（流体力学专业论文）TS波与边界层尾缘相互作用的数值研究.pdf

中文摘要 流体中脉动产生噪声的机理是气动声学研究飞行器噪声的关键问题之一。现 代喷气式飞机在起飞和着陆时将发出强大的噪声。其主要噪声源之一，是在机翼 的尾缘、喷流发动机的出口处，流体流过尾缘时产生的强烈脉动。边界层中的扰 动在尾缘处可能产生较强的散射：上游中的扰动会导致尾迹流中的不稳定波产 生；边界层中的扰动与尾迹流产生的不稳定波相互作用，这些都是可能的噪声源。 目前这类流动产生噪声的机理人们还不太清楚。 本文用直接数值模拟的方法，研究了二维亚音速的情况下，上下来流相同的 流体流过一无限薄平板时，平板单边的t s 波和尾缘及尾迹流相互作用产生声场 的可能性。 在计算定常的基本流时，为消除机器误差，在尾缘以后对应中心线上采用了 限制条件：若h 1 0 “2 ，则将- v 赋成0 。我们分别对四种情况进行数值研究，得出 如下结论： ( 1 ) 平板尾缘以后对应中心线上全部加限制条件。当t s 波传过尾缘以后， 尾缘对其基本上没有影响：t s 波的频率和波长都没变，也没有声波产生。 ( 2 ) 在平板尾缘以后对应中心线上某点以后用限制条件。由于流动中的扰 动在流场中加条件的位置上被限制，这相当于在该点加了一个强的扰动。这个扰 动将产生类似点源产生的声场，声场的波动特征与加在入口处的t s 波没有直接 的关系，而与尾迹流中的不稳定波有关系。 ( 3 ) 不加限制条件，初始时在平板上侧加入t s 波，然后在计算域的入口 处加相应的t - s 波。这时，流动中初始阶段出现了类似由点源产生的声场，但是 该声场不能持续维持。其原因是由于初始时刻t s 波在尾缘处突然间断。 ( 4 ) 不加限制条件，只在计算域的入口处加t - s 波。尾迹流中的l i g h t h i l l 应力张量能在远场产生声场。不过这时声源不再是一个点，而是一个区域；该声 场的波动特征也主要依赖于定常尾迹流的速度分布产生的不稳定扰动。 关键词：t _ s 波，边界层尾缘，声波，直接数值模拟 a b s t r a c t t h em e c h a n i s mo fg e n e r a t i o no f n o i s e sd u et ot h ef l u c t u a t i o ni nt h ef l o w si so n eo f t h ek e yp r o b l e m si ns m d y i n gt h en o i s e sg e n e r a t e db ya i r c r a f ti na e r o a e o u s f i c s m o d e m j e tp l a n ew o u l dg e n e r a t es t r o n gn o i s e sw h e ni tf l i e so f fo r1 a n d s 脚1 o n eo f 也em a i n c a u s e so ft h en o i s e si st h es t r o n gf l u c t u a t i o ng e n e r a t e db yt h ef l o w sp a s s i n gt h r o n gt h e t r a i l i n ge d g eo ft h ea i r f o i l a n dt h eo u t l e to f j e te n g i n e n l ep m b a b l es t r o n gd i s p e r s e g e n e r a t e db y t h ed i s t u r b a n c ei nb o u n d a r yl a y e rf l o w sa tt h et r a i l i n ge d g e ，t h ei n s t a b l e w a v e si nt h ew a k ef l o w sg e n e r a t e db yt h eu f s t r e a md i s t u r b a n c ea n d 也ei n t e r a c t i o n s b e t w e e nt h ed i s t u r b a n c ei nt h eb o u n d a r yl a y e rf l o w sa n di n s t a b l ew a v e sj nt h ew a k e f l o w sm i g h tb em a i ns o u r c e so f t h ec a u s e w h e t h e ro rn o tt h es o u n df i e l dw o u l db eg e n e r a t e db yt h ei n t e r a c t i o n sa m o n gt h e t _ sw a v ei n t r o d u c e da tt h ee n t r a n c eo f o n es i d eo f t h e p l a t e t h et r a i