（理论物理专业论文）球型量子点中共振隧穿及共振态寿命的研究.pdf

摘要 半导体低维量子结构中的电子共振隧穿及隧穿过程的共振态寿命一直是人们非 常关注的问题，这是因为它不仅是一个重要的基础物理问题，而且有着潜在的应用前 景，为设计和实现更理想的量子器件提供物理模型和理论依据。本论文较为系统的研 究了具有重要理论研究价值和应用前景的球型量子点结构中的共振隧穿现象和共振 态寿命。 本论文的主要工作分为以下几部分： ( 1 ) 在g a a s i n a s 材料组成的球型量子点结构中，研究了共振隧穿问题。在有 效质量近似和绝热近似的框架下。研究了球型量子点结构的束缚能级的特点，同时应 用传递矩阵方法计算了电子在球型量子点结构中的隧穿几率。 结果表明：同一球型 量子点中有效势垒宽度( 把球型量子点中能级等效成台阶形势垒时每个势垒的宽度) 的改变并不影响共振峰出现的位置，随有效势垒宽度的增大共振峰加宽，峰谷比减小。 小尺寸的球型量子点要在较高能量处发生共振隧穿。这些都是奇特量子尺寸效应在球 型量子点中的具体体现。 ( 2 ) 利用波包在球型量子点结构中随时问演变规律计算了其中的共振态寿命， 并且利用共振能级宽度和寿命的不确定关系对共振态寿命进行了计算，两种计算得到 的结论非常吻合。这样使共振态寿命的计算过程变得简便了许多。因为共振态寿命最 终限制高速集成隧穿器件的操作速度，所以研究球型量子点结构中的共振态寿命，对 设计更加优化的高速共振隧穿器件非常有意义。 关键词：球型量子点；共振隧穿；共振态寿命 t h es t u d yo nt h er e s o n a n tt u n n e l i n ga n dl i f e t i m eo fr e s o n a n t s t a t ei nas p h e r i c a lq u a n t u md o t a b s t r a c t t h et r a n s p o r tp r o p e r t i e so fas i n g l ee l e c t r o ni nl o wd i m e n s i o n a ls e m i c o n d u c t o r s t r u c t u r eh a v eb e e ni n t e n s i v e l yc o n c e r n e di nr e c e n ty e a r s t h e s ep r o p e r t i e sa r en o to n l y s i g n i f i c a n t l yb a s i ct h e o r e t i c a lp h y s i c a lp r o b l e mb u ta l s oo fi m p o r t a n ta p p l i c a t i o ni nf u t u r e i nt h i sp a p e r , w eh a v em a d ead e t a i li n v e s t i g a t i o no ne l e c t r o n i cr e s o n a n t - t u n n e l i n g p h e n o m e n aa n dl i f e t i m eo fr e s o n a n ts t a t et h r o u g h as p h e r i c a lq u a n t u md o ts t r u c t u r ew h i c h h a v eg r e a tp o t e n t i a la p p l i c a t i o n si nf u t u r ed e v i c e s t h em a i np u r p o s e so f t h i st h e s i sa l e ： ( 1 ) w es t u d yt h er e s o n a n t - t u n n e l i n gp h e n o m e n ao f e l e c t r o ni nt h es p h e r i c a lq u a n t u m d o ts t r u c t u r ec o n s i s t i n go fc r a 枞s 。