（应用数学专业论文）环形区域上qlaplace型hénon型方程的多解.pdf

摘要 本文研究环域q = z r 1 1 h 0 ，q p q + = 毪，其中1 l | 一 u u ，-i_j(1-_， a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n st ot h ef o l l o w i n ge l l i p t i c a l b o u n d a r yp r o b l e mo fh d n o n - 1 k ee q u a t i o no fq - l a p l a c i a nt y p e 三三羞2 “圳一2 r 让卜1 兰蓍王， ( 1 ) w h e r eq = 【z r 1 1 i z l 0 ，g p g = 且n - qa n d1 口 1 k e yw o r d s ：a n n u l u s ；q - l a p l a c i a n ；h d n o n - l i k ee q u t i o n ；m i n i m i z e r ；n o n r a d i a ls o - l u t i o n s i i 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：令p 士食 日期：1 年r 月力日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：铃p 士金1 日期：z 。7 年多月- 4 日 ， 导师签名：巷工嘻 日期：二0 0 7 年；月z 7 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。园重诠塞堡童后进卮! 旦坐生；旦二生；旦三生叁查! 作者签名：莎t 位f f 日期：湖7 年孓月z 7 日 导师签名： 日期：c 7 蒌互毫 忽互缓 年岁月3 7 日 第一节引言与主要结果 本文研究r 中环域q = 仁r 1 1 h 0 ，q 0 ，此处及以下b = 忙r n l l 2 7 i 0 和p ( 2 ，2 = 为次临界指标时，下面的极小 i n f o u 础( b ) y t | 1 2 出 卟i p ) 是可达的1 9 8 2 年，n iw m 在文献【1 5 】中证明了下面的极小 i n f o - , j c 川m d ( 口) y 仳1 2 如 上川钍i p ) ( 1 4 ) 对于任意的2 0 ，2 p 2 时 在q = z r 1 1 0 ， 在b 中，( 1 6 ) 【u = 0 ， 在o b 上， 其中3 ，口 0 ，q p q = 是，且证明了当p _ 旷时，方程( 1 6 ) 的解集中 在边界的一点上 本文研究q - l a p l a c e 型的h 6 n o n 型方程( 1 1 ) 多解问题，在给出主要结果前，先 给出问题( 1 1 ) 基态解定义：令。 ) = 忙i 一2 1 。，方程( 1 1 ) 对应的泛函记为 i v u l 9 d x 如“叻2 东丽一州灯八佃卜 0 7 若让耐g ( q ) o ) 为该泛函的极小达到函数，则称u 为问题( 1 1 ) 的基态解 为了叙述定理的方便我们先给出一些记号令c ( a ，b ) = z r l a 0 和p ( q ，g + ) ，使得对任意的q 石椰 ，口+ ) ，泛函如，p 存在一个临界值，且这个值的达到函数为非径向对称函数 定理1 4 若g 固定，则当口_ o o 时，问题( j 1 ) 的解t 口只集中在环形区 域q 的其中一个边界附近，即对于以纠给出的西，加a = ，1 + ，2 ，其中让口，1 w j p ( q ) ，u 。，2 w j p ( q ) ，s u p p u 1cc ( 1 ，1 + 2 z ) ，s u p p u n ，2cc ( a 一2 6 ，3 ) ，任取一 串_ + ，要么厶i v u 翰，l l q d z 一0 ，或者厶j v u a 。，2 | 口d x 一0 注1 5 定理j j 的结果是文献f 7 1 中定理彳的推广，定理j 1 的证明关键是给出p 固 定时基态解和径向对称解的能量估计，当口一( 3 0 时，基态解为非径向对称解 定理j 蹄定理j 3 4 # 照文献【7 】的方法，将【7 1 中关于h d n o n 型问题的结论推广到口 1 a p l a c e 型的h d n o n 型问题 定理j 彳仿照文献 7 1 5 琊分的证明思路将问题( f f ) 当g = 2 时的结果，推 广到一般的q 1 的情形在定理j 彳的证明过程中，关键是证明命题6 1 而命 题岔j 的证明过程有一个关键的步骤若缸q = 让叩是问题( j j ) 的一个基态解， 且厶i v i 口出= l ，则满足 薹础虬 取子列 a = ) ，我们可以得到当q k _ 0 0 时， 在q 中， 在q 中， 在a q 上 i t q 。