者不同之处在于针对特定问题用连续变量优 化解进行圆整的方法或某种特定的数值方法求可行解。该法的形式很多，实际 应用中主要有以下几种： 连续优化解的圆整法：将原离散变量优化问题作为连续变量优化问题求 解并予以圆整后作为离散变量问题的近似最优解。该方法可以应用成熟的连续 变量优化法，但是实践证明对许多结构，特别是较复杂的结构，圆整解不是优 化的解，有时相差甚远。 分支界定法：当解稳定与收敛时，可求得局部最优离散解；但是缺点是 计算工作量大，解题规模受到分支界定的限制，可能出现解的振荡和不收敛。 ( 蔓) t a b u 搜索法f 1 8 】：借助一个记忆装置i t a b u 表，可以使搜索过程避免 落入局部极小的陷阱中，继续搜索全局最优解，从而增强了获得全局最优解的 可能性。 两级优化法【1 9 1 ：即单元级的满应力优化和结构级的满位移优化。两级优 化分别独立进行，先进行满应力优化，然后检查位移约束再进行满位移优化。 加大对减少位移贡献最大的杆件直到满足位移约束为止，该方法只适用于杆件 结构，而且从方法上说两级优化之间缺乏协调，无法保证得到的结果是最优解。 武汉理工大学硕士学位论文 遗传算法( g a ) f 2 啦! l ：近几年发展起来的一种启发式算法。它不能证明肯 定会求得全局最优解，但可逼近全局最优解。当约束函数是设计变量的显式函 数时，该法比较有效。但如果约束函数是设计变量的隐函数，使用该方法导致 结构的重分析次数太多，工作量太大。一般一个群体至少需要1 0 个个体，需要 经过3 0 代的筛选以寻求最优解，于是需要进行3 0 0 次的结构重分析。对设计变 量较多、规模较大、离散集元素较多的问题，一个群体可能需要5 0 甚至更多的 个体，需要5 0 甚至更多代的筛选，因而结构重分析次数达到2 5 0 0 甚至更多。 即使利用近似重分析技术和缩小各变量相应的可行集，也不能从根本上消除这 缺点。 模拟退出法( s i m u l a t e da n n e a l i n g 2 2 】) ：也是近年来发展的一种启发式算 法，它模拟固体退火过程进行结构优化设计，与遗传算法一样，结构重分析次 数多，计算工作量大。 离散对偶规划法：也是一种利用成熟的连续优化法间接求解离散问题的 方法。其主要缺点在于求解非凸规划问题时，会存在对偶间隙而难以求得原离 散问题的优化解。 离散罚函数法【2 3 】：由于离散变量违反了优化问题中所隐含的变量连续性 的假定，因此对含有罚因子的离散变量目标函数进行的搜索，会有不连续导数 和陡谷的存在，接近最优解时病态严重，收敛性强烈依赖于罚因子的选择，而 且往往仅收敛于局部最优解。 离散复合形法【圳：模仿连续变量的复合方法，只是复合形的节点为许用 的离散点，用维搜索法代替连续变量复合形法的扩展、反射和收缩的探索过 程，该法计算量太大，特别是寻求的初始复合形所花的时间很多。 离散梯度一维搜索法【2 5 】：类似于连续变量优化中的最速下降法，然而离 散( 或整数) 梯度方向点实际并非最优方向，因而不能保证会搜索到离散最优解。 此外，还有一些传统算法，如割平面法，拉格朗日的松驰法以及序列线性 优化方法等，这里不再一一赘述， 2 ) 高层次离散变量优化方法发展概况 对于高层次离散变量结构的选型优化俗。形状优化1 、拓扑优化和布局优化， 都受到低层次离散变量优化方法的限制，因而没有有效的进展。但其中几项有 6 武汉理工大学硕士学位论文 代表性的研究工作简述如下。 ( 1 ) s c h m i t 和k i e h e r1 9 6 2 年研究了三杆桁架的离散变量形状优化问题，采 用的是枚举法l 驯。 