w ec a l c u l a t e dt r a n s m i s s i o np r o b a b i l i t yu s i n ga t r a n s f e rm a t r i xt e c h n i q u ei nt h ef r a m e w o r ko fe f f e c t i v em a s sa p p r o x i m a t i o n i nt h e s p l m - i e a lq u a n t u md o t , t h ee l e c t r o n i sc o n f i n e db o t hl a t e r a l l ya n dv e r t i c a l l y ；w es e p a r a t et h e m o t i o ni nt h ev e r t i c a la n dl a t e r a ld i r t i o n sw i t h i nt h ea d i a b a t i ca p p r o x i m a t i o n w ef o u n d t h a tt h es m a l l e rr a d i u so ft h eq u a n t u md o tl e a ds i g n i f i c a n t l yt oas h i f to fr e s o n a n tp e a k s t o w a r dt h eh i g h - e n e r g yr e g i o n ，a n dc a u s e st h eb r o a d e n i n go ft h er e s o n a n tp e a k sa n dt h e r e d u c t i o no f t h ep e a k - t o - v a l l e yr a t i oi nt r a n s m i s s i o ns p e c t r u m m e a n w h i l e ，o u rr e s u l t ss h 6 w t h a tt h er e s o n a n tp e a k sd o n tm o v ew i t hc h a n g i n gt h et h i c k n e s so fs l i c e ( w h e r ew eh a v e d i v i d e dt h es p h e r i c a lq u a n t u md o ti n t os l i c e sa l o n ga x i sz ) ( 2 ) w ec a l c u l a t e dt h el i f e t i m eo f r e s o n a n ts t a t eu s i n gt h et i m ee v o l u t i o no f t h ee l e c t r o n w a v ep a c k e ti nt h es p h e r i c a lq u a n t u md o t t h el i f e t i m ei sr e l a t e dt ot h ee n e r g yw i d t ho f t h e r e s o n a n tl e v e ld u et ot h eu n c e r t a i n t yp r i n c i p l e t h e s ev a l u e so fl i f e t i m ec o i n c i d ev e r yw e l l w i t ht h o s eo b t a i n e df r o ms i m u l a t i o no ft h ew a v ep a c k e lt h el i f e t i m eo fr e s o n a n ts t a t ei s s t u d i e dt oe s t i m a t et h el i m i tt oo p e r a t i o ns p e e do fr e s o n a n tt u n n e l i n gd e v i c e s w eh o p eo u r c a l c u l a t i o nc a rh e l pt od e s i g no p t i m a lr e s o n a n t - t t a m e l i n gs y s t e m si nf u r t h e re x p e r i m e n t s k e yw o r d s ：s p h e r i c a lq u a n t u md o t ：r e s o n a n tt u n n e l i n g ；l i f e t i m eo f r e s o n a n ts t a t e d ir e t t e db y ：p r o f x i a oj i n g li n ：( p h d ) p r o f l is h u s h e n p p l io a n tf o rm a s t e rd e g r e e ：lie h u n l ei ( t h e o r e t i c a lp h y s i c = ) ( c o l l e g eo f p h y s k sa n de l e c t t o m h a n i c s , i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t yf o rn a t i o n a l i t i e s , t o n g l k a o0 2 8 0 4 3 c l i i n 曲 内蘩古民篪大学硬士学位论文 第一章绪论 1 1 半导体低维量子结构的研究进展和应用前景 半导体低维量子结构的研究始于上个世纪六十年代对金属一绝缘体一半导体 ( m i s ) 及金属一氧化物一半导体( m o s ) 系统的研究。