（信号与信息处理专业论文）一类新型混沌电路的设计与硬件实现.pdf

摘要 利用计算机仿真和电路实验来研究和观察混沌现象始于8 0 年代初期，近2 0 年来，国内外在这一领域的研究已取得许多相关的成果，尤其是在多涡卷混沌吸 引子的研究方面。本文致力于对一类新型混沌电路的设计与硬件实现进行深入研 究。 高阶j e r k 系统是在j e r k 系统基础上提出的一类新型混沌系统，根据现有参考 文献，还未涉到有关这类系统在电路上如何实现。基于这一问题，本文设计了一 种通用高阶j e r k 电路，通过开关的控制可以分别实现四阶和五阶j e r k 电路。文中 还给出了它们的数值仿真结果与电路实验结果。 文献中给出高阶j e r k 系统只能产生单涡卷混沌吸引子或双涡卷混沌吸引子， 而不能产生多涡卷混沌吸引子。本文通过构造阶跃函数序列，实现在四阶与五阶 j e r k 系统中产生多涡卷混沌吸引子。根据阶跃函数序列产生多涡卷混沌吸引子的 工作原理，设计了一种新颖的电路。基于一种广义的电路形式，通过双掷开关切 换，可分别实现多涡卷四阶和五阶两种不同类型的高阶j e r k 电路，并由联动开关 控制产生涡卷的数量。文中给出了在四阶和五阶j e r k 电路中产生多涡卷混沌吸引 子的计算机仿真和硬件电路实验结果。 提出通过构造多个非线性函数，实现在一个三阶系统中产生多方向分布网格 状多涡卷混沌吸引，包括二方向和三方向分布网格状混沌吸引子基于硬件电路 设计平台，设计了相应的混沌电路来进行实验。文中给出了二方向2 2 、3 x 2 、 4 x 4 网格状混沌吸引子的数值仿真与硬件电路实验结果；三方向2 x 2 x 2 、3 3 x 3 网格状混沌吸引子的数值仿真与硬件电路实验结果。数值仿真与硬件电路实验结 果完全一致，从而证实了此方法在混沌系统中产生多方向分布网格状混沌吸引子 的可行性 本文的创新点主要集中在以下两点：( 1 煨出通过构造阶跃函数序列，实现在 四阶与五阶j e r k 系统中产生多涡卷，并设计了一种新颖电路来进行硬件电路实验 ( 2 ) 提出通过构造多个非线性函数，实现在一个三阶系统中产生多方向分布网格状 混沌吸引子，并设计了相应的混沌电路来进行硬件电路实验 广东t 业大学r 学硕士学位论文 关键词：高阶j e r k 电路；电路实验；多涡卷混沌吸引子：多方向分布网格状混沌 吸引子；阶跃函数序列 本课题得到了国家自然科学基金“一类广义j e r k 系统与广义多折叠环面系统及 其应用研究”( 批准号：6 0 5 7 2 0 7 3 ) 、广东省自然科学基金“多涡卷混沌与超混沌 吸引子及其在保密通信中的应用”( 批准号：3 2 4 6 9 ) 、广东省自然科学基金“一类 新型网格状混沌吸引子及用于混沌通信调制技术研究”( 批准号；5 0 0 1 8 1 8 ) 和广 州市科技计划项目“一类新型混沌产生器及用于混沌无线通信调制技术研究”( 批 准号：2 0 0 4 j 1 c 0 2 9 1 ) 的资助。 i i = = 日e _ _ _ _ _ l _ _ o a b s t r a c t r e s e a r c l ：1 i n ga n do b s e r v i n gc h a o t i cp h e n o m e n o nb e g a nw i t he a r l y 1 9 8 0 sb y c o m p u t e rs i m u l a t i o na n dc i r c u i te x p e r 蚰e n t o v e rt h el a s tt w od e c a d e s , t h e r ea a l a r g en u m b e ro f r e l a t i v er e s u l t si nt h i sf i e l d ，e s p e c i a l l yi nt h er e a l i z a t i o no f m u m - s c r o l l c h a o t i ca t t r a c t o r s t h ed e s i g na n dh a r d w a r er e a l i z a t i o no faf a m i l yo fan o v e lc h a o t i c c i r c u i t sh a v eb e e ns t u d i e di nt h ep a p e r h i g h - o r d e rj e r ks y s t e m sa l eaf a m i l yo f an o v e lc h a o t i cs y s t e m sw h i c h w e r ef o u n d i n2 0 0 6b a s e do nt h i r d - o r d e rj e r ks y s t e m t h e r ei sr i or e l a t i v el i t e r a t u r ea b o u tt h e i r c i r c u i td e s i g n t h i sp a p e rp