（应用数学专业论文）孤立子理论中非线性发展方程求解研究.pdf

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椭圆函数法求解( 2 + 1 ) 维k o n o p e l c h e n k o d u b r o v s k y 方程，获得了方程新的椭圆函数解在极限情况下这些解退化为孤子解和三角 函数解最后，利用改进的( g g ) 展开法求解了( 2 + 1 ) 维破裂孤立子方程，得到了丰富的 精确解，例如含参数的双曲函数解，三角函数解和有理数解 第三章是全文的结论部分，主要是对全文内容的总结和对以后研究方向的展望 关键词：孤立子：非线性发展方程：j a c o bi 椭圆函数法：精确解 。气 辽宁师范大学硕士学位论文 t h er e s e a r c ho fs o l v i n gt h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n si ns o l i t o nt h e o r y a b s t r a c t s o l i t o nt h e o r yi nt h en a t u r a ls c i e n c er e s e a r c hp l a y sav e r yi m p o r t a n tp a r t t h es o l i t o n t h e o r yo ft h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n si st h ei m p o r t a n th o ts p o tt o p i c s o m en o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n s 嘶mp h y 7 s i c a lb a c k g r o u n dh a v es o l i t o np r o p e r t i e s t h e r e f o r e ，t h e i m p o r t a n ts i g n i f i c a n c ei nt h e o r yi st og e ts o l u t i o n so ft h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s a t p r e s e n t ，an u m b e ro fm e t h o d sa r ep r o p o s e dt ol o o kf o rt h ee x a c ts o l u t i o n so ft h en o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n s ，f o re x a m p l e ，i n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d ，f u n c t i o n e x p a n s i o nm e t h o d ，d e f o r m a t i o nm a p p i n gm e t h o d , m i x i n ge x p o n e n t i a lm e t h o d ，b i l i n e a r m e t h o da n dd a r b o u xt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d a sf o rs o l v i n gn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s h a v en o ta nu n i f i e dw a y a sac o n s e q u e n c e ，i ti ss t i l lat a s kf o rf u r t h e rr e s e a r c ha n di s s u et og o o ns e a r c n n gf o re f f i c i e n ta p p r o a c h e st os o l v i n gn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s t h i sd i s s e r t a t i o ni sb a s e do ns y s t e m a t i cr e s e a r c ha n do nt