（固体力学专业论文）小波变换在等达因图像识别中的应用研究.pdf

摘要 基于散射光干涉条纹计量的等达因法是一种能在常温下，非破坏性测取物体 内部的应力状态的实验应力分析方法。它不需要大功率激光器，实验设备简单， 所得的条纹清楚，无畸变，对于平面应力问题，还可以得到应力分量的全部信息。 因此，特别适合于断裂、界面应力集中等具有局部三维应力问题的研究，具有其 他方法不能替代的优点。 等达因法记录的图像是以干涉条纹的形式显示的，因此为了从条纹图获得应 力信息，必须要确定条纹级次，并进行求导运算。因此，如何识别条纹级次，是 非常重要的。目前对等达因图像的识别可以通过四幅图像，通过相移求解出其相 位信息。对于某些具有载波性质的材料，利用傅立叶变换及频移只通过单幅图像 就可以求解出其相位。 小波变换是近年来兴起的数学分支，被看成是在数学上的重大突破，可以用 来分析信号的时频信息。利用小波变换分析等达因图像的信息，识别其相位将具 有重大的意义。 本文对傅立叶变换求解等达因图像相位问题作进一步研究，提出了傅立叶变 换不频移法求解等达因图像相位问题的方法，同时根据小波变换的时频分析特 性，利用小波变换法成功的解决了具有载波材料的等达因图像的相位求解问题， 得到了较好的结果。 小波变换法不仅可以实现单幅图像的相位求解，而且可以实现计算机的自动 识别，对图像自动消除噪声，是非常适合的等达因图像求解方法。 这种方法的提出，可以使等达因法的相位求解问题进一步发展，使其进一步 成熟。从而使这一实验应力分析方法的应用更为广泛。此外，还可以将小波变换 方法推广应用于其他光力学图像的处理中去，推动光力学图像处理方法的进一步 发展。 关键词：等达因法、小波变换、小波分析、傅立叶变换、相位识别、相移、频移、 相位、去包裹、时频分析 a b s t r a c t l s o d y n e ，r sa ne x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n tm e t h o d ，c a r l a n a l y z et h e i n n e rs t r e s s e s w i t h o u td e s t r o y i n gt h es p e c i m e ni ti su n n e c e s s a r yt ou s eh i g h p o w e rl a s e ra sl i g h t s o u r c e ，a n dt h ee q u i p m e n t so f t h ee x p e r i m e n ta r es i m p l e m o r e o v e r , t h ef r i n g eo ft h e p a t t e r n i sc l e a ra n du n d i s t o r t e d t h e i s o d y n ef r i n g e so b t a i n e df r o mt h es c a t t e rl i g h ts h o wi nw h i t ea n db l a c kp a t t e r n s ， s oi ti sd i f f i c u l tt od i s t i n g u i s ht h ef r i n g eo r d e ri nu n k n o w n e a s e ，a n di ti sn e c e s s a r yt o d i s t i n c tt h eo r d e ro ft h ef r i n g e s p r e v i o u s l y ，w ec a l ld e t e r m i n et h ep h a s eo f i s o d y n e p a t t e r nt h r o u g hp h a s es h i f tw i t hf o u ri m a g e s f u r t h e r m o r e ，t os o m eb i r e f r i n g e n c e m a t e r i a lw i t hi n i t i a lf r i n g e s ，t h ep h a s ec a nb ed e t e r m i n e dt h r o u g hf o u r i e r - t r a n s f o r m a n d f r e q u e n c y s h i f tw i t ho n l yo n e i m a g e i nr e c e n ty e a r s ，t h ew a v e l e tt r a n s f o r mb e c a m eac e n t e ro fa t t r a c t i o ni nt h ev a r i o u s f i e l do fe n g i n e e r i n ga san e wm a t h e m a t i c a lt o o lf o rt i m e - f r e q u e n c y a n a l y s i s