（应用数学专业论文）acbd理论在偏微分方程机械化求解中的应用.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文根据数学机械化的思想，在导师张鸿庆教授“a c = b d ”理论的指导下，研究在 弹性力学、流体力学、空气动力学、等离子体物理、生物物理和化学物理等现代科学技术 中引出的非线性偏微分方程求精确解的方法 第一章介绍了数学机械化的思想与应用的情况；回顾了孤立子研究的历史与发展以 及非线性偏微分方程精确解的若干构造性方法，同时介绍了一些关于该学科领域的国内 外学者所取得的成果 第二章在“a c = b d ”统一理论框架下考虑非线性偏微分方程( 组) 精确解的构造。给 出了“a c = b d ”理论的基本思想和应用，通过具体的变换给出了构造c d 对的算法。 第三章主要介绍了一种构造非线性发展方程的代数方法，改进了该代数方法，并以 几个的非线性发展方程为例，说明了改进的代数方法的具体应用改进后的方法可以获 得非线性发展方程( 组) 的更多形式的精确解 关键词：数学机械化；孤立子；“a c = b d ”理论；c d 对；非线性偏微分方程；精确解 大连理工大学硕士学位论文 t h e a p p l i c a t i o no fa c = b dt h e o r yt os o l v i n gd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sm e c h a n i c a l l y a b s t r a c t i n t h i sd i s s e r t a t i o n ，切a p p l 3 ，i n gt h ei d e a so ft h em a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o n u n d e rt h e i n s t r u c t i o no f “a c = b d ”t h e o r yo fp r o f e s s o rz h a n g h o n g q i n g ，w ec o n s i d e rs o m em e t h o d ss e e k i n g e x a c ts o l u t i o n st on o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i me q u a t i o n ( s ) a r i s i n gf r o mt h ef i e l d so fe l a s t i c i t y ， f l u i dm e c h a n i c s ，a e r o d y n a m i c s ，t ) a s m ap h y s i c s ，b i o p h y s i c sm i dd m m i c a lp h y s i c s c h a p t e r1 o f t h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt oi n v e s t i g a ( i n gt h et h e o r ya n da p p l i c a t i o no f m a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o n ，r e v i e w i n gt h eh i s t m ya n dd e v e l o p m e n to ft h es o l i t o nt h e o r ya n d m e t h o d sf 新c o n s t r u c t i n gs o l u t i o n st ot h et l o n i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( s ) i na d d i t i ( m s o m ed o m e s t i ca u ：h i c v e m e n t sa n df o r e i g no n e so i lt h es u b j e c ta r ep r e s e n t e d c h a p t e r2c o n c e r n st h ec o n s t r u c t i o no fe x a c ts o l u t i o n st on o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( s ) u n d e rt h eu n i f o r mf l a m ew o r ko f “a c = b d ”t h e o r yt h eb a s i ct h e o r ya n da p p l i c a t i o n r e g a r d i n g “a c = b d ”m o d e la n dt h ec o n s t r u c t i o no