l i n ge d g ea n dw a k e f l o w si ss t u d i e db vd i r e c tn u m e r i c a ls i m u l a t i o n w h e nt h es a m e2 - ds u b s o m ei n c o m i n s f l o w sp a s st h r o u g ha i n f i n i t e l yt h i nf l a tp l a t e t oe l i m i n a t et h ee i t o rc a u s e d b yc o m p u t e r , w ea d o p t ar e s t r i c t i o n a lc o n d i t i o nt h a ti f t h ea b s o l u t ev a l u evi sn o tg r e a t e rt h a n1 0 。2 w eg i v ez e r ot 0vt og a i nas t a b l eb a s i c f l o w f o u rd i f f e r e n ti n s t a n c e sa r ec o n s i d e r e da n dt h en u m e r i c a lr e s u l t sa r el i s t e db e l o w ： ( 1 ) t h er e s t r i c t i o n a lc o n d i t i o ni su s e df o rt h es y m m e t r i c a il i n ef i - o mt h et r a i l i n g e d g e o f t h e p l a t e t ot h eo u t l e to f t h e c o m p u t a t i o n a ld o m a i n t h et r a i l i n ge d g e h a sa l m o s t n oi n f l u e n c eo i lt h et - sw a v ea f t e rt h et - sw a v ep a s s e st h r o u g hi t t h e r ea r ei l oc h a n g e s i nt h ef r e q u e n c ya n dw a v e l e n g t ho f t h et - sw a v ea n dn 0s o u n dw a v e e m e r g e s + 陀、t h er e s t r i c t i o n a lc o n d i t i o ni 8u s e df o rt h es y m m e t r i c a ll i n ew h e r et h exv a l u e s f r o mx t ox ，t h ec o n t r o lo ft h ed i s t n r b a i l c ei nt h ef l o w sg e n e r a t e das t r o n ga r t i f i c i a l d i s t u r b a n c ea tx as o u n df i e l dt h a ti s s i m i l a r l y i i k et h e s i n g l e s o u r c ew o u l db e g e n e r a t e dd u e t ot h ep r e s e n c eo ft h ea r t i f i c i a ld i s t u r b a n c e a n di ti sn o tt h et - sw a v e s b u tt h ei n s t a b l ew a v e st h a th a v et h er e l a t i o n sw i t ht h ec h a r a c t e r so f s o u n df i e l d ( 3 ) u n d e rt h ec o n d i t i o n st h a tt - sw a v ei si n t r o d u c e di n i t i a l l yo nt h eu p p e rs i d eo f t h ep l a t ea n dt h e l lt h et - sw a v ei si n t r o d u c e da ti n l e ta l lt h et i m ew i t h o u tt h e r e s t r i c t i o n a lc o n d i t i o n ，t h ed i s t u r b a n c e sl e a dt oas o u n dw a v el i k et h eo n e g e n e r a t e db y s i n g l es o l l y c eb e c a u s eo f t h ed i s