o f t r a n s i e n ts i g n a lw a v e - f o r m s ，i faf u n c t i o nw i t hr e a la n di m a g i n a r yp a r t s ，w h i c he x i s t s l o c a l l yb o t hi nt h et i m ed o m a i na n dt h ef r e q u e n c yd o m a i n ，i ss e l e c t e da st h em o t h e r w a v e l e t ，t h el o c a lf r e q u e n c ya n dt h ep h a s ei n f o r m a t i o na b o u tt h es i g n a lc a nb e a n a l y z e db y t h ew a v e l e tt r a n s f o r m i nt h i sp a p e r , f o r m e rm e t h o d so f a n a l y s i st h ep h a s ei sr e v i e w e d ，f u r t h e r m o r e ，w a v e l e t t r a n s f o r mi s a p p l i e dt o d e t e r m i n et h e p h a s eo fi s o d y n es i g n a l c a r r i e rw a v e ，a n d s a t i s f i e dr e s u l ti so b t a i n e d w i t ht h em e t h o d ，w ec a nd e t e r m i n et h ep h a s ea u t o m a t i c a l l y , a c c u r a t e l 5a n dr a p i d l y w i t ho n l yo n e i m a g e m o r e o v e r , t h e m e t h o dc a r le l i m i n a t en o i s e a u t o m a t i c a l l y , k e yw o r d s ：i s o d y n e ，w a v e l e t - t r a n s f o r m ，w a v e l e ta n a l y s i s ，f o u r i e r - t r a n s f o r m ，p h a s e d i s t i n c t i o n , p h a s e s h i f t ，f r e q u e n c ys h i f t ，t i m e f r e q u e n c ya n a l y s i s ，p h a s e - u n w r a p p 岫g i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得鑫生盘鲎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：翼p 玉强 签字日期：阳口5年月。日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫盗盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨洼盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：j p 王、强 导师签名 签字日期：2 口d 佯月口日签字日期厂d 日 第一章概论 第一章概论 在光测三维应力分析中，主要包括光弹性应力分析方法和散光法【2 0 】。这些 方法在不同的应用范围和不同的测量对象中都有成功的应用，但同时也存在很多 问题。如光弹性冻结切片法，由于实验中需要切片，而破坏了试件，而且切片总 有一定的厚度而引起误差，同时在高温冻结过程中，材料泊松比改变以及大变形 也引起误差。这样就使得测量精度和测量范围受到了限制。散光法虽然从原理上 说不需要切片，但由于干涉图像所产生的几何畸变，给应力计算带来许多麻烦【7 1 。 1 9 7 3 年，加拿大滑铁卢大学j t p i n d e r a 教授首次提出了散光等力线方法 3 1 ， 该方法成为解决三维应力测试问题的又一有效手段【”】。该方法具有非破坏性直 接测取受力物体内部应力的特点，从而克服了三维光弹性冻结应力切片测量时需 要破坏试件和测量精度低的局限性。这种方法仅收集一定方向的散射光，而且用 单光束扫描方法代替片光照射，从而克服了普通散光法需要大功率激光器及条纹 清晰度不高等缺点，它的干涉条纹图像不发生几何畸变i v 。 等达因法是一种适合于三维测量的实验应力分析方法，因为它可以不破坏的 测量试件，且条纹清晰无畸变，因而具有许多其他实验应力分析方法无可比拟 的优点p 】。正因为如此，对等达因图像的处理越来越显得重要了。 