（岩土工程专业论文）层状土中横向受荷桩的内力与变形分析.pdf

申英文提要 层状土中横向受荷桩的内力与变形分析 - - - - _ _ _ - _ - _ “ 一提要 本文归纳、整理并补充了横向受荷桩问题在特定条件下的解析解： 编制了多层土中横向受荷桩m 法计算实用程序：应用该程序分析了单 层、双层土地基中横向受荷桩内力、位移变化规律，求得一组简化的可 直接在工程中运用的实用计算公式，并且可以由双层土推广到多层土地 基；最后，编制了采用p y 曲线法分析横向受荷桩的程序，并通过工 程实例与m 法进行了比较。 本文工作为实际工程中横向受荷桩的内力与变形计算提供了实用有 效的工具。 a n a l y s e s o f l a t e r a l l y l o a d e dp i l e si nl a y e r e ds o i l s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，a n a l y t i c a ls o l u t i o n st ot h ep r o b l e m so f l a t e r a l l yl o a d e dp i l e s u n d e rs o m e s p e c i a lc o n d i t i o n sa r es u m m a r i z e da n ds u p p l e m e n t e d ac o m p u t e r p r o g r a mi sd e v e l o p e df o ra n a l y s i so fl a t e r a l l yl o a d e dp i l e si nl a y e r e ds o i l s b a s e do nc l a s s i c a lmm e t h o d t h ep r o g r a mi s a p p l i e dt oa n a l y z et h eb e h a v i o r o ft h ep i l e s ，a n db a s e do nt h er e s u l t so b t a i n e d ，ag r o u po f s i m p l i f i e df o r m u l a s f o rc a l c u l a t i n gi n n e rf o r c e sa n d d i s p l a c e m e n t so f t h ep i l e sa r ep r o p o s e dw h i c h c a nb eu s e di np r a c t i c ed i r e c t l y f i n a l l y , t h e p - yc l d f v em e t h o di ss t u d i e da n d t h er e l e v a n tp r o g r a md e v e l o p e d ，a n dt h ec o m p a r i s o n sb e t w e e n m e t h o da n d p - y c u r v em e t h o da r em a d et h r o u g hac a s ea n a l y s i s t h ew o r kp r e s e n t e dh e r e i np r o v i d e su s e f u lm e a n sf o rt h e a n a l y s e so f l a t e r a l l yl o a d e dp i l e si np r a c t i c a le n g i n e e r i n g 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究对象 1 1 1 横向受荷桩的类型 横向受荷桩，顾名思义，指主要考虑承受水平荷载的桩基，最基本 的情况如图1 1 ( a ) 所示。若考虑更为实际的情况，桩头可以限制转动或者 伸出土面，如图11 ( b ) 、( c ) 所示。图中为桩顶水平荷载；m 为桩顶弯 矩：q 为桩头伸出段分布荷载。 m m h 厂、 ( a )( h ) 幽11 丰6 1 1 向受荷桩的儿利t 丛本类，h 11 2 横向受荷桩的应用 横向荷城“生，一般由介质流动、结构自身形式、 震作用引起，横向受荷桩的应用场合电由此而确定。 1 介质流动引起横向荷载 一般由风力、水力、土体作用引起。 ( 1 ) 风力作用 如高耸结构、支架、格构形结构等下的桩基。 ( 2 ) 水流、波浪作用 设备运动及地 浙江大学硕士学位论文 多用于海洋工程、港口工程等。如栈桥、钢结构护岸、防波堤、石 油开采平台、管道支架，以及河流中桥墩下的桩基。 ( 3 ) 土体作用 多用于陆地上的支挡、围护结构，如深基坑开挖过程中所用的支护 桩，或斜坡土体中所用的护坡桩。 