（热能工程专业论文）城市埋地燃气管道浅埋防护技术的研究.pdf

摘要 摘要 随着城市建设的发展及人口密度的增加，燃气需求增加，燃气管网建设项 目增多，城市燃气输配管网的安全运行问题日益突出。在影响燃气管道安全的 众多因素中，由于埋深不够导致的燃气管道破裂劳损占有相当大的比例，所以 研究浅埋燃气管道的受力情况，找出浅埋管道的各种防护措施的防护效果，具 有重要意义。 本文在已有的各种埋地管道的理论研究的基础上，结合有限元分析方法和 实验手段，从燃气管道的受力性状入手，重点研究了两种常见的城市埋地燃气 管道浅埋防护措施的防护效果，总结在不同埋深下的燃气管道的受力特点，并 比较了这两防护措施的防护效果，对指导以后的工程实际和建立城市燃气管道 浅埋防护技术数据库有着重要意义。本文主要分为理论，模拟和实验三部分： 第一部分为理论部分，介绍了当前埋地管道的基础理论研究现状，这也是 本课题的理论基础，并重点介绍的有限元的发展，方法，分析过程。 第二部分为有限元模拟部分，首先分析了没有采用防护措施的埋地燃气管 道的受力性状，主要是找出埋地管道的在不同埋深下，各个影响因素对城市埋 地燃气管道的影响。其次分析了两种常用的防护措施对燃气管道的受力的影响， 通过比较和分析，研究不同防护措施的防护效果。 第三部分是实验部分，采用实验的方法对埋地管道进行应变和应力分析， 这两种方法互为补充、相互促进。本实验采用电阻应变测量技术。这是一种非 电量电测技术。 最后对本文的主要研究内容及成果进行总结，并针对本论文的进一步研究 方向进行了简单的讨论。 关键词：城市埋地管道；浅埋防护；有限元 a b s t r a c t a b s t r a c t w i t ht h eg r e a td e v e l o p m e n to fc i t i e sa n de n h a n c e m e n to fp o p u l a t i o n ，t h e r e q u i r e m e n to fg a si n c r e a s eg r e a t l ya n dg a sp i p e l i n ep r o j e c t sa r eo np r o c e s s i n g ， h o w e v e r ，t h es a f e t ya n dr e l i a b i l i t yo fu r b a nb u r i e dg a sp i p e l i n e sa r em o r ea n dm o r e i m p o r t a n tt oo u rb a s i ce s t a b l i s h m e n to fc i t e s a m o n gv a r i o u sf a c t o r s , o n eo ft h em o s t i m p o r t a n tf a c t o ri st h eb u f f e dd e p t h ，f o ri ft h e r ei sn o te n o u g hb u r i e dd e p t h ，i t w o u l dd u et ot h ep i p e l i n ec r a c ke v e ne x p l o d e 。u r b a nu n d e r g r o u n d b u r i e d g a s p i p e l i n e ，a sa ni m p o r t a n tp a r to fo u re c o n o m i cd e v e l o p m e n t , i so fg r e a ts i g n i f i c a n c e t 0b es t u d i e d b a s e do nt h ep i p e l i n eb u r i e dt h e o r e t i cr e s e a r c h ，f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sa n d e x p e r i m e n tm e t h o d ，t h i sd i s s e r t a t i o na n a l y s i st h ep i p e l i n e ss t r e s sc h a r a c t e ri n d i f f e r e n tb u r i e dd e p t ha n dd i f f e r e n tp r o t e c t i o nm e t h o d s t h e n ，c o m p a r e dt h er e s u l t a n df i n do u tr a n go ft h et w ow i d e l yu s e dp r o t e c t i o nm e t h o d s ，d i r e c tt h ep r o j e c ta n d e s t a b l i s ht h es h a l l o w - b u r i e dp r o t e c t i o nd a t ab a s e t h ef o l l o w i n gp a r t sa r e t h ef i r s tp a r ti st h et h e o r e t i cp a r t t h ek e yp o i n ti st h ed e v e l o p m e n to