（计算数学专业论文）含自相容源非等谱方程的反散射变换.pdf

；：；：；*，p 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究 工作除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已发表和撰写过的研究成果参与同一工作的其他同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了说明并表示了谢意 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和 借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容 签名趁新签名：l 丝! 醵期：巡：型三： 上海大学理学博士学位论文 含自相容源非等谱方程的反散射变换 作者： 导师： 专业： 李琪 张大军教授 陈登远教授 计算数学 上海大学理学院 二零零九年十二月 ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt os h a n g h a iu n i v e r s i t y f o rt h ed e g r e eo fd o c t o ri ns c i e n c e i n v e r s esc a t t e r i n gt r a n s f o r mf o rt h en o n - 。p e c t r a e q u a t i o n sw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts ourceslsose c t r a l q u a t i o n sw i t h e lc o n s i s t e n to u r c e s p h d c a n d i d a t e ：l iq i s u p e r v i s o r ：p r o f z h a n gd a - ju n p r o f c h e nd e n g - y u a n m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s s c h o o lo fs c i e n c e s ，s h a n g h a iu n i v e r s i t y 1 2 ，2 0 0 9 2 0 0 9 上海大学博士学位论文 摘要 本文主要研究利用反散射变换方法求解一类含自相容源的可积系统，包括含自 相容源的a k n s 方程族、含自相容源的非等谱k d v 方程族、含自相容源的非等谱 m k d v 方程族和含自相容源的非等谱非线性s h r 6 d i n g e r ( n l s ) 方程族，并分析孤子解 的性质考虑利用正散射问题中j o s t 函数的存在唯一性，将含自相容源的等谱和非 等谱a k n s 方程族约化到含自相容源的m k d v 方程族、s i n e - g o r d o n 方程族和非线 性s h r i k l i n g e r ( n l s ) 方程族，并约化到解最后，从l a x 对出发，得到一些含自相容源 的等谱方程族的无穷守恒律 第二章中，为完整性考虑，以含自相容源的a k n s 方程族为例，利用反散射变 换方法得到方程族的解第三章由一阶谱问题出发导出含自相容源的非等谱m k d v 方程族和非线性s h r 6 d i n g e r ( n l s ) 方程族利用反散射变换方法具体给出方程族的 解，并分析解的动力学特征第四章从含自相容源的a k n s 方程族出发，考虑利用 其j o s t 函数的存在唯一性，得到方程族的约化将含自相容源的a k n s 方程族约化 到含自相容源的m k d v 方程族、s i n e - g o r d o n 方程族和非线性s h r s d i n g e r ( n l s ) 方程 族，并得到解的约化分析含自相容源的非等谱s i n e - g o r d o n 方程解的性质第五章从 s c h r s d i n g e r 谱问题出发导出含自相容源的非等谱k d v 方程族，利用反散射变换方法 具体给出方程族解的表达式，并分析解的动力学特征，包括单孤子的特性，双孤子的 弹性散射， g h o s t ”孤子等第六章从l a x 对出发获得含自相容源的等谱a k n s 方程 族、k n 方程族和a l 方程族的无穷守恒律并考虑直接由含自相容源的等谱a k n s 方程族的无穷守恒律约化到含自相容源的等谱m k d v 方程族和n l s 方程族的无穷 守恒律；从拟微分算子出发，由l a x 方程获得含自相容源的等谱k p 方程族的无穷守 