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数字电影系统图像压缩的研究 摘要 随着数字图像处理和数字显示技术的成熟和完善，数字电影技术也逐渐发展 起来，噬压缩且毯坐盛塑基羞毽遮数字电影的图像压缩除了要求高的压 缩比和主客观质量外，还有很多其它的要求用以满足影片的传输和播放，本论文 主要对d c i 的图像压缩进行了深入的研究及相关改进。具体内容如下： 本论文通过对d c i 的数字电影规范中基于j p e g 2 0 0 0 的图像压缩部分进行的 分析和研究，在j p e g 2 0 0 0 的参考软件j a s p e r 的基础上，首先实现了完全符合 d c i 规范的压缩图像。 在此基础! 本论文根据d c i 的规定以及电影图像的特点n 提出了一种三维 小波加m x f 的编码方案，实现了两种不同帧率的视频流的兼容。实验表明新的编 码方案可以满足数字电影对图像质量的要求。 一i - 警 4 p e g 2 0 0 0 没有利用图像的帧间冗余，本论文用m c e z b c 方案对d c i 中的压缩方案进行替换改进。结果表明在得到主客观感觉的前提下，该方案可以 大大降低电影视频的码率。 考虑到j p e g 2 0 0 0 压缩算法较复杂，且比较耗时，洋论文还对j p e g 2 0 0 0 的并 行算法做了一定的研究，并实现了一个基于分布式的j p e g 2 0 0 0 并行压缩管理系 统，与其它该类型软件相比，该系统在满足可靠性要求的前提下，运行速度有很 大的提高。 关键词：d c i ，j p e g 2 0 0 0 ，并行压缩 t h er e s e a r c ho f i m a g ec o m p r e s s i o ni nd c i a b s t r a c t b e c a u s et h ed i g i t a lp i c t u r ep r o c e s s i n ga n dt h ed i g i t a lp r o j e c t o rt e c h n i c a l m a t u r ew i t hp e r f e c t ，t h ed i g i t a lm o v i et e c h n i q u ea l s od e v e l o p sg r a d u a l l y a n dt h ep i c t u r ec o m p r e s s i o na l s ob e c o m e si t sk e yc o m p o m e n t t h ep i c t u r e o ft h ed i g i t a lc i n e m ar e q u i r e sn o to n l yt h es u b j e c ta n do b j e c tv i e wq u a l i t y a n dt h eh i g hc o m p r e s s i o nr a t i o ，b u ta l s ot h ec o n v e n i e n c ef o rs t r e a md e l i v e r a n db r o a d c a s tw h i c hi sd i s c u s s e di nd c i sd o c u m e n t s t h i st h e s i sr e s e a r c ha n da n a l y s i st h ep i c t u r ec o m p r e s s i o no fd c it h a t a d o p tt h ew a v e l e tb a s e dp i c t u r ec o m p r e s s i o ns t a n d a r do ft h ej p e g 2 0 0 0 ， a n df i n i s hac o m p r e s s i o ns y s t e mw h i c hm a t c ht h ep r e s c r i p to ft h ed c i n o r mc o m p l e t e l yf i r s to nt h ef o u n d a t i o no ft h er e f e r e n c es o f t w a r ej a s p e r o ft h ej p e g 2 0 0 0 o nt h i sf o u n d a t i o n ，t h i st h e s i sp u tf o r w a r dak i n do f3 dw a v e l e tc o d i n g m e t h o nw i t hm x f ) a c c o r d i n gt ot h ep r o v i s i o no ft h ed c ia n dt h e c h a r a c t e r i s t i c so ft h ed i g i t a lm o v i ep i c t u r e t h i