c o n t i n u a t i o na tt h el e a re d g eo f t h et - sw a v ee x i s t e di n a l lt h ef i e l do i lt h eu p p e rs i d eo f t h e p l a t e b u tt h i ss o u n d s o n r c ec a l l tl a s t ( 4 ) n or e s t r i c f i o n a lc o n d i t i o n sa r eu s e da n dt h et - sw a v ei si n t r o d u c e do n l ya tt h e i n l e to ft h ec o m p u t a t i o n a ld o m a i n t h el i g h t h i l ls t r e s st e n s o r si nt h ew a k ef l o w sc o u l d g e n e r a t es o u n df i e l di nt h ef a rf i e l d h o w e v e r , t h es o u n ds o i r c ei sn o tas i n g l es o u s e ， b u tl o c a t e si nar e g i o n t h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h es o u n df i e l d m a i n l yr e l y o nt h e d i g t l l r b a n c eg e n e r a t e db yt h ei n s t a b i l i t yo f t h e v o l i c i t y sd i s t r i b u f i o no f t h es t e a d yw a k e f l o w s k e yw o r d s ：s o l d w a v e ，t - sw a v e ，t h et r a i l i n ge d g eo f s u b s o n i cb o u n d a r yl a y e r , d i r e c tn u m e r i c a ls i m u l a t i o n ( d n s ) 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得鑫盗盘鲎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：占 签字日期：_ 妇争年j 月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解基茎盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权鑫洼盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 一魏、与铲 签字日期：嘲1 年，月，日 导师签名 签字日期：炒一尹年，月日 第一章绪论 1 1 本文的目的和意义 第一章绪论 很久以来，人们对压力、密度变化产生声波的现象比较熟悉。然而，对由 流动脉动产生噪声的机理，一直没有形成系统的研究。直到二次世界大战以后， 随着飞机和火箭等航空航天飞行器的蓬勃发展，强大的动力产生的气动噪声严重 地污染环境，这使大家开始重视气动噪声的问题，进行了越来越多的研究，随之 形成了气动声学这门学科【1 l 。 作为气体动力学和声学的交叉学科，气动声学着重研究流动本身以及流动与 物体相互作用产生的脉动导致噪声的机理。气动声学研究的典型问题是航空航天 和工业领域中，发动机、叶轮机械等由于流体脉动产生的噪声问题。对飞机，尤 其是直升飞机，流体产生的气动噪声通常是很重要的。这些噪声包括发动机射流 噪声、机翼和旋翼噪声以及机翼边界层脱离尾缘后的噪声等。气动噪声会引起问 题，有时是严重的。现代喷气式飞机在起飞或着陆时，发出的噪声往往超过儿o 分贝，严重地污染环境；英法合作研制的协和式超声速客机就是由于噪声不符合 许多国家的环境法规而被禁止在这些国家起降；在某些情况下，噪声能造成结构 的疲劳、断裂以致破坏叱因此，研究气动噪声的机理，预测其发生、发展，并 且最终能控制气动噪声，正变得越来越重要，日益引起了学术界和工业部门的重 视。 由于环境保护意识的提高，有关管理部门对噪声的控制要求更为严格。气动 声学不仅要研究如何降低现有飞行器的噪声，而且也要考虑未来飞行器的噪声问 题。毋庸讳言，这些都是艰巨的挑战，但同时也给气动声学带来了难得的机遇。 由喷流引起的气动噪声的研究大致经历了两个阶段： 五、六十年代以前，主要是依赖于实验，以及在此基础上形成的一系列经验 方法以及相应的理论推导。五十年代l i g h t h i i i 2 - 3 1 提出四极子模型，建立了声 学比拟理论，为噪声的研究提供了强有力的理论依据，是气动声学研究的里程碑 工作。