（概率论与数理统计专业论文）一类带移民的马尔可夫分支过程.pdf

原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特另l ld n 以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材 料。与我共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明 确的说明。 作者签名：醢姿日期：璋年卫月丛日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论 文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或 部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授 权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全 文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 日期：上丑年旦月丛日日期：型年旦月丛日 摘要 分支过程是一类非常重要且应用广泛的随机过程。在国内，外已 有很多的专著2 1 1 6 1 1 3 2 】【4 2 】【4 3 】。对分支过程进行系统的论述与深入的研究 就有着十分重要的理论意义和应用价值。 本义在定义经典分支过程的基础上，通过改变q 矩阵的状念讨论了 一类状态独立的移民分支过程。首先给出了该过程q 一矩阵的定义，重 点分析了定义中两个序列生成函数的性质，在此基础上推导出了带移 民分支过程q 一矩阵本身的重要性质与有关的结论。接下来介绍了过程 的正则性与唯一性的有关概念，给出了q 一矩阵正则与过程唯一性的判 定准则。本文的重点是讨论了过程的灭绝概率和灭绝时间，分别给出 它们定义和求法。最后讨论了过程常返性，给出了q 矩阵常返的充要 条件。 关键字马尔可夫分支过程，移入，移出，正则，唯一，灭绝，常返 m a r k o vb r a n c h i n gp r o c e s sw i t hi m m i g r a t i o na n dm i g r a t i o n a b s t r a c t m a r k o vb r a n c h i n gp r o c e s si so n eo fe x t r e m e l yi m p o r t a n ts t o c h a s t i c p r o c e s s ，i ti sv e r yw i d e l yu s e d t h e r ea r em a n ym o n o g r a p h s o v e r s e a sa n d i nt h ed o m e s t i c s oi ti sv e r yi m p o r t a n tt op u tf o r w a r dt h es y s t e m a t i c d i s c u s s i o na n di n d e p t hr e s e a r c h i nt h ep a p e r , w ed e f i n et h ec l a s s i cb r a n c h i n gp r o c e s sf i r s t l y i nt h i s f o u n d a t i o nw ec o n s i d e r e dam o d i f i e dm a r k o v b r a n c h i n g p r o c e s s i n c o r p o r a t i o nw i t hb o t hs t a t ei n d e p e n d e n ti m m i g r a t i o na n dm i g r a t i o nb y m e a n so fc h a n g i n gt h e q - m a t r i x w e d e f i n et h a t q m a t r i x o f i m m i g r a t i o na n dm i g r a t i o np r o c e s s a n da n a l y s i st h en a t u r eo ft w o g e n e r a t e df u n c t i o n si nt h ef i r s tp l a c