（计算数学专业论文）两个非线性方程的新型差分格式.pdf

摘要 本文将前人对正则长波方程的数值求解的部分结果进行了简单总结，并基 于方程本身的的守恒律为出发点，提出了四个新的守恒差分格式，对格式的二 阶精度进行了证明，并运用能量分析呻“8 】的方法对格式的收敛性及稳定性进行 了分析研究，并通过数值试验与前人的部分研究成果进行了比较比较表明， 本文格式精度的明显好于文 4 3 ，4 4 格式，特别是取适当参数时，精度有较大幅 度提高，且由于格式是线性的，从而保持了计算量小的特点，显示出新格式的 优越性。 另文章对b u r g e r s 方程首先提出一种新的差分格式，其具有二阶精度，利用 该格式结合s a u l y e v 型非对称格式，文章构造了b u r g e r s 方程的一种便于并行计 算的交替分段隐格式，分段格式的截断误差理论上有所增加，不再是o ( r 2 + h 2 ) ， 但由于其在交替分段过程中，相邻两层的误差有所抵消，因此分段格式的精度 没有明显降低，甚至个别点可能有所提高。而且格式线形化绝对稳定并有效地 避免了数值振荡。数值实验表明本文格式具有很好的适用性。 关键字：正则长波方程，b u r g e r s 方程。守恒差分格式，交替分段隐格式，收 敛性，稳定性 两个非线性方程的新型差分格式 a b s t r a c t i n & i sp a p e r , w eg e n e r a l i z e ds o m er e s u l t sa b o u tt h er e g u l a r i z e dl o n g w a v e ( r l w ) e q u a t i o nw h i c hp e o p l e h a v eg o t ，a n d g a v e f o u rf i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e c o n t a i n i n gp a r a m e t e rr 0 f o ri tb a s e do ni t s c o n s e r v i n gt h e o r e m s a l lo ft h e m h a v ee r r o ro f d ( 2 + 2 ) ( w h e r e fi st i m es t e pa n dhi ss p a c es t e p ) t h e yh a v e a d v a n t a g e st h a tt h e r ea r ed i s c r e t ee n e r g yw h i c ha r ec o n s e r v e d t h e i rc o n v e r g e n c e s a n ds t a b i l i t i e so fd i f f e r e n c es o l u t i o n sw e r ep r o v e d n u m e d c a le x p e r i m e n tr e s u l t s d e m o n s t r a t et h a tt h ep r e c i s i o no ft h en e ws c h e m e sw i t hs u i t a b l e r 0 a r eb e t t e r t h a nt h o s es c h e m e se x i s t e d ，a n dt h en e ws c h e m e sa r ep a r t i c u l a r l ya t t r a c t i v ew h e n l o n g t i m es o l u t i o n sa r es o u g h t a tt h es a n a et i m e ，an e wt w ol e v e li m p l i c i ts c h e m ew h i c hh a sam m c a t i o n e r r o r o fo ( r 2 + 2 ) i sp r e s e n t e df o rs o l v i n gb u r g e r se q u a t i o n a na l t e r n a t i n gs e g r n e n t i m p l i c i t ( a s i ) m e t h o di sp r o p o s e da n