后来许多学者如l i l l y 【“，p h i l l i p s 【“、p o w e l l 【“、f f o w c sw i l l i a m s h a k i n g s 【7 | 、k i r c h h 。f f 【8 】对这一理论进行扩充和发展，尤其是k i r c 。f f 【8 】提 第一章绪论 出了用于预测声场的的积分方法，这一建立在对包含所有气动声源的封闭曲面进 行积分基础上的积分方法，已成为工程技术应用中气动声学研究的基础。 以上的理论是建立在流场中的脉动量已经知道的基础上。虽然流场中，波、 涡相互作用产生声源有一些早期的理论和实验的研究结果，但当流场脉动量是与 时间有关时，给出波、涡相互作用产生声源是很困难的。 七十年代以后，由于计算机技术以及计算流体力学的迅速发展，数值模拟已 成为研究流体力学问题的一个有力的武器。在此基础上将流体动力学的计算与气 动声学结合起来，由此产生的计算气动声学( c a a ) ，为人们对噪声的研究提供了 非常有力的工具【9 。 和普通的流体力学问题一样，理论分析、实验研究和数值模拟是了解噪声基 本机理的三种手段。对于飞行器噪声的研究来说，虽然飞行实验和风洞实验是常 用的方法，但面临着许多困难，如费用昂贵、风险较大、大气环境变化大等问题。 而随着计算技术的飞速发展和高速计算机的出现，采用数值技术来模拟气动声学 问题变得经济、可行。 边界层流在尾缘产生噪声源的机理是气动声学研究飞行器噪声的关键问题 之一。机翼的尾缘，喷流发动机的出口处，边界层在尾缘以后将变为尾迹流。边 界层中的扰动在尾缘处可能散射；在尾迹流中产生扰动，导致尾迹流中的不稳定 波产生；二者相互作用；这些都有可能成为主要的噪声源。但这些流动究竟是怎 样产生噪声源的，人们还不太清楚。因此，研究t - s 波在边界层尾缘附近扰动的 演化情况，弄清t s 波与边界层尾缘相互作用的机理，具有重要的理论价值和实 际意义。这对于提高空天飞行性能、隐身性能及最后控制气动噪声的工作等都具 有重大意义。 1 2 气动声学的理论研究 气动声场研究的主要困难在于它研究的是一个多尺度、非定常的复杂流动。 由于流动中包含大量的扰动，并且小扰动量和主流运动混在一起，很难确定哪一 部分量能以声波的形式辐射出去。 在上世纪5 0 年代以前，虽然有些实验和理论工作直接或间接地涉及了气动 噪声问题，但是主要关注流动中何种频率的分量会产生何种频率的噪声，而对于 给定流动能产生多大强度声场的问题则几乎没有研究。 第一章绪论 1 9 5 2 年，l i g h t h i l l l 2j 填补了这一空白。他比较了流动控制方程和静止介质 中声波传导方程，将控制方程重新改写为类似于波动方程的形式，流体运动和气 动噪声通过方程右端的l i g h t h i l l 应力项联系起来。流动产生的噪声相当于应力 作用到一均匀静止介质产生的声波运动。这样可以通过求解近场流动产生的 l i g h t h i l l 应力项，进一步得出远场噪声。l i g h t h i l l 的理论将整个流场分为近 场和远场。近场为声源区，包括声能量源、声和流动的相互作用( 如声的散射、 输运、衰减等) ，在这一区域，所有的流动参数认为是已知的。远场为声的传播 区域，假定该区域是均匀静止的无界介质。 1 2 1l i g h t h li i 的气动声学理论 气动声学比拟理论大大地简化了气动声学的物理模型，它标志着作为流体力 学和声学的交叉学科一气动声学的发端，具有重要的学术意义和应用价值。 ljg h t h i l l 的气动声学理论考虑流动的基本方程( 连续性方程和动量方程) ， 若忽略流体的粘性和质量力如下： 由式( 卜1 ) 可得守恒型方程： 亟+ 塑堕+ 鱼：o m 硪ia x t ( 1 - 2 ) 假疋禾扰动时的胜力p o 为常数，则( 卜2 ) 式司写为： 孥+ 融坳嘞) 嘞 = 。 ( 1 - 3 ) 其中毛在i ，j 相同时为1 ，不同时为0 。若考虑线性问题，那么“，“，为二阶小量， 且有p - p 。= c 2 ( p p 。) ，同时考虑( 卜1 ) 、( 卜3 ) 式有 害影等= 。 0 一a ， 这就是由线性理论得出的波动方程。如果空间连续分布着源，设质量的增长率为 劫一 如 垫乜 鬻知 第一章绪论 q ，于是连续性方程变为害+ ! 当：q ，结合( 卜1 ) 式中的动量方程，可得 6 f靠? 睾等= 詈 ( 卜5 ) 式就可以用来解释单极子辐射的问题。 于是动量方程便可写为 一a , o “i , i - c z 塑：f研缸 “ 结合( 卜1 ) 式中的连续性方程，可得： 馨一c 2 垂：一盟 研2融?缸 ( 1 5 ) 如果流体单位体积上存在外力， ( 1 6 ) ( 卜7 ) 式( 1 7 ) 就可以用来解释偶极子辐射的问题，这是由线性理论所得到的结果。 若空间既没有连续分布着的源，又不存在外力，那么波动方程( 卜4 ) 只有零 解，不会产生声场，但这与实际情况不符。l i g h t h i l l 指出，在这种情况下，流 体的发声是由于总的动量流和线性理论的差值造成的，而这一部分在线性理论中 被丢掉了。