fo p e r a t o r sca n dda r ei n t r o d u c e d c h a p t e r3i n t r o d u c e sa na l g e b r a i cm e t h o df o rf i n d i n ge x a c ts o l u t i o n st on o n l i n e m e v o l u t i o n e q u a t i o n s a ni u l p r o v e da l g e b r a i cm e t h o di sp r o v i d e da n ds e v e r a in o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n a r et a k e nt oi l l u s t r a t et h ea p p l i c a t i o no ft h ei m p r o v e dm e t h o dt i l ei m p r o v e dm e t h o dc a nb e u s e dt oo b t a i nm o r ef o r n l a ie x a c ts o l u t i o n st on o n l i n e a rp a r t i a ld i f i e r e n t i de q u a t i o n s k e y w o r d s ：m a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o n ；s o l i t o n ；“a c = b d t h e o r y ；“c d ”p a i r n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；e x a c ts o l u t i o n 独创陛说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的 研究工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也 不包含为获得大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明 确的说明并表示了谢意。 作者签名：j 童! ! ! 垒日期：! ! 墅竺：竺 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用规 定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：堡堂塑 钟醋i 雒 ! ! ! ! 年旦月卫日 大连理工大学硕士学位论文 第一章绪论 本章筒述了数学机械化思想，非线性偏微分方程解的若干构造性方法( 如b a c k l u n d 变换和d a r b o t b x 变换，p a h f l e v 6 奇性分析、齐次平衡法、“a c = b d ”框架下的精确求解等) ， 孤立子研究的历史与发展，以及计算机代数与符号计算软件的国内外研究概况 1 1 数学机械化思想 1 8 世纪中叶，人类知识的进步导致了第一次工业革命，对人类的文化产生了极大的 影响作为人肌的代替物，出现了以蒸汽机为代表的大机器生产，大大提高了人的生产效 率。如果说工业机器的出现导致的产业革命使人们逐渐实现了体力劳动的机械化，促进 了社会生产力的发展，那么本世纪电子计算机的产生，则为人类实现脑力劳动的机械化 创造了物质条件，使得人类脑力劳动的机械化成为可能在目前信息化时代的背景下数 学这一古老而又富于挑战的学科，也面临着同样的问题如何将人从繁琐而重复的推理 计算中解放出来亦成为一个新的亟待解决的问题在这种需要的促进下，我国著名数学 家，首届国家最高科技奖获得者之一，中国科学院院士吴文俊先生提出并开展了数学机 械化的研究【1 - 4 】，为数学注入了新的血液 历史上公理化的思想与机械化的思想彼此辉映，贯穿整个数学历史，对数学的发展 都起到了巨大的作用前者是在现代数学尤其是纯粹数学中占统治地位的，但是后者 也同样发挥了极其重要的作用如：希尔伯特( h i l b e r t ) 所倡导的数理逻辑，为日后计算 机设计原理的发展奠定了基础。数学巨匠嘉当( e c a r t a n ) 在微分方程，微分几何及李群 ( l i eg r o u p ) 的著作中体现了机械化思想的特色h c a r t a n 关于代数拓扑中同调群计算的 工作也可视为机械化思想的成功典范 数学机械化首先是算法化，这取决于计算机的有限性，离散性，即机械性的特点；其 次是机械化，即保证在计算机上实现相关算法的有效性一这一点较前者更为重要在功 能上，实现数学机械化的软件应该既可以完成人力所难以企及的繁杂计算，同时还可以 完成逻辑推理的功能这就为变数学的脑力劳动为计算机的机械行为创造了可能性，尤 其为数学在高科技中的应用提供了有力的手段，也为数学在普通人群中的普及提供了条 件。 