di t su n c o n d i t i o n a ll i n e a rs t a b i l i t yi sp r o v e d t h e a s im e t h o di ss u i t a b l ef o r p a r a l l e lc o m p u t i n ga n da v o i d sn u m e r i c a lo s c i l l a t i o n t h o u g ht h ee r r o ro fa s im e t h o di sn o t o ( r 2 + h 2 l ，i ti ss e to f fe v e nb e t t e rb e t w e e n t h et w oa d j a c e n tl e v e l ，t h u st h e p r e c i s i o no f t h ea s im e t h o di sn o td e b a s e d o b v i o u s l y , e v e nm o r eb e t t e ra ts o m ed o t an u m e r i c a le x a m p l es h o w st h em e t h o dh a s g o o d a p p l i c a b i l i t ya n dh i g ha c c u r a c y k e yw o r d s ：r e g u l a r i z e dl o n g w a v ee q u a t i o n ，b u r g e r se q u a t i o n ，c o n s e r v i n g f i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e ，a l t e m a t i n g s e g m e n ti m p l i c i tm e t h o d ，c o n v e r g e n c e ，s t a b i l i t y 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容 外，本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。对本 论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明 确方式标明。 本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件，允 许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 作者签名：王也塞 日 期：丝蔓：2 童室塾窒堕鲞盔兰堡主兰堡鲨苎 第一章绪论 许多物理运动或其他运动过程都可以用一个偏微分方程的定解问题来描述， 例如无限长细弦的自由振动问题可归结成二阶双曲型方程的初值问题，而弦对 平衡位置的偏移就是方程的解。但是绝大多数偏微分方程定解问题的解不能用 明显的公式来表达，有时即使可用公式表达也往往过于复杂，所以需要用各种 近似方法来计算它的解。 差分方法是解偏微分方程定解问题的常用近似方法之一。c o u r a n t ， f r i e d r i c h s ，l e w y l l j 首次对偏微分方程的差分方法作了完整的论述。第二次世界 大战以来，快速电子计算机的诞生和发展为差分方法提供了强有力的工具，从 而促使这一学科迅速地发展起来。 差分方法的首要问题是构造合理的差分格式，使得它的解保持原问题解的某 些主要性质，并且又相当精确。然而逼近精度高的差分格式不一定给出好的近 似解，因为一个合理的格式还必须保持原问题的某些物理性质。守恒的差分格 式可以较好地拟合方程本身所具有的守恒律i 2 。”j ，而且避免了其他差分格式的非 线性“爆炸”，所以构造守恒的差分格式是始终是一件非常有意义的工作。 另外，由于高性能并行计算机的出现和推动，二十多年来，发展方程有限差 分并行算法的设计与分析也一直受到众多学者 5 2 - 5 9 , 6 2 - 6 5 , 6 8 - 7 0 1 的关注。 