历年各地初中数学青年教师解题竞赛试题及参考答案（上）

Su.15 整理 第 1 页 2014-7-27 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 1. 2002 年秋季广州市初中数学青年教师解题比赛试题及解答 2. 常州市武进区初中数学教师解题竞赛试题及参考答案 3. 2003 年广州市初中数学青年教师解题比赛试题 4. 2005 年 武进区初中数学教师解题竞赛试题 初中数学青年教师解题竞赛试卷 一、填空（本题共有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1函数112 xxy中，自变量 x 的取值范围是 . 2圆锥的母线长为 5cm，高为 3 cm，在它的侧面展开 图中，扇形的圆心 角是 度 . 3已知 3xy ，那么yxyxyx 的值是 . 4 ABC 中， D、 E 分别是 AB、 AC 上的点， DE/BC， BE 与 CD 相交 于点 O，在这个图中，面积相等的三角形有 对 . Su.15 整理 第 2 页 2014-7-27 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 5不等式 xx 4115 的正整数解的共有 个 6函数 13 xxy 的图象在 象限 7在 ABC 中， AB 10， AC 5， D 是 BC 上的一点，且 BD： DC 2： 3，则 AD的取值范围是 . 8关于自变量 x 的函数 cbxaxy 2 是偶函数的条件是 . 9若关于未知数 x 的方程 xpx 有两个不相等的实数根，则实数 p 的取值范围是 . 10 AB、 AC 为 O 相等的两弦，弦 AD 交 BC 于 E，若 AC 12， AE 8， 则 AD . 二 、（本题满分 12 分） 11如图，已知点 A 和点 B， 求作一个圆 O， 和一个三角形 BCD，使 O 经过点 A，且使所作的 图形是对称轴与直线 AB 相交的轴对称图形（要求 写出作法，不要求证明） 三、（本题满分 12 分） 12梯子的最高一级 宽 33cm，最低一级 宽 110cm，中间还有 10 级，各级 的 宽 成等差数列，计算 与最低一级最接近的一级的宽 四、（本题满分 13 分） 13已知一条曲线在 x 轴的上方，它上面的每一点到点 A（ 0， 2）的距离减去它到 x轴的距离的差都是 2，求这条曲线的方程 五、（本通满分 13 分） 14池塘中竖着一块碑，在高于水面 1 米的地方观测，测得碑顶的仰角为 20 ，测得碑顶在水中倒影的俯角为 30 （研究问题时可把碑顶及其在水中的 倒影所在的直线与水平线垂直），求水面到碑顶的高度（精确到 0.01 米， 747.270tan ） . 六、（本题满分 14 分） . 15若关于未知数 x 的方程 022 qpxx （ p、 q 是实数）没有实数根， .ABSu.15 整理 第 3 页 2014-7-27 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 求证：41 qp. 七、（本题满分 14 分） 16如果 O 外接于正方形 ABCD， P 为劣弧 AD 上的一个任意点，求： PBPCPA的值 . 八、 （本题满分 16 分） 17试写出 m 的一个数值，使关于未知数 x 的方程 08242 mxx 的 两根中一个大 于 1， 另一个小于 1. 九、（本题满分 16 分） 18点 P 在锐角 ABC 的边上运动，试确定点 P 的位置，使 PA+PB PC 最小 ， 并证明你的结论 . 参考答案 一、 1. 2x 且 1x 2.288 3. 32 4.4 5.6 .一、二、三 7. 4AD0, 所求的曲线的方程是 081 2 xxy 五、 14. 解：如图， DE 表示水面， A 表示观测点， B 为 碑顶 ， B 在水中 的 倒影 ，由题意： m13020 ，ADACB，BAC 60,70 BB 设 xBE ,则 .1,1 xCBxBC 在 Rt ABC 中， 70t a n1t a n xBBCAC 1 在 Rt A B C 中， 60t a n1t a n xBCBAC 2 由 1 、 2 得 60t a n170t a n1 xx 60t a n70t a n60t a n70t a n x 41.44 7 9.40 1 5.1 xx 米 答： 水面到碑顶的高度 4.41 米 . 六、 15. 证：由题意，令 044 2 qp 得 2pq B EABCDSu.15 整理 第 5 页 2014-7-27 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 41412122pppqp 即41 qp 七、 16. 