2 0 世纪7 0 年代，吴文俊先生由中国的传统思想出发，从初等几何定理证明入手开始 数学机械化方法的研究，不仅将中国传统数学发扬光大，也为国际自动推理的研究开辟 了新的前景吴先生认为：所谓机械化，无非是刻板化和规格化。机械化的动作，由于简 单刻板，因而可以让机器来实现，又由于往往需要反复千百万次，超出了人力的可能，因 而又不能不让机器来实现。因之，机械化为机器化进而自动化铺乎道路，是它们必不可少 的前奏就这一意义来说，数学中的某些脑力劳动与体力劳动颇有共同之点，它们也同 焦小玉：a c - b d 理论在偏微分方程机械化求解中的应用 样可以机械化。经过近2 0 年的努力，几何定理自动证明的吴方法及在其影响下产生的一 系列重要的新方法，已经发展成有我国特色在国际上领先的数学机械化理论这一理论 不仅在几何定理的机器证明，方程组求解，微分几何，理论物理，力学等领域得到成功应 用，还为机器人学，数控技术，几何辅助设计，c a d ，计算机视觉等高科技领域提供了有 力工具他引入的非线性代数方程组的吴方法是求解代数方程组精确解最完整的方法之 一，已经被成功地用于解决很多问题，并实现在当前流行的符号计算软件中上世纪8 0 年代，吴先生进一步给出了吴微分消元法，提出了吴微分特征列的概念，完善和发展了特 征集理论 近年来，数学机械化思想得到了进一步的发展张景中院士、高小山研究员和周成 青教授【5 - 8 】合作提出了基于几何不变量的“消点法”，由此不仅实现了定理证明的机械 化，同时使得证明的过程简短可读，为自动推理的研究在理沦上起到了极大的推进作用， 此外还被用来解决c a d ，智能c a i ( 计算机辅助教学) 与机器人中的若干关键理论问题， 在理论与应用上具有重要意义美国数学会“自动定理证明成就奖”及“j m c c a r t b y 程序 验证奖”得主b o y e r 称，该工作“是自( 六十年代) s l a g l e 与m o s e s 符号积分程序以来自 动推理界最重要的一件单独事情”，该工作“在使计算机象具有算术天才那样具有几何天 才这一不可避免的过程中将是一座里程碑”；自动推理界权威l o v e l a n d 在a i m a g a z i n e 的 文章中将这一工作列为近年来自动推理界“重要进展”的第一项，称“在几何中证明有意 义的定理，同时给出可读证明( i b m 公司g e l e r n t e r 五十年代的经典工作) ，近年来才由周 成青，高小山，张景中的几何定理证明器所超过”在几何自动推理方面，他们提出微分 几何自动定理证明的新方法并予以计算机实现，成功地机械化证明了上百个定理并发现 了新的结果；给出了c a l e y k l e i n 几何的转换定理，大大简化了非欧几何的自动定理证明； 解决了z a s s e n h m l s 与m a c l a a l e 公开问题；提出了几何推理的演绎数据库方法；改进了基 于搜索的定理证明方法，并第一次用此类方法证明了大量几何定理吴尽昭研究员、刘 卓军研究员【9 】将吴代数消元法运用到逻辑中去，较好地解决了逻辑中的一阶定理证明问 题石赫研究员【l o 利用吴方法，研究了著名的y a a l g - b a x t e r 方程解的问题之后，他利 用张鸿庆教授提出的“a c = b d ”的思想，研究了y a n g - m i l l s 方程，将其化为三个简单的二 阶线性微分方程 在构造非线性发展方程精确解方面，李志斌教授等【1 l 一1 4 】利用吴代数消元法，在求 孤子解方面作了很多重要的工作他通过引入t a n h 函数方法，将偏微分方程求解问题转 化为代数方程组的求解问题，沟通了吴代数消元法与微分方程之间的关系近年来，范恩 贵教授f 1 2 1 在这方面的工作受到了国内外同行的关注他推广了t a n h 函数方法及椭圆函 数展开法，借助符号计算和吴方法求得了一大批非线性发展方程的精确孤波解朝鲁教授 f 1 3 1 将吴微分特征列法( 吴微分消元法) 应用于微分方程对称计算，取得了很好的结果。 闰振亚博士【1 4 ，2 7 ，5 7 l 在微分方程的求解代数化方面做了大量的工作他基于两种r i c c a t i 2 大连理二大学硕士学位论文 方程，提出了求解非线性发展方程的更为有效的算法，获得了很多方程的精确解朱思铭 教授f 1 5 i 根据a m s 猜测，利用符号计算和吴代数消元法对偏微分方程的p a i n l e 、毋陛质进 行了研究，证明了一批方程具有p a i n l e v 6 睦质谢福鼎博士、张玉峰博士、陈勇博士、李 彪博士和郑学东硕士【1 6 2 1 、2 8 】将吴微分消元法应用于偏微分方程p a i n l e v 6 陛质研究，并 根据他们给出的算法编制了m a p l e 软件包，对许多偏微分方程进行了p a i n l e v 6 眭质检验 吕卓生博士【1 9 完成了l i e 对称的程序编制 1 9 7 8 年，张鸿庆教授 4 l 一4 4 提出了偏微分方程求解的构造性的机械化算法，即“a c = b d ”方法，证明了非齐次线性算子方程组a u = ，的一般解为“= c v 十e ，其中”满足方程 组d v = g ，d 是对角矩阵，用代数方法给出了c ，d ，e 