h ee x i s t i n gt e c h n i q u eo fs o l v i n g n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa n dt h ee x i s t i n gs o l i t o nt h e o r y s o m em e t h o d sf o rc o n s t r u c t i n g t h ee x a c tt r a v e l i n gw a v es o l u t i o n so ft h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa r ea p p l i e da n d i m p r o v e d ，n e we x a c ts o l u t i o n so f s e v e r a lt y p e sh a v eb e e no b t a i n e d t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n dt h ed e v e l o p m e n to ft h es o l i t o n t h e o r y ，i n t e g r a b i l i t yo ft h es o l i t o n ，s t u d yd e v e l o p m e n to fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o na n d s e v e r a lm m m o n l yu s e dm e t h o d sf o rs o l v i n gt h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n t h e nb r i e f l y d e s c r i b e st h ec o n t e n ta n ds i g n i f i c a n c ei nt h i sd i s s e r t a t i o n i nc h a p t e r2 ，b a s e do nt h em e t h o d so fs o l v i n gn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，w ef i r s t l y e x t e n dt h ee x i s t i n gt a n h - c o t hm e t h o d ，t h em e t h o di sa p p l i e dt ot h eg e n e r a l i z e dz a k h a r o v e q u a t i o na n dw eo b t a i n e das e r i e so fe x a c ts o l u t i o n s b yu s i n gt h es e c o n dh o m o g e n e o u s b a l a n c em e t h o d 晰t had i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dc o u p l e dp r o j e c t e dr i c c a t ie q u a t i o n s ，s o l v i n g g e n e r a l i z e dz a k h a r o ve q u a t i o n ，e x t e n d i n gt h es t r u c t u r eo f t h es o l u t i o no b t a i n e do ft h eo r i g i n a l m e t h o d s e c o n d l y ，b yu s i n gt h ep r o m o t i o no f t h ej a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o nm e t h o d ，w eo b t a i n t h en e we l l i p t i cf u n c t i o ns o l u t i o n so ft h e ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a lk o n o p e l c h e n k o - d u b r o