sm e t h o dc o m b i n e st w o k i n d so fv i d e os t r e a mw i t hd i f f e r e n tf r e q u e n c yr a t e si n t oas i n g l ef i l ea n d m a k e st h e mc o m p a t i b l e b e c a u s et h ej p e g 2 0 0 0s t a n d a r dd o e s n tm a k eu s eo ft h e i n t e r - r e d u n d a n c yf op i c t u r e ，t h i st h e s i su s e dt h em c e z b cp r o j e c ta sa s u b s t i t u t et ot h ec o m p r e s s i o np r o je c ti nt h ed c i t h er e s u l ts h o w s m c e z b cp r o j e c tc a ng e n e r a t el o w e rr a t eo ft h ed i g i t a lm o v i ev i d e o i nc o n s i d e r a t i o no ft h ej p e g 2 0 0 0c o m p r e s s e sc a l c u l a t ew a ym o r e c o m p l i c a t e d ，a n dr e l a t i v e l yc o n s u m e ，t h i st h e s i sr e t u r nt ot h ej p e g 2 0 0 0 a b r e a s tt h ec a l c u l a t ew a yd i dac e r t a i nr e s e a r c h ，a n dc a r r yo u tac o m p r e s s e s am a n a g e m e n ts y s t e ma b r e a s ta c c o r d i n gt ot h ej p e g 2 0 0 0o f t h ed i s t r i b u t e t y p e ，c o m p a r e dw i t ho t h e rt y p e ss o f t w a r e s ，t h a ts y s t e mi su n d e rt h e p r e m i s et h a ts a t i s f yc r e d i b i l i t yr e q u e s t ，t h em o v e m e n ts p e e dc o n t a i nv e r y g r e a te x a l t a t i o n i no r d e rt om i n i m i z et i m ec o s to nt h ej p e g 2 0 0 0c o m p r e s s i o n ，a l l p a r a l l e lt a s km a n a g i n gs y s t e mi sp r o p o s e d ，w h i c hc a nr u no nl a nb a s e d c l u s t e ra n da u t o m a t i c a l l ys t a r tj p e g 2 0 0 0 c o m p r e s s i o n k e yw o r d s ：j p e g 2 0 0 0 ，d i c ，p a r a l l e lc o m p r e s s i o n 独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京邮电大学或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 一j p 本人签名：芝逸 日期：2 壁。3 。鲤 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京邮电大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京邮电大学。学校有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许学位论文被查阅和 借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或 其它复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密在一年解密后适用本授权书。非保密论 文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 本人签名：_ 萎确 导师签名： 日期：塑p ：；p 北京邮电大学硕士研究生学位论文d c i 数字电影系统图像压缩的研究 第1 章d c i 数字电影系统及其视频技术概述 1 1d c i 数字影院系统概述 完整意义上的数字电影，是指从电影制作工艺、制作方式到发行及传播方式 均全面采用数字化技术。