1 1 前人研究成果回顾 1 9 6 6 年，p e r e g r i r e 川首次提出了如下的非线性波动方程一正则长波方程 ( r e g u l a r i z e dl o n g w a v ee q u a t i o n ，简记为r l w 方程) “f + “j + u u t 一 删= 0 ，一 x ，0 f o d ，( 1 1 1 a ) u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，一o o x ， ( 1 1 1 b ) 这一方程又被称为b e n j a m i n ，b o n a ，m a h o n y 方程d ”。m e d e i r o s ，m e n z a l a 3 3 】研 究了周期解问题，它所描述的运动与k o r t e w e g - d ev r i e s ( 简记为k d v 方程) 方 程1 3 4 ，”】 ”f + “j + d u j 一甜勰= 0 有相同的逼近界，而且能够非常好地模拟k d v 方程的几乎所有应用，因此对它 两个非线性方程的新型差分格式 的数值研究是一件很有恿义的事情。 对平面区域i x , ，z 】 o ，t 】作网格剖分，取空间方向步长 = ( 置一置) j ， 时间方向步长为f ，x ，= x f + j h ，t 。= n f ，j = o ，j ，n = l ，n = 盯f 】。定 义阏格比a = r h ，结点( x ，) = ( 办，w ) 处的数值解记为“；a 本文总假定c 为广 义正常数( 即在不同的地方可以表示不同的值) 。 ”生秒1n 叫卜华巾挑= 华， 州驴之巾a = 华巾a = 华， ( “”，v ”) = 向“? 吖，川i = ( “，“) ”2 ，l h n 忆= s u p 蚓 下面我们对已有的部分成果作一下简单介绍。 p e r e g r i n e l “j 最早用下列格式 幻l + ( 1 + “；+ ”，n “l 一b = o 解( 1 1 1 ) 。e i l b e c k ，m c g u i r e l 3 6 , 3 7 i t ( 1 1 1 ) ，提出了如下三个非守恒格式 + p n 引+ 。珂q n + j i 一o ；乙- o ， 0 ：) f + 0 ；k + “；0 ；l 一0 ；k = o ， 0 知+ “a i + 0 ；) j + “j 0 ；) j 一0 ；b = o 但他们的计算显示两个孤波碰撞是弹性的，从而使许多人去寻找这一方程的n 孤粒子表达式。后来，a b d u l l o e v , b o g o l u b s k y , m a k h a n k o v1 3 s l 和a l e x e n d e r , m o r r i s l 3 9 】证明了这一碰撞是非弹性的。o l v e r 4 0 】又从理论上证明了r l w 方程具 有三个守恒律，从而更加澄清了r l w 方程和k d v 方程( 有无限多个守恒律) 的重大区别。同时，上述格式不能很好地模拟方程( 1 1 1 ) 的守恒律，且逼近精度 较低。而一个好的格式不仅要求有较高的逼近精度，还必须保持原问题的某些 物理性质。 邬华谟，郭本瑜1 4 1 l 将( 1 1 1 a ) 改写为 南京航空航天大学硕士学位论文 o v + g + u ：o g ：u 型 0 x w ：塑 o x v = u 一 并以此为出发点，根据k r c i s s 4 2 】方法，得到下列半离散格式 了d 。( j h , o + g ( j h ，小( 业，r ) ；。 n w ( j h ，r ) = ( 加，r ) n g ( j h ，t ) = j ( u ( j h ，f ) ，“( 乃，r ) ) “( 乃，f ) = v ( j h ，t ) + w ( j h ，f ) 具中 n w ( j h ，) 3 音( w ( j h + 厅，f ) + l o w ( j h ，f ) + w ( j h 一 ，) ) ， r i g ( j h , t ) 。言( g ( 肋+ h , t ) + 4 9 ( j h ，小g ( j h 一 ，f ) ) 上述格式可用p 阶r t m g e k u t t a 方法求解，但其不能很好地模拟方程( 1 i 1 ) 的守 恒律，而且计算量较大。 考虑如下r l w 方程的初边值问题 “r + “z + u u ，一“捌= 0 ，x 置，z ， ，f 【o ，t u i = “i x , = 0 ， fe o ，t ， u j ，。