1 9 6 6 年，f o u l e r 等人研究了 在强磁场下，m o s 场效应管源漏间电导随栅压呈周期性震荡，同时得到震荡周期只 与磁场垂直界面的分量有关，并首次证实了s i 和s i 0 2 界面处存在二维电子气。在这 个系统中，电子的运动被限制在二维界面内，即电子在平行界面的x - y 平面内的运动 是自由的，在z 方向由于被限制而发生量子化现象，形成一系列量子化能级e 0 ，e l ， e 2 。在此情况下，限制尺度可以与电子的德布罗意波长相比拟。因此电子的波动 性在电子输运中变得非常重要，引起人们的极大关注，相应的理论和实验研究也得到 飞快发展。 由于对实用型器件的需要，人们已经不再满足于对已知能带结构的材料的研究， 而是逐渐发展到按照需要人为去创造特殊能带结构的材料。现在人们已经可以根据量 子力学设计所需要的半导体材料，特别是自上世纪七十年代以来，随着高质量半导体 薄膜生长技术如：分子束外延技术( m b e ) 、金属有机化学汽相沉淀技术( m o c v d ) 、 电子束曝光和离子束纳米刻蚀技术等的发展，人们对薄膜单晶生长过程的控制已经可 以精确到一个单原子层的尺度【l 】。这些使人们感到量子力学不再是不可捉摸的深奥理 论。 1 9 7 0 年，e s a k i 和t s u t 2 1 在寻找负微分电阻的新器件时从理论上给出了超晶格的 概念。也就是用两种晶格匹配良好的半导体材料a 和b 交替生长周期性的半导体结 构。由于两种材科的能带结构不同，可以形成周期性变化的势垒层和势阱层。这样人 们就可以通过控制超晶格材料的成分来控制量子阱的深度，通过控制材料的厚度来调 整阱宽，由此根据量子力学计算可得出量子化能级和电子满足的波函数，并计算出样 品的电学和光学特性。从而人们就可以根据需要来改变能带结构，使之具有合适的光 学和电学性质。 随着微加工技术特别是刻蚀技术的快速发展，人们在上世纪八十年代实现了把电 子限制在准一维的所谓的“量子线”【3 】中。这一微观量子结构可以通过对长有量子阱 的样品进行刻蚀，从而得到在两个方向受限的微结构。 自从1 9 8 6 年r e e d 等1 4 1 第一次宣称制造出“量子点”以后，人们实现了对电子运 动的三维限制。量子点系统在三维方向上都受到了限制，因而具有准零维的特点，因 此也称为“人造原子”、“量子点原子”。由于可以人为的控制其形状、尺寸、能级结 构以及受限的电子数，量子点结构已经成为一个重要的研究领域。现在的实验主要关 心可见光和远红外光的吸收和发射、光的r a m a r l 散射等光学性质以及电容和粒子的 球型量子点中共据隧穿及共振杏寿命的研究 输运等的电学性质。由于可以控制量子点在很窄的光谱范围内吸收和发射光，因此可 以在研制功率更强、更精密的可控半导体激光器领域中得到广泛的应用，这使得在理 论和实验方面都有着广阔的前景【5 酣。量子点系统的另一广泛的应用前景是在新一代 计算机领域的应用，人们正在探索将其用于量子计算机和量子通信中的记忆和储存元 件。 1 2 半导体低维量子结构中的隧穿现象以及共振态寿命的研究情况 微观粒子的隧穿过程是量子力学描述微观粒子运动所得到的直接结果，是量子力 学的基本过程。e s a k i 利用量子隧穿现象于上世纪六十年代提出并成功制作了半导体 隧穿二极管，其本质是一种重搀杂的窄p n 结二极管，它的伏安特性曲线中有一段是 随电压增大，电流反而减小，这就是著名的负电阻效应( n d c ) 。 随着分子束外延技术、金属有机化学汽相沉淀技术等的不断发展，人们进一步提 出了利用隧道效应研制具有特殊功能的量子器件的设想。自此，共振隧穿现象就在量 子输运和量子器件应用方面得到很快的发展。当前存在两种有关共振隧穿问题的理 论：相干隧穿( c o h e r e n tt u n n e l i n g ) 和顺序隧穿( s e q u e n t i a lt u n n e l i n g ) 。相干隧穿是指粒子 在整个隧穿过程中相位始终相干，相干态是粒子在整个隧穿结构的本征态。而顺序隧 穿认为隧穿过程是依次进行的，粒子在隧穿过程中丧失了它与初态的相位联系。这两 种理论所用的处理方法是不同的，相干隧穿通常用传递矩阵方法计算整个结构的隧穿 几率，而顺序隧穿通常用w k b 近似或b a r d e e n 传输哈密顿量计算每一步的隧穿几率， 然后通过电流连续性方程计算隧穿电流。 在量子点的概念出现以前，人们研究的大都是由双垒和多垒构成的量子阱共振系 统。这样的系统只是在纵向受限，粒子在水平方向可用平面波或a i r y 函数来描述。 