这个差值应为： 乃= 肛。“，+ 【( p p 。) 一c 2 ( p p 。) p d ( 1 8 ) 考虑这个差值，动量方程应写为 丝+ c ：竺：一盟 8 t a x i瓠l 结合( 卜1 ) 式中的连续性方程，可得： 生一r ：生：塑l 魏2 苏j舐? 融 0 - 9 ) ( 卜1 0 ) 与方程( 卜6 ) 比较，可以发现这是具有强迫项的非线性方程。l i g h t h i l l 认为方 程( 卜8 ) 右端的强迫项是产生噪声的原因，该方程称为l i g h t h i l l 方程，其中的乃 称为l i g h t h i l l 应力张量。用方程( 1 8 ) 可以解释由l i g h t h i l l 应力张量引起的 称为四极子的声辐射问题。若考虑粘性的影响，则l i g h t h i l l 应力张量应变为： = p u ，“+ 【( p p 。) 一c2 ( p 一，。) p i f f ( 1 - 1 1 ) 第一章绪论 其中为粘性应力。 根据理论，l i g h t h i i i 指出噪声强度大致和主流速度的8 次方成正比，用此 理论考察了湍流噪声，特别对射流声场进行了细致的理论研究，所得结论被亚音 速及超音速射流实验的结果所证实。 1 2 2kir c h h o f f 积分方法 用于预测声场的k i r c h h o f f 积分方法】是建立在分析对于包含所有气动声 源的封闭曲面的积分基础上，已成为与气动声学有关的工程技术应用的基础。现 简单叙述如下。 考虑一般的气动声学方程如下： ( 可1 矿0 2 一等) p = 蛳，f ) 这里q ( 2 ，t ) 为源项，利用格林函数可以写出其解为 m 牡j 户( 歹一蛾4 m - 协 fs ( 卜1 2 ) ( 卜1 3 ) 其中6 ( g ) 为d i r a cd e l t a 函数，g = r - o 一言) ，= 障一歹l ，s 为包含所有源项的 区域。这样，对于单极子，偶极子和四极子声音的辐射我们可以直接写出其解为： ( 1 - 1 4 ) ( 1 - 1 5 ) p 骶力：古去冀 后来的学者们认为对于运动的声源，不但有l i g h t h i l l 源项的贡献，还要考 虑k i r c h h o f f 表面源项的贡献，包含有k i r c h h o f f 表面源项k 的气动声学方程： f 击鲁一要 p ：去黑+ 世( 1 - 1 7 ) - , j l 丁矿一霹尸2 可面万“ 嬲 卜万 勺锄 竺锄 卜孑 卜 竺翻 轲 珧一 旦阢 ，一伊 ，一c 第一章绪论 其中一陪等+ 和伊昙 p 等酬一苦c 胛c m 厂为s 的表面 n ，为厂的外法线方向，m 。= , i n ，c 。 l i g h t h i l l 最初的比拟理论是将非定常流动区域嵌入到一无限大的、无固壁 存在的静止各向同性介质中，认为远场声源具有四极子性质，并未考虑固体边界 对气动噪声的影响。c u r l e l l oj ( 1 9 5 5 ) 将固壁对气动声场的作用加到比拟理论中， 证明固壁作用于流体的脉动压力会导致有偶极子性质的噪声。后来，许多学者如 p h i l l i p sh ( 1 9 6 0 ) 、p o w e l i1 6 1 ( 1 9 6 4 ) f f o w c sw i l l i a m s & h a w k i n g s1 7 ( 1 9 6 8 ) 等考虑 声一流动干扰和其他影响，进一步改进了比拟理论。 总之，无论是工程技术应用还是理论研究，也无论是对流动致声或声控流动 问题，准确、细致地确定气动声源的问题已成为气动声学发展的迫切需要。 1 3 有关的流动稳定性问题 在机翼的尾缘或喷流发动机的出口附近，由于固壁形成的边界层在离开尾缘 后变为尾迹流。边界层中的扰动在尾缘处可能产生较强的散射而成为噪声源：边 界层流变为尾迹流后，由于尾迹流是很不稳定的，上游中的扰动会导致尾迹流中 的不稳定波产生，这是由尾迹流自身不稳定性导致的不稳定波；边界层中的扰动， 尾迹流产生的不稳定波，二者相互作用也是可能的噪声源。 一般来讲，边界层中的扰动是很复杂的。作为理论模型，我们把由流动稳 定性理论得到的扰动波认为是边界层中扰动的主要成分来研究其可能形成的噪 声源。 流动稳定性理论作为个系统的理论，是为了解释流动从层流转捩为湍流的 机理而形成的。流动稳定性是指某种形态的流体运动受到某一扰动后恢复原来状 态的能力。若能恢复到原来的状态，则称为稳定的；反之，是不稳定的。 为了简单起见，我们介绍不可压的线性稳定性问题，可压的线性稳定性问题 与之类似。线性稳定性讨论小扰动的稳定性问题，s q u i r e ( i 9 3 3 年) 曾找到一种 变换，把不可压的三维扰动化为二维问题，并且证明，二维扰动总是先于三维失 稳。 不可压缩二维无量纲化的n s 方程式 第一章绪论 设基本流动为“= 万( y ) ，v = 0 ，芦( x ) ；扰动量为“，v ，p 。代入n s 方程，消去基本 流动满足的方程，保留扰动量的线性项，得到 础a v ， + 一2 u 舐加 丝磊型+ v ，堡：一型+ 土v ，。