r o p o s e sag e n e r a lh i g h - o r d e rj e r kc i r c u i tw h i c hc a nr e a l i z e f o u r t h - o r d e ra n df i f t h - o r d e rj e r kc i r c u i tv i at h ec o i i h o lo fs w i t c h e s s o m en u n k r i c a l s i n m l a f i o nr e s u l sa n de x p e r i m e n t a lr e s u l t sa r es h o w e di nt h ep a p e r h i g h o r d c r j e r ks y s t e n 够o n l yg e n e r a t eo n e - 一o rt o w - s c r o l lc h a o t i ca t t r a c t o r a c c o r d i n gt h el i t e r a t u r e ，c a r m o tg e n e r a t em u r b r o hc h a o t i ca t t r a c t o r s aa p p r o a c hf o r g e n e r a t i n gm u l t i - s c r o l lc h a o t i ca t t r a c t o r si nf o u r t h - o r d e ra n df i f t h - o r d e rj e r ks y s t e r r 坞i s p r o p o s e dv i ac o n s t r u c t i n gs t e pf u n c t i o ns e r i e s a c c o r d i n gt ot h et h e o r yo fg e n e r a t i n g m u r b s c r o hc h a o t i ca t t r a c t o r sv i as t e pf u n c t i o ns e r k 罱an o v e lc i r c u i ti sd e s i g n e df o r e x p e r i i n e n t a iv e r i f i c a t i o no fm u r b s c r o hc h a o t i ca t t r a c t o r s t h ep r o m i n e n tf e a t u r ef o r t h i sk i n do f c 廿c u i td e s i g nm e t h o di ss e l f - u n i f i e da n di nas e n s eu n i v e r s a lb a s e do nt h e u n i f o r mc 廿c u i t b o t hf o rf o u r t h - o r d e ra n df l r h - o r d e rg e n e r a lj e r kc i r c u i t sc 越b e r e a l i z e dw i t ht h es w i t c h i n gc o n t r o lt h es w i t c h e ss e ta r ca l s ou s e dt oc o n t r o lt h e n u m b e ro f s c r o l l s f i n a l l y , t h ec o m p u t e rs i m u l a t i o n sa n dh a r d w a r ei m p l e m e n t a t i o n sa 糟 g i v e no nt h ef o r t h - o r d e ra n d r d e rg e n e r a lj e r kc i r c u i t st og e n e r a t em u l t i - s c r o l l c h a o t i ca t f f a c t o r & a na p p r o a c hf o r 掣m c 伯痂唱m u l t i l i r e c t i o n a lg r i dc h a o t i ca t t r a c t o r sf r o ma t h i r d - o r d e r r r o n o m o u ss y s t e mi sp r o l m s e dv i ac o n s t r u c t i n gas e r i e so fs t q , f u n c t i o n s , i n c l u d i l l gt w o - d i r e c t i o n a la n dt h r e e - d i r e c t i o n a lm u l t i - s c r o l lc