（信号与信息处理专业论文）几种量子多用户检测器构造方法.pdf

南京邮电大学硕士论文摘要 摘要 二十世纪初发展起来的量子力学是继相对论之后人们对客观物质世界的本质认识的 一大进步。而量子信息学则将信息学和量子力学成功地结合起来。作为量子信息技术的自 然拓展，量子多址通信已成为人们日益关注的热点问题，量子多用户检测技术是实现量子 多址通信的基础。 与经典多用户通信相似，量子多用户检测从根本上限定了量子多用户信道在可利用资 源条件下的信息传输实现问题。然而，量子通信与经典通信最大的区别在于量子信道不仅 仅能传输经典信息，还能传输量子信息。因而量子信道存在两种基本的多用户检测问题： 基于经典通信模型的量子多用户检测和基于量子通信的量子多用户检测。基于经典通信的 量子多用户检测，使用量子信息处理方法，得到的结论可以作为纯量子通信处理的参考； 基于纯量子的量子多用户检测，则完全应用量子理论，目前也只是处于分析阶段。本文根 据经典多用户检测理论、神经网络理论、量子正定算子值( p o ) 测量方法和c o n c h a 等 人提出的平方根检测算法，利用量子数据处理等相关知识，给出量子多用户检测的解决方 案，并对多用户通信进行仿真、分析与比较。计算和仿真结果验证了量子多用户检测算法 的有效性。 关键词：量子多用户检测，量子神经网络，量子逆信道检测，对称量子态检测 南京邮电大学硕士论文 a b s t r a c t a b s t r a c t t h eq u a n t u mm e c h a n i c s ，g r a d u a l l yd e v e l o p e di nt h ee a r l y2 0 sc e n t r y ，i sab i ge f f o r tt o u n d e r s t a n dt h eh y p o s t a s i so fe x t e r n a lw o r l d ，a f t e rp r i n c i p l eo fr e l a t i v i t y w h i l et h eq u a n t u m i n f o r m a t i o nt h e o r yp u t st h ei n f o r m a t i o n t h e o r y a n dt h e q u a n t u mm e c h a n i c st o g e t h e r s u c c e s s f u l l y t h eq u a n t u mm u l t i a c c e s sc o m m u n i c a t i o n ，a s a ne x t e n s i o no ft h eq u a n t u m i n f o r m a t i o nt e c h n o l o g y ，b e c o m e sah o t s p o ti nt h ef i e l do fq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r y a n dt h e q u a n t u mm u l t i - u s e rd e t e c t i o ni st h eb a s i so f i t s i m i l a rt ot h ec l a s s i c a li n f o r m a t i o nt h e o r y , t h eq u a n t u mm u l t i - u s e rd e t e c t i o nr e s t r i c t st h e i n f o r m a t i o nt r a n s m i s s i o nr a t eu n d e rt h ef i n i t ea v a i l a b l er e s o u r c e s w h i l e ，n o to n l yt h ec l a s s i c a l i n f o r m a t i o nb u ta l s ot h eq u a n t u mi n f o r m a t i o nc a nb et r a n s m i t t e dt h r o u g hq u a n t u mc h a n n e l s ， u n l i k ec l a s s i c a lc h a n n e l s t h e r e f o r e ，t h e r ea r et w ok i n d so fm u l t i u s e rd e t e c t i o n ，c l a s s i c a l q u a n t u mm u l t i u s e rd e t e c t i o na n dp u r eq u a n t u mm u l t i - u s e rd e t e c t i o n t h ef o r m e r ，u t i l i z i n gt h e q u a n t u mi n f o r m a t i o nm e t h o d s ，d r a w sac o n c l u s i o na st h er e f e r e n c eo ft h ep u r eq u a n t u m c o m m u n i c a t i o n w h i l et h el a t e rb s e st h eq u a n t u mt h e o r yc o m p l e t e l y ，b u ti ti si nt h ea n a l y t i c a l s t a t et i l ln o w t h i