（基础数学专业论文）几类半环上的某些同余.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 半环的同余，理想是研究半环结构的主要工具，许多代数学者对此进行了深入系 统的研究众所周知，环的理想和同余之间是一一对应的，受此启发，本文利用半环 的一类特殊理想刻划了正则半环与拟正则半环上的s 后e 训环同余，并利用半环上的一 个映射给出了正则半环的正则次直积的一种构造 本文共分五章第一章，主要介绍了半环理论的历史背景，研究现状以及半群， 半环的一些必要的基本概念第二章，简单介绍了正则半群上的群同余的主要性质 第三章，根据环的理想和同余的对应理论，利用半环的一类特殊理想给出了正则半环 与拟正则半环上的s 七e 廿环同余的刻划；并且利用半环上的一个拟序给出了s 娩训环 同余类的一种表示第四章，借助于文献 1 6 】中同余的形式，定义了交换分配半环上 的一个同余，并且证明了该同余是最小分配格同余第五章，利用半环上的一个映射 给出了正则半环的正则次直积的一种构造方法 关键词：半环；理想；s 尼e - 环同余；次直积 西北大学硕士学位论文 s o m ec o n g r u e n c e s o ns e v e r a lc l a u s s e so fs e m i r i n g s a b s t r a c t c o n g r u e n c ea n di d e a la r em a j o rt o o l si ns t u d y i n gt h es t r u c t u r eo fs e m i r i n g n i a i l y s e h o l a r sh a v ed e e p l y ，s y s t e m a t i c a l l ys t u d i e do nt h e m a sw ew e l lk n o w n ，t h er e l a t i o n b e t 僦nt h ei d e a la n dc o n g r u e n c eo fr i n gi so n et oo n e t h es k e w r i n gc o n g r u e n c e o fr e g u l a rs e m i r i n ga n dq u s i r e g u l a rs e m i r i n ga r ec h a r a c t e r i z e db yu s i n go fac l a u s so f s p e c i a li d e a l so fs e m i r i n g sa n dac o n s t r u c t i o nm e t h o do fr e g u l a ls u b d i r e c tp r o d u c to f r e g u l a rs e m i r i n g si sg i v e nb yu s i n go fas p e c i a jm 印p i n go ns e m i r i n g si sa l s os t u d i e di n t h i sp 印e r t h e p a p e rc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s i nc h 印t e r1 ，t h eb a c k g r o u n da n dt h ep r e s e n t s t a t eo ft h es e m i r i n gt h e o 呵a n ds o m en e c e s s a r yf u i l d a m e n t a lk n o w l e d g ea b o u ts e m i - g r o u pa n ds e m i r i n g 舡es i m p l yi n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 ，p r o p e r t i e so fg r o u pc o n g r u e n c e so nt h er e g u l 缸s e m i g r o u p sa r eb r i e f l yi n t r o d u c e d i nc h a p t e r3 ，t h es k e w r i n g c o n g r u e n c eo fr e g u i 盯s e m i r i n ga n dq u s i r e g u l a rs e i i l i r i i 增a r ec h a r a c t e r i z e db yu s i n go f ac l a s so fs p e c i a li d e a l sa n dar e p r