（应用数学专业论文）分拆理论中的组合方法.pdf

c o m b i n a 【o r i a lm e t h o d so np a r t i t i o nc | l e o r y j i n g y uz h a o 摘要 分拆理论产生于十八世纪，e u l ”首先对它进行研究。其后经由c a y l e y 、 g a u s s 、 h a r d y 、j a c o b i 、l a g f a n g e 、l e g e n d r e 、 l i t 廿e w o o d 、r a d e m a c h e r 、 r a i l l a n u j a n 、s c h u r 、s y l v e s t e r 还有m a c m a h o n 等人发展。现在分拆理论仍然吸 引着许多数学家迄今为止大量的分拆定理被发现及证明( 用新方法) 我们 无法逐个列出这些数学家的名字在这些数学家中，a n d r e w s 作为当代分拆理 论的领导人物对充实这个领域做出了巨大贡献。 几乎所有的分拆定理都与组合恒等式或基本超几何级数有关。这其中最 著名的恒等式之一是r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式( 1 i 2 ) 及( 1 1 3 ) 它们可以用分 拆理论来描述 6 0 ，c h3 。 m a c m a h o n 与s c h u r 6 9 】用分拆理论解释r o g e r s - r a l l l a n u i a n 恒等式这一开 创性工作促使对这一类分拆定理的研究。1 9 2 6 年s h c u r 【7 0 】证明了t h e o r e m 3 1 。1 1 9 2 8 年g 1 e i s s b e r g 【4 5 将s c h u r 定理推广到一个关于模大于3 的形式( 定 理3 12 ) 。g 6 l l n i t z 【4 6 】于1 9 6 7 年证明了他的一个定理，该定理可以被看作是 s c h u r 定理一个3 个共轭类的扩展。a l l a d i 、a n d r e w s 和b e r k o v i c h 3 】证明了 一个含4 个参数的关键恒等式，并由其得到一个更深层次的分拆定理( 定理 6 2 1 ) 。定理6 2 1 可以看作是g 6 l l n i t z 定理的下一个层次的扩展。 在这篇论文中，我们首先用o v e r p a 眦i o n s 的形式给出一个简单的对合【3 4 ， 通过g a u s s i a n 系数的乘积定义来解释它。在陈述这个对合的过程中，表示0 v e r - p a 描t i o n 时用到的上划线被赋予了权。 接下来我们给出另一个简单的对合( 3 5 】用来解释g i e i s s b e 曙定理的关键恒 等式。在证明过程中用到了j o l c h i s t a n t o n 的插入算法及o v e r p a r t l 6 0 n 。 之后我们把注意力集中在构造某两种特定分拆集合之间的双射问题上f 3 5 】 该特定的分拆集合是s h c u r 类型的分拆定理中涉及到的。首先我们给出g 6 l l n i t z 定理中的两个分拆集合之间的一个一一对应。然后将其推广到a l l a d j 、a n d r e w s 及g o r d o n 4 】的一般形式上。在进一步扩展之后我们给出一个更普遍的分拆定 理。该定理可也看作g 础n i t z 定理扩展形式。 我们在第6 节列出一些相关的问题这一节中的定理已经被证明，而我们 关心的是还未被给出的组合证明在这一节的最后我们将a n d r e w s 的一个分拆 定理 1 3 部分地推广并得到一个新的关于分拆部分模打( 女兰2 ，r 22 ) 的形 式。证明方法用到了m a c m a h o nm 0 d u i a r d i a g r a m1 6 1 ) 。 我们将一个关于单峰性的猜想放在最后一节。我们猜测一种q e u l e r 多项 式( g ) 是单峰，l o g - 凹的。a ( q ) 是u p d o w n 排列的一种g 模拟， 关键词：分拆，o v e r p a n i t i o n ，双射，对合，剩余类，排列，主指标，q 模拟， 单峰，l o g 一凹，螺旋的 c 0 m b i n a 吣r i a lm e t l o d si l lt h et h e o r yo f p a n i 6 0 n s j i n g y uz h a o a b s t r a c t t h et h e o r yo fp a n i t i o nw a ss m d i e df r o mt h ee i 曲t e e n 山c e n t u r yb ye u l e la n dd e v e l o p e d b yc a y i e y g a u s s ，h a r dy ，j a c o b i l a g r a n g e ，l e g e n d r e l i t 【j e w 0 0 d ，r a d e m a c h e lr a m a n u j a n ，s c h u ls y l v e s t e ra 1 1 dm a c m a t l o n n o w a d a y st l l e 山e o r yo fp a 币t i o ns 山la t 廿a c t sm a n y m a t l e m a t i c i a n s s of 打l o t so fn e wp a n i b o nt h e o r e m sw e r ef o u n da n dp r o v e d ( w i t hn e w m e t h o d s ) b ym a n ym a t t i e m a c i c i a n sw ec a nn o tl