2 结构自身引起的横向荷载 结构自身所受的重力作用由于结构形式而转化为水平荷载，一般为 拱形结构，如桥梁、拱形建筑、混凝土构架等。 3 设备运动引起的横向荷载 大型设备往复运动引起动荷载。 4 地震作用引起的横向荷载 地震作用通过水、土运动传给建筑物或桩基。 1 2 国内外研究现状 研究横向受荷桩的工作性状，实质就是研究桩土之问的共同作用问 题。关于此问题的求解方法，主要有弹性理论法、极限地基反力法、地 基反力系数法、p - y 曲线法和其他一些方法。 1 2 1 弹性理论法 基本假定是桩为弹性杆件，土体为各向同性线弹性半空问体，理论 依据为弹性粱理论和弹性半空间明德林求解公式。 s p i l l e r s ( 1 9 6 4 ) 不仅分析了弹性地基还分析了弹塑性地基，考虑土体屈 服可选用不同的屈服准则，计算中采用迭代算法：先按弹性理论计算， 当发现菜段地基反力超过极限承载力，代之以已知极限承载力，直至所 柏区域土反力均不超过极限为止。 p o u l o s ( 1 9 7 1 ) 运用明德林法及有限差分法，分析桩土参数( 桩长、截 面、模量) 与桩身位移、反力系数的关系，并给出一些无量纲化的图表及 土体厶确定的经验公式。 p o u l o s ( 19 7 3 ) 运用弹性理论，但考虑土体存在极限反力，假定土体为 理想弹塑性体，桩身某一点处土体变形一旦超过极限应变，即取这点 第一章绪论 处土体反力为己知极限反力，以此重复迭代计算。 弹性理论法作为早期解法，其假定的缺陷固然很多，但这种方法在 很多问题上可以给出一种定性的解答，如桩土应力位移变化规律等，对 以后的研究提供了一种定性的检验。 1 2 2 极限反力法 先引入长桩、短桩的概念，如图1 2 所示。 埋在土体中的桩，当桩长相对较长时，在桩顶横向荷载作用下，桩 身下部位移、内力均很小，可以忽略不计；而当桩长相对较短时，沿桩 身全长的位移均不可忽略。前者称之为长桩或柔性长桩，后者称之为短 桩或剐性短桩。 ( a ) 短桩( b ) k 桩 图1 2k 桩、短桩示意 极限反力法，就是假定桩为刚性，不考虑桩身位移，根据土体的性 质预先设定一种地基反力形式，仅为深度的函数，如图1 3 所示，与桩的 位移无关，根据力、力矩平衡，并直接求解桩身剪力、弯矩及土体反力 分布形式。图中p 为桩侧土压力，l 为桩长，z 为深度，o 为被动土压力 系数，y 为土的重度，c “为粘性土不排水抗剪强度，口为计算桩宽，q 。 浙江大学硕士学位论文 为等效桩底集中力。 j 李 ( a )( b ) l 3 l 3 3 ( c ) i i ”，止o ( d )( e )( f ) 幽1 3 短扯横向土压力分布形式、 b r o m s ( 1 9 6 4 ) 对于粘性土中的短桩，提出图1 3 ( e ) 所示反力分布形式 以粘性土不排水剪强度c u 的9 倍作为极限承载力。 b r o m s ( 1 9 6 4 ) g 目于无粘性土中的短桩，提出图1 3 ( f ) 所示反力分粕形 式，取朗肯被动土压力的3 倍作为极限承载力。 极限反力法不考虑桩土变形特性，适用于刚性桩即短桩，不适用于 其他情况下的桩结构物的研究。 1 2 3 地基反力系数法 这是目i 狮应用最广的一种解法。假定横向受荷桩在变形过程，| _ j 与 桩周土之f n j 日互作用的横向力为桩身横向位移、计算点深度的函数，山 桩的挠1 1 1 l 微分方程： 4 ， 肼! 丢= 一p ( z ，y ) 口( 11 ) z 确定桩侧土体反力，( 2 ，y ) 的形式，运用解析法或数值法( 有限差分法、有 限单元法) 求解土体反力与桩身内力、位移分布。式中，目为桩身截面刚 度，y 为桩身侧向位移，z 为深度，b 为桩身迎土而宽度。 第一章绪论 1 线性地基反力法 p ( z ，y ) 可表示为k ( z ) y ，即反力系数女( z ) 与水平位移y 无关，仅与深 度z 有关，土反力与位移y 成正比。这其实是将w i n k l e r 地基运用于桩土 体系中。一种假定是k ( z ) = k h z ”，式中h 为常量，m 为指数，范围在o 1 之间。另- - ；f e o 假定是盯z ) 为任意的其他形式。 p i s e ( 1 9 8 2 ) 假定土的反力系数为竖直方向均匀分布，运用差分法，分 析双层地基，用一组无量纲图表反映土体上下层厚度比、模量比、桩身 刚度与桩身内力变形的关系。 横山幸满( 1 9 7 7 ) 针对地基反力系数为常量的情况给出了单层土体中 半无限长和有限长水平受荷桩的解析解、多层土体中的半解析解：针对 反力系数为深度的函数，给出幂级数形式的半解析解。 线性地基反力法不能考虑相邻土体变形的连续性，是很重要的不 足，尤其是对剪切刚度很大的岩层，这种假定不成立。 2 非线性地基反力系数法 该法不将p ( z ，y ) j - j 离i n ：的函数与y 的一次式乘积，而将z 、y 两部 分分开，有人提出一些相对简单的便于计算的表达式形式，如： k = k x y o ，k = k ，y o 5 ( 1 2 ) 式中岛、也为常数。 非线性地基反力法可在形式上考虑土体的连续性。 