（固体力学专业论文）压电材料问题的Trefftz解法.pdf

摘要 本文主要研究t r e f 娩法在压电材料计算中的应用。 首先对压电材料平面问题的一般解及相应的完备解系进行系统地归纳和总 结。 其次给出了压电材料平面问题的t r e m z 型边界积分方程，包括t r e f & 间接 法( t r e m z 配点法和m f 恕g a l e r k i n 法) 和t r c f f 【z 直接法。论述了各种方法的 优缺点，并讨论了一般解在t r e f 舷法中的应用。通过几个数值算例，验证了 t r e m z 边界元法求解压电材料平面问题的可行性，及该方法较高的计算精度和 计算效率。本文的创新之处是首次将t r c f 拖g a l e r k i n 法和m ：压也直接法运用到 压电材料领域。 最后建立了n e m z 型杂交有限元模型，推导了有压电材料夹杂的平面问题 的t r e m z 有限元泛函表达式。数值算例的结果表明，该方法对于夹杂问题求解 的精度和效率都很高，属于该领域一项有意义的尝试，具有一定应用价值。 本文对各种类型的t r e m z 方法进行全面的阐述，并且运用于平面压电材料 问题，取得令人满意的计算结果。其中对于无限大平面带孔洞问题的计算结果 明显优于其他的数值计算方法，体现了t r c m z 法在压电材料领域中的优势。本 文针对公式推导和数值计算中遇到的问题进行了分析和总结。 【关键词】t r e m z 法：压电材料：一般解： 讯m z 边界元法：t r e f 犰杂交有限元法 【分类号10 3 4 ：t m 2 8 2 a b s t r a c t 1 1 1 i sp a p e rf o c u s e s0 nm 舵m e t h o d 柚di t s a p p l i c a t i o ni np i e z o e l e c 啪c c o m p u t a t i o n t h e 矗r s tp a r to fm ep a p e rs u m m a r i z e s 廿l eg e n e r a ls o l u t i o n 锄dt h ec o m p i e t e s e t so f t l l ep l a i l ep r o b l e mo f p i e z o e l e c 埘cm e d i as y s t e m 砒i c a l l y t h e n ，t r e m z 哪p eb o l l i l d a r yi n t e g r a le q u a t i o na b o u tp l 柚ep m b l e mo f p i e z o e l e c 廿i cm e d i ai sg i v e n o u t i ti n c l u d e sm m zi n d i r e c tm e t h o d ( t r e m z c o l l o c a t i o nm e n l o da l l dt r e f f 匕g a l e r k i nm e t h o d l 锄dt r e m zd i r e c tm e m o d t h e a d v a n t a g e 朋dd i s a d v a n t a g eo fe a c hm e m o d a r ed i s c u s s e di nd e t a i l t h ea p p l i c a t i o n o ft h eg e n e r a ls o i u t i o ni nn m zm e 廿1 0 di sa l s om e n t i o n e d s e v e r a le x a m p l e so f p l a n ep m b l e mo fp i e z o c l e c 订i cm e d i aa r eg i v e na n ds o l v e dt 0 t c s tt h ef e a s i b i l i t y ， a c c u r a c y 锄de 伍c i e n c yo f m f 此b o l l l l d a r ye i e m e n tm e m o d i ts h o u l db em e n t i o n e d t 1 1 a tt 1 1 i sp a p e ri st h ev e r yf l r s tr e p o r t0 nt h ea p p l i c a t i o no ft r c f f 【zg a l e r k i nm e 廿l o d a n dt 1 e m zd i r e c tm e t h o di l lt h er e s e a r c hf i e l do f p i e z o e l e c t r i cm e d i a t h em o d e lo ft r e 舵啊p eh y b 棚f m i t ee l e m e n tm e 廿l