i s tt h e i rn 帅e so n eb vo n e a m o n gt h e s e m a t h e m a c i a i l sa n d r e w sa sal e a d e ro fm o d e m p a r t i t i o nt h e o r e mh a v eag r e a tc o n b u t i o n t om a j ( et 1 1 i s 丘l e dm o r es u b s t a n t i a l a l m o s ta l lp a r t m o nt h e o r e m sh a v er e l a n o nw i t hc o m b i n a t o r i a jj d e n t i t i e so rb a s i ch v p e r g e o m e 岫cs e r i e so n eo ft h em o s tf 帅o u si d e n d t i e si st h er o g e f s r a m a n u i 觚i d e n 廿e s ( i i 2 ) a n d ( i 13 ) ，w h i c hc a l lb es t a c e di np a r “t i o nt l e o r y 6 0 ，c h 3 】 t h ed i s c o v e r yo ft h ep a r t i n o n t h e o r e t i cs t a t e m e n to ft h er o 窟e r s r a m a n u i a ni d e n n t i e s b ym a c m a h o n 卸ds c h 毗【6 9 p r o m p t e das e a r c hf o rs j m i l a rp a n i 石o t h c o r e m sw i t had i f - f e r e n c eo t h e r 血a n2r e q i l i f e d0 f 山es u m m a n 出i no n ec l a s so ft h ep a n i t i o n sc o n s i d e r e d i n1 9 2 6 ，s h c u r 7 0 】p r o v e dt h e o r e m3 1 1 g 1 e i s s b e r g 【4 5 】e x t e n d e ds c h u r st h e o r e mt o g e n e r a lm o d u 】u sm 3 ( t h e o r e m3 1 2 ) j n1 9 2 8 g 6 1 in i zm 6 】p f o v e dh l s h e o r e mo f p a f t 卜 t i o ni nj9 6 7 ，w h i c hc a nb es e e m e da sat | l r e ei s i d u ec l a s s e se x t e n s i o no fs c h u r st h e o r e m a l l a d i ，a n d r e w s a n db e r k o v i c h 3 p r o v e daf b u rp a r a r r i e t e r 缸f d p n f f 廿，o fw h i c had e e p e r p a i d o nt h e o r e m ( t h e o r e m6 2 1 ) i sac o s e q u e n c e t h e o r e m6 2 1c a nb es e e m e da sa n e x tl e v e le x t e n do ft h e o r e mo fg 6 j l n i t z w e 行r s ts h d wc h a tt h ef o n n a 】j s m o fo v e r p a n i t i o n sg i v e sas j m p l ei 玎v o l u t i o n 【3 4 】f o r t h ep r o d u c td e 6 n m o no t h eg a u s s i a nc o e f f i c j e n t s i n 山ef o 兀i l u j a t i o no fo u ri n v o l u t l o n ，a n o v e r i i n ei nt h er 。p r e s e n t a d o no fa no 、r e r p a n i t i o ni se n d o w e dw i t haw e i g h t w 宅a l o sg i v eas i m p i yi n v o l m i o n 3 5 】加ak e yi d e n t i t yo f g l e i s s b e 唱m e o r e m ，w h i c hi s ag e n e r a i i z a d o no fs c h u r s 1 e o r e m t h ej o i c h i s t a n t o n si n s e n i o na l g 嘶m m 卸d o v e r p a r n n o nw e r ea l s 0e m p l o y e d t h e nw ec o n c e n t r a t eo nc o n s t r u c t i o no f 蛔e c t i o no nm oc e r t a i nl ( i n ds e t so fp a r t i 廿o n s o fs h c u rt y p c 3 5 f i r s tw eg i v ead i r e c tb 玎e c t i o no nt w os e t si n v o l v e di nt | 1 et h e o f e m o fg d l l n i c z ，锄de x t e n d h e 峋e c c i o 订的ag e n e r a i i z e df 。