的具体构造方法在“a c = b d ”理 论的指导下，运用数学机械化的思想，张鸿庆教授及其课题组成员在微分方程的代数化 和机械化方面做了大量的工作，给出了各种弹性力学位移函数和应力函数的机械化算法， 成功构造出数学物理中一系列方程的一般解，并借助代数的理论米构造偏微分方程组的 解，使得大批力学问题所对应的偏微分方程组的求解问题在一个统一的框架下得到了解 决最近，张鸿庆教授又提出了c d 对和c d 可积系统的概念 4 3 】另外张鸿庆教授还 提出了基于吴微分消元理论的“a c = b d ”模式的微分伪带余除法根据这一除法，得到 了一些非线性微分方程的变换，使方程的形式变得更为简单，进而易于求解 1 2构造非线性偏微分方程精确解的若干方法 寻找方程的解( 包括数值解和精确解) 是一个非常古老而且很重要的课题有时为很 准确地研究物体变化的性质，我们需要寻求其对应方程的精确解。自从k o r t e w e g 和他的 博士生d ev r i e s 提出k d v 方程并获得其精确解以来，一大批非线性方程解的构造引起了 人们的极大兴趣但由于非线性偏微分方程自身的复杂性，用现有的方法无法求出其非 平凡解，即使获得了方程的精确解，也只是少数的一些解，无法求出其全部解，并且对不 同类型的方程，用的方法可能也不一样，至今还没有任何一种方法可以囊括四海，包罗万 象正如k l e i n 所说：“微分方程求解只是技巧的汇编”值得庆幸的是，经过数学家和物 理学家们的不断努力，发现了孤立子理论中蕴藏着一系列构造精确解的有效方法，如反 散射方法、b i i c k l u n d 变换、d m b o u x 变换、齐次平衡法、t a n h 函数方法等等随着各种求 解方法的出现，不但过去难于求解的方程得到解决，而且新的、具有重要物理意义的解不 断被发现和应用，出现了一个层出不穷的势头。 1 散射反演方法 散射反演方法是当前求解可积非线性系统的重要方法，它的基本思想是将这类非线 性问题通过常微分算子与本征值转化为线性问题来求解1 9 6 7 年，伽德纳( c sg a r d n e r ) 等人( 简称g g k m ) 在研究k d v 方程时，利用量子力学中s c h r 6 d i n g e r 方程的反散射论 证( 正散射问题和反散射问题) 将k d v 方程的初值问题转化为三个求解线性方程的问 3 焦小王：a c = b d 理论在偏微分方程机械化求解中的应用 题，得到了孤子解，这种处理问题的方法称为反散射法由于求解过程用到f o u r i e r 变换及逆变换，有时该方法也被称为f o u r i e r 变换法1 9 6 8 年p dl a x 分析了g g k m 用 于求解k d v 方程初值问题的上述思想，整理提出了用反散射方法求解其它偏微分方程 ( p d e ) 的更一般的框架，同时指出，用反散射方法求解p d e 的前提是找到该方程的l a x 表示( l a x 对) 1 9 7 2 年，z a k h a r o v 和s h a b a t 利用l a x 的思想，用反散射方法求解非线 性s c h r s d i n g e r 方程，第一次用实例证明了反散射方法的更一般性1 9 7 2 年，w a d a t i 用类似 方法求解了m k d v 方程。1 9 7 3 年，a b l o w i t z ，k a u p ，n e w e l l 和s e g u i 编制了用反散射方法 求解大批偏微分方程的软件包f 8 5 8 8 】1 9 7 5 年，w a b l p u i s t 和e s t a b r o o k 提出了含有两个 非线性p d e 的延拓结构法该方法的一个重要应用是：借助l i e 代数，可以得到方程的 l a x 表示，这为用反散射方法求解方程提供了必要条件但是，用w e 方法求解太复杂 利用陆启铿教授建立的非线性联络理论，郭汉英教授等人简化了w e 方法，完整地建立 了非线性方程主延拓结构的理论和方法。李翊神教授、屠规彰教授为发展这一方法做了 很好的工作 2 b g c k l u n d 变换和d a r b o u x 变换 1 8 8 3 年，瑞典几何学家b g c k l u n d 8 9 】在研究负曲率曲面时，发现s i n e g o r d o n 方程 ( 1 2 ) 的两个不同解u 和“之间有如下的关系式 fu ：= 一u 。十2 口s i n ( 型尹) ， ( 1 3 ) i “净毗+ ：s i n ( 譬) 其中是参数。这就是著名的b g c k l u n d 变换其特点是：已知s i n e g o r d o n 方程的一个解 u ，解上述一阶方程组，就可以得到其另一个新解u 7 根据上述结果还可以得到一个非线 性叠加公式 u 。= 4a r c c a n ( 当t a l l 半) 伯( “) 这样，如果已知方程( i2 ) 的三个解“o ，啪和啦，就可以通过叠加公式求得新解t 坞，而不必 再求解方程组( 1 3 ) 2 6 ，a s 。