（应用数学专业论文）几类具有多偏差变元的泛函微分方程周期解的存在与惟一性.pdf

硕士学位论文 摘要 本文对几类具有多个偏差变元的泛函微分方程的动力学性态进行了定性研究， 讨论了这些泛函微分方程周期解的存在性与惟一性全文的内容共分为四章 ，在第一章中，我们首先简单回顾了几类具有广泛应用背景的一、二阶泛函微 分方程有关周期解方面动力学性态的研究现状，然后陈述了本文的研究构想；另 外，在这一章里我们还给出了本文所需要用到的一些基本定义和基本引理 在第二章中，我们结合数学分析的技巧和非线性分析中的拓扑度理论，研究 探讨了具有两个偏差变元的一阶泛函微分方程周期解的存在与惟一性，获得了若 干判定这一类方程周期解存在与惟一性的充分性判据并把所获得的结果结合实 际模型进行了应用，同时我们在这一章中使用的分析技巧或结果还可以进一步在 具有多个偏差变元的一阶泛函微分方程上得到运用 在第三章中，我们研究探讨了具有两个偏差变元的d u f f i n g 型方程周期解的 存在与惟一性，获得了若干判定d u f f i n g 型方程周期解存在性与惟一性的充分性判 据并把所获得的结果结合具体模型进行了应用，同时我们在这一章中使用的分 析技巧或结果还可以进一步在具有多个偏差变元的d u f f i n g 型方程上得到运用 在第四章中，在不要求已有文献经常采用的传统条件的前提下，我们结合数 学分析的技巧和非线性分析中的拓扑度理论，研究探讨了具有两个偏差变元的一 类广泛的r a y l e i g h 型方程周期解的存在性，获得了若干判定具有深刻应用背景的 r a y l e i g h 氆方程周期解存在性的充分性判据并把所获得的结果结合实际模型进 行了应用，同时我们在这一章中使用的分析技巧或结果还可以进一步在具有多个 偏差变元的r a y l e i g h 型方程上得到运用，从而得到更加丰富的关于r a y l e i g h 型方 程周期解存在性的新结论 关键词：周期解；存在性；惟一性；一阶泛函微分方程；d u f f i n g 型方程；r a y l e i g h 型方程；偏差变元；拓扑度 i i 几类具有多偏差变元的泛函微分方程周期解的存在与惟一性 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ed e s c r i b es o m ei m p o r t a n tp r o p e r t i e so ft h ed y n a m i cb e h a v i o r s o fs e v e r a lc l a s s e so ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w h i c hi n c l u d e st h ee x i s t e n c e a n du n i q e u n e s so ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n s i ti sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s a st h e i n t r o d u c t i o n s ，i nc h a p t e r1 ，t h eb a c k g r o u n da n dh i s t o r yo fs e v e r a lc l a s s e so ff i r s t a n ds e c o n do r d e rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r eb r i e f l ya d d r e s s e d ，a n ds o m e p r e l i m i n a r yr e s u l t sa n dd e f i n i t i o n sa r eg i v e ni nt h i sc h a p t e r i nc h a p t e r2 ，b yu s i n g t h ec o n t i n u a t i o nt h e o r e mo fc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y , w ew i l lg i v es o m en e ws u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c ea n du n i q e u n e s so ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n st oac l a s s o ff i r s to r d e rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t