o = 4 0 ( x ) ，z i x ，肖，】 方程( 1 1 2 ) 的单个孤波解为 u ( x ，) = a s e c h 2 ( k x c o t + 6 1 ， 其中 ( 1 1 3 ) 4 。等一兰南， d 和万是任意数。从( 1 1 3 ) 可以明显地看出当一五和x ，足够大时，初边值问题 ( 1 - 1 2 ) 与方程( 1 1 2 a ) 的c a u c h y 问题是一致的。 将式( 1 1 - 2 a ) n n n n ! 乘v a u ，并在 五，五】上对x 积分，同时考虑到边界条 件，易知方程( i i 2 ) 满足如下能量守恒律 曲”0 2 2 2 q q 0 两个非线性方程的新型差分格式 e ( f ) = 1 1 “旺+ l l “x 旺= c o n s t ( 1 _ 1 4 ) 将式( 1 1 2 a ) 的两端在【一，z 】上对x 直接积分，且当工斗置或z z 时， u ，“，斗0 ，则易知方程( 1 1 2 ) 还有如下能量守恒律 x，x g ( r ) = p ( 工，t ) d x = 卜。 ) d x = c o n s r ( 1 1 5 ) x tx 除( 1 1 4 ) ，( 1 1 5 ) 之外，方程还有守恒律【7 1 1 f ( “3 + 3 u 2 ) d x = c o n s t ( 1 1 6 ) 常谦顺等1 4 3 j 对问题( 1 1 2 ) 提出了一个两层隐格式 ( 矽) ，+ 吉陋町“) ( 叫n ) ，+ ( q 叫n ) 2 ； + 軎( q + ) ，一( “；) 。= o ， ( 1 - 1 7 ) 进行了比较。格式( 1 1 7 ) 很好地模拟了( 1 1 4 ) ，( 1 1 5 ) 两个守恒律，但由于是非线 性格式，因而需要迭代求解，这就不可避免地需要很多机时。考虑到守恒律和 计算时间及精度要求，张鲁明和常谦顺【“】对问题( 1 1 2 ) 提出了一个三层隐格式 l + j 1 咿，n + 愎+ o ，) j 一b + 吉i j 缸；+ 吐+ o 1 ) + 幻o + 。；一t 堍】：。 ( 1 1 8 ) 另外对r l w 方程及其广义方程的数值研究还有有限元和谱及拟谱方法等，如文 5 0 n 文 5 l 】。 b u r g e r s 方程 u ，+ u u j2 融 中既具有非线性的对流项，又具有扩散项，因而它具有n a v i e r - s t o k e r s 方程的特 性，从而可以看作n a v i e r - s t o k e r s 方程的简化形式，因此对它的研究是一件非常 有意义的工作。为了实现并行运算， 6 3 ，6 5 ，6 9 ，7 0 设计了交替分组显格式 ( a g e ) ，文 6 2 】构造了交替分段显- 隐格式，文【6 4 引进了高精度的交替分段隐格 式。 o = 卜 h ， l 兰一 一 肿， “+ h 肿， “+ ， ，一4 + 、上 肿， “+ h ，b 一2 + 、 h ，式0 格 一c与并 南京航空航天大学硕士学位论文 1 2 预备知识 本文我们需要如下几个引理： 引理1 2 1 设“。砩i x , ，x ，】，则边值问题( 1 1 2 ) 的解满足 俐l ：- c ，。：c ，k s c 证明：由( 1 1 3 ) 式可知 。c ，i 。c 于是由s o b o l e v 不等式即得 l i i i k c 引理1 2 2 ( 离散s o b o l e v 不等式) 存在常数c l 和c ：使得 川i 。c l ”i i + c ：蚓i 成立。 引理1 2 3 设”0 且存在常数c 和c ，使得 ”c l + c 2 r 矿，0 y l 丁 k = o 成立，则有 ”c 。e 。r 两个非线性方程的新型差分格式 第二章正则长波方程的几个新的守，瞳差分格式 诚如郭本瑜教授在其著作偏微分方程的差分方法1 4 5j ( 第4 页) 中所言“ 逼近精度较高的差分格式不一定给出好的近似解，因为一个合理的格式还必须 保持问题的某些物理性质”，因此要构造一个好的差分格式，较好地模拟 ( 1 1 4 ) ( i 1 6 ) - - 个守恒关系便成为关键。基于上述考虑，本章以模拟方程( 1 1 2 ) 的能量守恒律( 1 1 4 ) ，( 1 1 5 ) 为出发点，提出了四个新的守恒差分格式，运用能量 分析m 。4 q 的方法对格式的收敛性及稳定性进行了分析研究，并通过数值试验与 前人的成果进行了比较。数值试验表明，本文格式的精度明显好于文 4 3 】和文 4 4 】 的格式，特别是取适当参数时，精度有大幅度提高。