e ；o nt h eb a s eo ft h e s e ，w ec a ng e t s o m ei m p o r t a n tq u a l i t i e so ft h a tm a t r i x a sap r e p a r a t i o n ，t h ec r i t e r i af o r r e g u l a r i t ya n du n i q u e n e s sf o rs u c hs t r u c t u r ea r ee s t a b l i s h e d t h ee x p l i c i t e x p r e s s i o n sf o rt h ee x t i n c t i o np r o b a b i l i t i e sa n d m e a ne x t i n c t i o nt i m e sa r e p r e s e n t e d ，w h i c h i st h em o s ti m p o r t a n tp a r to ft h ea r t i c l e a tl a s t ，t h e c o n d i t i o n sf o rr e c u r r e n c ea r eo b t a i n e d k e y w o r d sm a r k o vb r a n c h i n gp r o c e s s ，i m m i g r a t i o n ，m i g r a t i o n ， r e g u l a t i t y , u n i q u e n e s s ，e x t i c t i o n ，r e c u r r e n c e i i 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第一章绪论l 1 1 选题的背景及意义1 1 2 研究现状3 1 3 本文的主要工作3 第二章预备知识5 2 1 概率母函数5 2 2 马尔可夫链【2 9 】6 第三章q 一矩阵的基本性质1 2 3 1 母函数的性质1 2 3 2 转移函数的性质1 4 第四章唯一性l7 4 1 f 则性l7 4 2 唯一性2 0 第血章灭绝性2 2 5 1 灭绝概率2 2 5 2 灭绝时间2 6 第六章常返性3 2 第七章实例3 5 总结与展望3 7 参考文献3 8 致谢4 2 攻读学位期间主要的研究成果4 3 硕：t 学位论文 第一章绪论 1 1 选题的背景及意义 第一章绪论 自然界的某一物种的繁衍，原子反应堆中质点的裂变，人体中某类细胞的分 裂等现象的研究中，常常要涉及到一类很重要的随机过程模型一分支过程。这类 过程是怎样提炼出来的呢? 它的概率特征是什么? 下面我们首先来看这样一个 例子：( 细胞分裂) 考虑人体中某种细胞的分裂的现象。设在时刻0 人体中某种 细胞的个数为托，经过一个单位时问以后，这k 个细胞中的每一个可分裂成0 个( 即死亡) ，1 个( 即不分裂) m 个等等。由于营养，药物刺激，运动， 疲劳等因素的影响，一个细胞分裂成m 个是有确定的概率p 。的，其中p m 0 ， 且有p m = 1 一般可以假定各个不同的细胞的分裂结果是相互独立的，而且具 有z 厶k 死t - o u j 川。 ：聊0 ) 于是： 。 五= g ” 日l 仿之有： 。一i 以= ( 刀1 ) i = 1 其中 g ”：胛= 1 ，2 ，待1 ，2 ， 相互独立具有公共分布。下面我们给出这类模型 的数学定义： 定义1 1 设 g ”) ：刀= 1 ，2 ，i = 1 ，2 ， 是概率空间( q ，f ，尸) 上的一族独立同 分布的取非负整数的随机变量，其公共分布为 p 。：m 0 ) 。若x o 是( q ，f ，p ) 上 的任一取正整数的随机变量，且： x 。， 咒= 鲁神( 刀1 ) ( 1 一1 ) i = 1 则称 以：以= o ，1 ， 是一个离散时间的分支过程或分支链，这就是所谓的 g a l t o n w a t s o n 分支过程。它是g a l t o n 和w a t s o n 在18 7 4 年探讨英国贵族姓氏 继承和谱系消亡问题中建立的一种随机过程模型即金典分支过程，也称为g w 分支过程。它是一类参数空间和状态空间都为离散集的特殊的马尔可夫链，广泛 应用与近代物理，生物，医学，化学，经济等诸多领域。例如在家族姓氏生存过 硕十学位论文第一章绪论 程中，设p 。表示一个新生者繁衍出m 个后代的概率，如果 p 。