（固体力学专业论文）Timoshenko梁型管束的模态分析.pdf

摘要 流固耦合作用问题是工程中极为重要的问题。对于核反应堆堆芯、核废弃燃料 棒的储存容器、热交换器等管束结构，管束中流体与固体之间的耦合作用是影响这 类结构动力特性的重要因素，因此研究管束结构中的流固耦合作用对了解这类结构 的动力行为是十分必要的。 张若京教授提出的管柬流固耦合三维均匀化模型，该模型针对管束排列均有周 期性的特点，根据渐近均匀化方法和小挠度理论，在整个管柬上建立整体坐标，在 每个单胞中引入局部坐标。用两套坐标系来描述管束流固耦合系统，从而建立等效 的管束三维均匀介质模型，其中，管束的几何排列及疏密程度等作为微结构参数出 现在该模型中。 本文是在e u l e r 梁型管束理论的基础上，通过采用t i m o s h e n k o 梁模型代替e u l e r 梁模型来考虑剪切效应的对管束振动的影响，得到了五个含有速度势吵，挠度， 转角。( 口= 1 , 2 ) 五个未知变量的方程组。这一工作是在导师张若京教授的手稿“管 束振动的剪切效应”基础上完成的。根据哈密顿原理，在定解条件下，将微分方程 写成等价的变分方程。通过有限元离散以后，我们可以得到一个含有反对称阵的保 守陀螺系统。因为挠度w 和转角矽本文用的是各自独立的线性插值函数，所以和 t i m o s h c n k o 梁单元一样，也碰到了剪切锁死问题。为了避免剪切锁死，本文参考了 t i m o s h c n k o 粱单元的减缩积分方法。 本文用m a t l a b 6 5 编写了有限元程序进行数值计算。采用渐近均匀化方法可以 建立等效的管束三维均匀介质模型，由于将管束区看成均匀介质，因而划分有限元 网格比较自由，可以将多个管梁划分在一个单元内，对于单元内每根管梁的位移， 可以用插值的方法来求得，体现了均匀化方法较每根管梁“逐根分析”法的优越性 和有效性。计算表明：随着管束流体体积比增大( a 增大) ，频率逐渐增大。当允 0 5 ， 管梁的频率基本保持不变，趋于单根管梁在水中的频率。计算还表明：对于细长梁， 欧拉梁计算的结果和考虑剪切的计算结果较为一致，随着梁的增粗，剪切效应的影 响增大，如果不考虑剪切的话，欧拉梁误差就明显增大了，因此对于d h 比较大的 管梁，考虑梁的剪切效应是必要的。本文计算了四根管梁的算例并与通用软件 a n s y s 7 0 进行了比较，结果比较一致。 关键词：管束、流固耦合作用、渐近均匀化方法、有限元法。 a b s t r a c t t h ef l u i d s t r u c t u r ei n t e r a c t i o ni sa l li m p o r t a n tp h e n o m e n o ni ne n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n f o rb e a mb u n d l es t r u c t u r e sl i k en u c l e a rr e a c t o rc o r e s ，s t e a mg e n e r a t o r , t h ef l u i d - s t r u c t u r e i n t e r a c t i o ni sa ni m p o r t a n tf a c t o ri n f l u e n c i n gt h ed y n a m i c a lr e s p o n s e so ft h es y s t e m i t s c r u c i a lt oi n v e s t i g a t et h i sp h e n o m e n o ni no r d e rt og a i nat h o r o u g hu n d e r s t a n d i n go ft h i sk i n d o fs t r u c t u r e s t h e3 dh o m o g e n i z a t i o nm o d e ld e r i v e db yp r o f e s s o rr j z h a n gi sar e s e a r c hm e t h o df o r t h ef l u i d s t r u c t u r ei n t e r a c t i o no ft h eb e a mb u n d l es t r u c t u r e s i ti n d u c e dt w os e t so fc o o r d i n a t e s y s t e ma c c o r d i n gt ot h ep e r i o d i ca r r a yo fb e a mb u n d l es t r u c t u r e s ，t h eg l o b a lc o o r d i n a t e s y s t e md e s c r i b et h ew h o l ec o u p l i n gr e g i o na n dt h el o c a lc o o r d i n a