而且新格式保持了计算量 小的特点，从而显示出其优越性。本章共分四节，分别对每个格式进行了分析。 2 1 格式i 本节结构如下：第一部分提出了一个有限差分格式，并分析了格式的离散 能守恒律：第二部分证明了格式的稳定性和收敛性：最后一部分进行了数值试 验，数值结果表明，当取适当的参数时，本节的格式与文 4 4 的格式相比，精度 有了较大幅度的提高，且保持了计算量小的优点。 2 1 1 差分格式及其守恒律 引理2 1 1 ( 1 ) ( 彬, g + + l + z g - t ) = n ； ( 2 ) - ；“+ “；，“”1 + “”i ) = 0 ： ( 3 ) 扩1 + “) = 窆( “；k “y 一 杰1 k 证明：( 1 ) ，( 2 ) 经直接计算便可证明，( 3 ) 式利用公式k ，v ) = 一0 ，v j ) = 一k ，“) 即 可得证。 现在我们对问题( 1 1 2 ) 提出如下差分格式 i + 毒( 1 一玎她以+ ”l 】+ 玎幻l 一匕 + ；b ? 而? “l + o ? 一- 1 ) + o ? o j + 一十。? 一t ) i 】：。， 2 。1 1 幻 ( ，= 1 ，j 一1 ，月= 1 ，2 ，) 塑室堕窒堕丞盔堂堡主堂垡丝苎 “o n = “：= 0 ， n = 0 , 1 ，2 ， 叶0 = ( 葺+ 肋) ，_ ，= 0 , 1 ， f 2 1 1 b ) f 2 1 i c ) 其中，7 0 , i 】a 显然，当刁= 0 时，( 2 i 1 ) 即为文 “】格式。 需要指出的是，格式i 是一个三层格式，不能自启动，因此必须选择一个 两层格式( 如文【3 3 】中的二阶精度守恒差分格式) 来求解矿。 关于对( 1 1 5 ) l 箕j 数值模拟有 引理2 1 2 差分格式( 2 1 1 ) 关于离散能是守恒的，即 肚如“n i i 1 | | ) 2 + 扣：n i i 哆1 | | 2 卜椰丢j ( 咖，n + i 一划 ( 2 m ) 证明：将( 2 i 1 a ) 式与“”+ “”1 作内积，结合引理2 1 1 得 刹1 h p ) + 剀哆1 h 伊| | 2 卜( b + 最, b l n + l q t n - i ) = o ， ( 2 ) 其中 只= 卜与( 1 一叩她 + ”小叩0 办1 ， 最= ( 批l + ”l ) + ( o ? “? 一灿) 由引理2 1 1 的( 2 ) ，( 3 ) ，有 ( 鼻，“+ 1 + “”一1 ) = ( 1 - 1 7 ) ( j n + l + “；，“”+ 1 + “”1 ) + ，7 ( “。n ，n + i a n - i ) = 和( u d ；“一咖( “一；“； ( b ，“”1 + 矿1 ) = 百h jk j o z ：一“h n + l + “川n - i 一“z ) + “盖。0 爿+ “二 ) 一“厶0 爿+ q n 一- ：) i z - l ，n “+ “；- ) = 鲁艺融0 嚣卜“= ) + “a 0 爿+ “蒿敝；+ l + “，n 一，) 一言窆k a 0 + “，) + “；0 y + “y 肌；：+ “；： ) ：o 综上，n ( 2 1 3 ) 式便得( 2 1 2 ) 式。 2 1 2 格式的收敛性和稳定性 首先，我们分析一下格式( 2 1 1 ) 的截断误差，为此，假设q = “( 0 ，) ，矽? 为截断误差，则有 一 翌尘韭垡壁查矍箜堑型叁坌堡茎 彤：( v ? ) ，+ 妻( 1 一刁舭“l + n 玎0 7 l 一k + 去l ；) j + 1 ) + ( v ? 叫n - i 时 ( 2 i 4 ) 根据t a y l o r 展开，易于得到( 2 1 4 ) 式的线性部分在( x ，。) 点满足 + 丢( 1 一叩舭“l + 一蚺叩l 一k = ( u 十一) k + o ( r 2 + 厅2 ) ( 2 1 4 ) 式的非线性部分可写作 q = 去b ( ( v ；“l + ( v 蜕+ 0 + v ，n - i 溉 = 上1 2 h r l v j ”f 、v j 搿一唰+ v ，n - i 一唰) + n ( 唰+ 咧) + 哆一( 吩，+ 唰) ， 通过t a y l o r 展开和繁杂的计算可得 q = ( u u ，) k + o f f 2 + 2 ) ， 因而 彤= o ( r 2 + a 2 ) 综上有： 引理2 1 3 设“0 ，) 足够光滑，则差分格式( 2 1 1 ) 的局部截断误差为o ( f 2 + 厅2 ) 。 