m a t l o c k ( 1 9 6 0 ) 归纳了横向受荷桩的一般性解法，运用弹性桩理论， 用有限差分法解微分方程，分析长短桩判断依据、地基系数随深度变化 的形式及桩长对桩身弯矩、位移的影l l i 自。 b r o m s ( 1 9 6 4 ) 刘粘性土中打入式长桩水平工作荷载、极限荷载的计 算，考虑桩土两科t 屈服情况下土体极限反力及桩身内力分布规律，提出 了确定地基反力系数的一些理论、实验方法。 b r o m s ( 1 9 6 4 ) 针对砂性土，假定地基系数随深度线形增加，研究了工 作荷载下桩顶位移计算以及极限荷载下考虑桩土屈服的桩土内力、位移 计算。 s o g g e ( 1 9 8 1 ) 采用有限元法，分析了不同土体反力分柿系数情况下，桩 顶荷载与桩身内力的关系，给出了一些无量纲的图表。 浙江犬学硕- 2 学位论文2 0 0 0 年1 月 1 。2 4 p y 曲线法 其基本思想就是沿桩深度方向将桩周土应力应变关系用一组曲线来 表示，即p 叫曲线，如图1 4 所示。 图1 4 p y 曲线 从理论上来说，这是一种较理想 的方法，配合数值解法，可以计算桩 内力及位移，当桩身变形较大时，这 种方法与地基反力系数法相比较有更 大的优越性。 但是，与地基反力系数法相似， 这里问题的关键也在于确定土的应力 应变关系，即确定一组p y 曲线。此 问题的精确求解又牵涉到土的本构模 型这个基本命题。现有的一些方法均 为半经验、半理论性质，基本上将土 的应力应变关系分为弹性阶段、塑性 阶段加以考虑，还有一些理论考虑弹 塑性之间的过渡阶段。 弹性区p y 曲线的确定，类似于 线性地基反力系数法中的一些公式， 如p = 妞y ，p = 蜘等，过渡区p - y 曲线一般为y 的非线性关系，又引出了 土在横向荷载作用下极限反力的问题，对此又有很多讨论。库仑土压、 郎肯土压、土的不排水剪强度等均被用来考虑此问题。 b r o m s ( 1 9 6 4 ) 对于砂性土，取三倍郎肯被动土压力作为p “，对饱和粘 性土取9 c u 为j p “，但后来有人用塑性理论分析，认为这种取值偏于不安 全，茜平一( 1 9 9 6 ) 用有限元法分析认为j p “值对应于b r o m s 取值的一半左 右。 r e e s e ( 1 9 7 5 ) 从试桩资料出发，分析桩土应力变化规律，提出用p y 曲线法解决粘。h ：土中深基础抗水平力的计算，提出硬粘土中制定p - y 曲线 的一种方法。 第一章绪论 r e e s e ( 1 9 7 7 ) 用一组p - y 曲线反映土体特性，用差分法进行数值计算， 考虑不同顶端约束条件。 b h u s h a n ( 1 9 7 9 ) 采用1 2 根钻孔桩进行原位测试，分析地面处位移随加 荷变化情况，认为r e e s e ( 1 9 7 5 ) 文中p - y 曲线制定方法中的若干参数在刚 性短桩情况下应作修改。 g e o r g i a d i s ( 1 9 8 2 ) 针对p - y 曲线法提出考虑桩土之间的摩擦力来预测 桩身位移、转角。 1 2 5 其他方法 有一些方法，没把它们归到地基反力系数法或p - y 曲线法中，但它们 并非是一套全新的东西，与p - y 曲线法、地基反力系数法总有很多相似之 处，但它们引入了一些较新的概念。 吴恒立( 1 9 9 5 ) 提出：怍线性地基反力的两个公式： l 女( z ) = m e - 沏 0 ，仃 0 , 1 n o ) 前者用于桩顶荷载较小阶段，后者用于荷载较大阶段。其中a 、h 为 可调参数，m 为土体比例系数。将这两个公式引入桩身挠曲方程，得出半 解析解表达式，根据试桩数掘，反算上述两方程中的参数。并认为比p - y 曲线法具有更多的优点。就试桩结果来看，吻合得比较好，其系数取值 范围也较小，但从这种方法的应用过程来看，它实际上也是一种经验公 式总结性质的方法。先确定一利t 计算模型，模型中的参数出试桩数据来 确定，并根据试桩数掘决定选用哪一个方程，即荷载较大或较小这两个 概念需要恰当把握，尤其在没有试桩资判的情况下，不可避免地有选抒 参数的问题。 m u r f f ( 1 9 9 3 ) 运用塑性玛! 论，考虑土体强度、土体滑动区、桩土粘聚 力及 i l 背土吸力等因素来分析横向受荷桩受力。 p r a k a s h ( 1 9 9 6 ) 在确定如分布时引入两个概念，一是先确定k 。由 “，一确定缸分布；二是认为k 。有上下界，运用数值解法计算桩顶力一 位移曲线时可得到两条曲线，相当于包络线性质，在某些情况下可以对 用其他方法所得的计算结果提供一个判断范围。 堑兰苎兰壁主兰竺堡查! ! ! ! ! 1 1 。2 6 规范方法简介 总体上来说，规范中的计算方法为线性地基反力系数法。由桩土相 对刚度区别长桩短桩，分别给出计算方法。对于短桩，假定地基反力系 数随深度线性增大，用极限地基反力法分析；对于长桩，假定桩为弹性， 假定地基反力系数随深度分布形式有如下通式： k ( z ) = k z ”( 1 4 ) 根据指数n 取值不同，解法也不同： ( 1 ) ”= 0 。