微加工技术的快速发展自然导致三维受限的量子点的出现，在这种系统中，粒子在纵 向和横向都受到限制，这样无论在量子输运的理论研究还是在制造高速集成共振器件 方面都有着深远的意义 7 - m l 。最近几年人们提出了一种深受关注的球型量子点l l 。”j ， 由于其在制造量子集成共振隧穿器件的应用价值，有必要研究其共振隧穿问题。 微观粒子隧穿势垒源于对微观粒予的波动性解释。把微观粒子看作一个表示几率 分布的波包，当这一波包入射到势垒。它将被分为反射波包和透射波包。与经典物理 不同的是，微观粒子能穿过比它能量高的势垒，于是伴之出现了微观粒子隧穿势垒的 时间问题，这个问题自上世纪三十年代就引起了人们在理论和实验上的广泛研究： 1 9 3 2 年，m a c c o i l 提到在波包隧穿势垒的过程中没有明显的时间延长 1 4 1 ：1 9 5 5 年， w i g n e r 应用波包峰值计算了粒子隧穿势垒的时间并给出了这一时间可能非常短暂的 结论【1 5 j ：1 9 6 2 年，h a t l m a n 也证实了m a c c o l l 和w i g n e r 的观点i i o l ：1 9 8 6 年，n a o k i 和s h i g e r u 运用波包隧穿双势垒半导体材料计算了其中共振态的寿命l i ”。总之，近年 2 堕茎查垦苎奎兰曼主! 堡丝苎 来，尤其是二十世纪八十年代以来，共振态寿命的研究在理论和实验上都取得了很大 的发展。人们提出了各种与实验条件相联系的共振态寿命的概念，并且给出了这些共 振态寿命的泛函形式。 1 3 本论文的主要工作 由于低维量子结构中微观粒子的隧穿特性及其共振态寿命的基础研究和应用价 值是当前凝聚态理论中的一个非常活跃的研究热点。这在探索和设计新颖的量子器 件，发掘其潜在应用价值以及揭示己知量子结构中的新效应都有非常重要的意义。基 于以上原因，本论文在前人工作的基础上，在有效质量近似和绝热近似的框架下，应 用传递矩阵方法研究了球型量子点中共振隧穿现象以及共振态寿命： 1 球型量子点结构中电子的隧穿几率； 2 球型量子点结构中电子的共振态寿命： 3 结论。 球型量子点中共振隧穿及共振态寿命的研究 参考文献 1l l c h a n g , h s a k a k i 。c a c h a n g , a n dl e s a k l s h u b n i k o v - - d eh a a so s c i l l a t i o n si n a s e m ! c o n d u c t o rs u p e r l a t t i c e _ 【j p h y s r e v l e t t 3 8 ，( 1 9 7 7 ) 1 4 8 9 - 1 4 9 3 2l e s a k ia n dr t s u s u p e r l a t t i c ea n dn e g a t i v ed i f f e r e n t i a lc o n d u c t i v i t yi ns e m i c o n d u c t o r s 【j i l b mj r n s d e v 1 4 ，( 1 9 7 0 ) 6 1 - 6 5 3e m p e t r o f f , a c g o s s a r d , r a l o g a na n dw w i e g m a n n t o w a r dq u a n t u mw e l lw i r e s ：f a b r i c a t i o na n d o p 6 c a ip r o p e r t i e s j a p p l p h y s l e t t a l ，( 1 9 8 2 ) 6 3 5 - 6 3 8 4m a r e e d , r tb a t e ，k b r a d s h a w , wm d u n c a n , w r f r e m l e y , j w l e e ，a n dh d s h i h s p a d a lq u a n t i z a t i o ni ng a a s - a i g a a sm u l t i p l eq u a n t u md o t s 啊j v a c u u ms c i t e c h n 0 1 b ，4 ，( 1 9 8 6 ) 3 5 8 - 3 6 0 5n k i r s t a e d t e r , n l e d e n t s o m g m n d m a n n , d b i m b e r g v u s t i n o v , s r u v l m o v , m m a x i m o v , r k o p e v , z h a l f e r o u r i c h t e r , e w e m e r , u g o l s e l e ，j m e y d e n r e i c h l o wt h r e s h