v s k y e q u a t i o n i nt h el i m i tc a s e s ，t h e s es o l u t i o n sd e g e n e r a t et o s o l i t i o ns o l u t i o n sa n dt r i a n g u l a r f u n c t i o ns o l u t i o n s f i n a l l y ，b yu s i n gt h ei m p r o v e d ( g g ) e x p a n s i o nm e t h o d ，s o l v i n gt h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lb r e a k i n gs o l i t o ne q u a t i o n ，w ef i n da b u n d a n te x a c ts o l u t i o n s t h es o l u t i o n s a l ee x p r e s s e db yh y p e r b o l i cf u n c t i o n s ，t r i g o n o m e t r i cf u n c t i o n sa n dr a t i o n a lf u n c t i o n s c o n t a i n e da r b i t r a r yp a r a m e t e r s 一i i i 孤立子理论中非线性发展方程求解研究 i nc h a p t e r3 ，i st h i sd i s s e r t a t i o nc o n c l u s i o np a r t ，w em a k eas h o r ts u m m a r yo ft h e d i s s e r t a t i o na n dg i v eaf t l r t h e rc o m m e n t a r y k e yw o r d s ：s o l i t o n ；n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ；j a c o b ie l l i p t i c f u n c t i o nm e t h o d ；e x a c t s o l u t i o n i v 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 摘三要i a b s t r a c t i i i 1 弓i 言1 1 1 孤立子理论概述1 1 2 孤立子可积性概述3 1 3 非线性发展方程及研究现状4 1 4 求解非线性发展方程的几种数学方法5 1 4 1 反散射变换法。5 1 4 2 齐次平衡法：6 1 4 3b i i c k l u n d 变换法7 1 4 4 试探函数法7 1 5 本文的主要工作和研究意义7 2 非线性发展方程及其精确解9 2 1 广义函数展开法9 2 1 1 方法介绍9 2 1 2 方法应用广义z a k h a r o v 方程1o 2 1 3 方法推广1 7 2 2 推广的j a c o b i 椭圆函数法2 2 2 2 1j a c o b i 椭圆函数及其性质一2 3 2 2 2j a c o b i 椭圆函数法和推广方法2 3 2 2 3 推广方法应用( 2 + 1 ) 维k d 方程2 4 2 3 改进的( g g ) 展开法2 9 3 总结一3 4 参考文献3 5 攻读硕士学位期间发表学术论文情况3 9 致谓十4 1 辽宁师范大学硕士学位论文 1 引言 在非线性科学中，孤立子理论在自然科学的许多领域里都占有非常重要的角色【l 锕 孤立子理论在量子场论、凝聚态物理、流体物理、粒子物理、等离子体物理和非线性科 学等数学、物理学、生物学、化学、通信等各个自然科学领域中都有广泛的应用【4 羽，而 很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为非线性发展方程的研究本文通过 研究构造求解这些非线性发展方程的几种方法，获得了它们的一系列精确解下面介绍 了孤立子理论的历史发展和研究现状及本文的主要内容和意义 1 1 孤立子理论概述 孤立子最早是在自然界观察到的一种非线性现象，并且可以在实验室中产生有关 孤立子的历史，可以追述到1 8 3 4 年，英国科学家罗素( j o h ns c o t tr u s s e l l ) 在从爱丁堡 到格拉斯哥的运河中观察到了在浅水面上形成的水波并且在1 