反力系数为常数，此法称为张氏法。 ( 2 ) ”= 1 。反力系数随深度线性增大，此法称为m 法，这种方法目 前在国内外应用最广。 ( 3 ) n = 0 5 。反力系数随深度呈抛物线型增大，也有假定在超过一 定深度时反力系数取为常数。 1 3 论文工作设想及内容安排 1 3 1问题的提出 工程理论服务于工程实践。在工程设计中，现行规范( j t j 0 2 4 8 5 等) 是最具有法规性质的文件，是大多数情况下应首先考虑的设计方法。但 目前规范方法在应用中主要存在两个问题： ( 1 ) 计算过程的繁杂。规范中计算柔性长桩的方法包括有相当数量 的公式、表格，据此进行手工计算，过程相当烦琐。m 法中最重要的参 数是土的m 值，规范中对每利l 土类的值给出个范围，但这个取值范 围的上下限相差较大，为1 5 20 倍关系，如果没有试桩资料，设计人员 需要按经验选取合适的m 值范围进行试算，另外，还可能要调整桩径。 因此在需要多次改变桩土参数进行试算比较时，按规范方法手算将更显 费时费力。 ( 2 ) 计算模式的缺陷。规范方法( 法) 适用于桩、土均为小变形( 弹性) 的情况，当桩身发生较大水平位移、桩周土发生屈服时实际上已不再适 用。 i j 人相关的文献中，有的提出个别较新的计算模式，或考虑了较多 第一章绪论 的实际因素，但形式上往往很繁琐，多是理论上的探讨，远未达到实用 的地步。 另外，对于桩的横向受荷问题，仅仅在某些最简单的情况下( 张氏法， 地基反力系数为常数) 可以运用高等数学方法得出常规的解析解，对于地 基反力系数为深度的线性函数( m 法) 或其他非线性函数的形式，由于数学 上有相当的困难，目前有的仅仅是无限级数形式的半解析解( 最终还是要 通过数值计算才能得出结果) ，即便能象张氏法那样得出常规形式的解析 解，其形式将更加复杂，对于单桩计算这种工程中常遇问题已无太大实 用价值，成层土地基条件尤为如此。 1 3 2 论文内容安排 山以上分析，本文从规范方法入手展开，针对其中的存在的问题分 别加以考虑。首先将规范方法按照其基本原则进行分析简化，便于设计 中直接采用：其次运用p y 曲线方法进行横向受荷桩的计算，对桩、土 相互作用的机理、影响因素进行进一步的探讨，结合工程实例，与规范 方法进行比较。 本文计划进行的工作包括以下几个方面： ( 1 ) 归纳并完善横向受荷桩在某些简单情况下的解析解。 ( 2 ) 按照法原则编制通用性的计算程序。 ( 3 ) 使用m 法计算程序，分析桩土参数与其内力、变形的影i 蝴规桐! ， 整理出针对单层土地基的实用计算公式。 ( 4 ) 进一步测论双层土地基中的桩顶位移、弯矩计算，并尝试推广 到多层土。 ( 5 ) 分析不同土类p j ，曲线的制定方法，将p y 曲线法用程序实 现，n ：x , j 桩土受力、变形机理进行探讨。 ( 6 ) 结合工程实例，比较m 法与p y 曲线法的计算差异及原因。 浙江大学硕士学位论文2 0 0 0 年1 月 2 1 引言 第二章横向受荷桩的解析解 2 1 1 基本方程 横向受荷桩的基本体系如图2 1 所示，为了与一般结构力学规定的 符号一致，桩身剪力s 、弯矩m 的方向按如下原则确定：设作用在上断 面左向 的负方向) 的剪力s 为正，与此相应以作用在单元体断面逆时针 旋转( 作为内力) 的弯矩m ( fs 所在截面的力矩) 为正。 + ，创 _ v d 厂弋 5 i 萤 二匡兰 s + d s m + d m 图2 1 横向受荷桩的坐标系与力的正力i h l图2 2 桩身单元体力的、r 衡 考虑图2 2 中单元体的平衡，图中一p 、百分别为迎土面、背土面单 位长度的荷载强度。由水平方向力的平衡得出： 因此： 由s ：掣得 d 2 ( s + d s ) 一s 一础+ 弘= 0 _ d s ：一p 一；( 2 1 ) 瓦2 一可 【2 1j d sd2 m 一一 i 2 了丁2 p q d zd z 2 1 i u ( 2 2 ) 第二章横向受荷桩的解析解 由m ：一e l 塑得： d z e 1 磐= 一一p + 一q( 2 3 ) z 将p 、g 表示为z 、y 和桩宽b 的函数： 一p = 孔，y ，b ) ，一q = ；( ：，y ，b ) 式( 2 3 1 表示为： 日三孚= 一石( z ，y ，占) + ；( z ，y ，b ) ( 2 4 ) z 只要桩身受力处于弹性阶段，无论地基是弹性阶段还是塑性阶段，式( 2 4 ) 所反映的桩身挠曲微分方程式总是成立的。 2 1 2 问题的简化 式( 2 4 ) 给出横向受荷桩基本的挠曲微分方程，但真正要求解这个方 程却有相当的困难。首先，；= ；( 2 ，y ，b ) 、；= ；( z ，y ，b ) 函数形式的准确 确定是不可能的，这涉及到土的本构理论，只能对这两个函数的形式进 行假设、简化；其次对于假定的函数形式也只有个别最简单的形式可 以由解析法、半解析法求得结果，其他的只能由数值法完成。 如假定q = 0 ，式( 2 4 ) 简化为： 日等+ 砘y ，b ) = 0 ( 25 ) 口z 再将p ( z ，y ，b ) 的函数形式进行简化，主要方法有弹性地基反力法( 线性弹 性地基反力法、非线性弹性地基反力法) 、复合地基反力法。