（通信与信息系统专业论文）基于dsp的数字滤波器设计.pdf

摘要 当前我们正处于数字化时代，数字信号处理技术受到了人们的广泛关注，其 理论及算法随着计算机技术和微电子技术的发展得到了飞速的发展，被广泛应 用于语音图象处理、数字通信、谱分析、模式识别、自动控制等领域。数字滤 波器是数字信号处理中最重要的组成部分之一，几乎出现在所有的数字信号处 理系统中。数字滤波器是指完成信号滤波处理的功能，用有限精度算法实现的 离散时间线性非时变系统，其输入是一组( 由模拟信号取样和量化的) 数字量， 其输出是经过变换的另一组数字量。相对于模拟滤波器，数字滤波器没有漂移， 能够处理低频信号，频率响应特性可做成非常接近于理想的特性，且精度可以 达到很高，容易集成等，这些优势决定了数字滤波器的应用越来越广泛。同时 d s p ( 数字信号处理器) 的出现和f p g a 的迅速发展也促进了数字滤波器的发展， 并为数字滤波器的硬件实现提供了更多的选择。 本论文的主要研究了数字滤波器的基本理论，基于t i 公司的数字信号处理 器t m s 3 2 0 v c 5 4 0 2 设计了一款稳定度高，低功耗的数字滤波器系统，并完成了 软硬调试工作。主要工作如下： ( 1 ) 研究了数字滤波器的基本理论，以及数字滤波器的实现方法。通过学 习识字滤波器的结构、数字滤波器的设计理论，掌握了各种数字滤波器的原理 和特性。为实现数字滤波器奠定了理论基础。 ( 2 ) 研究分析了如何利用m a t l a b 仿真软件来设计出符合各种要求的数 字滤波器。并采用了相关的函数设计了几款常用的数字滤波器，并得到了滤波 器的相关系数，为利用d s p 实现数字滤波做好了一些前期的工作。 ( 3 ) 研究了t m s 3 2 0 v c 5 4 0 2 器件的结构和特性，根据该数字信号处理器的 独特的特点，设计合适的系统架构，并系统全面的设计数字滤波器的各个模块 电路，合理的处理模数转换和数模转换芯片与d s p 的连接。为实现数字滤波器 系统提供一个稳定的硬件平台。 ( 4 ) 根据1 r i 公司5 0 0 0 系列数字信号处理器的基本结构和特征，充分利用 其片上资源t 结合m a t l a b 软件的仿真，用软件实现高性能稳定的数字滤波器。 关键字：数字滤波器，d s p ，i i r ( 无限长单位脉冲响应) ，f i r ( 有限长单位脉 冲响应) a b s t r a c t n o w a d a y sw ea r ei nt h ed i g i t a lt i m e ，t h et e c h n o l o g yo fd i g i t a ls i g n a lp r o c e s s a r e g o te x t e n s i v ea t t e n t i o nb yp e o p l e a c c o m p a n yw i t ht h ed e v e l o p m e n to ft e c h n o l o g yo f c o m p u t e ra n dm i c r o e l e c t r o n i c s t h et h e o r ya n da r i t h m e t i co fd i g i t a ls i g n a lp r o c e s s d e v e l o p m e n tq u i c k l y ，d i g i t a lf i l t e r sa r ee x t e m s i v e l yu s e di na u d i oa n dv i d e op r o c e s s ， d i g i t a lc o m m u n i c a t i o n s ，f r e q u e n c ya n a l y s e ，a u t o c o n t r o la n ds oo n d i 西t a lf i l t e ri so n e o ft h em o s ti m p o r t a n tp a r to fd i g i t a ls i g n a lp r o c e s s ，a l m o s ta p p e a r e di na l ld i g i t a l s i g n a lp r o c e s ss y s t e m d i g i t a lf i l t e ri sad i s c r e t el i ts y s t e mc a na c c o m p l i s ht h es i g n a l f i l t e ru s i n gf i n i t ep r e c i s i o na r i t h m e t i c ，w i t hag r o u po fd i g i t a ls i g n a li n p u t ( w h i c h s a m p l e da n dm e a s u r ew i t ha n a l o gs i g n a l s ) a n da n o t h e rg r o u po fc h a n g e dd i g i t a l s i