e s e n t a t i o no fac l a s so fas l 一r i n gc o n g r u e n c ei s 舀v e nb yu s i n go faq u a u s i o r d e ro ns e m i r i n g s i nc h a p t e r4 ，ac o n g r u e n c eo nac o m m u - t a t i v e 缸t r i b u t i v es e m i r i n gi sd 砸n e db yl l s i n go fas t y l eo fc o n g r u e n c ei nr e f e r e n c e 【1 6 】 m o r e o v e r ，t h er e s u l tt h a tt h ec o n g r u e n c ei st h el e a s td i s t r i b u t i v el a t t i c ec o n g r u e n c ei 8 p r o v e d i nc h a p t e r5 ，ac o n s t r u c t i o nm e t h o do fr e g u l a rs u b d i r e c tp r o d u c to fr e g u l a r s e m i r i n g si s 群v e nb yu s i n go fas p e c i a lm 印p i n go ns e m i r i n g 。 k e y w o r d s ：s e m i r i n g ；i d e a l ；s k e k c o n g r u e n c e ；s u b d i r e c tp r o d u c t 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：缝忍 指导教师签名： ，、托 裂主短 护胃年口月哆日：年刁石月够日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：徐慧 。蛑d 彳月0 3 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1引言 历史上，半环概念最早是由d e d e l 【i n d 于1 8 9 4 年在代数理论的原著中提出的；后 来，m a c a u l a y k r u l l 等人在研究环的理想时使用过半环的概念；1 8 9 9 年，h i l b e r t 在 讨论自然数公理和非负有理数时也涉及到了半环1 9 3 4 年，v a n d i v e rh s 第一次明 确地给出了半环的定义【l 】半环是装有“+ ”和。”两个二元运算并且满足一定规 律的代数系统数学中我们最早接触的自然数集在一般数的加法与乘法运算下就构成 一个半环半环理论和应用发展于二十世纪六十年代初，到八十年代末，半环的理论 已十分丰富1 9 9 2 年，g o l a n 出版了t h et h e o r yo fs e m i r i n g sw i t ha p p l i c a t i o i l s a n dt h e o r e t i c a lc o m p u t e rs c i e n c e 【2 】书，在该书中作者对半环的理论作了系统 的阐述与此同时，半环的应用也得到了广泛的推广：在拓扑学，欧氏几何，泛函分 析，组合学等各种数学领域中都出现了半环的身影；另外在数学与计算机科学，量子 物理学的交叉领域中也广泛应用到半环的概念和特征迄今为止，已涌现出不少关于 半环的理论和应用专著 目前，众多代数学者主要从两个角度出发研究半环一方面，半环可以看做是环 的推广，许多代数学者从环的角度出发来研究半环：如h e n r i l 【s e nm 给出了半环的 扩= o 定理 3 】；p o i n s i g i lm o 发表了半环的子除环一文【4 】；l a t o r r er d 的硕 士论文为半环的根【5 】另一方面半环可以看做是由分配律联系着的同一个非空集合上 的两个半群许多专家从半环的分支半群入手研究半环的结构和性质，从而进一步推 动了半环理论的发展：如g r i l l e tm p 给出了加法半群是完全单半群的半环的一种构 造 6 ，g u oy q ，s h u mk p 与s e nm k 对左c l i o i d 半环的半群结构进行了细致的 研究 7 另外，p a s t i j nf ，z h a ox z 和g u oy q ，s e nm k 几位学者从半环的分 支半群的g r e e n 关系入手对幂等元半环进行了一系列的研究【8 9 1o 1 1 ，得到了很多漂 亮的结果 代数学主要研究三个方面的问题：构造问题，分类问题，表示问题对半环而言， 