，(卜19)4- 一 “+ v = 一二+ 一v ，m l 一 研缸西如r e 型+ 玎型：一型+ 上v ：。， 乱a v跏r e 对二维问题，可引入流函数l f ，： “，：坐v ，：一旦( 卜2 0 ) 缈 出 并假定扰动的流函数v 为行进波的形式 y ( 五y ，f ) = 庐( y ) e x p i ( a x 一研) 】 ( 卜2 1 ) 对应的扰动速度是 。，：掣：声，( y ) 。岫训，：一娑：啦( y ) e 怖训( 1 - 2 2 ) o y “ 将流函数代入受扰方程并消去扰动压强，得到著名的o r r s o m m e r f e l d ( 0 一s ) 方程： ( d 2 一口2 ) 2 庐= i o ：r e ( f f c ) ( d 2 一a2 ) 一百”】庐 ( 1 2 3 ) 其中：d = d d y ，万”= d 2 玎d y 2 。平行流线性稳定性的关键就是求解这个四阶、 线性、齐次的常微分方程 方程( 卜2 1 ) 代表的这类行进波在平行流的稳定性研究中常称为 t o l l m i e n s c h l i c h t i n g ( t - s ) 波。其中：a 是波数；是频率，如口取实数，则国 一般为复数，= ，+ f 功，则称为时间模式，扰动在空间是周期的，扰动的幅值 将随时间而演化；如0 1 取实数，则口一般为复数，a = a ，+ i a ，则称为空间模 式，扰动在时间上是周期的，扰动幅值随空间演化。 蝎 器 上趾 印一魄 啦 = 产 塑 也 叶 j j 卜 堕帆百 第一章绪论 鉴于扰动量方程是线性的，一般的扰动可看作是各种不同波数扰动的叠加， 如果各种不同波数( 或频率) 的扰动都衰减了，则称原基本流动是稳定的；如果 某种波数( 或频率) 的扰动下，它转化为另一种层流，或转变成湍流，该基本流 动就是不稳定的。 为了研究流体的流动状态是否稳定，人们从n s 方程在一定初、边值条件下 得到的层流解上，叠加上一个小扰动( 这里一般指的是t s 波) ，然后通过分析 扰动能量或扰动幅值的衰减或增长来判断某种流动状态的稳定性，这就是目前应 用较广泛的线性稳定性理论的基本做法。 本文将研究加在计算域入口处的t - s 波，传播过边界层尾缘，及在尾迹流中， t s 波与尾缘及尾迹流相互作用能否产生声波的问题。 1 4 三层结构理论的研究结果 三层结构理论是一种比边界层理论更细致的渐近分析理论。 p r a n d t l 的边界层理论对于边界层的研究已相当深刻和透彻，但由于自身的 不足，不能用于分析边界层流经尾缘的特性。三层结构理论为尾缘点邻域的局部 区域上的小尺度流动现象提供了具有基准性质的局部区域的解。由该理论得出的 平板边界层尾缘邻域的压力分布曲线与m e s s i t e r 叫( 1 9 7 0 ) 的结果相比较，二者 吻合得非常好。 l p r a n d t l 提出的边界层理论( 1 9 0 4 ) 是粘性流研究的划时代进展，标志着 近代流体力学的形成。由此产生的粘性边界层方程与无粘e u l e r 方程渐近匹配求 解高r e 数流动的方法，取得了极其丰硕的成果，解决了摩阻、传热率等众多工 程问题。边界层理论的广泛应用促进了应用数学中著名的匹配渐近展开方法的形 成和广泛应用。 一。 l 图卜l 边界层内的流速分布示意图 第一章绪论 如图卜1 所示为均匀来流到达平板尾缘邻域的流速分布示意图。在流场的 绝大部分区域，经典的边界层理论是适用的。 p r a n d t l 的经典边界层理论有三个特征： 1 、双层结构：无粘的欧拉区和粘性边界层区； 2 、分层模式：无粘区域的求解不依赖于粘性区域； 3 、方程的抛物性。 这些都使边界层方程不再适用于前缘点、尾缘点、分离点、再附点、壁面局 部凸凹等邻域的局部区域。而上述区域的流动问题是在流体工程技术领域中普遍 存在且需解决的问题。三层结构理论拓广了经典边界层理论，形成了可以对局部 区域流动进行分析的更细致的渐近匹配理论。 该理论的基本思想是通过对粘性一无粘相互作用的数量级分析，在流动条件 发生突然变化的分离点x o 的邻域导出三个不同的尺度，得到了个高度和宽度 都是0 ( r e “8 ) 的局部三层结构，各层满足不同的控制方程。应用匹配渐近展开 法得到的总体控制方程组呈椭圆形数学结构，从而克服了抛物型边界层方程因不 能计及逆流的影响而在x o 处出现奇异性的困难。 和经典边界层理论的双层结构相对应，三层结构理论将整个流动分为三层 各层的分布如图1 - 2 所示： o ( r e 势流层 id ( r e 一) 二，l 卜磊1 图卜2 三层结构示意图 图卜3 给出了尾缘点之后的局部邻域的特性，用三层结构理论对其流动分析 如下：在刚流过尾缘时，除了中心线以外，剖面仍是b l a s i u s 剖面；在y = 0 附近， 第一章绪论 必然存在一厚度为s ( x ) 的粘性亚层，其中s 正比于x 的1 3 次方。 刊 j 乡? ，- 。 粘性亚层 图1 3 尾缘点之后的局部邻域的特十牛 在这一粘性亚层内比较由排移引起的压力梯度项和惯性项： ( 1 2 4 ) 3 从公式可以看出，如果z r 一，那么压力梯度远小于惯性，传统的边界层 一兰一三 分层仍然有效，但是当x r8 或者有量纲量j rs l 时，二者是相当的。 