第四章-圆与方程知识点总结及习题.doc

圆与方程【基本知识点】一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。二、圆的方程1、标准方程，圆心，半径为r；2、点与圆的位置关系：当，点在圆外当=，点在圆上当，点在圆内3、一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点； 当时，方程不表示任何图形。4、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数 都为1 ，没有 xy 的二次项.5、求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上（2）圆心在任一弦的中垂线上（3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线6、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线，圆，圆心到l的距离为 ，则有（2）过圆外一点的切线：k不存在，验证是否成立k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 7、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当时两圆外离，此时有公切线四条；当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当时，两圆内含； 当时，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点二、典例归纳考点一：有关圆的标准方程的求法【例1】 圆的圆心是 ，半径是 .【例2】 点(1,1)在圆(xa)2(ya)24内，则实数a的取值范围是()A(1,1) B(0,1)C(，1)(1，) D(1，)【例3】 圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()Ax2(y2)21 Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21【例4】 圆(x2)2y25关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()A(x2)2y25Bx2(y2)25C(x2)2(y2)25 Dx2(y2)25【变式1】已知圆的方程为，则圆心坐标为 【变式2】已知圆C与圆关于直线 对称，则圆C的方程为 【变式3】 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A(x3)221 B(x2)2(y1)21C(x1)2(y3)21 D.2(y1)21【变式4】已知的顶点坐标分别是，求外接圆的方程.方法总结：1利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r的方程组2利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用考点二、有关圆的一般方程的求法【例1】 若方程x2y24mx2y5m0表示圆，则的取值范围是()A .m1 Bm或m1 Cm Dm1【例2】 将圆x2y22x4y10平分的直线是()Axy10 Bxy30 Cxy10 Dxy30【例3】 圆x22xy230的圆心到直线xy30的距离为_【变式1】 已知点是圆上任意一点，P点关于直线的对称点也在圆C上，则实数= 【变式2】 已知一个圆经过点、，且圆心在上，求圆的方程.【变式3】 平面直角坐标系中有四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？【变式4】 如果三角形三个顶点分别是O(0,0)，A(0,15)，B(8,0)，则它的内切圆方程为_方法总结：1利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于D，E，F的方程组2熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化 考点三、与圆有关的轨迹问题【例1】 动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为()Ax2y232Bx2y216C(x1)2y216 Dx2(y1)216【例2】 方程表示的曲线是（ ）A. 一条射线 B. 一个圆 C. 两条射线 D. 半个圆【例3】 在中，若点的坐标分别是（-2,0）和（2,0），中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【例4】 已知一曲线是与两个定点O(0,0)，A(3,0)距离的比为的点的轨迹求这个曲线的方程。 【变式1】 方程所表示的曲线是（ ）A. 一个圆 B. 两个圆 C. 一个半圆 D. 两个半圆【变式2】 动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为()Ax2y232Bx2y216C(x1)2y216 Dx2(y1)216【变式3】 如右图，过点M(6,0)作圆C：x2y26x4y90的割线，交圆C于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹【变式4】 如图，已知点A(1,0)与点B(1,0)，C是圆x2y21上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程方法总结：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：（1）直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简(2)定义法：根据直线、圆等定义列方程(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等考点四：与圆有关的最值问题【例1】 已知圆x2y22x4ya0关于直线y2xb成轴对称，则ab的取值范围是_【例2】 已知x，y满足x2y21，则的最小值为_【例3】 已知点M是直线3x4y20上的动点，点N为圆(x1)2(y1)21上的动点，则|MN|的最小值是()A. B1 C. D.【例4】已知实数x，y满足(x2)2(y1)21则2xy的最大值为_，最小值为_【变式1】 P(x，y)在圆C：(x1)2(y1)21上移动，则x2y2的最小值为_【变式2】 由直线yx2上的点P向圆C：(x4)2(y2)21引切线PT(T为切点)，当|PT|最小时，点P的坐标是()A(1,1) B(0,2) C(2,0) D(1,3)【变式3】 已知两点A(2,0)，B(0,2)，点C是圆x2y22x0上任意一点，则ABC面积的最小值是_【变式4】已知圆M过两点C(1，1)，D(1,1)，且圆心M在xy20上（1）求圆M的方程；（2）设P是直线3x4y80上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值方法总结：解决与圆有关的最值问题的常用方法（1）形如u的最值问