o di se s 诅b l i s h e d t h e f o m u l a t i o no ft r e 舵甘p ef e mf i l n c t i o n a li sa 1 3 0d e r i v e df o rp l 姐ep r o b l e mo f i n h o m o g e n e o u sp i e z o e l e c 廿i cm e d i a t h er c s u ns h a w st h a tt h i sm c t h o dh 船h i g l l p m c i s i o na 1 1 dh i g he 历c i e n c y w h i c hm a k c st l l ee x p c r i m e n t 朋db 印p l i c a t i o n v a l u 曲l ei nt l l er c s e a r c hf i e l do f p i e z o e l e c t r i cm e d i a a l lk i n d so ft r e f 舷m e t l l o d sa r ed i s c u s s e d 柚da p p l i e dt ot h ep r o b l 锄so f p i e z o e l e c 圩i cm e d i ai nt l l i sp 印e lt h er e s u l ti s 姐t i s f 她t o r y i n 血ee x 锄p l eo fi n f i n i t e p i e z 0 e l e c t r i c s 、i t ha c i r c u l a rh o l e ，t h f 舷g a l e r k i nm 岫o dp e 面m sb e t t e rt i i a n o m e rn u m e r i c a lm e t l l o d ，w h i c hs h o w sn l ea d v 卸t a g eo f t r e f l 担m e t h o di n 血ef i e l do f p i e z o e i e c 奸i cc o m p u t a t i o n p r o b l e m s o ft l l ef o 皿u l a t i o n蛐dt l l en u m 嘶c a l c o m p u t a t i o na r ew e ha n a l y z e da n ds 眦m a r i z e d 【k e yw o r d s 】 t r c m zm e t h o d ：p i e z o e k c t r i cm e d i a ；g 曲e r a js o l u t i o n ； m m z - t y p eb o u n d a r ye l e m e n ti n e t h o d ：t r e f 匏t y p eh y b r i df i n j t ee l e m e n tm e t h o d 【c i a s s i 啊c a a o nc o d e 】0 3 4 ：t m 2 8 2 压电材料问题的t r e m z 解法 绪论 1 压电材料特性概述及研究概况 1 ) 压电材料概述 压电材料是一种具有机电耦合特性的材料，能够实现机械能与电能之间的相 互转化。自从1 8 8 0 年发现压电效应【i 】以来，压电材料已经在各种传感器、机敏 结构和智能结构中得到广泛的应用。压电材料制成的智能结构和器件广泛地应用 于信息技术、新材料技术和航天等高科技领域，并且日益展示出其巨大的优越性。 压电材料主要分为无机压电材料、有机压电材料和复合压电材料三大类。本 文主要研究的压电陶瓷属于无机压电材料范畴，是一种横观各向同性的压电材 料，具有良好的压电效应，应用广泛。 2 ) 压电材料的机电耦合性能 机电耦合性就是指当发生机械变形时，压电介质中将产生电场：而当其受到 电场作用时，将会产生机械变形。目前对于压电材料机电耦合性能的研究主要集 中于两个方面：宏观的有效电弹性能和局部的弹性场和电场分析。 前者旨在建立压电材料的细观结构与宏观有效性能的定量关系，以指导压电 材料的设计和研制，对这方面做出贡献的主要有s c h u l g 船e s r 【2 】，b e “e n i s t e 和 d v o r a k 【3 ，d u n n 和t a i m 【4 】，w 锄g 和d u 5 】等人。 后者旨在研究含夹杂、裂纹等缺陷的压电材料的弹性场与电场的分布特性， 为压电器件的可靠性分析提供理论依据。尽管早在2 0 世纪5 0 年代，m i n d l i i l 【6 城 对压电材料板的剪切、弯曲和振动进行了早期的研究，p a 咖n 【7 1 在1 9 7 6 年提出了 压电材料界面裂纹问题，但该领域的研究到9 0 年代才得到蓬勃发展。