恒律 关键词：反散射变换方法，含自相容源的方程族，约化，精确解，无穷守恒律 a b s t r a c t i nt h ep a p e r ，b yt h ei n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r m ( i s t ) ，s o l u t i o n so fs o m ei n t e g r a b l e e q u a t i o n sw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e sa r eo b t a i n e d t h e s ee q u a t i o n sa r et h ea k n sh i e r - a r c h yw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e s ，t h en o n - i s o s p e c t r a lk d vh i e r a r c h yw i t hs e l f - c o n s i s t e n t s o u r c e s ，t h en o n i s o s p e c t r a lm k d vh i e r a r c h yw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e sa n dt h en o n - i s o s p e c t r a ln o n l i n e a rs c h r s d i n g e r ( n l s ) h i e r a r c h yw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e s d y n a m i c s o fs o m eo b t a i n e ds o l u t i o n sa r ei n v e s t i g a t e d r e d u c t i o n so ft h ea k n sh i e r a r c h i e sw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e sa r ec o n s i d e r e df r o mt h eu n i q u e n e s so fj o s tf u n c t i o n s t h ei s o s p e c t r a l a n dn o n - i s o s p e c t r a la k n sh i e r a r c h i e sw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e sa n dt h e i rs o l u t i o n sa r e r e d u c e dt ot h em k d vh i e r a r c h i e sw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e s ，t h es i n e - g o r d o n ( s g ) h i e r - a r c h i e sw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e sa n dt h en l sh i e r a r c h i e sw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e s t h e i n f i n i t e l ym a n yc o n s e r v a t i o nl a w so fs o m eh i e r a r c h i e sw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e sa r e d e r i v e df r o ml a xp a i r s i nc h a p t e r2 ，f o rc o m p l e t e n e s s ，w ed e r i v eo u ti s o s p e c t r a la n dn o n i s o s p e c t r a la k n s h i e r a r c h i e sw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e s ，a n dr e p e a tt h ei s tp r o c e d u r ef o ri s o s p e c t r a lc a s e i nc