8 4 4 年英国科学促进协会 第十四次会议做的报剖7 】中描述了他的发现： “i ta c c u m u l a t e dr o u n dt h ep r o wo ft h ev e s s e li nas t a t eo fv i o l e ta g i t a t i o n ， t h e ns u d d e n l yl e a v i n gi tb e h i n dr o ll e df o r w a r dw i t hg r e a tv e l o c i t y ，a s s u m i n g t h ef o r mo fal a r g es o l i t a r ye l e v a t i o n ，ar o u n d e d ，s m o o t ha n dw e l l d e f i n e dh e a p o fw a t e r ，w h i c hc b n t i n u e di t sc o u r s ea l o n gt h ec h a n n e la p p a r e n t l yw i t h o u tc h a n g e o ff o r mo rd i m i n u t i o no fs p e e d 罗素认识到他所发现的这种向前平移且维持在水面上的孤立水峰不是通常的水波， 它实际上是完整的处于水面之上的波但他的提议因为缺少有说服力的数学模型，引起 科学界的权威们激烈的争论和怀疑甚至连当时对波动研究颇有造诣的天文学家艾罩 ( g e o r g eb i d d e l la i r y ) ，与英国流体力学家斯托克斯( g e o r g eg a b r i e ls t o k e s ) 也 对此提出质疑，静止水面上怎么能存在不变形的行波? 波在传播的过程中，为什么波幅 不会衰减? 一个完整的波动为什么会全部在水面上，而不是一部分在水面上，一部分在 水面下? 另外，水波的流动速度也与他们的研究结果不同 直到1 9 世纪7 0 年代，这一争论才初步得到解决英国科学家l o r dr a y l e i g h 在经过 仔细的研究后指出，由于他们研究的具体对象有些差别，因此各自得到的波的传播速度 也就不同斯托克斯所研究的波，水深与波长之比接近于1 ，然而罗素所发现的孤立波， 这一比值接近于零 1 8 7 6 年，瑞利在发表的著作中，首次使用了孤立波( t h es o l i t a r yw a v e ) 这一专 门术语他说“这就是罗素先生给他描述的那个奇特的波起的名字” _ _ 。 一 孤立子理论中非线性发展方程求解研究 1 8 9 5 年，荷兰数学家d j k o r t e w e g 和他的学生g d e v r i e s 在假定浅水波的长波近似 以及小振幅下，推出了著名的k d v 方程，这个数学模型解释了罗素观察到的现象而这一 方程的行波解，正是罗素所发现的奇异水波随后，从1 9 世纪末到2 0 世纪中，孤子的研究 似乎被遗忘，没有了明显的进步 2 0 世纪5 0 年以后，著名物理学家e n r i c of e r m i 和他的研究小组在1 9 5 5 年提出了著名 的f p u 问题，他们用非线性弹簧连接成一条6 4 个质点组成的弦振子，并研究其能量分布， 对少数质点进行激发，认为经过一段时间以后，按照能量均分定理，初始的被激发能量能 均衡地分布在每个质点上然而结果却是：能量又回到了原来的初始分布状态这个实验 结果的发表，激起了人们对孤波问题的兴趣一直到1 9 6 5 年，美国应用数学家k r u s k a l 和 z a b u s k y 经过对模型的简化运算，发现用连续位移代替系统因质点数目的增加而减少的 相邻质点位移差，这时弦的位移与k d v 方程位移相符合他们用计算机数值计算分析了孤 立波碰撞的相互作用，观察到了这种波在碰撞后具有波形波速不变性将其称为“孤立 子”，从此，孤立子理论研究产生了热潮 。 