一让，在w 丹( q ) ， u n k _ u ，在l 5 ( q ) ，q s 赋以范数 i l u l l 州0 ) - ( , , ze l l - - - k l 伊u i p 缸) 5 后得到的线性赋范空间为舶6 d f e t ，空间七一( q ) 可以证明，w 七一( q ) 在上面规定的范数下是一个b a n a c h 空间( 见【2 2 】) 若q 球对称区域，我们记w 七一( q ) 中所有的径向对称函数构成的空间记为彬2 ( q ) 当p = 2 时，常将w 七，2 ( q ) 简记作日七( q ) 定义2 2 如果存在有限锥c ，使每一点z q 是一个包含于q 内且全等于c 的 有限锥q 的顶点，我们就说q 满足一致内锥条件 定理2 3 ( 见【2 3 】) 设1 p 0 0 j 若q 满足一致内锥条件，则当p 礼时 w 1 护( q ) q ( q ) ，p q p + = 而n p ，p 礼， w 1 p ( q ) q 三口( q ) ，p q 0 ( 3 ，p = n ， 而且对任意u w 1 沪( q ) ，有 1 1 t 上1 1 l a ( 哟c ( n ，g ，q ) 肌，( n ) ，p g 矿= 而n p ，p n 时，有 w 1 巾( q ) q 伊 a ( q ) ，o o 和常数e 0 使得当q 丘时，有 & p c a q 一世1 d ( 3 2 ) ( 3 3 ) 证明：对任蒽妒曙( b ) ，令札( z ) = 妒( a 一z a ) ) ，兵甲z 口2 ( 3 一五1 ，0 ，o ) ， 则讥( z ) ( b ( z 。，三) ) 作变换y = 口p z 。) 可得： j 厂n 霍。啦( z ) 如= z ，三) 忙i 一2 i q 蠼( z ) 出( 1 一兰0 1 ) q _ 上矿( 可) 咖 口( z 。，吉) - ，日 i 出争卜 zi v 忆l 口出= q 9 zl v 妒( 乜x - - x 。) ) r 如= q 口_ zi v 矽1 9 如， 其中 因此当a 成分大时 引理3 1 得证 ( 舻善型一 c o ? - n + 警， 如文2 赫一 警 肚碡刈一矿虿瓦西瓣刈 & 巾风l p ( 九) c 酽一+ 警 7 口 以下，为了简便起见，当让w 。1 时，我们记t i ( z ) = 缸( h ) 令 叫1 , 蒙q1 2 n 。) 忍舭 u 吲，一) o ) ( 3 4 ) 注3 2 由于嵌入吆( q ) q 口( q ) 是紧的，剐有一个达到函数，故( j j ) 存 在一个径向对称解，这一结果与【1 5 】中关于一般球对称区域h g n o n 型_ 问题的结果 是一致 则 在下面的引理中，我们给出当q o 。时锣的能量估计 引理3 3 若g p g ，则q o o 乐t ，存在两个依赖于g 的常数q ，岛使得 0 2 ，c ( q ，q ) q ( g ) = q 因此 跚c 2 a q 。怛 现在我们寻找下界a 定义妒1 ：【1 ，2 】_ 【1 ，2 】和也：【2 ，3 】叶【2 ，3 】如下 妒l ( r ) = 2 一( 2 一，) 卢，如( r ) = 2 + ( r 一2 ) 卢， 其中p = 1 陋+ 1 ) ，且 妒( r ) = 则妒是【1 ，3 】上的分段光滑函数对于一个径向对称函数u 蹦1 ，, 捌q ( q ) 我们令 且 v ( p ) = u 似( p ) ) ， 皿口( z ) z i ) 1 p 妇：咖一，厂3 虬( r ) r i ) 1 p r 一- 3 n - l w n - v-，,l，rr、i让似i)ipj ：3 心( 序1 - - u 删v 1 1 - - 、, 剐1 i u = 3 肛筇。i 酬p 如 ( 酬p 妒；p ) 劫+ z 3 吣姒枷m 训p 以( p ) 叫 fl 乳= w t 厅u ，( r ) | g r 。d r = ( j 12 唧l 口南和+ 小r ：蛳一l 丽1 厂3i ”( p ) p i p - 2 1 1 卅( 咖 2 蛳一1 酽。”( p ) r 叩儿p 咖 吼，嘉3 咖郴卜2 p 1 ) 和 9 以( p ) r 1 动扎阻伫 r r 、乃、乃 p p 饥如 r 1厂，地 贝 _ 因为我们的积分是在q 中，由于q = z r 1 1 ( 3m 硎p 印) ；嘲1 由于g a m m a 函数是正的，故( 3 6 ) 式的右边是大于零的，故存在一个常 数c i ( q 1 o 使得： 四c i a q - - l + ； 引理得证 1 0 口 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 定理1 1 的证明 由上面的关于& ，p 和s 掣的两个能量估计 s o 沪c 0 ；叮一+ 警 和 0 a 南c 2 0 ，a ，p 为风 p ( 让) 在耐口 o ) 中的任意一个极小值 点，则存在a ：o a q ，p 0 ，l ， 0 满足p 岛，口z b i q 使得 以) 当p _ 矿时，在测度意义下有i v t 口，p p 。