h a p t e r3 ，w ed e r i v es o m ec l a s s i c a ln o n - i s o s p e c t r a lh i e r a r c h i e si n c l u d i n gt h en o n i s o s p e c - t r a lm k d vh i e r a r c h yw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e sa n dt h en o n i s o s p e c t r a ln l sh i e r a r c h y w i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e s t h e nw ed e r i v et h e i rs o l u t i o n st h r o u g ht h ei s ta n da l s o i n v e s t i g a t ed y n a m i c so fs o m es o l u t i o n s i nc h a p t e r4 ，t h er e d u c t i o n sa r ec o n s i d e r e db y m a k i n gu s eo ft h eu n i q u e n e s so fj o s tf u n c t i o n s t h ea k n sh i e r a r c h i e sw i t hs e l f - c o n s i s t e n t s o u r c e sa n dt h e i rs o l u t i o n sa r er e d u c e dt ot h em k d vh i e r a r c h yw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e s ， t h es gh i e r a r c h yw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e sa n dt h en l sh i e r a r c h yw i t hs e l f - c o n s i s t e n t s o u r c e sa n dt h e i rs o l u t i o n s d y n a m i c so fs o m es o l u t i o n sa r ei n v e s t i g a t e d i nc h a p t e r5 ， w ed e r i v eo u tt h en o n i s o s p e c t r a lk d v h i e r a r c h yw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e s s o l u t i o n s a r eo b t a i n e db yt h ei s t n o n i s o s p e c t r a ld y n a m i c s ，i n c l u d i n gl - s o l i t o nc h a r a c t e r i s t i c s ， t w os o l i t o n ss c a t t e r i n ga n ds p e c i a lb e h a v i o r sr e l a t e dt os o u r c e s ( f o re x a m p l e ，t h e “g h o s t ” s o l i t o n si nd e g e n e r a t e2 - s o l i t o nc a s e ) ，a r ei n v e s t i g a t e da n a l y t i c a l l y i nc h a p t e r6 ，t h e i n f i n i t e l ym a n yc o n s e r v a t i o nl a w so fs o m eh i e r a r c h i e sw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e sa r ed e - r i v e df r o ml a xp a i r s t h ee x a m p l e si n c l u d ei s o s p e c t r a la k n s s c sh i e r a r c h y , i s o s p e c t r a l k a u p - n e w e l l ( k n ) h i