o l d ，l a r g et o m j e c t i o nl a s e re m i s s i o nf r o m0 n g a ) a sq u a n t u md o t s 【j e l e c t r o n i c sl e t t 3 0 ，0 9 9 4 ) 1 4 1 6 6h s h o j lk m u k a i ，n o h t s u k a , m s u g a w a r a , t u c h i d a , h i s h i k a w a l a s i n ga tt h r e e - d i m e n s i o n a l l y q u a n t m n - c o n f i n e d s u b l e v e lo fs e l f - o r g a n i z e dl n 05 g a 0 ，a sq u a n t u md o t s b y c u r r e n ti n j e c t i o n 闭i e e ep h o t o n i c st a c h n 0 1 l o t t 7 ，( 1 9 9 5 ) 1 3 8 5 1 3 8 7 7s h u - s h e nl i e ta 1 e l e c t r o na n dh o l et r a n s p o r tt h r o u g hq u a n t u md o t s j a p p l p h y s 9 2 ，( 2 0 0 2 ) 6 6 6 2 - 6 6 6 5 8s h u - s h a nl i 。e ta l 。e l e c t r o nw a n s ：p o r tt h r o u g hc o u p l e dq u a n t u md o t s 【j j a p p l p h y s 9 4 ，( 2 0 0 3 ) 5 4 0 2 - 5 4 0 4 9s h u - s h e nl i , k a lc h a n ga n dj i a n - b a ix hs p i n - d e p e n d e n tt r a n s p o r tt h r o u g hc d t x m n x t ed i l u t e d m a g n e t i cs e m i c o n d u c t o rq u a n t u md o t s f l p h y s r e v b6 8 ，( 2 0 0 3 ) 2 4 5 3 0 6 ( 5p a g e s ) 1 0s h u - s h e nl i ，j i a n - b a lx i a t r a n s p o r tp r o p e r t i e st h r o u g hq u a n t u md o ti nav e r t i c a le l e c t r i cf i e l d j l p h y s e1 7 ，( 2 0 0 3 ) 1 4 7 - 1 4 8 1 lp i n or a m i r o , v i c t o rm v i l l a l b a c a l c u l a t i o no ft h ee n e r g ys p e c t r u mo fat w o - e l e c t r o ns p h e r i c a l q u a n t u m d o l j p p h y s ：c o n d e n s m a t t e r l 3 ，( 2 0 0 1 ) 1 1 6 5 1 1 2j i a - l i nz h u 。j i e - h u az h a o ，w e n - h u id u a n ，b i n g - l i ng u d c e n t e r si ns p h e r i c a lq u a n t u md o t s - f l p h y s r e v b4 6 ，( 1 9 9 2 ) 7 5 4 6 7 5 5 0 1 3c h u n - c h i n gy a n g ，l i - c h il i u , s h i h - h s i nc h a n g e i g e n s t a t e sa n df i n es t r u c t u r eo fah y d m g e n i c i m p u r i t yi nas p h e r i c a lq u a n t u md o l 【j p h y s r e v b 5 8 ，( 1 9 9 8 ) 1 9 5 4 - 1 9 6 1 1 4l a m a c c o l l n o t eo nt h et r a n s m i s s i o na n dr e f l e c t i o no fw a v ep a c k e t sb yp