这方面的 工作包括：s o “8 ，1 川利用应力函数法及复变函数法提出了带有缺陷的压电材料平 面问题的一般解法，研究了无限大压电材料中含椭圆空腔、压电体中的半无限裂 纹端线、无限大压电材料平面中含中心裂纹等情况；王子昆等1 2 1 研究了压电陶 瓷中圆币形裂纹在横向剪力下的机一电耦合行为，给出了裂纹尖端附近应力场和 电位移的解析表达式；l i 【1 3 】等给出了g r i 伍t l l i i i 型裂纹裂尖的应力和电位移分布， 及应力和电强度因子的解析表达式；p a r k 和s u n 1 4 】给出了无限大压电材料含中心 裂纹的三种断裂模型的封闭解；l i u 和f a i i 【1 5 】利用传统边界元法研究了含缺陷或薄 形压电介质问题。 压电材料问题的t r e f n z 解法 绪论 3 ) 压电材料领域中计算方法的概述 压电材料领域中的计算方法主要分为解析方法和数值方法两大类。无论是解 析方法还是数值方法，压电材料问题的基本解和一般解一直受到众多学者的关 注。譬如，l e k h n i t s k i i i l6 j 研究了横观各向同性材料旋转体轴对称问题的通解； e l l i o n 【17 1 导出了用类调和函数表示的三维问题的某种特解；l o d g e 【1 8 】把e l l i o t t 6 f q 结 果扩展为用三个势函数表示：丁皓江和徐博候“9 j 从应力函数出发，得到横观各向 同性体轴对称问题的通解表达式；p a i l 和c h o u 【2 0 】引进三个位移势函数，用试凑法 求解了无限体内受集中力的问题；王子昆 2 1 捌等利用逐次引入势函数的方法得到 压电材料空间轴对称问题的完备通解，研究了横观各向同性压电材料半空间边界 上的解和平衡方程的通解；丁皓江1 2 3 洲等研究了横观各向同性压电材料的运动方 程和平衡方程的通解，利用体积势理论，结合试凑法，给出了横观各向同性压电 材料三维问题的基本解。 上述的各种解析方法对于求解一般解或通解问题需要凭借经验而没有统一 的理论，通常采用引入势函数、f o i i r i e r 变换、利用复变函数等方法，并且结台 试凑法。本文在文献 2 5 】、【2 6 】的基础上，较系统地总结和推导了压电材料平面 问题的一般解。这种基于弹性力学方程组的统一理论求偏微分方程的一般解的方 法，不仅求解步骤规范、简洁，而且所得解是恰当的。 基于压电材料的多样性和复杂性，用理论方式解析求解是十分困难的，而且 有很大的局限性；对于大多数问题，都需要通过数值方法求解。所采用的数值方 法可以归结为两大类，有限元法和边界元法。前者已经广泛地用于压电材料研究 领域；譬如，b e n d e n i 和b a r b o n i f 2 7 】用有限元法求解了一维机电耦合问题的二阶微 分方程组：b e r g e r 等渊建立了压电材料的有限元单元库，其中包括固体单元、平 面单元、杆单元等。这方面的工作还有a 1 1 i k 和h u g h e s ，s u n g 等【3 0 1 ，o d e n 和 k e l l v 【3 1 1 ，l m 等【3 2 】。s a r a v a l l o s 等 3 3 】。 和有限元相比，边界元法在压电材料中的应用较少，这方面的研究有l u 和 m a h e i l l l o i 乜1 ，l e e 和j i a l l g l ，l e e p 鲫，d i n g 口7 1 等，p a n l 3 8 1 ，c h e n 和l i n 删，p i 甜l f 4 ， d e n d a 和l u a 。这些工作大多是采用常规边界元法，即以g r e 锄函数解作为边界 积分的权函数。这类积分方程具有奇异性，在计算时会遇到一定的困难，而且会 影响计算的精度和效率。本文采用的m m z 型边界元法，积分方程不存在奇异性 问题，能有效的提高计算精度和效率。 2 佻f 他法概述 倍舵法最先由m m z 【4 2 1 在1 9 2 6 年创立，属于边界型数值解法。作为一种 压电材料问题的m f 舷解法 较新的边界元解法，近年来越来越受到学术界的重视。1 9 9 5 年为了纪念m f 拖 法创立7 0 周年，a d v 粕c e si ne n g i n e e r i n gs o f 、a r e 杂志出版了一期专刊：在1 9 9 6 年、1 9 9 9 年和2 0 0 2 年，先后召开了三届t r c m z 法的国际会议，研讨仉m z 法的 最新发展和成果。 t r e m z 法将控制方程的齐次解作为试函数，代入相应的变分方程中，得到 只含有边界积分的表达式。1 9 2 6 年，m m z 最早将该方法应用于求解l a d l a c e 方 程的d 矾c h l e t 问题；其后，讯f 舷法在b i m 锄【4 “”、r a f a l ，s o n 【4 6 刀等人的研究中得 到了推广，在早期的t r e 舵法中，m 舵函数的待定系数是通过边界条件的某种 加权残数方式确定，称为m f 娩间接法。1 9 8 9 年，c h e u n 卧j i n 、z i e n k i e 、v i c z 等【4 7 1 提出了仉m z 直接法；其后，j i n 等 “”懈t r e m z 直接法应用于势流、平面弹性、 平板弯曲、波浪载荷、薄板振动和中厚板分析等问题。 