构造问题一直是半环理论研究的一个重要课题，其中半环的同余，同态，理想是研究 1 西北大学硕士学位论文 半环结构的主要工具很多学者对此进行了研究：文献 1 2 给出了正则半群上的群同 余的刻划；文献【1 3 】讨论了乘法半群是正则半群的分配半环上的可除半环同余；文献 1 4 刻划了一类广义正则半环上的同余；文献【1 5 】利用一类特殊的七一理想刻划了般 半环上的环同余对于一般半环而言，它的加法半群与乘法半群的地位并不是完全对 等的，但是这两个半群之间相互影响因此从半环的加法半群或乘法半群出发成为研 究半环性质和结构的另一种思路受此启发，本文的主要工作是刻划了加法半群是正 则半群与拟正则半群的半环上的s 后e 叫一环同余，并给出了s 后e 伽环同余类的表示另 外，次直积，织积，及坚固构架【2 5 】等也是构造半环的主要方法，本文最后简单讨论了 正则半环的正则次直积问题 1 2预备知识 设( s ，) 是半群，若存在1 s 使得 ( v s s ) 1 s = s 1 = s ， 则称半群s 为含幺半群称1 为s 的恒等元容易验证半群s 至多含有一个恒等元 设e s ，若e e = e ，则称e 是幂等元令e 表示s 的所有幂等元构成的集合， 即e = e se e = e ) 定义1 2 1 设( s ，) 是半群，a s ，若存在口7 s 使得o 0 7 o = n ，则称n 为正 则元如果半群s 的所有元都是正则元，那么称半群s 为正则半群 定义1 2 2 设( s ，) 是正则半群，若幂等元集e 满足条件： ( v e e ) ( v s s ) s e e = 争s e ， 则称s 为e 一酉半群 定义1 。2 3 设( s ) 是半群，n s ，若存在唯一的元素n 7 s 使得 0 o ，n = 0 ，o ，n n ，= o ， 则称n 7 为。的逆元，称n 是可逆的如果s 的所有元素都可逆，那么称s 是逆半群 定义1 2 4 设s 是半群，若对于任意的n ，6 s ，有，】：6 = 6 n ，则称s 为交换半 2 西北大学硕士学位论文 群若对于任意的n s ，有o 口= n ，则称s 为带称交换的带为半格 定义1 2 5 设x 是非空集合，j d 是x 上的二元关系， ( i ) 若对于任意的z x ，均有z p z ，则称p 具有反身性； ( i i ) 若对于任意的z ，钞x ，z 号z ，则称具有对称性； ( i i i ) 若对于任意的z ，y ，z x ，z p y ，y p z 号z p z ，则称尸具有传递性 定义1 2 6 设x 是非空集合，p 是x 上的二元关系，若p 具有反身性，对称性， 传递性，则称p 为x 上的等价关系设p 是半群s 上的等价关系，若 ( v s ，s ) s p 兮( v o s ) o s p n ，s n p o ， 则称p 为半群s 上的同余，称半群( 剐p ，) 为商半群 定义1 2 7 若非空集合s 上装有两个二元运算。+ ”和。，且满足条件： ( i ) ( s ，+ ) 和( s ，) 是半群； ( i i ) ( vn ，6 ，c s ) ( n + 6 ) c = 口c + 6 c 和c ( n + 6 ) = + c 6 则称此( 2 ，2 ) 型代数( s + ，) 为半环 如果加法半群( s ，+ ) 是群，那么称半环s 是s 砘叫环【6 】 在文献中正则半环有许多定义方式，本文称加法半群( s ，+ ) 是正则半群的半环 为正则半环 设s 是一半环，如果( s ，+ ) ( ( s ，) ) 是交换半群，那么称半环s 为加法( 乘法) 交换半环；如果( s + ) 和( s ) 都是交换半群，那么称s 是交换半环 如果半环s 满足加法对乘法的分配律：即对于任意的o ，6 ，c s 有 o + 6 c = ( n + 6 ) ( o + c ) ，0 6 + c = ( n + c ) ( 6 + c ) ： 那么称半环s 是分配半环 定义1 2 8 设( s ，+ ) 是一半环，若二元运算“+ ”和。”满足条件： ( i ) 半群( s ，+ ) 和( s ，) 是半格； ( i i ) ( vo ，6 ，c s ) 口+ n 6 = o 和n ( n + 6 ) = o 则称( s ，+ ，) 为分配格 定义1 2 9 设，) 是半环( s ，+ ) 上的等价关系，若，) 既是加法半群( s ，+ ) 上的 3 西北大学硕士学位论文 同余又是乘法半群( s ) 上的同余，则称p 为半环s 上的同余，称半环( 酬p ，+ ，) 为商半环 若商半环彤p 为s 七e 伽一环，则称p 是半环s 上的s 后e 枷一环同余；若商半环s p 为分配格，则称p 是半环s 上的分配格同余 定义1 2 。