g n a lo u t p u t d i g i t a lf i l t e ri so n eo ft h ei m p o r t a n tc o n t e n t so fd i g i t a ls i g n a lp r o c e s s r e l a t i v et oa n a l o gf i l t e r , t h ed i i 舀t a lf i l t e rw i t h o u te x c u r s i o n ，b ea b l et op r o c e s sl o w f r e q u e n c ys i g n a l ，t h ec h a r a c t e r i s t i co ff r e q u e n c yr e s p o n s ec l o s et oi d e a lv a l u e ，w i t h h i g hp r e c i s i o n a n de a s yt oi n t e g r a t e d t h e s ea d v a n t a g e sd e , d et h ea p p l i c a t i o no f d i g i t a lf i l t e r b e c o m em o r ea n dm o r ee x t e n s i v e l y w h i l et h ed e v e l o p i n go fd s p ( d i t i 垂t a ls i g n a lp r o c e s s o r ) a n df p g a , p r o v i d em o r ec h o i c ef o rd i 百t a lf i l t e r t h em o s t l yi m p o r t a n tt a s ko ft h i sp a p e ri s r e s e a r c h i n gt h eb a s i ct h e o r i e so f d i g i t a lf i l t e r , b a s eo nt h et m s 3 2 0 v c 5 4 0 2 o ft ic o m p a n yd e s i g nd i g i t a lf i l t e rs y s t e m w i t hh i 曲s t a b i l i t ya n dl o wp o w e rc o n s u m e ，a c c o m p l i s ht h eh a r d w a r ea n ds o f t w a r e d e b u g m a i nt a s ka sf o l l o w i n g ： ( 1 ) r e a c ht h eb a s i ct h e o r yo fd i g i t a lf i l t e ra n dt h em e t h o do fr e a l i z eo fd i g i t a l f i l t e r , g r a s pt h ep r i n c i p l ea n dc h a r a c t e r i s t i co fe a c hd i g i t a lf i l t e r ( 2 ) r e a c ha n da n a l y s eh o wt ou s et h es i m u l a t es o f t w a r eo fm a t l a bt od i s i g n t h er e q u i r e dd i g i t a lf i l t e r u s es e v e r a lf u n c t i o nd e s i g ns o m eu n i v e r s a ld i g i t a lf i l t e r , g e t t h ec o e f f i c i e n to fd i g i t a lf i l t e r , p r e p a r et h ep r o p h a s et a s ko fd e s i g nad i g i t a lf i l t e rb a s e o n d s p ( 3 ) r e a c h t h es t r u c t u r ea n dc h a r a c t e r i s t i c o f t m s 3 2 0 v c 5 4 0 2 a c c o r d i n g t o t h e p a r t i c u l a r c h a r a c t e r i s t i co ft h i sd i g i t a ls i g n a lp r o c e s s o r , d i s i g na nr a t i o n a l i z a t i o n i i s y s t e ms t r u c t u r eo fd i 罾t a lf i l t e r c o m p r e h e n s i v ea n di n t e g r a t e dd e s i g nt h ee