：m 0 对于各代 都为常数，那问题就是计算t j l 蛰j 第一代时成员数目为k 的概率是多少。我们特别 关心的是家族姓氏的消失( 即k = o ) 的概率和在什么情况下姓氏可能消失。高尔 顿( g a l t o n ) 1 8 7 3 年首先研究了这个问题，之后他和瓦特森( w a t s o n ) 合作与 1 8 7 4 年给出了它的初步解，并创立了分支过程，开启了分支过程的研究。随着 概率统计，随机过程及其他相关学科的不断发展，1 9 3 0 年狄芬森( s t e f f e n s e n ) 给出了这个问题的完整解。 我d l j 矢h 道生命现象常常以大量重复的形式出现，义受剑多种外界坏境和内 在因素的随机干扰，因而使得金典分支过程在应用上受到了一定的限制。自 s t e v e no r e y1 9 9 1 年在概率年刊( t h ea n n a l so f p r o b a b i l i t y ) 发表的特邀论文“随 机平稳转移概率的m a r k o v 链”以来，随机坏境过程研究十几年来在国外一直很 时髦。自然这也引起了国内一些学者的关注和参与。如北京大学陈大岳教授【2 4 j 【2 9 j 的随机树上的随机游动研究；武汉大学胡迪鹤教授i 3 3 1 书f 4 l 等的随机坏境中线性控 制分支链研究以及随机坏境中生灭过程研究【4 8 1 。f 5 1 1 都得到了很好的结果。但随机 坏境过程研究，溯起根源首开先河的是对随机坏境分支过程的研究。为弥补g w 分支过程因时齐性假设而造成的应用上的局限性，随机坏境分支过程在这种背景 下应运而生。这一概念最早有s m i t h 和w i l k i n s o n 提出。随机坏境分支过程， 其第门代的个体独立繁殖第刀+ 1 代新个体，不再像g w 分支过程一样依赖与一 个不变的概率分布律 p 。：m 0 l 或概率母函数( s ) ，而是随刀的不同依赖于由 坏境 昴 的状态所决定的概率分布律。 p ，( 岛) ：j = o ，l ，2 或概率母函数 ，f s l 。作为金典分支过程的自然延拓与发展，随机坏境分支过程可以更如实更 逼真的模拟自然界中许多物种的繁衍演化，从而起研究结果可以更合理的解释人 们在现实世界物种繁衍过程中观察到的各种现象，并且也可以用于人口理论，基 因遗传，粒子裂变及流行病学等领域。由于分支过程具有马尔可夫性，且可视为 以0 为吸附壁的种随机游动，故其研究结果与方法对研究随机坏境马尔可夫 过程和随机环境随机游动，以及更一般的随机环境随机过程都有一定的启发性和 指导意义。 综上所述，在随机系统分析的研究中，分支过程是一类非常重要且应用极 为广泛的随机过程，虽然在国外分支过程从理论到实践应用的研究都已非常成 功，而我们国内首先是从事这方面研究的人员较少，其次对分支过程应用的研究 也不多见。因此本文首先引入g w 分支过程，然后在g w 分支过程的基础上通 过增加一个线性调控函数，引入一类带移民的分支过程，通过对过程q 矩阵的 2 硕十学位论文第一章绪论 研究得出了一些重要的结论。 1 2 研究现状 分支过程从创立到今天已经发展了一个多世纪，逐渐从单一性走向多样化。 分支过程的发展大致经历了从g w 分支过程【3 0 】【3 u 到两性分支过程例再到随机环 境分支过程【4 9 j 三个主要阶段。 g w 分支过程模型是假设过程发展过程中不同个体相互独立，遵循相同的分 稚律，这在当时能解决很多诸如姓氏消亡的问题，发展期问h a r r i s ，a t h r e y a ， n e y 等人又将g w 分支过程进行了推广，出现了多重分支过程模型和移民分支过 程模型，对这些模型进行深入探讨并发表了一系列研究成果，这些模型在近代物 理，生物，人口及社会科学中有广泛的应用。 到了本世纪七八十年代，d e l a y 在他的文章中最先引进了两性分支过程模 型，于是很多学者又开始关注两性分支过程，这是对之自仃研究的单性分支过程的 一个补充，使分支过程更加接近实际，符合自然规律，进一步扩大了它的应用范 围。对这方面的研究有贡献的有：d e l a y ，g e r o l d ，h u l l ，b r u s s 等人。 近年来，对分支过程的研究热点转向了随机环境中的分支过程( b p r e ) ，这 一概念最早由w i l k i n s o n ，s m i t h 提出，他们在一般的g w 分支过程的基础上通 过增加环境变量于1 9 6 9 年建立了独立同分布随机环境中的分支过程，通常称为 s w b p r e 。