t es y s t e md e s c r i b et h es i n g l e c e l l b a s e do nt h em e t h o do fh o m o g e n i z a t i o na n dt h et h e o r yo fs m a l ld i s t u r b a n c e a ne q u a t e h o m o g e n i z a t i o nm e d i am o d e li s o b t a i n e d t h em i c r op a r a m e t e r sa r ei n c l u d e di nt h e e q u a t i o n s b a s e do nt h e3 - dh o m o g e n i z a t i o nt h e o r y ，t i m o s h e n k ob e a mm o d e lt a k i n ga c c o u n ti n t o t h ee f f e c to fs h e a r i n gi sb u i l t as y s t e mo fe q u a t i o n si n c l u d i n gf i v eu n k n o w nv a r i a b l e ： p o t e n t i a lf u n c t i o n 吵，d e f l e c t i o nwa ，a n g l eo fr o t a t i o n i sg e t 。a c c o r d i n gt ot h eh a m i l t o n ? s p r i n c i p l e ，t h e s ed i f f e r e n c ee q u a t i o na n db o u n d a r yc o n d i t i o n sc a nb et r a n s f o r m e di n t oa n e q u i v a l e n te q u a t i o no fv a r i a t i o n a f t e rt h ef e md i s c r e t i o n ，ac o n s e r v a t i o ng y r o s c o p i cs y s t e m i sd e r i v e d b e c a u s et h ei n t e r p o l a t i n gf u n c t i o no fd e f l e c t i o nw 。a n da n g l eo fr o t a t i o n 吼i sa l i n e a rf u n c t i o n , s h e a rl o c k i n ga p p e a r s s ot h em e t h o do fr e d u c e di n t e g r a t i o ni sr e f e r r e d 。 b a s e do nt h et h e r o ya b o v e af e mp r o g r a mi sw r i t t e ni 1 1m a t l a b 6 5f o rn u m e r i c a l c o m p u t a t i o ni nt h i sp a p e r b yc a l c u l a t i n g ，s o m ec o n c l u s i o nc a nb eg e t , w ec a nf r e e l ym e s ht h e b e a mb u n d l er e g i o nb e c a u s et h i sr e , o ni sae q u i v a l e n th o m o g e n e o u sm e d i a a n dl o t so fb e a m c a nb ei no n ee l e m e n t ；w i t ht h eg r o w t ho ft h ep a r a m e t e raf v o l u m er a t i oo fb e a mb u n d l et o l i q u i d ) t h es y s t e mf i r s to r d e rf r e q u e n c yi sg r o w i n g f o rt h et h i nb e a m ，t h er e s u l t sa r en o d i f f e r e n c e sb e t w e e nt h ee u l e rb e a mm o d e l i n ga n dt i m o s h e n k ob e a mm o d e l i n g b u tf o r 也e t h i c kb e a m ，t h ee r r o ri sb i g ，s oi ti sn e c e s s a r yt oc o n s i d e rt h es h e a f i n ge f f e c ti nt