b g c k l u n d 变换当时并没有引起人们的足够重视在被冷落了近 百年以后，到了2 0 世纪6 0 年代，由于非线性光学和晶体位错等许多领域的研究都和s i n e - g o r d o n 方程有关，这个变换才重新受到重视1 9 7 3 年，w a h l q u i s t 和e s t a b r o o k 发现k d v 方 程也具有类似的b g c k l u n d 变换1 9 7 6 他们提出了求解非线性方程的b i i e k l u n d 变换的延拓结 构法，将b i c k l u n d 变换、守衡律及反散射变换统一在一个拟位势中1 9 8 3 年，w e i s s ，t a b o r 和c a r n e v a l e 2 22 3 1 推广了常微分方程的p a i n l e v d 可积的判定方法，提出了偏微分方程的 p a i n l e v 6 司 积的判定方法，并用其获得了一些可积方程的b i i c k h m d 变换 4 大连理工大学硕士学位论文 i 8 8 2 年，d a r b o u x 研究了一维s c h r o d i n g e r 的特征值问题 一。，一u ( z ) = a 币， 其中“( z ) 是给定的函数，称为势函数，a 是常数，称为谱参数d a lb o u x 发现了这样一个事 实：设“( z ) 和垂( z ， ) 是满足( 1 5 ) 的两个函数，对任意给定的常数沁，令，( z ) = 西, k 0 ) ， 即，是( 1 5 ) 当a = a 0 时的一个解，则由 r “7 = “+ 2 ( 】n ，k z ， ( 1 6 ) 【毋7 ( z ， ) = ( 6 。( z ， )争西( z ，a ) 所定义的函数“7 、痧7 一定满足相( 1 5 ) 同样形式的方程 一啦。一7 妒= a 7 ( 17 ) 这样这个借助 ，( z ) = ( z ，a o ) 所作的变换( 1 6 ) 将满足( 1 5 ) 的一组函数( “，) 变化为满足 同一方程的另一组函数( “，) ) ，这就是原始的d a r b o u x 变换 母) 一( u 7 ，杪)( 1 8 ) 在，0 处它是有效的d a r b o u x 变换的基本思想为：利用非线性方程的一个解及其l a x 对的解，用代数算法及微分运算来获得非线性方程的新解和l a x 对相应的解有时人们 也称d a r b o , t x 变换为b g c k l u n d 变换1 9 7 5 年，w a d a t i 等人将d a r b o u x 变换推广到m k d v 方程和s i n e g o r d o n 方程1 9 0 1 。中科院院士谷超豪等人【2 4 ，2 6 】将其推广到k d v 族、a k n s 族和高维方程组，并将这个变换应用到微分几何中的曲面论和调和映照中 王明亮教授和李志斌教授f 1 1 1 提出了求b a c k l u n d 变换的简洁而有效的方法范恩贵 教授进一步发展了这一工作 2 9 ，3 0 闫振亚博士( 1 4 、陈勇博士( 1 8 】和李彪博士( 2 l 】也作 了许多工作 3 双线性方法 1 9 7 1 年，h i r o t a 引入了双线性方法，用于构造许多方程的多孤子解和b i c m u n d 变换。 最近，胡星标教授【3 2 1 等人很好地发展了该方法，并且给出了解的互换定理和解的非线性 叠加公式1 9 8 8 年b o i t i 等人研究了( 2 + i ) 维模型，提出了孤立子解的一种特例一d r o m i o n 结构随后，人们证明其它( 2 + 1 ) 一维方程也拥有d r o m i o n 结构。1 9 9 6 年，楼森岳教授用 h i r o t a 方法研究了一个( 3 + i ) 维k d v 型方程，证明了该方程拥有丰富的类d r o r n i o n 结 构1 9 9 3 年，r o s e n a u 和h y m a n 为了研究非线性色散模型的影响，提出了k ( m ，n ) 模型， 并且给出了该方程在分段连续情况下的c o m p a c t o n 解，该解具有弹性碰撞等有趣的类似 于孤立子解的性质 5 焦小玉：a c - b d 理论在偏微分方程机械化求解中的应用 4 p a i n l e v 6 a 李j ：性分析 给定一个非线性发展方程，是否可用反散射方法求解是孤立子理论中的一个基本而 尚未解决的问题。我们知道，用反散射法求解方程的初值问题的前提是寻找该方法的l a x 对，但拥有l a x 对的方程不一定可用反散射法求解。t 9 7 8 年，a b l o w i t z ，s e g u r 和r a m a n 发现：对于可以用反散射方法求解的非线性演化方程来说，其相似约化的所有常微分方 程都有p a i n l e v 鲁注质，因此他们给出一个猜测一p a i n l e v 制0 ：一个完全可积的偏微分方 程的每一个相似约化的常微分方程具有p a i n l e v g 型，或者约化的o d e 经过变量变换之 后具有p a i n l e v 6 型这个猜测提供了一个证明一个p d e 是否完全可积的必要条件1 9 8 3 年，j w e i s s ，m t a b o r 和g c a r n e v a l e 2 3 1 引入了p d e 的p a i n l e v 陛质( 或称p a i n l e v p d e 检验) 的概念，并且提出了个与a b l o w i t z 用于判定o d e 的p a i n l e v 孛 生质类似的算法， 利用p d e 的p a i n l e v 6p d e 检验可导出l a x 对和b g c k l u n d 变换。