ff i n i t e e l e m e n ta n a l y s i sa n dh o wt oa n a l y s i sa t o p i cw i t ht h i sm e t h o d t h es e c o n d p a r t i sf i n i t e e l e m e n t a n a l y s i s f i r s t , a n a l y z e d t h e u n d e r g r o u n d - b u r i e dp i p e l i n ew i t h o u tp r o t e c t i o n ，t h ea i mi sf i n do u tt h ee v e r yf a c t o r w o u l db r i n go nw h a tk i n do fr e s u l t s t h e n ，r e s e a r c ht w op r o t e c t i o nm e t h o d s ，f i n dt h e p r o t e c t i o ne f f e c t t h et h i r dp a r ti s e x p e r i m e n t ，a n a l y z e dt h es h a l l o w - b u f f e dp i p e l i n ea n d c o m p a r e dt h er e s u l t sw i t ht h ef i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sm e t h o d t h er e s i s t a n c ef a i l s t r a i ng a g et e c h n o l o g yi sa d o p t e di nt h i se x p e r i m e n t a tl a s t , as u m m a r i z a t i o no ft h em a i nc o n t e n ta n dc o n c l u s i o n so ft h i sp a p e rw a s g i v e na n dt h ef u t u r er e s e a r c hw a sd i s c u s s e d k e yw o r d s ：u r b a ng a sp i p e l i n e ；p r o t e c t i o n ；f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位 论文的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开 发表的作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的 法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 1 够刖拥 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规 定，同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和 电子版本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影 印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目 录检索以及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权 按有关规定向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子 版；在不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分 或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 妒7 年乡川日 第1 章引言 1 1 背景介绍 第1 章引言 随着城市建设的发展及人口密度的增加，燃气需求增加，燃气管网建设项 目增多，城市燃气输配管网的安全运行问题日益突出。城市燃气输配管网与其 他管网比较，具有供气不能中断使用周期长，管道覆盖面广，燃气管道埋设在 地下等特点，且燃气管道输送介质一旦泄漏极易造成事故。虽然城市燃气经营 企业在管道设计、建设和运行时采用越来越严格的规范，建设时选用性能越来 越好的设备和管材，严格防腐，但影响城市燃气输配管网安全性的因素很多， 任何一种因素都可能导致燃气管道的损坏，从而可能引发严重的事故，造成人 员伤亡和财产损失。所以，确保城市燃气管道的安全，具有很重大的社会和经 济意义。 根据欧洲输气管道事故数据组织( e g i g ) 对欧洲1 9 7 0 到1 9 9 2 年的管道事 故调查显示，城市燃气管道损坏的主要原因是第三方外力损害。第三方外力损 害可分为自然外力损害和人为外力损害。而其中又以人为外力损害为主。人为 外力损害可分为直接人为外力损害和间接人为外力损害n 1 。 直接人为外力损害是指人为因素直接作用于埋地管道而造成燃气泄漏等事 故。由于道路施工而挖坏、铲坏、压坏燃气管道导致燃气泄漏事故屡见不鲜。 管道埋设深度不合要求或保护措施不当，管道易受到人为直接外力损害。