丌ng i v e nb ya l l a d i ，a n d r e w s ，a n d g o r d o n 4 t h e nw eg i v ead e e p e 。g e n e r a l i z a t i o no fg 洲n j t z st h e o r e n s o m er e l a t e dp r o b l e m sw e r el i s ti ns e c o n6 t h et h e o r e m s 】i s ti ns e c t i o n6h a v eb e e n p r o v e d w es e e kf o rd i r e c tb u e c n v ep r o o f s i n 山ee n do ft h i ss e c o n ，w ep a m a i l yg e n e 卜 a l i z e do n eo f a n d r e w s sp a r t m o n s 山e o r e l n 1 3 】a 1 1 do b t a i nan e w0 n ew i t | ir e s p e c t t op a r t s m o d u j a r b w h e r e 露2 ，r 2 b y m 8 c m a h o n m o d u l 甜d i a 伊a m 6 1 i n 【h el a s cs e c t i o nw es h a wac o n j e c t u r eo nu n i m o d a n t ya n dl o g c o n c a v i t yo fa “n d q e u j e p o l y n o m i a i sa n ( 日) ，w h i c hi saq a n a l o g u eo fu p - d o w np e m m t a t i o n s 1 【e y w o r d s ：p a 巾n o n ，0 v e m a r t i d o n ，b i j e c b o n ，i n v o l u 廿o n ，r c s i d u ec i a s s ，p e n n u t a 廿o n ，m a j o r i n d e x ，q a n a l o g u e ，u i l i 】m o d a l i t y l o g c o n c a v i t y s p i r a l l i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：瑞 僦年f 月3o 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 起辩 解密时间：年月 日 各密级的最氏保密年限及书写格式规定如下 _ _ 内部5 年一( 最长一年，爵少豪曩年) i 秘密1 0 年( 最长1 0 年，可多，善4 0 年)w i 、二 机密2 0 年( 最长2 0 每三，司_ 爹专= 2 0 镶) jj j ， 焉轵二掰色舞寿旃 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究t 作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果1 i 包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：。赵薷宇 z 扔扩年市月弓d 日 c o m b i n a t o r i a lm e t h o d sl nt h et h e o r yo f p a m t i o n s j i n g y uz h a o 1 i n n o d u c t i o n 1 1 b a c k g r o u n d a p a n l 6 0 no fni san o n i n c r e a s i n g 丘n j t es e q u e n c eo fp o s i v ei n t e g e r sw h o s es u mi sn t h e d e 丘n i 石o nw a se x t e n d e di n 1 4 ，c h 1 l ，1 2 ，1 3 】w h e no n ec o n s j d e r h i 曲e r - d j m e n s i o n a l p a r t i 廿o n s ，p a r t i t i o no f n t u p l e s ，a n d p a r t i t i o n so fs e t s w e q u o t ep r e f a c e f r o m a n d r e w s 1 4 】 t od e s c r i b et h eb a c k g r o u n do fp a n i t i o nt h e o r y “t h et h e o qo jp m m i o nh n nt m e r e s l i n gh i s t o q c e r t n ns p e c i mp m b k m si np n 卜 t i n o n sc e n 斑n bd m eb d c kt ot h em i d n ea g e s ：h o w e v e lt h e 彝r s td t s c o v e n e s 时m 攀d e p t h h 理醒搬口d p 加绣gg 喀是犯n 绉c 芒n m f 妇翻，e 翻。