h et h i c kb e a m a ne x a m p l eo ff o u rb e a m si sc a l c u l a t i n gb yt h i sp r o g r a m ，a n dc o m p a r e dw i t ht h ea n s y s s o f t w a r e ，t h er e s u l t si sc o n s i s t e n t k e yw o r d s ：b e a mb u n d l es t r u c t u r e s ；t h ef l u i d s t r u c t u r ei n t e r a c t i o n ；h o m o g e n i z a t i o nm e t h o d ； f i i l i t ee l e m e n tm e t h o d 如，么 b 曜，b c d 曜，d 符号说明 未附加流体的比面积。 管梁的有效截面比面积。 声速 附加流体的比面积。 管梁的体力 流体的体力 单胞内流体域的外法线方向 流体压力 流体速度 管梁的挠度 ，x s ，x单胞内的流体域，单胞内的管梁结构域，x = x u x s i i ，i x s i ，i x i 单胞内的流体面积，单胞内的管梁截面面积，单胞的面积 弓，乓，y放大单胞内的流体域，放大单胞内的结构域，】，= 弓uk i 弓i ，l k i ，1 1 1 放大单胞内的流体面积，管梁截面面积，以及放大单胞的 面积 r 管梁和流体的密度比 五 管束的流体比体积 万，密度，常数 i f ，6 矿 应变和应力 下标： 厂 流体 s管粱结构 m e g p 吩 m 申请同济大学工学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 工程中有一类问题涉及到流体与结构的相互作用，称为流固耦合问题。比如在海 洋中修建的采油平台，江河里的结构物，化工容器，船舶结构和航空器材中都存在着弹 性体和液体的耦合振动问题。早在2 0 世纪3 0 年代，人们对这类问题就已经有所认识， 1 9 3 3 年，w e s t e r g a a d 就讨论了由地震引起的水压力对大坝的影响。在最近的几十年 中，则更加受到重视。目前，国内外关于这类问题的研究已有不少综述文章与专著 2 - e l 。 流固耦合力学的重要特征是流体与固体( 结构) 之间的相互作用：固体结构在流体 的作用下产生变形或运动，而固体结构的变形或运动又反过来影响流体的流动。在不同 条件下这种相互作用产生了各种各样的流固耦合现象。通常流固耦合问题的控制方程中 既包含流体流体变量又有固体变量。耦合方程在流体域或固体域内均不可能独立求解， 因而一般来说要获得此类问题的解析解是十分困难的。有限元方法的出现及数值计算技 术的发展提供了求解这类问题的有效途径。用有限元方法来研究流体与固体的耦合振动 问题，通常有两种方法h 1 ：一种是流场和结构响应的迭代计算方法，一种就是将作用在 固体结构上流体压力折算成附加质量来计算。但对于管柬这类耦合面数量多，且具有周 期性特点的结构，用这两种方法，都计算工作量大，效率低。 1 2 管束结构流固耦合模型概述 许多重要的结构物，如核反应堆堆芯、热交换器等，是由大量浸没在流体中的有 着周期排列规则的管梁组成的，通常称之为管束。由于流体的耦合作用，管束中任何一 根管梁的运动都会引起相邻管梁的运动，在外力作用下，管柬是作为一个整体而产生响 应的。管束中流体与固体之间的耦合作用是影响这类结构的动力特性的重要因素，因此 研究管柬结构中的流固耦合作用对了解此类结构的动力行为十分必要嘲。 申请同济大学工学硕士学位论文第一章绪论 许多学者对无限流场中管梁之间的耦合运动进行了研究。l a i r d 和w a r r e n 研究了 在2 4 根管梁的振动过程中管梁之间距离的变化对水压力的影响n 们，m a z u r ，v 。y 获得了 在理想流体中运动的两根管梁之间的水压力，c h e n 利用m a z u r 的结论分析了流体中两 根管梁的耦合模态及响应，t h e n 还利用势流原理研究了一排圆管在流体中的振动n 脚， 作用在管梁上的流体力由附加流体质量系数矩阵得到，矩阵中对角线上的元素是由于管 梁自身的运动而产生的，非对角线上的元素则是由于管梁的耦合作用而引起的。分析表 明，系统的基频随管梁数目的增多而减小。并且存在着明显的分组现象，在每一组内， 管梁间距离越小则系统频率越分散。m p p a i d o u s s i s ，s s u s s 和m p u s t e j o v s k y 分 别用经典势流原理和有限元法研究了受约束的有限流场中管束的自由振动。 以上提到的s s c h e n 和m p p a i d o u s s i s 的模型，采用的是逐根分析的方法。用 有限元法计算时，需对流体域与固体域分别划分单元网格。这种方法只适用于管梁数目 较少的情形。而在实际工程中，如对于核反应堆堆芯而言，管梁的数目相当巨大，达到 1 0 3 或1 0 4 量级，逐根分析的方法已不再适用。