1 9 8 4 年w e i s s 2 4 1 又推 广了p a i n l e v dp d e 检验的使用范围，引入条件p a i n l e v 6 性质的概念1 9 8 2 年k r u s k a l 等人将奇异流形上的函数( 不妨设两个变量z ，t ) 假设为其中一个变量的线性关系，即 ，( z ，t ) = z + 曲( t ) 这大大简化了计算的复杂性。一般说来，p a i n l e v 4o d e ( 或p d e ) 检验 不研究负共振点的性质。1 9 9 1 年j i m b o ，f o r d y 和p i c k e t i n g 研究了负共振点的重要意义， 并且指出c h a z y 方程具有负共振点( 1 ，一2 ，一3 ) 曾云波教授i 3 3 ，34 1 改进了p a i n l e v d 截尾 展开，导出了t o d a 方程的b i i e k l u n d 变换，给出了从给定具有p a i n l e v 6 陛质的方程出发去 构造具有p a i n l e v 陛质的一族方程的一般方法。 5 齐次平衡法 1 9 9 5 年，王明亮教授等人【3 7 3 9 】提出了齐次平衡法，用来求解非线性偏微分方程的 精确解，1 9 9 6 年高以天教授和田播教授【4 0 】改进了该方法，来研究( 2 + 1 ) 一维方程的解随 后，他们又给出了非线性偏微分方程的更一般形式的解1 9 9 8 年范恩贵教授和张鸿庆教授 3 0 进一步发展了齐次平衡法，不仅得到了更多类型的精确解，也找到了得到b g c n u n d 变 换的另外一种途径之后，闫振亚博士和张鸿庆教授 14 】再次发展了该方法，并且利用该 方法推广了s i n e - c o s i n e 法、t a n h 函数法和椭圆函数法等，获得了非线性偏微分方程的更 丰富的精确解的形式 6 a c ：b d 框架下的精确求解 1 9 7 8 年，张鸿庆教授【4 【、4 4 1 提出了偏微分方程求解的构造性的机枕 生算法，即“a c = b d ”方法他借助代数的理论来构造偏微分方程的解，使大批力学问题所对应的偏微分方 程组的求解问题在一个统一的框架下得到了解决 构造微分方程精确解的方法还有许多，但是由于非线性方程本身的复杂性，使得这 类努力的结果往往得到只是少数的解，至今尚无统一的方法来构造精确解 6 大连理工大学硕士学位论文 1 3 孤立子研究的历史与发展 孤立子( s o l i t o n ) 现象最初是由英国科学家s c o t tr u s s e l l 发现的。1 8 4 4 年，r u s s e l l 在 一篇题为论波动* 的报告中记述了他1 8 3 , 1 年观察到的一种奇特的水波现象当时他正 在观察由两匹马拉着的船在一条狭窄的运河中行驶船突然停止了前进，但运河中被船 推动的水却并没有停止，而以汹涌翻腾的状态聚集在船头，然后以巨大的速度滚滚向前， 且保持着巨大的轮廓分明的光顺孤立的峰状外形显然，它不改变形状与速度，沿运河继 续前进。他骑着马跟踪了一至两英里，在运河的拐弯处，这种孤立行进的水峰才终于消 失r u s s e l l 认识到这种水波现象是具有关键性质的新现象、新事物，随后进行了更加细 致的研究，在实验室作了很多实验，用多种方法激发，也观察到了同样的现象。他称这种 波为孤立波( s o l i t a r yw a v e ) 。但限于当时的数学理论和科学水平，人们无法从理论上给予 这种现象一个圆满的解释，科学家们甚至怀疑孤立波现象是否真正存在。 在随后的几年，a i r y 、b o u s s i n e s q 和r a y l e i g h 等人相继对孤立波进行了研究。a i r y 得出 结论：r u s s e l l 所提到的孤立波根本不存在；s t o k e s 使用了正确的方程，却得到了错误的结 果；b o u s s i n e s q 和r a y l e i g h 分别从数学角度证明了孤立波的存在性b o u s s i n e s q 为近似描 述孤立波，提出了一个非线性发展方程，后来被命名为b o u s s i n e s q 方程但是，b o u s s i n e s q 和r a y l e i 咖的工作仍然没有使那些对孤立波感兴趣的科学家们完全信服这也促使荷兰 数学家k o r t e w e g 和他的博士生d ev r i e s 对水波现象作进一步研究。 