e r a r c h yw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e s ，i s o s p e c t r a la b l o w i t z - l a d i k ( a l ) h i e r a r c h yw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e sa n di s o s p e c t r a lk ph i e r a r c h yw i t hs e l f - c o n s i s t e n t i i 2 0 0 9 上海大学博士学位论文 i i i k e yw o r d s ： i n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r m ，h i e r a r c h i e sw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e s ，r e - d u c t i o n ，e x a c ts o l u t i o n s ，i n f i n i t e l ym a n yc o n s e r v a t i o nl a w s 第一章 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 第二章 2 1 2 2 2 3 目录 绪论 引言 孤子理论的产生和发展 孤子方程的求解 含自相容源的可积系统 无穷守恒律 本文的主要工作 含自相容源的a k n s 方程族 含自相容源的a k n s 方程族的导出 正散射问题 2 2 1 本征函数的性质 2 2 2 谱的分布 反散射问题 2 3 1 平移变换与g l m 积分方程 2 3 2 散射数据随时间的发展 2 3 3 无反射势与多孤子解 第三章含自相容源的非等谱m k d v 和n l s 方程族 3 1 含自相容源的非等谱m k d v 程族； 3 1 1 含自相容源的非等谱m k d v 方程族的导出 3 1 2 正散射问题 3 。1 3 散射数据随时间的发展 3 1 4 无反射势与多孤子解 3 2 含自相容源的非等谱n l s 方程族 3 2 1 含自相容源的非等谱n l s 方程族的导出 3 2 2 正散射问题 3 2 3 散射数据随时间的发展 3 2 4 无反射势与多孤子解 第四章含自相容源的a k n s 方程族及其解的约化 5 0 4 1 约化到含自相容源的m k d v 方程族及其解5 0 i 1 1 2 5 6 7 8 8 n n m 拍 埔 弱 鸦 约 四 驼 ：； 盯 铊 躬 蚯 i i 含自相容源非等谱方程的反散射变换 4 1 1 方程族的约化5 0 4 1 2 解的约化5 l 4 2 约化到含自相容源的s i n e - g o r d o n 方程族及其解5 2 4 2 1 方程族的约化5 2 4 2 2 解的约化。5 5 4 3 约化到含自相容源的n l s 方程族及其解5 6 4 3 1 方程族的约化5 6 4 3 2 解的约化5 8 第五章含自相容源的非等谱k d v 方程族的解 5 9 5 1 含自相容源的非等谱k d v 方程族的导出5 9 5 2 正散射问题6 0 5 2 1 本征函数的性质6 0 5 2 2 反射系数与穿透系数6 3 5 2 3 谱的分布6 4 5 3 反散射问题6 5 5 3 1 平移变换与g l m 积分方程6 5 5 3 2 散射数据随时间的发展。6 8 5 3 3 无反射势与多孤子解7 3 第六章含自相容源的等谱方程族的无穷守恒律 7 8 6 1 低维含自相容源的等谱方程族的无穷守恒律7 8 6 1 1 含自相容源的等谱a k n s 方程族的无穷守恒律7 8 6 1 2 无穷守恒律的约化8 0 6 1 3 含自相容源的等谱k a u p - n e w e l l 方程族的无穷守恒律8 1 6 1 4 含自相容源的等谱a b l o w i t z - l a d i k 方程族的无穷守恒律8 4 6 2 含自相容源的等谱k p 方程族的无穷守恒律8 8 6 2 1 拟微分算子的概念及公式8 9 6 2 2 含自相容源的等谱k p 方程族9 0 6 2 3 无穷守恒律9 7 参考文献 1 0 2 博士期间科研成果 致谢 1 1 0 1 1 1 第一章绪论 1 1 引言 孤子理论是应用数学和数学物理的重要组成部分，已成为非线性科学中的一个 重大研究课题近些年来，该领域得到迅猛发展从物理学角度看，孤子方程广泛存 在于流体力学、固体力学、等离子体、凝聚态、非线性光学等领域中经典的方程， 如k d v 方程，s i n e - g o r d o n ( s g ) 方程，非线性s