管道 受到损害后，有些当场破裂，而有些只是在管道表面留下裂纹，这些裂纹在一 定的应力作用下会扩大，留下安全隐患。 间接人为外力损害主要是指穿过或沿公路敷设的埋地燃气管道，当汽车， 尤其是重型车辆经过时，因自重而对地面存在挤压作用，如果管道埋设深度不 符合要求或覆土松软，使得地面载荷对管道的冲击力衰减不够，每辆车通过时 都会形成冲击作用在管道上，车辆通过后缓慢回位，如此在周期性或非周期性 的交变应力作用下，燃气管道会发生应力蠕变等，时间一长，因叠加效应而导 致管道出现裂纹，甚至破裂。 由此可见，认为外力损害中，加强城市各职能部门之间的配合，比如道路 施工时候能够明确知道地下燃气管道的铺设情况，将完全可以避免直接人为损 l 第1 章引言 害的发生，但是对于间接人为损害，主要与管道的埋深和防护措施相关，所以， 研究城市埋地燃气管道的受力和防护有着非常重要的现实意义。 为保护埋地燃气管道的安全，对于不同的路面情况，城镇燃气设计规范 ( g b 5 0 0 2 8 2 0 0 6 ) ) ) 瞳1 ( 以下简称规范) 6 3 4 条规定，地下燃气管道( 压力 不大于1 6 m p a ) 埋设最小覆土厚度( 路面至管顶距离) 应符合下列要求： 1 埋设在机动车道下时，不得小于0 9 m 。 2 埋设在非机动车道( 含人行道) 下时，不得小于0 6 m 。 3 埋设在机动车不可能达到的地方时，不得小于0 3 m 。 4 埋设在水田下时，不得小于0 8 m 但是在实际工程中，由于地下情况复杂多样，加上地下埋管的多样，很多 情况下无法达到设计要求的埋深，规范6 3 4 条中也注明“当不能满足上述 规定时，应采取有效的安全防护措施。”以减轻或抵消因浅埋而带来的风险。常 见燃气管道无法达到设计埋深要求主要有以下原因： 1 地下构造复杂 在燃气管道的铺设中，会遇到一些特殊的地下构造，比如岩体、空腔或者 渗水，岩体无法开挖，只能避开岩体进行埋管；构造空腔不能提供支撑，无法 满足燃气管道的安全要求，也无法埋设；如果遇到含水层，燃气管道埋在含水 量很大的土壤中，容易被腐蚀，此时为了保证燃气管道的安全性，就必须进行 防腐蚀处理。另外，规范对燃气管道与地下建筑、基础或和附近的各种水电 管道之间的水平和垂直净距也有规定，很多时候，按照规范规定的埋深进 行埋管会碰到排水、电信埋管等，此时为了避开这些埋管，就必须采取其他的 一些措施，比如增加保护，隔离，绕开这些管道等方式，否则将无法达到规 范对安全的要求。 2 地下已埋旧管 随着我国旧城改造工作的不断推进，目前许多城市面临改建、扩建和维修 燃气管线的任务。有些燃气管道由于铺设较早，一开始埋设的时候就没有达到 规范的要求；或是地面建筑的功能改变，比如由绿化带变成公路，此时对 燃气管道埋深的要求不同，导致原本达到要求的埋深现状不能达到要求了；或 是由于建筑，地下管网施工，改变了地下埋管的状况，原有的埋深和防护不能 满足规范要求的埋深和防护。 2 第l 章引言 1 2 国内外研究现状 燃气埋地管道的埋深设计与管道的形状和尺寸、防护层厚度和宽度、填土 性质、基础形状、地质条件、填土高度等诸多因素有关。如何合理选择结构型 式，包括基础，埋设方式和防护措施一直就是一个与很多因素相关的问题，需 要通过对燃气管道应力应变理论进行研究才能得到最佳的埋设方案和防护方 案。 早在二十世纪六十年代，从n e v m a r k 首先对地下管道进行了震动研究开始， 燃气管道安全的研究一直在发展中，理论和模型也日趋完善和精确。 城市燃气埋地管道是一种特殊的地下结构，周围受到土质介质的约束，运 动特性受到很大限制，惯性力影响较小。特别对于动力作用下的管道，会表现 出强烈的非线性特点。部分学者通过试验及理论分析了管道在静土压力下管道 埋深的影响。b a r n a r d ，r u s s e le 试验得出不同材料( 混凝土、钢管、铸铁管) 的管道( 管径为7 6 c m ) 埋设在公路下面( 管道埋深卜4 m ) 时，静态的管顶应力 与管道埋深间的关系。 由+ i l l 等采用有限元分析软件分析了管道承受内压和重力载荷下的管道轴 向应力及强度分析。管道内压为6 o m p a ，4 o m p a ，管道埋深变化范围在 1 2 6 m - 2 3 6 m ，分析模型考虑了管道与岩土的作用。研究发现，当埋深增加时， 尽管土重载荷逐渐增加，但由于土壤本身的压力拱桥效应，管道的应力反而有 所降低啪。 邵炜等研究4 0 m 以内的深埋管道性状。通过分析g o o d m a n 单元与d e s a i 薄 层单元，用线性薄层单元来模拟管土接触面模型，对静态砂土下管道受埋深影 响的特性进行了研究，得到结论：随着管道埋深增大，法向应力曲线略为上移， 幅度不大；切向应力分布曲线则基本不变。分析发现浅埋防护管道的管土静应 力受管道埋深的影响比深埋管线幅度要稍微大一些；对同一种管道来说，切向 应力的变化幅值则要比法向低。对于一般工程中埋设的管道来说，土性变化对 管土应力影响仍占据主导地位。只有当埋深很大时，土性对于管道所受的大应 力来说影响很小，因为深埋管道应力分布曲线会重新回落，即此时应力曲线的 渐近线位置与土性无关h 1 。 由于管道易受到路面交通荷载的作用产生破坏，结合管道的埋设环境，容 易产生疲劳破坏。因此动载作用下管道埋深的影响也是目前管道浅埋技术的重 3 第1 章引言 要研究方向。吴小刚等对在砂土中管径为1 0 m 的预应力混凝土管采用等效线性 粘弹性模型进行模拟分析，研究在动力作用下埋深卜5 m 管道的应力情况同。