o t e n t i a lb a r r i e r s j p h y s r e v 4 0 ，( 1 9 3 2 ) 6 2 1 - 6 2 6 1 5e e w i g n e r l o w e rl i m i tf o rt h ee n e r g yd e r i v a t i v eo ft h es c a t t e r i n gp h a s es h i f t j p h y s r e v 9 8 ， 0 9 5 5 ) 1 4 5 - 1 4 7 4 内冀吉民麓大擘磺士学位论文 1 6t e h a r a n a a t u n n e l i n go f aw a v ep a c k e t 【j v a p p l p h y s 3 3 ，( 1 9 6 2 ) 3 4 2 7 - 3 4 3 3 1 7n a o k ih a r a d aa n ds h i g e r uk u r o d a l i f 纠d m eo fr e s o n a n ts t a t ei nar e s o n a n tt u n n e l i n gs y s t e m j j a p p l p h y s 2 5 ，( 1 9 8 6 ) l 8 7 1 - l 8 7 3 5 球型量子点中共振隧穿及r - t g 鸯寿命的研究 第二章球型量子点结构中电子的隧穿几率 2 1 引言 早在1 9 2 2 年，l i l i e n f e l d 就观测到电子从金属到真空的隧穿现象。1 9 7 0 年，e s a k i 和t s u l l l 在寻找负微分电阻的新器件时从理论上给出超晶格的概念后，又于1 9 7 3 年首 次在理论上研究了超晶格量子阱的隧穿问题1 2 j ，1 9 7 4 年c h a n g 和e s a k i 等人在 g a 刖o a 0 3 a l o 7 a s 双势垒结构中通过实验验证了这一结论l 引。在此之后广大的理论和 实验工作者就半导体超晶格和量子阱的共振隧穿现象在理论阻15 1 以及实验t 1 6 - 2 3 li - 都 进行了广泛深入的研究。 有关隧穿几率的计算方法很多。w e n t z e l - k r a m e m - b r i l l o u i n ( w k b ) 近似方法在计 算隧穿几率时很方便，但是这种方法只适合那些势垒函数变化缓慢的结构圈。但是我 们所研究的多数异质结界面处的势垒函数总是突变的，在这种情况下w k b 近似方法 就不能给出正确的描述，同时这种方法也不能解释共振隧穿现象。现在较为广泛应用 的方法是传递矩阵法。e s a k i 等首先将此方法应用于双势垒结构翻。c h a n d r a 和e a s t m a n 等人也应用传递矩阵法给出了三角势垒中的共振谱【4 】：采用传递矩阵方法时，一般要 给出s c h r o d i 啦方程的解，b r e a n a n 和s u m m e r s i m l 将a i r y 函数作为s d l r o d j n g e r 方程 的解，对多层量子阱结构进行了共振隧穿的理论计算；c h r i s t o d o u l i d c s 【6 l 等在讨论三角 势垒结构共振隧穿问题时也应用了a j r y 函数的方法；l l l i 和f u k 瞰矗唧也利用a i r y 函 数计算了任意分段线性垒的隧穿几率。 随着各种晶体生长和微加工技术的不断发展，有关共振隧穿的研究显得尤为重 要，利甩共振隧穿可以设计高速电路，可以设计具有低漏电流和低电场灵敏性的红外 探测器和制作半导体量子激光器，因此它一直是理论和实验工作者倍受关注的研究热 点。 2 2 传递矩阵方法 在计算球型量子点结构中的隧穿几率之前以双势垒半导体异质结结构为例先介 绍一下传递矩阵方法。图2 1 是双势垒半导体异质结结构示意图，其中v 0 表示势垒 高度。b 表示势垒的宽度，w 表示量子阱的宽度。 6 内蒙古民族大学磺士学位论文 v o 入射 透射 b 反射 r 1 b w z 、 图2 1 双势垒半导体异质结的结构示意圈 f i g 2 is c h c m 丑士i cr e p r e s s i o n o f a d o u b l e - b a n i 盯s 啪j c 仰d u d o r h d m 咖c h t 在以后的理论推导和数值计算中，采用有效里德堡单位，即：能量以置。= 6 么2 为单位，长度以有效玻尔半径口。= 。：为单位，其中m ：是电子的有效质量，；是 ， 介电常数。这里里德堡能量单位和有效玻尔半径的长度单位已经考虑了界面处的各种 效应，包括有效质量、应力和介电常数的不连续等等。考虑到以上这些因素的影响， 取g a a s i n a s 材料中电子的有效质量埘：= o 0 5 3 m o ，其中所。是自由电子的质量，有效 限制势二0 6 e v ，介电常数f ：1 5 1 5 1 2 5 1 。 