解：如图， BP 平分直角 APC ， 4521 在 APB 中，由余弦定理，得： 222 2 ABPBPAPBPA 同理，在 BPC 中，有 222 2 BCPCPBPCPB 22222 ACPCAPBCAB .2022 2PBPCPAPCPAPBPB 当点 P 与点 A 或点 D 重合时 . 2PBPCPA 八、 17. 解法 1：设 062 xx ，则 01242 xx ,令 1282 m ，得 10m ， 当10m 时，所给方程两根中，一个大于 1，另一个小于 1. 解法 2：设 21,xx 是方程的两根，则 mx，xxx 284 2121 ，依题意， .25,21.011,02844212mmxxm解得 ：25m. 当 3m 时，所给的方程的两根中，一个大于 1，另一个小于 1. 九、 18. 解：当点 P 在锐角 ABC 最短边上的高的垂足的位置时， PA+PB PC 最小 . ABCDP1 2Su.15 整理 第 6 页 2014-7-27 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 证明：如图， P 为 ABC 一边 BC 边 上的高的垂足，而 Q 为 BC 边上的任一点， QBQAPCPAPCPBPA , QAPABCQAQC , QCQBQAPCPBPA 又设 AC 为 ABC 最短边，作这边上的高 PB （如图），可知 APPB . 在 PB 上截取 APPBo ,在 BC 上截 取 ACCB ，作 ACPBo .垂足为oP,连 结oBB. APCRt APCPBoRt PBPB oo . 四边形 oo PPBB 是矩形， 90BBB o ，在 BBB o 中， oo BBCPBPAPBBBB ACAP ， PCPBPACPBPAPAPACBBPCPBPA . 2002 年广州市初中数学青年教师解题比赛试卷 2002.04.07 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 分数 一、填空（本题共有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1函数114 2 xxy中，自变量 x 的取值范围是 2若一个半径为 32 的扇形面积等于一个半径为 2 的圆的面积，则扇形的圆心角为 3分式方程11x 11xx 2 的解是 4代数式 x2 2xy 3y2 2x 2y 3 的值的取值范围是 5 O1、 O2 的半径分别为 2 和 3， O1O2 9，则平面上半径为 4 且与 O1、 O2 都相切的圆有 个 6、若关于未知数 x 的 方程 0522 mxmx 的两根都是正数，则 m 的取值范围AB CQPoPB oBP AB CPSu.15 整理 第 7 页 2014-7-27 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 是 7在 Rt ABC 中， AD 是斜边 BC 上的高，如果 BC a aBC ， B ，则 AD 8平面内一个圆把平面分成两部分，现有 5 个圆，其中每两个圆都相交，每三个圆都不共点，那么这 5 个圆则把平面分成 部分 9在平坦的草地上有甲、乙、丙三个小球若已知甲球与乙球相距 5 米，乙球与丙球相距 3 米，问甲球与丙球距离的取值范围？答： 10计算 12 0 0 32 0 0 22 0 0 12 0 0 0 所得的结果是 二、（本题满分 12 分） 11如图，已知 A 是直线 l 外的一点， B 是 l 上的一点 求作：（ 1） O，使它经过 A， B 两点，且与 l 有交点 C； （ 2）锐角 BCD，使它内接于 O （说明：只要求作出符合条件的一个圆和一个三角形，要求写出作法，不要求证明） 三、（本题满分 12 分） 12如图，己知正三棱锥 S ABC 的高 SO h，斜高 SM l 求经过 SO 的中点平行于底面的截面 ABC的面积 四、（本题满分 13 分） 13证明：与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点 五、（本题满分 13 分） 14甲、乙两船从河中 A 地同时出发，匀速顺水下行至某一时刻，两船分别到达 B 地和 C 地已知河中各处水流速度相同，且 A 地到 B 地的航程大于 A 地到 C 地的航程 .两船在各自动力不变情况下，分别从 B 地和 C 地驶回 A 地所需的时间为 t1 和 t2试比较 t1 和 t2 的大小关系 六、（本题满分 14 分） 15如图，在锐角 内 ，有五个相邻外切的不等圆，它们都与 角的边相切， 且半径分别为 r1、 r2、 r3、 r4、 r5若最 小的半径 r1 1，最大的半径 r5 81。