s c h u m a n n m m 钉、b e n n e r n 6 1 n 7 1 、b r o c h a r d 和h a m m a m i n 引，张若京n 们伽儿2 等人先后采用渐近均匀化方法建立了管束的流固耦合均匀 化模型。这种方法的要点是：所有管梁都是相同的( 质量、半径、刚度相同) ，具有周 期规则排列，相邻管梁中心距与整个管束特征尺寸的比值为凸沩一无量纲小量。流 体无粘但可压缩，初始时处于静止状态( 通常称为声学场) 。在管束区，我们可以建立 固体的控制方程，流体的控制方程，以及界面上的耦合条件。梁位移和液体的压力为基 本变量的方程。由于沩一小量，利用渐近均匀化方法对基本方程作渐近展开，得到一 套渐近耦合方程。利用一些定解条件( 界面耦合条件和周期性条件) ，在所得到的一阶 方程中，我们求解出零阶未知量和部分一阶未知量。再从零阶方程出发，只保留未知函 数的零阶量而消去所有高阶量，对所得到的方程进行平均后，我们就可以得到三组近似 方程，它们分别来自于固体平衡方程，流体平衡方程和流体连续方程。这样管束区可以 由这三个方程来描述而不含界面的耦合条件，因而可以将管束区域近似成一种均匀介 质，在进行有限元离散时只要对均匀介质进行网格划分，因而要比原问题容易得多。当 管梁数目越大时越能显示出这种方法的优越性，尤其适合于分析核反应堆堆心、热交换 器这类结构的动力特性问题。s c h u m a n n - b e n n e r 、b r o c h a r d h a m m a m i 的模型都是二维的。 张若京第一次给出了一个三维的管束均匀化模型，并指出，s c h u m a n n b e n n e r 、 b r o c h a r d h a m a m i 的模型是相同的，都是张若京模型的二维特例n 钔。 2 申请同济大学工学硕士学位论文第一章绪论 l3 本文研究的主要内容 本文在第二章简单介绍了考虑剪切效应的t i m o s h e n k o 梁的三维管束流固耦合 均匀化模型，以及这一模型的理论基础和导出过程；第三章介绍了相应的变分格式 和有限元离散格式。上面工作是在导师张若京教授的手稿“管束振动的剪切效应” 基础上完成的。第四章给出了具体的算例，结果表明：管束流固耦合系统的频率存 在明显的分组排列现象。密集分布在几个频率附近，导致这种现象的原因是相同结 构的周期性排列。采用渐近均匀化方法可以建立等效的管束三维均匀介质模型，由 于将管束耦合区看成了均匀的介质，因而有限元网格的划分比较自由，通过算例表 明可以将多个管梁划分在一个单元内，而不降低计算精度但大大节省了计算量。体 现了均匀化方法较每根管梁“逐根分析 法的优越性和有效性。本文还与通用软件 a n s y s 计算的四根管梁的情形进行了比较，结果是比较一致的。 参考文献 1 h m 。w e s t e r g a a d ，w a t e rp r e s s u r e so nd a m sd u r i n g 鼬q u a k c s ，t r a n s a c t i o n s ，a s m e ，v o l ，9 8 ，( 1 9 3 3 ) 2 o c z i e n k i e w i c ze ta l ，n u m e r i c a lm e t h o d si no f f s h o r ee n g i n e e r i n g , j o h nw i l e y & s o n s ，( 1 9 7 8 ) 3 c a b r e b b i a , s w a l k e r , d y n a m i ca n a l y s i so f o f f s h o r es t r u c t u r e s ，( 1 9 7 9 ) 4 e h i n t o n , p b e t t c s s ，w ：i _ a w i s ，n u m e r i c a lm e t h o d sf o rc o u p l e dp r o b l e m s ，p r o c e e d i n go ft h e i n t e r n a t i o n a lc o n f e r e n c eh e l da tu n i v e r s i t yc o l l e g e ，s w a n s e a7 t h - 1l t h , s e p t e m b e r1 9 8 1 5 o c z i e n k i e w i c z , p b e t t e s s ，h u i d - s l n m t u r ed y n a m i ci n t e r a c t i o na n dw a v ef o r c e s ，a nm 仃o d u c f i o nt o n u m e r i c a lt r e a t m e n t i n t j n u 札m e t h e n g r g ，1 3 ，1 ( 1 9 7 8 ) ：1 - 1 6 6 居荣初，曾心传编著，弹性结构与液体的耦联振动理论，地震出版社，1 9 8 3 年3 月。 