采用里德堡单位，描述单电子运动的薛定谔方程可写为 了d 2 g j ( 2 ) i - ( e 一巧妙( z ) ：o ， ( 1 ) 其中e 是电子的总能量，矿是各个垒区和阱区的势垒高度。 方程( 1 ) 的在第j 区域的解可用平面波来表示： 妒，( z ) = a je x p ( i k j z ) + b je x p ( 腩z ) ， ( 2 ) 为了理论推导和数值计算方便，可以把入射区和透射区的解写成下面的形式 c ，由t ( z ) = c x p ( 腩m z ) + r e x p ( 一k m z ) ( 入射区) ， ( 3 ) 。l l | ( z ) = t e x p ( i k 。w z ) ( 透射区) ， ( 4 ) 上面三个式子中的k 是波矢量，r 是反射系数，f 是透射系数。在每个界面处，根据 波函数以及波函数导数的连续性边界条件有： e x p ( i k b , z 1 ) + r e x p ( 一i k i , , z 1 ) = a le x p ( i k l z l ) + b le x p ( 一k l z l ) ， ( 5 ) 7 球型量子点中共振陵穿及麸振态寿命的研究 趾如e x p ( i k o , z 1 ) 一k 加r e x p ( 一i k 抽z i ) = i k l a ie x p ( f k i 刁) 一髓l b le x p ( - i k l z l ) ， ( 6 ) ( 5 ) 式和( 6 ) 式司以写成矩阵的形式， (帆孙一嚣卜峰朋=螺啦毫exp(-ik郴lzl)cxp(ik e x p ( - i k m ze x p ( i k e x p ( i k 凇) l 腩加 册：1 ) 一z k 1 ) 人r jl 腩li ：1 ) 一腩i i = 1 ) 人占lj 这样依次把各个界面的方程都用矩阵写出来，最后可以推导出入射区和透射区波函数 的系数满足下面的关系： ( 划：“i k 二, ：im 乏圳( a 其中七。和女。是入射区和透射区的波矢量，通常在不考虑有效质量差异的情况下，k 加 和七。是相等的m 是一系列2 x 2 传递矩阵m j 的乘积，用来描述垒区和讲区的情 况m s 的具体形式是 m ，：i 伽孵和一k ，s i n ( k s z s l ， ( 9 ) i k ss 虹l z ，)c o s ( k s z ) j 其中波矢量乃= 万j 了，此时对应e 情形， 时，传递矩阵肘j 满足 鸩：fc o s h ( 中，) 一古s t 血( 印1 ， i k js i n h ( k j z j )c o s h ( k j z j ) j z 是垒区和阱区的宽度；当e ( 1 0 ) 此时波矢量l = 巧i ，z 是垒区和阱区的宽度。 这样用一系列传递矩阵来描述各个区域的情况，这种方法很容易被推广到更复杂 的多势垒的情形。 得到了各个区域波函数的系数之间的关系，就可以很容易地求出整个隧穿系统的 隧穿几率( 透射波与入射波振幅模方之比) 为 r ：而i a o 1 2 ：n 1 川2 一 2 3 球型量子点结构中电子的理想共振隧穿 球型量子点的模型如图2 2 所示。球型i n a $ 量子点被g a a s 材料覆盖，球型量子 点的半径为r o ，选纵向为z 轴( 隧穿) 方向，r 是球型量子点中对应不同z 处的横 向半径。在g a a s i n a s 材料中，有效限制势= 0 6 e v 。 8 内颦古民族大学硬士学位论文 图2 2g a a q i n a s 球塑量子点结构半径是r ot 横向半径是r 一有效势垒宽度是z j f i f r 2 2 脚t a t i v cs a m p l e so f as p h e r i c a lq u a n t u md o t 在研究电子沿z 轴方向的隧穿现象时，首先让电子从势能是零的发射极进入到 g a a s i n a s 球型量子点系统，进入之后，电子占据其中由于横向( x - y 方向) 受限而 产生的量子化能级，这里把这些能级作为电子纵向( z 轴方向) 隧穿过程的有效势垒， 最后电子到达出射端。 在球型量子点中，利用有效质量近似理论，描述单电子运动的波函数所满足的薛 定谔方程在柱坐标中为 卜吉( ，昙r 导+ 杀) 一导+ l ( ，) 】甲( r , o , z ) = 胖( ，以巩 ( 1 2 j 其中e 是入射电子的总能量，在球型量子点中吒( r ) = 0 在球型量子点外 e = r o = 0 6 e v 。根据电子被强限制在量子点中最低能带中的实际情况，应用绝热 近似，这样波函数可以写成如下的乘积形式【2 7 】： 甲( r ，口，z ) = 杀e 姗彰( z ) c ( r ) ， ( 1 3 ) 吖三i r 其中酽0 ) 是横向( x - y 方向) 的缓慢变化函数，片( ，) 是电子在横向的波函数，对每 一个整数的角动量量子数m 和径向量子数n ，波函数群( = ) 和尼( ，) 满足如下方程： 丹2 卜。