求 七、（本题满分 16 分） 16过半径为 r 的圆 O 的直径 AB 上一点 P，作 PC AB 交圆周于 C若要以 PA、 PB、 PC 为边作三角形，求 OP 长的范围 八、（本题满分 16 分） 17设关于未知数 x 的方程 x2 5x m2 1 0 的实根为 、 ,试确定实数 m 的取值范围，使 | |6 成立 九、（本题满分 16 分） 18在重心 为 G 的钝角 ABC 中，若边 BC 1， A 300，且 D 点平分 BC当 A 点变动， B、 C不动时，求 DG 长度的取值范围 2002 年广州市初中数学青年教师解题比赛试卷 参考答案 一、填空（本题共有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1 22 x 且 1x 2 60 321x 4 ,0 5 3 6 45 m 7 cossina 8 22 9相距大于等于 2 米而小于等于 8 米 10 4006001 lAB A B C ABCMOSSu.15 整理 第 8 页 2014-7-27 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 二、（本题满分 12 分） （ 1）作法： 在 l 上取点 C，（使 CAB 90） 经过 A、 B、 C 作 O，则 O 就是 所求 . （ 2）作法： 过 O 作 BC 的垂线交优弧 BC 于 D， 连结 DC、 DB、 AB，则 BCD 就是 所求 . 三、（本题满分 12 分） 解：连结 OM、 OA，在 Rt SOM 中， 22 hlOM . 因为棱锥 S ABC 正棱锥，所以 O 是等边 ABC 的中心 . 223260tg22 hlOMAMAB , 22222 33344 34 3 hlhlABS A B C 41ABCCBASS 224 3341 hlSS A B CCBA 四、（本题满分 13 分） 证明：设抛物线方程为 pxy 22 ， 平行于抛物线的轴的直线方程为 0 bby . 解方程组,22bypxy 得,22bypbx 故抛物线 方程为 pxy 22 与 平行于其轴的直线 0 bby 只有一个交点 五、（本题满分 13 分） ABClODA B C O ABCSOMSu.15 整理 第 9 页 2014-7-27 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 解：若以1S、2S、 t 、 x 、 y 、 a 分别表示 A B 航程、 A C 航程、下行时间、在静水中甲船航速 、乙船航速和水流速度，则有： ,2111 tax aax taxax St ,2122 tay aay tayay St ayaxatSS ,0,0,21 yx ，从而 .11,ayaxayax 21 tt 六、（本题满分 14 分） 解：545445452s i n12s i n12s i n12s i n12s i n rrrrrrrr 同理， 523432s in12s in12s in12s in1rrrr 同理可得， 5412s in12s in1rr 212s i n312s i n12s i n18112s i n12s i n14 60,302 七、（本题满分 16 分） 解：不失一般性，令 P 在 OB 上，且 0 OPx , 则有 APBP， APPC. A BCO PxSu.15 整理 第 10 页 2014-7-27 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 若以 AP、 BP、 PC 为边作三角形，结合上面条件， 只须 BP PCAP,即 xxrxrPC 2 , 又 1,4,00 22 xPC，xPC 又 222 xrxrxrBPAPPC .代入（ 1） 得 222 4 xxr , 解得： rxr5555 . OP 的取值范围是 rx550 . 八、（本题满分 16 分） 解： 214145 222 mm 不论 m 取何值，所给的方程都有两个不相等的实根 . 6,15 2 m， , 36222 ,即 36222 . 36121225 22 mm 当 01 2 m 时， 3625 成立， 11 m . （ 1） 当 01 2 m 时，得 361425 2 m ， 215215 m. （ 2） 由（ 1）、（ 2）得215215 m. 九、（本题满分 16 分） 解：在图中 30的弓形弧 BC，令 MB BC， NC BC， 由题意知， A 点在不含端点的 BM、 CN 上 . 