sp a p e r ，u s i n gt h er e l e v a n tk n o w l e d g eo fq u a n t u md a t ap r o c e s s i n g , d r a w st h e c o n c l u s i o no fq u a n t u mm u l t i u s e rd e t e c t i o n ，b a s i n go nc l a s s i c a lm u l t i - u s e rd e t e c t i o nt h e o r y ， n e u r a ln e t w o r kt h e o r y ，q u a n t u mp o v mm e a s u r e m e n ta n dt h es q u a r er o o td e t e c t i o na l g o r i t h m p r o p o s e db yc o n c h a s i m u l a t i o n ，a n a l y s i sa n dc o m p a r i s o nh a v ea l s ob e e nd o n et ot h em u l t i u s e c o m m u n i c a t i o n t h ev a l i d i t yo fq u a n t u mm u l t i u s e rd e t e c t i o nc a nd r a wf r o mt h er e s u l t so f c o m p u t a t i o na n ds i m u l a t i o n k e yw o r d s ：q u a n t u mm u l t i - u s e rd e t e c t i o n ，n e u r a ln e t w o r k ，q u a n t u mi n v e r s ec h a n n e l d e t e c t i o n ，d e t e c t i o no fs y m m e t r i cm i x e dq u a n t u ms t a t e s 南京邮电大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得南京邮电大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：燮盏 日期： 窒q q 旦：垒 南京邮电大学学位论文使用授权声明 南京邮电大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送 交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论 文。本文电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。 论文的公布( 包括刊登) 授权南京邮电大学研究生部办理。 研究生签名：2 0 0 9 4 南京邮电大学硕士论文 第一章绪论 1 1 课题研究背景 第一章绪论 随着科学技术的进步，我们已经生活在一个信息时代，信息科学在改善人类的生活品 质以及推动社会的文明发展中发挥着令人惊叹的作用，这是其他学科所无法比拟的。二十 世纪初发展起来的量子力学是继相对论之后人们对客观物质世界的本质认识的一大进步。 而量子信息学则将信息学和量子力学成功地结合起来，考虑在量子效应明显的各种信息处 理系统中的种种问题，从而将信息科学的发展带入了一个新天地。 多用户通信是3 g 和4 g 移动通信的基本形态，采用直序扩频码分多址( d s c d m a ) 作为 其多址接入方式，但多址干扰( m a i ) 的存在对系统容量和性能会有很大的影响 卜3 。 v e r d u 4 5 在1 9 8 6 年出版的著作中提出并分析了最优多用户检测器或称作最大似然序列 检测器用以消除d s c d m a 系统多址干扰，不幸的是，其求解最优解过程的运算复杂度与用 户数成指数关系，这在常规计算中是一个n p 难解问题。目前研究的多用户检测方法大都 以牺牲性能为代价将最优多用户检测的n p 问题简化近似为p 类问题，从而得到次优解。 量子多用户检测( q m u d ) 6 - 8 是利用量子态的相干叠加性求解多用户检测最优解的一种算 法，通过求取p o v m ( p o s i t i v eo p e r a t i o nv a l u e dm e a s u r e m e n t ) 算子，来进行量子态测量， 完成对多用户信号检测，利用量子系统强大的并行计算能力大大降低了v e r d u 检测器的计 算复杂度。 1 2 多用户检测 第三代移动通信系统在国际上统称为i t m - 2 0 0 0 ( 即3 g ) ，是国际电信联盟( i t u ) 提出的 工作在2 g h z 频段的系统。 9 3 g 系统围绕码分多址( c d m a ) 技术，致力于发展宽带、高速、大容量的移动通信系统。 无线移动通信也已经从单纯的语音传输业务扩展到了更广阔的领域，包括传真、i n t e r n e t 、 多媒体等各种数据服务。与传统的f d m a 、t d m a 系统相比，c d m a 系统具有频谱效率高、软 容量、保密性好、易于无缝切换和宏分集等优点，但是在复杂的移动通信环境和有限的频 率资源下，要达到高容量、高质量、高速率的通信，c d m a 技术需要克服三个主要因素的影 响： 南京邮电大学硕士论文第一苹绪论 1 ) 多址干扰：在c d m a 系统中，由于多个用户的随机接入，用户地址之间不能保证正 交性从而引起不同用户地址码之间的干扰，即所谓的多址干扰( m a i ) ，多址干扰包括小区 干扰和邻区干扰两种。 