数字电影是数字技术全面介入电影的制作、发行、传输、 放映等各领域的科技成果。与传统胶片电影相比，数字电影最大程度解决了电影 制作和发行过程的损失问题，数字技术避免了传统电影从原始拍摄的素材到拷贝 经过多次翻制及电影放映多次后出现的画面、声带划伤，即使反复放映也丝毫不 影响音画质量。制作好的数字电影省去了费时费力的拷贝复制和运输过程，通过 硬盘或通过宽带网络、国际卫星就可以方便快捷地发送到世界各地的影院放映。 目前，我国的数字电影院线已跃居世界第二位。由于数字电影的迅速发展，2 0 0 4 年广电总局颁布了用以规范国内的数字电影市场的管理条例；2 0 0 2 年，在好莱坞 成立了邀主虫影创昱组组- 【d i g i t a lc i n e m ai n i t i a t i v e s ，d c i ) ，并于2 0 0 7 年颁布了 新的版本的数字电影规范【l 】。 数字电影工艺流程大致可分为以下几个阶段：影像的获取一 后期制作 发行_ 放映显示，如图1 1 所示。数字电影影像的获取可以通过三个途径：一 是数字拍摄，二是胶片拍摄，然后通过胶片扫描转换为数字影像( 胶转数) ；三是利 用计算机图像技术制作的影像。后期制作阶段包括特技效果的加入、编辑、校色、 音响合成等，制作出数字电影源母版( d i g i t a ls o u r c em a s t e r ，d s m ) ，再由源母版 制作出数字电影发行母版( d i g i t a lc i n e m ad i s t r i b u t i o nm a s t e r ，d c d m ) ，即可提 供发行。发行可通过网络实现，也可借助硬盘等物理媒介。借助数字放映机和播放 器，可以实现数字电影的放映。 图1 - 1 电影制作流程 d c i 数字电影系统图像压缩的研究北京邮电大学硕士研究生学位论文 1 2 数字电影关键技术 数字电影系统中的关键技术主要有数字、影像的拍摄及后期制作，数字电影 发行模板和发行包的制作，数字影院放映系统，数字版权及加密系统四个部分组 成。从数字电影发展的历程来看，首先是随着计算机技术的突飞猛进，利用计算 机进行的数字图像处理技术也有了巨大的发展。通过数字图像处理技术，制作者 可以用胶转数的方法，将胶片上的影像转为数字图像从而进行处理，处理完之后 再将数字图像转回胶片从而进行放映，如图1 2 ，1 3 所示。 图i - 2 胶片影片制作流程 图卜3 目前的数字处理电影制作过程 数字电影技术的第二个转折点是新的以d l p 为代表的数字投影技术，成像技 术的出现。以往数字成像技术，在影院的十几米高的银幕上投出的影像的亮度， 对比度，以及分辨率均达不到现有的胶片电影的水平，也正因为这个原因，模拟 影像技术牢牢掌握着它们最后的一块阵地。但是随着t i 公司革命性的d l p 投影芯 片的出现，数字技术产生的图像质量目前已经完全逼近胶片甚至有超越的趋势了， 这意味着目前有了直接播放处理完的数字中间片的可能，如图l - 4 所示。硬盘也可 以作为一种新的影片的载体了。 2 北京邮电大学硕士研究生学位论文 d c ! 数字电影系统图像压缩的研究 i 数字拍摄卜 数数数 字字字 影 图放 像像映 i 胶转数_ 处 l 理 i 计算机厶成卜+ 图卜4 带数字放映的数字电影制作过程 由此引出的一个新的问题便是数字影像的存储问题。为了逼近以及超越模拟 影片的图像质量，数字电影对图像的要求必然是高分辨率( 清晰度要求) ，高比特 深度( 对比度，亮度要求) 的。以d c i 规定的图像参数为例，一段9 0 分钟的电影 如果不压缩，需要的存储容量大约是9 4 t ，这样的数据量是很难直接拿到影院放 映的，图像压缩的重要性随即显现出来。 由上可见，数字电影的两大前提性关键技术是数字图像处理技术和数字投影 技术，而图像压缩技术也是使电影数字化成为可能的基础。 1 3 数字电影的图像压缩技术 数字电影的图像压缩在d c i 规范中称为数字电影发行包和数字电影发行模板 的制作。从d s m ( 源模板) 到d c d m ( 发行模板) 和d c p ( 发行包) ，是数字电 影系统的编码过程。d s m 包含的是原始的图像信息，图像格式多样化，并不统一。 d c i 规范中规定的d c d m 图像必须是2 k ( 2 0 4 8 宰1 0 8 0 ) 模式或是4 k ( 4 0 9 6 2 1 6 0 ) 模式，彩色空间为x y z ，比特深度为1 2 比特。因此，从d s m 到d c d m 大致 需要完成从r g b 到x y z 色彩空间的转化，从8 比特或1 0 比特到1 2 比特的转化， 以及对图像大小的调整以符合2 k 或4 k 模式。 d c i 规范中摒弃了传统的r g b 彩色空间而采用x y z 彩色空间，是因为 x y z 彩色空间中的编码值是颜色的绝对坐标值。