且 BDADDM, 故33 DMDGBD ， AB CDM NGSu.15 整理 第 11 页 2014-7-27 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 但21321 ，D MBD， 61361 DG. 2003年 武进区初中数学教师解题竞赛试题 命题人：于新华 一、选择题 （每题 6 分） 1、如果一个三角形的一条边是另一条边的 2 倍，并且有一个角是 30，那么这个三角形的形状是 （ ） A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不能唯一确定 2、如图，正比例函数 )0( kkxy 与反比例函数xy 1的图象 相交于A、 C 两点，过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于 B，连结 BC，若 ABC 的 面积为 S，则 （ ） A、 S 1 B、 S 2 C、 S 3 D、 S 的值不确定 3、某工厂第二季度比第一季度的产值增长了 x，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x。则第三季度的产值比第一季度的产值增长了 （ ） A、 2x B、 1 2 x C、（ 1 x） x D、（ 2 x） x 4、设 P12 1220022001， Q12 1220032002，则 P 与 Q 的大小关系是 （ ） A、 P Q B、 P Q C、 P Q D、不能确定 5、边长为整数，周长等于 21 的等腰三角形共有 （ ） A、 4 个 B、 5 个 C、 6 个 D、 7 个 6、如果 1x 、 2x 是两个不相等的实数，且满足 12003 121 xx ， 12003 222 xx ，那么 21xx 等于 （ ） A、 2003 B、 2003 C、 1 D、 1 7、若实数 x， y 满足条件 062 22 yxx ，则 xyx 222 的最大值是 （ ） A、 14 B、 15 C、 16 D、不能确定 8、如图 1，图中平行四边形共有的个数是 （ ） A、 40 B、 38 C、 36 D、 30 Su.15 整理 第 12 页 2014-7-27 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 AB CD PA BCD （图 1） （图 2） （图 3） 9、如图 2，矩形 ABCD 被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积等于 1，则矩形 ABCD 的面积等于 （ ） A、 152 B、 143 C、 132 D、 108 10、如图 3，若 PA PB， APB 2 ACB， AC 与 PB交于点 D，且 PB 4， PD 3，则 AD DC等于 （ ） A、 6 B、 7 C、 12 D、 16 二、填空题 （每题 6 分） 11、 ABC 中， AB 32 ， AC 2， BC 边上的高为 3 ，则 BC 边的长为。 12、锐角 ABC 中， a 1， b 2，则 c 边的取值范围是（用不等式表示）。 13、若 a 2b 3c 4,5a 6b 7c 8，则 9a 2b 5c。 14、一个游泳池的形状如下面左边第一个图所示，现在以固定的流量向游泳池内注水，那么能够大致表示水高 h 与时间 t 的关系应是在下面右边六个图像中的（填标号）。 15、已知锐角 ABC 中， A 60， BD 和 CE 都是 ABC 的高。如果 ABC 的面积为 12，那么四边形 BCDE 的面积为。 三、解答题 （每题 12 分） 16、已知：不论 k 取什么实数，关于 x 的方程 1632 bkxakx（ a、 b 是常数）的根总是 x 1，试求 a、 b 的值。 Su.15 整理 第 13 页 2014-7-27 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 17、如图，在直角坐标系 xOy 中，已知 A（ 12,0）， B（ 0,9）， C（ 3,0）， D（ 0,4）， Q 为线段 AB 上一动点， OQ 与过 O、 C、 D 三 点的圆交于点 P。问 OP OQ 的值是否变化？证明你的结论。 18、请设计一种方案：把一个正方形剪两刀，使剪得的三块 图形能够拼成一个三角形，并且使拼成的三角形既不是直角三角形也不是 等腰三角形。画出必要的示意图，并附以简要的文字说明。 19、某市为了节约用水，规定：每户每月用水量不超过最低限量 3am 时，只付基本费 8 元和定额损耗费 c 元（ c 5）；若用水量超过 3am 时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每 1 3m 付 bAB CDO ABCDPQxySu.15 整理 第 14 页 2014-7-27 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 元的超额费。 