1 9 6 7 年，c s g a r d e n 等人提出了逆散射方法，它不仅为应用数学开拓了一个新领域， 也为孤立子理论的研究提供了有效的数学工具解决k d y 方程的求解问题1 9 7 2 年由 p d l a x 引入的l a x 对，将孤子问题连结起来，为逆散射方法找到了一个更为简洁的数学 表达形式它的提出和推广，解决了一些重要的孤子方程的求解问题，如1 9 7 2 年非线性薛 定谔方程l a x 对的找出，求得了该方程精确解1 9 7 3 年用该方法作用子s i n e g o r d o n 方程， 也求得其孤子解可以说，这种方法极大地推动了孤立子理论的发展 从1 9 7 5 年至今，孤立子理论发展迅速，得到了越来越多的科学家的重视，孤子理论已 经具备了多种的数学工具，它的存在性也得到了众多学科的确认，它的实际应用也吸引 了各国学术界的重视1 9 7 8 年在英国召开了“凝聚态物理中的非线性( 孤子) 结构和动力 学会议 ，国际性的专业杂志也相继发行我国的孤子研究起于2 0 世纪7 0 年代，由杨振 宁、李政道、陈省身等介绍孤立子理论的研究成果随后在我国也迅速发展起来 孤立子理论的进展总体来说分为几个方面： ( 1 ) 由一维向多维发展事物总有其最简单的形式，在以前所研究的孤子问题都是一 维的，只考虑空间的分布虽然这样能简化复杂问题，在数学上较易处理但随着孤子理 论的发展发现有些问题要保持其重要性质，就不能简化现在研究工具已开始逐步扩展 到多维，如多维贝克隆变换，多维穿衣法等等 ( 2 ) 由理论到实际应用数学物理上对问题的理论研究必不可少，如孤子理论中的 k d v 模型，非线性薛定谔方程但理论需要在生产和实用中奏效，随着科学和技术的发展， 光孤子在光纤通讯中的应用，由于具有无中继传输距离长、比特率高等优点而受到了工 辽宁师范大学硕士学位论文 业界的极大关注 ( 3 ) 理论与实验相结合在孤子理论的研究中，实验也是一个重要课题在2 1 世纪7 0 年代，物理学家t a y l o r 等人在水箱实验中重现了罗素曾观察到的孤立波的传播还有在 激光打靶中，光束在非线性介质中产生的孤立子 ( 4 ) 多领域的应用从发现孤子至今已经历了一百多年，自问世以来，它已经广泛应 用在流体物理、固体物理、超导物理、激光物理、基本粒子物理、等离子物理、凝聚态 物理等物理领域以及数学、生物学、化学等各个领域 1 2 孤立子可积性概述 探讨孤子方程的可积性是研究非线性方程中常遇到的问题，有研究表明，可积系统 必存在孤子解，而有些不可积系统也可能有孤子解【8 】目前，可积性还没有一个确定和统 一的定义，我们所讨论的可积是在不同意义下的可积比如l a x 可积，反散射可 积，l i o u v i l l e 可积，c 可积，对称可积，和p a i n l e v 6 可积等 l a x 可积的系统存在l a x 对，具有l a x 对的非线性系统通常可用反散射法求解可用 反散射法求解的系统称为反散射可积系统许多非线性系统如k d v 方程，薛定谔方 程，b o u s s i n e s q 方程，k p 方程等都可以用该方法求解 l i o u v i l l e 可积的系统有守恒的无穷哈密顿函数 非线性偏微分方程的c 可积由c a l o g e r o 等提出，指的是该方程可以直接积分求得一 般解或可通过适当的变量变换线性化 对称可积指非线性方程具有无穷多对相互对易的k 对称以及无穷多可以构成无限维 v i r a s o r o 代数的百对称而且通常这种对称可积系统同时存在无穷多守恒律 目前对p a i n l e v 6 可积的研究较多，推广比较广泛1 8 8 9 年俄罗斯数学家s o f i a k o v a l e v s k a y a 应用复变函数的解析理论研究旋转陀螺的运动，这说明了微分系统的解 析性与可积性之间的相互联系，从而定义了一个新的非平凡可积系统1 8 9 2 年由法国数 学家p a i n l e v 6 先给出了可积性的定义但是该定义对“可积性要求整体解，如果不给出 函数的确切定义，就不是很好用这要讨论方程的解在复平面上一点领域是否有奇点，即 不解析点但对于非线性方程奇点的结构比较复杂，特别是如果初始条件改变，临界奇点 也随之改变，这使得函数的单值性变得不可能这样确定一个函数更加困难随后，f u c h s 证明了一阶常微分r i c c a t i 方程没有移动的临界点p a i n l e v 6 和他的助手研究了二阶常 微分方程u 一= f ( u ：u ，z ) ，其中f 是z 的包含u 和u 的有理局部解析函数通过科学家们对可 积性的研究，已经产生了一些对p a i n l e v 6 可积性的检验方法，女i w t c 方法，k r u s k a l 简化方 法，a r s 方法及楼森岳的一般推广方法等 孤立子理论中非线性发展方程求解研究 在一个可积模型中，经常会同时具有几种性质女i k d v 方程就同时是l a x 可积，对称可 积，p a i n l e v 6 可积的而有时一个系统在某些特定意义下可积，在其他意义下却不可积 拓展到高维系统中，有时可积与不可积也不能清晰的区别可通过多种途径近似得到一 个任意的非线性系统的一些可积非线性系统而这些可积性研究对一般非线性系统的研 究奠定着一定的理论基础 1 3 