它克服了r g b 彩色空间中基色 值在不同标准里数值不同，且即使是相同一组数值在不同属性的放映机上也可能 d c i 数字电影系统图像压缩的研究北京邮电大学硕士研究生学位论文 得到不同颜色的问题。 由于数字电影对屏幕尺寸和亮度及对比度的要求，d c i 选用的压缩标准必须 支持大图像尺寸( 最高4 k 模式) 和高的像素比特精度( 每个彩色分量1 2 b i t ) 。2 k 模式是d c i 对数字电影图像尺寸的最低要求，这是由于d c i 要求数字放映系统放 映质量等同或超过电影发行拷贝的质量。原底拷贝的分辨率可达4 0 1 p m m 以上， 所以数字影院的水平像素数至少要在2 k 以上。 从d s m 到d c p 的制作过程，不仅需要完成上述转化，还需要进行图像的压 缩。d c i 规范中规定，数字电影的图像压缩采用j p e g 2 0 0 0 标准的第一部分。 j p e g 2 0 0 0 对数字电影的压缩有其独有的优势。首先它支持任意色彩分量数据的压 缩，另外j p e g 2 0 0 0 标准的渐进特性可以很容易从原图像得到低一级分辨率( 原图 像1 4 尺寸大小) 的图像数据。这对数字电影来说，如果将低一级分辨率的图像数 据放在原图像码流数据的前半部分，那么d c i 规范中的2 k 模式和4 k 模式的兼容 很容易实现。2 k 模式放映时需要的图像数据仅仅是4 k 模式中的低一级分辨率的 部分( 即前1 1 4 数据) 。 d s m 的图像经过离散小波变换，均匀量化，嵌入式位平面编码，算术编码和 码流组织这一系列j p e g 2 0 0 0 2 的编码过程以后，就可以作为d c p 进行发行。 1 4 本课题主要任务描述 本课题主要来源于与北京电影学院的合作项目而进行的对d c i 数字电影制作 系统的研究。系统的框图如图1 5 所示： i 一一一一一一一一一一一一一i ii 4 ii d s m ( r g b ) d c d m ( r y z ) j p c 鹂流 m x f ( 音视频) 彩色空间变筷 斯e g 2 0 0 0 压鲡、b 函五丽鬲i 却放列表制作 i 一 一 d c p ( m x f + 叫 、l 显痧七e g 2 0 0 0 解参- - ( 亘j i j i 蘑李哪放列表解析 li ii ii l 图1 - 5 本项目系统框图 其中虚线框内的为本论文课题的主要研究对象。由于d c i 的相关标准目前也 北京邮电大学硕士研究生学位论文i ) c i 数字电影系统图像压缩的研究 没有完全制定完成，而且作为数字影院的行业标准，d c i 规定的内容相当宽泛， 本课题主要内容是对d c i 系统图像压缩部分的实现，并根据电影的特殊需求进行 相关研究，具体内容包括： d c i 视频图像的j p e g 2 0 0 0 压缩算法的研究和实现 基于小波变换的数字电影改进的研究 j p e g 2 0 0 0 并行算法的研究 基于分布式架构的视频压缩系统的研究及实现 由于j p e g 2 0 0 0 是d c i 指定的压缩格式，因此本论文先概述了小波图像分析 的基本理论，并从d c i 的角度概括了数字电影对视频压缩的要求，分析了基于小 波的j p e g 2 0 0 0 标准的关键和核心算法，并论述了其成为数字电影标准的优势所 在。 另外，根据d c i 数字电影的特殊要求，本论文在j p e g 2 0 0 0 的基础上提出了 基于3 维小波变换的时域渐进传输和多码率兼容方案；针对目前小波变换算法复 杂，运算量大的局限，提出了j p e g 2 0 0 0 的并行分布式计算的改进方案，并设计 完成了基于以太网的分布式数字电影压缩系统。 d c i 数字电影系统图像压缩的研究北京邮电大学硕士研究生学位论文 第2 章j p e g 2 0 0 0 图像压缩及在d c i 中的应用 2 1d c i 系统对图像压缩的要求 如前所述，数字电影的目标是达到和超越现有的胶片电影的图像质量，因此 对数字电影图像压缩首先要保证非常高的主客观质量，这一点是所有视频压缩应 用的共同要求。除此之外d c i 对图像又有其自身特殊的要求，而正是这些特殊的 要求决定了j p e g 2 0 0 0 成为数字电影图像部分的首选标准。 在第一章中提到，电影数字化的两个前提条件邀主图像处理技术嶝 逛影显丞攮查是促使电影从胶片转向数字的决定性因素，因此d c i 选择图像压缩 标准时不仅简单的从图像质量来衡量，而且还考虑了如何更方便的对数字电影进 行特效处理和进行影院放映。因此本节主要分析了d c i 图像在帧内帧间压缩模式、 多分辨率分级、码流组织等方面的特殊要求；然后介绍了小波以及基于小波的 j p e g 2 0 0 0 相关基本知识及其特性，并在本章最后一小结总结j p e g 2 0 0 0 如何满足 d c i 的要求。 2 1 1 帧内变换模式 在d c i 规范正式颁布之前，由于对数字高清电视研究的不断深入，很多对数 字电影的探索性研究也逐渐进行着。由于高清电视1 9 2 0 x 1 0 8 0 的分辨率在一定程 度上逼近了电影的效果，所以自然而然，高清电视的图像编解码技术也可以被运 用到电影中，典型的是直接用m p e g 2 ，h 2 6 4 格式对数字节目进行压缩。