某市一家庭今年一月份、二月份和三月份的用水量和支付费用如下表所示： 用水量（ 3m ） 交水费（元） 一月份 9 9 二月份 15 19 三月份 22 33 根据上表的表格中的数据，求 a、 b、 c。 20、在两个三角形的六对元素（三对角与三对边）中，即使有五对元素对应相等，这两个三角形也未必全等。 试给出一个这样的例子，画出简图，分别标出两个三角形的边长。 为了把所有这样的反例都构造出来，试探求并给出构造反例的一般规律（要求过程完整，述理严密，结论明晰）。 武进区初中数学教师解题竞赛试题参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D A B D B C B B 二、填空题 11、 4 或 2 12、 53 c 13、 24 14、 15、 9 三、解答题 16、解：把 x 1 代入原方程并整理得（ b 4） k 7 2a Su.15 整理 第 15 页 2014-7-27 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 要使等式（ b 4） k 7 2a 不论 k 取什么实数均成立，只有02704ab 解之得 27a， 4b 17、解：点 Q 在线段 AB 上运动的过程中， OP OQ 的值是不变的。 证明如下：连结 DC、 PC 31 OAODOBOC， COD BOA Rt COD BOA 1 A O、 C、 P、 D 四点共圆 1 2 2 A POC AOQ POC AOQ OAOPOQOC OP OQ OC OA 36 18、解：如图，在 AD 边上任取一点 N，使点 N 不是边 AD 的 中点。分别作出线段 AN、 DN 的中点 1O 、 2O ，把 AB 1O 绕点 1O 旋转 180 得NM 1O ，再把 CD 2O 绕点 2O 旋转 180得 MN 2O 。这样由 MN 1O 、 MN 2O 以及四边形 1O BC 2O 拼成了一个 MBC，显然这个三 角形既不是等腰三角形，也不是直角三角形。 就是说，只要把当初的正方形 ABCD 沿 B 1O 、 C 2O 剪两刀， 则得到的三块图形就可以如图所示地拼成一个符合题意的三角形。 下面再提供几种裁剪方案（仔细揣摩吧，一些说明就省了）： AB CDEFGM N A BC DEF GH A BC DEF GO O ABCDPQxy12AB CDO OMN1 2Su.15 整理 第 16 页 2014-7-27 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 AB CDEFG A BC DEFGO 19、解：设每月用水量为 x 3m ，支付水费为 y 元。则 axcaxbaxcy,)(8 0,8 由题意知： 0 c 5 0 8 c 13 从表中可知，第二、三月份的水费均大于 13 元，故用水量 15 3m 、 22 3m 均大于最低限量 a 3m ，将 x 15， x 22 分别代入式，得 cabcab)22(833 )15(819 解得 b 2， 2a c 19 再分析一月份的用水量是否超过 最低限量，不妨设 9 a，将 x 9 代入，得 9 8 2（ 9 a） c，即 2a c 17 与矛盾。 故 9 a，则一月份的付款方式应选式，则 8 c 9， c 1 代入式得， a 10。 综上得 a 10， b 2， c 1。 20、解：如下图， ABC 与 CBA 是相似的（相似比为 2 ），但它们并不全等，显然它们之中有五对元素是对应相等的。 2222AB CAB C122 容易知道，要构造的两个三角形必不是等腰三角形，同时它们应是相似的。设小 ABC 的三边长分别为 a、 b、 c，且不妨设 a b c，由小 ABC 到大 CBA 的相似比为 k，则 k 1。 CBA 的三边长分别为 ka、 kb、 kc，且 a ka kb kc 在 ABC 中，与 CBA 中两边对应相等的两条边只可能是 b 与 c b c kc 在 CBA 中，与 b、 c 对应相等的两条边只可能是 ka、 kb Su.15 整理 第 17 页 2014-7-27 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 kbckab 由 a 到 b、由 b 到 c 应具有相同的放大系数（用高中的数学语言来讲， a、 b、 c 成公比为 k的等比数列），这个系数恰为 ABC 与 CBA 的相似比 k。 下面考虑相似比 k 所受到的限制： ABC 的三边长分别为 akkaa 2、 ，且 a 0， k 1 akkaa 2 解之得 1 k2 51 （注：2 51 1.168） 因 此构造反例时，只要先选取一个正数 a 作为 ABC 最小边的长，再设定一个 1 1.168 之间的放大系数 k，从而写出另外两条边的长 akka 2、 。