t 8 9 5 年，k o r t e w e g 和d ev r i e s 根据流体力学研究了浅水波的运动，在长波近似和小 振幅的假定下，求得了单向运动的浅水波运动方程，即著名的k d v 方程通过一定的数 学变换，k d v 方程变为如下形式 其中“为波形函数k o r t e w e g 和d ev r i e s 从上式求出了与r u s s e l l 所发现的孤立波现象一 致的结果，即具有不变形状的脉冲状孤立波解k d v 方程的解，准确地描述了浅水波的 非线性特性：行波速度依赖其本身的振幅，当两个这样的脉冲波沿着同一方向运动时，波 峰高的脉冲波的行进速度快，因此会赶上前面波峰低的波而发生碰撞 然而这样的孤立波是否稳定，两个这样的孤立波碰撞后是否形变，这一直是科学家 们感兴趣而又无法证实的问题因此在没有新的发现之前，k d v 方程以及孤立波仍长期 处于被埋没之中 1 9 6 5 年美国普林斯顿( p r i n c e t o n ) 大学的两位应用数学家m dk r u s k a l 和nz a b u s k y 通过数学模拟方法深入地研究了等离子体中孤立波碰撞的非线性相互作用过程他们意 外地发现，两个孤立波在碰撞后各自的波形与行进速度居然都能保持不变，仅仅是相位 发生了改变这一性质使人们联想起质点粒子和波粒二象性等熟悉的现象只有粒子的 碰撞才会有类似的情形出现，于是将这种波定名为孤立子( s o l i t o n ) ，以反映其粒子属性 7 焦小玉：a c = b d 理论在偏微分方程机械化求解中的应用 “孤立子”没有明确的定义，但是它可用来描述一个非线性方程或非线性体系的任意 解，若此解满足：1 可表示成一个固定形式的波；2 是局部的、衰变的或在无穷大时变 为常数；3 可与其他的孤子进行强烈的相互作用，在相互作用后叠加原理成立其形式不 会改变。 总之，k r u s k a l 和z a b u s k y 的这一研究工作为推动孤立子理论的发展，树立了一个重 要的里程碑此后，科学家们对孤立子的研究兴趣和热情便一发难收，在很多学科领域都 发现了孤立子运动形态，相应地，在数学上发现了一大批具有孤立子解的非线性发展方 程，而且已逐渐建立起较系统的研究孤立子的数学物理方法【2 6 ，3 1 ，3 5 ，3 6 】。 目前，较为完整的孤立子理论体系正在逐步形成，国内外在这方面出版了很多专著 f 2 6 ，3 5 ，3 6 1 。孤立子理论已经被应用于解决等离子体物理、凝聚态物理、生物学和非线性光 学等领域中某些难以解决的问题，以及非线性作用下的运动规律等从数学方面来看，已 经发现一大类非线性发展方程具有孤波解，求解方法也出现了许多独特的分支 驵4计算机代数与符号计算软件 计算机与应用数学的结合可以分为两个层面：数值计算与符号计算数值计算的内 容是实数演算，更确切地说数值计算是寻找适当的有理数去逼近实际问题的实数解。这 类实际问题往往通过微分、积分或者其他类型的方程组以及适当的初边值条件来表达因 为计算机不可能准确地表达实数，所以通过数值计算得到的结果是近似的符号计算，顾 名思义，是在计算机上依符号的形式进行计算，实现公式的机器推演，符号计算的结果是 精确的 计算机代数是致力于数学求解中准确计算自动化的学科【4 5 】通俗地讲，计算机代 数是研制、开发和维护符号计算软件并研究其数学理论的学科计算机代数的最早出现 公认以1 9 6 0 年美国麻省理工学院的m c c a r t h y 推出l i s p 语言为标志在随后的几十午 间，计算机代数的发展引起了国际计算机科学界的重视，美国的计算机协会组织了符号 与代数处理专业组( s p e c i a li n t e r e s tg r o u po i ls y m b o l i ca n da l g e b r a i cm a n i p u l a t i o n ，简称 s i g s a m ) ，其成员遍布3 0 多个国家这个国际组织每两年召开一次国际会议，专门交 流计算机代数方面的研究成果西欧各国计算机工作者组织了欧洲符号和代数处理专业 委员会( s y m b o l i ca n da l g e b r a i cm a n i p u l a t i o no fe 1 l r o p e a n ，简称s a m e ) ，定期召开国际会 议。这两大组织还分别创办了计算机代数刊物s i g s a mb u l l e t i n 和j o u r n a lo fs y m b o l i c c o m p u t a t i o n 这些学术活动和学术刊物大大推到了计算机代数的发展在过去的几十年 中，计算机代数取得了诸多成就【4 6 ，r i s c h ( 1 9 6 9 ) 1 4 7 1 证明了：数学函数在l 羽形式下的积分 问题是可判定的b e r l e k a m p ( 1 9 7 0 ) ( 4 8 给出了有效分解多项式( 模一个大素数) 的随机化 算法由于多项式的系数域的不同，这时需要给出一个更一般的算法上个世纪7 0 年代 8 大连理工大学硕士学位论文 早期，b e r l e k a m p 给出了这个代数算法基于抽象代数域的更一般的程序。