非线性发展方程及研究现状 发展方程，又称为演化方程或者进化方程，是包含时间t 的许多重要的数学物理偏微 分方程的统称【9 】在物理，力学和其他自然科学中用来描述随时间而演变的状态或过程 在真实世界里，往往一个系统中，输入与输出不成正比，那么我们称为它为非线性的例 如，弹簧受力伸长( 产生位移) ，如果位移很小，此时力与位移成正比，则力与位移之间为 线性关系，但当位移变到足够大时，弹簧则变成非线性振予实际上，在社会科学和自然 科学的几乎所有领域的系统中，当输入一定大时，都会变为非线性的所以说，客观世界 是非线性的，线性只是一种近似而用来描述这些非线性系统过程的方程可能是非线性 发展方程这些非线性发展方程来源于物理和其他自然学科，具有鲜明的物理意义，又称 为非线性数学物理方程 含有时空变量的非线性发展方程的数学形式一般表示为： 尸p ，x ，甜，甜j ，材f ，“嚣，“趣，”玎，j = 0 ， 其中“= u ( x ，f ) 是系统的目标物理量，称为未知函数：x 表示空间坐标，有时可能是二维情 况b ，y ) ，三维情况g ，y ，z ) ，多维情况g 。，x ：，x 。) 的：f 表示时间坐标( 在建立数学模型 时，有时经过坐标变换后，可能化为广义的时间坐标) t x , ，“。，甜圩分别代表着对空间坐 标x 和时间坐标f 的一阶和二阶偏导数目前，有物理意义的非线性发展方程有几百种， 典型具有代表性的方程有： k d v 方程+ u t l ，一心嬲= 0 ， s i n e g o r d o n 方程 甜。- - h 玎= s i n u ， 非线性薛定谔方程 i u ，+ “搿+ u l u l 2 = 0 ， b o u s s i n e s q 方程 “打一c ；甜就一o 【“脚一p “。= 0 这些非线性方程形式虽然简单，但是本质却与线性方程有很大的不同，对于非线性 方程可能不再存在线性方程中解的唯一性，单值性，有界性和解的叠加原理等性质 随着科学研究的不断发展，非线性发展方程的求解问题受到越来越多的关注从天 文学，物理学，地球科学到生命科学和各类工程技术科学方向都出现大量的非线性发展 辽宁师范大学硕士学位论文 方程，特别在物理学的许多分支领域中，如非线性光学，等离子体理论，流体力学和量子 场论中遇到很多具有孤立波形式解的非线性发展方程 从2 0 世纪6 0 年代以来，非线性问题研究得到了飞速的发展以前，通过舍去非线性 发展方程中的非线性项来求得它的近似解但是这也存在着很多问题，忽视了非线性项 也就意味着忽略了实际物理问题的某些现象和规律，也许正是研究所需要的重要现象 随着对非线性问题研究的深入，科学家们更关注于如何得到非线性方程的精确解对于 方法的研究有定性法和定量法定性法是对不易求得精确解的方程，用数学理论对解的 存在性，唯一性或者是稳定性进行探讨分析定量法又可分为数值法和解析法数值法是 把求解非线性方程转化为线性方程的求解，包括差分法，有限元法等等这种方法过程较 为繁杂，运算过程可以通过计算机解决但是这种方法得出的数值解不利于人们分析解 析法则用数学方法得到非线性方程明确的解析表达式，该方法包括摄动法，行波解法，试 探函数法，相似变换法和一些特殊变换法等用解析法可以方便探讨非线性发展方程解 的结构和解的性质等 1 4 求解非线性发展方程的几种数学方法 在孤立子理论的研究中，经过众多科学家的努力，已经建立和发展了不少求解非线 性系统的有效工具，对于一个具体的孤子方程，目前还未能提供一种普遍的求严格解的 方法，对于有些方程，还只能求出它们的近似解和数值解，再加以对照补充下面就介绍 一些求解非线性发展方程的几大常用方法 1 4 1 反散射变换法 反散射变换法【lo 】起源于2 0 世纪3 0 年代的量子力学研究中它是利用散射数据构造 势能曲线，了解物质内部的原子分子结构1 9 6 7 年，由g a r d n e r ，g r e e n e ，k r u s k a l 和m i r u s 用反散射变换法求解了k d v 方程，并获得了成功这种方法的实质处理过程是将非线性方 程化为了线性问题来解决它的主要步骤如下： 求解非线性发展方程 a _ 甜= f ( x ，r ，甜，甜。