下面分析格式( 2 1 1 ) 的收敛性和稳定性。 引理2 1 4 设硎【x i ，x ，】，则关于差分格式( 2 1 1 ) 的解有如下估计 川卜c ，l l u ：l l - c ，u n 。 - c 证明：由y o u n g 不等式可知 一剁“：0 2 + 1 1 圹1 1 1 2 胁矗缸) ，“到“：0 2 + 1 1 “1 1 2 ) ， 于是由引理2 1 2 有 如”| 1 2 + i 妒咿半( z n + l2 啦心c ， 又r l ，只要取适当小的r ，使得1 一r r 0 ，则有 妒i i _ 0 ，则有 吲印( r + h z ) ，i o ：1 1 - o ( “ 2 ) 根据引理1 2 2 即得 归”k d ( r 2 + 2 ) 类似可证 定理2 1 2 设联【五，x ，1 且初边值问题( 1 _ 1 2 ) 的解”c ，则差分格式 ( 2 1 1 ) 的解以屯范数稳定。 2 1 3 算法分析和数值模拟 为便于计算，将差分格式( 2 1 1 ) 改写为如下形式 a ， ，n 一+ 1 + 彤“；“+ c ? “蒿= d ；，j = 1 ，2 ，一，j i ；h = 1 ，2 ，n - 1 ， ( 2 1 1 5 a ) u o = 矿= 0 ，九= 1 ，2 ，n 一1 ，( 2 1 1 5 b ) “? = u ( j h ) ，= 1 ，2 ，j 一1 ， ( 2 1 1 5 c ) 其中 旦竺! ! 望竺互垄盟翌型墨坌坚茎 群= 一言( 1 - r ) 一嘉一詈( “；僻，) ， 彤小吾， c = 1 ( 1 - r ) 丑一嘉+ 和+ “廿 彤= 犯( 略，一喀- ) 一( q + 别z 爿+ 彤一( + 2 a 。 g - i ， 曼1 1 ) 式是个关于仁j 的三对角线性方程组，可以用“追赶法，求解，公式 n ：“= w i w ：+ g i j = j - 1 j 一2 。l j 苴中 一丽- 1 c ” w 0 = 0 g d = 0 。一一d 1 一a t g - - ) * j i ，j - i 毋一丽 以下我们与文 4 4 】格式进行比较。文【4 4 】格式为 + j 1 _ ，n * l n 一1 ) j 一幻b + 吉咖+ “以+ ”+ “尸) ) j 】o ，- ，= o ，咖：1 ， 图2 1 - l 矗= 0 4 ，f = 0 0 5 t 五= o 1 2 5 时的误差，叩从上到下依次为o ，o 5 1 f 畦1 1 ：t h ee r r o r f o r h = o 4 f = 0 0 5 ，五：0 1 2 5 格纵种中两其 对 。 直 3 取 王些图嚣 、分嵋饿 l 防 = 蚋 融解问 波时 ， 孤为 与标 珥 解坐：，值横 z 数， = ，差蜀较误 一 比方 定 了平 固 行为进标 式坐 南京航空航天大学硕士学位论文 图2 1 2 = 0 i ，f = o 1 - 旯= 1 时的误差，玎从上到下依次为0 ，0 s ，1 f i 9 2 1 2 ：t h ee r r o r f o r = 0 1 ，f = 0 1 ，五= 1 图2 1 3 = o 1 ，r = 0 4 ，五= 4 时的误差，叩从上到下依次为0 ，0 2 ，0 4 ，0 6 ，0 8 ，1 f i 9 2 i 3 ：t h ee r r o r f o r | 】i = 0 1 ，r = 0 4 ，五= 4 我们对 和f 的不同取值进行了大量的试算，发现当网格比较小时两格式精 度相当( 如图i ) ，而随着网格比的增大，格式i 较文4 4 格式的精度优势便越 来越明显( 如图2 ，3 ) ，而且计算量较文 4 4 】格式没有明显增加，这说明我们的 格式更加适合于大网格比下的计算。同时我们对参数刁的不同取值也进行了试算 ( 如图3 ) ，结果表明参数叩愈接近l ，格式精度愈高。另外，由于我们的新格式 与文 4 4 】格式样，是一个线性化格式，因此保持了文 4 4 】格式计算时间短的优 点。 综上可知格式i 是实用而可靠的。 2 2 格式i i 一 亘全j ! 垡丝查堡堕堑型薹坌堡茎 一一一 本节结构如下：第一部分提出了一个有限差分格式并分析了格式的离散能守 恒律，第二部分证明了格式的稳定性和收敛性，最后一部分进行了数值试验， 数值结果表明，格式i i 取适当参数时，与文 4 4 格式相比，精度有较大幅度提高， 且保持了计算量小的优点。 