这其中，仅 仅线性弹性地基反力法中的几种情况可以用解析法、半解析法求得结 果。一般假定土反力p 在桩宽方向上均匀分布，即： i ( z ，y ，b ) = p ( z ，y ) b ( 2 6 ) 并与水平位移y 成f 比，比例系数沿深度方向为一常数或为深度的线性 函数，如以下二式： p ( z ，y ) = 女。y ( 2 7 ) 浙江大学硕士学位论文 p ( z ，y ) = k t z y( 2 8 ) 式( 2 7 ) 的方法为张有令( 1 9 3 7 ) 提出，称为张氏法，式( 2 8 ) 的无限幂级数 解形式由r o w e ( 1 9 5 6 ) 提出。 2 2 张氏法 2 2 1 基本方程 这种方法假定迎土面土的反力p 与桩水平位移y 的关系如式( 2 7 ) 所 示，k 。为与深度无关的常数，桩的挠曲微分方程式( 2 5 ) 变为： e 1 磐+ 女 y b = 0 ( 2 9 ) a z 这是一个常系数齐次线性微分方程，其通解为： y = p 肛( c lc o s f l z + c 2s i n p z ) + e 堆( c 3c o s f l z + c 4s i n f l z )( 2 1 0 ) 式中卢= j 箍，称为特征值，其量纲为长度的倒数。 确定桩身位移y 的函数形式后，桩身转角口、弯矩m 、剪力s 的函 数形式即可由y 的导函数确定： 臼= 一窆= 一卢p 肚【c ，( c 。s 皿一s i n 肛) + c ：( c 。s 肛+ s i n 肛) 】 一e 哏【c ，( c o s 9 z + s i n f l z ) 一c 4c o s b z “n 肚) 】 m = - e l 窘z = 一2 e 1 p 2 k 肛( _ c , s i n 肚+ c ：c 。s 雇) + p 一皿( c ，s i n 肛一c 。c o s f l z ) ( 2 1 1 ) s ：一e 1 2 d z 。 = 一2 e l f l3 忙肚【- c lc o s p z + s i n f l z ) + c 2c o s “n 犀) 】 + p 唯【c 3 ( c o s b z s i n f l z ) + c 4 ( c o s 9 z + s i n 皿) 】 式( 21 0 ) 、( 21 1 ) 中的c 。- c 。这叫个积分常数可以由桩顶、桩底边界 条件求得。 第二幸横向受荷桩的解析解 2 2 2 单层土中半无限长桩的解 1 基本解 按照半无限长桩的含义，当深度z 斗o o 时，桩身的弯矩m 一0 、剪 力s 斗0 ，因此积分常数c 、c 2 为0 ，式( 2 1 0 ) 简化为： y = e 一皿( c 3c o s 应+ c 4s i n f l z ) ( 2 1 2 ) 式( 2 11 ) 也可简化为： o = 居一皿【c 3c o sj 9 z + s i n f l z ) 一c 。( c o s 肛一s i n f l z ) m = 一2 e l p 2 e 堆( c 3s i n 皿一c 4c o s p z ) ( 2 1 3 ) s = 一2 e l f l3 e 一雄【c 3 ( c o s 9 z s i n f l z ) + c 4 ( c o s 应+ s i n 肚) 】 这时还有c ，、c 。两个积分常数，而桩顶的水平力与水平位移、弯矩与转 角这两对参数，每对中必定有一个可为己知，由此可解出c ，、c 。值。 2 桩顶剪力、弯矩已知的情况 桩顶弯矩已知为m 。，水平力已知为h 。，则边界条件： 肘l o = - 咯l ：o = 2 e l f l 2 c 一一肘。 s l o = - 略l 。= - 2 e i f l s ( c ，“一) 一日。 解得： c ，= 坠掌，午一丽m 0 2 e 1 1 3 二 3 。 2e 1 8 z 设m 。= h 。h 。，则位移曲线： y = 丽h o e 堆【( 1 + 肋。) c 。s 肛一励os i n 犀】 ( 2 1 4 ) 式( 2 1 3 ) 可写为： 臼= 丽n o r 一雄【( 1 + 2 肪。) c 。s 屈+ s i n 彦 m = 每e 堆【( 1 + 肋。) s i n 肛+ 肪。c o s 犀】 ( 2 15 ) s = 一。p 一肚c o s f l , 7 一( 1 + 2 肋o ) s i nf l z 浙江走学硕士学位论文2 0 0 0 年1 月 3 桩顶位移、转角已知的情况 桩顶位移为y 。，转角为0 。，边界条件 y l 。= c ，= y 。 曰l = p ( c ，一c 4 ) = 0 0 解得： c ，= y 。，c 。：y 。一肇 3 ，= e 一肛1 ，。c 。s 屈+ ( ，。一告 s i n 肛l 0 = p 一肚 o oc o s p z + ( 2 y 。一6 o ) s i n 皿 一z e l f l 2 e 堆 3 os i n f l z - 卜外s 肛l 5 = 一：日3 e 一肚 ( z ，。