ht w od e v i a t i n ga r g u m e n t s t h e r e s u l t so ft h i sc h a p t e ra r en e wa n dt h e yc o m p l e m e n tp r e v i o u s l yk n o w nr e s u l t s i n p a r t i c u l a r ，t h e yc a na l s ob eu s e dt ot h ef i r s to r d e rf u n c t i o n a ld i f i e r e n t i a le q u a t i o n w i t hm u l t i p l ed e v i a t i n ga r g u m e n t s i nc h a p t e r3 ，w ew i l lg i v es o m en e ws u f f i c i e n t c o n d i t i o n st h ee x i s t e n c ea n du n i q e u n e s so ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n st oac l a s so fd u f f - i n ge q u a t i o nw i t ht w od e v i a t i n ga r g u m e n t s t h er e s u l t so ft h i sc h a p t e ra r en e w a n dt h e yc o m p l e m e n tp r e v i o u s l yk n o w nr e s u l t s m o r e o v e r ，t h e yc a na l s ob eu s e dt o t h ed u f f i n ge q u a t i o nw i t hm u l t i p l ed e v i a t i n ga r g u m e n t s i nc h a p t e r4 ，r a y l e i g h e q u a t i o nw i t ht w od e v i a t i n ga r g u m e n t sa r ec o n s i d e r e d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r t h ee x i s t e n c eo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n sa r ee s t a b l i s h e db yu s i n gt h ec o n t i n u a t i o n t h e o r e mo fc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y t h er e s u l t sa v o i dt h et r a n t i o n a lc o n d i t i o n s i nt h el i t e r a t u r e a n ds u b s t a n t i a l l ye x t e n da n di m p r o v es o m ei m p o r t a n tk n o w n r e s u l t s k e yw o r d s ：p e r i o d i cs o l u t i o n s ；e x i s t e n c e ；u n i q u e n e s s ；f i r s to r d e r f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；d u f f i n ge q u a t i o n ；r a y l e i g he q u a t i o n ； d e v i a t i n ga r g u m e n t ；c o i n c i d e n c ed e g r e e i i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交韵论文是本人柞：导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名：泼 2 - 曰期：弘p 易年j 月弓日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名：；长 2 ， 挪签名铀咱 日期：力彩年，j 厂；日 日期：乒彳年，川肜日 几类具有多偏差变元的泛函微分方程周期解的存在与惟一性 第1 章绪论 1 1 本文所研究问题的背景及其研究现状 众所周知，和常微分方程相比，泛函微分方程更能精确地描述客观事物，因而 受到了国内外学者的高度重视。