a c hp a r t o fc i r c u i tw i t hd i f f e r e n tf u n c t i o n p r o c e s st h ec o n n e c t i o no fa d ca n dd a cw i t h d i g i t a ls i g n a lp r o c e s s o lo f f e ras t a b i l i t yh a r d w a r es y s t e mt or e a l i z ed i g i t a lf i l t e r ( 4 ) a c c o r d i n g t ot h eb a s i cs t r u c t u r ea n dc h a r a c t e r i s t i co fs p e c t r u m5 0 0 0d i g i t a l s i g n a lp r o c e s s o ro ft i ，m a k et h eb e s to fo ft h er e s o u r c eo nc h i p ，c o m b i n e dw i t h s i m u l a t es o f t w a r em a t l a b ，r e a l i z e dah i g hp e r f o r m a n c ea n dh i g hs t a b i l i t yd i g “a l f i l t e r k e yw o r d s ：d i g i t a lf i l t e r , d s p ( d i g i t a ls i g n a l sp r o c e s s o r ) ，i i r ( i n f i n i t yi m p u l s e r e s p o n s e ) ，f i r ( f i n i t yi m p u l s er e s p o n s ) l i l 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意。 研究生签名：立重夔日期趔玉兰冲 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交 论文的复印件，允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部内容，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生签名：盐匾竖f i # # i ：塑型! 曼! 毖 导师签名：蝣日期：2 近! ! 肄一 武汉理t 大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 数字滤波器的优点 滤波器是指用来对输入信号进行滤波的硬件或软件。如果滤波器的输入、 输出都是离散时间信号，则该滤波器的冲激响应也必然离散，这样的滤波器定 义为数字滤波器。 数字滤波器在数字信号处理的各种应用中发挥着十分重要的作用，它是通 过对采样数据信号进行数学运算处理来达到频域滤波的目的。数字滤波器是提 取有用信息非常重要、非常灵活的方法，是现代信号处理的重要内容。因而在 数字通信、语音图象处理、谱分析、模式识别、自动控制等领域得到了广泛的 应用。相对于模拟滤波器，数字滤波器没有漂移，能够处理低频信号，频率响 应特性可做成非常接近于理想的特性，且精度可以达到很高，容易集成等，这 些优势决定了数字滤波器的应用将会越来越广泛。同时d s p ( d i g i t a ls i g n a l p r o c e s s o r ) 处理器的出现和f p g a ( f i e l dp r o g r a m m a b l eg a t ea r r a y ) 的迅速发展也 促进了数字滤波器的发展，并为数字滤波器的硬件实现提供了更多的选择【1 j 。相 对于模拟滤波器数字滤波器具有以下显著的优点： 精度高：模拟电路中元件的精度很难达到1 0 。以上，而数字系统1 7 位字长 就可以达到1 0 5 精度。因此在一些精度要求很高的滤波系统中，就必须采用数字 滤波器来实现。 灵活性大：数字滤波器的性能主要取决于乘法器的各系数，而这些系数是 存放在系统存储器中的，只要改变存储器存放的系数，就可以得到不同的系统， 这些都比改变模拟滤波器系统的特性要容易和方便的多，因而具有很大的灵活 性。 可靠性高：因为数字系统只有两个电平信号“0 ”和“1 ”，受噪声及环境条 件的影响小，而模拟滤波器各个参数都有一定的温度系数，易受温度、振动、 电磁感应等影响。并且数字滤波器多采用大规模集成电路，大规模集成电路的 故障率远比众多分立元件构成的模拟系统的故障率低。 易于大规模集成：数字部件具有高度的规范性，便于大规模集成，大规模 武汉理工人学硕士学位论文 生产，且数字滤波器电路主要工作在截止或饱和状态，对电路参数要求不严格， 因此产品的成品率高，价格也日趋降低。相对于模拟滤波器，数字滤波器在体 积、重量和性能方面的优势已越来越明显。 并行处理：数字滤波器的另外一个最大的优点就是可以实现并行处理，比 如数字滤波器可以采用d s p 处理器来实现并行处理。