成即 州h e - ，ni w , o 巾i 口，d x = 卫f ( 知) ，v ，e c b ( q ) 例当p _ 矿时，在测度意义下有i p i 口j 吨即 ，l i m 上l 乱口护i 矿他= l ，m 。) ，v ，q ( q ) - 其中以为集中在点z 处的狄拉克测度，q ( q ) 为q 上的有界连续函数构成的空问 证明：本定理可以用类似于【9 】中定理4 1 和【7 】中定理6 的证明方法得到，这里 从略 口 设 q 一： z r n l l l z l 2 ) ，q + = z r 1 2 0 使得 l i r n i n f 死p 岛，g + 五 ( 4 1 ) l o - - - q 。 其中岛，矿= i i 屯w a ( n ) r o ，口( 缸) 证明：我们首先证明死，p 被某个函数，p 达到考察瓦，p 的一个极小化序 列 ( 0 口e q ) 利用的风伊的一些等价表示，我们可以假设厶i v r d z = 1 故存在子列和u w 丹( q ) 使得 j 口= - p ，在耐丹( q ) 一t ，= 护，在f ( q ) ，qs8 g 幸 且从t l t l 0a e 于q ，可知口0a e 于q 由厶i v u 。1 2 出= 1 和t | ，i 可知 上十l v 1 4 出= z l v r 出= 互1 由j 口= ，p 于耐丹( q ) ，我们有 上+ l v u l 9 如三z i v u l 9 如三 由_ u = ，p 于妒( q ) ，我们有 酬丽1 ( 4 2 ) 下面证明u 反证假设 ( 1 ) 上十i v u l 9 出 互1 ，( 一l v u l 9 出j 1 j ， - ，n 十 二 n 一 厶 赭 (2)l+vvl1z1厶ivvlqdz 0 时，从口0 ，妒l 0 有 上虬( 酬u i p 出 0 定义 ， g l ( 6 ) = i v u + 万v 妒l i 口出 ，0 + n 9 1 是【o ，+ o o ) 上的连续函数，并且9 l ( o ) 0 使得夕l ( 6 1 ) = 由厶一i v v l 口d x i 可以找到如以及忱c g ( a 一) 且妒2 在开 球研仕1 ) cq 一上严格大于o ，使得厶一i v 扣+ 如忱) | 口d x = 1 2 故由( 4 3 ) ，知u = u + 6 1 妒1 + 如忱满足 风伊p ) 0 ，以及g p g 我们有死p & p 我们需要证明 当p 一矿时这个不等式为严格不等式反证假设 t i m i n f 死p = l i m i n f j k 护( t 么p ) = s o ，叮 ( 4 4 ) p - - - * q “p 一口 由岛q 的定义和h 乱d e r 不等式，任取一列p = p k _ g + 我们有 s o ，矿 & 一十6 成立 口 取 0 充分小，我们考虑以下特殊的点， z 。# = 知= ( 3 一丽1 ，0 i - ，。) ，z 1 ，= z 1 = ( 1 + 丽1 ，。，。) ， 和函数 ) = 两研杀咿丽 由文献【2 4 】中可知，对于冗的任意有界区域岛- 口不会被达到我们知道岛旷( j ) 是 可以达到的，且所有的达到函数都可以写成下面的形式 编，y ( z ) = ( 0 2 4 - z - - y 二l q ( q - 1 ) ) ( n 一- q ) q 。 其中p r 1 ，y r ( 见【2 4 】) 令 嘶一寺了- - x i ) 2 两= 拓矿 用函数仍0 = 0 ，1 ) 表示两个截断函数，满足o 慨1 ，i v 仇l c ii nl ( g o 为 常数) ，使得 嘶，2 r 嚣 z - - 蚓x i 0 ，则 p l i m 口心t p ( ) = s o 矿+ ( ) ( 4 6 ) 其中满足l i 地。o ( e ) = 0 证明：见文献【9 】 1 5 口 注4 4 引理彳鳓一个很直接的结论是岛，矿= ，口事实上由于虬1 我们可 以得到岛，矿，矿另外，由引理彳娥们可以得到 r 口( ) 2 嘉等见护( ) = s o ，口+ k ( ) - 因此对任意的e 0 我们可得岛矿+ k ( e ) & q 令e _ 0 即可得到岛& ，q 定理1 2 的证明 设乱。