等达因图像的条纹是由进入双折射材料的偏振光分解成两束相干光干涉而 成。求得了相干条纹的相位，就可以算出受力试件的应力、应变等力学量，从而 可以对试件样品进行受力分析。因而等达因图像的处理最重要的就是根据等达因 的干涉图样求出试件内每一点的条纹相位信息。 传统的等达因图像结果分析方法是描绘出干涉条纹图，找出干涉条纹的整级 次，即等力线，根据等力线通过插值确定试件内部的应力。这种方法当然会引起 很大的误差，造成了结果的不精确。随者计算机的发展即实验方法的不断进步， 在入射光的光路中加一相移元件【”，可以改变条纹信息的相位，将相位依次改变 盯2 、疗、3r - 2 ，这样就可以得到四幅等达因图像，根据这四幅图像，可以得到 第一章概论 条纹相位的正弦、余弦信息。将正弦、余弦作比，从而求得相位的正切值。算出 反正切，即得条纹相位。然后进行去包裹处理，即得相位在全场得连续分布【l j 。 改变算法，通过四幅图像中的任意三幅也可以求出干涉条纹的正、余弦信息， 因而产生了三幅图像处理 7 l 。这样简化了实验过程，而且可以收到同样的效果。 四幅图像相移法1 1 和三幅图像相移法川可以精确求得试件内每一点的相位信 息，而不是像传统方法那样确定条纹的整级次。因而，自然对结果的精确度有了 很大的提高。是实验方法和结果处理方法上的一个重大突破。 对于某些具有双折射性质的材料，当偏振光射入试件内部时，可以产生干涉 条纹，这种条纹可以作为载波来应用【l 】。当试件受力后，因为受力而引起的条纹 相位变化就与载波条纹的相位叠加到一起。这样条纹的相位信息在频域中便成了 高频项，而背景光强是低频信息，因而相位信息与背景信息在频域中是分离的。 利用傅立叶变换及其性质，将具有载波性质的双折射材料的等达因图像变换到傅 立叶频域，提取高频的相位信息，这样便滤除了背景信息，再将其频移到零频率， 便去除了载波信息，再对频移为低频的频率信息进行反变换，变得到因为受力而 引起的相位信息。 对这种方法进行进一步研究，对提取的高频相位信息项不频移，而直接对其 进行反变换，就可以得到载波相位和受力引起的相位的总相位。用总的相位减去 载波的相位，就可以得到受力引起的相位。这种方法不需要频移，不仅简单，而 且省去了因为频移不精确而引起误差。是这种方法的一个重大改进。 随着数学的发展，小波变换作为一个数学分支广泛应用于各个工程领域。小 波变换具有联合时频分析的功能，可以分析某个时间段出现的频率信息，具有许 多傅立叶变换无可比拟的优点，是傅立叶变换的发展，被看作近来在数学方法上 的重大突破嘲。 目前，小波变换广泛应用于各个工程领域，如信号分析、图像处理、模式识 别、通信、地震勘测、量子物理、电磁场、机械工程、数值计算、语言识别、机 器人视觉等。 从理论上说，凡是傅立叶变换所能做到的，用小波变换都能完成。为迸一步 探索等达因图像相位识别问题，本文应用小波变换对等达因图像进行处理，求解 需要的相位信息。 2 第一章概论 然而小波变换是将一维的信号信息，变换为二维的时间尺度平面中。其 计算量远远大于傅立叶变换，计算机的不断发展也促进了小波变换的实现，使得 较大的计算量可以在短时间内得以完成。也使得小波变换分析等达因图像相位信 息成为现实。 本文的研究的成功具有重大的意义。由于小波变换也是提取某一频率的信 息，而噪声往往是分布在高频的信息。这样，小波变换自然地滤除了高频噪声项， 可以实现自动消除噪声；对图像的处理，不需要事先知道载波信息，也不需要人 为的移动频率，不仅结果精确可靠，而且可以实现计算机的自动处理。 第二章等达因方法及原理 第二章等达因方法及原理 等达因法是2 0 世纪7 0 年代提出的一种新兴的实验应力分析方法【“，是散光 法的一种发展。等达因法可以不破坏地直接测取受力物体内部的应力状态，不需 要大功率激光器，实验设备简单，所得的条纹清楚，无畸变，是一种适合于三维 测量的实验应力分析方法l ”。等达因法具有许多其他实验应力分析方法无可比拟 的优点【j ”，它不像切片法那样需要切片，可以实现非破坏测量，而且减少了很多 因为切片而引起地误差；它用小功率激光器逐行扫描，不仅实现起来简单，而且 也克服了像散光法引起地条纹畸变。对于平面应力问题，可以得到应力分量的全 部信息队 第一节等达因法基本原理 1 9 7 3 年，j t p i n d e r a 首次提出了平面等达因法( i s o d y n e ) 。他利用散射光偏 振特性在通过双折射材料后产生干涉的现象，分析受力物体内部的应力状态。 这种方法仅收集一定方向的偏振光，且用单光束扫描。从而克服了散光法需 要大功率激光器及条纹畸变等缺点 7 1 。其实验光路如图1 所示： h 反射镜 镜 图2 1 等迭因法实验光路图 4 计算机 第二章等达因方法及原理 激光器发出地平面偏振光，沿平行于x 轴方向经过一可调相移的元件射入模 型，其偏振方向与z 轴成4 5 度。试件模型受力后，将产生双折射效应，其散射 光的光强按余弦的规律变化。由c c d 摄像机从反射镜收集一定方向的散射光， 当激光束沿y 轴从上至下扫描完整个试件时，就可以得到幅干涉条纹图，根据 激光束光强的相位变化而产生的条纹级次，得出试件在x o y 面内每一点的次主 应力盯，和o - 。