r 2 ) l i p s o n 和g w i n l 2 7 11 9 7 7 年研究了空间桁架离散变量的布局优化问题，首 先采用复合形法在多工况和应力、位移、稳定性等约束条件下对截面和节点坐 标进行了分层形状优化；再进行拓扑优化，即选择所有工况下的各组杆件的内 力绝对值各自分别进行累加，再求最小的累加值与最大的累加值之比，当这个 比值小于某给定的值时，删除累加值最小的这组杆件后，结构不形成机构，则 删除这组杆件，否则，检查累加值次小的一组杆件是否满足上述比值条件，直 至删除该组杆件时结构不形成机构为止，即完成了第一轮优化计算。再进行下 一轮，逐轮删除杆件，直至不能再删除为止。 这种算法的优点是建立了删除策略，缺点是一组杆件一旦被删除了就不能 再恢复。事实上，最优拓扑中应该删除的杆件不一定就是最初几轮中综合内力 水平( 即各种工况下内力绝对值的总和) 最低的杆件，故该法常常会漏掉最优拓 扑解。 ( 3 ) j e n k i n s1 9 9 1 年用遗传算法( g a ) 研究了屋顶构架的离散变量形状优化问 题l 冽。迭代了上百次。 ( 4 ) s a l a j e g h e h 和v a n d e r p l a s s t s1 9 9 3 年研究了桁架的离散变量形状优化问题 【2 9 】：采用序列离散变量线性规划法。即序列连续变量线性规划和序列分支界定 法相结合的方法求解。该法不足之处是当规模稍大时，计算量太大，将截面和 形状变量混在一起进行优化，不仅增加了复杂性而且效率也降低了。 ( 5 ) g r i e r s o n 和p a k1 9 9 3 年用g a 法及k i t s c h 近似结构分析技术研究了刚架 离散变量是布局优化问题刚。由于每代个体数达6 0 0 ，迭代次数达7 0 ，故无论 用什么样的高明重分析技术，其计算量之大都为一般工程设计难以接受。因丽 该方法难以在离散变量结构优化设计中予以推广应用。 ( 6 ) 近似组合算法1 3 1 】：将相对差商法与多有效约束凝聚为单有效约束的方法 相结合的一种搜索法，沿结构的给定坐标( 即标架) 寻求最优组合的搜索法。该 法收敛快、稳定性好，同时给出了误差估算公式。若是误差过大时，还给出了 修正近似的方法，且计算量最多是n 2 阶搜索。当然，经过一阶修正的n 2 阶搜索 7 亟堡堡三奎堂堡主堂垡丝苎 所得到的解，只是更加逼近最优解的一个较好的可行解。 1 2 3r c 结构离散变量优化计算研究发展概况 r c 结构离散变量优化设计计算研究的发展，与r c 结构的有限元分析技术 水平紧密相关。 在国外，从上世纪7 0 年代末期到9 0 年代初期，r c 结构的线性与非线性 有限元分析已经在计算理论上和商业软件上都达到了较高水平，这给优化设计 计算奠定了强有力的计算基础，对r c 结构施实离散变量优化设计计算变得水 到渠成了。目前各种著名的工程设计计算软件中，优化设计都是一种常用和必 备的设计方法。 在我国，r c 结构离散变量优化计算研究，始于上世纪8 0 年代初期，随后， 亦有零星研究，但都未能引起工程界的重视。在这个领域内，迄今为止比较有 影响的成果主要表现在以下几个方面。 ( 1 1 钢筋混凝土各种截面梁的实用优化计算研究【3 2 碰j ：r c 梁是r c 结构中 应用最广的一种基本构件，对它实施离散变量优化计算研究最容易被工程界接 受，而且存在大量工程应用。 