p 是问题( 1 1 ) 的一个基态解，我们先考虑集合a 见，p 的极小在天中达 到，并且不会在a 的边界0 3 _ = 中达到事实上，由引理4 2 当p _ g 幸时， i n e r o a u ) 岛，矿+ 6 且 i 譬如一( u ) 见巾( 疋) _ 岛，口+ 飓( e ) 所以当e 充分小时畦人所以凰，p 的极小在人内部达到，所以函数让：为心，p 的临界 点用同样的方法可以证明函数硭也为r ，p 的临界点证毕 注4 5 定理彳，皓诉我们当p _ g 时任意( j j ) 的一个基态解都集中在边 界0 i 2 _ l 的一个点上，所以这样的解是非径向对称的这种对称性被破环的结论 在文献【4 】中已有讨论从引理彳踟l i l p g ，p = 岛，g ，而岛，叮 0 和盯 0 使得对于o 0 使得 。m 1 0 s ，j 1 r 】r p n ( ) ) 芝风，p ( ，y ( t 1 ) ) 拦兄巾( u ) 岛，矿+ 正 另外由引理4 3 ，当充分小时， 舰 0 和g 芦 _ 和多 吼伊( 牡：) 心巾( ) 故由定理2 5 ( 山路引理) 知c 是玩，p 的一个临界值加上( p s ) 。条件满足，故存 在，p w 1 p ( q ) 使得c = c ( q ，p ) = 见，p ( 巾) 由前面对跚的估计知，存在一个依 赖却的常数c 使得 掣c q q - - l + ； 可得一下的 蹬_ + o 。当o t _ + 当我们选择适当伽使得 锣3 s o ，口对任意的q q o 令( ( ) = + ( 1 一) 乱：则( f ，设7 _ f 0 ，1 】满足 r 护( ) 2 嚣躏心一( 1 r 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i $ 对充分小的有 证毕 丁口i v t ：i 口如+ ( 1 一r ) 叮1 w 。l a 出 ：二! 羔型! l ，一 ( 矿! 皿口i 远i p 出+ ( 1 7 - ) p 皿a l u ：i p 如) ； 一- | v r 出( 1 一r ) 口厂i v t l ：i 口出 - ，n ，- ，n ， 生一+ 磐一 ( 俨 皿a l 远l p 出) ；( 1 一丁) p 皿q l 邂i p 如) ； 1 9 口 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第六节定理1 4 的证明 在这一节里我们研究当a _ + 时问题( 1 1 ) 基态解的性质 记d ( 口，6 ) = 扛r l a 争。d q、，、n 皿a 。醒。x 由于在c ( 1 ，1 + 占) uc ( 3 一正3 ) 1 - - 1 一护= 0 ，故 所以 故 上皿a t 醒。( 1 一护) 如_ 厶l 她3 一田皿a - 吃。( 1 一矿) 出 ( 1 6 ) 毗醒。( 1 一妒) 出 ， ( 1 6 ) 蛳吃d x ! 醒。d r ( 1 6 ) a 皿口。醒。( 1 一护) 出 ，n ，n 上唆出 上皿口。醒。出冲棚咄箸 那棚吨- 鲁 由于= ( f o 。u 芑d x ) ，上面的不等式可以写成下面的形式 其中 岛巾= ，i 蜓 u 矸苫河( n ) 由( 3 3 ) 式我们有下面的估计 存在常数0 使得 譬( 1 - 矿。- 璐， 1 w l 口d x 、口，p 。 d z ) 鼠巾c q ：卅警， 0 岛，p ( ( 1 一晌一c q 七q 一+ 警 由于 l i r a ( ( 1 一晌1 碍2 + q + 一q 一v r = 。 因此当q 充分大时我们得到矛盾，故( 6 3 ) 成立 第二步我们证明 上i v ( 让圳口出= z l v ( 钍a ) i 口妇+ 。( 1 ) = l + 。( 1 ) ( 6 4 ) 2 1 1 如 恙 p 一2 一 加脚印 厂厶一厂厶 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 其中l i i n o 。o ( 1 ) = 0 任取一串口七一+ ，由矗i v u a 。l 口出= 1 ，易知让口。是下面问题 瞄铡弧鹰1 的弱解则存在子列口七和u w o ，口( q ) 使得 在q 中， 在q 中， ( 6 5 ) 在施上 。jt ，在职9 ( q ) ， 。_ 仳，在f ( q ) ，q s q ，( 6 6 ) t k t 正，a e q 我们现在证明u = 0 任取妒c 矿( q ) 由( 6 5 ) 知当n 蠡一十o o 时 f ni v u 。k1 4 。2 v 。v 妒如= 上皿口。1 c d x - ，。， 由( 3 3 ) 式可知在s 叩嘶上5 如虬j0 ，由( 6 6 ) 我们还知道仳a 。在p ( q ) ( 当口 s of ( z ) = f ( 1 ) = 2 1 - q p 若序列【) 使得l i n k 。