在泛函微分方程的定性理论中，周期解的存在性一 直是一个重要的研究课题由于非线性泛函微分方程在物理学、生物学与机械工 程等领域有着广泛的应用背景，如；d u f f i n g 型方程、l i d n a r d 型方程、r a y l e i g h 型方程以及神经网络模型所归结出的泛函微分方程等因此，非线性泛函微分方 程周期解问题的研究越来越引起人们的广泛兴趣( 见文献 1 - 7 】) 特别地，在这一 研究领域中，又由于一、二阶非线性泛函微分方程周期解问题的研究解决是首先 要解决的问题，现有的关于一、二阶非线性泛函微分方程周期解问题的研究的结 论显得更为丰富( 见文献【8 - 2 2 】) 然而，我们发现现有的关于一、二阶泛函微分方 程周期解问题的结论主要集中在如下几类方程 一( t ) = 9 1 ( t ，茹o ) ) + 9 2 ( t ，x ( t 一下o ) ) ) + p ( t ) z ”( t ) + f ( t ，石( t ) ，z o 一6 ( t ) ) ) 0 ) + g ( t ，x ( t 一下0 ) ) ) = p ( t ) ， n ( t ) + h , ( x ) l x l 加+ ，o ( t ) ) g ( t ) + g ( t ，茹( t _ 下( t ) ) ) = p ( t ) i = l ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) g ”( t ) + f ( x ( t ) ) + g ( t ，x ( t 一下( ) ) ) = p 0 ) ( 1 4 ) 显然，当9 1 ( t ，z ( t ) ) = 一( t ) + n ( t ) g ( t ) ) ，9 2 ( t ，x ( t 一下( t ) ) ) = b ( t ) g ( x ( t r ( t ) ) ) 时，方程( 1 1 ) 退化为具有一个神经元模型 ( t ) = 一c 茁( t ) + 口( t 蛔 ( t ) ) + b ( t ) g ( x ( t 一下( t ) ) ) + p ( t ) ， ( 1 5 ) 因此。方程( 1 1 ) 可视为一类广泛的单个神经元模型由于单个神经元是神经网络 的基本构成单位，神经网络又具有广泛的应用背景，已有大量的文献对方程( 1 5 ) 的动力学行为进行了研究，取得了较为丰富的结果( 见文献【1 1 】) ，然而有关方程 ( 1 1 ) 动力学行为的研究却很少( 见文献 1 2 ) 而已有的研究结果仅限于周期解的 存在性，有关其周期解的存在与惟性仅见文献【2 l 】获得了一定的新结果但是， 具有多个偏差变元的，可视为一类更广泛的单个神经元模型的一阶泛函微分方程 o ) = g l ( t ，正o n ( t ) ) ) + 9 2 ( t ，x ( t 一7 2 0 ) ) ) + p ( t ) ， ( 1 6 ) 还鲜见文献对其周期解的存在与惟一性进行研究因此，进一步研究具有多个偏 差变元的一阶泛函微分方程周期解的存在与惟一性具有一定的实际意义。 硕士学位论文 二阶非线性泛函微分方程( 1 2 ) 和( 1 3 ) 是应用力学中熟知的d u f f i n g 型方程 或l i 钿a r d 型方程方程( 1 4 ) 是工程实践中经常要分析的r a y l e i g h 型方程由于 这三类方程具有广泛的应用背景，一直以来，对这三类二阶泛函微分方程周期解 问题的研究越来越引起人们的广泛兴趣( 见文献【1 2 4 2 】) 1 9 9 4 年，黄先开与向子 贵在科学通报上发表了论文【3 0 】，在函数f ( x ) 三0 ，及9 ( t ，z ) 单侧有界的前 提下获得了退化为标准d u f f i n g 型方程的方程( 1 4 ) 周期解的存在性结论，此后， 在文献 3 0 】的基础上，众多学者对二阶泛函微分方程( 1 1 ) 一( 1 4 ) 及其推广形式 的周期解存在性进行了研究，取得了相当丰富的结果( 见文献【1 1 4 2 1 ) 我们发现 上述文献的结论中，有关方程( 1 2 ) 和( 1 3 ) 周期解存在性的结论大都是在要求下 面条件成立时获得 ( 凰) ( i )l i m s u pi z - l g ( t ，z ) i r 和( i i ) 。l i 毋g ( t ，x ) s g n ( x ) = + + o 。+ 。o 有关方程( 1 4 ) 周期解存在性的结论大都是在要求下面条件成立时获得 ( h 1 ) g ( t ，茹) = 譬( $ ) ，g ( x ) c ( r ，r ) ，且存在常数1 0 和k 2 0 使得下列条件 之一成立： ( 1 ) x g ( x ) o ，vl z l k l ，且g ( x ) - k 2 ，v 。