一告 c 。s 庳一告s i n 应 m ：- o = 2 e l f l 2 c 4 = 2 e l p 2 卜告j s 1 ：= o = - 2 e l f l 3 ( c3 + c 4 ) - _ 4 e l f l 3 卜易j 考虑h ”m 。的正负号规定： t ，= 4 e j , o3 y d _ 2 e l f l2 口。 m 。= 一2 田卢2v 。+ 2 e l f l o 。i 4 桩顶水半力、转角已知的t 看况 桩顶水平- ) j 为0 ，转角为0 。，边界条件： s l 。= 一2 e l f l3 ( c ，+ c 4 ) = - h 。， o l 。，= 6 ( c ，- c 。) = 0 c 解得： ( 、，：型n ! 掣旦，c 4 ：一h o - 2 e l f l 2 0 0 。3 一i 矿2 i 旷 若口，、= 0 ， ( 1 3 。( 1 4 。4 剧h 口o 3 ( 2 16 ) ( 2 17 ) 苎三主塑塑墨堑堡竺坚堑壁 可进一步求得桩身位移、转角、弯矩、剪力表达式。 2 2 3 单层土中有b t e - t a 桩的解 将基本方程( 2 9 ) 的通解( 21 0 ) 及导函数( 2 1 1 ) 用如下矩阵表示 y 由 d z d 2 y 出2 d 3 y 出3 r 只( 皿)只渔)g ( p z ) i 矾慨) p f , 池) 一膨：渔) 一1 2 p 2 f s ( f l z ) 2 2 f , ( f l z ) 2 p 2 g ，恤) i 一2 3 ( 肛) 2 卢3 r ( 位) 2 p 3 g 。慨) e ( 肛) = p 皿c o s 应， g 恤) = e 唯c o s 肛 r 恤) = e 肚( c o s 肚一s i n f l z ) ，g 2 ( 屈) = p 母( c o s f l z + s i n 3 z ) e ( 肛) = p 肚s i n 3 z ， g 3 渔) = e 唯s i n , & ( 2 19 ) 只【应) = p 雄( c o s 摩+ s i n f l z ) ，g 。池) = p 谁( c o s 肛一s i n ，z ) 积分常数共有c i c 。四个，边界条件可分为四组，分别为桩头、桩底的 位移及剪力、转角及弯矩，这四组边界条件中，每组内必然有一个是己 知的，由此可求出c ，c 4 。但这些边界条件的组合方式有多种，在此选 取几种有代表性的情况引用f j 人给出的解答。 桩头按内力已知考虑，由式( 2 1 1 ) ，即： 1l 剧掣l = 2 e ，卢2 ( c 2 一c 。) = m 。 ( a ) “2 l ，11 口g i = 2 e l f l ( 一c ，+ c2 + c ，+ c 。) = 片o ( b ) 0 2 l 桩底边界条件分为自由、铰接、固定三种情况进行考虑。 1桩底自由 边界条件为桩底( ：) 处蚰力、弯矩为0 ，即： 雾1 铆2 k 归) 心和) 蝎g 川- c 4 刚) 】= o ( c ) 蚪 删一 塑兰垄兰堡圭兰堡垒墨2 塑生! 一 窘- , = ；- 2 f 1 3 l _ c t ) + c ：f 2 归) + c 。g 。) 一c a g ：) 】= 。 ( d ) 在( c ) 、( d ) 式的两边同除以p ，并与( a ) 、( b ) 式一起用矩阵表示： o 一 、 一e 01 11 9 3 一g 9 4g2崔 引 式中厂：、 等表达如下： 一= c o s ， 9 1 = e 。2 4c o s 厂1 = c o s 卢i s i n t 3 1 ， g2 = e 。2 “( c o s 3 1 + s i n ) f 、= s i n 口l ，9 3 = e 9s i n 芦 a = c o s x + s i n ， 9 4 = p 。( c o s b l s i n , 6 1 ) 由方程( e ) 解得c ，g 表达式如下： 式中a = 1 【k k 】 ( 1 z 1 c c i = 赢2 e l f l 【删概，i3 。1 【彤oj c 。 2 ( 2 一c o s 2 届f k 一2 “+ e “8 ( 卜s i n 2 肛_ c ”一e ”一( c o s 2 3 + s i n2 p 9 + c “” 一( i c o s 2 b 1 ) e 2 “ 一( 2 一c o s 2 , 8 + s i n2 p t ) e 一：4 + p 一4 4 1 一( 1 + s i n2 , b 1 ) e 2 ” 1 一( c o s 2 f l l s i n2 p & 2 4 一( 1 一c o s 2 f l ) e 2 一1 + ( 2 一c o s 2 f l l s i n2 k 2 4 桩顶位移儿、转角0 。为 m ，= 盘参九” 瓯= 刍+ 勘“， 式中无量纲系数 1 2s i n2 崩e + 2 一p 一4 f 币i i 矿i 面 ：= s i n h 3 ，c o s ，h 3 。