h a o t i ca t t l s c t o r & c i r c u i t s a r cd e s i g n e db a s e do nt h eh a r d w a r ec 廿c i l i tp l a t f o r m s o m en u m e r i c a ls i m u l a t i o na n d i n 广东t 业大学1 = 学硕士学位论文 e x p e r i m e n t a lr e s u l t sa r es h o w e d , s u c ha s2 - d2 x 2 ，3 x 2 ，4 x 4 - g r i ds c r o l l a n d3 - d 2 2 2 ，3 x 3 x 3 - g r i ds c r o l l i th a sb e e nv e r i f i e dt h a tn u m e r i c a ls i m u l a t i o nr e s u l t sa r e f l a m ea se x p e r i m e n t a lr e s u l t s t h i sp a p e rm a i n l yh a st w oi n n o v a t i o n s t h ef i r s ti st h a taa p p r o a c hf o rg e n e r a t i n g m u l t i - s c r o l lc h a o t i ca t t r a c t o r si nf o u r t h - o r d e ra n df i f t h - o r d e rj e r ks y s t e m si sp r o p o s e d v i ac o n s t r u c t i n gs t e pf u n c t i o ns e r i e s ，a n dac i r c u i ti sd e s i g n e df o rh a r d w a r ee x p e r i m e n t t h es e c o n di st h a ta a p p r o a c hf o rg e n e r a t i n gm u l t i - d i r e c t i o n a lg d dc h a o t i c a t t r a c t o r si n at h i r d - o r d e rs y s t e mi sp r o p o s e dv i ac o n s t r u c t i n gs o m en o n - l i n e rf u n c t i o n , a n dc i r c u i t s a r ed e s i g n e df o rh a r d w a r ee x p e r i m e n t k e yw o r d s ：h i g h - o r d e rj e r kc i r c u i t ；c i r c u i te x p e r i m e n t ；m u l t i - s c r o l lc h a o t i ca t t r a c t o r s ； m u l t i - d i r e c t i o n a lg r i dc h a o t i ca t t r a c t o r s ；s t e pf i m c t i o ns e r i e s p r o j e c ts u p p o r t e db yt h en a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ( g r a mn o 6 0 5 7 2 0 7 3 ) t h en a t u r a l s c i e n c ef o u n d a t i o no f g u a n g d o n gp r o v i n c e ( g r a n tn o 3 2 4 6 9 ， 5 0 0 1 8 1 8 ) a n dt h es c o n c ea n dt e c h n o l o g yp r o g r a mo fg 啪n g 西uc i t y ( c i r a n tn o 2 0 0 4 j 1 - c 0 2 9 1 ) 。：! ! ! ：i 一i 独创性声明 秉承学校严谨的学风与优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，不包 含本人或其他用途使用过的成果。与我一起工作的同志对本研究所傲的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明，并表示了谢意 本学位论文成果是本人在广东工业大学读书期间在导师的指导下取得的，论 文成果归广东工业大学所有。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任，特此声明。 