一k l ， ( 2 ) x g ( x ) 0 ，v 蚓 七l ，且g ( x ) k 2 ，比k l ； ( 1 1 2 ) g ( t ，卫) = 9 ( z ) ，g ( x ) c 1 ( r ，r ) ，且存在常数k 0 使得 1 9 r ( z ) i k ，妇r ； ( 风) 存在常数r 0 和k 0 使得 i f ( y ) l r l i + k ，v f r ； ( 王) 存在常数n 1 和盯 0 使得 y f ( y ) o l y l “+ 1 ，v y r 或y f ( y ) s 一盯i 可i n + lv y r 我们发现已有的关于具有偏差变元的方程( 1 2 ) 一( 1 4 ) 的研究结果仅限于周期解 的存在性，有关其周期解的存在与惟性的结果非常少见另外，当这些方程具有 多个偏差变元的下列情形 z ”o ) + ，( t ，$ ( t ) ，x ( t - 5 ( t ) ) ) x ( t ) + g l ( t ，$ 0 一n ( t ) ) ) + 口2 ( t z 一吃( t ) ) ) = p 0 ) ，( 1 7 ) z ”( t ) + 乏二h d x ) l x r 2 。+ ， ( t ) ) ( t ) + g - ( t ，霉 一n ( t ) ) ) + 9 2 ( t ，茹 一亿( 亡) ) ) = p ( t ) ， i = 1 z ”0 ) + f ( x ( t ) ) ) + 仇( t ，x ( t n ( t ) ) ) + 9 2 ( t ，x ( t n ( t ) ) ) = v ( t ) 还未见文献对其周期解的存在与惟一性进行研究 2 一 ( 1 8 ) ( 1 9 ) 几类具有多偏差变元的泛函微分方程周期解的存在与惟一性 综上所述，考虑到泛函微分方程周期解的研究不断推动着泛函微分方程定性 理论的发展，上述几类方程( 1 6 ) 一( 1 9 ) ，在条件( 凰) ( 凰) 不成立时，进一步深入 地研究其相应周期解的问题既有理论意义又有实践意义。 1 2 本文的研究构想 在本文中，我们将结合数学分析的技巧和非线性分析中的拓扑度理论来进行 我们的研究工作 具体来说，我们在第二章中，将研究探讨具有两个偏差变元的一阶泛函微分 方程周期解的存在与惟性，并把所获得的分析技巧或结果进一步运用到具有多 个偏差变元的一阶泛函微分方程 n ( t ) = 饥( t ，z ( t 一几( t ) ) ) 十p ( t ) ( 1 1 0 ) i = l 我们在第三章中，将研究探讨具有两个偏差变元的d u f f i n g 型方程 x t t ( 亡) + c x 7 0 ) + g l ( t ，茹0 一n ( t ) ) ) + 9 2 ( t ，z 0 一心8 ) ) ) = p ( f ) ，( 1 1 1 ) 周期解的存在与惟一性，并把所获得的分析技巧或结果进一步运用到具有多个偏 差变元的d u f l i n g 型方程 茁”( t ) + c ( t ) + 吼( 屯z o n o ) ) ) = p ( t ) ， ( 1 1 2 ) i = 1 在第四章中，在不要求条件( 凰) 一( 甄) 的前提下，我们研究探讨包含方程 ( 1 8 ) 一( 1 9 ) 的具有两个偏差变元的r a y l e i g h 型方程 + ，( 霉( t ) ，z ( t ) ) + 孽1 ( t ，$ ( t n ( t ) ) ) + 9 2 ( t ，茹0 一n ( t ) ) ) = p ( t ) ( 1 1 3 ) 周期解的存在性 1 3 预备知识 为了行文方便，我们先介绍本论文将要采用的一些基本定义与预备引理( m a w h i n 延拓定理) 为了后面结果证明的需要，我们首先简要介绍一下度理论的有关概念及一个 延拓定理 设x 和z 是实b a n a c h 空间，l ：d o t a lcx _ + z 是一个线性映射，如果 下列条件满足： ( i ) d i m k e r l = c o d i m i m l 0 显然，当9 1 ( t ，$ ( t n ( t ) ) ) = 一凹( t ) + a ( t ) 9 ( 霉( t ) ) ，啦( t ，x ( t 一您( t ) ) ) = b ( t ) g ( x ( t - 下( ) ) ) 时，f d e ( 2 1 ) 退化为具有一个神经元的神经模型 ( t ) = 一c 茹( t ) + o ( t b ( t ) ) + b ( t ) g ( x ( t r ( t ) ) ) + p ( t ) ，( 2 2 ) 因此，f d e ( 2 1 ) 可视为一类广泛的单个神经元的模型由于单个神经元是神经 网络的基本构成单位，细胞神经网络又具有广泛的应用背景，已有大量的文献对 ( 2 2 ) 的动力学行为进行了研究，取得了较为丰富的结果( 见文献【1 1 】) ，然而有关 f d e ( 2 1 ) 动力学行为的研究却很少( 见文献【1 2 】) 最近文献【2 1 】研究并获得了 f d e ( 2 1 ) 周期解存在与惟一性的一些新结果但这些结果要求成立 ( c 1 ) g a ( t ，正 一丁1 ( t ) ) ) + 9 2 ( t ，z 一n ( t ) ) ) = 9 1 0 ，嚣0 ) ) + 9 2 ( t ，。