三了+ z 7 ( z ) 】g ? ( z ) = z g ：( z ) ， ( 1 4 ) 9 球型量子点中共振隧穿及共振奋寿命的研究 【一去( ，兰，兰一明2 ) + 以( ，) 】露( r ) = 群( z ) 矗( ，) ， ( 1 5 ) r u rq r 前面已经提到，电子隧穿通过球型量子点时，把横向的束缚能级当作隧穿过程的有效 势垒，因此，应该首先在球型量子点中解横向方程( 1 5 ) 以求得其中的量子化能级 e ? ( z ) ，然后把这些束缚能级当作电子隧穿过程中的台阶形势垒。考虑到渡函数在半 径为零时有限和无穷处为零的要求以及边界处满足的条件，波函数可用b e s s e l 函数表 示，具体形式如下， 片( ，) = a m 厶( 毛r ) 0 e o ( z ) 时，k j = 扛面五， 1 0 内蒙古民族大学顶士学位论文 牛。i q c o s ( k j z j ) ，一l ns i n 一( k j z s i n ( kc o s ( k 卅，u ii z i li z i l ) a。：=c，osh(kjzj)，一l*，sinh(，：k，jzks i n h ( k j zc o s h ( k ， ，i 一)，z )j 乃是球型量子点中有效势垒的宽度( 如图2 2 ) 。这样就可以得到隧穿几率 卜饼。 2 4 数值计算结果及讨论 表l角动量量子数m = o 时不同z 娃的束缚能级和z 处对应的横向半径r z ( 衄) 群( z ) ( m e v )r ( z ) ( r 皿) 0 53 5 2 0 3 32 1 8 1 o2 3 6 9 6 43 o o 1 51 8 5 4 4 03 5 7 2 01 5 6 6 6 8 4 o o 2 51 3 8 7 3 14 3 3 3 o1 2 6 9 6 84 5 8 3 51 1 9 1 7 94 7 7 4 0 1 1 4 2 0 74 9 0 4 51 1 1 4 2 34 9 7 5 o1 1 0 5 2 75 o o ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 表1 列出了半径为r o = 5 o n t o 的球型量子点在角动量量子数m = o 时不同z 处的束 缚能级和z 处对应的横向半径尺，在5 0 n m z 1 0 o h m 范围内的束缚能级和 o o n m - z 墨5 0 n m 范围内的束缚能级以z = 5 0 n m 这一点呈对称分布，即满足关系式 霹( 2 r z ) = e ? ( z ) 。根据电子只占据量子点中最低能级的事实，以下的计算中，只 考虑径向量子数n = l 的情况。 表l 中只给出了径向量子数n = l 的情形，图2 3 把n = l 、2 的情况都给出了以便 进行比较。为了得到球型量子点尺寸对能级的影响，把r o = 1 0 0 n m 时的束缚能级也进 行了数值计算，如图2 4 。 璋型量子点中共振隧穿及共振春寿命的研究 图2 3 半径为= 50 n m 的球型量子点中横向束缚能级 f 培2 3 t h e “昭l e v e l i nas p h e r i c a l q u a n t u md o t a f u n c t i o n o f z ( r o = 5 0 r m ) 图2 4 半径为r o = 1 00 n m 的球型量子点中横向束缚能级 f i g 2 4 t h e e t g y l e v e l i nas p h 潮l q u 蛐j m d o t a f u n c t i o no f z ( r o = 1 0 o r m ) 通过对比图2 3 和图2 4 ，可以很清楚的看到，在同一个球型量子点中，对应横 向半径越小，同一能级的束缚势反而越大：同一能级的束缚势呈现类抛物线的形状； 内羹古民族大学硕士学位论文 在不同尺寸的球型量子点中，球型量子点半径越大，束缚能级个数越多，但是属于同 一能级的束缚势却变小了。这些都是球型量子点的奇特的量子尺寸效应的具体体现。 在下面的计算中，主要以g o = 5 o h m 的球型量子点为例对电子的隧穿几率进行了 研究。图2 5 给出了r 。= 5 0 r i m 的球型量子点中把横向束缚能级等效为台阶形势垒的 示意图。 z ( n m ) 囤2 ，5 球型量子点中的隧穿过程势能图，其中r 。50n ，有效势垒的宽度d 均是0 5 h a f i g 2 5s c h e m a t i cp o t e n t i a lp r o f i l eo f t h es p h e r i c a lq u a n t u md o t ( r o ：50 n d = o 5 n m ) 图2 5 给出了球型量子点中隧穿过程的势能图，球型量子点被置于0 n m 和1 0 0 r e 之间，有效势垒的宽度是0 5 n m 。 图2 6 是电子隧穿通过球型量子点的隧穿几