并且在1 9 7 1 年推出了马尔可夫环境中的b p e r ，i 司年a t h r e y a 和k a r l i n 又建立了平稳遍历环境中的b p e r 。我国学者胡迪鹤，卢准炜和刘汉生等人也发 表了一系列关于b p r e 的文章。b p e r 的建立充实了现代分支过程理论，在某种 意义上弥补了g w 分支过程因时齐假设而造成的应用上的局限，用它可以得到 更精确的更深刻的结果。 1 3 本文的主要工作 作者在阅读了李俊平教授和陈安岳教授大量的关于分支过程【4 2 】【4 3 】文章后， 提出了一类带移民的分支过程。首先定义了该过程的g 矩阵，在给出模型定义 的基础上，利用概率工具，随机过程及其他数学原理，严格推导出了该过程的一 些重要性质和结论。在此基础上给定了过程正则性及唯一性的判定准则，重点讨 论了灭绝概率及求法，讨论了灭绝时间的上界估计，得出了过程常返的充要条件， 最后给出了一个实例，具体说明了文章的一些重要结论。 本文共分为七章，主要内容如下： 硕十学位论文第一章绪论 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 主要介绍本文的选题意义，包括题目的理论价值与实际意义。 作为全文的预备知识，介绍了概率母函数与马尔可夫链的相关内 容，给出了带移民的分支过程的定义。 严格推导了该过程的一些重要性质与结论。 给出了过程正则性及唯一性的判定准则。 这是全文的重点，在这一章，较详细的介绍了灭绝概率及灭绝时 间，讨论不同条件下灭绝概率的求法和灭绝时间的上界估计。 得出过程常返的几个充要条件。 用一个实例来具体说明文章中的一些重要结论。 4 硕十学位论文第二章预备知识 2 1 概率母函数 第二章预备知识 定义2 1 设扫。， o 是一实数列，如果函数项级数矽g ) = p 。s ”在一区 问( s 。，s 。) 中收敛，则称矽g ) 是数列扫。，甩o ) 的母函数。 定义2 2设x 是取非负整数值的离散型随机变量，其概率分布为 p = p 似= 尼) ， k = 0 , 1 ，2 ， 则 矽g ) = p 。s 。，i st o 【0 ， n20 则x 是一个取非负整数的随机变量，x 的母函数为：办g ) = g 陟g ) 】 2 2 马尔可夫链【2 9 1 g w 分支过程的实际背景比较强，这是由于它是属于随机过程理论中一个 特例，其基础来源于占主要地位并有较为普遍意义的马尔可夫链。 马尔可夫链( m a r k o vc h a i n s ) 是一类重要的随机过程，它的状态空问町以 使有限的或无限的。经过一段时间系统从一个状态转到另一个状态，这种过程只 依赖于当前的状态而与以前的历史状态无关。马尔可夫链有着广泛的应用，也是 研究分支过程的重要理论基础，因此，我们这里有必要先对它作一个简单的介绍。 定义2 1 设e 可数，称，) ，o 为马氏链，若对一切0 t i t 2 f 。和 0 ，2 ，f 。e ，下述马氏性成立： 尸 = i 一。= i i ，一。= 乇一1 = 尸 置。= iz 。= 一。 此链称为时齐的，如果 尸 z = jlk = f 】_ p 【墨一，= jk = 小= p u ( 卜s ) 此时，记尸o ) = p 盯o s ) ，并称之为转移概率矩阵，显然，它具有如下性质： ( 1 )非负性 p ( ，) 0 ，0 ； ( 2 )范条件 p o ) l = i ，即p ，( ，) = i ， f o ； ， ( 3 ) c - k 条件( c h a p m a n k o l m o g o r o v 方程) p o + s ) = p o 妒( s ) ； ( 4 ) 连续性条件( 跳条件) l 。i ，m 。p ( t ) = l = ( a q ) 1 9 3 6 年，k o l m o g r o v 证明了如下结果： 忉掣：；，l 加i mp , ”，( t ) = ：g 矿。u z ) ( 2 - 2 ) 6 硕十学位论文第二章预备知识 而且q 盯g ，。如已知极限存在，则后一结果是下式 f 业：剑 ： 智t 7 及f a t o u 引理的简单推论。极限的存在性远非平凡，因为上面的( 4 ) 只假定了 连续性，为导出零点的可微性自然不够，需要用到其余的性质。例如，第一个极 限的存在性使用了次可加函数的性质。记g = ( 吼) ，并称之为9 - 矩阵。留心研可 以为o o ，而且u j 。能出现q ， q ，。这些情况在数学上产生诸多困难，好在应用 中所需的几乎都用不着这么复杂。 