m m z 间接法和直接法的建立，构成了一个较完善的t r e m z 法体系；之后， 许多学者进一步对该方法进行了深入的研究，并将其运用到新的领域。k 诅等人 吲将m 丘t z 直接法与区域分解法相结合，研究了二维势流问题；之后，他们 5 4 】又 利用l a p l a c e 方程的t r e m z 完备函数，利用迭代法求解了非线性p o i s s o n 方程；c t f e m a n d e s 等1 5 5 j 用t r e m z 最小二乘配点法结合非线性最优化方法，给出了对应于不 同边界条件下应力比例因子的确定方法。随着研究的深入，m f 抛法不再局限于 边界元范畴，t r e m z 法与有限元相结合的数值方法逐渐发展起来。z i e l i n s l 【ia p 和z i e n k i e w i c z0 c 【5 6 】将t r e 侬z 完备函数引入有限元法，求解广义调和方程； j i r o u s e k ，p i l t n e r ，z i e r i l ( i e 、v i c z 和t a y l o r 等人致力于运用t r e m z 法的思想构造对称 的有限元单元形函数，并且在单元边界上进行积分；j i r o u s e k 和g u e x 【5 h 提出杂交 t k f 娩单元，建立了杂交t r c m z 有限元法( h y b 耐m f 舷f e m ) ；q i n 【”l 的专著对 于m f 舷有限元有详尽的阐述，可以说讯f 拖有限元已经被广泛的应用于平面弹 性问题、薄板弯曲、厚板弯曲、p o i s s o n 方程、壳体问题和热传导等各个力学领域。 将t r e f f t z 法应用到各个领域的同时，研究人员也从理论上对m f 娩法进行了 探讨。j i n 等口9 】在运用m f 舷法求解厚板问题时发现一类新的“自锁现象”，并提 出通过“变量减缩法”解决这一问题；z i e l i n s l 【i 【“，r c u t s “y 【6 l 】研究了t r e f 舰型试 函数的构建，k 协等【6 2 提出了研究t r e m z 法边界敏感性的数值方案，并讨论了 t r c f f t zg a i e r k j n 法的敏感性；j i r o u s e k 等【6 3 】回顾并评价了m m z 单元，指出这种单 元的优缺点，譬如只需在边界上进行积分、处理奇异性问题方便。 近年来，m 航z 法因其诸多优点( 避免奇异、计算效率和积分精度高、边 界附近数值稳定等) 逐渐引起了学术界的重视，并且得到越来越广泛的应用。 压电材料问题的t r e m z 解法 绪论 3 本文的主要工作 1 ) 采用弹性力学方程组一般解的统一理论，由压电材料的基本方程出发，较系 统地总结和推导了压电材料平面问题的一般解。 2 ) 使用加权残数法推导了压电材料平面问题中m f 此间接法和m m z 直接法 的边界积分方程，并给出相应的权函数和试函数。 3 ) 建立了t r e f 娩型杂交有限元模型，推导有压电材料夹杂的平面问题的讯f 娩 有限元泛函表达式。 4 ) 运用t r e m z 间接法、t r e m z 直接法和t r e m z 有限元法求解了几个经典的压 电材料平面问题；在叠加原理的基础上，运用t r e m z 间接法求解了无穷大压 电材料平面含孔洞的问题；运用m m z 有限元法求解含有压电材料夹杂的平 面问题。通过上述算例，验证了讯m z 法求解压电材料问题的可行性；数值 结果证明t r e 饪娩法具有较高的计算精度和计算效率。 4 压电材料问题的仉f f l z 解法 第一章 第一章压电材料的基本方程及平面问题的一般解 本章从压电材料的基本方程出发，首先得到横观各向同性压电材料平面应变 问题和平面应力问题的控制微分方程；然后，运用弹性力学方程组一般解的统一 理论，求得压电材料平面问题解的表达形式；为了降低试函数的幂次以便计算， 利用变量替换法对该解进行了降阶处理；最后采用l 印l a c e 方程的完备解系，得 到压电材料平面问题的一般解。 1 1 压电材料的基本方程 s o s a 和c a 5 t r o 舭1 给出压电材料的平衡方程和g 锄s s 电学方程为 雾二g m ， d 一目= o 几何方程为 本构方程为 边界条件为 毛= 丢h + ，) e i = 一一， o q = cq h h e 哪e i d ，= e 坩s h + * e t ( 1 一l - 2 ) ( 1 1 3 ) 筹：曼，嘉0 m q d ，h ，= 一万r ：，庐= er 。 其中，0 ，峨，互，皿和分别为应力、应囊、位移、电场强度、电位移和 电势；，和g 分鄹为为俸积力和电荷密赘；、曩、f 。、搿努翳表 示弹性常数、电场强度、压电常数、介电常数、绘定面力和表面电精密度。n ，为 透赛r 豹羚法线方向余弦，量寄e 0 t = l u 毛。