但是这 些基于帧间相关性的压缩标准虽然有非常好的压缩效率，但是在满足数字电影的 需求上存在一定的不足。 因为数字电影发行的压缩后的视频图像相当于目前各个影院播放时使用的胶 片，即唯一的流通的发行版本。这种特定情况下带有帧间相关性的压缩编码标准 就有明显的缺陷： 首先，由于m p e g 系列的视频标准都是存在帧间变换的，要对电影图片进行 6 北京邮电大学硕士研究生学位论文d c i 数字电影系统图像压缩的研究 精确到帧的切入访问时，帧间变换必然带来额外的复杂度，尤其h 2 6 4 双向前后 1 6 个不同帧的宏块的预测；而电影在发行、播放时精确到帧的检索访问是很常见 的( 如播放预告，插播广告，特效改善等) 。 另外，对m p e g 系列标准压缩的节目进行快进播放时，由于只有i 帧才能用 来显示，会带来画面的跳跃和不连续，这种情况下就更需要没有帧间相关的压缩 编码标准了。 2 1 2 多分辨率分级 d c i 的目标是达到并逐步超越模拟胶片电影的图像质量，所以出现了2 k 和 4 k 分辨率两种模式。目前的影院条件大都可以满足2 k 的要求，而达不到4 k 的要 求，而且在相当长一段时间内很可能是2 k 和4 k 模式共存的情况。这时最需要的 就是一种可以满足2 k 和4 k 兼容的图像压缩标准，即分辨率渐进或称空间分辨率 分级特性。 当解码器读入所有的码流时，对其进行解码可以得到完整的4 k 分辨率的图 像；如果解码器不支持或者不需要4 k 分辨率的图像，它可以很容易的得到4 k 分 辨率中的2 k 的图像部分从而得到1 4 大小的图像。 2 1 3码流排列 上一章中介绍过，数字图像的现实是随着d l p 放映机的出现才达到了能与胶 片质量抗衡的地步。d l p 芯片的原理一句话概括就是靠改变反射镜的角度改变投 射到屏幕某一点的彩色亮度大小的，在影院等对画面质量或亮度要求极高的场合 通常采用3 - d l p 的方式，用单独的d l p 芯片为每一个分量控制亮度的大小。最理 想的情况就是压缩标准可以很容易的把图像的几个分量分开进行处理，并且可以 很容易的得到每个分量的存储位置从而进行访问。 除了需要得到每个分量的存储位置外，由于还要满足2 k 和4 k 模式的码流兼 容需求，如果图像的压缩格式还可以表明一个文件内哪一部分码流是高分辨率 ( 4 k ) 哪部分码流是低分辨率的( 2 k ) 的，就可以进一步提高文件的访问效率。 因此要求压缩后的图像封装，要有很大的灵活性。 7 d c ! 数字电影系统图像压缩的研究北京邮电大学硕士研究生学位论文 2 2 小波变换理论及在视频图像领域的应用 小波分析属于时频分析的一种。传统的信号分析是建立在傅立叶变换的基础 之上的，由于傅立叶分析使用的是一种全局变换，要么完全在时域，要么完全在 频域，因此无法表达信号的时频局部特性，而这种性质恰恰是非平稳信号最根本 和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，出现了一系列新的信号分析理论， 典型变换有小波变换等。小波变换具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都 具有表征局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但形状可改变、时间窗和频 率窗都可以改变的时频局部化分析方法，即在低频部分有较高的频率分辨率和较 低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。这对 于大部分信息集中在低频端的图像等多媒体信号的分析来说是一个重要的优点 小波变换实质上是将信号和小波相乘，当某个尺度及时移的小波与信号的相 似性大时，变换系数就大，相似性小变换系数就小。最大尺度的小波要和待分析 信号中的最小频率成分相匹配，以便能响应信号中最慢的变化，但它不能确定信 号变化发生的具体时间位置，这个任务留给尺度较小的小波完成。小尺度的小波 的持续时间短，时移后于信号相乘可以响应不同时间段上的信号。小波尺度越小， 其持续时白j 越短，能够更准确的识别出信号中发生剧烈变化的重要时间边界嘲。 由于小波变化的良好视频特性，在图像信号处理领域小波变换逐渐有取代基 于傅立叶变换的离散余弦( d c t ) 的趋势。本小结介绍了用于小波变换的原理以 及其在数字电影应用中最重要的多分辨率分级特性。 2 2 1 连续小波变换( c w t ) 和离散小波变换( d 、t ) 如果函数妒o ) 满足以下容许性条件 q ：群抓。 一。 则称妒( 砷为一容许小波，并定义如下的积分变换 8 北京邮电大学硕士研究生学位论文d c i 数字电影系统图像压缩的研究 m 舻小i m 少( 孚溉 厂r ( 尺) 公式2 2 为厂( 工) 以y ( x ) 为基的连续小波变换( c o m i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m ，c w t ) 。 