定义2 2 称g 矩阵： ( 1 ) 全稳定：如对一切i ，- q ， 0 ，j _ o ) 窆胪- ”1 ( 2 9 ) = 6 q j 撇开概率空问及随机过程，纯分析地说，任意一个满足( 2 9 ) 的( 准) 转移矩阵p ( t ) 都称为分支( 准) 转移矩阵。 命题2 1 设尸( f ) 是任何一个标准的分支准转移矩阵， p ( o ) = 9 = ( 劬( f ) f ，j o ) ，则： g ，：j 色一“，兰：亍1 j 一1 ( 2 - 1 0 )g ，21o j 其他 此处：瓯o ( k 1 ) ，0 一岛= 钆 o o 下面我们给出本文讨论的一类带移民的分支过程的q 一矩阵q 的定义： 定义2 7 带移民的马尔可夫分支过程的q 矩阵q ( 简称为m b p i mq 一过 程) 的定义为：存在正整数m 1 ，使： 1 0 硕十学位论文 第二章预备知识 吼= p + 1 矽一+ 口一川篓沦卢卜m 协 这罩有： r a j = o ( 聊) ，口，o ( p 所) ，0 0 时，则b ( j ) = o 有一个正实根吼( o o r o 1 ) 满足：当0 s o ；当 s 1 时， b ( s ) 0 ，则( 尼一所+ 1 ) b ( s ) + 么( s ) = o 有一个正实根 & ( 0 唧 1 ) 满足：当0 s 0 ：当& s 1 时， ( 七一m + 1 ) b ( s ) + 彳( s ) 0 ； ( 4 ) 如果彳( 1 ) = + o orb o ) - o ，或o 彳( 1 ) 佃rb ( 1 ) = o ，那么对任意 1 2 硕十学位论文 第二章q - 矩阵的基本性质 七m ，方程( 七一删+ 1 ) 艿( s ) + 彳( j ) = o 在【o ，l 】上有唯一的根& ，且& 是七的增函 数满足：；a m & = l ； ( 5 ) 女果彳( 1 ) 一且b ( 1 ) o ，当胚妖一器时，方程： ( 七一聊+ 1 ) b ( s ) + 彳( s ) = 0 有一个根卧( 0 s k 0 ，因此由( 3 ) 可知( 七一所+ 1 ) b ( s ) + 彳( s ) = on 唯- - n g ts k ( 0 唧 1 ) 。假设聊 k l k 2 和，殴：是e ( j ) = o 相应的根，则有： e ，( 唧，) = e ：( & ：) = o ，又因为对一切的( 0 0 x n n ：当s ( o ，& ：) 时，有e ：( s ) 0 ；当s ( & ：，1 ) 时，有e ：( s ) 0 说明 ：；这就证明了气n _ k 的增大而增大。 设s = ! i m ，则s 1 ；如果j 1 由( 2 ) 可知对一切k m 有e ( s ) o ，因此：当后一佃，巧( j ) = ( 七一优+ 1 ) 召( ；) + 彳( ；) 一+ o o 与e ( ；) m j c o ( f ) 衍 m ) 且对任意的f 所及j 【o ，1 】都有： 1 4 ( 3 - 4 ) ( 3 - 5 ) 目， 。脚 以 、l ， +m一尼 ，j、 、l， s ，j 8+ 硕+ 学位论文 第二章q 一矩阵的基本性质 ( j c o ( ，) 衍) ” m ， fp , 所( ，) 衍 ；重复使用向前方程可得： r 肌( ，) 斫 o o ( 七聊) ，l 天l l h s ，l - ，i m 。p , k ( t ) = o ( i ，七聊) ，所以( 3 4 ) 和( 3 - 5 ) 得证。 下面我们来证( 3 - 6 ) ：首先考虑0 b ( 1 ) + ，此时b ( s ) = 0 有一个根 o - o ( 0 o - o 0 ，由引理3 1 ( 3 ) n - i 得：( 一朋+ 1 ) b ( s ) + 彳( j ) = 0 ，有一个根s “( o ，1 ) 使得：当s ( s 护1 ) 时； ( - m + 1 ) b ( s ) + a ( s ) 0 ；2 疋n 奠jns ( o - o ，1 ) ( 【o ，1 】) 时，有：b ( j ) 0 ； 所以对所有的s ( vs k o ，1 ) ，根据( 3 - 2 ) 可得： p ( f ) s 。4 ( s ) p ，( t ) s 扣”+ f f k o 一所+ 1 ) b ( s ) + 爿( s ) p 。( t ) s 卜” 孙舯卜堕等篙一 接下来我们考虑b 1 ( 1 ) 0 ，当0 么( 1 ) 0 ；由( 3 2 ) 可得： 缸( ，) - 7 = 彳( ；) j 艺= m 岛( 峒巾柏( ；) j 主= m ( - m + 1 ) p o ( 峒一 彳( ；) 砉岛( 峒卜”+ 咿姜。