2 2 1 差分格式和守恒律 针对问题( 1 1 2 ) ，我们提出如f 差分格式 宰( n 。枷川n ) ，+ 7 7 ( “；) ? + 告( 叶n + l + ，n 。) ；一( “；) 戚 + 丢 “；( “，n + l + “ + ( q ( “+ 1 + z 删， = o ，= ，咖= l ，( 2 2 1 a ) “：= “：= 0 ， n = 0 , 1 “2 - n( 2 2 t b ) “? = ，+ 肋) ， _ ，= o ，( 2 2 1 c ) 其中，叩 0 , 1 。显见，当r = 1 时，格式( 2 2 1 ) 即为文【4 4 格式。 与格式i 一样，格式i i 也是一个三层格式，不能自启动，因此必须选择 个两层格式( 如文 3 3 中的二阶精度守恒差分格式) 来求解“：a 差分格式( 2 2 1 ) 对( 1 1 4 ) 的数值模拟有 引理2 2 1 差分格式( 2 2 1 ) 具有以下的离散守恒律，即 = 半 喜 ( k n + ，l + 喇) “广+ ( 略+ 喀) “力 + 兰( 1 i “”1 1 2 + 1 l u n + l l l 2 ) + 圭( 1 “：l i 2 + l | “：“l j 2 ) = e ”= = e 。 ( z 2 ：) 证明：( 2 2 1 a ) 式与 “1 + u ”1 作内积，得 半 杰l ( “a + “以+ 叩j ( “；) 胁“) 一 j 引l ，1 i j + l 专4 + 蟮n1 l 1 + 扩11 一也“+ u n - i ) + ( p ，“+ 扩1 ) 3 ，+ 口+ 讲+ = o ( 2 2 3 ) 其中尸= ( ，丢幻+ “以+ 幻”叫n 。蚨】，- ) o 对( 2 2 3 ) 式的左边四项，经简单计算有 卜百l - r 唼婚j w n + l 叮l + “川n - i 哆1 嘶n - i “? 。) + 刹h 旷喊叫) 南 南京航空航天大学硕士学位论文 ( u n + l + u n - i 工，“n + l + “n - i = 一i p “+ ”。k ， 知 = 0 ， ( 2 2 5 ) i i i = - - - ： ；：i ； ( g l ，n + 一巧一1 ) 。；( 嵋+ 1 + 一1 ) 2 去喜眇) 弦n 1 ) ，村”；。1 ) ， = 期f 1 俐1 2 ) ( 2 2 - 6 ) 另，类似2 1 节的讨论可知， i v = 0 ( 2 2 7 1 综合( 2 2 4 ) ( 2 2 7 ) ，我们有 百l - r 6 荟j ( 喇“，吁t t + 一l n + i 一“弦ni 一“斯1 ) + 勤“- u n q l2 ) + 期“h p | | 2 ) = o ( 2 2 - 8 ) 令 肚半唼 ( 唰+ 喇) “? “+ ( “知+ “曲门 + 三0 “”r + l 卜“1 1 2 ) + 圭( 4 “：1 1 2 + i | “1 1 2 ) ， 则定理得证。 2 2 2 格式的收敛性和稳定性 为分析差分格式( 2 2 1 ) 的截断误差，我们记哆= “( 一，) ，矽? 为截断误差， 则有 掣2 字k t + 蠕i + 玎+ 抄1 + 巩一( v ；匕 + 哆( “+ 嵋- 1 ) ；+ ( 嵋( 嵋“+ 嵋_ 1 ) ) ； ( 2 2 9 ) 根据t a y l o r 展开，易于得到( 2 2 9 ) 式的的线性部分在点( - ，) 处满足 字h + 蠕i + 刁+ 抄i + v 以一b = ( q + 心一“。) h 1 + d ( r 2 + 矗2 ) 两个非线性方程的新型差分格式 ( 2 2 9 ) 式的最后一项司写作 = 吉 q ( 哆“+ 纠；+ ( v 胞nv n + l + 州) j = 西 - 肚v ，n 、，n + l 一唰十一n 厂- i 唰) + 吩- ( 唰+ 喇) 一噶( 唰+ 唰) 根据t a y l o r 展开和繁杂的计算可得 w = ( 毗) k 。) + o ( h 2 + f 2 ) 综上，有 掣= d ( 矿+ r 2 ) 引理2 2 2 设“g ，) 足够光滑，则差分格式( 2 2 1 ) 的局部截断误差为d ( 2 + 2 ) 。 引理2 2 3 设h ：瞳，j ，】，则关于差分格式( 2 2 1 ) 的解有如下估计 j - c ，肛：1 1 - c c ，1 d n 。