，“f ，) ( 1 4 1 1 ) ( 1 ) 给定一个合适的本征值问题 三t = 九巾， ( 1 4 1 2 ) 其中l 是线性算子，l 与u 有关 ( 2 ) 证明九与时间t 无关，称之为谱不变，即 d x ：0 d 1 孤立子理论中非线性发展方程求解研究 ( 3 ) 再找一个合适的线性算子a ，式中a 与u 有关，使得 巾，= 么巾 ( 1 4 1 4 ) 式( 1 4 1 2 ) 对t 求偏导，可得厶巾+ l o ，= 巾+ 砷，再利用( 1 4 1 2 ) 和( 1 4 1 4 ) 有以 下式子厶= + 口，三】 若在( 1 4 1 3 ) 式条件下，有l ，= 阻，三】 上式称为( 1 4 1 1 ) 的l a x 方程其中一对线性算子l 和a 叫做方程的l a x 对若适当选 取算子l 和a ，即找到正确的l a x 对s u l a x 方程可以与非线性发展方程等价方程的初值问 题可以用该方法求解1 9 7 2 年，z a k h a r o v 和s h a b a t 用这种方法求解了非线性薛定谔方程 的初值问题随后，w o d a t i 成功求解了m k d v 方程1 9 7 4 年，a b l o w i t z ，k a u p ，n e w e l l 和s e g u r 联名发表论文，提出了构造算子a 的方法，将反散射变换法普遍化，使其能应用于一大类 非线性数学物理方程 1 。4 2 齐次平衡法 齐次平衡法是1 9 9 4 年由王明亮等人提出的求解非线性发展方程孤子解的一种方 法这种方法是c o l e - h o p f 变换的一般化和扩展它可通过分析方程的非线性特点、色散 和耗散阶数，由它们之间最高阶数可部分平衡的特点，确定该方程是否有一定形式的精 确解方法步骤如下： 考虑非线性偏微分方程 日0 ，u ，u f ，u 搿，u 捌，) = 0 ， ( 1 4 2 1 ) 设其拟解形式为 u ( x ，t ) = 裂枷) 这是关于x 和t 的低于m + n 次的线性组合其中办邻) 和函数巾= 巾( x ，t ) 都是待定的 ( 1 ) 平衡方程中最高阶偏导数项与非线性项中含有巾( x ，t ) 的最高幂次，确定非负整数 i l l 及n 的值 ( 2 ) 令巾( x ，t ) 的偏导数最高幂次项的所有系数全部为零得到含有办邻) 的常微分方程 求解该方程即可得到h = 办邻) ( 3 ) 用办0 ) 的较高阶导数代替其各阶导数构成的非线性项，然后合并同类项，令其系 数为零得到含有乃邻) 的超定方程组，最后求得的结果代入( 1 4 2 2 ) 中，整理可得方程 ( 1 4 2 1 ) 的解 辽宁师范大学硕士学位论文 1 4 3b i j c m u n d 变换法 b t i c m u n d 变换法【1 2 刖】起源于1 8 7 5 年，瑞典数学家b i i c m u n d 在研究喇叭形曲面时，发 现非线性s i n e - g o r d o n 方程两个解之间存在一种关系： 瓦o u = 詈+ 2 ；乙s i n 半， a 鼍a 号 2 7 锄加2 甜一v 卸加 九2 们们 八 这就是s i n e - g o r d o n 的b i i c k l u n d 变换 b i i c k l u n d 变换可以建立一个非线性发展方程的两个不同解之间的关系，称之为自 b i ! i c m u n d 变换还可以建立一个非线性发展方程的解与另一个已知的线性发展方程的解 之间的关系这样我们就可以由非线性方程的一个已知解去求其他的解，或者由已知线 性方程的解得到非线性方程的解 1 4 4 试探函数法 非线性方程通常是很难求解的，求出的解可能是隐函数形式由于有些解有着物理 背景，可以在通过对其背景问题进行分析后得出方程的近似解这种方法的特点是，要对 数学问题建立物理模型，并用某些初等函数，如指数函数，对数函数，三角函数作方程的 试探函数，进而得到非线性方程的斛1 5 】 ，2 、 例如v a nd e rp o l 方程2 + 2 i t i 与k + 0 0 2 x = o ( p 0 ) 口c 它在真空电子管电路震荡问题中经常出现其中x 为质点的位移，戈和戈分别为速度 和加速度，p o 为阻尼系数，a 。为正常数由物理实验可知，它存在着振幅为2 口。的极限 环因此，可设试探函数为x = a c o s c o t ，代入方程，忽略其中的高频项s i n 3 0 t 计算可得周 期解x = 2 a 。c o s 。