1 r i 公司t m s 3 2 0 c 5 0 0 0 系 列的d s p 芯片采用8 条指令并行处理的结构，时钟频率为1 0 0 m h z 的d s p 芯片。 可高达8 0 0 m 口s ( 每秒执行百万条指令) 。 1 2 数字滤波器的发展动态 近些年，线性滤波方法，如w i e n e r 滤波、k a l m a n 滤波和自适应滤波得到了 广泛的研究和应用，同时一些非线性滤波方法，如小波滤波、同态滤波、中值 滤波、形态滤波等都是现代信号处理的前言课题，不但有重要的理论意义，而 且有广阔的应用前景。w i e n e r 滤波是最早提出的一种滤波方法，当信号混有白 噪声时，可以在最小均方误差条件下得到信号的最佳估计。但是，由于求解 w i e n e r - h o f f 方程的复杂性，使得w i e n e r 滤波实际应用起来很困难，不过w i e n e r 滤波在理论上的意义是非常重要的，利用w i e n e r 滤波的纯一步预测，可以求解 信号的模型参数，进而获得著名的l c v i n s o n 算法【l j 。k a l m a n 滤波是2 0 世纪6 0 年代初提出的一种滤波方法。与w i e n e r 滤波相似，它同样可以在最小均方误差 条件下给出信号的最佳估计。所不同的是，这种滤波技术在时域中采用递推方 式进行，因此速度快，便于实时处理，从而得到了广泛的应用。k a l m a n 滤波推 广到二维，可以用于图象的去噪。当假设w i e n e r 滤波器的单位脉冲响应为有限 长时，可以采用自适应滤波的方法得到滤波器的最佳响应。由于它避开了求解 w i e n e r - h o f f 方程，为某些问题的解决带来了极大的方便i “。小波滤波就是利用 信号和噪声的目的。同态滤波主要用于解决信号和噪声之间不是相加而是相乘 关系时滤波问题。另外，当信号和噪声之间为卷积关系的时候，在一定条件下 可以利用同态滤波把信号有效地分离开来，由同态滤波理论引申出的复时谱也 成为现代信号处理中极为重要的概念。w i e n e r 滤波、k a l m a n 滤波和自适应滤波 都是线性滤波，线性滤波的最大缺点就是在消除噪声的同时，会造成信号边缘 的模糊。中值滤波是2 0 世纪7 0 年代提出的一种非线性滤波方法，它可以在最 小绝对误差条件下，给出信号的最佳估计。这种滤波方法的优点，就是能够保 持信号的边缘不模糊。另外它对脉冲噪声也有良好的清除作用。形态滤波是建 2 武汉理工大学硕士学位论文 立在集合运算上的一种非线性滤波方法，它除了用于滤除信号中的噪声外，还 在图象分析中发挥了重要的作用眈 1 3 数字滤波器的实现方法 数字滤波器的实现方法一般有以下几种： ( 1 ) 在通用的计算机( 如p c ) 上用软件( 如c 语言) 实现。软件可以是 由自己编写，也可以使用现成的软件包。这种方法的缺点是速度太慢，不能用 于实时系统，主要用于d s p 算法的模拟与仿真。 ( 2 ) 在通用的计算机系统中加上专用的加速处理机实现。这种方法不便于 系统的独立运行。 ( 3 ) 用通用的单片机实现。单片机的接口性能良好容易实现人机接口。由 于单片机采用的是冯诺依曼总线结构，系统比较复杂，实现乘法运算速度较慢， 而在数字滤波器中涉及大量的乘法运算，因此，这种方法适用于一些不太复杂 的数字信号处理。 ( 4 ) 用通用的可编程d s p 芯片实现。与单片机相比，d s p 有着更适合于数 字滤波的特点。它利用改进的哈佛总线结构，内部有硬件乘法器、累加器，使 用流水线结构，具有良好的并行特点，并有专门设计的适用于数字信号处理的 指令系统等。 ( 5 ) 用专用的d s p 芯片实现。在一些特殊的场合，要求的信号处理速度极 高，而通用d s p 芯片很难实现，这种芯片将相应的信号处理算法在芯片内部用 硬件实现，无须进行编程。 ( 6 ) 用f p g a 等可编程器件来开发数字滤波算法。使用相关开发工具和 v h d l 等硬件开发语言，通过软件编程用硬件实现特定的数字滤波算法。这一 方法由于具有通用性的特点并可以实现算法的并行运算，无论是作为独立的数 字信号处理，还是作为d s p 芯片的协作处理器都是比较活跃的研究领域。 通过比较这些方法可见：可以采用m a t l a b 等软件来学习数字滤波器的基 本知识，计算数字滤波器的系数，研究算法的可行性，对数字滤波器进行前期 的仿真。可以采用d s p 或f p g a 来实现硬件电路。本论文研究的重点集中在利 用d s p 来实现数字滤波的硬件电路。 武汉理工大学硕士学位论文 1 4 本文的研究内容 本论文主要：研究数字滤波的理论知识，为系统整体设计奠定了理论基础： 研究了m a t l a b 软件在数字信号处理，尤其是数字滤波器处理中的应用，仿 真出了几种数字滤波器的基本模型；研究t i 公司t m s 3 2 0 v c 5 4 0 2 数字信号处 理器的内部结构及片上资源，并研究通信电子线路中各种接口的相互连接关系， 设计了一个价格低、功耗小、精度高的数字滤波器系统。研究高速电路中如 何进行p c b 走线，使系统具有良好的信号完整性和电源完整性，从而使系统能 够更加稳定的工作。