r t 对于横观锫向同性服电陶瓷，以z 轴为各向髯性轴，x - y 平面为备向同性面， 弹往常数矩阵c 酉衙纯为 压电材料问题的m m z 解法 c = 压电常数矩阵e 可简化为 ，= 1 2 压电材料平面问题的基本方程 0 o o 0 0 ；( c l ，一q ：) 第一章 ( 1 l - 5 ) ( 1 1 6 ) 本节所有讨论平面均为) - z 横截面，压电材料平面问题分为平面应变问题和 平面应力问题。在平面应变问题中，假设q = 。，如= = 。，e = 一考。， 压电材料平面问题基本方程简化为 本构方程( 1 - l - 3 ) 成为 a “ j = = 一，s z 盘 e ：一娑， 盘 = o = 0 ( 1 - 2 1 ) ( 1 2 2 ) ( 1 - 2 - 3 ) 6 o o o o o o o o 钆o o o o o 0 0 o o o o o o o o oo o o o o o e o o “ “ 邓 眈i 峨i 够i峨百眈卜苦蛾i 锄一曲丝缸 = k型缸 氅七一 = e 0 o o 一 、i， t k w h 儿 o o 钆0o l = 、rj b h b h r【 压电材料问题的m m z 解法第一章 爱 = 毒苫 曼 + 暑曼 乏) c - 一z 川 将几何方程( 1 一l - 2 ) 代入本构方程，有 q ”1 瓦”石”蔷 a “a wa 西 吒”面”瓦”言 f 。：c 。( 罢+ 娑) + p i ，芒 ( 1 去5 ) 。：强。罢蝎，詈一善 卟c 詈+ 咱，芸 将( 1 2 5 ) 代入压电材料的平衡方程和g a u s s 电学方程，得到压电材料平面应 变问题的控制微分方程组 等+ c 。窘饥。) 是慨吲塞+ 正= oq 萨托“萨+ ( 。1 3 “蕊+ ( 3 1 ) 蒜+ ，z 。0 “饥) 蛊饥窘坞，窘蝎，警蝎，軎+ 正= 州娴k - ，“j 丽“矿”萨t s 紊，+ ，：- 0 ( 1 - 2 石) 蝎。) 塞蝎，窘蝎，窘咱，窘咱，害一删忙s 托，- j 瓦w - s 萨托，可吨u 等叫，茅一g 。0 为简化问题，不计体积力和自由电荷密度，即正= o ，正= 0 ，q = o ，( 1 - 2 - 6 ) 式写成矩阵形式 型= o ( 1 - 2 - 7 ) 其中记号! 和：分别表示向量和矩阵，是微分算子矩阵，为 4 = a 2a 2 。一- 丽托“萨 “3 + c 。) 篆 心，吲篆 ( + c 4 。) 姜 a 2a 2 萨托，萨 a 2a 2 q s 丽+ 虿 坚= k w ，r 包，塌) 篆 a 2a 2 q s 矿托”萨 七。等屿， ( 1 2 8 ) 压电材料问题的n e m z 解法第一章 对应于平面应力问题，有q = o ，k = = o r b = 一署= o 。在平面应 力问题压电材料控制微分方程中，( 1 2 6 ) 式中的材料常数应作相应的修正 矗弘，一等，吒一c - 。一等，小一詈，小c “，c l i c 1 lc l l p ：p 。p ；，：屯。一堑，e ；3 = 8 3 3 - 盟， 0 1 1o i l ：l = e 卅刍= e 3 3 + 旦 注：本文所有讨论的问题都是平面应变问题。 1 3 压电材料平面问题的一般解及完备解系 控制方程的一般解是t r e f 弛法的核心阎题之一，本文在文献 2 5 、 2 6 的基 础上，系统的总结和推导了压电材料平面问题的一般解。 1 3 1 弹性力学方程组一般解的统一理论 弹性力学偏微分方程组的一般解可用下述定理直接构造 2 卯 步鞋扣阻 = l 口2 l 口2 2 3丛= f ”2l ， l 呜t 呜zq 3 jl 蚝j 设口f 是线性常系数偏微分算子，以是唧的代数余子式，e 是一，与一 的最大 非常数公因子，爿3 ，= e 口驴爿p = 脚p ( ，= l ，2 ，3 ) ，口l i 与口1 2 互质，4 2 与马3 互质，且 全不为零，则垒= o 的一般解由 e = o 专，差 兰 t t 岳萄 给出，其中妒与甲分别满足 垦皇塑塑塑里塑旦! 垒竖鲨! ! ：墨 = 0 型甲：o e ( 1 3 3 ) i 丝i 是丝的行列式- 证明见文献口5 1 a 这一定理适用于任意线性常系数偏微分方程组。同时，( 1 3 3 ) 中两式的阶数 之和等于( 1 3 1 ) 中各方程的阶次之和，因此，给出的解是恰当的，既保证了解的 完备性，又保证了其唯一性。 1 3 2 压电材料平面问题的一般解 根据定理1 ，压电材料控制方程组丝阵的伴随矩阵的元素五”分别为 4 。：【( c l ，+ k ，一乜，+ 气，h j 爰+ 【( c i 3 + ) 一电。+ q ，h 矗基4 。= 【( c l ，+ k s 一乜，+ 气s h j 素毫+ 【( c i 3 + ) 一电t + q s h ，1 夏虿 铲啪丢叱矿c 1 瓶h 向】鑫啪，导 ( 1 - 3 4 ) 4 3 ：q 钆若+ h 。q ，嘞+ ) 】品+ 岛弛导 4 ，与彳，无非常数公因子，故e = 1 ，从而( 1 _ 3 - 3 ) 式中伊2o ，且b 3 ，2 ，。 代回( 1 3 2 ) 式，得压电材料平面问题的一般解为 “咄。