葛 志祥等根据土体弹性基本理论，建立了多层路面土体应力模型，通过计算管道 最大折算应力，进而根据管道材料强度迭代计算最优埋深。计算模型考虑路面 交通荷载，简化为集中荷载，在路面交变动载作用上没有进一步的研究阻1 。 在动载作用下管道的管土耦合作用仍占主导地位。对埋地管道的地震反应 分析研究也是管道动力研究的一个重要部分，可以为管道的路面交通荷载影响 提供不少借鉴之处。埋地管道的管土耦合作用是国内外研究的热点。管道的复 杂的埋地管道管土耦合应力问题难以通过一般解析方法得以解决，必须借助有 限元理论及现场测试技术等方法加以研究。 这些研究主要集中在理论和方法上的研究。在对燃气管道浅埋技术进行研 究的时候，借助这些模型和方法，能够建立有效的分析模型，并得到基本正确 的分析结果。目前对燃气管道受力状况的主要研究重点是管土耦合作用分析法 有效性的基础研究和复杂交变载荷作用下埋地管道的应力分析。管土耦合模型 能够充分考虑到土壤和管道的耦合受力情况；应用复杂交变载荷作用下的埋地 管道应力分析理论能正确模拟路面载荷对浅埋管道的应力影响。应力分析理论 研究为燃气浅埋技术的研究提供了理论依据。 1 3 研究内容 城市地下管网复杂。燃气在现代日常生活中和工业生产中占据越来越重要 的位置，而由于燃气的特殊性质，燃气管道的安全问题越来越重要。在一些场 合下，燃气管道无法按照规范要求进行铺设，此时就要采取有效的安全防护措 施，以减轻或抵消因浅埋而带来的风险。在实际燃气管道施工中般根据经验 采取相应的浅埋保护措施，至于效果如何，是否达到要求，并不是很清楚。所 以一方面是燃气管道安全问题的重要性，另一方面，关于燃气管道浅埋防护的 效果仍然停留在实际工程经验阶段，并没有形成一套完整的理论。 本课题的研究目标是：从理论和实验两方面着手，对埋地燃气管道的受力 情况进行分析，同时对相关的浅埋防护措施的防护效果进行分析，当燃气管道 无法满足规定的埋设深度要求时，为其提供合理的浅埋方案。 本课题主要研究内容为： 4 第1 章引言 1 分析研究埋地燃气管道在静载和动载作用下，位于不同的埋深下，燃气 管道的内压、壁厚以及回填土层性状，以及移动载荷，内压变化和外载变化等 因素对燃气管道的应力应变的影响。 2 分析研究燃气管道浅埋防护措施的效果。 3 通过实验分析，验证埋地燃气管道应力应变理论分析结果。 5 第2 章有限元方法和a n s y s 介绍 2 1 前言 第2 章有限元方法和a n s y s 介绍 燃气管道由于管壁和管道直径相比较小，可以称之为薄壁管道，这种管道 在上层覆土和地面载荷的作用下，管道因受力而发生变形。由于管道左右侧壁 和底部外凸挤压土体，引起了土体对管道的弹性抗力，约束管壁向外的变形， 以弥补管壳刚度的不足，这对刚度较小的柔性埋管尤为明显。由此可见，埋 地管道支承覆土压力的能力是由管道本身的强度、刚度与因受压变形而产生的 管侧土介质抗力两部分组。也就是说，管周土体既是作用在管道上的荷载，同 时又是增强管道强度和刚度的一种介质。因此，研究埋地管道的工作机理时， 必须把管道周围一定范围内的土体作为结构的一部分加以考虑，即考虑管土相 互作用问题。按结构力学观点，管道与管周土壤介质构成了一个异性体的超静 定结构体系，该体系一般称为管土相互作用体系。在管土相互作用体系内，由 于管道与土壤相对刚度不同，它们在外载荷作用下，管壳与土体之间从作用力 的关系来说，将发生主动力( 外载荷) 与被动力( 如土壤抗力) 之间的相互作 用；从位移关系来说，变形的壳体与受挤压的土体之间存在相互制约与变形协 调。当然，作用力大小与位移量是同时消长的，其结果将导致作用于管周的径 向土压力集度由初始阶段的极不均匀状态逐渐演变到较为均匀，也就是沿管周 压力重分布。为确保管道及其所属总体工程的安全运营，如何合理正确地分析、 计算地下埋管结构以及采用何种理论或方法就成为一个急待解决的重要课题。 在研究地下埋管的工作机理时，地下埋管的应力与埋管尺寸、外形、填土 厚度、填土力学性质、原始边界条件等因素有关，很难简单地用公式来概括这 些因素。避开寻求复杂的计算公式而采用数值分析方法是比较好的解决途径之 一。于是，利用a n s y s 软件对地下埋管结构进行有限元分析，以改善或取代传 统的计算方法，使计算结果能更准确地反映实际情况，这对于管道受力状况， 防止埋管出现损裂有重要的意义。 6 第2 章有限元方法和a n s y s 介绍 2 2 计算机辅助设计 许多工程分析问题，如固体力学的位移场和应力场分析、电磁学中的电磁 场分析、传热学中的温度场分析、流体力学中的流场分析等，都可归结为在给 定边界条件下求解其控制方程( 常微分方程或偏微分方程) 的问题，但能用解析 方法求出精确解的只是方程性质比较简单，且几何边界相当规则的少数问题。 对于大多数的工程技术问题，由于物体的几何形状较复杂或者问题的某些特征 为非线性的，很少能得到解析解。这类问题通常有两种解决途径：一是引入简 化假设，将方程和边界条件简化为能够处理的问题，从而得到它在简化状态的 解。这种方法只在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致不正确的 甚至错误的解。因此，人们在广泛吸收现代数学、力学理论的基础上，借助于 现代科学技术的产物计算机来获得满足工程要求的数值解，也就是第二种 解决方法，计算机辅助设计计算机辅助设计( c o m p u t e ra i d e de n g i n e e r i n g ， 简称c a e ) 是现代工程学形成和发展的重要推动力之一，是用计算机辅助求解 复杂工程和产品结构强度、刚度、稳定性、动力响应、热传导、三维多体接触、 弹塑性等力学性能的分析计算以及结构性能的优化设计等问题的一种近似数值 分析方法。 