的关系，再将试件在x o y 面内旋转9 0 0 ，有可得出另一组试件在 x o y 面内每一点的次主应力矾和仃，的关系，这样通过对试件的旋转和沿不同 方向的扫描，可以得出一组方程组，解出这组方程组，就可以得到试件内每一点 的应力分量。从而可以分析出试件内任意点的应力状态。 第二节等达因法的基本公式 设光弹模型的次主应力方向为如下图所示的x ，y 方向，平面偏振光的偏振 方向为p 方向，与x 轴夹角为0 ，当偏振光： e 。= 口s i nm t 进入有应力的光弹模型后，光沿次主应力方向分解为两个分量： e 。= a s i n0 s i n ( c o t + 口) e ，= a c o s 0 s i nc o t 其中，a 为平面偏振光的振幅 ( 2 一1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 口为平面偏振光进入模型后，沿次主应力分解的 m x 图2 2 平面偏振光的偏振方向 和观察方向与次主应力方向的关系 两个分量的相位差。0 为偏振方向与次主应 力方向的夹角。 设m 方向为观察 方向，与次主应力方 向的x 轴夹角为毋。则 分量e 。，e y 向o m 方 向散射的平面偏振光 第二章等达因方法及原理 的合成为 e m = e 。c o s 一e 。s i n 币= a s i n 9 c o s # s i n o g t a c o s 口s i n # s m ( a + o f ) 上式整理后，得振幅a m 为： 如= ( a s i n o c o s # 一a c o s s s i n # c o s a ) 2 + ( a c o s o s i n # s i n 口) 2 r 。老( 卜c o s 2 钆o s 2 _ s i n 2 觚n 2 细蚴) “2 由于光强与振幅的平方成正比，则散射光的光强为 如= k a 2 ( 1 - c o s 2 0 c o s 2 # 一s i n2 0 s m 2 庐c o s a ) 由于口是两个应力分量在莱一位置的相位差，由应力光性定律可得： 口2 c j ( 盯- 一盯z ) 如 ( 2 7 ) = i 由上式可知，口由模型的应力分布状况所决定，是沿入射光的光路变化的， 因而，由m 方向观察到的散射光光强i m 也随着a 的变化而变化。 当位相差c t = 2 n z ，n = o ，1 ，2 ，时，散光光强最小： k m m = c a 2 ( 1 一c o s 2 0 c o s 2 一s i n 2 0 s i n2 ) = k a 2 1 一c o s 2 ( o 一庐) 】 当位相差口= ( 2 刀一1 ) z ，n = o ，1 ，2 ，时，散光光强最大： k 一= k a 2 ( 1 一c o s 2 0 c o s 2 + s i n 2 0 s m 2 庐) = k a 2 【1 一c o s 2 p + 庐) 】 ( 2 9 可见沿入射光光路上散光的光强在k 和k 。之间交替变化而出现干涉 条纹，这种条纹的分布反应了次主应力差( q 一吒) 沿光路的积累，条纹级次沿光 路的变化率则反映了该点的次主应力差的大小。 将以上两式相减，得： k 一一k 。= 2 k a 2 s i n2 0 s m 2 ( 2 1 0 ) 可见，条纹得反差与偏振方向和观察方向有关，所以在等达因法中，为了 6 第二章等达因方法及原理 得到较清晰得条纹，提高条纹反差，选取：0 = - - 妒= 4 5 。或臼= = - - 4 5 。，这样， 。一k 。= 2 k a 2( 2 一1 1 ) 为最大值。即，偏振光的偏振方向和观察方向都与次主应力方向成4 5 0 角，可以 获得最清晰的条纹。 下面讨论在平面应力状态下，等达因法计算应力的公式： 对于沿x 轴方向射入试件内部的偏振光，令两分量的程差口= 庐。，则由式 ( 2 6 ) ，其光强可表示为： = 幻2 ( 1 一c 。s 丸) ：2 k 口：咖：冬( 2 - - 1 2 ) 其中， 丸= 等k 盯：一盯：边( 2 - - 1 3 ) 对于平面应力问题，由于仃：= o ，因而 以2 静啪2 等p c z 州， 其中，工= 兰，为材料的条纹傻。 根据公式( 2 一1 2 ) 可知，当丸= 2 a m ，( 加。= o j 士1 j 士z ) 时，试件上出现暗条 纹。又由公式( 2 一1 4 ) 可得： 咋= 工警 ( 2 1 5 ) 这样，根据试件上坐标为x 的点的条纹级次啦，就可以求出该点的y 方向 应力盯。 同理，将试件旋转9 0 0 ，则激光沿y 方向射入，将扫描方向改为x 方向， 可得： 吁，0 票( 2 - - 1 6 ) 洲 7 对于剪应力f ，引入a i r y 应力函数y 阮y ) ，根据； 第二章等达因方法及原理 一 a 2 w ( x ，y ) i 2 万芦 一 a 2 v ( r ，y ) 盯，2 瓦产 一一a 2 、壬，( x ，y ) 一萨 ( 2 1 7 ) 日】得： 铲弧鲁+ - _ ( 等一 ( ：邗) 戚戚卯卵 这样，就可以分析出试件内每点地应力状态了。 对于三维问题，将试件沿x 、y 及z 轴旋转，并沿不同方向进行扫描，可得 一组方程组。