3 在尾缘o ( r8 ) 附近，粘性运动引起的压力也能驱动运动：粘性和无粘流体 开始相互作用。虽然底层仍由传统的边界层方程来控制( 因而看似抛物型的) ， 但是由于压力由l a p l a c e 方程来控制，因而整个系统是椭圆型的。这有别于经典 边界层理论的抛物型系统。 p g 目s s u r ed i s t r i b u t i o n z 。“”：j ：嚣裟z 盈：翟謦一( z r a ) -一d i f 南时a 蝴a k l l l 图卜4 尾缘点邻域的压力分布曲线比较 i 量 寸f 胪 筹 生姒 第一章绪论 j o b e & b u r g r a f f ( j f m ，1 9 7 4 ) 解出了由三层结构分析得到的封闭方程组。图 卜4 是他们得到的诱导压力的分布曲线与m e s s i t e rl i i j ( t 9 7 0 ) 的实验结果作比较， 二者吻合得非常好。 三层结构的渐近方法也可以用于计算声场。x u e s o n gw u l l 3 j 的研究表明，除 了控制近场流体力学运动的三个渐近区域外，再引入一个控制声辐射的外区，就 可以用三层结构的渐近方法计算声场。近场解通过s = r “”的降次幂渐近展开来 求得。渐近级数的前三项分别作为四极子、偶极子和单极子源，它们对声远场的 贡献有相同的量级。 1 5 本文的主要工作 本文研究的问题是机翼的尾缘或喷流发动机的出口附近流动的发声机理。把 机翼的尾缘或喷流发动机的出口简化为一无限薄、有尾缘的平板，平板两侧的上 游都是边界层流，边界层流在尾缘处汇合，在尾缘下游形成尾迹流的物理模型。 本文的主要目的是考察该单边加的t s 波和尾缘的相互作用是否能在尾缘处产 生声波。 产生声波有三种可能的途径：( 1 ) 边界层中的扰动在尾缘处可能产生较强的 散射而成为噪声源：( 2 ) 边界层流变为尾迹流后，由于尾迹流是很不稳定的，上 游中的扰动会导致尾迹流中的不稳定波产生，这是由尾迹流自身不稳定性导致的 不稳定波；( 3 ) 边界层中的扰动，尾迹流产生的不稳定波，二者相互作用也都是 可能的噪声源。 用直接数值模拟的方法，研究二维亚音速情况下，一无限薄的、两侧都有边 界层的平板，在上下来流相同的情况下，单边的t - s 波和尾缘的相互作用。 首先为了得到定常的基本流，分别将x 方向加密和不加密两种方式得到的基 本流加以比较，以判断x 方向尤其是尾缘点邻域的网格是不是足够密；然后将二 者的诱导压力曲线和三层结构的结果作比较，以确定基本流计算的正确性。 在定常基本流的单边入口处分别以不同方式加入不同频率和幅值的t s 波， 研究t s 波与边界层尾缘的相互作用，以及t s 波和尾迹流的作用，判断声波的 存在并研究其特性。 第二章控制方程及数值计算方法 第二章控制方程及数值计算方法 1 1 计算域及控制方程 jk y q刊 刊- 叫 - 一 t - s 波 夕 0 b 、 p 尾缘点 “， l l l i，、。l i 、 7 7 i 葺 图2 - 1 坐标系及计算域的示意图 以平板的尾缘点为坐标原点，主流方向为x 方向，平板的法向为y 方向，无 限薄的平板位于x 的负半轴。以平板边界层尾缘为中心、流向和法向长度分别为 2 z ，和2 y ，的局部邻域为本文研究的流动区域。 在平板边界层内速度分布曲线为b l a s i u s 剖面；在平板尾缘以后，平板两侧 的流动汇合在一起，越向下游，中心速度越大，越接近于尾迹流的速度分布。 1 1 3 二维守恒型n s 方程 在上述坐标系下，守恒型二维可压缩流动的n s 方程可写为： o _ 2 _ v + 丝+ 笪：堕- i 一堡( 2 - i 1 第二章控制方程及数值计算方法 表达式中，u 为守恒型通量，娑和娑为对流项，其中包括压力项，孕、誓 瓜 o y出们 为粘性项，其中包括热传导项。其中： u = e ，= 弘2 肼1 p “2 + p j ，f = ，w vl ( 脚。+ p - j e = p v p u v p v + p ( 肛。+ p ) v o 似 州 u t y x + p t y y 一以 r 。= ；( 2 b x - - 。 y ) ，= = 卢- ，q ) ，= 詈口( _ u x + 2 v y ) 驴三o2 卅+ 志心= - k 正吗= - k t ， 其中u ，v ，p ，t ，p ，七，q ，g 。分别为流体的流向、法向速度，压力，温度，密度， 粘性系数，热传导系数，流向、法向热通量。 状态方程为： p = 础?( 2 - 2 ) 其中，r 为气体常数。 2 1 2 方程的无量纲化 以尾缘处的边界层动量厚度占为特征长度，来流速度“。为特征速度，无穷 远处的密度p 。，温度l 和粘性系数。，分别对相应的物理量进行无量纲化。下 标“。”表示无穷远处的参数，上标“聿”表示无量纲的量，则有如下的关系式： 无量纲数：马赫数m 。：堡，雷诺数r e ：垦型堑，音速：厩， a 。 x g 一 坤 fp+ h o k 盯 窖霉 儿 第二章控制方程及数值计算方法 粘性系数f 蔚足s u t h e r l a n d 公式 p = ，l ，i ，+ + c 石 ( 2 _ 4 ) 其中c 2 1 1 0 4 k r 。