1 0 设月是一集合， 纱( a ) 表示a 的幂集若映射c ：护( a ) 一矽( a ) 满 足下列条件： ( i ) ( v x a ) x c ( x ) ；( 扩张性) ( i i )( v x a ) c p ( x ) = c ( x ) ；( 幂等性) ( i i i ) ( v x ，y a ) x y 号c ( x ) c ( y ) ( 单调性) 则称c 为a 上的闭包算子 本文涉及的其他有关半群，半环的概念请参考文献 2 5 2 6 】 4 西北大学硕士学位论文 第二章正则半群上的群同余 设j d 是半群s 上的同余，若商半群彤p 是群，则称p 是群同余本章简单介绍 了正则半群上的群同余的主要结论首先定义了几类特殊子半群，然后给出了正则半 群上的群同余的一些基本命题 设s 是正则半群，e 表示半群s 的幂等元集，即e = e s | e e = e ) 设n s ，令y ( n ) 表示。的逆元集，即y ( o ) = ( n 7 sin 0 7 n = o ：n 7 n 0 7 = n 7 ) 定义2 1 2 5 j 设s 是半群，仍，s ，若对于任意的s ，有s ，则称，是 s 的子半群 设，是s 的子半群，如果对于任意的o s ，y ( n ) ，有n 7 儿，那么称， 是自共轭子半群；若e ，则称，是满子半群 令c 表示半群s 的所有满的自共轭的子半群令u = nc 表示c 中最小的成 员设矿是s 上的群同余，若对s 上的任意群同余p ，有仃p ，则称盯是s 上的最 小群同余 定义2 2 【12 】设t 是半群s 的非空子集，令兄= 【o sl ( 孔t ) o 丁) ，若 兄= 丁，则称t 是s 的闭子集 如果丁是s 的子半群，容易验证丁冬死 令e 表示半群s 的所有满的自共轭的闭子半群，显然有e c 引理2 3 【12 】若s 是正则半群，则对于任意的丁c ，s 上的二元关系 届r = ( o ，6 ) s si ( j s ，丁) s o = 6 ) 是半群s 上的群同余，且s 上的最小的群同余仃= 励 由闭子集的性质可以得到正则半群上的群同余的其他几种等价表示： 定理2 4 1 2 若s 是正则半群，对任意的丁c ，n ，6 s ，则口脚6 当且仅当下列 其中一个条件成立： ( 1 ) 存在( 任意) v ( 6 ) ，0 6 7 l ； 5 西北大学硕士学位论文 ( 2 ) 存在( 任意) 0 7 y ( n ) ，0 7 6 兄； ( 3 ) 存在( 任意) 0 7 y ( n ) 6 n 7 死； ( 4 ) 存在( 任意) 6 ，y ( i ) ) ，n 兄 证明( 1 ) 兮( 2 ) 设丁c ，如果存在 ，y ( ，) ，使得n 6 7 兄，那么存在f 丁，使 得n 6 ，丁由于丁是自共轭的，所以对任意的n 7 y ( o ) ，有 n 7 ( n 6 7 ) i ： j n 7 丁n 丁， 且 ( n 6 ，n ) n ，b = ( 0 7 n ) 6 7 ( n 0 7 ) 6 ( q 7 t n ) ( 6 ，t 6 ) 丁r 丁 因此，对于任意的n 7 y ( n ) ，有n 7 6 死 ( 2 ) 兮( 1 ) 假设存在y ( n ) ，使得n 6 己，那么存在r ，使得n 7 6 t 由 于丁是自共轭的，那么对于任意的6 ，y ( 6 ) ，有 o ( z n 7 6 ) 0 7 n 丁丁， 且 。 ( n z n 7 6 口7 ) 0 6 ，= ( o n 7 ) 6 ( n 7 n ) 6 ，( o 丁n 7 ) ( 6 t 6 ，) 丁丁丁 因此，对于任意的6 ，y ( 6 ) ，有0 6 ，己 ( 3 ) 与( 4 ) 的等价性可以类似的进行证明并且，由助的对称性可以知道( 1 ) 兮( 3 ) 众所周知，群上的同余和群的正规子群是一一对应的但对于一般的半群而言， 半群上的同余与子半群之间并不存在这种对应性，下面我们简单介绍正则半群上的群 同余和它的一类特殊子半群之间的一一对应性 首先我们给出同余核的定义 定义2 5 设s 是半群，p 是s 上的同余，令七e r p = o si ( j e e ) o p e ) s ， 称其为同余p 的核 定理2 6 【19 若p 是正则半群s 上的群同余，则同余p 的核七e ， p 是s 上的满的 自共轭的闭子半群，且有p = 隗。缈 由定理2 4 ，定理2 6 可以得出下面的结论： 定理2 7 2 0 若s 是正则半群，则映射 6 西北大学硕士学位论文 妒：丁h 厮= ( o ，6 ) s si ( | 6 ，y ( 6 ) ) a 6 ，丁) 是口到s 的群同余集上的一一保序映射 该命题给出了正则半群上的群同余的一种刻划：即正则半群上的每一个群同余都 可以由它的一个满的自共轭的闭子半群来确定 正则半群同余格的研究是半群研究的一大课题，下面我们给出正则半群上的群同 余格的主要结论 定义2 8 2 3 】设( l ，v ，八) 是非空序集，若对于任意的z ，y 有zv l 且 z 八秒，则称l 是格若对l 的任意子集t 都有v z r l 则称l 是完备格 如果格l 