论文作者签字： 指导教师签字： 椭筝 岛移 z 呷年占月f 日 第一章绪论 1 i 引言 第一章绪论 公认为真正发现混沌的第一位学者是法国的数学家、物理学家庞加莱 ( h p o i n c a r e ) ，他在研究是否能从数学上证明太阳系的稳定性问题时，发现即使只 有三个星体的模型，仍产生明显的随机结梨。1 9 0 3 年，庞加莱在他的科学与 方法一书中提出了庞加莱猜想。他把动力学系统和拓扑学有机地结合起来，并 提出三体问题在一定范围内其解是随机的，实际上这是一种保守系统中的混沌。 1 9 5 4 年，前苏联概率论大师科尔莫哥洛夫( k o l m o g o r o v ) ，在探索概率起源的过程 中发表了 哈密顿( h a m i l t o n ) 函数中微小变化是条件周期运动的保持一文，这一 文章是k a m 定理的雏形。1 9 6 3 年，k o i m o g o r o v 的学生v i a r o l d 对此给出了严 格的数学证明。差不多同一时间，瑞士数学家j m o s e r 对此给出了改进表述，并 独立的作出了数学证明。此文思想为混沌未发生之初，在保守系统中如何出现混 沌提供了信息。这为早期明确不仅耗散系统中有混沌，而且保守系统中也有混沌 的理论铺平了道路。 美国气象学家洛伦兹( e n l o r e n z ) 的研究工作使得混沌得到普遍注意。洛仑兹 以沙尔兹曼( b s a l t z w a n ) 的简化对流模型( 一个完全确定的三阶常微分方程组) 作为 大气对流模型，用计算机做数值计算，既观察到这个确定性系统的有规则行为， 又发现同一系统在某些条件下表现出非周期的无规则行为1 9 6 3 年，洛伦兹在著 名论文确定性的非周期流( d e t e r m i n i s t i cn o n - p e r i o d i cf l o w , i a t m o $ s c l2 0 , 1 3 0 - 1 4 1 ) 中指出，在三阶非线性自治系统中可能会出现混乱解。这是在耗散系统 中，一个确定的方程却能导出混沌解的第一个实例。2 0 0 0 年， 0 这个定义是针对一个集合提出来的，但它却表明了混沌的几个重要的特征： 1 ) 存在可数无穷多个不稳定的周期轨道； 2 1 存在不可数无穷多个不稳定的非周期轨道； 3 ) 至少存在一条稠密的非周期轨道。 l i - y o r k e 定义还表明在区间映射中，对于集合s 中的任意两个初始值经过多 次迭代，两个序列之间的距离上限可以为大于0 的正数，下限为0 ，这就是说当 迭代次数趋于无穷时，序列简单距离可以在每个正数和0 之间游荡，即系统的长 期行为是不可预测的。 1 2 2 混沌的基本特征 混沌的主要特性体现在两方面，即非周期性和对初值的高度敏感依赖性，这 两种特性共同决定了混沌信号的“随机性”尽管非周期使得混沌信号显得没有规 律而呈现“随机”，但从理论上看，混沌信号在任意时刻的状态还是决定于系统的 确定性方程，或者说系统方程能够确定任意时刻的混沌状态，只是其解析解难以 获得；初值改变使混沌轨线的长期演化行为与改变前不再相关而貌似“随机”，因 为在实际系统中精确或唯一地确定初值是不可能的，因此初值改变( 或状态在演化 过程中任一时刻受到的扰动) 和初值的难以确定是造成“随机”的另一因素所以， 混沌呈现的是内在的类随机特性。 直观地描述混沌，一般采用时域中的波形图和相空间中的相图。但要较为细 致地、定量地或侧重特定方面地描述，就要给出混沌的一些特征，然后用这些特 征量细化其特性目前，描述混沌现象时，常采用的特征量有：l y a p u n o v 指数、 熵、分维数、功率谱指数等 nl y a p u n o v 指数 l y a p u n o v 指数是用来表示动力学系统对初始值的敏感依赖性的特征量，它与 广东工业大学工学硕士学位论文 相空间中相邻轨迹发教或收敛的平均指数率有关。在疗维的相空间中给定一个连 续的动力学系统，设半径足够小的疗维超球经过长时间的演化变成一个超椭球， 则第f 个l y a p u n o v 指数定义为： = 嫩l 0 9 2 焉 其中p ，( f ) 是f 时刻超椭球的第f 维主轴半径，p ，( o ) 是初始时刻的球半径。丑按由 大到小的顺序排列。 l y a p u n o v 指数的符号提供了系统动力学行为的定性描述，至少一个正的 l y a p u n o v 指数是产生混沌的必要条件 2 ) 测度熵 测度熵是从s h a n n o n 熵的定义引申而来的【3 】。考虑一个”维的动力系统，它 的运动轨道为x ( r ) 将空间分成许多尺度为占的盒子，每隔时间f 观察一下系统 的状态。设n ，j - 是x ( o ) 处于盒子中，“f ) 处于盒子中，f ) 处于盒子 中的联合概率，则有： 疋= 一凡 i n p , o 它是系统运行中的轨道处于f 。，所需的信息，那么e 。一七就是已知系统处于 ，、而要预测系统予伽+ 1 ) f 时刻处于f 。的盒子中所需要知道的附加信息。因 此可以把测度熵定义为信息量的平均损失率，则有测度熵公式为； k 一嘞蛳嫩古p l a p 。o + o 一f ，：j 1 、1 f t 寸0 说明测度熵与空间划分无关。