根据这组方程组及力学假设得到的补充方程，可以求得受力物体内 部的应力分量 7 1 0 第三章等达因图像计算机处理方法的回顾与发展 第三章等达因图像计算机处理方法的回顾与发展 一般采用如下图所示的实验装置和采集装置采集等达因图像川。激光器发出 与z 轴成4 5 。的平面偏振光，激光器沿y 轴扫描试件，通过反射镜收集4 5 。的散 射光，通过c c d 摄像机。由图像采集卡采集每条偏振光产生的条纹。当激光器 扫描完整个试件时，就得到一幅受力试件的等达因条纹图。 反射镜 镜 汁算机 图3 - - 1 等达因法实验装置图图3 - - 2 等达因法图像采集装置图 对于等达因图像的处理，目前有四幅图像相移法 ”、三幅图像相移法7 1 ，和 傅立叶变换频移法吡 第一节等达因图像的四幅图像相移法 根据公式( 2 1 2 ) ，= k a 2 ( 1 一c o s 丸) 可知等达因图像的光强可以表示为三 角函数余弦的形式： ，= ( 1 一c o s 口)( 3 1 ) 但考虑到实际中由于实验材料的不均匀，以及其他外界因素的影响，设试件 上任一点( x ，y ) 处的光强为： 9 第三章等达因图像计算机处理方法的回顾与发展 i ( x ，y ) = a ( x ，y ) 一曰( x ，y ) e o s ( x ，j ，) j ( 3 2 ) 其中，a ( k y ) 是与背景光强有关的函数，b ( x ，y ) 是与振幅大小有关的函数【1 1 a 在图3 - 1 所示的等达因实验装置图的入射光光路中，置一可调相位的双折射 晶体相移元件，调整相移元件，使相移值分别为0 、x 2 、石、3a 2 ，则式( 2 9 ) 中的c o s 矽分别变为c o s 、一s i n 妒、一c o s 、s i n 妒。采集这四幅图像，设其 光强分别为i l 、1 2 、1 3 、1 4 ，则可得： ，。( 毛y ) = a ( x ，y ) 一b ( x ，y ) c o s 瞄( t y ) 】 7：x，y?2：。，皇：!x，7781“芝曼，y!(3-3)13 ( x ，y ) = 爿( t j ，) + b ( 墨y ) c o s 眵( x ，y ) j 1 4 ( z ，y ) = a ( x ，y ) 一b ( x ，y ) s i n 妒( x ，y ) 】 根据上式，可求得： 妒= t a n l i l 2 ( ( x e , y y ) ) 一- 讹1 4 ( x , y y ) ) j 1 ( 3 _ 4 ) 从而可以求出任一点k y ) 处的相位主值，再通过去包裹处理，可得出全场的 相位分布。 下面是根据以上原理处理的由双折射材料制成的方板的等达因图像。该方板 由于加工时，产生了一定的初应力，其实际尺寸为6 0 m m x 6 0 m m 1 2 m m 。激光 沿板的中截面穿过方班，由上至下扫描完整个试件，由c c d 摄像机，通过图像 采集卡，输入计算机。所采集的图像实际尺寸为1 9 2 x1 9 2 象索。 图3 3 相移为0 的具有初应力的双折射材 料制成的方板的等达因图像 l o 图3 4 相移为厅2 的具有初应力的双折射 材料制成的方板的等迭因图像 第三章等达因图像计算机处理方法的回顾与发展 图3 5 相移为石的具有初应力的方板图3 6 相移为3 疗2 的具有初应力的方板 的等速因图像的等达因图像 图3 - - 7由四幅图像相移法得到的方板的 图3 8由四幅图像相移法得到的方板的 等达固图像的带包襄的相位图 等达因图像的去包裹的相位图 根据以上的相位图，利用第二章的公式，即可以算出方板的初应力。 第二节 等达因图像的三幅图像相移法求解相位 四幅图像相移法存在定的数据冗余。根据公式： j ( x ，y ) = a ( x ，j ，) 一b ( x ，y ) c o s ( x ，y ) 】 ，2 ，) = a ( x ，) + b ( x ，y ) s i n 庐( x ，y ) 】 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 第三章等达因图像计算机处理方法的回顾与发展 ，3 ( x ，y ) = 4 ( x ，y ) + b ( x ，y ) c o s ( x ，y ) 】 。( z ，y ) = a ( x ，y ) 一b ( x ，力s i n 4 ( x ，y ) 】 ( 3 7 ) ( 3 8 ) 只要取其中任意三幅，就可以求得相位( x ，y ) 。例如，取1 1 、1 2 、1 3 ，可得7 1 庐( x ，y ) = t a ：n 1c 兰! 兰生； ；i ；! 铲， 取i l 、1 2 、1 4 ，可得； 船划丽鬻】 取i l 、1 3 、1 4 ，可得： 船划c 警耥紫， 取1 2 、1 3 、1 4 ，可得： ( 3 9 ) ( 3 一1 0 ) ( 3 1 1 ) 妒( x ，y ) = t a i l 2 ，( x 1 ，y 2 ( ) x 一, y ，：) ( - t l y 4 ( ) x 一, y ，) ( t y ) ( 3 1 2 ) 根据以上公式算得的相位主值，通过去包裹处理，就可以得到相位在全场的 分布。