满足分配律：即 ( v n ，6 ，c l ) 口八( 6vc ) = ( o 八6 ) v ( n c ) ， 那么称l 是分配格 若格满足模律：即 ( v n ，6 ，c l ) n c 号n ( 6vc ) = ( 口 6 ) vc ， 则称l 是模格 令g ( s ) 表示正则半群s 上的所有群同余构成的集合，对于任意的p ，口g ( s ) ， 定义p 盯当且仅当对于任意的( n ，6 ) p 都有( n ，6 ) 盯 引理2 9 19 】若s 是正则半群，则( g ( s ) ，) 是完备格 定理2 1 0 【2 0 】若s 是正则半群，g ( s ) 是s 上的群同余格，则g ( s ) 是模格且是 分配格 本章简单介绍了正则半群上的群同余的几个基本结论许多代数学者对正则半群 上的同余进行了深入的研究：例如正则半群上的幂等元分离同余及幂等元分离同余 格还有很多学者对比正则半群更广的一类半群即拟正则半群上的各种不同的同余也 进行了研究，得到了很多有趣的结果请参考文献f 2 0 】 2 4 7 西北大学硕士学位论文 第三章某些半环上的s 后e 训一环同余的刻划 在环的理论中我们知道环上的同余和环的理想是一一对应的而对于一般半环而 言，同余和理想之间不存在这种对应性本章讨论了正则半环和拟正则半环上的s 膏e 叫一 环同余和半环的一类特殊理想之问的对应关系，并且利用半环上的一个拟序给出了 s 七e 埘。环同余类的一种表示 3 1正则半环上的s 后e 叫一环同余的刻划 设p 是半环s 上的同余，若商半环彤p 为s 七e 伽一环，则称p 是半环s 上的s 七e 伽一 环同余 e + ( s ) 表示半环s 的加法半群( s ，+ ) 的幂等元集：即 e + ( s ) = e se + e = e ) 任意n s ，y + ( 口) 表示口的加法逆元集：即 y + ( n ) = n 7 sn + + o = n ，o + o + o = n 定义3 1 1 设丁是s 的非空子集，如果( t ，+ ) 是半群( s ，+ ) 的子半群，且 ( 丁，) 是半群( s ，) 的理想，那么称丁是半环s 的理想 如果对任意的o s 和n 7 y + ( n ) 有0 ，+ 丁+ o 丁，那么称丁是自共轭理想； 若e + ( s ) 丁，则称丁是满理想 设，是半环s 的理想，设s s ，o ，如果由n + s ，可以推出s ，那么称 ，是半环s 的七一理想 定义3 1 2 设丁是半环s 的理想，令瓦= 【s si ( | 7 1 ) + 5 丁 如果 疋= 丁，那么称丁是s 的闭理想 若丁是半环s 的理想，则有丁疋 下面我们给出判定满的自共轭的理想丁是闭理想的一个充要条件 定理3 1 3 若丁是半环s 的满的自共轭的理想，则咒= 丁的充要条件是 8 西北大学硕士学位论文 ( v a s ，丁) n + 丁n 丁 证明必要性设疋= z 丁：n + t ，因为t 是满理想，所以 n 7 + n e + ( s ) t ： 故n + + + n 丁；又由于丁是自共轭理想，因此有 n 7 + n + + + n + o z 由于+ n + + 0 7 + n t 故n 疋= 丁 充分性显然可以验证t 疋 若n 疋，则存在丁使得+ o 丁由于丁是自共轭理想，故n + + o + n 7 t ； 。又由于丁是满理想，所以n + n e 因此o 丁 推论3 1 4 若丁是半环s 的满的自共轭的闭理想，则丁是缸理想 令c 表示半环s 的所有满的自共轭的闭理想，则u = nc 是c 中最小的成员 定理3 1 5 若丁c ，则正则半环s 上的二元关系 即= ( o ，6 ) s si ( 丑1 ，2 丁) o + l = 如+ 6 ) 是半环s 上的s 七e 叫一环同余 证明首先证明即是s 上的等价关系 呀的自反性是显然的； 若( 口，6 ) 卯，则存在l ，f 2 z 使得口+ 1 = 如十6 ， 从而对任意的y + ( n ) ，6 ，y + ( 6 ) 有 6 + ( 6 ，+ 2 + 6 + o + o ) = 6 + 6 7 + n + l + n 7 + o = ( 6 + 6 7 + o + l + n 7 ) + n ， 故( 6 ，o ) 盯r ，因此即是对称的； 呀的传递性容易证明 其次证明听是半环同余 若( n ，6 ) 仃r ，则存在1 ，2 t ，使得n + 1 = 2 + 6 ，从而对于任意的s s ，s 7 y + ( s ) ，有 n + s + ( s 7 + a 7 + n + l + s ) = ( n + s + s 7 + 0 7 + 2 ) + 6 + s ， 由于 9 西北大学硕士学位论文 s 7 + 0 7 + o + l + 5 t ，o + s + s 7 + n 7 + 2 丁， 因此( n + s ，6 + s ) 即 类似地可以证明( s + o ：s + 6 ) 叮 