这方面比较有影响的成果包括：建立在圆整概念基础上的l a g r a n g e 乘子 法；在引入非常规离散变量搜索概念和复合形法的基础上提出的内点罚函数法； 在分析已有优化方法基础上，对r c 梁截面及配筋问题提出的合理实用的离散 变量优化解法；在全约束条件( 即规范对梁的正、斜截面强度、挠度、裂缝宽度、 构造要求等) 下，提出的r c 矩形截面单筋梁的离散变量优化设计方法；在全约 束条件下，以梁截面、主筋根数和直径、箍筋直径、间距等为离散变量，提出 的r c 连续梁优化设计方法；对r ct 型截面梁，取有效高度和受拉截面面积 为离散变量，以正截面承载力的限制为约束条件、造价最低为目标进行了最佳 设计计算研究，从而导出的简明优化设计公式：在多个正态分布基本变量的情 况，建立r c 矩形截面简支粱可靠性优化设计数学模型，并采用机遇约束规划 法把该模型转换成一个等价的确定的非线性规划问题求解，进而导出的可靠性 优化设计计算法等等。 ( 2 ) 钢筋混凝土框( 网) 架结构的实用优化计算研究f 3 7 ，3 8 】：r c 框f 网) 架结构是 8 武汉理工大学硕士学位论文 各类高层建筑r c 结构中应用最广的一种构造形式，对它的离散变量优化设计 计算分析，可以在取得较大经济效益的同时，改善局部构造的协调形式、延长 整体结构的使用寿命。这方面有价值的成果主要反殃在： 以梁截面高度和柱截面宽度为离散变量，根据现行国家规范要求为约束条 件，将准则法、“0 6 1 8 ”和“枚举”法结合起来对r c 框架结构进行优化设计计算， 不仅建立了组合优化迭代法，而且得到了各种构件的截面优化尺寸和相应的晟 佳配筋量，一般可使整体框架结构的造价比原设计方案( 即按规范的设计方案) 节省2 5 以上。在相应的优化计算软件中可充分利用结构对称、重复和变量类 型少的特点，使输入数据少，自动生成数据的程度高，使用方便。在讨论框架 结构现有设计计算方法的基础上，着重分析了截面对尺寸f 宽度、高度) 以及混 凝土等级对优化结果的影响，从而得到框架结构的有效离散变量概念，进而导 出了“多级优化法”，许多实际计算表明该法是这类结构优化设计计算的最有效 方法。 ( 3 ) 钢筋混凝土柱体结构的实用优化设计计算研究【3 9 舯】：各类高层建筑的 r c 柱体结构，关系到整体建筑物的稳定性、可靠性和抗震性能的优劣。在r c 柱体结构优化设计计算研究方面，主要工作和成果包括： 以设计规范要求为约束条件，取截面尺寸、钢筋根数、直径、箍筋直 径、间距等为离散变量，针对矩形截面偏心受压柱体建立了基于灵敏度分析的 优化迭代法。 对中心受压矩形截面柱的可靠性优化设计中，在规范约束下将非正态 变量转换成当量正态变量，并在多个任意分布基本变量情况下，建立可靠性分 析数学模型，进而在极限状态设计法的基础上，采用机遇约束规划，将优化问 题转变成一个等价的确定性规划问题求解。 对受压圆形截面柱体，在现行规范正截面承载力计算公式的基础上， 按优化原理进行转换，从而导出一种便于应用的快速最优配筋计算法。 ( 4 ) r c 局部结构( 构件) 优化设计计算研究【4 1 a 2 ：在r c 整体结构中，将某些 特殊构件( 局部结构) 独立出来研究它的优化设计，并将其最优结果作为己知数 据再归入到整体优化设计计算中，这不仅可节省大量计算耗费，而且充分利用 了局部结构的特征，是对大型复杂结构离散变量优化设计计算方法的一种有益 9 武汉理工大学硕士学位论文 的尝试。具有代表性的工作反映在以下几个方面： 对r c 三角支架结构，提出了二级优化设计计算法，即先对支架支点 高度进行优化设计；再对支架截面尺寸进行优化设计。这样，不仅问题变得简 单，而且一些通用的离散变量方法( 例如，各种启发式算法) 都可以应用。 对r c 非对称配筋的圆形体( 或环形) 截面受弯构件，在材料参数、弯矩 和材料价格既定等约束条件下，基于连续变量最优迭代算法，提出的离散变量 最优迭代算法。 受弯构件，根据设计规范进行约束，在k u h u t u c k e r 判优条件的基础 上，给出的离散变量优化设计迭代算法。