一般采用m a c y 算法进行去包裹处理 7 1 ，其公式为： 庐( x ，y ) = a m o d 4 ( x j ，y ) 一庐( x j l ，y ) + 2 0 1 z ，2 筇 + ( x j j ，力一霈( 3 - 1 3 ) 第三节f o u r i e r 变换频移法求解等达因图像相位 傅立叶分析是分析学中的一个重要分支。早在1 8 世纪初期，已经出现了有 关三角级数的论述，但j f o u r i e r 迈出了重要的一步。1 9 8 2 年，他在著作热的 解析理论中，系统的用三角级数和三角积分来处理热传导问题 1 。】。此后，众 多数学家从事这一领域的研究，弥补了f o u r i e r 工作中的不足，极大的发展了以 f o u r i e r 命名的级数理论，扩大了f o u r i e r 分析的应用范围，使得这一理论成为研 究周期现象不可缺少的工具 9 1 。 在信号分析领域，有许多处理方法和工具。其中最常用的是f o u r i e r 分析。 第三章等达因图像计算机处理方法的回顾与发展 f o u r i e r 分析是以数学和数学分析为基础的，是一种将信号由基于时间变换为基 于频率的数学方法。 一、f o u r i e r 变换简介 1 、连续f o u r i e r 变换 如果函数，( f ) 在整个实数域是绝对可积的，则f o u r i e r 变换存在，且其变换 一致有界。其f o u r i e r 变换为1 3 2 ： f ( “) = ff ( x ) e “d x ( 3 1 4 ) 蠢 称v ( u ) 为函数，( x ) 的傅立叶变换。而函数f ( u ) 的f o u r i e r 反变换为； ( x ) = f ，( ) p 2 8 ”d u ( 3 1 5 ) ； ，( x ) 为函数f ( u ) 的傅立叶反变换。式( 3 1 4 ) 和( 3 一1 5 ) 称为傅立叶变换对。 考虑实函数，( 砷，个实函数的傅立叶变换通常是复数，即： f ( “) = 尺( ”) + 盯( 甜)( 3 1 6 ) 式中r ( u ) 和i ( u ) 分别是f ( u ) 的实部和虚部，式( 2 3 ) 通常表示成指数形式： 式中 幅度函数妒 ) l 被称y af ( x ) 的傅立叶谱，似) 称为相角。谱的平方 e ) = 旷 ) 1 2 = r 2 ) + 2 ) ( 3 1 7 ) ( 3 一1 8 ) ( 3 一1 9 ) ( 3 _ 2 0 ) 称为f ( x ) 的能量谱。 傅立叶变换中出现的变量u 通常称为频率变量，这是因为用欧拉公式可将指 数项e - * 2 “表示成下面的形式p 2 1 ： e - i 2 ”= c o s ( 2 n u x ) 一is i n ( 2 n u x 、 ( 3 2 1 ) 第三章等达因图像计算机处理方法的回顾与发展 如果将式( 3 一1 4 ) 中的积分解释为离散项的和的极限，则f ( u ) 是包含了正弦项和 余弦项的无限项的和，而且u 的每一个值确定了它所对应的正弦一余弦对的频 率。 2 、离散f o u r i e r 变换 对于一个连续函数，( 砷，用取n 个相互间隔缸单位的抽样的方法将其离散 化为一个序列扩( k ) ，f ( x 。+ ，f ( x 。+ 2 缸) ，f ( x o + 【一l 】缸) ) ，则被抽样函数 的离散傅立叶变换对如下( 3 1 l ： f ( 甜) = 万1 刍n - i 弛) e - f 2 式中u = 0 ，1 ，2 ，n 一1 。 ，( x ) = f ( u ) e ”“” 式中x = 0 ，1 ，2 ，n - - 1 。 对于二维函数y ( r ，y ) 其二维离散f o u r i e r 变换为： ( 3 2 3 ) f ，d = 嘉篓篓，沁j ，) e x p f 。幼( 苦+ 争】尉= o ，1 材一i ；v = o i l j v i 其逆变换为： y(x,y)=窆芝f(叫)ex山2厅(若+号vyf(x ) 】x = 0 , 1 ，m 一1 ；y = 0 , 1 ，n 一1 u = ov = 0 ) = f ( 叫) e x p 【j 2 厅( 罟+ 百) 】肛，一 = ，一 wv ( 3 2 5 ) 式中e x p _ ，2 厅曙+ 号) 称为正变换核，e x p j 2 石曙+ 静称为反变换核喝y 为 w f m 域采样值，v 为频率与采样值。 二、傅立叶变换频移法在求解等达因图像中的应用 有些双折射材料在于板垂直的平面内是各向异性的，当激光束与平面平行入 射时，光强呈周期性的正弦分布【l 】t 表示为： ，( x ，y ) = 4 ( e y ) + b ( x , y ) c o s ( 2 n f o x )( 3 - 2 6 ) 第三章等达因图像计算机处理方法的回顾与发展 其中h ( x ，y ) 为与背景光强有关的函数，b ( x ，y ) 为与振幅大小有关的函数，兀与双 折射效应有关的常数，我们可以得到一幅均匀条纹的图像。用这幅均匀的条纹作 为载波，可以实现等达因图像的单幅图像处理，求出其相位信息”，其中兀即为 载波频率。 