( t f ) ) ) 另外，据作者所知，有关具有多偏差变元的一阶泛函微分方程 。( t ) = ：们0 一t 0 ) ) + p ( t ) ( 2 1 ) i = 1 周期解的存在与惟一性还鲜见文献进行研究因此，进一步研究f d e ( 2 1 ) 和( 2 1 ) 周期解的存在性与惟一性既有理论意义又有实际应用意义 本章的主要目的就是建立f d e ( 2 1 ) 周期解存在性与惟一性的新判据，我们将 利用重合度理论中的延拓定理，在条件( g ) 不成立的前提下获得f d e ( 2 1 ) 周期 解存在性与惟性的新结论 为了行文方便，我们将采用下列记号： ，t = ( 怫) l d t ) “，i x 0i m 2 踹| j cl ”，1 j 设x = x l x c ( r ，r ) ，x ( t + t ) = g ( t ) ，vt 埘为一b a n a c h 空间，范数定义 为忙恢= 蚓。定义非线性算子己为 5 一 硕士学位论文 l ：d ( l ) cx - - - + x ，l x = x ，( 2 3 ) 其中d ( l ) = z l z x ，z c ( n ，r ) ) 又定义非线性算子n ：x x 为 n x = g t ( t ，$ o n o ) ) ) + 9 2 ( t ，茹 一亿( t ) ) ) + p ) ( 2 4 ) 我们容易得到 k e r l = r , i m l = 。i 茁c l ，f 0 t x ( s ) d s = 0 ) 因此，算子l 为一个具有零指标的f r e d h o l m 算子我们定义连续投影算子p ： x - - - + k e r l 和q ：y 斗y 分别为 删= ；序圳s 和 删= 刍z t 小) d s 从而有，i m p = k e r l 且k e r q = i m l 定义l i d ( l ) n k e r p 的逆为三；1 ：i m l + d ( l ) n k e r p ，于是，由文献【1 2 】有 工；1s ，( t ) = ；z ts ( s ) d s + ：! ，( s ) d s ( 2 5 ) 因此，由( 2 4 ) 和( 2 5 ) 可知，对于x 中的有界集合q ，n 在豆上为l 一紧的 2 2 几个引理 由( 2 3 ) 和( 2 4 ) 可得，算子方程 l x = a z ，a ( 0 ，1 ) 等价于下列方程 z ( t ) = a b l ( t ，。o n ( t ) ) ) + 9 2 ( t ，。o 一亿( t ) ) ) + p ( t ) 】，a ( 0 ，1 ) ( 2 6 ) 下面我们叙述本章需要用到的几个引理 引理2 2 1 1 2 1 】设$ ( t ) x n c l ( r ，r ) 假设存在常数d 0 使得 1 。( 丁0 ) 1sd ，t o 【0 ，t 】( 2 7 ) 几类具有多偏差变元的泛函微分方程周期解的存在与惟一性 则有 i 。1 2 三l 1 2 + 、亍d ( 2 8 ) 引理2 2 2 假设下列条件成立 ( a o ) 下列条件之一成立： ( 1 ) ( t ，u 1 ) 一g i ( t ，让2 ) ) ( 1 一u 2 ) 0 ，其中i = 1 ，2 ，饥，札 r 且钍1 让2 ， ( 2 ) ( 纳( t ，u 1 ) 一g ( t ，u 2 ) ) ( 缸l u 2 ) 0 ，其中i = 1 ，2 ，v t ，钍r 且u 1 u 2 ； ( 一a o )存在常数b l 和幻使得( b l + b 2 ) t 1 ，且 b ( t ，钍1 ) 一g i ( t ，钍2 ) i b i u l 一钍2 i ，其中i = 1 ，2 ，地r ，v t r ， 则f d e ( 2 1 ) 至多存在一个t 一周期解 证明设x l ( t ) 和霉2 ( t ) 为f d e ( 2 1 ) 的两个t 一周期解则由( 2 1 ) 有 $ i ( t ) + 9 1 ( t 9 1 0 n ( t ) ) ) + 9 2 ( t ，x l ( t 一死( t ) ) ) = p ( t ) 且 ( z ：o ) + 9 1 ( t ，z 2 ( t n ( t ) ) ) + 9 2 ( t ，x 2 ( t 乃( t ) ) ) = p ) 于是 ( x l ( t ) 一$ 2 0 ) ) + ( g l o ，z 1 0 一n ( t ) ) ) 一g l ( t ，x 2 ( t n ( t ) ) ) ) + ( 9 2 0 ，$ 1 ( t 一亿( t ) ) ) 一9 2 ( t ，x 2 ( t 他( t ) ) ) ) = 0 ( 2 9 ) 令z ( t ) = 茹- ( t ) 一z 2 ( t ) 则由( 2 9 ) 可得 z ( t ) + ( 9 1 ( t ，$ l ( 亡一7 1 ( t ) ) ) 一m ( t ，x 2 ( t n ( t ) ) ) ) + ( 9 2 ( t ，正l o 一功( t ) ) ) 一卯( t ，x 2 ( t 一7 j ) ) ) ) = 0 ( 2 1 0 ) 从而由0 到丁积分( 2 1 0 ) ，我们有 ，r 【( g l ( t ，z 1 ( t 一丁1 ( t ) ) ) 一夕l ( t ，x 2 ( t 一丁1 ( t ) ) ) ) + ( 鲰( t ，。1 0 一亿( t ) ) ) j0 - - 9 2 ( t ，x 2 ( t r 2 ( t ) ) ) ) 】出= 0 因此，由积分中值定理有，存在常数，y 【0 ，t i 使得 ( 9 1 ( 7 ，口1 ( 7 一n ( 7 ) ) ) 一9 2 ( ，y ，x 2 ( 7 一n ( ，y ) ) ) ) + ( 9 2 ( ，y ，z 1 ( 7 一亿( ，y ) ) ) 一9 2 n ，x 2 n 一亿( ，y ) ) ) ) = 0 ( 2 1 1 ) 结合条件( a o ) 及( 2 1 1 ) 可得 1 ( 7 一n ( ，y ) ) 一x 2 ( - y n ( ，y ) ) ) ( 9 1 ( 7 一亿( 7 ) ) 一x 2 ( 7 一他( ，y ) ) ) 墨0 7 - 硕士学位论文 既然z ( t ) = 茁( t ) 一x 2 ( t ) 为r 上的连续函数，从而必存在常数f r 使得 z k ) = 0 ( 2 1 2 ) 令= 几t + 彳，其中彳 0 ，t 】且礼为整数则由( 2 1 2 ) 可知，存在常数彳 0 ，t 】 使得 z ( 彳) = z ( ) = 0 ( 2 1 3 ) 结合s c h w a r z 不等式与下列关系式 旧驯= 陬彳) + z 。z ( s ) d 枢z t ( 酬d s 蚓。阍， 由引理2 2 1 有 i z l 。4 亍l z l z ，l z l 。；i l 。 ( 2 1 4 ) 接下来，我们假设条件( _ o ) 成立将( 2 1 0 ) 式两边同乘以刀( t ) 并由0 到r 积分，由( 2 1 4 ) 和s c h w a r z 不等式，我们有 i z l ；= 小砸胪出 = ( g l ( t ，。1 ( t n ( t ) ) ) 一9 1 ( t ，x 2 ( t 一7 1 ( t ) ) ) ) j 0 z ( t ) d t + ( 9 2 ( t ，z 1 0 一色0 ) ) ) 一9 2 ( t ，$ 2 0 一7 l o ) ) ) ) ( t ) d t j 0 b l x l ( t n ) ) 一x 2 ( t 一l ( t ) ) l i z ( t ) l d t j 0 + 6 2 2 1i x l ( t 一础) ) 一赋t 一郇驯愀) l d t ( b 1 + 6 2 ) i z i 。v 亍p z 1 2 ( 6 l + b 2 ) t 】l 1 1 ( 2 1 5 ) 由( 2 1 3 ) ，条件( _ 0 ) 和( 2 1 5 ) 可得 z ( t ) 兰z ( t ) 三0 ，v t r 因此，x l ( t ) 三2 ( t ) ，vt r ，f d e ( 2 1 ) 至多存在一个t - 周期解引理2 2 2 证 完 引理2 2 3 ( 1 3 假设p 【0 ，t 】为常数，5 c ( n ，r ) 为t 一周期函数，且 s u p1 6 ( t ) i 弘则对c 1 ( r ，r ) 中任意的t 一周期函数 ( t ) 有 t e o ，卅 f ti h ( 。) 一 ( s 一6 ( 。) ) i z d 。2 p 。f ti ，( 。) i 。d 。 ( 2 1 6 ) zs ) “( s m ) ) 同s 0 ，vt r ，l x l d ； ( 2 ) z ( m ( t ，z ) + 9 2 ( t ，z ) + p ( t ) ) d ， 对所有的t 冗 ( 2 2 1 ) 从而结合( a x ) ，( 2 1 9 ) 和( 2 2 1 ) ，我们可得下列情形之一成立： x ( t l n ( t 1 ) ) x ( h 一功( t 1 ) ) d ；( 2 2 2 ) x ( h r 2 ( t 1 ) ) 。