研究有限长冲激响应数字滤波器和无限长冲激响应数字 滤波器在d s p 中的具体实现方法。编写一套可行的高效的数字滤波器程序。 研究t i 公司d s p 系统开发工具的应用，调试系统的硬件平台和程序。 4 武汉理一l ：人学硕士学位论文 第2 章数字滤波器理论研究 2 1 数字滤波器的定义和分类 数字滤波器是指完成信号滤波处理功能的，用有限精度算法实现的离教时 间线性非时变系统，其输入是一组数字量，其输出是经过变换的另一组数字量。 因此，数字滤波器本身既可以是用数字硬件装配成的一台完成给定运算的专用 的数字计算机，也可以将所需要的运算编成程序，让通用计算机来执行。数字 滤波器具有稳定性高、精度高、灵活性大等突出的优点。随着数字技术的发展， 用数字技术实现滤波器的功能越来越受到人们的注意和广泛的应用。从数字滤 波器的单位冲击响应来看，可咀分为两大类：有限冲击响应( f i r ) 数字滤波器 和无限冲击响应( i i r ) 数字滤波器。滤波器按功能上分可以分为：低通滤波器 ( l p f ) 、高通滤波器( h p f ) 、带通滤波器( b p f ) 、带阻滤波器( b s f ) 。 2 2i i r 数字滤波器结构 无限长单位脉冲响应滤波器的系统函数为： 即，；毒1 1 。善。叩“ ( 2 1 ) 对应的差分方程为： y ( 月) 4 乏6 ，z ( n r ) + 荟8 t y ( n 一七) 2 2 其中y ( n ) 由两部分构成：第一部分6 ，并。一r ) 是一个对输入x ( n ) 的m 节延时链结构，每节延时抽头后加权相加：第二部分三吼) ，o 一七) 是个对y ( n ) 的延时抽头后加权相加，因此是一个反馈网络，这种结构称为直接型1 ，如图2 - 1 所示【钔。 武汉理上人学硕十学位论文 图2 - 1 直接型i 结构方框图 将上式改写为( 当m = n 的情况) ： 一器一器鬻一c 扣1 、 z ( z )( z ) x ( z )、白。7 卜酗z 。 ( 2 3 ) 由此h z 可视为分予多项式磊印z 。与分母多项式1 一荟吼z “的倒数所构 成的两个子系统函数的乘积，这相应于两个子系统的级联。其中第一子系统实 现零点为： 即，；器= 扣。 眩4 ， 故得 y ( z ) 一以z ”( z ) ( 2 5 ) 其时域表示为 第二子系统实现级点为 整理以后可得 其时域表示为 y o ) 。磊6 r w ( ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( z ) = x ( z ) + 荟a k z - k w ( z ) ( 2 8 ) w ( n ) = x ( n ) + 荟口t w ( 肛一七) ( 2 9 ) 6 武汉理工大学硕士学位论文 综上所述可以得到如图2 2 的实现结构 y 回“ 踽。 o wh n - 1 ) 叫帕 州卅 图2 2 直接型i 的变形结构方框图 如果将图2 - 2 中相同输出的延迟单元合并成一个，则得到如图2 - 3 所示的结 构图，它比上图的延迟单元少了一倍，n 阶滤波器只需要n 级延迟单元，这是 实现n 阶滤波器所必须的最少数量的延迟单元。这种结构称为直接型i i ，有时 将直接型i 简称为直接型，将直接型l i 称为典型型式n v y 图2 3 直接型i i 结构方框图 线性信号流图理论中有许多运算处理方法，可以在保持输入和输出之间的 传输关系不变的情况下，将信号流图变换成各种不同的形式。其中流图转置的 方法可导出一种转置滤波器结构，具体地讲，就是把网络中所有支路的方向都 颠倒反向，且输入输出的位置互相调换一下。对于单输入输出系统来说，倒转 后的结构和原结构的系统函数相同，但对有限字长而言，转置结构与原结构性 质不同。 直接型i 、i i 结构的优点是简单直观。它们的共同缺点是：系数a k 、b ，对滤 波器性能的控制关系不直接，因此调整不方便。更严重的是这种结构的极点位 置灵敏度太大，对字长效应太敏感，容易出现不稳定现象，产生较大误差。 7 武汉理二l 大学硕士学位论文 由于直接型结构存在上述缺点，因此一般采用以下结构更具有优越性。 将式中的分子分母表达为因子的形式，即： 一霉二。爿 1 。荟叩。 舟“ ( 2 1 0 ) 式中a 为归一化常数。由于系统函数h ( z ) 的系数a k 、b r 都是实系数，故 零、极点c 。、d k 只有两种情况：或者是实根，或者是共轭复根。即 m 1 m ， 1 - i ( 1 一g i z ) 1 i ( 1 一h i z 。1 ) ( 1 一h i * z 1 ) t - l ( z ) - 一嚣案一 ( 2 1 1 ) r i ( 1 一p ；z ) 1 i ( 1 一q l z 。1 ) ( 1 一吼z 。) l o ji - j 式中m = m i + 2 m 2 ，n = n i + 2 n 2 ，g i 表示实零点，p i 表示实极点 2 3f i r 数字滤波器结构 有限长单位脉冲响应滤波器的系统函数为： 日( z ) 一芝 o ) z ” ( 2 1 2 ) 其差分方程为： _ ) ，o ) 荟 如。一七) ( 2 1 3 ) 其基本结构型式有以下几种： 由上式可以得出如下图2 - 4 所示的直接型结构，这种结构又可以称为卷积型 结构。 