，p 为p r a n d t l 数定义为p r = 孵k ，c ，是定压比热，p 在 计算中取常数0 7 2 。y 为比热比，取为1 4 。 将无量纲的量代入n - s 方程，可得无量纲的n - s 方程。为方便起见略去上 标“ ”，则所得方程的形式与( 2 一1 ) - f 4 ，u 、e 、f 的形式不变，e v ，e 中 各个分量的形式也基本不变，但粘性应力项要除以雷诺数r e ，热通量表达式为： 状态方程变为 2 1 3 计算方法 1 、通量分裂 ” l 一面蒜正，其中i ：x ，v p = ；r r m 2( 2 5 ) 为了使用迎风差分格式进行计算，对流项应根据j a c o b i a n 矩阵特征值的正 负进行通量分裂。以x 方向的票为例，设j a c o b i a n 矩阵。a e = a ，其特征值为 咖 o u k ) ，i = 1 ，4 ，则可找到特征向量s 使a = s a s 。则通量可作以下分裂： 塑：堕塑：彳型：塑：o s a s - i u ：箜坠尘生：旦 o x3 ua xo x出 o xo x ：_ o s a * s - 1 u + _ o s a - s - u ：军+ 军( 2 - 6 ) o x出出6 k a 的四个特征值分别为a = “一口a ：= a ，= “，丑。= t + a 。a = d i a g ( 2 ，如，五，厶) ， 令兄；：生专幽，人t ：砒g ( 舛，麓，霉，砖) ，则e 可以分裂为e t ：e t ： 。翔，其 中i = l ，2 ，3 ，4 g = p 7 7 e ；= 尸忉- “+ 劈- a ) = p 群v ( 2 7 ) e ：= ，0 ( “2 + v 2 ) 叮+ 7 7 ；“n + 叩；, 1 22 “y 1 ) ) 第二章控制方程及数值计算方法 其中 7 7 = 雹+ ( 麓一2 雹+ 臂) ( 2 ，) 7 7 ；= 阮一碍) ( 2 ，) 7 7 ；= 阮+ 筲) ( 2 y ) 按照同样的办法可以得到，。与e 2 具有类似的形式。 分裂后，原控制方程( 2 - 1 ) 变为： 罢+ 要+ 等+ 要+ 冬：誓十冬( 2 - s ) 新出知 却却出咖 2 、差分格式 1 ) 空间差分格式 本文的计算中，对流项采用五阶精度的迎风紧致格式； 五阶精度的弱迎风紧致格式： 2 警+ 3 警= 瓦1 。( _ e i ：z + i 砭1 + 3 由一4 峨1 - 3 e _ ：) s 等+ 2 0 e & 二i 一= 忐幢：一- 2 e - t - 3 6 e t - + 4 皈。堰：) 在邻边界点，则需要降阶为三阶精度弱迎风紧致格式 盟0 x + z 堕0 x = 去4 弘s )j2 x 、 卜 iz堕+警=-l(se：,-4e0 x2 a x i 一- i ) 【缸 一， 同时，在邻壁面的网点上，采用y - 阶精度的中心型差分格式： r ：二 。 2 a v 粘性项采用的是六阶精度的中心型紧致格式 1 2 z ! 。+ 3 6 f ，+ 1 2 儿：塑& 五出量盘二必， 拟 2 ) 时间差分格式 第二章控制方程及数值计算方法 时间上采取二阶龙格一库塔( r u n g e - k u t t a ) 差分格式。在求解非定常流动时， r u n g e k u t t a 法是常用的时间离散格式，该方法最初用来解常微分方程。常微分 方程有一个独立变量，从初始条件出发，通过对方程积分，就可得到它的解。 j a m e s o ne t a l p o i - 2 3 j 和w r a y 等参照常微分方程的解法，构造了求解流体力学 方程的多步r u n g e k u t t a 格式。当将r u n g e k u t t a 方法用于流动方程的半离散差 ；、t 分方程时，时间被处理为独立变量。写作警= r ( u ) ，这里r 是空间导数的离散 讲 算子。2 步2 阶精度的r u n g e k u t t a 法有以下形式： 仁：霉+ 扣 与传统的一阶方法相比，该方法最大的优点是在保证计算结果和计算精度的前提 下，大大提高了时间步长，加快了计算速度。 3 、坐标变换 由于在边界层内y 向的速度梯度非常大，同时在边界层尾缘附近，流场中各 参数在x 方向的变化也很剧烈。为了更精确地反映各参数的分布，特别是便于更 准确地捕捉由尾缘处激发出的声波，而又不太加大计算量，应分别在x 向和y 向 采取变间距网格：y 向在平板上下两侧网格最密，向上、下边界方向逐渐变得稀 疏；x 向在平板尾缘附近两侧网格最密，向上、下游方向逐渐变得稀疏。这样就 保证了边界层尾缘的邻域内网格的分布足够密。为了分析加密前后的区别，我们 也给出了x 方向是均匀网格的结果。 头怀计舁是仕丹i - 刀i i = i 】作一爹臣叟珙庙聃计算坐杯上进仃盯。议对应于1 羽埋坐 标( x ，y ) 的计算坐标为( 亭，叩) ，在计算坐标中采用均匀网格。设x 方向的变换为 工：石( 善) ，y 方向的变换为y ：_ y ( 叩) ，则导数罢，要与导数罢，要的关系为 0 霄c