7 c o u p l e d f i e l da n s l y s i sg u i d e ，a n s y si n c ，2 0 0 2 1 0 。 8 b e l v i n s ，r d ( 1 9 7 7 ) f l o w i n d u c e dv i b r a t i o n s n e wy o r k ：v a nn o s t r a n dr e i n h o l d 9 p a i d o u s s i s m p ( 1 9 8 3 ) ar e v i e wo f f l o w - i n d u c e dv i b r a t i o n si nr e a c t o r sa n dr e a c t o rc o m p o n e n t s n u c l e n g d e s 7 4 ，3 1 - 6 0 l o l a i 虹a d a n dw a r r e n ，p ，g r o u p so fv e r t i c a lc y l i n d e r so s c i l l a t i n gi nw a t t j o u r n a lo fe n g i n e e r i n g m e c h a n i c sd i v i s i o n ，p r o c e e d i n g a s c e ，8 9 ( e m l ) ( 1 9 6 3 ) 2 5 3 5 11 s s c h e n , d y n a m i cr e s p o n s eo ft w op a r a l l e lc i r c u l a rc y l i n d mi nal i q u d , j o u r n a lo fp r e s s u r ev e s s e l a n dt e c h n o l o g y , t r a n s a s m e9 7 ( 1 9 7 5 ) 7 8 8 3 3 申请同济大学工学硕士学位论文第一章绪论 s s c h e n , v i b r a t i o n so far o wo fc i r c u l a rc y l i n d e r si nal i q u i d , j o u r n a lo fe n g i n e e r i n gf o ri n d u s t r y , t r a n s a s m e ，v 0 1 9 7 ，n o 4 ，s e r i e sb ，1 9 7 5 ，1 2 1 2 1 2 1 8 m p p a i d o u s s i s s s u s sa n dm p u s t e j o v s k y , f r e ev i b r a t i o n so fc l u s t e r so fc y l i n d e r si nl i q u i d f i l l e d c h a n n e l s ，j o u r n a lo fs o u n da n dv i b r a t i o n5 5 ( 3 ) ( 1 9 7 7 ) 4 4 3 - 4 5 9 u s c h u m a n n , h o m o g e n i z e de q u a t i o n so fm o t i o nf o rr o db u n d l e si nf l u i d 嘶也p e r i o d i cs t r u c t u r e ， i n g e n i e u r - a r c h i v5 0 ( 1 9 8 1 ) 2 0 3 2 1 6 u s c h u m a n n ，v i r t u a ld e n s i t ya n ds p e e do fs o u n di naf l u i d - s o l i dm i x t u r ew i t hp e r i o d i cs t r u c t u r e ，i n t j o f m u l t i p h a s ef l o w7 ( 6 ) ( 1 9 8 1 ) 6 1 9 - 6 3 3 j b e r m e ra n du s c h u m a n n , a n a l y t i c a li n v e s t i g a t i o no fao n e - d i m e n s i o n a lh o m o g e n i z a t i o nm o d e lf o r ap r e s s u r i z e dw a t e rr e a c t o rc o r e ，n u c l e a re n g i n e e r i n ga n dd e s i g n6 6 ( 1 9 8 1 ) 4 1 3 - 4 2 6 j b e b n c r ) h o m o g e n i z e dm o d e lf o rf l u i d - s t r u c t u r ei n t e r a c t i o no ft h ep r e s s u r i z e dw a t e rr e a c t o rc o r e i