图2 - 4f i r 滤波器直接型结构图 将转置理论应用于上图可以得到图2 5 所示的转置直接型结构 武汉理【：人学硕士学位论文 兰蟹：e 瞄二 图2 - 5f i r 滤波器转置结构图 将式中的系统函数h ( z ) 分解成若干一阶和二阶多项式的连乘积： 生生 胃( z ) = 日0 ) ll h ：i ( z ) ( 2 1 4 ) t - t - t 则可构成如图2 - 6 所示的级联型结构。其中，h 1 七( z ) 一。a m o ) + 口z 。1 为一阶节； 日2 l ( z ) = 4 + n 譬z 。1 + a g z 。2 为二阶节。每个一阶节、二阶节可用上图所示的直 接型结构实现。当m 1 - m 2 = 1 时，即可得到下图( b ) 所示的具体结构。这种结 构的每一节都便于控制零点，在需要控制传输零点时可以采用。但是它所需要 的系数a 比直接型的h ( n ) 多，所需要的乘法运算也比宜接型多。 。避匝掴一叵 恒丑徊一胖 ( a ) 级暾型结构框图 毡一 ( b ) 级联型具体结构 图2 6f i r 级联型结构构成 2 4i i r 与f i r 数字滤波器的比较 i l r 滤波器系统函数的极点可以位于单位圆内的任何地方，因此可以用较低 的阶数获得高选择性，所用存储单元少，经济而效率高。但这些是以相位的非 线性为代价的。选择性越好，则相位非线性越严重。相反，f i r 滤波器却可以得 到严格的线性相位，然而由于f i r 滤波器系统函数的极点固定在原点，所以只 能用较高的阶数达到高选择性，对于同样的滤波器设计指标，f i r 滤波器所要求 的阶数可以比i i r 滤波器高5 1 0 倍，成本较高，信号延时也较大。如果按相同 的选择性和相同的线性相位要求来说，则i i r 滤波器就必须加全通网络进行相位 9 武汉理：大学硕士学位论文 校正，同样要大大增加滤波器的节数和复杂性1 4 】。 f i r 滤波器可以用非递归方法实现，有限精度的计算不会产生振荡。同时由 于量化舍入以及系数的不准确所引起的误差的影响比i i r 滤波器要小得多。显然 对f i r 滤波器必须留心稳定性问题，注意极点是否会位于单位圆之外，另外有限 字长效应有时会引起寄生振荡。再者f i r 滤波器可采用n 叮算法，在相同阶数 下，运算速度可以快得多1 4 j 。 i i r 滤波器可以借助于模拟滤波器的成果，一般都有有效的封闭式设计公式 可供准确计算，计算工作量比较小，对计算工具要求不高。f i r 滤波器没有现成 设计公式。窗函数法仅仅可以给出窗函数的计算公式，但计算通、阻带衰减仍 无显式表达式、其他大多数设计f i r 滤波器的方法都需要借助计算机辅助设计。 i l r 滤波器设计法，主要是设计规格化的，频率特性为分段常数的滤波器， 而f i r 滤波器则易于适应某些特殊应用，如构成微分器或积分器，或用于巴特 渥斯、切比雪夫等逼近不可能达到预定指标的情况，例如由于某些原因要求三 角形振幅响应 4 - 6 1 。 l o 武汉理】太学硕士学位论文 第3 章数字滤波器的计算机辅助设计 数字滤波器用硬件实现的基本部件包括延迟器、乘法器和加法器；如果用 软件来实现时，它即是一段线性卷积程序。软件实现的优点是系统函数具有可 变性，仅依赖于算法结构，并且易于获得较理想的滤波性能，所以软件滤波在 滤波器的使用中起到了越来越重要的作用。各种高级语言在设计和实现滤波器 当中都有一整套成熟的程序组，在使用这些程序时让使用者感到头痛的是它们 冗长的程序和修改参数的不方便，特别是滤波器各种表达式和滤波器各种形式 相互之日j 的转换，显得十分复杂。滤波器软件的设计和实现在信号处理软件设 计和使用当中占有十分重要的地位和作用。 m a t l a b 的信号处理工具箱的两个基本组成就是滤波器的设计和实现以及 频谱分析。工具箱提供了丰富而简单的设计、实现f i r 和i i r 的方法，使原来繁 琐的程序设计简化成函数的调用，特别是滤波器的表达方式和滤波器形式之间 的相互转换显得十分简便，为滤波器的设计和实现开辟了一片广阔的天地。 i i r 与f i r 滤波器不论是在性能上还是在设计方法上都有很大的区别。f i r 滤波 器可以对给定的频率特性直接设计，而i i r 滤波器目前最通用的方法是利用已成 熟的模拟滤波器的设计方法来进行设计。不管是i i r 还是f i r 滤波器的设计都包 括以下三个步骤：给出所需要的滤波器的技术指标；设计一个h ( z ) 使其逼近 所需要的技术指标：实现所设计的h ( z ) 。 3 1 滤波器的表达方式 在线性系统理论中，系统表示一般常用的数学模型包括有：传递函数模型 ( 系统外部模型) 、状态方程模型( 系统内部模型) 和零极点增益模型等。这些 数学模型之间有着内在的等效关系，使用在不同场合有其各自的优势。 3 1 1 滤波器的传递函数模型 一个线一睦时不变( 珊) 数字滤波器可以用以下的长系数线性差分方程来表 一个线一睦时不变( l t d 数字滤波器可以用以下的长系数线性差分方程来表 不： 1 1 武汉理工大学硕士学位论文 ) ，( n ) = 酗z ( 川) 一善魂j ，o i ) ( 3 1 ) 式中x ( n ) e y ( n ) 分别表示输入和输出信号序列，a j 和以是滤波器系数。 