k = o i g 明系统处于规则运动的状态；k = m 说明系统处于纯随机运动的状态；当足为正的有限值时系统处于混沌的运动状 态。可见，测度熵可用来描述混沌运动的混乱或无规则程度，它的数值是判断运 动性质的重要指标 3 1 分维数 维数是描述空间和客体的重要几何特征量，经典意义下的状态空间的维数反 映了完备描述系统的演化所需要的最少变量的个数耗散系统的相空间体积的收 缩表现为一类维数低于相空间维数的吸引子的出现。混沌系统的行为最终收敛到 奇异吸引子上，而奇异吸引予具有无穷嵌套的自相似结构，即分形，其维数一般 是非整数。因此分维数是奇异吸引子复杂程度的度量。 1 9 1 4 年c a r a t h e o d o r y 提出了用集合的覆盖来定义测度的思想。1 9 1 9 年 h a u s d o 用这神方法定义了h a u s d o r f f 维数。以此为基础，数学家们又提出7 - i - 多种不同的维数的定义，如：拓扑维、自相似维、容量维、信息维、关联维、l y a p u n o v 维等。对于低维的混沌吸引子，以h a u s d o r f f数作为其维数的定义可表述如下： 蚺姆脊 式中j 式h 维空间中的子集，( s ) 式覆盖子集s 所需要边长为占的n 维立方体的最 小数目。 舢功率谱指数 它是刻划系统的能量的定量标志，反应混沌态能量的变化。对于任意非周期 运动的信号f ) ，若满足绝对可积条件，则可把它展开为f o 毗衙积分【4 l ： x ( e o ) = b ( r 弦一埘西 椭= 去p c 矿如 非周期信号的频谱是连续的。为了表示混沌信号的频率特征，可求其自相关函数 胄( f ) 的f o u r i e r 变换，由所得的功率谱密度函数s ( m ) 来分析混沌的频域特征： s ( 国) = 陋( f 弘+ 归d f 肌) = 去( 咖”咖 混沌信号的功率谱是连续谱，它与周期或准周期信号的离散谱不同。 1 2 3 混沌机理的新理论 1 9 6 3 年l o r e n z 发现混沌吸引子以来，混沌机理的研究取得了巨大的进步如 马蹄映射、s h i r n i k o v 定理和l i - y o r k e 定理但是，尽管人们分析具体混沌系统的 能力己大有提高，目前仍然缺乏一种深入理解混沌机理、阐明混沌吸引子结构而 又能够直接应用于工程实践的理论框架文献【5 】提出的混沌机理理论和细胞模 5 广东t 业大学1 = 学硕十学位论文 型，在一定程度上弥补了上述的不足，是既有理论研究意义又有直接应用价值的 一种理论框架。它指出了混合吸引子是混沌产生的根源，可用来构造混沌吸引子 的结构模型，并且可直接应用于工程问题。尤其是，它涵盖了s h i l n i k o v 定理， 具有重要的理论意义。它指出，空间分叉是混沌系统对初始条件敏感的一个重要 原因，也是混沌随机性的根源。它引入了“键带”的概念，指出了键带在设计同 步方案上的重要性，这在混沌信号的细节描述上是一个开创。这个新理论可应用 于许多重要的实际系统和工程问题，如对湍流产生机理的新解释。根据这种混沌 机理理论分析可知，关于湍流产生的r u e l l e t a k e n s - n e w h o u s e 道路可修改为：固 定点极限环专2 环面斗奇异吸引子中通过空间分叉产生的相继随机分叉过程。 上述混沌预测的近似解析判据推广应用于高阶系统，包括三阶以上的高阶自治系 统和二阶或更高阶的非自治系统。 1 2 4 通向混沌的道路 对于一个确定的非线性动力系统，当参数处于某一范围时，它才表现为混沌 运动，其他情况下表现为确定性运动。这是系统如何从确定性运动( 规则运动) 过 渡到混沌运动，是混沌研究的一个重大理论课题，目前国际上尚在研究中，有待 于作进一步探讨和发展。至今研究发现从规则运动通向混沌的道路主要有4 种： 倍周期分叉道路、间歇振荡( 阵发1 道路、准周期道路以及k a m 环面破裂。 1 ) 倍周期分叉进入混沌 这是研究得最多的路线，最早由f e i g e n b a u m 在研究了很大一类单峰映射的分 叉和混沌结构后提出的嘲，同时还研究了这类单峰映射通过倍周期分叉产生混沌 的若干普适性质。倍周期分叉道路是从周期不断加倍最终产生混沌，其具体过程 是：不动点专两周期j 四周期斗八周期一_ 无限倍周期凝聚( 极限点) 斗混 沌( 奇怪混沌吸引子) 。 2 ) 间歇振荡 间歇振荡过渡到混沌的理论由p o m e a u 和m a n n e v i l l e 建立川，间歇振荡走向 混沌意味着动力学系统行为出现在长期的规则行为和短期的不规则行为之间随机 地波动，直到波动频繁到长期的规则行为不能够维持而出现混沌，也就是说，动 力学系统的状态从周期解开始随着一个参数的变化而变化，随着参数的不断变化， 第一章绪论 这种长的周期行为愈来愈频繁地地被短期的不规则脉冲所中断直到呈现出混沌行 为，这个过程是一个连续地渐变过程。间歇振荡与鞍点分叉有关，根据鞍点分叉 的不同类型而分为三种不同的过渡类型，间歇振荡过渡到混沌也呈现出一些普适 的性质。 