n t e r n a l sd u r i n gb l o w d o w n ，n u c l e a re n g i n e e r i n ga n dd e s i g n9 0 ( 1 9 8 5 ) l - 11 d b r o c h a r da n dl h a m m a m i ，ah o m o g e n i z a t i o nm e t h o da p p l i e dt ot h es e i s m i ca n a l y s i so fl m f b r c o r e s ，s m i r t11t r a n s a c t i o n sv 0 1 e ( a u g u s t1 9 9 1 ) ，t o k y o ，j a p a n , 4 9 7 5 0 3 张若京，统一的管阵流固耦合介质均匀化模型，力学学报，第2 9 卷，第2 期，第2 2 0 2 2 3 页， 1 9 9 7 z h a n g ，1 l j ，au n i f i e d3 - dh o m o g e n i z a t i o nm o d e lo f b e a mb u n d l ei nf l u i d , j o u r n a lo fp r e s s u r ev e s s e l t e c h n o l o g y , v 0 1 1 2 0 ，5 6 - 6 1 ，1 9 9 8 21 z h a n g ，r j ，s t r u c t u r a lh o m o g e n i z e da n a l y s i sf o rn u c l e a rr e a c t o rc o r e ，n u c l e a re n g i n e e r i n ga n d d e s i g n ，v 0 1 1 8 3 ，1 5 1 - 1 5 6 ，1 9 9 8 4 心 坞 心 垢 拍 玎 坞 均 加 申请同济大学工学硕士学位论文第二章考虑剪切效应的管束方程 第二章考虑剪切效应的管束方程 管束的三维均匀化模型已经在文献n - 1 2 1 中提出了。因为对于其中的管梁采用了 e u l e r 梁理论，所以适用于细长管梁的管束。然而在某些情况下，管梁的横向剪切变形 是不可忽略的。例如多层复合管梁以及粗短的管梁等等。 本章简单地介绍了采用t i m o s h e n k o 梁理论，即考虑剪切效应的管束三维均匀化模 型。这一工作是在导师张若京教授的手稿“管束振动的剪切效应”基础上完成的。和 e u l e r 梁理论的管束模型相比，t i m o s h e n k o 梁理论的管束模型中，增加了管梁截面的 转角作为独立变量。两个模型的类似之处是，都有一个无量纲的微结构参数，它刻划了 管梁的截面几何、排列花样以及疏密程度等特征。 2 1 基本方程 假定管束中的流体是无粘可压缩的，管梁是线弹性体。 1 ) 流体有以下控制方程： 连续方程： 动量方程： 丝+ p v j u ：0 d t 瓦d ) + p v , ( v ，v j ) = g ，一v ，p ( 2 - i ) ( 2 - 2 ) 式中，g 是流体的体力。v ，表示对空间坐标_ 求导，即v ，= 影苏，。坐标一设置在 管束上，其中x ，沿管梁轴线布置。本文中用英文字母表示三维下标。重复下标约定求和。 旦d t 表示物质导数，它与固定空间坐标对时间求偏导的普通导数昙有以下关系： 申请同济大学工学硕士学位论文第二章考虑剪切效应的管柬方程 i d ：昙+ v t v f ( 2 - 3 ) v一= 一 ： d t a t 采用小扰动理论。假设上式中的质量密度p 和流体压力p 分别用 p 2 p l + p ，p = p + p ( 2 - 4 ) 代替。式中，乃和万分别表示相应的平均值，是常数，而等号右端的p 和p ( 为了简 化记号，采用和左端相同的符号) 表示扰动值。同样，对于流速1 ，也应该分解成平均值 和扰动值的和。但因为管束内的流场是声学场，平均流速为零，所以流速1 ，就是流体的 扰动速度。假定管梁的横向位移是微小的，当然也有理由认为这种微幅运动所造成的流 体参数的波动也是小的。在以下推导中，凡小扰动值的高次项均舍去。 把( 2 - 3 ) 和( 2 4 ) 代入基本方程( 2 - i ) 和( 2 - 2 ) 后可以得到基于小扰动理论的无粘可 压缩流体的控制方程如下： 连续方程： 和动量方程： 另外，还有状态方程： 户+ 力v f y f = 0 一t + 飞i p g i = 0 力= c ；由 ( 2 5 ) ( 2 - 6 ) ( 2 - 7 ) 式中，c ，表示流体的声速，变量上加点表示时间导数，例如户= p ，等等。 | o t 2 ) 管梁满足以下方程： 三维弹性体运动方程： 几何方程： v o ；+ e = - j 蛾 ( 2 - 8 ) 占妒= 争( v + v ) ( 2 - 9 ) 6 申请同济大学工学硕士学位论文第二章考虑剪切效应的管柬方程 和连续方程： 6 ，+ 瓦vi 谚j = 0 式中，只是弹性体的体力。m 是位移。白和分别是应变和应力。 