当式中b i 系数全为零时，即： y ( ) = 口f 工( n f ) ( 3 2 ) 胃 则称该滤波器为非递归型滤波器，此时系统的输出与输入有关，而与输出无 关，这种滤波器没有极点，故称之为全零点滤波器。当b i 不全为零时，即输出 不仅与输入有关，而且与过去的输出有关，则称这种滤波器为递归型滤波器。 设式中输入信号x ( n ) 与输出信号) ，0 ) 在n = 0 以前处于零起始状态，则有 善以y o f ) 一善a i x ( r t f ) ( 3 3 ) 式中的b o = 1 ，对上式两边进行z 交换，得到 荟6 l z 4 y ( z ) 4 荟a z z - * x ( z ) 3 4 得到系统的脉冲传递函数为 孓a i z - i 日( z ) 一号一 ( 3 5 ) y 6 z 。 倒 对l t i 系统来说，上式中a ，和t 均为常数。 这种系统在m a t l a b 当中可以用其分子和分母的系数，即滤波器系数构成 的两个向量来唯一确定： n u m = 【a l , a 2 ，a 。】 d e n 一 b l ，b 2 ，k i ( 3 6 ) 可以对传递函数进行首一化处理，在传递函数的上下同时除以b 。则可以得到首 一化的两向量： n u m 耳【五，a 2 ，露l d e n 叫1 匠，芝，t 】 3 1 2 滤波器的状态方程模型 ( 3 7 ) 状念方程是描述系统的一种常用的方式，这种方式是基于系统的不可见的状 态变量的所以又往往称为系统的内部描述方法。连续l t i 系统的状态方程可以 写成： 1 2 武汉理1 ：大学硕士学位论文 x ( o = 出( f ) + 曰“( f ) y o ) = c x ( o + d “( f ) ( 3 8 ) 其中a ，b ，c ，d 分别为常数矩阵，在m a t l a b 中，一般情况下，系统的 状态方程可以简记为( a ，b ，c ，d ) ，如果d = 0 ，则系统的状态方程模型可以 简记为( a ，b ，c ) n 。 对于离散时间系统来说，状态方程模型可以写成： x q + 1 ) r 】，爿z ( f r ) + b u ( i r ) y q + 1 ) r 】一c x q + 1 ) r + 0 嘧a + 1 ) t ( 3 9 ) 以上可写成 x m = 爿置+ b u f y f + l q 。+ l + d u l + l ( 3 1 0 ) 这样离散时间系统的状态方程模型也可以写成( a ，b ，c ，d ) 或( a ，b ， c ) f6 1 1 3 1 。 3 1 3 滤波器的零极点增益模型 零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系 统传递函数的分子和分母进行分解因式处理，以获得系统的零极点表示形式， 对单输入单输出系统来说，可以简单地将其零极点模型写成： x b + z 、 郇卜k 毵“慧篱燃葛 智 式中z ，i = l ，2 ，m 和p ，i - - 1 ，2 ，n 分别称为系统的零点和极点， 它们既可以为实数也可以为复数，而k 称为系统的增益。这样滤波器就可以简 记【z ，p ，k 】，为了保证滤波器的稳定，系统的所有极点都位于左半s 平面。如 果稳定系统所有的零点都位于左半s 平面，则称该系统为最小相位系统，否则 称为非最小相位系统。如果系统中的某个零点值恰好等于其中一个极点的值， 则它们之间可以对消以直接获得一个完全等效的低价系统1 3 】。 3 1 4 滤波器数学模型之间的相互转换 几种滤波器的数学模型在不同场合可以取到各自不同的优势效果，所以它们 之间的相互转换显得十分重要。在线性系统理论当中，几种模型之间的转换有 武汉理下大学硕士学位论文 着成熟经典的方法。m a t l a b 的控制系统工具箱提供了几个函数可以方便地实 现模型的转换。 ( 1 ) 状态方程模型到零极点增益模型的转换 状态方程为： z o ) 一a x ( t ) + b u ( t ) y o ) 一c x ( t ) + d u ( t ) ( 3 1 2 ) 转换的公式为： h 。) ；c - a ) - 1 b + d = k f ( s - - 两z i ) ( i s - - z 万2 ) 百 ( s - - 丽z n ) ( 3 1 3 ) m a t l b a 为实现状态方程模型向零极点模型的转换提供了以下函数： 【z ，p ，k 】= s s 2 z p ( a ，b ，c ，d ，i u ) 该函数用来实现滤波器的状态方程模 型到零极点模型的转换。其中a ，b ，c ，d 分别表示系统状态方程模型的各个 矩阵；z ，p ，k 分别表示系统的零、极点和增益矩阵。i u 表示要求的输入序号， 如果系统为单输入系统，则有i u = l 。 ( 2 ) 零极点增益模型到状态方程模型的转换 f a ，b ，c ，d 】= z p 2 s s ( z ，p ，k ) 该函数用来实现滤波器零极点增益模型到 状态方程模型的转换，其中( a ，b ，c ，d ) 为状态方程模型，z ，p ，k 分别表 示系统的零、极点和增益矩阵。 ( 3 ) 传递函数模型到零极点模型的转换 零极点增益模型： 何o ) ；k尘二! ! 地二! ；! ：尘二刍2 ( s p ，) ( s p 2 ) ( 5 一p 。) ( 3 1 4 ) 传递函数模型： 耶) 一裂a e n s ( 3 1 5 ) i 【z ，p ，k = t f 2 z p ( n u m ，d e n ) 该函数用来实现滤波器传递函数模型到零极 点增益模型的转换。其中n u l n 表示传递函数分子的多项式系数，d e n 表示传递函 数分母的多项式系数。 ( 4 ) 零极点增益模型到传递函数模型的转换 【e l u m ，d e n = z p 2 t f ( z ，p ，k ) 瑁来实现滤波器零极点模型到传递函数模型 的转换。 ( 5 ) 状态方程模型到传递函数模型的转换 1 4 武汉理工大学硕士学位论文 n u m 。d e n = s s 2 r f ( a ，b ，c ，d ，i u ) 用来实现滤波器状态模型到传递函数 模型的转换。 ( 6 ) 传递函数模型到状态方程模型的转换 【a ，b ，c ，d = t f 2 s s ( n u m ，d e n ) 用来实现滤波器传递函数模型到状态模 型的转换。 3 2h r 滤波器的m a t l a b 辅助设计 i i r 数字滤波器设计借助模拟滤波器原型，再将模拟滤波器转换成数字滤波 器。这些过程已经成为一整套成熟的设计程序。模拟滤波设计已经有了一套相 当成熟的方法，它不但有完整的设计公式，而且还有较为完整的图表供查询。 因此，充分利用这些已有的资源将会给数字滤波器的设计带来很大的方便。 具体在m a t i _ a b 中设计i i r 数字滤波器的设计步骤如下：按一定规则将给 出的数字滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标；根据转换后的 技术指标使用滤波器阶数选择函数，确定最小阶数n 和固有频率w 。；运用最小 阶数n 产生模拟低通滤波器原型；运用固有频率把模拟低通滤波器原型转换成 模拟低通、高通、带通、带阻滤波器；运用冲激响应不变发或双线性不变法把 模拟滤波器转换成数字滤波器。 m a t l a b 工具箱提供了几种模拟滤波器的原型产生函数，b e s s e l 低通模拟 滤波器原型，b u t t e r w o r t h 滤波器原型，c h e b y s h e v ( i 型、i i 型) 滤波器原型、 椭圆滤波器原型等不同的模拟滤波器原型；模拟低通滤波器原型向低通、高通、 带通、带阻的转变函数：从模拟滤波器向数字滤波器转换的双线性变换法和冲 激响应不变法等方法；模拟i i r 数字滤波器阶数选择函数以及数字滤波器直接设 计函数等等。另外，m a t 信号处理工具箱提供了几个直接设计i i r 数字滤 波器的函数。这一整套设计函数给在m a t l a b 中设计i l r 数字滤波器带来了极 大的方便1 1 4 l 。 3 2 1 低通模拟滤波器原形 在模拟滤波器的设计当中，首先要给定模拟滤波器的技术指标a ，a ：，q 。， q2 ；其中a l 为通带应能达到的最大衰减，a 2 为阻带应达到的最小衰减，q l 为通 带上限角频率，q 1 为阻带下限角频率。希望设计一个低通滤波器g ( s ) 为： 武汉理工大学硕七学位论文 g ；笔c o 舞4 - 鼍筹4 -+ c 1 s+ c 1 sc s 使其对数幅频响应1 0 l 刮g ( j q x 2 在q l ，o 2 处达到a l ，a 2 的要求。 a ，a ：都是。的函数，它们的大小取决于i g ( ，q m 2 的形状，为此， 个衰减函数a ) ，即 静埘g l 铡删g 击 ( 3 1 6 ) 定义了一 ( 3 1 7 ) j g ( f q m 2 。1 0 1 ( o ) ” ( 3 1 8 ) 幅平方特性函数i g ( f q n 。在模拟滤波器的设计中起着十分重要的作用。人们 设计出了几种不同的i g ( f q m 2 ，它们代表不同的模拟滤波器的类型。在m a t i _ a b 当中也相应的设计出这几种模拟滤波器的原型。最常见的几种模拟滤波器的原 型包括：巴特沃思( b u t t c r w o r h ) 滤波器、c h c b y s h c vi 型滤波器、c h c b y s h c v i i 型滤波器、椭圆滤波器、b c s s e l 滤波器等。 3 2 2 低通、高通、带通及带阻滤波器的设计 模拟低通、高通、带通及带阻滤波器主要的设计方法是先将要设计的滤波 器器的技术指标通过某种频率转换关系转换成模拟低通滤波器的技术指标，并 根据这些技术指标设计出低通滤波器的转移函数，然后再根据频率转换关系变 成所要设计的滤波器的转移函数。m a na b 的信号处理工具箱为是实现从低通 滤波器向低通、高通、带通和带阻滤波器的转换提供了方便的函数f 1 5 】。 ( 1 ) 从低通向低通的转变 【a t ，b t ，c t ，d t = i p 2 l p ( a ，b ，c ，d ，w n ) 和 n u m t ，d c n t = l p 2 1 p ( n u m ， d e n ，w n ) 这