( j - m + 1 ) p o ( 州；) m 由上面的不等式对，积分可得： 1 5 硕十学位论文 第三章q - 矩阵的基本性质 ，霉o 所以有： p o ( ，) ( ；) 7 一( ；) ( 七一聊+ 1 ) b ( ；) + 彳( ；) ，萎。( f 岛( 誓) 幽) ( j ) 广 瓤引酬习m 趔笔篇紫盟 在f 上式中令，结合协4 ) 可双，妻。( f 岛( 甜) 幽州一 o 。； 当b ( 1 ) 0 ，0 a 。( 1 ) + 时则存在f 整数k 聊，使得： ( k - m + 1 ) b ( 1 ) + a ( 1 ) 0 ，同理根据( 3 2 ) 可得： p y ( ，) s 7 = o = 彳( j ) 所( t ) s 卜”柏( s ) ( 一m + 1 ) 既( ，) s 卜 j = mj = m 由上面的不等式对，积分可得： 所以有： = 0岛( ，) s ，一s ( k - m + 1 ) 曰( s ) + 彳( j ) | ，姜( f 岛( z ，) 幽弦m + a ( s l y 、，r 一 ( f 岛( 甜) 幽姆m = k + l j = 脚 ( f 岛( “) 幽矿” ( ，p j - s - a ( j ) 高( f 岛( “) 幽) ( 七一所+ 1 ) b ( j ) + 彳( s ) 在上式中令，个结合( 3 4 ) 同理可得： 综上( 3 6 ) 得证。 1 6 j = k + l( j c o 岛( “) 幽弦一 o ) 是一个保守的g 矩阵，云1 是一个整数，定义 一个新的g 一矩阵q = ( 吼+ ；f ，o ) 其中： 。f q 盯， 若f 乏 。k 其他 则q + 也是一个保守的q 一矩阵，且如果q 正则，q + 也f 则。 i i f _ ：p 的保守性是显然的，现证其正则性。假设o 不正则，则方 p 】，2 y 有非负有界的非平凡解；对某个五 0 ，用】，= ( m ；f o ) 来表示这个解， 当f 后时，辨= 0 。下面我们证明】，= ( 咒；f o ) 也是方程q 】，2 y 的解：当f 石时， ( q 】，) ，= 劬y j = q o y j o = 兄咒，所以有乃= o ；当， i ，( 9 】，) ，= ( q + 】，) ，兄m ； 所以y = ( 只；f 0 ) 也是方程o y 2 y 的解，可得o 不正则与题设矛盾。因此假 1 7 硕+ 学位论文第四章唯一性 设不成立，即q 正则。 ： 定理4 1一个m b p i mg 矩阵是j 下则的，当且仅当下列条件成立： ( 1 ) b ( 1 ) 佃； ( 2 ) b ( 1 ) = 佃，且对任意s ( ，1 ) ，其中o o 是b ( s ) = 0 的正实根，满足 f 轩 证明： 如果b ( 1 ) 0 ，由引理3 1 ( 2 ) 及( 3 3 ) 可得对任意0 s 1 有： 五唬( 兄) s7 一s 彳( s ) 丸( 五) s 。” ( 4 1 ) ，= 0，= 卅 在上式中令s 个1 得：五吮( 五) l ；又因为五唬( 五) 1 ，所以五谚，( 五) = l ； 1 = 0i = 0y = 0 即p u ( ，) = 1 这说明g - 过程是诚实的，因此g 一矩阵正则。 j = o 我们假设o b ( 1 ) + o 。，根据引理3 1 ( 2 ) 可知b ( s ) = o 有一个j 下实根 吼( 。 0 ，因此存在一个万( o 0 ，1 ) 满足： = 0 “旯喜办( a ) s 兰且k r ，s ( 甜) ( 4 - 2 ) 又因为当j ( 万，1 ) 时，b ( s ) o 由( 3 3 ) 可得：对任意s ( 6 ，1 ) 有： 1 8 硕十学位论文 第四章唯一性 。s 一兄力( 允) j7 十月( s ) 吮( a ) s 广”_一 叫 ，、 ( 一肌+ 1 ) 唬( 五) s 卜”= j = 朋一b ( s )r l - 4 b 丽( s ( 4 3 ) 一 ) 一一 在( 4 3 ) 中对s 从万到1 积分可得： 艺i = m 水) e 1 - s j - m + hf 卉。+ o o 4 ) 很明显上式是矛盾的! 因此g 矩阵是正则的。 下面我们来证必要性：假设g 矩阵是正则的但对于一切g ( ，1 ) 有： - 轩 如，j o ( p o + ( f ) ；f ，o ) 表示f e l l e r 最小g - 过程。由引理4 2 可知若9 正则，q 也j 下则。 