c h r s d i n g e r ( n l s ) 方程，都是物理现象的 模型研究这类方程有助于人们对其表现的物理现象的深刻了解，并有助于该领域的 发展从数学上看，孤子理论的研究涉及很多数学分支，如微分方程、泛函分析、微 分几何、代数几何、拓扑学、辛几何、李群与李代数和无穷维代数，动力系统以及计 算数学等它的研究对这些数学分支的发展都有重要的推动作用 1 2孤子理论的产生和发展 孤子理论的发展经历了几个重要的阶段孤立波现象的发现，浅水波方程( k d v 方程) 的建立，通过数值计算发现孤波的稳定性，反散射变换方法的提出和推广及其 它方法的提出 1 8 3 4 年，英国科学家r u s s e l l 1 】偶然发现了一种奇妙的浅水波现象，这种水波在 行进过程中波形和速度并无明显的变化，由此给出平移波的有关结论而g b a i r y 和g e o r g es t o k e s 爵士认为，波动应该是一部分在水面上，一部分在水面下，而不是都 在水面上但是他们的疑问源于他们所研究的波所处的水深与波长之比与r u s s e l l 所 研究的波不同产生的 直到1 8 9 5 年，荷兰数学家k o r t e w e g 和他的学生d ev r i e s 在长波近似和小振幅的 假设下，由e u l e r 方程导出了流体中单向传播的浅水波运动方程 裳= 罢鑫c 礼q 卵+ 三务口= 筹 2 m 经过g a l i e a n 和尺度变换后可写为 毗+ 6 u u z + t z = 0 ，( 1 2 2 ) 这就是著名的浅水波方程 2 】( k d v 方程) k o r t e w e g 和d ev r i e s 进而求得了k d v 方 程的行波解 u ( z ，t ) = 虿k 2 s e c h 2 七( x - k 2 t + 2 含自相容源非等谱方程的反散射变换 这里常数七2 是波速，譬是振幅这从数学上解析地分析了r u s s e l l 所观察到的波 1 9 5 5 年，物理学家f e r m i 、p a s t a 和u l a m 发表“s t u d i e so fn o n l i n e a rp r o b l e m ”一 文【3 】3 ，他们通过数值计算发现了与实验预期不同的结果通过建立数学模型，用计 算机模拟，验证两端固定的弦上多个质点的振动的能量均分定理，却发现不是所有 振动模式都具有相同的平均能量，能量仅在最低的具有初始势能的几个模式上转移， 最终集中在最低的振动模式此实验的结果( f p u 现象) 引起人们对非线性问题的 关注 1 9 6 5 年，美国数学家m d k r u s k a l 和n j z a b u s k y 4 1 为揭示f p u 现象，用数值 模拟的方法，发现弦的位移满足k d v 方程在满足一定的初始条件下，弦表现的波 形中出现孤波现象，并且发现孤波间的相互碰撞及其相互作用的特点：孤波碰撞 前后保持高度不变，碰撞时一个波穿过另一个波，波形与波速不变，仅发生了相移 k r u s k a l 和z a b u s k y 将这种孤波命名为“孤立子”( s o l i t o n ) 虽然在此之前，r u s s e l l ； a s e e g e r ，h d o n t h ，a k o c h e n d s f e r ( 1 9 5 3 年) ；j k p e r r i n g ，t h s k y r m e ( 1 9 6 2 年) 分别通 过观察、实验和数值模拟等方法发现双孤波的碰撞或得到孤波碰撞的解析表示式， 但在k r u s k a l 和z a b u s k y 的这项里程碑式的研究工作之后，关于孤波的稳定性得到 认可，同时促使人们考虑流体以外领域孤波的存在性 1 3 孤子方程的求解 求解孤子方程是孤子理论中重要的研究课题之一寻找孤子方程的精确解有助 于了解孤子方程的本质属性和代数结构一些有效、成功的求解方法有：反散射变 换、d a r b o u x 变换、b 苴c l 【l u n d 变换、双线性方法、p a i n l e v 6 分析法、变量分离法等 反散射方法 1 9 6 7 年，g a r d n e r ，g r e e n e ，k r u s k a l 和m i u r a ( 简称g g k m ) 发现可以用s c h r s d i n g e r 方程的反散射理论求解k d v 方程的初值问题【5 】他们首先对k d v 方程( 1 2 2 ) 作 m i u r a 变换【6 】 u = 一( v x + , 0 2 ) ， 再利用c o l e - h o p f 变换移= 饥及k d v 方程在g a l i l e a n 变换札一t 一入，t t ，z _ z + 6 a t 之下的不变性，将m i u r a 变换线性化为一维定态的s e h r 6 d i n g e r 方程 。