引入符号 6 ( x ) 2 虬o 一6 ) = i 口卜1y ( x 口- _ _ 2 b ) 公式2 3 公式2 - 2 可以改写为 厂( 口，6 ) 厂( 工) ，虬j ( 曲 公式2 4 可见连续小波变换厂( 口，6 ) 是厂( 工) 在函数虬( 曲上的“投影”。它将一个一维 函数厂( x ) 变换为一个二维函数，其中，a 成为尺度因子，b 称为平移分量。 假定小波函数沙( 石) 还满足窗函数条件，那么公式( 1 ) 隐含 少( o ) = j ( x ) d x = 0 公式2 5 即( 石) 的均值为零( 不含直流成分) 。另一方面，容许性条件要求当 i 缈l 一，p ( ，lj 。可见，小波函数一定是具有带通性质的窗函数。 函数虬6 ( 力是通过在“母小波函数( m o 岍删e t ) ”y ( 力中引入参数a 和b 演变而来的。参数b 决定了小波函数的“中心”位置，参数a 决定了小波函数的时域 宽度。对于一组确定的参数a ，b 而言，小波变换厂( 口，6 ) 的值可解释为通过一个 中心位于( 6 ，缈口) ，边长分别为2 以a x 和2 a t o a 的矩形时频窗口，对信号厂( 功进 行的观察，即它提取的是信号厂( x ) 在上述指定时段及指定的频段内的信息。可见 小波变换本质上也是对信号的时频分析。虽然它的定义中没有直接将频率作为参 数，而是通过小波函数具有的时频域双重定域性，将频率隐含在尺度因子a 中。 可以证明，在满足允许性条件下，可以通过二重积分 9 d c i 数字电影系统图像压缩的研究北京邮电大学硕士研究生学位论文 厂c z ，2 专( 力c 舶耽西c 力争如 公式2 6 重构厂( 工) ，即小波逆变换。 由于尺度因子负号只是相当于对函数作镜像反射之后再作伸缩， y ( 一工) 看成小波函数，而尺度因子仍取正值。这是重构公式为 厂( x ) = 三：- r ( 力( 口，6 ) 。曲( x ) d b a 粤a 式中 铲r 单d 缈 这是只需将 公式2 7 公式2 - 8 连续小波变换的尺度因子和平移分量的取值都是连续的，因此在对信号进行 分析是会产生冗余信息。为了可以将小波变换用于信号分析，尤其是图像信号分 析，须将参数进行离散化。对尺度因子a ，小波变换中常令a 取离散值 a i = 2 - j , j z 称之为二进离散化。此时公式2 3 可以改写为 沙，西( 功= ，( 工一6 ) = 2 j 2 y 【2 7 ( 石一6 ) 】 这是根据连续小波的定义，公式2 2 可改写为 公式2 - 9 公式2 1 0 w - , j f ( b ) 2j 厂( x ) y ，( x ) 出= 2 厂( 2 - j , b 公式2 1 1 称之为二进小波变换。可见二进小波变换可以看作是连续小波变换的一种特 殊情况，即尺度因子按公式2 - 8 取离散数值。这时由于a 取值离散，为了保证小波 凌换后能够正确重构原始信号，需要对少( 工) 施加额外的条件，即二进小波的稳定 性条件： a 忡t c o ) i b t = 习l 公式2 1 2 式中a 和b 为常数，则称少( x ) 为二进小波，此时下面的逆变换公式成立： l o 北京邮电大学硕士研究生学位论文d c i 数字电影系统图像压缩的研究 痧砖) = 2 j ，2 痧( 2 功 而y ，( 功称为y ( x ) 的二进对偶，它可由少( 工) 按下式确定 v 一( c o ) = j 掣) - t c o ) i 2 2 1 3 离散小波变换 公式2 1 3 公式2 1 4 公式2 1 5 连续小波变换中的尺度因子和平移因子都是连续变化的实数，在应用中需要 计算连续积分，在处理数字信号时很不方便。主要用于理论分析与论证。在实际 问题的数值计算中常采用离散形式，即离散小波变换( d w t ) 。d w t 可以通过离 散化c w t 中的尺度因子a 和平移因子b 得到。通常取 a = 口孑，b = n b o a o ，m ，刀z 把其带入式公式2 2 可以得到 y 。一( f ) = l a o l - m 2 y ( 口i 朋f 一以b o ) ，聊，甩z 公式2 1 6 这时的小波函数就是离散小波。相应的离散小波变换为 ( 似口，6 ) = ( 厂，虬j ) = l a o l 喇坨e 厂( f ) ( 口i m t - n 6 0 渺 公式2 1 7 特殊的， a o2 2 ，= l ，可以得到二进小波( d y a d i cw a v e l e t ) ： ，一( f ) = 2 - - 2 y ( 2 啊卜刀) ，小，刀z 公式2 - 1 8 在实际应用中，为了使小波变换的计算更加有效，通常构造的小波函数都具 有正交性，即 ( 妙用一，y 肚) 2 研。一( ) 少mo 渺= 屯吒t 公式2 1 9 从理论上可以证明将连续小波变换离散成离散小波变换，信号的基本信息并 不会丢失，相反由于小波基函数的正交性，使得小波空间中两点之间因冗余度造 成的关联得以消除；同时，因为正交性，使得计算的误差更小，使得变换结果时 如6一x _ y 6 ， 2 。忡 = 力 ， 。中式 d c i 数字电影系统图像压缩的研究北京邮电大学硕士研究生学位论文 一频函数更能反映信号本身的性质【5 】【6 1 1 7 。 