跟( 3 1 ) 的推导相似我们同样可以得到：对任意的s ( o ，1 ) ，i 有 岛一( f ) s ，- a ( s ) 岛+ ( f ) s 卜”+ b ( s ) ( 一朋+ 1 ) 岛+ ( ，) s 产” ( 4 5 ) j = oj = “+ l j = “+ l 从l ia n dc h e n t 4 9 1 中我们可以得到： 烛岛( f ) = 0 ，i _ k o + l ( 4 _ 6 ) 在( 4 5 ) 中对s 从g 到1 积分，则对任意i k o + l ，s ( 氏，1 ) 有： ，砉。岛(，)(_f，一m+，)：f!l；!：21：!j：!：!：一 c 4 7 ， 又因为当j ( ，1 ) 时b ( s ) _kot + l _ 一。、7 ( 4 9 ) 另一方面，因为当k o 时，有声( 岛) + 彳( ) 0 ，在( 4 7 ) 中令s = 氏 k o + l ( 4 1 0 ) 最后由( 4 1 0 ) 可以推出： “ l i m p u ( f ) f , 0 t - k 。 1 、， 上式与( 4 - 9 ) 矛盾。所以对一切s ( c r o ，1 ) 有： 综上定理4 1 得证1 4 2 唯一性 f 卉2 定理4 1 介绍了m b p i mq 矩阵正则的判定准则，然而如果一个保守的q 矩阵q 不正则，那么就会存在无限多个g 函数。下面的结论表明即使一个 m b p i mg 一矩阵不正则，仍然只存在唯一一个g 函数( f e l l e r 最小g 函数) 满 足k o l m o g o r o v 向前方程。 定理4 2 有且仅有一个m b p i mq 一矩阵满足k o l m o g o r o v 向前方程。 证明： 通过定理4 1 ，我们知道当b ( 1 ) o 或o 召( 1 ) 佃时，g - 矩阵q 正则，所以是唯一的。下面我们考虑b ( 1 ) = 佃，此时b ( j ) = o 存在一个根 硕+ 学位论文 第四章唯一性 吼( o 0 方程： 1 0 j ，；k o ( 4 1 2 ) 对上式两边同乘s ”，再对刀0 求和可得： 因此有： 此，= b ( s ) ( 玎一所+ 1 k s ”+ a ( s ) z y o s ”， i s l l ( 4 - 1 3 ) n = 0 = 坍 n = 0 1 m - i z y 。s ”+ ( s ”一彳( s ) ) 此s 加= b ( s ) ( 门一掰+ l 耽一，h 1 ( 4 - 1 4 ) n = 0 r t = mi t = m 因为b ( 1 ) = + ，由引理3 1 ( 2 ) 有b ( s ) = o 有一个j 下实根【o ，1 ) 且当s ( 吼，1 ) 时，b ( s ) o ；又因为对所有的s ( o ，1 ) 有彳( s ) 0 ，所以存在o 占 l 使得对一 切s ( 占，1 ) 有爿( s ) s 因此当5 ( s ，1 ) 时，比较( 4 1 4 ) 两边呵得： 兰o ， 0 ，这与假设矛盾；所以( 4 1 4 ) 只有平凡解，定理得证。 2 l 硕十学位论文第五章灭绝性 5 1 灭绝概率 第五章灭绝性 从q 一矩阵的定义中可知0 是m b p i m 的一个吸收状态，对于这种过程最重 娄的问题是讨论它的灭绝行为。为此我们首先令 x ( ，) ，l o ) 为m b p i m g 一矩阵 确定的最小过程，再令p ( ，) = ( 岛( f ) ；f ，o ) 表示转移函数。 当k = 0 ，l ，m l 时，定义单个的灭绝时i 、日j 为： 那么f = m i n r o ，z i ，乇一l 是总的灭绝时间，对一切i m ，k m - 1 ，则单个的灭 绝概率为： e , k = p ( 0 ，c r o 为b ( s ) = 0 的f 实根，则对任意的f m ，灭绝概 率e t oq l ，一，e l 满足： 静瓮钞= r 静 ( 5 7 ) 证明：因为 1 且讹) 。，所以f 器出= 埘，可得 f 啊丛2 出 r ( o 0 ) = p h 柏( 。) = 0 ，又因为g j ( o o ) o o ，在( 5 5 ) 中令s = o - o ，代入得： 。= e 坐堂乞铲幽砂 整理可得( 5 - 7 ) 定理5 3 设吼( 1 吒i 1 ) 为b ( s ) = o 的一个复根，则对任意的，聊，灭绝概 率e i o ，q l ，一，e i m l 满足： 譬荟m - 1r 潞= 譬r 糟 证明：若r ( s ) 0 ，( 5 - 5 ) 可变形为： q ( s ) =r 虹堂乞铲生螋咖 r ( s ) ( 5 8 ) ( 5 9 ) 硕十学位论文第而章灭绝性 凼为g ，( s ) 征h 1 上解