是弹性体的质量密度扰动和平均质量密度。平均质量密度同样是常数。 3 )耦合条件 在每一根管梁和周边流体的界面上，存在应力和法向速度连续条件： a 印n b2 一p n 和 v 口n 4 = 由n t ( 2 - 1 0 ) p s 帮s 分鼬 ( 2 - 1 1 ) 因为不考虑流体的粘性，所以对于沿管梁轴线方向的流速没有约束，这导致上述耦合条 件是平面耦合条件。上式中的刀口表示流固耦合界面上的法线方向的两个水平分量。本 文中用希腊字母表示二维下标。 以上方程配以整个管束的外围边界条件，管束端部条件，上下液面条件以及初始条 件，就构成了管束动力问题的封闭方程组。当管梁数量很大时，很难求解。采用渐近均 匀化方法可以建立一个简单而严格的数学模型。求解很方便。图2 1 给出了管束的示意 图。 局 ( a ) 管柬及整体坐标 图2 1 管束及两套坐标系 震飘 踅溆 ll j 1 、_ _ _ 一 巧 r 。 ( b ) 单胞及局部坐标 在这里没有提到管梁的本构方程，在下面引入t i m o s h e n k o 梁模型的时候，我们再 提出它的本构方程。 7 申请同济大学工学硕士学位论文第二章考虑剪切效应的管柬方程 2 2 渐近展开 在与管梁轴线垂直的截面上，既有管梁，又有液体，介质是不均匀的。如果称此截 面上每根管梁连同四周的液体为单胞，则此截面可以看作是无数单胞的拼接。如图 2 1 ( a ) 所示。为了描述质点的位置，我们除了在整个管束上建立整体坐标x = k 外， 还在单胞上建立局部坐标y = y 。 。见图2 1 ( b ) 。认为质点的位置矢量是整体坐标和局 部坐标两者的函数。其含义是，用整体坐标指示该质点在哪一个单胞内，用局部坐标指 示在该单胞内的何处。当然，这样一来，质点上所有的力学量也都是x 和y 的函数了。 其结果是，基本方程中的导数要发生如下变化， 例二如， 型剑：塑垒：上：剑：到+ 塑l 塑。 o x l ， 苏 l 。叙b 砂l 缸 单胞的边长与整个管束的尺寸相比很小。选择它们的比率占= l l l 作为小参数。 显然，管梁数量越大，这个小参数就越小，我们基于以下手续所建立的数学模型就越精 确。必须强调，由于单胞排列的周期性，所以凡是) ，的函数都是y 。的周期函数。周期 就是单胞的边长。 因为量级比较的需要，局部坐标与整体坐标须满足以下关系： y 。= x e ( 2 1 2 ) 把此式代入上边的导数展开热可怵n 刳，= 割，= 乱+ 三剖，j 这导 致基本方程中的求导算子v ，应该用v ，+ ! 三代替。 砂7 将所有未知函数展开成小参数占的渐近级数，例如，将流体压力写成： p = p ( o g ，y l ，y 2 ，t ) + 6 p o ) ( x ，y l ，y 2 ，f ) + ( 2 1 3 ) 然后令基本方程两端的占的各阶幂次的对应项相等，可以得到一系列的近似方程。其中， o g 一1 ) 阶近似是 叱= 0 p 譬= 0 o = 0 ( 2 - 1 4 ) ( 2 - 1 5 ) ( 2 一1 6 ) 申请同济大学工学硕士学位论文第二章考虑剪切效应的管束方程 o g 。) 阶近似方程是： o g l ) 阶近似是 盯= o 喵+ 喂= 0 屹= 0 屹= o 户夕+ 力勺，y p ) + v 鸵) = o 乃t ? ) + v 。p 。hp ，o 。一g ? ) = 0 力p + v 3 p 一q 。= o 声o = c ；醇) v ，硝+ 叫，+ 。= 厦砂7 v ，以岁+ d 2 ，+ 耳。= 兹趟。 磐= v 3 以 删= 三勺。磅+ v ，姑) + 也+ w 2 二) 璎= 圭勺，w ( o ) + v a w 5 0 ) + 吨) + 瓦( v ，可。) + 叱) = o 口i t 筇( o ) 甩户2 一p ( o ) 刀口 ，? = 姑玎氇 掣= v ，埘) 9 ( 2 - 1 7 ) ( 2 - 1 8 ) ( 2 - 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) ( 2 - 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) ( 2 - 2 4 ) ( 2 - 2 5 ) ( 2 - 2 6 ) ( 2 - 2 7 ) ( 2 - 2 8 ) ( 2 - 2 9 ) ( 2 - 3 0 ) ( 2 - 3 1 ) ( 2 - 3 2 ) ( 2 - 3 3 ) 申请同济大学工学硕士学位论文 第二章考虑剪切效应的管束方程 踢= 三勺。w 2 + v ，啦) + 喝+ 吆) ( 2 - 3 4 ) 占婴= 圭勺，啦) + v 。w 5 1 ) + 咆) o 跏p = - p o _ ，z 口 ，以4 = 畿刀口 这里，逗号表示对局部坐标儿求导。 2 3 方程的整理 1 ) 先求0 阶未知函数。由( 2 - 1 5 ) 和( 2 2 4 ) 式知： p 。= p 。( 工，f ) ，p 罗= p 夕g ，f ) ( 2 - 3 5 ) ( 2 - 3 6 ) ( 2 - 3 7 ) ( 2 - 3 8 ) 即0 阶流体压力p 。和0 阶流体密度硝都只是整体坐标的函数。