7p m v e d 掰仃n y 扫撒“f 缸f 硎ds 喀n 蓼c 口 f p 口r t i t i o nt h r e n 邛e m l e ri n 幽d l n i dt k 如m n d d t i o n s 西t ht 地o r y 嘶p n r n l i o n s m q t h eo t h 盯g r e mm m h c m n 蛀c 记n s c q l q g m s s 。h a r d ，j o c o 酰1 缸g r o n g e l e g e n d r e h m e w d o dr o 出， c 矗e j e d m n n 咖 “d 耐s p g s 肥，一，如v ec 口n 护f 6 “船d 幻曲pd p v p f d p m p n f o j t kt h 啦。 t h e r ea r em a n ya p p l l c a n o n so fp a n i n o n s n o n p a r a m e m cs t a t i s “cr e q u i r er e s m c t e d p a m o n s 1 4 ，c h 3 】v a o u sp e r m u t a 虹o np m b l e m si ”p r o b a b i l i t ya n ds t a s t i c sa r ei n n m a l e l y l i n k e d w i t h t 】e s i m o n n e w c o m b p r o b l e m 【1 4 ，c h 4 】p a n i c l e p h y s i c s u s e s p a n i 0 n a s y t n p t o t i c sa n dp a m 6 0 ni d e n t i e s 1 4 ，c h 5 9 】g r o u pm e o r yi si n 廿m a t e i yc o n n e c t e d w 汕m u l p a r t i t ep a n i 廿o n s 1 4 ，c h 1 2 】m a n yc o m b i n a t o r i a ip r o o f sb a s e do np 矾i t i o n s h a v eb e e ng j v e nt oc o n s t r u c t b 柚e c n o n so nb a s i sh y p e 曙e o m e 仃i cs e r i e s ，e g 3 9 ，8 l 】 o n ej m p o r t a n tm e t h o do ns t u d y i n gp 枷t i o nt h e o r yi sg e n e r a t i n gf u n c 【j o n ss u c ha s i l ， 1 7 】a n o t h e a l g e b r am e 山o dd e v e l o p e db ya l j a d ia n dg o r d o n 6 ，7 i sn a m e da s “优8 曲o d w 譬堙矗耙dw d ，c 虹”an u m b e ro fc i a s s i c a lp a r c i 虹o ni d e n h t i e sh a v eb e e nf o u n dt ol 主ea t t h eh e a r to f 山ei n t e r a c 6 0 no fv e r t e xo p e r a t o r sa n dr e p r e s e n t a n o n so fa 蚯n el i ea l g e b r a s 5 3 5 7 】o fc o u r s e 山ec o m b i n a t o a lm e t h o di sm o s ta t t r a c t i v et ou sf o r “r e v e a l st h e e s s e n c ej n s i d ep a n i n o n 山e o r e m s l o t so fb i e c t i o n sa n di n v o l u o n sw e r eg i v e nt os h o w 出e r e i a “o nb e t w e e nc o m b i n a t o r i a lo b j e c t s ( s e e 6 4 】) e v e nf o rc o m b i n a t o n a im e t h o d ，t h e r ea r e s t i l lm a l l yk i n d s ，f o re x a m p l eas j e v em e 出o dw a su s e dt op r o v e dr e s u l i so fi n t e r e s ti nt h e o r y o fp a n i t i o n s 1 4 ，c h 9 】n l ef e r r e r sd i a g r a ma n dy 0 u n gd j a g r a mw e r em o s tp o p u l a j l y u s e di nc o m b i n a t o r i a lp r o o f s s o m et e m l sd “咖g 殛“以垲( 【7 9 ，p ，3 0 】，f 5 0 ，p 2 8 l 】) ，艇政 f 一，控n 足【2 2 ，4 2 】w e r el n u d d u c e dt op r 0 v ea n d 疗n dp a n i n o ni d e n d t i e s am o s te a s ye x a m p l e j s 黑而旷矿而箍希可可莉= 廛南川，息( 1 一日) ( 1 一q 2 ) ( 1 一矿) ( 1 一z ) ( i 一田) ( 1 一z 矿一1 )怂( 1 一研n ) ” c a nb ei n t e 叩r e t e dj nal a n g u a g ew i t i ir e s p e c ct 0r a n ka n dd i l r f e es q u a r ei nf e r r e r sd i a 盯a m o f ad 硪i “o no f c o m b i n a t q a lm e t h o d si nt h et h e o r yo f p a r t i b o n sj i n g y uz h a o t h ef a m o u sr o g e r s r a m a n u j a ni d e n t i 石e s 4 9 ，6 6 ，6 8 至f 丽毒而2 皿f f 辆，岛( 1 一目) ( 1 一矿) - ( 1 一q “)描( 1 一矿“一4 ) ( 1 一q 5 “一1 ) 黑而茫= 亘而南差豸( 1 一g ) ( 1 一q 2 ) 。