c a e 从6 0 年代初在工程上开始应用到今天，已经历了近5 0 年的发展历史， 其理论和算法都经历了从蓬勃发展到日趋成熟的过程，现已成为工程和产品结 构分析中( 如航空、航天、机械、土木结构等领域) 必不可少的数值计算工具， 同时也是分析连续力学各类问题的一种重要手段。随着计算机技术的普及和不 断提高，c a e 系统的功能和计算精度都有很大提高，各种基于数字建模产品的 c a e 系统应运而生，并已成为结构分析和结构优化的重要工具，同时也是计算 机辅助4 c 系统( c a d c a e c a p p c a m ) 的重要环节。 c a e 系统的核心思想是结构离散化，即将实际结构离散为有限数目的规则 单元组合体，实际结构的物理性能可以通过对离散体进行分析，得出满足工程 精度的近似结果来替代对实际结构的分析，这样可以解决很多实际工程需要解 决而理论分析又无法解决的复杂问题。其基本过程是将一个形状复杂的连续体 的求解区域分解为有限个形状简单的子区域，即将一个连续体简化为由有限个 单元组合的等效组合体：通过将连续体离散化，把求解连续体的场变量( 应力、 位移、压力和温度等) 问题简化为求解有限的单元节点上的场变量。此时得到的 7 第2 章有限元方法和a n s y s 介绍 基本方程是一个代数方程组，而不是原来描述真实连续体场变量的微分方程组。 求解后将得到近似的数值解，其近似程度取决于所采用的单元类型、数量以及 采用的单元插值函数。 c a e 的技术种类有很多，其中包括有限元法( f e m ，即f i n i t ee l e m e n t m e t h o d ) ，边界元法( b e m ，即b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ) ，有限差法( f d m ，即 f i n i t ed i f f e r e n c ee l e m e n tm e t h o d ) 等。每一种方法各有其应用的领域，而其 中有限元法应用的领域越来越广，现已广泛应用于结构力学、结构动力学、热 力学、流体力学、电路学、电磁学等。 本课题主要是利用有限元方法对埋地燃气管道的受力状况进行分析，所以 将详细接受有限元方法。在介绍有限元方法之前，首先对c a e 另外两中常用技 术方法，也就是边界元法和有限差法，进行简单介绍。 2 2 1 边界元法 边界元法( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ) 是在有限元法之后发展起来的一种较 精确有效的工程数值分析方法。边界元法是基于控制微分方程的基本解来建立 相应的边界积分方程，再结合边界的剖分而得到离散算式，它以定义在边界上 的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，简化为代数方程组求 解。它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降 低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确 地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。又由于它利用微分算 子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特 点，通常具有较高的精度。特别是对于边界变量变化梯度较大的问题，如应力 集中问题，或边界变量出现奇异性的裂纹问题，边界元法被公认为比有限元法 更加精确高效。 由于边界元法所利用的微分算子基本解能t j 动满足无限远处的条件，因而 边界元法特别便于处理无限域和半无限域问题。边界元法的主要缺点是它以存 在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用 范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数矩阵是 非对称满阵，对解题规模产生较大限制。对一般的非线性问题，由于在方程中 会出现域内积分项，从而部分抵消了边界元法只要离散边界的优点。 8 第2 章有限元方法和a n s y s 介绍 j a s w o n 和s y m 于1 9 6 3 年用间接边界元法求解了位势问题；r i z z o 于1 9 6 7 年用直接边界元法求解了二维弹性问题；c r u s e 于1 9 6 9 年将此法推广到三维弹 性力学问题。1 9 7 8 年，b r e b b i a 用加权余量法推导出了边界积分方程，他指出 加权余量法是最普遍的数值方法，如果以k e l v i n 解作为加权函数，从加权余量 法中导出的将是边界积分方程边界元法，从而初步形成了边界元法的理论 体系，标志着边界元法进入系统性研究时期。 2 2 2 有限差分法 有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ) 是一种求微分方程和积分微分 方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格 来代替，这些离散点称作网格的节点。