2 2 2 多分辨分析及m a l l a t 算法 多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ，m r a ) 是由s m a l l a t 引入的，他从空 间概念上，形象地说明了小波的多分辨特性，将在此之前所有小波变换理论统一 起来。1 9 8 9 年，m a l l a t 在小波变换多分辨分析理论与图像处理的应用研究中受到 塔式算法的启发，提出了信号的塔式多分辨分析分解与重构的快速算法，即著名 的m a l l a t 算法。m a l l a t 算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换( f f t ) 在 经典傅立叶分析中的地位。本节介绍一维张量积情况下的多分辨分析及相应的 m a l l a t 算法。 2 2 2 1 一维正交多分辨分析及m a u a t 算法 多分辨分析是用小波函数的二进伸绢和半移表不函数这一思想的更加抽象复 杂的表现形式，它重点处理整个函数集，而非侧重处理作为个体的函数。m r a 形 成了构造正交小波基的一个框架，常用的b 样条正交小波基和d a u b e c h i c s 紧支撑 正交小波基都可看作是该框架下的产物。下面就给出多分辨分析的严格定义： 定义2 1 称口( r ) 中的闭子空间序列 吃 肘e z 为一个( 二进) 多分辨分析，如 果慨 满足下列条件： 单调性：c 巧一ic 巧c 巧+ lc ，w z n 巧_ - 0 1 ，c o s r ( u 巧) = r ( 尺) 逼近性：如z 乾 伸缩性：厂( f ) 巧厂( 2 ) 巧+ l z 平移不变性：厂( f ) v o 营f ( t 一尼) v o ，讹z r i e s z 基存在性：存在函数矽，使得眵o 一七) ) 七。z 构成的一个r i 懿z 基。 即函数序列劬( f j | ) 眦线性无关，且存在常数彳和口，满足o a b - i - o o ，使得 1 2 北京邮电大学硕士研究生学位论文d c i 数字电影系统图像压缩的研究 对任意的厂( f ) ，总存在序列k ) 眦1 2 使得 们) = c 。( f - 七) k = - - o 公式2 2 0 彳蚶- 2 h 。( 2 f 一七) k 公式2 2 1 这是因为，o f f ) v ock ，且 、动( 2 f 一后) k 。z 构成巧的一个砌e s z 基，故存在 系数锨 ，使得( 力= 三军以( 2 f 一肭。尺度方程在频域的表达式为 万( 缈) = 2 1 7 2 五( 缈2 ) f ；( 缈2 ) 公式2 2 2 其中j i ) 为系数序列玩 眦的傅立叶变换。假设眠 。z 是数字滤波器的脉冲 响应，则该式将离散滤波器和多尺度分析联系起来。 根据文献【7 】中的定理2 3 4 ，可以知道，若矽( f ) r ( r ) ，则移o 一刀) ) 。z 是标准 ( 规范) 正交系，等价于恒等式 d c i 数字电影系统图像压缩的研究北京邮电大学硕士研究生学位论文 争c 州勋，1 2 = 1 公式2 2 3 对于几乎所有的缈r 成立。 利用这个定理，可以通过将尺度函数伊正交化的方法，得到一个正交尺度函数 。若令 多( 国) ：_ 煎k 匡i 洳拟万) 1 2 jl 七e zj 公式2 2 4 则矽，且移o 一七) 妣构成的一个标准正交基，而对于任意的，k z ， 矽j i ( f ) = 2 。7 2 ( 2 f k ) 构成v j 一个标准正交基。从而矽生成一个正交多分辨分析 e j 。 事实上，对任意厂( ) 巧，由多分辨分析的定义可知，f ( t 2 ) v o 。则存在 系数序列z ，z 使得饨7 2 7 ) 2 蝥肛n 用2 j f 代替，可得 巾) = 0 ( 2 t - k ) k = - - 。 因此，劬舻( f ) 九。z 构成巧的一个基。此外，对于任意后，z ，有 ( 肚，) = 2 7 ( 2 7 t - k ) # ( 2 7 t - k ) d t = 一后) o 一后) 出= 瓯， 公式2 2 5 则可以知道，对于任意的_ ，z ，劬肌( f ) 九。z 是标准正交的。 但是，通常情况下移卅( f ) 0 ，腕不是l 2 ( r ) 的标准正交基。通过正交多分辨分析， 我们可以得到r ( r ) 的一个标准正交基。 由于巧c 巧，则存在巧在巧+ - 中的正交补空间，使得 + l = y ，oe 1 4 北京邮电大学硕士研究生学位论文 d c i 数字电影系统图像压缩的研究 上述空间正交分解过程可对逼近空间巧递归进行下去，可用图2 1 表示。 4 翟4 翟： 图2 - 1 尺度空间递归分解 则，巧+ t2 巧昌哌，7 j 。令歹专佃，l - ) - - o o ，可得到r ( 尺) 的正交和分解： 公式2 2 6 函数沙o ) r ( r ) 称为小波，如果土妖t ) d t = o 。如果砂( ，一后) k e z 构成的一个 标准正交基，则由巧= 巧。