+ t ( z ，t ) 1 f ，= a 妒( 1 3 1 ) 如果方程( 1 3 1 ) 的势函数u ( t ，z ) 按照k d v 方程( 1 2 2 ) 随时间t 演化，那么波函数 妒也依赖于时间，若假定波函数有时间发展式 妒= a 妒+ b 饥，( 1 3 2 ) 2 0 0 9 上海大学博士学位论文 3 当丸= 0 ，并取a = 一，b = 4 a + 2 u 时则由线性问题( 1 3 1 ) 和( 1 3 2 ) 的相容性而 得k d v 方程( 1 2 2 ) 他们把求解过程分为两个步骤：一是正散射问题即给定位势u ，研究线性 问题( 1 3 1 ) 波函数的性质求得离散谱和连续谱等散射数据为了使具有初值问题 的k d v 方程( 1 2 2 ) 有解，必须要求当z _ 4 - o o 时，u ( x ) _ 0 相当快，以满足f a d - d e e v ( l d f 铡d e e v ) 条件；j ：( 1 + ) i u ( z ) i 如 0 ，n = 1 ，2 ，) 和本征函数有界的连续谱入= 一k 2 ( 1 ，这 种规范变换往往找不到【删若与时间变量有关的谱参数取成a t = a j a j ，系数 q f 对应某种松弛效应如一个h i r o t a - s a t s u m a 方程( 带消失和非均匀项的k d v 方 程) 的谱参数取为a = 一2 q a ，q 描述了松弛效应和介质的非均匀性 8 5 j 此外，与 a t = 联系的非等谱流通常起到主对称的作用，并产生依赖于时间的对称【1 0 5 ，8 6 1 5 无穷守恒律 物理学中有三个重要的守恒律即质量守恒律、动量守恒律和能量守恒律量子 力学中的守恒量来源于系统所处势场的对称性在数学上，无穷守恒律、无穷对称和 多h a m i l t o n 结构是可积系统的三大代数特征 8 7 】这三个特征通过守恒量、守恒协 变量、梯度和递推算子及遗传强对称性质等实现其内在联系 当给定一般非线性偏微分方程f ( t u ) = 0 ，其中u = u ( t ，z ) 是时间变量t 与空 间变量z 的函数，而f ( t ，z ，u ) 是t ，z ，u 及u 的导数的函数，若存在一对连续可微函数 w ( t ，z ，仳) 和j ( t ，z ，u ) ，使得当u 按此方程发展时满足关系式o t w ( t ，z ，t 1 ) = 良j ( t ，z ，u ) ， 即守恒律，而w ( t ，z ，u ) 和j ( t ，z ，u ) 分别称为守恒密度与连带流若当蚓趋于无穷 时，密度与流充分快地趋于零，则积分：w ( t ，z ，u ) d x 与时间t 无关而为方程的守恒 量离散或高维系统的无穷守恒律有类似的定义 无穷多个守恒律和孤子解的存在是紧密相关的具有孤子解的非线性方程大多 有无穷多个守恒律正如l a x 指出的，具有无穷多个守恒律，正是k d v 方程区别于 其它一些发展方程的重要特征1 9 6 8 年m i u r a 、g a r d n e r 和k r u s k a 发现k d v 方程具 有无穷守恒律 8 8 】，之后出现了一些构造无穷多守恒律和守恒量的方法，如从l a x 对出发，利用相容性构造守恒律，由r i c c a t i 方程的解进一步获得整个发展方程族的 无穷守恒律 8 9 】通过特征函数的形式解，从l a x 对出发获得整个发展方程族的无 穷守恒律【9 0 】通过散射问题及散射量口( a ) 的渐近展开式得到与谱问题相联系的无 穷多个守恒量【9 1 】利用迹恒等式以获得守恒律【9 2 】以上方法已推广至离散系统 【9 3 一 1 0 1 1 基于拟微分算子的高维系统也具有无穷多守恒量 1 0 3 一 1 0 5 有关获得无 穷守恒律的方法可见综述文章【1 0 2 2 0 0 9 上海大学博士学位论文 7 1 6 本文的主要工作 本文研究的主要内容有：利用反散射变换方法，研究含自相容源的可积系统的求 解问题，如a k n s s c s 方程族、非等谱k d v s c s 方程族、m k d v s c s 方程族和s g s c s 方程族，分析孤子解的性质在已有的文献中，a k n s s c s 方程族的约化并未实现我 们发现，利用a k n s 谱问题j o s t 解的存在唯性，可以实现等谱和非等谱a k n s s c s 方程族的约化，约化到m k d v s c s 方程族、s g s c s 方程族和n l s s c s 方程族，并约化 到解另外，从l a x 对出发，得到一些含自相容源的等谱方程族的无穷守恒律及约化 第二章中，为了本文的完整性，我们以含自相容源的a k n s 方程族( a k n s s c s ) 