把连续定解区域上的连续变量的函数用 在网格上定义的离散变量的函数来近似，把原方程和定解条件中的微商用差商 来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就可以用代数方程 组近似，即有限差分方程组，求解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近 似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似 解。 有限差分法的主要内容包括：如何根据问题的特点将定解区域作网格划分， 如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为了保 证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态， 包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。一个微分方 程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近 微分方程，这就是相容性要求。另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分 方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。此外，还有 一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性，因为差分格式的计算过程是 逐层推进的，在计算第n + 1 层的近似值时要用到第n 层的近似值，直到与初始 值有关。前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响 越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的， 相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。只有在这种情形， 差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。关于差分 格式的构造一般有三种方法。最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微 9 第2 章有限元方法和a n s y s 介绍 商等。另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物 理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。此外还可以用待定系数 法构造一些精度较高的差分格式。 2 3 有限元法 2 3 1 有限元法的发展 在有限元法流行之前，有限差分法是被普遍接受的一种数值方法。有限差 分法能处理一些物理机理相当复杂而形状比较规则的问题，但对于几何形状不 规则或者材料不均匀情况以及复杂边界条件，应用有限差分法就显得非常困难， 因而有限差分法有很大的局限性。 随着计算机技术的发展，一种功能更强大，使用范围更广泛的数值方法一 一有限元法出现了。有限元法这个名称最先由c l o u g h 在一篇平面问题的论文中 提大的，但是有限元法的基本思想要追溯到c o u r a n t 的工作，1 9 4 3 年，他在求 解扭转问题时为了表征翘曲函数而将截面分成若干三角形区域。在各三角形区 域设定一个线性的翘曲函数，他第一次尝试应用定义在三角形区域上的分片函 数和最小位能原理相结合，来求解s t v e n a n t 扭转问题。而有限元法的应用则 是随着计算机的出现开始的。 随着计算科学的发展，有限元法由于通用性和高效性，使得其在工程分析 中获得了最广泛应用。许多学者开展了针对有限元法的研究。由变分法有限元 扩展到加权残数法与能量平衡法有限元，由弹性力学平面问题扩展到空间问题、 板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定性问题、动力问题和波动问题，由线性 问题扩展到非线性问题，分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性 和复合材料等，由结构分析扩展到结构优化乃至于设计自动化，从固体力学扩 展到流体力学、传热学、电磁学等领域。 到2 0 世纪8 0 年代初期，国际上较大型的面向工程的有限元通用程序达到 几百种，其中著名的有：a n s y s ，n a s t r a n ，a b a q u s ，a s k a ，a d t n a ，s a p 与c o s m o s 等。它们多采用f o r t r a n 语言编写，规模达几万条甚至几十万条语句，其功能 越来越完善。不仅包含多种条件下的有限元分析程序，而且带有功能强大的前 处理和后处理程序。由于有限元通用程序使用方便、计算精度高，其计算结果 1 0 第2 章有限元方法和a n s y s 介绍 己成为各类工业产品设计和性能分析的可靠依据。大型通用有限元分析软件不 断吸取计算方法和计算机技术的最新进展，将有限元分析、计算机图形学和优 化技术相结合，已成为解决现代工程学问题必不可少的有力工具。 