这样就证明了即是加法半群( s ，+ ) 上的同余 由于乘法对加法具有分配律，容易证明口r 是半群( s ，) 上的同余 最后证明( s 即，+ ) 是群： 设e e + ( s ) ，n sn 7 y + ( o ) t ，令1 = + n + e + ：则 n + e + 0 7 + 亡+ n + e + 口+ n = 口+ e + n 7 + l + n ， 因此( n + e ，口) 即，类似的可以证明( e + o ，n ) 即，所以e 呀是( 彤即，+ ) 的单 位元； 对于任意的口s ，由于n 即+ n 7 卯= ( o + n ) 即= e 呀，所以n 7 即是n 卯的逆 元 故( 酬即，+ ，) 是s 七e 叫- 环，所以即是半环s 上的s 七e 叫- 环同余 引理3 1 6 若p 是s 上的s 七e 伽环同余，则 七e r + ( p ) = s si ( j e e + ( s ) ) sp e ) 是半环s 的满的自共轭的闭理想 证明令七e 7 + ( p ) = r ，设o ，6 t ，则存在e e + ( s ) 使得n p e ，6 p e ， 因为( 剐p ，+ ) 是群，所以( n + 6 ) p e ， 从而口+ 6 t ； 设s s ，因为s e + s e = s e 故s e e + ( s ) 又因为s ep s n ，所以s a 丁，同理 n s 丁因此丁是s 的理想 容易证明丁是满理想 若丁，则p 是( 酬p ，+ ) 的单位元，且对于任意的n s ，0 7 y + ( o ) 有 ( 0 7 + + n ) p = ( n 7 + n ) p ， 故o + + n 丁，所以丁是s 的自共轭理想 如果n 正，那么存在丁，使得，+ n 7 1 因为，) 是( 酬，) ，+ ) 的单位元， 1 n 西北大学硕士学位论文 故( + o ) p = 印，因此n 丁，所以丁是闭理想 引理3 1 7 若p 是正则半环s 上的s 七e 叫一环同余，则存在丁c 使得p = 卯 证明由引理3 1 6 知令丁= 七e r + ( f = ，) ，则丁c 只需证明p = 即即可 设( o ，6 ) 即，那么存在l ：2 丁，使得仃+ 1 = 2 + 6 由f ln 2 户是( 剐p ，+ ) 的单位元知o p = 幼，故( n ，6 ) j d ，因此即p 反之，若( n ，6 ) p ，则对任意的6 ，y + ( 6 ) 有( 口+ 6 ，) p = ( 6 + 6 ，) p ，所以 = o + 6 ，丁，从而有口+ 6 ，+ 6 = t + 6 ，故( n ，6 ) 叼，因此p 即所以j d = 盯r 令s r c ( s ) 表示正则半环s 上的所有s 砘叫一环同余构成的集合 推论3 1 8 若? c ，则七e 一( 即) = 丁；若p s r c ( s ) ，则吼。，+ ( p ) = p 在环的理论中我们知道环的同余和环的理想是一一对应的但在一般的半环中同 余和理想没有这种对应性下面我们就讨论正则半环的靠e 训环同余和半环的一类特 殊理想之间的对应关系 定理3 1 9 映射皿：丁h 即是c 到s r c ( s ) 上的一一保序映射 证明由引理3 1 7 知皿是满射； 设乃，乃c ，若= ，则k e 一= k e 7 _ + ，从而乃= 乃，即皿是单 射；因此皿是双射 设丑死，由即的定义容易验证，因此是保序映射 注由定理3 1 9 知，正则半环s 上的s 七e 叫一环同余集s r c ( s ) 与s 的满的自共 轭的闭理想集c 之间存在一一对应因此可以说，正则半环s 上的s 七e 枷一环同余是 由其上的满的自共轭的闭理想唯一确定的 推论3 1 1 0 若u = n 丁i 丁c ) ，则町是半环s 上的最小s 托伽一环同 余；反之，设p 是s 上的最小s 七e 叫一环同余，则七e r + ( 户) = u 本节最后给出正则半环s 上的s 七e 叫一环同余卯的几种等价表示 定理3 1 1 1 若丁是正则半环s 上的满的自共轭的闭理想，则( n ，i ) ) 即与下列 11 西北大学硕士学位论文 几种说法是等价的： ( 1 ) 对于任意的6 ，y + ( 6 ) 有n + 6 ，t ； ( 2 ) 对于任意的0 7 y + ( o ) 有l ，+ n t ； ( 3 ) 对于任意的n 7 y + ( o ) 有o + 6 丁； ( 4 ) 对于任意的6 ，y + ( 6 ) 有6 ，+ 口丁 定理3 1 1 2 若p 是正则半环s 上的s 后e 一环同余，则存在丁c 使得p = 卯 那么下列几个命题是等价的： ( 1 ) n 加； ( 2 ) 存在t 丁，对于任意的6 ，y + ( 6 ) 有n + + 6 ，t ； ( 3 ) 存在丁，对于任意的o y + ( n ) 有6 + + 0 7 t ； ( 4 ) 存在丁，对于任意的n 7 y + ( n ) 有n + + 6 丁； ( 5 ) 