v 邓? 1 鑫叫1 等) 甲“= 山v = ( 口? 1 彘椰；1 寺甲 w 咄：甲郴? 2 导叫2 鑫叫2 甲( 1 - ，_ 5 ) 例科导埘寿叫3 争甲 其中 垦皇塑翌囹壁塑里! 垒塑鲨 蔓= ! 将( 1 3 5 ) 代入( 1 - 2 - 5 ) ，有 研1 = 一c “ b ；1 = ( c 1 3 + c 4 4 ) e 3 3 一( e 3 l + e 1 5 ) c 孙 群2 = 一q i q 5 b i ：= 一【q 8 3 3 一c ( e 虬+ p ”) 一c 4 4 e 儿】 ( 1 3 6 ) 霹。= 一c 4 4 p ” 研3 = c 1 1 c 4 4 霹3 = c l l c 3 3 一c 廿( f l ，+ 2 c “) 霹。c “ 咔( m 斋埔：刳掣 q 2 i m - 丽万栅n 万厂 铲k 爰慨嚣卜吒2 i 蕊棚z 石旁厂 铲f m 3 1 等俑：盖卜 k 2 l 鸭百万棚n 面j 甲 卟( m 。导岷鑫饥岳卜 驴卜彘岷嘉饥导卜 其中 j ，z i l = c l l 0 3 3 c 4 4 一c 3 3 q5 ) + c 1 3 ( c 1 3 吼5 一c “白i ) 胛1 2 = c 4 4 ( c 3 3 p 3 i c 1 3 p 3 3 ) m 2 l = c l l ( p 3 3 c “一c 3 ，q 5 ) + c 1 3 ( c 1 3 p b c “白i ) m 篮= c “( c 3 3 岛i c 1 3 9 3 3 ) m 3 i = q 1 ( p ”c 4 4 一c 3 3 p 廿) 一c 1 3 ( c 1 3 p 1 5 一c “p 3 1 ) m 3 2 = c 4 4 ( c ，3 e ，1 一c 1 3 e ”) 脚= c l l 0 三+ 1 lc ) ( 1 3 - 7 ) ( 1 3 8 ) m 4 2 = 岛5 ( 2 e 1 5 c 1 3 一c i l 屯3 + c 1 3 e 3 l 卜1 1 ( c l l c ”一2 c i ，c 4 一c 己) m n = e ls ( 8 ”c 1 3 一c e 3 l p 1 5 c 卜l lc c 知 m 5 l = e ，l ( 8 l s c l 3 一e 3 l c ) 一c 1 1 ( e 】3 岛，+ c * ) m ，：2 e ，e 。( c ，+ c 。) 一e ，c 。0 ，+ 岛，) 一e 。0 ，c 。一e 。，c 。卜e 。( c ：+ 知。，c “一c t - c ”) 小蟠= c “卜e 三一e c ) 由( 1 3 3 ) 得到，位移函数r 满足方程 i 丝i 、王，= o 1 0 压电材料问题的仉m z 解法 第一章 其中，i 丛i 为算子矩阵丝的行列式 卧若+ a 嘉+ c 赤+ 瑶 即位移函数甲满足一个6 阶线性常系数偏微分方程 。等+ 。嘉+ c 南+ d 争 式中的系数分别为 ( 1 3 9 ) ( 1 - 3 - 1 0 ) 口= 一c “( 晶+ c 耶”) 6 = 【c 1 3 ( c 1 3 + 2 c 4 4 ) 一c l l c 站】”一c 3 3 c 4 4 i i + 【2 c 1 3 ( f 3 l + 9 1 5 ) + 2 c “p 3 l c l l p 3 3 】p 3 3 一( p 1 5 + p 3 1 ) 2 c 孙 f 1 3 1 1 1 c = p 1 3 ( c ”+ 2 c 4 4 ) 一c l i c 3 3 】1 i c l l c “ + 【2 c 1 3 0 3 l + p 1 5 ) + 2 c “p 3 l 一2 c l l e 拈扣1 5 + c “p 矗一0 1 5 + e 3 1 ) c “ d = 一( c 1 1 c “l l + c l i e 矗) 记线性常系数偏微分算子坠i 为p ( 昙，昙) ，若用文字变量吣s ：代替算子p 中 的导，昙可得与其同构的多项式p o l ，配) ，将其分解为二次式乘积 p ( s ) = 珊2 6 + 6 s 2 4 j 1 2 + 甜2 2 4 + d ，1 6 = 口( 5 2 2 + 2 丑2 ) ( s 2 2 + 也2 j 1 2 ) ( 5 2 2 + 2 而2 ) ( 1 3 一1 2 ) = n 壶( 审地2 印) 式中五2 是方程刀一6 牙+ c 一d ：o 的3 个根，以兰，昙回代j l ，j 2 ，方程( 1 - 3 - l o ) 以 分解为 缈一直( 等+ 志肛。 ( 1 - ，m ) 即函数甲满足方程 悫c 萋去心= 。 m ，州， 其中无= z 仲= 1 ，2 ，3 ) 由a awob 定理可知，若h 是广义函数空间簖或无穷多次可微函数 的空间c r ( 口 o ，p 。没有重因子，则p 甲= o 的任意属于h 的 解可以表示成 t = 甲。 ( 1 - 3 - 1 7 ) s ，一l 其中甲k 巾，且满足 p ( 甲i ) = v ：、王，。