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域 划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解 函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选 用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程 离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。由 于是分片近似，可采用较简单的函数作为近似函数，有较好的灵活性、适应性 与通用性。当然有限单元法也有其局限性，如对于应力集中、裂缝体分析与无 限域问题等的分析都存在缺陷。为此，人们又提出一些半解析方法如有限条带 法与边界元法等。 在结构分析中，从选择基本未知量的角度来看，有限单元法可分为三类： 位移法、力学法与混合法。其中位移法易于实现计算自动化，在有限单元法中 应用范围最广。 依据单元刚度短阵的推导方法可将有限单元法的推理途径分为直接法、变 分法与加权残数法。直接法直接进行物理推理，物理概念清楚，易于理解，但 只能用于研究较简单单元的特性。变分法是有限单元法的主要理论基础之一。 涉及泛函极值问题，既适用于形状简单的单元，也适用于形状复杂的单元、使 有限单元法的应用扩展到类型更为广泛的工程问题。当给定的问题存在经典变 分叙述时，这是最方便的方法。当给定问题的经典变分原理不知道时，须采用 更为一般的方法，如加权残效法或能量平衡法来推导单元刚度矩阵。加权残数 法由问题的基本微分力程出发而不依赖于泛函。可处理已知基本微分方程却找 不到泛函的问题，如流固耦合问题。从而进一步扩大了有限单元法的应用范围。 2 3 2 有限元常用术语 i 单元与节点 对于任何连续体，可以利用网格生成技术离散成若干个小的区域，其中每 一个小区域成为一个单元，每个单元又由一定数目的节点连接而成。常用的单 元类型可分为自然单元和分割单元。工程常用到的是分割单元，即在实际计算 第2 章有限元方法和a n s y s 介绍 过程中根据研究对象的特点，对整体或连续体进行分割得到单元，如杆单元、 梁单元、块单元、平面单元、集中质量单元、管单元、壳单元和流体单元等。 单元和单元之间连接的点称之为节点，它在将实际连续体离散成单元群的过程 中起到了桥梁的作用。有限元分析软件正是通过节点信息来组织刚度矩阵进行 计算的。同一种单元类型根据节点个数的不同分成不同的种类，如壳单元，包 括s h e l l 6 3 和s h e l l 9 3 在内的许多不同的种类，前一个单元有4 个节点，后者 一个单元有6 个节点。 2 节点力和节点载荷 相邻单元之间的节点间的相互作用力即为节点力。作用在节点上的外载荷 成为节点载荷。外载荷包括集中载荷和分布载荷等。在不同的学科领域中，载 荷的定义不同。如温度场分析中，载荷即为温度。当单元上施加了外载荷之后， 施加在单元上的节点载荷包括两部分：一是作用在节点上的外力：二是按应力 等效原则将作用在单元上的分布力分配到节点上的节点载荷。 3 边界条件 边界条件是指结构表面上所受到的外加约束。在有限元分析中，确定能够 反映结构在真实应力状态的边界条件至关重要。错误的边界条件常使有限元的 刚度矩阵发生奇异。 4 位移函数 用以表征单元内的位移或位移场的近似函数称之为位移函数。如何选择位 移函数直接关系到其对应的单元的计算精度和能力。位移函数要满足如下要求： a 在单元内部必须是连续的。 b 相邻的单元在交界处的位移是连续的。 c 位移函数必须包含单元的刚体位移。当节点位移由某个刚体位移所引发 时，弹性体内必须无应变，因而，节点力为零。 2 3 3 有限元法分析的一般过程 从总体上来说，有限元分析的一般过程可以分为三个主要步骤。 1 结构离散化 结构离散化就是将结构分成有限个小单元体，单元与单元、单元与边界之 间通过节点连接。结构的离散化是有限单元法分析的第一步，关系到计算精度 1 2 第2 章有限元方法和a n s y s 介绍 与计算效率，是有限单元法的基础步骤，包含以下两个方面的内容： 1 单元类型选择 离散化首先要选定单元类型，这包括单元形状、单元节点数与节点自由度 数等的内容。表2 1 是常见的单元类型。 2 单元划分 划分单元时应选择合适的网格精度和单元形状。网格划分越细，节点越多， 计算结果越精确。对边界曲折处、应力变化大的区域应加密网格，集中载荷作 用点、分布载荷突变点以及约束支承点均应布置节点，同时要兼顾机时、费用 与效果。网格加密到一定程度后计算精度的提高就不明显，对应力应变变化平 缓的区域不必要细分网格。 表2 1 有限元单元类型 单元类型节点数节点自由度典型应用 一维单元杆 2l 桁架 梁 23 平面钢架 平面问题 三角形 32 平面应用 二维单元 四边形 43 平而应用 轴对称问题 三角形3 2 轴对称体 三角形 33 薄板弯曲 板弯曲问题 四边形 43 薄板弯曲 四面体 43 空问问题 三维单元 六面体 83 空间问题 单元形态应尽可能接近相应的正多边形或正多面体。如三角形单元三条边 应尽量接近，且不出现钝角，矩阵单元长宽不宜相差过大等。如图2 1 所示： 好的形状不好的形状好的形状不好的形状可以的形状不可以的形状 图2 1 各种单元形状的比较 单元节点应与相邻单元节点相连接，不能置于相邻单元边界上。同一单元 由同一种材料构成。网格划分应尽可能有规律，以利于计算机自动生成网格。 第2 章有限元方法和a n s y s 介绍 网格划分后每个节点都要进行编码，包括整体节点编码和单元节点编码。图2 1 对比了几种网格划分形式，从中可以看出好的和不好的网格之间的区别。 