间歇振荡过渡到混沌最早出现于l o r e n z 模型，研究得比较详细的是非线性一 维映射，如l o g i s t i c 映射。间歇混沌与倍周期分叉产生混沌是孪生现象，在能观 察到倍周期分叉现象的系统中，一般也能观察到间歇混沌现象。 3 ) 准周期分叉产生混沌 准周期分叉道路与前面倍周期分叉和间歇性道路相比，规律性知道的较少， 但近年来已经引起了人们的注意。 l a n d u 删! ) 和h o p f ( 霍普夫) 曾经猜测湍流的发生是经过无穷次准周期分叉 准周期分叉可以用环面分叉来描述，将不动点、极限环分别看作0 环面、l 环面， 表示为瓦，t 1 ，则上述通往混沌( 相应于湍流) 的转交可以表示为 丁1 _ 一r 专_ 混沌，且每一次分叉可以看作是一次h o p f 分叉，分叉出一 个新的不可约的频率。 4 1k a m 环面破裂产生混沌 k a m 定理指出，近h a m i l t o n 系统的轨线分布在一些环面( 称k a m 环面) 上，它们一个套在另一个外面，而两个环面之内充满着混沌区。它在法向平面上 的截线称k a m 曲线。可积h a m i l t o n 系统，如单摆的相图是椭圆点和双曲点交替 出现，相平面被鞍点连续分割，相空间中的各部分的运动互不相混。在不可积的 情况下，只在鞍点附近发生一些变化，鞍点连线破断并在鞍点附近产生剧烈振荡 这种振荡导致等价于s m a l e 马蹄的结构，从而引起混沌运动，相应的区域称为混 沌区。 1 3 混沌通信目前在国内外的研究现状 2 0 世纪8 0 年代几个混沌电路的实现与混沌电路的定量描述，使得混沌系统 从纯数学的抽象概念过渡到了实际的电子工程领域之后，混沌电子电路的设计 引起了人们的高度关注，原因之一是通过电子电路实现，易于观察其中的非线性 现象( 如分叉、混沌及同步等) ，因此是研究混沌理论的最有用工具之一：原因之 7 广东工业大学1 ：学硕士学位论文 二是从工程的观点考虑，混沌电子电路可以满足和进一步引发新的工程应用，如 混沌通信、信息加密等。因此，无论在理论还是工程应用方面，混沌电路与混沌 系统的研究都是非常重要的，因此引起了众多混沌科研工作者的高度关注。 在2 0 世纪9 0 年代初p e c o r a 和c a r r o l l 发现混沌可以同岁8 1 1 9 1 ，这表明基于同 步的混沌通信成为可能。近十年来，国内外对混沌同步做了大量研究，提出了多 种混沌同步方案，基于同步的混沌通信己在实验室内得到实现。 混沌通信是混沌最早应用于实际工程的领域之一。混沌信号的类噪声连续宽 带功率谱使混沌通信具有自然的扩频特性，混沌的非周期性和初值敏感性可以提 供码元众多的伪随机序列，这些都是利用混沌进行通信的重要原因。近十多年来， 混沌通信研究取得了突破性进展，己提出多种混沌通信方案，混沌通信的研究己 处于成熟的发展阶段。与传统通信类似，混沌通信可分为混沌模拟通信( 如混沌掩 盖) 和混沌数字通信( 如混沌键控和利用混沌扩频码的码分多址) 比较而言，混沌 数字通信更具优势，有着诱人的应用前景。 ， 混沌产生( 混沌系统) 、混沌同步、混沌调制与解调是混沌通信中的关键技术 混沌系统是一切混沌通信的首要环节，混沌信号的特性直接影响混沌通信的性能， 简单混沌系统加密的信息并不安全【l o l ，因为信号一旦被截获，可通过非线性信号 处理技术对其破译。因此，对复杂混沌系统( 包括高阶混沌系统、多涡卷混沌系统、 超混沌系统等) 的研究是混沌通信乃至混沌理论的一个重要任务。 1 4 本文研究内容、结构安排及创新点 在j e r k 系统的基础上，文献 1 1 1 提出了一类新型高阶j e r k 系统( 包括四阶与五 阶) ，如何在电路上实现这类高阶j e r k 系统以及在这类系统中如何实现的多涡卷混 沌吸引，这是本文主要研究的内容之一；另外，如何在三阶j e r k 系统中产生多方 向分布网格状混沌吸引子，这是本文的研究内容之二。本文具体研究内容集中在 体现在以下三方面： 1 ) 高阶j e r k 系统的电路设计与实现 文献【l l 】提出了一类高阶j e r k 系统( 包括四阶与五阶j e r k 系统) ，在此基础上， 进行更深入的研究，对这类高阶j e r k 系统进行了数值仿真研究，并设计一种通用 高阶j e r k 电路来进行电路实验 i 第一苹绪论 多涡卷高阶广义j e r k 电路 在文献【l l 】提出的仅能产生双涡卷混沌吸引子的四阶与五阶j e r k 系统基础 上，通过构造一组阶跃函数序列，实现在高阶j e r k 系统中产生多涡卷混沌吸引子 基于阶跃函数序列在高阶j e r k 系统中产生多涡卷混沌吸引子的工作原理，设计了 一种多涡卷高阶广义j e r k 电路，并进行了硬件电路实验。 3 ) 多方向混沌吸引子的研究 在三阶j e r k 系统的基础上，通过构造多个非线性函数，从而实现在j e r k 系统 中产生多方向分布网格状涡卷吸引子，包括二方向和三方向分布网格状混沌吸引 子。在此基础上，设计了相应的电路进行电路实验。 本文的结构安排如下，整篇论文分成五章。