( 亡1 一n 0 1 ) ) d ； ( 2 2 3 ) x ( t 1 一n ( 1 ) ) z ( i 一仡( 1 ) ) - d ；( 2 2 4 ) x ( t l 一乃( t 1 ) ) z ( t l n ( t 1 ) ) - d ( 2 2 5 ) 假设( 2 2 2 ) 成立，根据o ) 中( 1 ) ，( a o ) 中( 2 ) ，( a 1 ) 中( 1 ) 和1 ) 中( 2 ) ，我们 分四种情形进行证明 情形( i ) ( a 1 ) 中( 1 ) 和( a o ) 中( 1 ) 成立由( 2 2 2 ) ，我们有 0 9 1 ( t l ，x ( h n 0 1 ) ) ) + 9 2 1 ，x ( h 一亿 1 ) ) ) + p 1 ) g l ( t 1 ，x ( t 1 一n ( t 1 ) ) ) + 9 2 ( t l ，x ( h 一乃 1 ) ) ) + p ( t 1 ) ， 几类具有多偏差变元的泛函微分方程周期解的存在与惟一性 这与( 2 2 1 ) 相矛盾从而有( 2 2 0 ) 成立 情形( i i ) ( a ，) 中( 1 ) 和( a o ) 中( 2 ) 成立由( 2 2 2 ) 有 0 9 1 ( t l ，x ( t l n ( t 1 ) ) ) + 9 2 ( t l ，x ( h 一丁1 0 1 ) ) ) + p ( t 1 ) g l ( t l ，x ( h t l ( t 1 ) ) ) + 9 2 ( t l ，x ( t l t 2 ( t 1 ) ) ) + p ( t 1 ) ， 这与( 2 1 9 ) 相矛盾从而有( 2 2 0 ) 成立 情形( i i i ) 1 ) 中( 2 ) 和( a o ) 中( 1 ) 成立由( 2 2 2 ) 有 g l ( h ，x ( h n ( t 1 ) ) ) + 9 2 ( t l ，。( t 1 一下2 0 1 ) ) ) + p ( t 1 ) g l ( h ，x ( h n 0 1 ) ) ) + 9 2 ( h ，x ( t l n ( t 1 ) ) ) + p ( t 1 ) 0 ， 这与( 2 1 9 ) 相矛盾从而有( 2 2 0 ) 成立 情形( i v ) ( a 1 ) 中( 2 ) 和( a o ) 中( 2 ) 成立由( 2 2 2 ) ，我们有 g l ( h ，石( t 1 一n 0 1 ) ) ) + 9 2 ( t l ，x ( h 一丁2 ( t 1 ) ) ) + p ( t 1 ) g l ( t l ，z ( h 一您( t 1 ) ) ) + 9 2 ( t l ，x ( h n ( t 1 ) ) ) + p ( h ) 0 ， 这与( 2 1 9 ) 相矛盾从而有( 2 2 0 ) 成立 若( 2 2 3 ) ( 或( 2 2 4 ) ，或( 2 2 5 ) ) 成立。由情形( i ) - 情形( i v ) 中的证明方法，我 们可以类似的证明( 2 2 0 ) 成立从而得证上述命题 记t 2 = m t + t o ，其中t o f 0 ，t 】且m 为一整数则由s c h w a r z 不等式和下 列关系式 1 = 瞰t o ) + f 荆酬d + z t 帅) 脚【0 m 我们有 i 。l 。2 t m o 觚, r l l 茹( 。) l d + 、t i l 。 引理2 2 5 证完 2 3 主要结果及其证明 定理2 3 1 假设条件( a o ) ，( 蕊) 和( a 1 ) 成立，则f d e ( 2 1 ) 存在惟一的t 一周期 解 证明由引理2 2 2 ，结合条件( 山) 和( _ o ) 可知，f d e ( 2 1 ) 至多存在一个n 周 期解因此，我们只需证明f d e ( 2 1 ) t - 周期解的存在性为此，我们将利用第一 章中的延拓定理1 _ 4 1 证明f d e ( 2 1 ) 至少存在一个t 一周期解首先证明( 2 6 ) 所有t 一周期解组成的集合为有界集 一一 硕士学位论文 设$ ( t ) 为( 2 6 ) 的任一t 一周期解由条件( 压) 将( 2 6 ) 式两边同乘以 一( ) 并由0 到t 积分，由( 2 8 ) ，( 2 1 8 ) ，( 瓦) 和s c h w a r z 不等式，我们有 m ；= 叭t ) 1 2 d t r t = a 9 1 ( t ，z 一7 1 ( t ) ) ) $ ( t ) d t r t甲 + af 9 2 ( t ，2 0 亿( t ) ) ) ( t ) d t + a p o ) 一( t ) d t j 0 j o p 1 2 i x f 24 - a 一( t ) d t + a 1 p 1 2 m 2 - 4 - b 1 + 幻| z ( t - ( 洲怫) l d t + m a x i g ：( t , o ) j oix(t)ldtj0 t e 0 nl ，1 1 s | p 1 2 i 1 2 + ( 6 + 6 2 ) 行眺i + ( 。黼雠，o ) l 4 - t m f 0 a x 司j 9 2 ( t ，圳订雠) 2 ( ( 6 1 + 6 2 ) t ) i l ；+ 【i p l 2 + ( d 幻+ 。