f 这个周期解就是方程的极限环 1 5 本文的主要工作和研究意义 本文主要研究了非线性发展方程精确求解的几种构造方法对现有的孤立子理论和 方法加以应用，研究了一些具有重要物理意义和物理背景的非线性发展方程，并且在已 有的研究成果基础上，加以改进，丰富和发展了已有方法，寻找几类非线性方程新的精确 解 本文研究的内容： 孤立子理论中非线性发展方程求解研究 ( 1 ) 简要介绍了t a n h - c o t h 方法的发展历程，对该方法进行改进扩展，得到了更丰富 的精确解，再应用二次齐次平衡将微分方程和耦合投影r i c c a t i 方程迭加作用于非线性 发展方程，拓展了该广义函数展开法，得到了非线性方程应用原方法所没有得到的结果 ( 2 ) 利用推广的j a c o b i 椭圆函数法求得非线性发展方程的双椭圆函数解既包括了 传统的结果，又得到了方程的新的椭圆函数形式解 ( 3 ) 应用推广的( g g ) 展开法求解非线性方程，得到了高维方程多种形式解，获得 了含参数的双曲函数解，三角函数解和有理数解这种拓展的方法是一种求某些非线性 发展方程的有效方法之一 本文研究的意义： 通过广义函数展开法和推广的j a c o b i 椭圆函数法，改进的( g g ) 展开法，得到了几 个高维非线性发展方程新的精确解，包括孤立波解，椭圆函数解，双曲函数解，三角函数 解，有理函数解等等通过改进的方法得到的解包括了已有的结果和新的形式解，使得某 些形式解具有更一般的表达式，得到更全面的结果这对于进一步研究孤立子理论，探讨 孤立子系统的结构，求解非线性发展方程，发现新的孤子解，有着积极的意义和长远的发 展方向 辽宁师范人学硕士学位论文 2 非线性发展方程及其精确解 在本章节中，将详细讨论广义函数展开法，改进的3 a c o b i 椭圆函数法和推广的 ( g g ) 展开法在一些非线性发展方程中的应用 2 1 广义函数展开法 近些年来，非线性发展方程的求解在数学和物理学及其它学科中都得到广泛的重 视，已经有很多种方法求解非线性方程其中t a n h 函数法由m a l f l i e t 创建，是一种求解 非线性方程较为有效直接的方法随后，范恩贵教授推广了t a n h 函数法【1 6 17 1 ，并得到新 的精确解最近，w a z w a z 改进了推广的t a n h 函数法，并称之为t a n h c o t h 方法【1 8 珈】在 此基础上，用广义的t a n h - c o t h 函数展开法求解非线性发展方程，得到了一系列精确解 值得说明的是，该方法直接有效，适合于处理一大批非线性发展方程，可以借助计算机代 数系统m a p l e 或m a t h e m a t i c a 实现 2 1 1 方法介绍 任意给定非线性发展方程 h ( u ，“，u f ，u 。，u ) = 0 ( 2 1 1 1 ) 通过做广义函数变换u ( x ，f ) = 材代) ，号= k ( x + o f ) ，其中o ，r 为待定常数，则方程 ( 2 1 1 1 ) 化为常微分方程 h l ( u ，k 必d um 面d u ，。2 象，。2 后2 箬， = o 。假设方程( 2 1 1 2 ) 有如下形式的解 “代) = + q f g ) + 包f 心) 一， 其中q o = 0 , 1 ，疗) ，包( f = 1 , 2 ， 刀) 为待定常数而f 氆) 满足如下方程 f 7 ) = 0 f 氆) 7 ( 2 1 1 2 ) 这里m 和n 为正参数，通过平衡方程( 2 1 1 2 ) 中的非线性项和最高阶导数项的阶数 来确定把( 2 1 1 3 ) 式和( 2 1 1 4 ) 式代入( 2 1 1 2 ) 式，令f p 0 = o ，1 2 ，) 同次幂 系数为零得到包含嘭，b 。( f = 1 , 2 ，n ) , r j b = o ，m ) 的超定方程组，再由方程( 2 1 1 4 ) 可以得到方程( 2 1 1 1 ) 的一系列精确解 孤立子理论中非线性发展方程求解研究 2 1 2 方法应用一广义z a k h a r o v 万程 考虑具有高频波的复包络解、| ，g ，) 和低频场u g ，r ) 的第二类广义z a k h a r o v 方程的数 学模型 却，+ 、i ，靠一2 九1 2 、i ，+ 却u = 0 ， ( 2 1 2 1 ) d 打一u 搿+ 1 2l = o ， ( 2 1 2 2 ) 为了化方程为o d e 形式，首先对方程( 2 1 2 1 ) ，( 2 1 2 2 ) 做变换，令 、i ，g ，f ) = 钌ge l r l ，u = u 恁l 号= k ( x 一2 仪f l t l = 仅x + p f ， ( 2 1 2 3 ) 则方程( 2 1 2 1 ) ，( 2 1 2 2 ) 可化为 k ：w ”+ 2 w o l & 2 + p b 一2 z w3 = 0 ， ( 2 1 2 4 ) 后2 沁2 1 ) ) 。+ 七2b2 ) 。= 0 ( 2 1 2 5 ) 为了简化方程，对方程( 2 1 2 5 ) 积分两次，得到u = 亡三_ + c ， ( 2 1 - 2 6 ) 其中仪2 i 1 ，c 为积分常数把( 2 1 2 6 ) 式代入( 2 1 2 4 ) 可以得到 k 2 w 。+ ( 2 c 一0 【2 一pb + ：0 0 一缸2 )