代入( 2 2 3 ) ，可看出 廿同样仅是整体坐标的函数。这导致 v 5 0 ) = 廿g ，) 方程( 2 一1 6 ) 和( 2 3 1 ) 构成一个边值问题，其解为： a 嚣= - p 0 8 邸 其中，如是k r o n e c k e rd e l t a 。再由方程( 2 1 8 ) 、( 2 1 9 ) 和( 2 2 0 ) 得： ( 2 - 3 9 ) ( 2 - 4 0 ) 皑= 姑( x ，t ) 和叫。= 以。k f ) ( 2 4 1 ) 2 ) 求流体压力的1 阶量p ( 1 ) 的表达式。将方程( 2 2 2 ) 两端对y a 求导，利用( 2 1 4 ) 和 ( 2 - 1 5 ) ，得： p 盟= 0 将耦合条件( 2 3 2 ) 对屯和f 分别求导，可得： ( 2 - 4 2 ) - - p ，y 俚( 0 甩a = 乃磴刀a 和 可v ，埠刀口= 一，v 3 姑刀口( 2 - 4 3 ) l o 申请同济大学工学硕士学位论文第二章考虑翦切效应的管束方程 将( 2 2 2 ) 代入以上弟1 式，得： g ( o ) n 口一( v 口p d ) + p 璺- 。= 乃谚? 甩口 再将( 2 - 4 3 ) 的第2 式代入其中，得： p 2 稳口= g i o ) 挖口一勺。p ( o ) + 乃协? ) k 4 ( 2 - 4 2 ) 和( 2 - 4 4 ) 构成边值问题，其解为： p m = 一如。p 。+ 乃姑一砂) + p 0 ) 这里，算符( 厂) 表示函数厂g ，y ，r ) 在放大的单胞上的平均值，定义如下 ( 个南f ，厂咖协 ( 2 - 4 4 ) ( 2 - 4 5 ) ( 2 - 4 6 ) 平均值( 厂) 当然仅是整体坐标g ，) 的函数。又，( 2 4 5 ) 中的z 。是局部坐标的函数， 说明它是单胞上的函数，称为局部函数。局部函数x a 在放大单胞的流体域弓上满足以 下定解问题： z 。御= 0 黔m - n a ，蕊函数，周期是单胞蝴 ( 2 4 7 ) = y 和j ，2 的周期函数，周期是单胞边长， ( ) = o 这里，f = ，：nr ：是放大单胞内的流固耦合界面；啊，开：是放大单胞内流体域在r 上的 外法线方向矢量。函数x a 定义在单胞上，称为局部函数。 2 4 均匀化方程 下边，我们从o g 。) 阶近似方程出发，导出蕞终的均匀化方程。其步骤是在o g 。) 阶 近似方程中只保留未知函数的0 阶量而消去所有高阶量。然后对得到的方程进行平均。 从这个意义上说，我们得到的最终方程是0 阶近似方程，或者说是2 级近似方程。 2 4 1 第一方程 对流体连续方程的0 阶近似( 2 2 1 ) 取平均，即作运算( ) ，整理后可得： 申请同济大学工学硕士学位论文第二章考虑剪切效应的管柬方程 式中： 印夕+ 元乃v ，v p + 乃v 。( v ? ) + 乃丽i v 2 三咖= 。 ( 2 4 8 ) v 如咖= f v 讲竺工皑讲= 一量吧咖 竺攻等帆矽舻( 4 1l l ( 等誓叫 4 9 ， 式中，用到了关系p ( o ) = p p g ，f ) 。又因为s c h u m a n n n 3 1 曾给出过关系 p p o = c 。2 ，一p ，o ) 。由此，有： 户o ) - z p ( o ) ( 2 5 0 ) 式中：c s 表示声音在固体中的传播速度。再根据( 2 2 8 ) 即得上述关系。把( 2 4 9 ) 代入 ( 2 - 4 8 ) ，得： 砉户詈叽( ( 竹0 一兄彬) + 胛，以= 。 5 1 ) 由( 2 - 2 3 ) ，得： 乃哥5 0 = 一v 3 p d + g o ( 2 - 5 2 ) 将( 2 5 1 ) 对时间r 求导，再把( 2 - 5 2 ) 代入，利用( 2 2 4 ) 和( 2 - 5 0 ) ，最终得第一方程： b + 虿i - i 0 l + 乃v 口【( 拶) + ( 一砖) 】- 胛3 v 3 p ( o ) + 胛，g = 。 ( 2 5 3 ， 式中，参数九= l 墨l 1 x l 2 l 巧l l ，1 是管束的流体面积比； l x l 和i 卅分别是单胞和放 大单胞的面积；i _ l 和阿| 分别是单胞和放大单胞内的流体面积。 2 4 2 第二方程 将( 2 4 5 ) 代入流体动量平衡方程的0 阶近似( 2 - 2 2 ) ，再对结果取平均，得第二方程： 乃( 蟛) = 彳够( g 箩一v ，p 。) 十乃磅 1 2 ( 2 - 5 4 ) 申请同济大学工学硕士学位论文 第二章考患剪切效应的管柬方程 这里，引入参数： ( 2 - 5 5 ) ( 2 - 5 6 ) 其中：微结构参数是附加流体横截面积。微结构参数如则是非附加的流体面积。 他们的具体的物理意义请参见“微结构参数这一节。 2 4 3 第三方程 首先，以下恒等式成立 k a 篙。s 匆= 一1 9 轨订 把( 2 2 5 ) 和( 2 3 6 ) 中的a 臻代入，并利用( 2 4 5 ) ，易得： 量伍砖一f a 0 一v ，0 - 叼( 0 匆一知矗( v ，p 吣+ 乃哕一凹涉= o ( 2 - 5 7 ) 两端同除l 卅，再将( 2 4 0 ) 代入