= o ( 1 - 3 一1 8 ) 由此，高阶方程( 1 3 1 0 ) 的求解问题化为求低阶方程( 1 3 - 1 6 ) 的解h ( t = 1 ，2 ，3 ) 极大的降低了求通解的难度。 对于压电材料平面问题，方程( 1 3 1 0 ) 的特征根在一般情况下无重根。求得 后，即可由( 1 3 1 5 ) 式得到y ，代入( 1 - 3 - 5 ) 式，则可得到压电材料平面问题的 一般解。 1 3 3 解函数的降阶形式 本节对于解函数进行降阶处理，目的是简化解函数的形式，降低求解难度。 由于、匕满足广义调和方程 又由z i = 以z ，有 睁嚣卜。【丽+ 砑严划 1 2 盟赋 一 盟舻 有则 压电材料问题的讯同窿解法第一章 利用上面的关系式，可导得 兰墨：旦兰 玉4 昆： 等= 疋等 出4 出： 若令 旦兰：堡旦 缸5 断良： 品一墨等 缸2 钯3 1 出： 詈= 帆 易证也满足方程广义调和方程v ：帆= o 。 将( 1 3 1 9 ) 、( 1 3 2 0 ) 代入( 1 3 5 ) 和( 1 3 7 ) ，则有 堡里： 出3 臣 器 爰= 五等 苏4 良 良： ( 1 3 - 1 9 ) ( 1 - 3 - 2 0 ) 一喜( 一钟+ 捌) 警 一言( 弘错+ 错) 警 ，d ”，2d ”l 】4 d 3 3 、a 2 若( 筇一露霹3 + 霹等i - l q = 妻( 一群m 。+ ) 鼍争 f = 1o 吒= 壹( 五鸭。一鬈：) 争 t ；lo = 喜( 一枫协，z ) 叠 b = 窑( 概+ 概) 甏 2 = 喜( 砜一枫+ 辊。) 簧 ( 1 - 3 - 2 1 ) 1 3 垡簖 叫 等 盟噬 t 恶 盟唰 硭 ： 也矿一知 盟喇 砖 筹 盥噬 墨 = 垡 压电材料问题的m m z 解法 第一章 至此，得到了降阶处理后，用帆表示的压电材料平面应变问题一般解。 1 3 4 用l a p l a c e 方程的完备解系表示的一般解 从1 3 3 节知道，压电材料平面问题的一般解可以用l a p l a c e 方程( 调和方 程) v ：= o 的解来表示。h e r r e r a 【6 5 】给出了l a p l a c e 方程的完备解系 平面内域问题的完备解系为 b j = a ，r e ( z ；) ，i m ( z ? ) ；七= l ，2 ，3 ；h = l ，2 ，3 ，) ( 1 3 2 2 ) 平面外域问题的完备解系为 b f = a ，l n ( x 2 + z ：) ，r z ，) ，i m ( z ，) ；七= l ，2 ，3 ；一= l ，2 ，3 ，) ( 1 3 2 3 ) 其中z 。= 扛+ 拓。) 是广义复变量 根据l 印l a c e 方程的完备解系，位移函数n 可用完备解系的基函数叠加表示 对于平面内域问题 对于平面外域问题 = 口。+ 【口时r e ( z ；) + 卢时i m ( z f ) ( 1 3 - 2 4 ) = l 其中口。，见i ，口m ，屈是待定系数 基于( 1 3 一1 5 ) 、( 1 - 3 - 2 4 ) 和( 1 - 3 - 2 5 ) ，位移函数妒的完备解可表示为 对于平面内域问题 ( 1 - 3 2 5 ) ( 1 - 3 2 6 ) 对于平面外域问题 33 = 吒+ 【尾l n ( x 2 + ) 】+ 【r c ( 互”) + 以i i i l ( 巧1 ) ( 1 - 3 2 7 ) i ；lt - ln = l 将( 1 3 - 2 4 ) 和( 1 3 - 2 5 ) 分别代入( 1 3 - 2 1 ) ，便得到用l a p l a c e 方程的完备解系表 示的压电材料平面问题的一般解。 1 4 叶。瞄 h 风 + )叶瞄 艮 时陋 + ) +妒 呱艮 + = )n i z ( m【 风 + ) i z r 畦 口 ，d，h + o 口 = y 垦皇塑整塑壁塑堡垒坚望：!垦二兰 对于内域问题，一般解为 “= ( 一 口丑；1 ) 静口tr e ( z ：) + 风i m ( z ：) w = ( 口? 2 一麓占i 2 + z b 尹) 陋nr e ( z ：) + 风i m ( z ：) 】 = ( 曰1 ，3 一z ：占+ a ：占 ) j 【g nr e ( z ：) + 卢ni m ( z ：) 】 口，；( 卫：m 。+ 正m t ：) 号陋mr c ( z ：) + 风i m ( z ：) 】 a ：童兰o 。m ：，一砖m 。) 鲁陋。r e ( z ：) + 声。i m ( z ：) 1 r 。= 宴砉( - 铂一咖，：) 岳r e ( 础+ 蹦m ( z 捌 d j = 砉薹b 。一正m 。：+ 以m t ，) 毒口m r e ( z ：) + ，ni i n ( z 捌 d ：壹兰o m 。一旯：+ 誓m ，) 鲁r e ( z m 几h n ( z 川( 1 - 3 - 2 8 ) “= 砉( 一以卅+ 五掣) 凡盎+ 姜丢【r e 何。) + 风i m 慨 w = 妻( 砰一硪2 + 箕哟 凡砉专+ 喜毒【r e 盯) + 凡l n l ) ) = 喜( 砰一麓霹+ 墨霹) 凡蓦+ 姜毒陋n r e ( z ，) + 凡1 n l c 2 ，) 】) t = 喜( _ 置m t t + 薯m ：概詈主芬+ 姜毒鼬何w 艮- m 吲m t = 砉k 一咖。