2 单元分析 单元分析有两个方面的内容 a 选择位移函数 位移法分析结构首先要求解的是位移场。要在整个结构建立位移的统一数 学表达式往往是困难的甚至是不可能的。结构离散化成单元的集合体后，对于 单个的单元，可以遵循某些基本准则，用比以整体为对象时简单得多的方法设 定一个简单的函数为位移的近似函数，称为位移函数。位移函数一般取为多项 式形式。有广义坐标法与插值法两种设定途径，殊途同归，最终都整理为单元 节点位移的插值函数。 b 分析单元的力学特征 在有限元分析中，有三个重要的矩阵来描述单元的力学特征。单元应变矩 阵 b ，单元应变矩阵反映出单元节点位移与单元应变之间的转换关系，由几何 条件导出。单元应力矩阵 s ，单元应力矩阵反映出单元节点位移与单元应力之 间的转换关系，由物理条件导出。单元刚度矩阵 k e ，单元刚度矩阵反映出单 元节点位移 万 e 与单元节点力 f ) e 之间的转换关系，由平衡条件导出，所得 到的转换关系式称为单元刚度方程： 【k e g e = ( f e( 2 1 ) 3 整体分析 整体分析包括以下三个方面内容： a 集成整体节点载荷向量 r j 结构离散化后，单元之间通过节点传递力。所以有限单元法在结构分析中 只采用节点载荷。所有作用在单元上的集中力、体积力与表面力都必须静力等 效地移置到节点上去、形成等效节点载荷。最后，将所有节点载荷按照整体节 点编码顺序组集成整体节点载荷向量。 b 集成整体刚度方程 k 集合所有的单元刚度方程就得到总体刚度力程 k j ( 田= r )( 2 2 ) 1 4 第2 章有限元方法和a n s y s 介绍 式中： k 称为总体刚度矩阵，直接由单元刚度矩阵组集得到； j ) 为整体 节点位移向量； r ) 为整体节点载荷向量。 c 引进边界约束条件，解总体刚度力程求出节点位移分量，这也是位移法 有限元分析的基本未知量。 2 3 4 有限元法解题的一般步骤 以上是有限元法分析问题的一般过程，从中可以看出有限元法的思想就是 一个整体离散再求解然后再综合的过程，利用有限元解决问题的一般过程则了 一归纳如下： 1 结构的离散化 将分析的结构分割成有限个单元体，使相邻的单元体仅在节点处相连接， 用此单元的结合体去代替原来的结构。 2 选择位移模式 首先对单元假设一个位移差值函数，或称之为位移模式，得到用节点位移 表示单元体内任一点的唯一的关系式。有了位移模式，就可利用几何关系和应 力一应变关系表出用单元节点位移表示单元中应变和应力的表达式。 3 建立平衡方程 利用最小势能原理建立结构的节点载荷和节点位移之间的关系式，即结构 的平衡方程。 4 求解节点位移 将线性代数方程组代入边界条件后，经计算可求得所有未知的节点位移。 5 计算单元中的应力和应变 依据求得的节点位移，由可求得单元中任一点的应变和应力。 2 4 变分原理和加权余量法 2 4 1 变分原理的定义和意义 用变分法进行结构分析时，首先根据变分原理( 如最小势能原理、最小余能 原理) 将求解结构分析中的支配微分方程的问题用等价的求解某种泛函极值的 第2 章有限元方法和h n s y s 介绍 问题来代替，进而设定包含待定系数的满足规定条件的试探解，将泛函的极值问 题化为多元函数的极值问题，从而由极值条件获得用以确定待定系数的代数方 程组。解出待定系数后，便得到未知函数的近似解。由于试探解是对整个计算 区域选取的，因而当边界条件较复杂时，要使它预先满足规定条件较为困难。 讨论一个连续介质问题的“变分原理首先要建立一个标量泛函兀，它由 积分形式确定： = p ( 罢，) 施+ p ( 虬罢，) 订 c 2 固 其中是未知函数，f 和e 是特定的算子，q 是求解域，r 是q 的边界。兀 称为未知函数u 的泛函，随函数甜的变化而变化。连续介质问题的解甜使泛函兀 对于微小的变化面取驻值，即泛函的“变分”等于零 扣= o ( 2 4 ) 这种求得连续介质问题解答的方法称为变分原理或变分法。 连续介质问题中经常存在着和微分方程及边界条件不同的但却是等价的表 达形式，变分原理是另一种表达连续介质问题的积分表达形式。在用微分公式 表达时，问题的求解是对具有已知边界条件的微分方程或微分方程组进行积分。 在经典的变分原理表达中，问题的求解是寻求使具有一定已知边界条件的泛函 ( 或泛函系) 取驻值的未知函数( 或函数系) 。这两种表达形式是等价的，一方面 满足微分方程及边界条件的函数将使泛函取极值或驻值，另一方面从变分的角 度来看，使泛函取极值或驻值的函数正是满足问题的控制微分方程和边界条件 的解答。 假如能够找到问题相应的变分原理，那么立刻可以建立求得近似解的标准 过程，该过程是这样的：未知函数的近似解仍由一族带有待定参数的试探函数 来表示： “石= m 口j = 口 ( 2 5 ) 其中口是待定参数；是已知函数。将( 2 5 ) 式代入( 2 3 ) 式，得到用试 探函数和待定参数表示的泛函n 。泛函的变分为零相当于将泛函对所包含的待 定参数进行全微分，并令所得的方程等于零，即 铘：罢面i + 孚面2 + 孚瓯：0 ( 2 6 ) 1 6 第2 章有限元方法和a n s y s 介绍 由于国。，面：，是任意的，满足上式时必然有罢a 要，都等于零。因 a 口， 此可以得到一组方程： a 兀 a a a 丌 a 口l a 兀 a a 2 a 兀 甄 = 0 这是与待定参数a 的个数相等的方程组， 典方法叫做里兹法。 ( 2 7 ) 用以求解a 。这种求近似解的经 如果在泛函n 中甜和它的导数的最高方次为一i 次，则称泛函为二次泛函。 大量的工程和物理问题中的泛函都属于二次泛函，