NO8量子力学基础参考答案.pdf

物理系_2015_09 大学物理大学物理 AII作业作业 No.8 量子力学基础量子力学基础 班级班级 _ 学号学号 _ 姓名姓名 _ 成绩成绩 _ 一、判断题： （一、判断题： （用“T”表示正确和“F”表示错误） F F 1根据德布罗意假设，地球只有粒子性，没有波动性。 解：解：教材188页表16.1.1，宏观物体也有波动性，不过是其物质波波长太小了，所以其波 动性就难以显示出来，而微观粒子的物质波波长可以与这些例子本身的大小相比拟，因 此在原子大小的范围内将突出表现其波动性。 F F 2关于粒子的波动性，有人认为：粒子运行轨迹是波动曲线，或其速度呈波动 式变化。 解：例如电子也有衍射现象，这是微观粒子波动性的体现。与其轨迹、速度无关。 解：例如电子也有衍射现象，这是微观粒子波动性的体现。与其轨迹、速度无关。 T T 3波函数 12 c= (c为任意常数)，则 1 与 2 描述的粒子状态相同。 解：教材 208.波函数必须满足归一化条件。 F F 4只有当粒子总能量高于势垒高度才能贯穿势垒。 解：教材222页， “隧道效应”:总能量低于势垒高度的粒子也能穿过势垒到达势垒另侧。解：教材222页， “隧道效应”:总能量低于势垒高度的粒子也能穿过势垒到达势垒另侧。 T 5 T 5如果两种不同质量的低速微观粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子 的动量相同，动能不同。 解：解：由 h p =，二者相同，所以动量肯定相同；低速微观粒子，由经典关系，动能 m p EK 2 2 =，所以动能会不同。 二、选择题：二、选择题： 1静止质量不为零的微观粒子作高速高速运动，这时粒子物质波的波长与速度 v 有如下关 系： C (A) v (B) v 1 (C) 22 11 cv (D) 22 vc 解：解：由德布罗意公式和相对论质 速公式有 2 2 0 1 c v vm mv h p = 得粒子物质波的波长 22 0 11 cvm h = ，即 22 11 cv 故选 C 2不确定关系式h x px表示在 x 方向上 D (A) 粒子位置不能确定 (B) 粒子动量不能确定 (C) 粒子位置和动量都不能确定 (D) 粒子位置和动量不能同时确定 解：不确定关系式h x px微观粒子的位置和动量不能同时准确确定。 3 将波函数在空间各点的振幅同时变为原来的 1/M， 则粒子在空间的分布概率将 D (A) 增大 2 M倍 (B) 增大 2M 倍 (C) 增大 1/M 倍 (D) 不变 解：教材208.波函数必须满足归一化条件。 4. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： )( 2 3 cos 1 )(axa a x a x= 那么粒子在 6 5a x =处出现的概率密度为 A a2 1 (A) a 1 (B) a2 1 (C) a 1 (D) 解：解：概率密度 ) 2 3 (cos 1 )( 22 a x a x = 将 6 5a x =代入上式，得 a a aa x 2 1 ) 6 5 2 3 (cos 1 )( 22 = 5. 波长 = 5000 的光沿 x 轴正方向传播，若光的波长的不确定量=10 3 ，则利用 不确定关系hpx x 可得光子的 x 坐标的不确定量至少为： C (A) 25cm （B）50cm (C) 250cm (D) 500cm 解：解：由公式p= h 知, 3 22 10 5000 = hh p 利用不确定关系hpx x ，可得光子的 x 坐标满足 9 1025= x p h x=250cm 三、填空题：三、填空题： 1. 低速运动的质子 P 和粒子，若它们的德布罗意波长相同，则它们的 动量之比 pp : p 1:1 ；动能之比 EE : p 4:1 。 解解：由 h p =，二者相同，所以1:1: p = pp。 由经典关系，动能 m p E 2 2 =，所以1:4: pp =mmEE 2. 若令 cm h e c = (称为电子的康普顿波长，其中 me为电子静止质量，c 为光速，h 为普 朗克常量)。 当电子的动能等于它的静止能量时， 它的德布罗意波长是= 3 1 c。 解：解：由题意, 2 0 2 k cmmcE= 所以 22 0 2 22cmcmmcE e = 又 h cmEE c pEcpE e =+=3 1 , 2 0 22 0 222 Q 所以有 c ec m h p h 3 1 3 =。 3同时测量动能为 1keV 的作一维运动的电子的位置与动量时，若位置的不确定值在 0.1nm()m10nm1 9 =内，则动量的不确定值的百分比pp/至少为 。 (电子质量kg1011. 