该法对矩形、圆形截面收敛较快，应 用较广。 在r c 桁架结构中，几何变量( 例如，矢跨比、拱轴系数、中承式水平 杆相对高程等) 和截面尺寸变量同时存在，而且前者为连续变量，后者应为离散 变量。根据这一特点，提出了连离两类变量相结合的优化设计计算的设想，进 而得到了连离结合优化迭代计算法。 1 3 本文的主要工作 本文针对复杂r c 结构在有限元分析基础上的优化设计问题，主要研究钢 筋混凝土离散单元和离散变量的优化方法。其主要工作为： ( 1 ) 针对钢筋混凝土的构造特征，仔细深入地研究和讨论了r c 平面结构组 合单元、分离单元与均匀单元三类单元的刚度矩阵及其工程应用和限制。 ( 2 ) 根据离散变量特征建立了离散网格设计空间d ： ，并在该设计空间上研 究了三种离散变量优化方法：即离散变量的直接网格法、虚实网格法、和复合 形法 ( 3 ) 利用r c 单元和离散变量的优化方法，对r c 平面框架结构进行了实例 优化设计计算，验证了r c 单元和优化方法的正确性与可靠性。 l o 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章r c 平面单元刚度阵研究 目前，在r c 结构的有限元分析中最常用的是绪论中提及的三类单元；分 离类单元，组合类单元和均匀类单元。 对r c 平面结构，采用分离类单元建立有限元计算模型是比较贴近实际的， 因而分析结果比较可靠，但总的有限元方程组规模巨大，计算耗费十分惊人。 采用组合单元，分别考虑钢筋和混凝土对单元刚度阵的贡献，有助于在不影响 计算效果的前提下减小计算规模。而均匀类单元，由于钢筋的作用是近似等效 考虑的，虽可以减少计算规模，但精度较差。 本章以四边形钢筋混凝土单元为例，结合钢篾混凝土的构造特征，讨论和 研究用于平面r c 结构计算的各类单元的刚度阵及其工程应用。 2 1 r c 平面组合元的刚度矩阵 2 1 1 同一位移场平面组合单元刚度阵 在同位移场下，钢筋端点( 在单元边界上1 的位移可以由混凝土单元的节 点位移显式表达，据此可导出钢筋混凝土单元的刚度阵。 ( 1 ) 四边形单筋组合元单元网h 度阵 单筋组合元是指混凝土元中仅含有一根钢筋。用于平面问题分析的四边形 单筋组合元可以有任意的形状。设单元钢筋长为f ，截面积为以，弹性模量为 最，所处的位置及有关参数如图示2 - 1 。 1 1 弋。 刍 _ 一 - 6 2j ， - 如 y 程 世| | 巩 2 图2 - 1 钢筋混凝土平面组合元 1 ) 混凝土单元刚度阵 单元节点位移为d e = u lv 1 u 2v 20 , 3v 3 4 v d 。 单元节点力为e , - - x li 1 恐k 凰y 3x 4 r 4 1 1 四边形混凝土单元刚度阵可由相应的等参元列式导出。 对于坐标系x o y ，四边形混凝土单元刚度阵的计算公式为 掣2 f ，廖d 。b i ji 材留叩( 2 - 1 ) 式中：h 为单元厚度：珐为混凝土的弹性矩阵： 单元几何( 应变) 矩阵： 其中形函数为 b l 。- ；( 1 一g ) ( 1 一办 ，i 1o + ；) ( 1 + ，7 ) ； ( 2 - 2 ) ( 2 - 3 ) o堕妙盟缸 盟缸。毗一砂 。毗一秒盟毽 盟缸。盟妙 。丝砂盟苔 生缸。些印 。丛砂丛缸 巩一缸。盟妙 、1，“川， 叩 叩 一 + m 砸 亭 亭 + 一 0 o l一414 t 墨 2 4 武汉理工大学硕士学位论文 而j a c o b i 矩阵j 的行列式 ( 2 4 ) 根据插值函数和平面等参坐标变换关系 弘善t ，y 。