为例，利用反散射变换法，即考虑正散射问题、反散射问题，通过确定连续谱、离散 谱和归一化因子等散射数据，将问题转化为解三个线性方程后重构位势，得到解此 方程族包含了等谱以及非等谱两种情形 第三章由一阶谱问题出发导出非等谱m k d v s c s 方程族和n l s s c s 方程族利 用反散射变换方法具体给出非等谱m k d v s c s 方程族和n l s s c s 方程族的解表达式， 并分析解的动力学特征 第四章从a k n s 谱问题出发，考虑利用其j o s t 函数的唯一存在性，实现等谱和非 等谱a k n s s c s 方程族的约化，约化到m k d v s c s 方程族、s g s c s 方程族和n l s s c s 方程族，并得到解的约化 第五章从s c h r 6 d i n g e r 谱问题出发导出非等谱的k d v s c s 方程族，利用反散射变 换方法具体给出非等谱的k d v s c s 方程族的解表达式，并分析解的动力学特征，对 解进行渐近分析，得到不同条件下解的各种特征，包括单孤子的特性，双孤子的弹性 散射，“g h o s t ”孤子等 第六章从l a x 对出发，通过r i c c a t i 方程，利用相容性获得等谱a k n s s c s 、k n s c s 、 a l s c s 方程族的无穷守恒律并考虑直接由等谱a k n s s c s 方程族的无穷守恒律约 化到等谱m k d v s c s 方程族和n l s s c s 方程族的无穷守恒律；从拟微分算子出发，由 l a x 方程获得等谱k p s c s 的无穷守恒律 第二章含自相容源的a k n s 方程族 为了本文的完整性，我们以含自相容源的a k n s 方程族( a k n s s c s ) 为例，利用 反散射变换法，即考虑正散射问题、反散射问题，通过确定连续谱、离散谱和归一化 因子等散射数据，将问题转化为解三个线性方程后重构位势，得到解此方程族包含 了等谱以及非等谱两种情形 2 1含自相容源的a k n s 方程族的导出 ( ：) $ = 彳( 窆) ， 彳= - a 三) ， c 2 1 a ， ( 咖1 ，= n ( 2 ) ，= a - b a ) c 2 1 1 b ， 其中q = q ( t ，z ) ，r = r ( t ，z ) 是一对光滑的位势，a 是谱参数，而a ，b 与c 是变量 t ，z ，q ，r ，a 的待定函数由相应的零曲率方程 m t 一札+ 【m ，】= 0( 2 1 2 ) 给出 - a t a + 口c r b = 0 ， q t 一见一2 a b 一2 q a = 0 ， 由以上等式可得 a = a 一1 c n 口，( i 罗) 一九z + a 。， c 2 3 曲 ( ：) 。= l ( _ ：多) 一2 a ( ：多) + 2 a c ( ：? ) 一2 a 。( - ：_ ) ， c 2 3 b ， 其中a o = a o ( t ，a ) 为与z 无关的积分常数， 盯一na = 未，1 = 三c 仁一卜一- i ：) 2 0 0 9 上海大学博士学位论文 9 为得到等谱和非等谱a k n s 方程族，在( 2 1 3 ) 中取, 4 0 = 一( 2 入) “+ 丸，并将( 一b ，c ) t 展开成 c = m 壹= l c m 卜+ 三薹焉， 协， 这里( b ，c ) t i 。：0 = ( 0 ，o ) t ，t i = ( 口，r ) t ， 吻 是谱方程( 2 1 1 a ) 的2 n 个不同的本征值， 且 = 吻( 妃( z ，t ，心) ，咖毛( z ，t ，蜥) ) t ，u = 1 ，2 ，2 n ) ， ( 2 1 5 ) 吻) 为任意常数，( 1 j ，锄) 圭( 咖l j ( x ，t ，心) ，锄( z ，t ，心) ) 是满足谱问题( 2 1 1 a ) 的对应 于本征值p j 的本征函数，即 c u ，z = 一d j 咖l j + q c 2 j ，锄，童= r 咖l j + 助锄 ( 2 1 6 ) 工= 2 u f y j ， 把( 2 1 4 ) 代入( 2 1 3 b ) ，i t ；较a 的同次幂系数，得到 ( r q ) ，= l ( ：? ) 一薹吩( ：墓) ， c 2 1 7 a ， ( - b i n ) = l - l ( a o + b o z ) ( i 口) ，c m = 1 ，2 ，n ，c 2 1 孔， 若a t = 0 ，取( a o ，b o ) = ( 1 ，0 ) ，若a t = ( 2 入) n ，取( a o ，b o ) = ( 0 ，1 ) 因此，在等谱情形 时，有等谱a k n s s c s 方程族 ( ：) 。= 甬一薹吻( 耋塞) ， c n = 。