执詈篆辞+ 喜善鼬隹，+ 几h 盯 k = 砉( - 正鸭。+ 疋) ( 凡百+ 善去f a n r e 何。) + 风x m ( z 一】) 皿= 喜( - m 。；箕m 。+ 正m 。x 卢。丢罢毒f + 姜裹恤n r e c z ，) + 卢ti l l l ( z ，) b e = 砉阮m ，。嘞洲m 。概若鬻+ 善争“k 盯m 加o 。3 埘 至于环域问题( 多连通区域) 的一般解，可以通过内域问题及外域问题的一般 解叠加表示；即将( 1 3 2 9 ) 式中的n 取值改为l ，2 ，。 将压电材料平面问题的一般解写成统一的矩阵形式，成为 墨皇塑塑垦箜堡垒壁鲨 苎二皇 “= l ，q = 醪 w = ：c = 必 吒= 必 t = 出 气= 磁! 皿= 蟛! 见= 垡 ( 1 3 3 0 ) 其中表示待定系数见。，a 。，卢k 所组成的列向量：盟，f - l ，2 ，8 是由对应 于每个待定系数的基函数组成的列向量。 举例简要说明待定系数向量的组成。 如果对于内域问题( 1 3 2 8 ) 式中取 为2 ，则包含1 2 个待定系数表示为 = ( q 。，屈。，呸。，屈。，q ：，属：，屹，屈：，喁，届，屈，) 7 若给定某一平面的外法线方向为n ，则面力和表匝电荷密度可以表示为 t 甜( 篡：丹摩斜 m 。引的 m = 一见= ( 皿r + 卫) = 一( 盟；k + 必) ( 1 3 3 2 a ) 令g = 磁吃+ 砭吃，垡= 磋r + 醪，= 薹 ，鳃= 蟛以+ 醪，上 述两式可以改写为 t = ： = 曼 e = 呈。旦 c ，- ，一，n ， 甜= 一乜= 一醵2 ( 1 3 3 2 b ) 基函数列向量乜，盟：，丛，g ，垒：，q 。将在下一章中作为权函数使用。 压电材料问题的m 丘k 解法第二章 第二章t r e m z 边界元法求解压电材料平面问题 本章采用m m z 边界元法求解压电材料平面问题。首先简单介绍几种常用 的边界积分法；然后将t r e m z 法和常规边界元法进行比较；最后分别给出压电 材料平面问题中t r e m z 间接法和化m z 直接法的边界积分方程及相应的权函数 和试函数形式。 2 1 几种边界积分方法介绍 边界元法的分类主要依据三个方面：边界积分方程的类型、权函数的选取 和试函数的选取【删。本节用l 印l a c e 方程边值问题来对上述三个方面作介绍。 v 2 m = 0 q 中= 面 r ( 2 一l 1 ) 口= 彳r 2 2 1 1 边界积分方程 边界型数值解法中嶂2 j ，最常见的边界积分方程有g r e e n 积分公式和g a l c r “n 积分公式两种。 ( a ) g r e 积分公式是边界元直接法的基本公式，其表达式为 沙v 2 m 一2 明拯= 妒罢一。鲁) 订 ( 2 _ 1 - 2 ) 其中带一”号的项是权函数，巾和娑分别代表问题中的未知函数值及其方 向导数。 ( b ) g a l e r k j n 积分公式是一种加权残数方程，其表达式为 暇+ 一- ) 订+ 明( g 一刃d r = o ( 2 - 1 3 ) 其中，权函数氍+ 和蟛可任意选取。口= 詈，为未知函数。的方向导数。 2 1 2 权函数的选取 权函数的选择主要有两种：g r n 函数和t 佗m z 函数 ( a ) 阻g r e e n 函数作为权函数 g r e e n 函数即控制方程的基本解，权函数满足方程 压电材料问题的t r e m z 解法 第二章 v 2 矽+ “= o胁 q ( 2 1 4 ) 其中，f 即6 函数。对于二维l a p l a c e 方程，矿：上l n 三 2 石， 将矿+ 的表达式和( 2 1 - 1 ) 式代入g r e 积分公式( 2 一1 2 ) ，可得 c 1 中+ 罾面d r + 等订= i 矿+ a 订+ f 2 形两正锄t 锄 1 也 其中c 的值与位置有关，在域内c = 1 ，光滑边界处c = l 2 ，不光滑边界上c 。 的值与边界几何形状有关。 采用g r e e n 函数做权函数有以下缺点 i 因矽的奇异性导致了奇异积分的计算困难： m角点处c 计算困难； i m 由于c 值不连续造成边界附近函数值有跳跃； i y 通常基本解较难获得。 ( b ) 以t r e f f i z 函数作为权函数 t r e f 舷函数是指齐次微分方程组的完备解。以l a p l e 方程为例，令满 足控制方程 v 2 + = 0 ( 2 1 - 5 ) 将( 2 一l - 1 ) 和( 2 1 5 ) 代入g r e e i l 积分公式( 2 1 2 ) ，得到 i 等研+ 署鲫= 妒a 盯+ 矿弘屯a h屯锄 屯 1 屯 。 显然，m m z 型的权函数有以下优点 i 避免了奇异积分： m 与基本解相比，完备解更容易得到； i m 积分方程中不存在间断的常数c ，因此在边界附近函数值稳定。 2 1 3 试函