荟f y - ( 2 - 5 ) x o y 坐标系中任意形状及位置的单元都可以映射成自然坐标f d 7 中的规则母 单元进行计算，如图2 2 为计算应变矩阵曰，尚需进行一系列因坐标转换而引起的导数计算 按照多元函数的求导规则 其矩阵形式为 斜四边元 一a n , 盟里 a 缸a 孝 盟：盟旦+ 却缸a 7 o n , a 亭 融 a 甜 a x o n 砂 1 口= 一12 卜一l ，一i )( 1 ，一1 ) 标准元 图2 - 2 等参变换元 或 o n , o x a l 印 1 3 ( ，= l 2 34 )( 2 - 6 ) 叮1 a n a 亭 渊 o r ( r = 1 ，2 ，3 ，4 )( 2 - 7 ) 锣一瞎砂一切睡曼| m = 瑚 砂一瞎翌却眦一秒畔一砂 武汉理工大学硕士学位论文 其中 3 - 1 = l ，1l 砂 o r a x a ” 却 a 亭 a x a 亭 ，i 。堕旦一盟旦 。 d 宇a 叩a 亭a ，7 嚣= 塞等_ ，考= 砉等1 詈t 岛4 蓍a 。n 芋t 而a y ；箭4 善o 却n , y 嚣麓划 譬咄( 1 饥) 4 ，磊：萎亭| 一卵l 将( 2 1 1 ) 代入( 2 - 7 ) ，并利用( 2 8 ) - ( 2 1 0 ) ，可得直边等参元应变矩阵b 君= b 1b 2 b 3b 4 】 b ，= b ( 宇，7 ) 】； a n t 以 0 a n , 妙 用( 2 1 ) 得到单元刚度阵的工程显式为 1 4 o o n ， 砂 o n ， a x ( 2 8 ) ( 2 - 9 ) 佗- 1 0 ) ( 2 1 1 ) o = 1 ，2 ，3 ，4 )( 2 - 1 2 ) 武汉理工大学硕士学位论文 k ! 1 一 k 1 1k 】2k 1 3k 1 4k 1 5k 1 6t 1 7t 1 8 k k 2 3k “k 2 5k 2 6k 2 7k k 3 3k 3 4 七3 sk 3 6k w 屯s k “k 4 5k “_ 】 4 7k “ k k 5 6k 5 7k 5 8 姗 6 6k 七 。 k 7 7k k b s k 4 一f 5 t d c b i 叭d 融q 一媳b j d 。b i hi sl a r 留, 7 对于平面应力问题，有 b r d 。b ，。乓 。 1 一u 盟堕。业盟堕 缸o x2 毋o y 。a fo n ，( 1 一p ) o n io n ， “o + o 2 o 却缸2缸a v 0 ，一1 , 2 ，3 ，4 ) r 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 。州i 烈i ：1 一a n io n i 芦蔷吾+ 彳吉吉 盟盟1 - 1 1o n io n ： 毋o y 2o xo x 2 ) 钢筋杆单元刚度阵 钢筋杼单元在局部坐标o 中的刚度矩阵为 - 盟0 一盟o 1f 0000 一丝。盟o ff 0000 转换到整体坐标系o x y 中，有 趟虬丁7 k 印t 墨鲁 c 2 一。 一c 2 一心 s 2 c s s 2 一c ： c 2 一 c s j 2 一 s 2 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) f 2 1 7 ) 武汉理工大学硕士学位论文 其中坐标变换矩阵为 rl c s 5c o0 00 0o 00 c s sc ( c = c o s 口，5ts i n a )( 2 - 1 8 ) 3 ) 组合单元刚度阵 为了得到组合单元刚度阵，必须确定钢筋杆元对四边形混凝士元刚度阵的 贡献，它可以通过杆元节点位移d y = l 。匕吒r 与混凝土单元节点位移 d ! 之间的关系得到。 