，2 ，c 2 8 a ， c u ，霉= 一p j l j + g 锄，锄，z = 7 咖l j + 心锄， u = 1 ，2 ，2 n ) ，( 2 1 8 b ) 其中， 、 耻扩( ? ) ，( n = 0 , 1 , 2 , - - - ) ( 2 抛) 是a k n s 等谱流在( 2 1 8 ) 相应的l a x 对( 2 1 1 ) 中，a ，b ，c 为 ( 苫) = 酗+ 三薹南l 舰， a = ( 2 妒一扩1 ( 伽) k i n t 一三( 2 妒+ 三芒乞灿锄 ( 2 1 1 0 b ) m 2 1 = 1 o 1 0 含自相容源非等谱方程的反散射变换 特别地，等谱a k n s s c s 方程族( 2 1 8 ) 中第一个非平凡方程是m = 2 ) ( ：) 。= 蠡毛一薹( ：) ， c 2 1 1 1 a ， 1 j ，。= - - p j g b l j + g 锄，2 j ，毒= 7 1 j + 心巧， 0 = 1 ，2 ，2 n ) ，( 2 1 1 l b ) 其中， 配= - q x x - l - 2 q 2 r ) 是2 阶a k n s 等谱流相应的l a x 对中， 其中， ( 2 1 1 2 ) ( 苫) = 2 硒三薹去一工执， 舻1 ( r k o + 0 - l ( r , a ) 甄习12 妒+ 三薹南缟烁( 2 1 1 3 b ) 硒 a k n s s c s 方程族中第二个非平凡 其中， r x 凰一纠纷 e l i ，$ = 一心1 j + q c 2 j ，锄，。= r l j + 助锄， u = 1 ，2 ，2 n ) ， 蚝 是3 阶a k n s 等谱流相应的l a x 对中， ( 2 1 1 4 ) ( 2 1 1 5 a ) ( 2 1 1 5 b ) ( 2 1 1 6 ) ( 苫卜2 酬当南( 纷 a = 4 a 2 0 1 ( nq ) k o + 2 a 0 1 ( r ，q ) k 1 + a 一1 ( r ，q ) k 2 一 ( 2 a ) ”+ j 2 ：n 1 万1 j 锄， ( 2 1 1 7 ) 在非等谱情形时( 九= ( 2 a ) ”) ，得到非等谱a k n s s c s 方程族， ( r q ) 。= l n ( x 蠡，o ，一薹吩( 耋耄) ，c n = 。，2 ，c 2 - 8 a ， 1 j 芦= 一p j l j + g 锄，锄，。= r 1 j + 心锄， o = 1 ，2 ，2 n ) ( 2 1 1 8 b ) = = 研一0 j m 口r 寸一( 、l， r r g g 6 6 一 一 嚣 2 0 0 9 上海大学博士学位论文 1 1 其l a x 对( 2 1 1 ) 中， c = 和矿k 聃三薹尚坤1 执， n 1 2 n a 2 三( 2 砷n - m 0 - 1 ( r 批一1 ( z 硒) 一互1 ( 2 妒z + 主r 吻铂j 锄( 2 1 1 9 b ) j = 1a - p j ，n = 工 特别地，非等谱a k n s s c s 方程族( 2 1 1 8 ) 中第个非平凡的方程为= 2 ，a = 2 a 2 ) 。 鲍”仃甄乞盯【： 2 o - l q r 一岣 1 j ，霉= 一心l j + q 0 2 j ，掣切，善= r b l j + 心掣切， 其l a x 对( 2 1 1 ) 中 ( 苫) = 2 a z 硒+ 硒+ 们甄+ j = 1， ( 2 1 2 0 a ) ( 2 1 2 0 b ) ( 2 1 2 1 a ) a = 2 m _ 1 ( r ，g ) z 砌_ 1 ( r ，口) ( 硒+ 们k - ) + 三三2 n 芒笱札锄， ( 2 1 2 1 b ) - 非等谱a k n s s c s 方程族中第二个方程为= 3 ，九= 4 a 3 ) ( ：) 。= z j 6 + 3 盯蚤屯- - 2 k l o - l q r + 4q o - l q r z ) 一薹吩( ：嘉) ，c 2 2 2 a ， e l i 声= 一，t j l j + q c 2 j ，锄声= r l j + 心缟， u = 1 ，2 ，) ( 2 1 2 2 b ) 其l a x 对( 2 1 1 ) 中 ( 苫卜2 犏+ a x k l ) + 2 a k l + x 舻”三薹尚， ( 2 1 2 3 a ) a = 4 a 2 a 一1 ( r ，q ) z k o + 2 a o 一1 ( n q ) ( k o + 盯z k 1 ) + 0 - 1 ( r ，q ) ( 2 a k l + z k 2 2 1 r 0 0 1 q r ) 2 n 一却三薹忐虬锄( 2 2 3 b ) 2 2 正散射问题 2 2 1 本征函数的性质 正散射问题中，时间t 可视为哑变量，故我们在此节中将其略去 、l， 2 巧2 巧 一心 吩| i 一入 州雄