第一章首先对混沌学的发展历程 作了简要回顾，然后对混沌的定义、新机理、通向混沌的道路及混沌通信目前在 国内外的研究现状作了介绍；第二章对若干典型混沌进行了简单的阐述，这些系 统是：l o r e n z 族系统、蔡氏电路、j e r k 系统；第三章主要是在文献 1 1 1 的基础上， 对高阶j e r k 系统进行了数值仿真研究，并设计了一种通用的高阶j e r k 电路。该电 路可通过开关的断开与闭合和单刀双掷开关在两触点之间的切换，可以实现四阶 与五阶j e r k 电路，并对所设计的电路进行了详细的推导和说明，给出了电路中器 件的具体参数值，最后对所设计的电路进行了硬件电路实验。第四章主要是在文 献1 1 1 中提出的仅能产生双涡卷混沌吸引子的四阶与五阶j e r k 系统的基础上，通 过构造一组参数可控阶跃函数序列，实现在高阶j e r k 系统中产生多涡卷混沌吸引 子，并进行了数值仿真在此基础上，设计一种新颖电路来进行实验，并给出了 3 , - 6 涡卷混沌吸引子实验结果。第五章是在三阶j e r k 系统的基础上，构造多个非 线性函数，从而实现在j e r k 系统中产生二方向和三方向分布网格状混沌吸引子， 并进行了数值仿真研究。设计出用阶跃序列产生二方向和三方向多涡卷混沌吸引 子的电路。基于硬件实验平台，进行了相关的硬件电路实验，获取了二方向2 2 、 3 x 2 、4 x 4 网格状混沌吸子的实验结果，三方向2 x 2 x 2 ，3 3 x 3 网格状混沌吸 引子的实验结果 本文的创新点主要集中在以下两点：( 1 ) 提出通过构造阶跃函数序列，实现在 四阶与五阶j e r k 系统中产生多涡卷，并设计了一种新颖电路来进行硬件电路实验 ( 2 ) 提出通过构造多个非线性函数，实现在一个三阶系统中产生多方向分布网格状 混沌吸引子，并设计了相应的混沌电路来进行硬件电路实验 ， 广东t 业大学工学硕十学位论文 2 1 引言 第二章若干典型混沌系统 自从1 9 6 3 年l o r e n z 偶然从一个三阶自治系统中发现混沌以来，混沌在许多 工作领域中获得了巨大而深远的发展。近年来的大量研究工作表明，混沌与工程 技术联系愈来愈密切，它在生物工程、力学工程、电子工程、化学工程、信息工 程、计算机工程、应用数学和物理实验等领域都存在着广泛的应用前景【1 2 1 。因此， 发现或设计一些符合需要的混沌系统( 产生混沌) 是十分重要的。在l o r e n z 系统的 基础上，利用混沌反控制法获得了c h e n 和l n 系统。它们都属于l o r e n z 系统族。 s p r o t t 基于计算机穷举法，提出了一类新型三阶自治混沌系统，并于研究了三阶 j e r k 系统，在些基础上，又提出了高阶j e r k 系统和超混沌系统。蔡氏电路是第一 个真正能够用物理手段实现的混沌系统。这些典型混沌系统都是目前国际上研究 混沌的热点，尤其是有关这些系统的多涡卷混沌吸引子。本章主要综述这三类典 型混沌系统的研究进展情况。 2 2l o r e n z 系统族 l o r e n z 系统的动力学方程为 d 舅d t = a ( y - x ) d y d t = c x - - x g y( 2 1 ) 出d r = x y - b z 当参数a = 1 0 ，b = 8 3 ，c = 2 8 时，则系统存在一个混沌吸引子，这在最近才得 以证呼1 3 1 。 1 9 9 9 年，香港城市大学陈关荣教授在l o r e n z 系统的基础上，利用混沌反控 制的方法获得了c h e r t 混沌吸引子州，c h e r t 系统方程为 缸| m = 心一吣 d y d t = p 一口) x 一船+ 钞( 2 2 ) 如d r = x y - k 第二章若干典型混沌系统 当a = 3 5 ，b = 3 ，c = 2 8 时，可获得一个c h e r t 混沌吸引子 在l o r e n z 系统和c h 锄系统的基础上，l n 和c h e r t 又提出了一个l o 系鲥1 卯， 它的数学模型为 d 出= 口( y 一膏) 砂西= 馏+ 钞( 2 3 ) 出d r = x y - b z 若取参数a = 3 6 ，6 = 3 ，c = 2 0 时，该系统存在一个l n 混沌吸引子。 这三个系统在结构上非常类似，但它们之间是拓扑不等价。它们的混沌吸引 子相图如图2 1 所示，其中( a ) 为l o r e n z 混沌吸引子，( b ) 为c h e n 混沌吸引子，( c ) 为l t i 混沌吸引子。 ( a ) 吾矿 。心，。 ( c ) 图2 - ll o r e n z 系统族混沌吸引子相图 f i g 2 - 1p h a s ep o r t r a i to f l o r e n z - l i k es y s t e m s 2 0 0 1 年，l n 和c h e r t 通过引入一个可变参数，把这三个混沌系统统一起来， 提出统一系统i 姗，它的表达式为 广东l ：业大学丁学硕士学位论文 别西= ( 2 5 a + l o ) ( y x ) , a t = ( 2 8 - 3 5 a ) x x z + ( 2 9 a 一1 ) y( 2 4 ) d z l a t = x y - ( a + 8 ) z 1 3 其中参数盯【o ，1 】。