存在t 丁，对于任意的6 ，y + ( 6 ) 有6 ，+ + 口丁； ( 6 ) 存在s ，t 丁，使得s + n = 6 + ； ( 7 ) 存在s ，t ，使得n + s = z + 6 ； ( 8 )丁+ n + t n 丁+ 6 + 丁谚 注定理3 1 1 1 和定理3 1 1 2 对c 中最小成员即半环s 的最小的满的自共轭的 闭理想也是成立的 由此我们得出关于正则半环s 上的s 七e 叫环同余的结论：若丁是正则半环s 的 满的自共轭的闭理想，则( n ，6 ) 即当且仅当n ，6 符合上述定理中的任一条，且即 是半环s 上的s 七e 砌一环同余 若半环s 的加法半群( s ，+ ) 是e 一酉逆半群，则e + ( s ) 是半环s 的最小满的自 共轭的闭理想由此我们有下面的结论： 若半环s 的加法半群( s ，+ ) 是e 一酉逆半群，则s 上的最小的s 后e 一环同余是 口= ( n ，6 ) s si ( e e + ( s ) ) n + e = e + 6 ) 1 2 西北大学硕士学位论文 3 2 拟正则半环上的s 克e 伽环同余 第一节我们讨论了正则半环上的s 后e 叫- 环同余，本节我们讨论比正则半环更广的 一类半环一拟正则半环上的s 七e 一环同余 设( s ，) 是半群，n s ，若存在几z + ，使得扩是正则元，则称。是拟正则 元 任意n s ，称使得扩是正则元的最小正整数n 为n 的正则指数如果半群s 的 所有元素n 都是拟正则的，那么称半群s 是拟正则半群 若半环s 的加法半群( s ? + ) 是拟正则半群，则称此半环为拟正则半环本节主 探讨了拟正则半环上的s 七e 彬一环同余的有关性质 拟正则半环上的满理想的定义与正则半环的满理想的定义是一样的 设t 是半环s 的理想，如果对于任意的n s ( 几o ) 7 y + ( n n ) ，有 o + t + ( n 1 ) n + ( n n ) 7 z ( n 一1 ) n + ( n n ) 7 + 丁+ n t 其中n 是。的正则指数，那么称丁是自共轭理想 设丁半环s 的非空理想，称集合疋= s si ( j z 丁) + s t ) 为t 的闭包 若正= t ，则称t 为闭理想 本节所讨论的半环s 除特别声明外均表示拟正则半环 引理3 2 1 若t 是半环s 的满的自共轭理想，则t 是闭理想的充分必要条件是 ( v n s ，t ) q + 丁令o t 证明必要性设互= ez 丁，n + t ，由于? 是满理想，所以对于任意的 ( n n ) 7 y + ( n n ) ( 其中n 是n 的正则指数) 有 ( n 一1 ) o + ( 几o ) + o e + ( s ) 丁， 故 o + + ( 礼一1 ) n + ( n n ) 7 + n 丁； 由于丁是自共轭的，因此有 ( n 一1 ) n + ( n o ) 7 + o + + ( 几一1 ) n + ( n n ) 7 + n + n 丁， 由于 ( n 一1 ) n + ( n n ) 7 + r z + t + ( n 一1 ) n + ( n n ) 7 + n 7 1 ， 1 3 西北大学硕士学位论文 故n 疋= t 充分性显然可以看出丁正； 设o 疋，则存在丁，使得+ o 丁，由于丁是自共轭的，故 o + + n + ( 佗一1 ) + ( n n ) 7 丁； 由于丁是满的，所以有o + ( n 一1 ) n + ( n n ) 7 丁，因此n 丁 引理3 2 2 如果丁是半环s 的满的，自共轭的闭理想，n ，6 s ，则下列几个命 题是等价的： ( 1 ) 存在( 礼6 ) 7 y + ( 几6 ) ，使得o + ( n 一1 ) 6 + ( 礼6 ) 7 t ； ( 2 ) 存在( m n ) 7 y + ( m o ) ，使得6 + ( 仇一1 ) n + ( 仇n ) 7 丁； ( 3 ) 存在z ，可t ，使得n + z = 可+ 6 ； ( 4 ) 存在z ，箩丁，使得z + n = 6 + y 证明( 1 ) 净( 2 ) 设q + ( n 一1 ) 6 + ( 礼6 ) 丁，因为t 是满的自共轭的，所以对于任 意的( m o ) 7 y + ( 仇n ) 有 6 + ( m 一1 ) o + ( m n ) 7 + o + ( 礼一1 ) 6 + ( n 6 ) 7 丁， 又因为丁是闭理想，所以6 + ( m 一1 ) o + ( m n ) 7 r ( 2 ) 令( 3 ) 设6 + ( m 一1 ) o + ( m n ) 7 t 因为t 是自共轭的，所以 ( 佗一1 ) 6 + ( n 6 ) 7 + 6 + ( m 一1 ) n + ( m n ) 7 + 6 t 又因为丁是闭理想，所以有( m 一1 ) n + ( m n ) 7 + 6 t 令 z = ( 仇一1 ) n + ( m o ) + 6 ， 则 o + ( m 