9 31 = e m，J1060. 1eV1 19 =，普朗克常量sJ1063. 6 34 = h) 解解：电子的动能( )J106 . 1keV1 16 = k E，又 e k m P E 2 2 =，得电子的动量大小 () 1231631 smkg1071. 1106 . 11011. 922 = keE mp 根据不确定关系h x px，得动量不确定量 () 124 9 34 smkg1006. 1 101 . 0 14. 32 1063. 6 = = x p h 所以有 %2 . 6062. 0 1071. 1 1006. 1 23 24 = = p p 如果用如果用hpx x ，得到动量不确定量为：，得到动量不确定量为： () 124 9 34 smkg1063. 6 101 . 0 1063. 6 = = x h p %3939. 0 1071. 1 1063. 6 23 24 = = p p 两个答案都正确两个答案都正确 4若一个电子处于原子某能态的时间st 8 10= ，这个原子能态的能量的最小不确定值 =E 。 解：解：根据不确定关系htE得到: J t h E 26 8 34 1063. 6 10 1063. 6 = = 如果用不确定关系 htE ，那么J t E 26 8 34 10055. 1 102 1063. 6 = = h 批改时注意，两个答案都正确批改时注意，两个答案都正确 5 1）不确定关系式hpx x 或者 h x px，约束了微观粒子永远不可能 静止。 批改时注意答对其中一个就可以批改时注意答对其中一个就可以 2）不确定关系式htE或者 htE，可以解释为什么原子光谱存 在自然宽度。 批改时注意答对其中一个就可以批改时注意答对其中一个就可以 四、计算题：四、计算题： 1、在宽为a的一维无限深势阱中运动的粒子，它的一个定态波 函数如图(a)所示，对应的总能量为 4eV,若它处于另一个波函数 如图(b)的态上，它的总能量是多少？粒子的零点能又是多少？ 解：解：一维无限深势阱的能级表达式为： 1 2E nEn= 由（a）图知：n=2，即 eV1eV442 111 2 2 =EEEE 由（b）图知：n=3，即 eV993 11 2 3 =EEE 2一粒子被限制在相距为 l 的两个不可穿透的壁之间，如图所示。描写粒子状态的波函 数为 )( 2 xlcx=，其中 c 为待定常量。求在l 3 1 0区间发现该粒子的概率。 解：解：由归一化条件1d| 0 2 = x l ， 即1d)( 24 0 2 = xxlxc l ， 可以解出 7 105 l c =， 24 7 2 )( 105 |xlx l = l 3 1 0区间发现粒子的概率为%53. 4 243 11 d)( 105 24 3/ 0 7 =xxlx l P l 3质量为 m 的粒子在宽度为 a 的一维无限深势阱中运动，其定态波函数为： )0( 3 sin 2 )(ax a x a x= 试求：1）粒子处于该定态时的能量表达式； 2）粒子出现概率最大的各个位置； 3）粒子出现在区间) 26 ( a x a 的概率。 解解：1） ：对于一维无限深势阱而言， ma nE 2 22 2 h =，由定态波函数 l l 3 1 O x )0( 3 sin 2 )(ax a x a x= ， 知3=n，所以有： ma E 2 9 22 h = 2）粒子出现概率最大的各个位置，两种方法两种方法： a)较复杂的方法较复杂的方法 ( ) a x a x 3 sin 2 2 2 3 =， 要求求粒子出现概率最大的各个位置，就有： 0 d d , 0 d d 2 2 = x P x P ，根据 ( ) 0 d d d d , 0 d d 2 3 = x x x P x P ，得到 ( ) 取整数。nn a x a x a x aa x aa x ax x , 6 0 6 sin 0 6 sin 63 cos 3 . 3 sin. 2 . 2 d d 2 2 3 = = （1） a aaaaa x, 6 5 , 3 2 , 2 , 3 , 6 , 0=处，概率密度有极值。 要取极大值，得有 2 3 2 6 2 2 0 6 cos0 6 cos 6 . 6 0 d d 22 2 + n a x n a x a x aax P （2） 当0=n时，有axa 12 3 12 1 当1=n时，有axa 12 7 12 5 当2=n时，有axa 12 11 4 3 由上面的分析，得出，在 6 5 , 2 , 6 aaa x =处，粒子出现的概率最大。 b)简单方法：简单方法： ( ) a a x a x aa x a x 6 cos1 2 6 cos1 23 sin 2 2 2 3 = =，上式要取极大 值，只有 ()