位移转换矩阵 由于钢筋杆元和混凝土单元处在同一位移场中。而在四边形单元边界上的 位移线性分布，因此，可按照如下过程确定两种单元位移场之间的关系。 首先，仅考虑节点1 在工方向发生单位位移( ；1 ) ，而其余节点位移分量 均为0 的情况，由几何关系可知 争；兰，一= 冬l “，一争f4 一一 f 其次，当考虑一1 时，其余节点位移分量均为0 时，同理得 v 。一a 2 l 同样道理，当“：，v ：，h 。，v 。分别等于1 ，其余位移均为0 时，可推得如下 关系： d ：5 置 m 4 v 口 u b v 6 式中r 为两种位移间的转换矩阵。 节点力转换矩阵 0 0 0 6 l f 2 a l 0 0 0 0 4 1 1 1 0 o “i v 1 ： u 4 v 4 = 剐： ( 2 1 9 ) 乞 o o 0 b 。 o o o ， 2 6 z f o o o ， 6 f o o o ，_ 4 ， 0 o o 2 口 武汉理工大学硕士学位论文 f y。 y 。 i一-l一lay,哥1 1 所以 首先，取虚位移为“。= 1 ，其余节点位移均为0 的情况，按照虚功原理有 x 1 “1 - x 。u 4 盖。= 冬z 。 其次，取虚位移为k 一1 ，其余节点位移为0 的情况，可得 x 一争k l 同样道理，取虚位移为“：，v ：，“。，v 。分别等于1 ，其余节点位移为0 的情 况，可得如下关系式： f ? 1 。r t f ? 1 或q f ，1 f l s l 将( 2 - 1 9 ) 和( 2 2 0 ) 一并代入杆单元的平衡方程 并考虑r 7 q 一，。则有 趔订d p 却 ，? 。一r 7 0 5 r d j 。= k ：”d ：1 1 7 ( 2 - 2 0 ) f 2 - 2 1 ) q 一2 2 ) 茎堡型三奎兰堡主堂篁堡苎 其中 碰叫= r 7 趟订r( 2 - 2 3 ) 即为钢筋杆单元对混凝土单元的贡献矩阵。 单筋组合单元刚度阵 叠加( 2 2 3 ) j f l ( 2 1 3 ) 式即可得到含有一根钢筋杆的4 节点任意四边形组合元 的刚度矩阵，即 托= 趟+ 趔刚( 2 2 4 ) 在具体计算琏时，首先求得4 x 4 阶的杆单元刚度阵”，然后转换成8 x 8 阶的贡献刚度阵k ! ，t ：叠) i n l l l l i i l l l i k i 中去。 ( 2 ) 四边形多筋组合元刚度阵 任意四边形混凝土元中含有多根钢筋的情况如图2 4 所示。 图2 - 4 多筋组合元 设单元中纵向含阴根钢筋，横向含有 根钢筋；第i 根横筋两端点为“b l ； 第，根纵筋两端点为c ，d ，；长度分别为和哕；横断面积分别为4 和b ， 显然，无钢筋时，即为混凝土单元，其刚度阵如式( 2 1 ) 所示；由式( 2 1 9 ) 知第i 根横筋的位移转换矩阵为 茎堡里三奎兰婴主兰垡笙苎 硝一 嚷2 l l 00000 。n i , 0 0 4 i 2 t 1 1 00000 a n 1 1 00 岛2 1 2 0 岛l 1 2 000 000 b j 2 1 2 0 包l 1 2 00 ( 2 2 5 ) 第j 根纵筋的位移转换矩阵为 r ! 计墨 由式( 2 2 0 ) 可知，纵横钢筋节点力的转换矩阵亦分别为r ；”和尉。 由此可以导出第，根纵向钢筋的贡献矩阵为 式中 心。墨生 一可 f ( ”j c ； 一c j s j c ； + c j s j 硝一7 砖骘 一c i s | 5 ； c i s i 一5 j 2 一c ； + c j s i c ； 一c j s ： + c j s j s ； 一c i s j 5 ； ( 2 - 2 7 ) 仃= 1 ，2 ，!