一1 ) n + ( m n ) 7 + 6 = n + z ， 令y = o + ( m 一1 ) n + ( m n ) 7 ，则n + z = 秒+ 6 ，并且z ，可丁 ( 3 ) 号( 4 ) 若o + z = + 6 ( z ，y 丁) ，贝0 ( 礼6 ) + ( 几6 ) 7 + 凸+ z + ( m 1 ) n + ( m n ) 7 + n = ( n 6 ) + ( n 6 ) 7 + y + 6 + ( m 一1 ) n + ( m n ) 7 + o 即 ( ( n 6 ) + ( 礼6 ) 7 + n + z + ( m 一1 ) f 】：+ ( m n ) 7 ) + n 1 4 西北大学硕士学位论文 令 = 6 + ( ( n 一1 ) 6 + ( n 6 ) 7 + 可+ 6 + ( m 一1 ) n + ( ”l n ) 7 + n ) z l = ( 礼6 ) + ( n 6 ) 7 + n + z + ( m 一1 ) o + ( m n ) 7 ， y 1 = ( 凡一1 ) 6 + ( n 6 ) 7 + 可+ 6 + ( m 一1 ) o + ( m n ) 7 + n ， 贝z 1 + o = 6 + 可1 ，且z 1 y l 丁 ( 4 ) 兮( 1 ) 设z + o = 6 + ( z ，可丁) ，则对于任意的( 礼6 ) 7 y + ( n 6 ) 有 z + n + ( 礼一1 ) 6 + ( 礼6 ) 7 = 6 + y + ( 几一1 ) 6 + ( 礼6 ) 7 丁 因为t 是闭理想，所以o + ( 几一1 ) 6 + ( n 6 ) 7 丁 由上述定理我们有下面的结论： 定理3 2 3 若t 是半环s 的满的自共轭的闭理想，则 卯= ( o ，6 ) s sl ( j ( 几6 ) 7 y + ( n 6 ) ) n + ( n 1 ) 6 + ( n 6 ) 7 丁 = ( n ，6 ) s si ( | z ：y t ) z + n = 6 + 剪) 是半环s 上的s 忌e 叫一环同余 证明首先证明卯是等价关系 因为丁是满的，所以即是自反的； 若( n ，6 ) 卯，则存在z ，可丁，使得z + o = 6 + y ，从而 n + ( 礼一1 ) n + ( n n ) 7 + z + n + ( m 一1 ) 6 + ( m 6 ) 7 + 6 = n n + ( n o ) + 6 + 秒+ ( m 一1 ) 6 十( m 6 ) 十6 其中n ，m 分别为n ，6 的正则指数 由于 ( 礼一1 ) n + ( n n ) 7 + z + n + ( m 一1 ) 6 + ( m 6 ) 7 + 6 丁， ( 礼n ) + ( n n ) + 6 + y + ( m 一1 ) 6 + ( m 6 ) 7 丁， 所以( 6 ，n ) 盯丁 ，因此叼是对称的； 从而 若( n 6 ) 即( 6 ，c ) 卯，则存在z ，! ，乱，u 丁使得 z + n = 6 + ，u + 6 = c + ”， c + ( ? ，+ 炒) = ( c + ? ，) + 曼，= ( t + 6 ) + = 钆+ ( f ) + ) = ( 1 z + 丁) + n 1 5 西北大学硕士学位论文 由于口+ 秒? u + z t ，所以( n ，c ) 即因此即是传递的 其次证明卯是半环s 上的同余关系 设( n ，b ) 卯：则存在z ，秒丁使得 z + n = 6 + ! ， 从而对任意的c s ( 后c ) 7 y + ( 七c ) ( 们) y + ( n 6 ) 有 6 + ( 七c ) + ( 七c ) 7 + ( n 一1 ) 6 + ( n 6 ) 7 + z + n + c = 6 + c + ( 七一1 ) c + ( 七c ) 7 + ( n 一1 ) 6 + ( n 6 ) 7 + 6 + 可+ c 其中几，七分别为b ，c 的正则指数 且 因为 6 + ( 忌c ) + ( 七c ) 7 + ( n 一1 ) 6 + ( n 6 ) 7 + z 丁， ( 七一1 ) c + ( 七c ) 7 + ( n 一1 ) 6 + ( 礼6 ) 7 + 6 + 可+ c t ， 所以说( o + c ，6 + c ) 呀； 类似地可以证明( c + o ，c + 6 ) 叼所以即是( s ，+ ) 上的同余 由乘法对加法的分配律可以知道仃t 是半群( s ，) 上的同余 最后证明( 酬即，+ ) 是群 对于任意的e e + ( s ) ，o s ，由于 n + e + ( n 一1 ) n + ( n o ) 7 t ，e + n + ( n 一1 ) o + ( n o ) 7 丁， 所以( o + e ，o ) 卵，( e + o ，n ) 即，因此e 即是半群( 彤盯r ：+ ) 的单位元； 下面证明( s 即，+ ) 中任意元素都有逆元 对于任意的n