m m a x 驯1 9 1 ( ，o ) 1 4 - t 【0 ，m a x 卅t 9 2 ( t ，o ) f ) 垌怫 ( 2 2 6 ) 于是今 d 1 =些：! 竺：! 燮竺型：! 叠竺型1 1 一( b l + b 2 ) t 结合( 2 1 8 ) 和( 2 2 6 ) ，我们有 i 。f 2 d 1 ，i z l o 。d + 、厅d 1 f 2 2 7 ) 假设。q 1 = x l xek e r l n x 且n x i m l ，则存在一个常数m 1 使得 娟) 兰舰且，t 屯m ) + 现( 尬) + 邢) j 疵：。 ( 2 2 8 ) 因此， k 0 ) f 三f 舰f d ，vx ( t ) n 1 ( 2 2 9 ) 又设m = ( d 1 + _ 1 ) 行+ d + 1 记 n = 。i z x ， x l 。 m a x d l 、，厅+ d ，面l 亍+ d ，d ) 可知，延拓定理1 4 1 的条件( 1 ) 和( 2 ) 成立 进而，定义连续函数h l ( x ，p ) 和2 ( 茁，p ) 为 皿( 训) = ( 1 刊。+ p 亍1z r 【北z ) + 鲫，。) + p ( 纠出，p 【01 】i 飓( z ，p ) = 一( 1 一p ) z + p 刍z r h ( t ，石) + 卯( 文z ) + p ( 圳出，p 【0 1 】 若条件( a t ) 中( 1 ) 成立，则有 z 。h 1 ( 。，p ) 0 ，vx a q n k e r l 从而由同伦不变性有 d e g q ，q n k e r 三，。) = d e “；z t b t ( t ，z ) + 啦( t ，g ) + p ( 圳出，q n k e r l ，。 = d e g x ，q n k e r l ，o ) 0 若条件( a 1 ) 中( 2 ) 成立，则有 x h 2 ( ，肛) 0 ，v z a q n k e r l 又由同伦不变性有 d e g q n ，q n k e r l ，。 = d e g 刍( t 函。( t ，z ) + 比( t 茹) + p ( 州扰n n k e 儿，。) = d e g 一$ ，q n k e r l ，0 l 0 综合上面的讨论，由延拓定理1 4 1 可知f d e ( 2 1 ) 至少存在一个t 一周期解从 而得证定理2 3 1 定理2 3 2假设条件( 日) ，( 山) 和( a o ) 成立，又假设条件1 ) ( 或( a 2 ) ) 成立 则f d e ( 2 1 ) 存在惟一的t 一周期解 证明由引理2 2 2 ，结合条件( 日) ，( - 4 0 ) 和似o ) 可知，f d e ( 2 1 ) 至多存在一个 t 一周期解因此，我们只需证明f d e ( 2 1 ) t 一周期解的存在性为此，我们将利 用第一章中的延拓定理1 4 1 证明f d e ( 2 1 ) 至少存在一个n 周期解首先证明 ( 2 6 ) 所有t 一周期解组成的集合为有界集 设z ( t ) 为( 2 6 ) 的任一t 一周期解由条件( a o ) ，将( 2 6 ) 式两边同乘以 z 讹) 并由0 到t 积分，由( 2 8 ) ，( 2 1 6 ) ，( 日) ，( a o ) 中( 1 ) 和s c h w a r z 不等式，我 1 3 硕士学位论文 们有 ；= 叭t ) 1 2 d t = a 口1 ( t ，z ( t n ( t ) ) ) 。( t ) d t + a z t 椰一卜椰) ) ) 刑a t p 堋出 i p l 2 1 x 1 2 + a ( g l ( t ，盘0 一n ( t ) ) ) 一肌( t ，z ( t ) ) + g l ( t ，卫( t ) ) - - g l ( t ，o ) ) 一( t ) d t + a ( 驰( t ，。( 芒一n ( t ) ) ) 一驰( t ，z ( t ) ) + 出( t ，z ( ) ) 一鲫，o ) ) 蚺 f i 9 1 ( 如) 抛) d t + j ( t 鲫，唰d t i p l 2 i x 1 2 + 6 1 ( l z 一n o ) ) 一x ( t ) 1 2 d ) 一1l 茁1 2 + b l i x l 。i 岳1 2 + 6 2 ( i z o 一句( t ) ) 一。( t ) 1 2 出) i 1l 1 2 + 如i 写1 2 i x | 2 也m 悯a xi g l ( t , o ) + 蚝m 【0 a ，x 卅螂，啪、t 眺i = i p l 2 i 1 2 + b - ( i z 0 一( n 0 ) 一k 1 t ) ) 一x ( 0 1 2 d t ) l x i z + b l l x l z l x i 。 + 6 2 ( z ( t 一( 下2 0 ) 一j 毛t ) ) 一。( t ) 1 2 d 七) i 1l 一 2 + 6 2 l 霉1 2 $ 7 1 2 也m