当试件受力后，其等达因图像的光强可以表示为”】： l ( x ，y ) = a ( x ，y ) + b ( x ，y ) c o s ( 2 宠f o x + ( z ，y ) ) ( 3 2 7 ) ，o 称为载波频率，庐( x ，y ) 是与加载应力有关的相位。 为了提取我们所需要的相位妒o ，y ) ，将上式变为1 1 ： ，o ，夕) = 4 y ) + c 如力e x p ( 2 a f o 砷+ c + 力e x p ( - 2 , i y 0 功( 3 2 8 ) 其中c ( x ，j ，) = 妻占( y ，y ) e x p i # ( x , 力】，c + 心y ) 是c k y ) 的复共轭函数。 对上式进行一维f o u r i e r 交换，根据f o u r i e r 变换的平移性质，可以得到1 1 】： t ( f ，y ) = 2 ( f ，j ，) + 0 仃一y o ，y ) + 0 + ( ，+ 五， ( 3 2 9 ) 式中，( ，y ) ，a ( f ，”分别表示i k y ) ，a ( 墨y ) 的f o u r i e r 变换。2 ( f ，力在谱平面上是 低频项，在f = o 附近，代表背景光强。所要求的相位信息包含在0 u f o ) 中， 当载波频率f o 足够高时，上式中三项在频域中分开，u ，y ) 是一个分别在 f = - o ，f = f o 和乒岳处取得峰值的函数1 1 。 选择合适的窗口函数，可以滤除第一、三项，然后将0 u 一，0 ，y ) 向左平移五 至原点，o c ( f ，y ) ，在对其进行f o u d e r 逆变换，可得到【l 】= c ( x ，y ) = b ，y ) e x p i q 6 ( x ，y ) 】( 3 3 0 ) 用i m ( x ，y ) 和r e ( x ，y ) 分别表示c ( k y ) 的虚部和实部，可由下式求得相位主值： 船= a r c t a n 粼 ( 3 吲) 经过去包裹，可得到全场的相位分布，从而可以计算出应力、位移等量。 下面是以这种方法计算的实际的三点弯受力试件的等达因图，试件实际尺寸 为3 0 m m 1 1 0 m m 1 0 r a m ，图像以c c d 采集，通过图像采集卡输入计算机，图 第三章等达因图像计算机处理方法的回顾与发展 像的尺寸为1 3 2 4 9 0 象素，载波频率为o ，0 4 5 4 5 条纹，象素，共6 级条纹。 图3 9 载波材料未受力的等迭因图像 图3 一1 0 试件三点弯受力后的等达因图像 图3 - - 1 1受力后的等达因图像的 图3 - - 1 2 受力后的等达因图像的 傅立叶变换谱的实部 傅立叶变换谱的虚部 图3 - - 1 3 傅立叶变换谱的模 图3 - - 1 4 提取的傅立叶变换谱的模 1 6 第三章等达因图像计算机处理方法的回顾与发展 图3 1 5 提取的傅立叶变换谱的实部图3 一1 6 提取的傅立叶变换谱的虚部 图3 - - 1 7 频移的傅立叶变换谱的实部 图3 - - 1 8 频移的傅立叶变换谱的虚部 图3 - - 1 9 频移的傅立叶变挟谱的模 图3 - - 2 0 对提取频率傅立叶反变换的模 1 7 第三章等达因图像计算机处理方法的回顾与发展 图3 2 l 对提取频率傅立叶反变换的实部图3 2 2 对提取频率傅立叶反变换的虚部 因3 2 3由实部和虚部求反正切计算的 图3 2 4 将带包裹的相位图去包裹处理 带包裹的相位图得到的击包襄后的相位图 应用傅立叶变换法，借助于双折射材料的载波性质，可以实现等达因图像的 单幅图像相位识别。是等达因图像识别方法上的一次重大突破。由于这种方法在 傅立叶变换之后，只选取频率在载波频率五附近的一段频率，而噪声往往广泛 地分布在赢频区域内，这样就自然地滤除了大部分的噪声信息项，因而具有自动 消除噪声的功能。 釜三童兰姿里堕堡堡蔓垫墼垄查婆塑旦塑兰垄壁 第四节f o u r i e r 变换不频移法求解等达因图像相位 以上所述的频移法，有时由于频移的不准确，会造成很大误差，即使频移相 差一个元素，引起的误差也是不可忽略的，而有时需要频移的元素个数不是整数 级，而由数字矩阵表示的数字图像只能平移整数级的象索，这就导致了这种误差 难以避免。因此。需要对傅立叶变换在等达因图像识别的问题进一步研究，用 种新的方法克服这个误差，弥补以上的不足。 经过反复的研究、实验和理论推倒发现，如果在提取我们所需的频率信息之 后，不将所提取的频率信息移位，而是将其在原来的位置上滤除其他不需要的信 息，而直接进行反变换，将得到试件的受力相位与载波相位的总相位，再将总的 相位减去载波相位，就可得到试件受力引起的相位分布。 其具体推倒过程如下： 双折射材料的光强表示为：i ( x ，y ) = 4 “y ) + b ( x ，y ) e o s ( 2 u f o x ) 。a ( x ，y ) 背景 光强，b ( x ，y ) 为与振幅大小有关的函数，五为载波频纠1 1 ，当试件受力后，光强 表示为：纯y ) = 4 力+ 占瓴力c o s ( 2 矾x + 萨 夕) ) 。托y ) 是与加载应力有关 的相位( 1 1 。 