若0 口 o 8 ，则属于广义l o r e n z 系统；若口= 0 8 ，则属于 广义l n 系统；若o 8 3 ，文中对一= 4 的四阶j e r k 系统和行= 5 的五阶j e r k 系统进行了深入研究，包括它们的l y a p u n o v 指数谱、分 岔图、庞加莱截面等。与三阶j e r k 系统相比，高阶j e r k 系统或超混沌j e r k 系统， 有更复杂的动力学行为，因此在混沌保密通信和混沌图像加密等应用领域有着更 广泛的应用前景。 文献【l1 1 只是从混沌理论上对高阶j e r k 系统和超混沌系统进行了分析，没有 涉及这些系统的电路实现问题，本章将针对这一问题进行了相关的研究。研究的 内容包括主要包括以下两个方面，第一是对两个在形式上相似的四阶与五阶j e r k 系统数值仿真进行了研究；第二是根据这两个高阶j e r k 系统的具体表达式，设计 一种通用高阶j e r k 电路。 3 2 高阶j e r k 系统研究 3 2 1 高阶j e r k 系统数值仿真 根据文献 1 l 】，一类高阶j e r k 系统的一般数学表达式为 q 万d x + t l n _ 扩d - 7 ：。“r + + q 妄+ a o 叫q 万+ l + + q 磊+ x = ，【x ) 其中一种四阶j e r k 系统的具体数学表达形式为 舅+ 舅+ s z 等也，妄“s 0 2 叫 ， 为了便于分析，令d r d r = j ，d y d r = ：，d r d r = 材，g p j ( 3 1 ) 式可以等价变 第三章高阶j c t k 系统的电路实现 换为 出f d f = y 篓：2 ： ( 3 2 ) d z | d f = n ”1 d u d r = 4 5 x 2 2 7 y 一5 2 z 一“一4 5 当初始条件为【“，z ，弘司= 【0 0 1 ，0 0 1 ，0 0 1 ，4 】时，这个四阶j e r k 系统的l y a p u n o v 指 数谱为瞻，五，厶，厶】= 【o 1 8 5 ，0 ，- 0 4 8 3 ，0 7 】，可见这四阶系统有一个正的 l y a p u n o v 指数。 根据( 3 2 ) 式，编写m a t l a b 程序进行数值计算来获取这个混淹系统吸引子 的相图，为了能准确地显示出混沌吸引子的相图，我们设置解微分方程指令o d e 4 5 的精度为1 0 6 ，并且舍去所得数据的前半部分，由后一半数据得出混沌吸引子的 相图，计算机仿真结果如图3 1 所示，其q a ( a ) 为x - y 相图，( ”为x z 相图 ( c ) 为x - ”相图：( d ) 为y z 相图；( e ) 为y 一“相图；( o 为z 一”相图。 1 7 奎三些查兰三兰璧圭兰堡丝圣 ( e )( d 图3 1 四阶j e r k 系统数值仿真结果 r i g 3 - ln u m e r i c a ls i m u l a t i o n so f f o u r t h - o d e rj e r ks y s t e m 在四阶j e r k 系统的基础上，进行了更高阶j e r k 系统的探索，发现了一个类似 ( 3 1 ) 式系统的五阶j e r k 系统，这个五阶j e r k 系统的具体数学表达式为 窘+ 雾+ 7 0 6 8 嘉n 舛箬以，妄矗咿枷 s ， 用类似的方法对( 3 3 ) 式进行等价变换，令, t r d r = y ，d y d r = z ，叫d r = ”， d u d r = v ，则( 3 - 3 ) 式可以等价变换为 d x d r = y d y d r = z d d r = 甜( 3 4 ) d u d r = v d q d r = 3 9 x 2 9 1 7 y - 3 9 4 z - 7 0 6 8 u - v - 3 9 当初始条件为【v ，u ，z ，y ，卅_ 【o 1 ，0 1 ，0 1 ，0 1 ，0 1 】时，这个五阶j e r k 系统的l y a p u n o v 指数谱为阮，五，五， ， 】= 【o 1 5 9 , 0 ，- 0 2 4 2 ，- 0 3 1 5 ，一0 6 1 ，可见这五阶系统有一个 正的l y a p u n o v 指数。 对系统( 3 4 ) 在m a t l a b 数值计算软件下进行数值仿真，仿真结果如图3 - 2 所 示，其中( a ) 为x y 相图，( b ) 为x 一三相图，( c ) 为x - - t 相图，( d ) 为工一v 相图，( e ) 为y z 相图，( oy 一相图，( g ) 为y - v 相图，为z 一”相图；0 3 ：一v 相图；( j ) 为材一1 ，相图。 第三章高阶j e r k 系统的电路实现 y ( c ) 广东工业大学工学硕士学位论文 ( i )0 ) 图3 2 五阶j e r k 系统数值仿真结果 f i g 3 2n u m e r i c a ls i m u l a t i o n so f f i f i h - o d c