b r o w n ( 1 9 7 8 ) 【4 9 】 对于无限超几何的和给出了一个精巧的算法l e n s t r a 等( 1 9 8 2 ) 5 0 ，5 1 】的l o v a s z s 格点约 化算法最初是作为一个多项式分解的子算法出现的，是具有深远意义的e u c l i d e a n 算法的 一般化稀疏多元多项式的差补算法( 1 9 9 0 ) f 5 2 1 ( 其中一部分是基于修正误差码的) ，已 经变成了黑匣子多项式计算中的基本工具。该算法由s h o u p ( 1 9 9 5 ) f 5 3 1 作了进一步完善， 使其更加实用化到了上个世纪9 0 年代，计算机代数的发展更为迅猛，且不断地被应用 到其它领域，如高能物理，天体力学，广义相对论，电子光学，分子物理，自动化，航空 学，生物学和化学等等 符号计算软件的发展大体经历了三个阶段：上个世纪6 0 年代的专门化程序；7 0 年代 的通用程序和8 0 年代至今的商业化程序1 9 6 0 年，用于表处理的计算机语言l i s p 在美国 开发成功。l i s p 在符号计算软件中起了重要作用1 a m e ss l a g l e 写的第一个符号积分程序 以及稍后由j o e lm o s e s 写的符号积分程序都是用l i s p 写成的。1 9 7 1 年，第一个基于l i s p 的通用符号计算软件m a e s y m a 问世，它提供了计算极限和解方程的功能。a ch e a r n 用 l i s p 开发了符号计算系统r e d u c e ，后来成为一个广泛应用的通用软件另一个广泛应用 的通用软件是用c 语言写成的m a p l e 与其它符号计算系统比较，m a p l e 的效率比较高， 这是由其自身的设计特点决定的m a p l e 系统的核心由尽可能小的关于基本运算的程序 组成，这些运算包括：指令函数，整数，有理数和多项式运算以及空间管理。该软件的其 它部分是由m a p l e 语言写成的软件包。这些软件包的管理很灵活，用户可以加入，改变和 删除函数目前m p l e 已有大量专用软件包最引人注目的商业系统是由s t e p h e nw o l f r a m 组织编写的m a t h e m a t i c a 该系统是用c 语言写成的，有很新颖的特点例如：“代数发动 机”和用户接口有本质的区别；综合了符号计算，数值计算和作图功能；具有结构清晰 的用户编程语言等与其它系统相比，m a t h e m a t i c a 不仅成功吸引了很多学术界以外的注 意，也得到了大量用户的支持从上个世纪6 0 年代至今，各类符号计算软件曾出不穷， 各有特色，为相关学科研究提供了极大的方便 众多用户多年来的经验证明符号计算软件有诸多优点： l 、它使用户避免大量的繁琐计算利用符号计算软件，用户可以把繁琐复杂的计算 交给计算机，而集中精力研究用什么样的算法解决问题。 2 、它使用户容易使用先进的的数学技术( 例如：因式分解，符号积分，吴方法等) 通用的符号计算软件不仅有操作符号计算的能力，而且还实现了很多强有力的和复杂的 算法 3 、它帮助研究者完成大量繁琐运算的证明例如：四色定理的证明，为了得到结论， 需要验证大约2 0 0 0 多种地图满足某些性质，这只能通过计算机来完成 4 、它帮助研究者通过大量例子进行试验，验证猜想。 5 、它使一些古老的数学问题获得新生例如：大整数的素数判定和分解，该问题在 焦小玉：a c = b d 理论在偏微分方程机械化求解中的应用 编码理论中有重要应用。 6 、它促使研究者改进已知的算法和发明新算法 当然符号计算软件也有其不足之处，主要表现在： 1 、计算机代码的局限性。利用符号计算软件时，常会遇到时间和空间的限制，其原 因部分在于运用的是准确运算和符号表达式，部分在于缺乏有效的算法 2 、中间表达式膨胀。使用符号计算软件时一个常见的也是最严重的问题就是中间表 达式膨胀【5 4 】中间表达式的规模与输入表达式的规模之间的关系可能是线性的，也可能 是指数的甚至是双指数的。例如，对于辗转伪除法( “无分式”除法) ，他们之问的关系是 指数型的。 3 、输出难于管理用户可能发现系统会返回难于处理的大型输出例如一般4 次多 项式的完全解集，其公式会超出整个屏幕。 4 、可靠性软件中所含的错误是一个重要的问题大多数通用系统的基本运算，如 大整数加法和乘法，都是非常可靠的，但是关于复杂算法的软件，很可能有错误 随着计算机代数的发展和计算机性能的改进，符号计算软件必然会越来越趋向成熟 尽管如此，作为符号计算软件的用户，仍然有必要追求算法上的创新，从而进一步提高符 号计算的效率 1 0 大连理工大学硕士学位论文 第二章“a c = b d ”理论与c d 对的构造方法 自从张鸿庆教授 4 1 于二十世纪六十年代提出了“a c = b d ”思想，并于1 9 7 8 年发表 以来，他和他的学生们在这方面做了大量的工作，使得这一思想在电动力学、弹性力学、 流体力学、量子力学、孤立子理论、物理学等方面得到了广泛的应用。这一思想是一个开 放的体系，遵循“简易、变易、不易”的原则近年来该思想推广到解决非线性问题中， 张鸿庆教授又提出了c d 可积系统与c d 对的概念，形成了在微分方程( 组) 求解中的 c d 可积理论，在孤立子理论及其应用方面有了很好的成绩本章简要介绍张鸿庆教授 提出的关于微分方程( 组