然后在 ABC 的基础上，以前面的放大系数 k 为相似比，再写出另一个 CBA 的三边长 akakka 32 、 。通过这种方法，可以构造出大量符合题意的反例。 (2002.12.15) 2003广州 初中数学青年教师解题竞赛试卷 一、填空（本题共有 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 把多项式 yxyyx922 分解因式所得的结果是 _ 如果不等边三角形各边长均为整数，且周长小于 13，那么这样的三角形共有 _个 函数 223 xxy 中，自变量 x 的取值范围是 _ 若关于未知数 x的一元二次方程 032)1( 22 mmxxm 有一个根为 0，则 m 的值为 _ 条件 P: 1x 或 2x ，条件 q: 11 xx 中， P 是 q 的 _条件（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中的一个） 两个等圆相交于 A、 B 两点，过 B 作直线分别交两圆于点 C、 D那么 ACD 一定是 _三角形（要求以边或角的分类作答） 一直角三角形的斜边长为 c，它的内切圆的半径是 r，则内切圆的面积与三角形的面 积的_ Su.15 整理 第 18 页 2014-7-27 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 不等边三角形 ABC 的两条高的长度分别为 4 和 12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大可能是 _ 二、（本题满分 12 分） 如图，已知点 A 在 O 上，点 B 在 O 外， 求作一个圆，使它经过点 B，并且与 O相切于点 A （要求写出作法，不要求证明） 三、（本题满分 12 分） 10一次选拔考试的及格率为 25%，及格者的平均分数比规定的及格分数多 15 分，不及格者的平均分数比规定的及格分数少 25 分，又知全体考生的平均分数是 60 分，求这次考试规定的及格分数是多少？ 四、（ 本题满分 13 分） 11有 30 根水泥电线杆，要运往 1000 米远的地方开始安装，在 1000 米处放一根，以后每 50米放一根，一辆汽车每次只能运 3 根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少千米？ 五、（本题满分 13 分） 12正实数 a、 b满足 ab=ba，且 a 1，求证： a=b. 六、（本题满分 14 分） 13 已知 m 为整数，且 12 m 40，试求 m 为何值时，关于未知数 x 的方程08144)32(2 22 mmxmx 有两个整数根 七、（本题满分 14 分） 14如图，已知 A、 B 是锐角 的 OM 边上的 两个定点， P 在 ON 边上运动问 P 点在什么位置 时， 22 PBPA 的值最小？ 八、（本题满分 16 分） 15已知抛物线 cbxaxy 2 的顶点在直线 xy 上，且这个顶点到原点的距离为 2 ，又知抛物线与 x轴两交点横坐标之积等于 1 ，求此抛物线的解析式 九、（本题满分 16 分） 16已知 ABC 是锐角三角形 A B O A B M N O Su.15 整理 第 19 页 2014-7-27 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 求证： 2sinA cosB+cosC； 若点 M在边 AC上，作 ABM 和 CBM的外接圆，则当 M在什么位置时，两外接圆的公共部分面积最小？ 2005年武进区初中数学教师解题竞赛试题 命题人：于新华 一、选择题 （每题 6 分） 1、如果一个三角形的一条边是另一条边的 2 倍，并且有一个角是 30，那么这个三角形的形状是 （ ） A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不能唯一确定 2、如图，正比例函数 )0( kkxy 与反比例函数xy 1的图象相交于 A、 C 两点，过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于 B，连结 BC，若 ABC 的面积为 S，则 （ ） A、 S 1 B、 S 2C、 S 3 D、 S 的值不确定 3、某工厂第二季度比第一季度的产值增长了 x，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x。