c 证明：由1 1 0 u n g 不等式得 宇矗害烨n + 一l 川n + 1 ) “卜( “知+ “渺净一半( | i “- i i l 2 + 1 1 1 2 ) ， 于是由( 2 2 2 ) 式知 掣( ”1 川2 ) + 枷：“1 1 2 + i i 0 ，则有 h “一h “s c r 峥”n c r h “ ( 2 2 1 5 ) 将( 2 2 1 5 ) 式对n 从1 到n 求和，得 何“s 日。+ c 。s u ：p e r ”f 2 + c r n - 1 日”n1 埘s”：= 由引理1 2 3 立得 日”、h 。剖d ”吵盯、l s “” 运用y o u n g 不等式，我们有如下估计 百l - r 善j ( 制够“埤n + - l 吩+ 1 + ，够睥引一半咿+ j 1 2 + | 2 ) ， 于是由h ”的定义，我们就有 呈( 眇坩) 瑚掣竹2 ) 。( r 2 + h 2 ) 2 8 南京航空航天大学硕士学位论文 i i o 1 1 - c o ( r 2 + 2 ) ，矧d ( r 2 + 2 ) 根据引理1 2 2 即得 i i 曰”。d ( r 2 + 2 ) 类似可证 定理2 1 2 设；i x , ，墨】且初边值问题( 1 1 2 ) 的解抓：c ( 4 ”，则差分格式 ( 2 2 1 ) 的解以l 范数稳定。 2 2 3 算法分析和数值模拟 为便于计算，将差分格式( 2 2 1 ) 改写为如下形式 蟛n “川n + l + 彤“夕+ c “爿= 研， - ，= l ，2 ，j i ，n = 1 “2 n 一1 ，( 2 2 1 6 a ) u ；= 0 ，彬= 0 ，”= o ，1 ，n ， ( 2 2 1 6 b ) “? = ( 肋) ， = l ，2 ，j ( 2 2 1 6 c ) 其中 形= 半一争吉一和n + “二) ，例， 删， 彤= 7 7 + 吾，- ，= ，山乩， c = 孚弓一古+ 静+ “知) ，一o ，一删，一v ， 彤= 彤矿一c y + 矿2 一( - 一叩) ) n - ，i 一( 彤+ 矿2 一( - 一玎) ) 啄? l - - 。， ，= 1 , 2 ，一1 ，”= 1 , 2 ，一1 显见，式( 2 2 1 6 ) 是个关于b ? “ 的三对角线性方程组，从而可以用所谓“追赶 j = j 一1 ，j 一2 ，1 u = 一面j j ；j n ；：i ，g ，= 考；j j ：；等主i ，= 。，一，行= ，驴一可萄石毋3 审霉嚣卸，肛1 w o = 0 ，g o = 0 。 以下我们与文 4 4 】格式( 记为格式2 ，本节格式记为格式1 ) 进行比较。我们仍 取文 4 4 】中数值例子进行数值试验，即固定一五= x ，= 4 0 0 ，u 0 ( 上) ：s e c ：( ) 。 下面就f ，h 几种取值情况对两种格式进行了比较( 注：我们用的编程语言是 m a t l a b 6 5 ) ，数值解与孤波解的平方误差，分别绘成图2 2 1 图2 2 4 ，其中 岛 + 肿什 球 叶 = + 中其 两个非线性方程的新型差分格式 横坐标为时间，纵坐标为平方误差。 图2 2 1 f = 0 1 ，h = 0 4 ，t = 1 0 0 ，7 = o 5 1 时的误差 f i 9 2 2 1t h ee r r o r f o rf = o 1 ，h = 0 4 ，t = 1 0 0 ，玎= 0 5 i 图2 2 2 f = 0 2 ，h = 0 4 ，t = 1 0 0 ，7 7 = 0 5 5 时的误差 f i g2 2 2 t h ee i t o r f o r f = 0 2 ，h = 0 4 ，t = 1 0 0 r = 0 5 5 图2 2 3 r = o 1 ，h = 0 8 ，t = 1 0 0 ，7 = 0 6 时的误差 南京航空航天大学硕士学位论文 f i 9 2 2 3 t h e e r r o r f o rf = o 1 ，h = 0 8 ，t = 1 0 0 ，野= 0 6 图2 2 4 r = 0 4 ，h = 0 4 ，t = 1 0 0 r ；o 5 1 时的误差 f i g 2 2 4 t h ee r r o r f o r r = 0 , 4 ，h = 0 4 ，t = 1 0 0 ，r = o 5 1 数值结果表明，取适当参数，在t = 1 0 0 时本文格式较文 4 4 】格式有较大幅 度的提高，而且显然的，本文格式的误差曲线随计算时间的延长其变化幅度非 常微小，从而非常适合于长时间运算。 固定网格比，误差随参数玎的变化表示如下 表2 2 1 h = 0 4 ，f = 0 1 ，r = 1 0