+ 入鲰= l ，则对( 6 1 3 ) 取 极限得 1 上t q 治 1 赫2 肛) 由于当0 i v ，lr 如- ! - | v u 2 l 口出 ，nj n ( 皿q t 乞，1 出+ 皿口吃，2 出) ； ，n，n ( 1 - i - ) i v 。，2 1 口d z ，n 垡? 吃 2 毫篓+ k ) 一( ，2 ) 弃南 = 瘩一o 口 命题6 4 若 是一个使得l i m 。- + + = + 且1 i n k - + + o o 入一。的序列， 。z i v 让州= 。( 6 1 5 ) 证明：由于 上l v 让础1 9 d x _ f al v u 甜i 出= l 故由引理6 3 可得( 6 1 5 ) 证毕 口 命题6 5 若 ，是一个使得h k 。+ o o = + 且l i k + k 。一+ 的序 列，则 。n mf l v 。，z i 口出= 。 ( 6 1 6 ) 证明：证明同上 到此定理1 4 得证 2 7 口 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 f 1 】a a d i m u r t h i ，f p a c e l l a ，s l y a d a v a ，i n t e r a c t i o nb e t w e e nt h eg e o m e t r yo f t h eb o u n d a r yo fa i n i l i n e a rn e u m a n np r o b l e mw i t hc r i t i c a ln o n - l i n e a r i t y , 3 f u n c t a n a l 1 1 3 ( 1 9 9 3 ) 1 5 0 - 3 1 8 【2 】2a a m b r o s e t t i ，a m a l c h i o d i ，n o n l i n e a ra n a l y s i sa n ds e m i l i n e a re l l i p t i cp r o b - l e m s ，c a m b r i d g es t u d a d v m a t h ，v 0 1 1 0 4 ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，c a m - b r i d g e ，2 0 0 7 【3 】m b a d i a l e ，e s e r r a ，m u l t i l i c i t yr e s u l t sf o rt h es u p e r c r i t i c a lh 6 n o ne q u t i o n ， a d v n o n l i n e a rs t u d 4 ( 4 ) ( 2 0 0 4 ) 4 5 3 - 4 6 7 f 4 】h b r e z i s ，l n i r e n b e r g ，p o s i t i v es o l u t i o n so fn o n l i n e a re l l i p t i ce q u t i o n si n v o l v - i n gc r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t s ，m m p t 肥a p p l m a t h 3 6 ( 1 9 8 3 ) 4 3 7 - 4 7 7 【5 】5j b y e o n ，z q w a n g ，o nt h eh d n o ne q u t i o n ：a s y m p t o t i cp r o f i l eo fg r o u n d s t a t e s 1 a n n i n s t h p o i n c a r da n a l n o n l i n e a i r e 2 3 ( 2 0 0 6 ) 8 0 3 - 8 2 8 【6 】j b y e o n ，z q w a n g ，o nt h eh d n o ne q u t i o n ：a s y m p t o t i cp r o f i l eo fg r o u n d s t a t e s 2 ，j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，2 1 6 ( 2 0 0 5 ) 7 8 - 1 0 8 f 7 】m c a l a n c h i ，s s e c c h i ，e t e r r a n e o ，m u l t i p l es o l u t i o n sf o rah d n o ne q u a t i o n o nt h ea n n u l u s ，zd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，2 4 5 ( 2 0 0 8 ) 1 5 0 7 - 1 5 2 5 【8 】d c a o ，e s n o u s s a i r ，s y a n ，o nas e m i l i n e a rr o b i np r o b l e mi n v o l v i n gc r i t i c a l s o b o l e ve x p o n e n t ，a d v a n c e dn o n l i n e a rs t u d i e s2 ( 2 0 0 1 ) 4 3 - 7 8 【9 】d c a o ，s p e n g ，t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o u ro fg r o u ds t a t es o l u t i o n sf o rh d n o n e q u a t i o n ，m a t h a n a l a p p l 2 7 8 ( 2 0 0 3 ) 1 1 7 【1 0 】d g i l b a r y ，n s t r u d i n g e r ，e l l i p t i c a lp a r t i c a ld i f f e r e n t i a le q u t i o n so fs e c o n d o r d e r ，2 n de d ，s p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i n ，1 9 8 3 【1 1 】b g i d a s ，w m n i ，l n i r e n b e r y , s y m m e t r yo fp o s i t i v es o l u t i o n so fn o n l i n e a r e l l i p t i ce q u t i o n si n ，i n ：m a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s ，p a r ta ， i n ：a d v i nm a t h s u p p l s t u d ，v 0 1 7 ，a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k ，1 9 8 1 ，p p 3 6 9 4 0 2 【1 2 】m h d n o n ，n a m e r d a le x p e r i m e n t so nt h es t a b i l i t yo fs p h e r i c a ls t e l l a rs y s t e m s ， a s t r o n o m a s t r o p h y s ，2 4 ( 1 9 7 3 ) 2 2 9 2 3 8 【1 3 】g b l i ，t h ee x i s t e n c eo fa w e a ks o l u t i o no fq u a s i l i n e a re l l i p t i c a le q u a t i o nw i t h c r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n to nu n b o u n d e d d o m a i n ，a c t a m a t h s c i 1 4 ( i ) ( 1 9 9 4 ) 6 垂7 4 【1 4 】g b l i ，o m a r t i o ，s t a b i l i t yi no b s t a c l ep r o b l e m s ，m a t h s c a n & 7 5 ( 1 9 9 4 ) 8 7 - 1 0 6 【1 5 】w m n i ，an o n l i n e a rd i r i c h l e tp r o b l e mo nt h eu n i tb a l la n di t sa p p l i c a t i o n s ， i n 出a n au n i v m a t h 3 。3 1 ( 1 9 8 2 ) 、8 0 1 8 0 7 【1 6 】b o p i c ，a k u f n e r ，h a r d y - t y p ei n e q u a l i t i e s ，p i t m a nr e s n o t e sm a t h s e r ， v 0 1 2 1 9 ，l o n g m a ns c i e n t i f i c & t h c h n i c a