- ，s i n f 1 1 c o s ，f l l s i n h 2 馥一s i n l8 l 1 2 c o s 2 8 1 c 。2 p + e 一4 ” s i n h 2 8 l + s i n j8 t l 2一l-2(2-cos2f11)e 2 a + e4 f f i 萨万二忑j 万 ( g ) f 2 2 0 1 第二章横向受荷桩的解析解 一 1 + 2 s i n 2 e 一”一p 一4 s i n h c o s h + s i n c o s 。二砸二i 丽币2 气面而j 亭矿 2 桩底铰接 边界条件为桩底( z = 1 ) 位移、弯矩为0 ，即： y l 。= c 。只) + c ：只( ) + c ，g 。( z o - c 。g ，( ) = 0 d 盯2 y l = 2 t 9 2 【_ c b 泅) + c ：一( ) + c ，g ，恤) 一c ) 】= 。 与( a ) 、( b ) 式一起用矩阵表示： 010 1 1111 9 19 3 一兀一g ，g l l 2 e l f l 3 可由此解出c ，g 及桩身变位、内力。 3 桩底固定 引 边界条件为桩底( x = f ) 处位移、转角为0 即： y l 。= c ，泅) + c ：泅) + c ，g ，汩) 一c 。g ，c e l ) = o 毫l ，= z c f 2 ( z o + c ：泅) - q g 2 ( f 1 1 ) + c , g 4 泅) 】= 。 与( a ) 、( b ) 式一起用矩阵表示： 010一 一1111 厂：g g 一g ：g憾 j 肌。 1 i 打。 2 e l f l 3 1 0 10 可由此解出c ，c 4 及桩身变位、内力。 7 ( h ) ( j ) ( k ) ( i t i ) 浙江大学硕士学位论文 2 2 4 多层地基情况 单层地基情况在实际中是很少见的，有时桩身也可能会采用变刚度 方法进行设计，因此有必要考虑多层地基情况。 图23 成层土地基中的桩 圈24 单层土地基中的反力系数分布的几年q 形式 如图2 3 所示，桩在土中的部分，按地基及桩身刚度不同分为n 层， 每一层内具有相同的地基系数，在每一段内均满足挠曲微分方程： ( 日l 等+ 女b = o10 鲺l i , f ，= li ( 2 2 1 ) “ i - i 其通解可表示为： | ! i = 式t 1 ( 屈z )f 3 ) g ，z ，)g ，( 屈z ，) l f l l f ：，z ，)屈l ( 卢，z ，) 一卢，g ：( 肛z )卢g 一( 卢，z ，) 1 2 卢，2 ( 届z ，) 2 屈2 f ) 2 卢，2 g ，( 卢 ) 一2 卢；2 g l ( 屈2 圳 一2 3 ，z ) 2 屈r ( 屈z ，) 2 卢3 g 。( 届z ，)2 s i 3 g ：z ，) j 黜 ( 2 2 2 1 第二章横向受荷桩的解析解 ，= 警。= 参_ = 窘d zd z d z e f 4 、g 。g 。各函数意义同式( 2 1 9 ) 。 式中有4 ”个积分常数，利用边界条件求解，可有两种方法，一种是直接 设全部积分常数为未知数，求解4 元联立方程；另一种是采用传递矩阵 法求解。横山幸满( 1 9 7 7 ) 总结了这两种解法的计算过程。 2 3m 法 线弹性地基反力法中，除了假定地基反力系数k 。为常数外，还有假 定其为深度z 的函数。实际中常给定k 。为z 的幂函数： k h ( z ) = 女】z “( 2 2 3 ) 对此问题的解法有幂级数解法、差分法、数值积分逐次渐进法、反力积 分法等，其中，幂级数解法为半解析解法，其余均为数值解法。 幂级数解法中，指数”的取值般为0 、0 ，5 、1 ，其他情况没有特别 的意义。在单层地基中几种土的反力系数分布如图2 4 所示。月= 0 时， 地基反力系数为常数，可按张氏法求勰；n = 1 时，地基反力系数在深度 方向上线性增加，这种计算模式的应用范围最广，称之为m 法，其基本 的挠曲微分方程为： e i d 。y + 女1z y b = 0( 2 2 4 ) “z 方程的形式比较简单，但它是一个非线性的常微分方程，要求得类似于 式( 2 1 0 ) 形式的函数解相当困难。r o w e ( 1 9 5 6 ) 给出了这个方程无限次幂级 数解的表达式： j = c i y l + c 2 y 2 + c 3 y 3 + c 4 y d( 2 2 5 ) 式中： 堂兰苎兰壁主兰竺垒墨三塑生兰土旦一 y 。= 卜a i z 5 + 6 旦删。一百6 1 1 a z 1 3 5 一 圹z 一2 a ，z 6 + 2 7 制1 一等a m 舻砉一景a 1 2 - + 3 川 8 昨”一等球 ”言一蚤a 1 2 8 + 4 川：9a 2 2 ”一等秽十 a ：堕 1 f ， 将通解及导函数用矩阵表示 式中 z 吐：s ：氅z s 1 1 , 1 z 2 r h ( z ) z 3 叩。