可以推出杪- ， = 2 j 2 弘( 2 j t - 后) 九z 构成乃的 标准正交基，从而肛z l ，七e z 构成r ( 月) 的标准正交基。这时称为小波空间， f ，( f ) 为正交小波。 。 定理2 1 设正交尺度函数( f ) 生成了正交多分辨分析眈l “，纸) 。z 是满足两 尺席方辉的渡油器今 y ( f ) = 压g 。妒( 2 f 一刀) 公式2 2 7 其中，g 。满足g t2 ( 一1 ) t t ，则y ( f ) 为小波，且它的平移系构成的标准正 交基，其中是在k 中的正交补。从而， 交基。 上述定理等价为以下几点： 讥，t ( f ) t 毫z 构成r ( 月) 的一个标准正 1 ) 砂o 一后) 糨是标准正交的。 2 ) 对任意七z ，沙o 一七) 。 3 ) 中的每个函数都可表示为少o 一后) 的线性组合。 d c i 数字电影系统图像压缩的研究北京邮电大学硕上研究生学位论文 4 ) y ( f ) 是一个小波，即上陟= o 。 定理2 1 是一个非常重要的定理，它给出了一种根据正交尺度函数来构造正交 小波的一般方法。具体推导过程如下： 利用公式2 - 2 1 由痧沏) 计算沏) 利用公式2 - 2 0h 鸭t h ( c o ) = 2 矽( 2 国) 沏) 由g t = ( 一1 ) 吐t ，计算相应的傅立叶变换式雪( 缈) = 一e 砌左伽+ 万) 根据小波方程的频域表示式计算痧劬) = 2 - 1 2 营洄2 ) 多佃2 ) 上述构造正交小波基的整个过程可总结为， 伊( f ) 哼o c t ) 专j ；( f ) 专五) 一季细) 一痧) 一y ( f ) 根据上面的过程，得到小波基之后，我们就可以用其来表示r ( 尺) 中的任意函 数厂( f ) ， 们) = c ：( f ) j 膳 公式2 2 8 等式两边同时对肼取内积，并注意到杪肚( f ) l 知z 是r ( r ) 的一个标准正交 基，可以得到c ：= ( 厂，沙卅) ，则有 们) = ( 厂，y ) y ”( f ) 七e z 特别的，对于r ( r ) 中的任意子空间巧，有 巧1 - - 巧一一o - - = 一zo 一：o 一- = = o o + lo o 哆一i ( m _ ，) 公式2 - 2 9 从而，可以得到巧中的任意函数乃都存在如下多分辨分析表示， l j = l 1 q a i - 、 = f ，- 2o 乃- 2o 嘭- l = = 厶。九。九+ lo o 嘭一i 力 公式2 3 0 其中 1 6 北京邮电大学硕士研究生学位论文d c i 数字电影系统图像压缩的研究 z o ) = c ：以，。巧，= m ， d ，( 力2 ；c ： 形 ，= m ， 公式2 3 1 厶表示函数乃的低频部分，而d ，( f ) ，= m ，一1 表示乃在不同分辨率下的高 频成分。在式 乃( 力2 ；c 地，t f 2 莓c ：。1 办小( f ) + 军d ? _ y 肚( n 公式2 3 2 两边同时与办1 t 做内积，并利用，少及其二进伸缩和平移的正交特性，可得 到 类似的有 c ：。1 = ：；c ：( 办，t ( f ) ，办一t ，t ) = = ；c ：| j l 二- z t 公j a ：2 3 3 d t j - i2 ；c ：( 办。t ( f ) ，驴，一t j ) 2 莓c 。g ：一z t 公式2 3 4 同时对等式公式2 2 4 两边与办做内积，有 一 c j f = c “饥( f ) ，办，。) + d ：。1 j ( f ) ，办。) = = 莓c j - i t z 一+ ；d ：一1 9 t 一：一 公式2 3 5 其中，h k ) 。z 是由正交尺度函数的两尺度方程对应的滤波器系数序列，可看 作是低通滤波器；诂t 磁由式g t = ( 一1 ) 吐t 给出，可看作是高通滤波器。由此， 可以得到一维情况下，离散小波变换的m a u a t 算法。其卷积表达形式为 i c 卜1 = d ( c j 石) 【d 卜1 = d ( c j 事蚕) c 7 = u c 一1 ) 木h + ( u d 一1 ) 拳g 公式2 3 6 其中，石表示滤波器j i l 的共轭反转；c ，万表示c 与万的卷积；d ( c 7 串万) 表 示对卷积c 7 牵石的二元下抽样；u c 一表示对序列c 7 一的二元上抽样；u ，d 为二元 1 7 d c i 数字电影系统图像压缩的研究 北京邮电大学硕_ 上研究生学位论文 上、下抽样算子。小波分解与重构的迭代过程如图2 2 所示。相应二通道滤波器组 表示见图2 - 3 。 么么么； a ) 小波分解过程 d 二d ：l 。1 ， c m 叫c 肼+ 1 c - z c j b ) 小波重构过程 图2 - 2 一维信号小波分解与重构的迭代过程示意图 c 卜i d ，一1 图2 - 3 一维信号小波分解与重构的二通道滤波器组表示 ( 括号中选项表示双正交滤波器) 由于除了h a a r 小波外，没有同时具有对称性和紧支撑性的正交小波。紧支撑 性，意味着小波滤波器的长度是有限长的，以便于计算( 如果长度无限，将难以 处理) 。对称性，意味着小波滤波器的线性相位，线性相位可以保持原信号的相位 不变