则第三季度的产值比第一季度的产值增长了 （ ） A、 2x B、 1 2 x C、（ 1 x） x D、（ 2 x） x 4、设 P12 1220022001， Q12 1220032002，则 P 与 Q 的大小关系是 （ ） A、 P Q B、 P Q C、 P Q D、不能确定 5、边长为整数，周长等于 21 的等腰三角形共有（ ） A、 4 个 B、 5 个 C、 6 个 D、7 个 6、如果 1x 、 2x 是两个不相等的实数，且满足 12003 121 xx ， 12003 222 xx ，那么 21xx 等于 （ ） A、 2003 B、 2003 C、 1 D、 1 7、若实数 x， y 满足条件 062 22 yxx ，则 xyx 222 的最大值是 （ ） A、 14 B、 15 C、 16 D、不能确定 8、如图 1，图中平行四边形共有的个数是（ ） A、 40 B、 38 C、 36 D、 30 AB CD PA BCD （图 1） （图 2） （图 3） 9、如图 2，矩形 ABCD 被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积等于 1，则矩形 ABCD 的Su.15 整理 第 20 页 2014-7-27 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 面积等于 （ ） A、 152 B、 143 C、 132 D、 108 10、如图 3，若 PA PB， APB 2 ACB， AC 与 PB交于点 D，且 PB 4， PD 3，则 AD DC等于 （ ） A、 6 B、 7 C、 12 D、 16 二、填空题 （每题 6 分） 11、 ABC 中， AB 32 ， AC 2， BC 边上的高为 3 ，则 BC 边的长为。 12、锐角 ABC 中， a 1， b 2，则 c 边的取值范围是 （用不等式表示）。 13、若 a 2b 3c 4,5a 6b 7c 8，则 9a 2b 5c。 14、一个游泳池的形状如下面左边第一个图所示，现在以固定的流量向游泳池内注水，那么能够大致表示水高 h 与时间 t 的关系应是在下面右边六个图像中的（填标号）。 15、已知锐角 ABC 中， A 60， BD 和 CE 都是 ABC 的高。如果 ABC 的面积为 12，那么四边形 BCDE 的面积为。 三、解答题 （每题 12 分） 16、已知：不论 k 取什么实数，关于 x 的方程 1632 bkxakx（ a、 b 是常数）的根总是 x 1，试求 a、 b 的值。 17、如图，在直角坐标系 xOy 中，已知 A（ 12,0）， B（ 0,9）， C（ 3,0）， D（ 0,4），Q 为线段 AB 上一动点， OQ 与过 O、 C、 D 三点的圆交于点 P。问 OP OQ 的值是否变化？证明你的结论。 18、请设计一种方案：把一个正方形剪两刀，使剪得的三块图形能够拼成一个三角形，并且使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形。画出必要的示意图，并附以简要的文字说明。 19、某市为了节约用水，规定：每户每月用水量不超过最低限量 3am 时，只付基本费 8 元和定额损耗费 c 元（ c 5）；若用水量超过 3am 时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每 1 3m 付 b 元的超额费。 某市一家庭今年一月份、二月份和三月份的用水量和支付费用如下表所示： 用水量（ 3m ） 交水费（元） 一月份 9 9 二月份 15 19 三月份 22 33 根据上表的表格中的数据，求 a、 b、 c。 20、在两个三角形的六对元 素（三对角与三对边）中，即使有五对元素对应相等，这两个三角形也未必全等。 试给出一个这样的例子，画出简图，分别标出两个三角形的边长。 AB CDO ABCDPQxySu.15 整理 第 21 页 2014-7-27 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 为了把所有这样的反例都构造出来，试探求并给出构造反例的一般规律（要求过程完整，述理严密，结论明晰 武进区初中数学教师解题竞赛试题参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D A B D B C B B 二、填空题 11、 4 或 2 12、 53 c 13、 24 14、 15、 9 三、解答题 16、解：把 x 1 代入原方程并整理得（ b 4） k 7 2a 要使等式（ b 4） k 7 2a 不论 k 取什么实数均成立，只有02704ab 解之得 27a， 4b 17、解：点 Q 在线段 AB 上运动的过程中， OP OQ 的值是不变的。 证明如下：连结 DC、 PC 31 OAODOBOC， COD BOA Rt COD BOA 1 A O、 C、 P、