- 。( 1 一矿) 出( 1 一矿”一3 ) ( 1 一矿“一2 ) ( 1 1 2 ) ( 1l _ 3 ) m a yb es t a t e di np a r t i t i o n 山e o r y 6 0 ，c h 3 】a sf o l l o w i n g i f c = lo r 2 ，t h e n t h en u m b e r o f p a n m o no f n i n t o p a r t s 兰士c ( m o d5 ) e q u a l s t h en u m b e r o fp a n i t i o n so fni n t op a r t s cw i t l lm i n j m a ld i 何色f e n c e2b e t w e e ns u m m a n d s t h ed i s c o v e r yo ft h ep a n i t i o n t h e o r e t i cs t a t e m e n to ft h er o g e r s r a l l l a i l u j a ni d e n n e s b ym a c m a h o na n ds c h u r 【6 9 p m m p t e das e a r c hf o rs i m i i a rp a n i d o nt h e o r e i n sw i t ha d i f - f e r e n c eo t h e rt h 锄2r e q u i r 酣o ft h es u m m a n 出i no n ec i a s so ft h ep a n i t i o n sc o n s i d e r e d 王n1 9 2 6 s h c u r 【7 0 p m v e dt h e o r e m3 1 ，1 g i e i s s b e 唱 4 5 】e x t e n d e ds c h u r st h e o r e mt o 譬e n e r a lm o d u l u sm 3 ( t h e o r e m3 1 ，2 ) g d i i n i t z 4 6 】p r o v e dh i st h e o r e mo fp a r t i t i o ni n 1 9 6 7 w l i c hc a nb es e e m e da sat h r e er e s i d u e c l a s s e se x t e n s i o no fs c h u r st h e o r e m a i l a d i ， a n d r e w s a n db e r k o v i c h 3 】p m v e daf o u rp a r a m e t e r 蛔，“啪打玑o fw h i c had e e p e rp a 卜 6 廿o nt i l e o r e m ( t h e o r e m6 - 2 1 ) i sac o m e q u e c e t h e o r e m6 2 1c a nb es e e m e d 越an e x t 】e v e ie x t e n do ft 1 e o r e mo fg 6 l l n i t z 1 2 s k e t c ho ft h et h e s i s w ec o n c e n t r a t eo nt h ec o m b i n a t o “a 1m e c h o d s ，i e ，c o n s t m c 【ab u e c n o no nt w oc o m b l n a i o 。 r i a lo b j e c t so ra f li n v o l u d o no nac e n a i nc o m b i n 砒o r i a lo b j e c t i ns e c 0 n2 ，w es h o w 山a tt l l ef o n n a l i s mo fo v e r p a n i t i o n s 舀v e sas i m p i ei n v o i u t i o n 3 4 】 f o rt h ed r o d u c td e 矗n i t i o no f 出eg a u s s i a nc o e 街c i e n t s i nt h ef o m u l a “o no fo u ri n v o i u n o n ， a no v e r j i n ei n 山er e p r e s e n t 撕0 no fa no v e 印删t i o ni se n d d w e dw i t haw e i g h t i ns e c b 加3 ，w es h o was i i n p l yi n v o l u t i o n 【3 5 o nak e yi d e n t i t yo fg 1 e i s s b e 喀t h e o r e m ， w h i c hi sag