b ) 1 f c 一：b ) 7 , 7 e ，( z ) 1 c “z )z ，2 ( z ) | c 一3 a lz 一g ，( z ) g l ( z ) j l c 叩( z ) = 1 一击z + 而6 z 2 一百6 1 1z 3 十 q ：( z ) = 1 一昙z + 百2 - 7 z2 1 2 7 矿- 1 2 z 、 删= 去一未z + 西3 8 z2 一百3 - 8 13 z 3 十 ，。( z ) = 击一面4 z + 等z2 一百4 9 - 1 4 z 3 + ( 2 2 6 ) k bb 曲7 曙 飞 ： m m 一 一 力气仉协 ，l 4 ，2 _ 矗七庀 a a a 一 一 一 ro。、1 i i yy。v，。v， ，、，【 茎三兰燮鱼垦堡苎竺壁堑竺 ( z ) = 1 一言z + 面3 - 8 z2 1 3 - 8 r 1 3 2 3 + ( z ) _ 1 - 昙z + 百4 9 2 2 一百4 - 9 - 1 4 2 3 + ( z ) = 三一缸百6 - 1 1 z 2 一警办 兀( z ) = 去一百7 1 2 z2 一等冉 g ，( z ) = 1 一量z + 酉4 9 z2 1 4 9 r 1 4 2 3 + - 删= 五1 一景z + 百6 - 1 1 z2 一半z 3 + g 一( z ) = 虿1 一面7z + 百7 1 2 z 一等z 3 + g s b ) = 甭1 一面8z + 百8 1 3 z2 一等z 3 + 考虑边界条件，可以计算出g g 。例如，设桩顶平地基表面，受 已知水平力h o 、弯矩m 。，桩底自由，桩长，积分常数c i c d 可确定 如下： c 3 = 等tc 。= 鲁 阱all耋2a，,屯lfsjl“0。川udim棚oeaf g 2 a g-3agg1 1 1 )l c zj， ，3 。jl 。，4 ， j。日f 得c 、：旦 z l e l 式中： z 】= a i ，5 。 厶鱼二厶鱼。丝芷 _ ，：i g4 一厂5 9 3z 1 e 1 z ! 曼! ! 五! ：厶曼 f , g 。一厂5 9 ， 盟：五墨i ! 兰! ：五曼1 2 z l e l，：l g4 一厂5 9 ， 桩顶( ：= 0 ) 处位移虬和转角0 。表达式为 儿= 嘉+ 等庐。 2 糍等 浙江太学硕士学住论文 式中 仆嘉+ 等矽。 护急兹铲镤4 4t3占一5 占 九一= 撼，= 躺 桩身弯矩、剪力及地基反力分布可由己知积分常数求得。 2 4 结语 横向受荷桩的计算模式、计算方法有很多种，分别有各自的适用条 件。当一种计算模式确定后，就转变为数学上的处理，用数值法、半解 析法、解析法等方法求得最后的结果。 本章简要的归纳并完善了前人对于横向受荷桩问题的一些解析解、 半解析解。从中可以看出，由于数学上的困难，只有最简单的两种假 设条件下，才可以求得问题的解析解、半解析解，并且计算公式已经相 当复杂，当土为成层地基时尤为如此。因此在实际工程中，数值解法由 于其处理问题灵活性和计算工具的进步将有着更多的应用场合。 第三章多层土中横向受荷桩m 法计算程序 第三章多层土中横向受荷桩m 法计算程序 3 1 引言 如前所述，由于数学上的困难，已有的文献中仅对单层土地基中的 一些简单情况给出了解析解，一些稍复杂的情况给出了半解析解。但是 实际工程中纯粹单层土地基的情况是极少的，一般均为多层土地基。几 种可能的受力模式如图3 1 所示： h ( a ) 成层土( b ) 顶端限制转角( c ) 底端嵌同于基岩 幽31 实际l 科中横向受荷桩的儿种典驸睛况 本章将致力于按m 法编制多层土地基中横向受荷桩计算程序。编程 时考虑的主要因素如下： ( 1 ) 土体成层分布，具有各自厚度、值； ( 2 ) 桩身抗弯刚度可变，计算宽度可变； ( 3 1 桩头伸出土面，承受常见类耍! 荷载； ( 4 ) 桩头、桩底可被限制转角或位移。 堂兰苎兰堡主兰竺笙圭! ! ! ! 兰! 墨 3 2 基本方程 参考弹性地基梁理论，将桩身离散为杆段，节点处有弹簧支承，如 图3 2 ( a ) 所示，桩头荷载折算至土面h 。、m 。为表述方便，原体系旋 转如图3 2 ( b ) 所示。 声1 m o f ；= ；= ；= ；= = ；= ；= 习m 1 、j；j ； i ：i! ：f! ( b ) q l ( v 1 )，q2 ( ”2 ) m 沭 。， 眦林 ( c ) l 8 j 图3 2 桩身单元划分 不考虑沿桩身方向的荷载及变形各杆段( 单元) 每一节点处有转角、 竖向位移两个分量，均以图3 2 ( c ) n 示方n 为正，各单元节点力和节点 位移向量如下： _ y ： 单元刚度矩阵 q ， m 。 q2 m 2 每y ： ( 3 1 ) 第三章多层土中横向受荷桩m 法计算程序 茌y = 1 2 e ， 1 6 e l 1 2 日 6 e i 6 e i 4 e i 6 e i 2 e i y 2 e i6 e j ，3，2 6 e i2 e i ，2， 、2 e i6 e i ，31 2 6 e i4 e i ，2l ( 3 2 ) 单兀平衡方程： 岳y 伍 ：舻y ( 3 3 ) 合成总刚矩阵、总节点位移列阵、荷载列阵，建立总体有限元平衡 方程： k ) = p ( 3 4 ) 式中臼) 为总