与前面推倒类似，将上式变为： 堆，y ) = 舷+ 三占( x , y ) e x p ( 2 n f o x 州t 力) + 圭矿( x , y ) e x p ( - 2 n f o x + 船堋。 ( 3 3 2 ) 其中，b ( x ，y ) 是b ( x ，y ) 的复共轭函数。 对式( 3 3 2 ) 进行f o u r i e r 变换，由于其具有频率为 的载波信息，而矿似y ) 相对于2 矾x 较小，因而其傅立叶变换谱必然集中在五附近。 耵川= 彳( 加) 十丢百) + ) ( 3 1 3 ) 式中2 ( f ，夕) 、占( ，力、占+ ( ，j ，) 分别集中在频率为0 、五、一五附近，在频率 为兀处，开一个合适的窗口滤除第一、三项后，对否，) 进行f o u r i e r 逆变换， 第三章 等达因图像计算机处理方法的回顾与发展 口 得到： f 一1 ( 蕾( x ，y ) ) = b ( x ，y ) e 2 矾“妣川( 3 - - 3 4 ) 用i m ( x ，y ) 和r e ( x , y ) 分别表示b ( z ，y ) p 。2 玎p ( 一的虚部和实部，可由下 式求得相位主值： 删= 2 矾州“小蝴n 渊( 3 - - 3 5 ) l my l x ，j 经过去包裹处理，可得到j f ( ) 在全场的相位分布。根据下式，可以求得所需的 因为受力丽引起的相位信息 y ) ， 妒以) ，) = ， ) 一2 矾x ( 3 3 6 ) 下面选取与频移法处理相同的等达因图像，用傅立叶变换不频移法处理，所 得的结果。 图3 2 5 载波材, t 4 - 制成的试件 三点弯受力的等迭目图像 图3 2 6 等达因图像的 傅立叶变换谱的模 第三章等达因图像计算机处理方法的回顾与发展 图3 2 7等迭因图像的傅立叶变换的实部 圆3 2 8 等迭因图像的傅立叶变换的虚部 图3 2 9 提取的傅立叶变换谱的实部 图3 3 0 提取的傅立叶变换谱的虚部 图3 - 3 1 对提取信息傅立叶反变换谱卖部 图3 - - 3 2 对提取信息傅立叶反变换谱虚部 2 1 第三章等达因图像计算机处理方法的回顾与发展 图3 3 3 傅立叶反变换谱的模圈3 3 4 带包襄的总的相位圈 图3 3 5 去包襄的具有载波的总的相位图圈3 3 6 减击载波后的受力；i 起的相位图 这种方法是实现应用傅立叶变换完成等达因图像单幅图像相位识别问题的 重大发展。从步骤上说，它省去的频移的过程，从而使过程简单化了。而且，由 于载波频率是我们事先已知的材料性质的一部分，在最后的计算中，直接减去因 这部分而引起的相位，会滤除因为频移而引起的误差，从而使结果更精确。 同时，由于噪声一般分布在高频区域，而傅立叶变换法只是提取一部分频率 对其反变换，这样，自然滤除了大部分的噪声项，因此具有自动消除噪声的功能。 同时，这种方法不需要人为的移动频率，因而更适于实现计算机自动处理。 第四章小波变换基本原理及其在图像识别中的应用 第四章小波变换基本原理及其在图像识别中的应用 小波变换( w a v e l e tt r a n s f o r m ) 是8 0 年代后期发展起来的应用数学分支，是傅 立叶变换的发展，被看作近来在数学方法上的重大突破【1 0 】。 关于信号伸缩和平移的思想早已有之，1 9 1 0 年h a r t 提出子波规范正交基， 但它不是光滑的，甚至还不是连续的，当时也并没有出现“小波”这个词 9 】。1 9 8 1 年，法国地质物理学家j m o r l e t 仔细研究了g a b o r 变换方法对f o u r i e r 变换与加 窗f o u r i e r 变换的异同、特点及函数构造作了创造性研究，首次提出了小波分析 概念，建立了以他命名的m o r l e t 小波。法国数学家y m e y e r 对m o r l e t 方法进行 了系统性的研究，1 9 8 6 年构造出了具有一定衰减性质的光滑函数妒。它的二进 制伸缩与平移系1 9 】： l j , k ( x ) = 22 妒( 2 7x 一七) j ，k z ， 构成l 2 0 u 规范正交基，构成了较系统的构架，为小波分析学科的诞生和发展做 出了最重要的贡献。同时法国学者s m a l l a t 提出了多分辨分析的概念，建立起了 统一的子波分析数学理论。重要的还在于它给出了塔形结构算法咱r 为m a l l a t 算法。其重要性相当于傅立叶变换中的f f t 算法f l o j 。 m a u a t 首次提出了快速小波算法f w a ( f a s t w a v e l e ta l g o r i t h m ) 1 1 3 。使用无限长 b a t t l e l e m a r i e 小波的阶段函数。但由于会产生截断误差，比利时人d a u b e c h i e s 对m a l l a t 思想充分研究后，用迭代方法建立了著名的d a u b e c h i e s 小波【”1 。它是 有限长的，即只在有限区内取非空值，从而避免了误差，同时节省了许多计算工 作量，是一种新型小波紧支集小波，成为目前应用最为广泛的一种小波。 目前，小波变换广泛应用于各个领域，如信号分析、图像处理、模式识别、 通信、地震勘测、量子物理