e n e r a l i z a 6 0 no fs c h u r st h e o r e m t h ej o i c h i - s t a n t o n si n s e r t i o na l g o r i t h ma n d o v e r p a 币j 册w e r ea j s oe m p l o y e d i ns e c 廿o n4 ，w eg i v ead i r e c tb 巧e c 廿o n 【3 5 】咖t w os e t si n v o i v e di nt h e 出e o r e mo f g 6 1 1 n i t z ，a n de x t e n dt h eb 巧e c n o nt oag e n e m l i z e df o 咖g i v e nb ya l l a d i ，a n d r e w s ，a n d g o r d o n 【4 】 i ns e c 廿o n5 ，w eg i v ead e e p e rg e n e r a l i z 撕o no fg 6 l l n i t z st h e o r e m af e we x a m p l e s w e r ea l s og i v e nf o rb e t t e ru n d e r s t a n d i n g t h ep r o o fi sb a s e do n 山eb u e c t i o ng i v e ni n s e c t i o n4 i ns e c n o n6 ，w el i s ts o m er e l a t e dp r o b l e m s t h et h e o r e m sl i s ti ns e c t i o n6h a v eb e e n p r o v e d w es e e kf o rd i r e c tb 巧e c t i v ep m o f s i nt h ee n do f 山i ss e c n o n ，w ep a r t i a 儿yg e n e r - a l i z e d0 n eo fa m d r e w s sp a m t i o n st h e o r e i n 1 3 】a i l do b t a i nan e wo n ew i t hr e s p e c tt op a n s m o d u l a r 打w h e r e 足2 ，r 2b ym a c m a h o nm 0 d u l a rd i a g r a m 6 1 】 2 c o m b i n a l o r i a lm e t i l o d si nt h et h e o r yo f p a r t l t i o n s j i n g y uz h a o i ns e c t i 册7 ，w es h d wac o n j e c t u r eo nu n l m o d a 珏哆a n d 】o g c o n c a v i t yo fab n d 于e u j e f p o l y n o m i a l sa n ( q ) ，w h i c hi sa 鼋- a n a l o g u eo fu p d o w np e n t i u t a t i o n s c o m b i n a t o n a lm e t h o d sl nt - 1 e1 、h e o r yo fp a n i t i o n sj h l g y uz h a o 2 t h eg a u s s i a nc o e m c i e n t sa n do v e r p a n i t i o n s t h eg a u s s i a nc o e m c i e n 【s ，a l s oc a i l e d 山e 窜七i n o m i a lc o e 伍c i e n t s ，o rt h eg a u s s i a np o l y n o m t a f s i 4 j ，a r eg i v e nb y 卅彘， ( 2 ) w h e r e ( n ；鼋h = ( 1 一) ( 1 一a q ) ( 1 一n 矿一1 ) i st h ec o m m o nn o t a t i o nf o rt h e 可- s h i f t e d f a c t o r i a l s 【4 4 】f 0 r 山ep u r p o s eo ft 上l i sp a p e w e i l s em ef o l l o w i n gf o 咖o f 山eg a u s s i a n c o e f 五c i e n c s ： p + n 1 ：( ! 二贮：! ：f 上贮：! 【nj( 1 一q ) ( 1 一矿) ( 2 0 2 ) i nt h et h e o r yo fp a r t i t l o n s ，m ea b o v eg a u s s i a nc o e 衢c i e n t ( 2 0 2 ) c a nb ei n t e r p r e t e da st h e g e n e r a c i n gf u n c t i o no fp a n l n o n sw i t hnn o n n e g a t i v ep a r t ss u c ht h a te a c hp a r td o e sn o te x c e e dm z e i l b e 赡e rg i v e sab u e c t i o n ，t h ea j g o n 1 mza sc 甜i e db ya n d r e w sa n db r e s - 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