2 ) 衰落信道：无线电信号经过移动信道会受来自不同途径的衰落。一般来说，这些 衰落可以归纳为三类： 第一类是由于信号在自由空间传播引起的损耗和弥散，称为距离衰落；第二类是阴影 衰落，也叫慢衰落，主要是由于传播环境中的地形起伏、建筑等障碍物对电波遮蔽所引起 的衰落，衰落幅度一般服从对数正态分布；第三类是多径引起的快衰落，也叫多径衰落， 根据在信号传播中是否存在直射路径，幅度衰落分别服从r a y l e i g h 分布和r i c e 分布，更 一般的表达形式是n a k a g a m i 分布。另外，衰落信道是一个时变信道，这主要是由于移动 台的移动造成的，一般采用广义平稳不相关散射模型描述信道的时变特性。 3 ) 远近效应：由于各用户的发射功率不等及信道衰落，使得各用户在基站的接收信号 功率不等，强信号用户会干扰弱信号用户，从而产生远近效应，这会极大地影响弱信号用 户的接收性能。 为了抑制以上干扰以保证业务质量，3 g 网络需要在物理层、链路层、网络层引入多项 关键技术，包括功率控制、软切换、多用户检测、智能天线、软件无线电技术等，而对于 每一项关键技术，不仅向下包含多类实现方式，而且横向与其它技术之间相关联，它们相 辅相成、互相补充，均成为当前研究的热点。 多址干扰是由于在多用户系统中采用传统单用户接收方案而造成的恶果。单用户接收 机采用匹配滤波器作为相关判决的工具，并不考虑多址干扰的存在，每个用户的检测都不 考虑其他用户的影响，是一种针对单用户检测的策略。一般说来，单个用户传输时不存在 多址干扰，但在多用户环境中，当干扰用户数增加或者他们的发射功率增加时，多址干扰 将不容忽视。因此多用户检测技术应允而生，其算法有最优检测算法和次优检测算法。 在c d m a 系统中，多用户检测问题实际上就是从若干个随机变量线性组合后加噪声的观 察值中提取出目标随机变量的过程。一般情况下，多用户接收机不仅需要知道所有用户的 扩频信息而且还需随着系统的时变不断更新。此外，还需估计用户的幅值、相位以及定时 信息用于接收端的检测，这样势必造成计算复杂度的增加。由于这一限制，多用户检测大 都应用于基站一侧，若要将其应用于移动台一侧，一种实现方法是发送已知的训练序列自 适应地将接收机参数调整到理想的工作状态。该方法有明显的弊病：当信道响应突变或者 用户数目变化时，就必须重新发送训练序列，而频繁发送训练序列会造成频谱资源的极大 浪费。鉴于以上原因，开发不需要所有用户的扩频信息，也不需要发送训练序列的盲多用 2 南京邮电大学硕士论文 第一章绪论 户检测算法成为业界研究的新热点。以线性检测为例，线性盲多用户检测就是在不知道干 扰用户扩频信息，也不需要训练序列的情况下求出权向量的过程。由于所有用户都以相同 调制方式独立工作，我们可以假设各用户的信息码元及同一用户的不同码元之间都是独立 同分布的，而幅度的差异可以反映在信道响应混合矩阵的系数中。 1 0 一1 1 多用户检测是一类新型抗多址干扰、多径干扰和远近效应的检测技术，关于这个技术 的研究，近年来一直是移动通信领域中一个研究热点，众多学者已积极投身到这一问题的 研究中。目前，在国内外多用户检测技术已取得了一定的成果，但如何获得快速、高效的 多用户检测器仍然需要做大量的工作。 扩频通信作为当今通信领域的主流越来越广泛的活跃于世界的各个角落。为此，我们 要积极的进行第三代移动通信系统的研究，尤其是一些关键技术包括多用户检测技术的研 究，来加速我国移动通信产业的发展。抑制多址干扰的各种手段，已经成为学术界乃至通 信行业关注的焦点。智能天线，多用户检测的实现对于改善c d m a 系统的性能有着重大的 意义。 1 3 神经网络 最早人们并不知人的“智慧”是人的大脑的功能，以为“智慧是从“肚子”中来， 如说“宰相肚里能撑船”；又如以为智慧是发自“心”，如说“某人很有心计”。直到近 代科学才明确，智慧( 思维) 是人的大脑的功能的表现。大脑是由无数的脑细胞组成。既 然“思维”是大脑的功能的表现，即智慧是脑神经网络的功能。那么人们希望利用人工神 经网络来模型人脑的神经网络，研究其性能，希望从中悟出人的思维的一些“奥秘”。这 就是所谓的人工神经网络技术，这种技术为人工智能提供新的解决问题的方法，并广泛应 用于各个领域 1 2 - 1 3 。近二十年来在人工神经网络的研究中主要的成果有：单层自反馈 网络( h 一网络) 的收敛性，前向网络的万有性，前向网络的b p 算法，前向网络的构造性学习 算法。存在的不足有b p 学习算法的复杂性过高、算法可理解性差、处理大规模数据的能 力差等。 神经网络的研究内容相当广泛，反映了多学科交叉技术领域的特点。迄今为止，在人 工神经网络研究领域中，有代表性的网络模型已达数十种，而学习算法的类型更难以统计 其数量。神经网络研究热潮的兴起是本世纪末人类科学技术发展全面飞跃的一个组成的一 个部分。 1 9 8 6 年美国物理学家j j h o p f i e l d 1 4 - 1 6 陆续发表几篇论文，提出了h o p f i e l d 神 南京邮电大学硕士论文第一章绪论 经网络。他利用非线性动力学系统理论中的能量函数方法研究反馈人工神经网络的稳定 性，并利用此方法建立求解优化计算问题的系统方程式。基本的h o p f i e l d 神经网络是一 个由非线性元件构成的全连接型单层反馈系统。 基于神经网络的多用户检测方法由a a z h a n g 等人 1 7 首先提出。g i k e c h r i o t i s 与 e s m a n o l a k o s 1 8 首次将h o p f i e l d 神经网络应用到最优多用户检测器中，将多用户检测 的优化问题映射为h o p f i e l d 神经网络“能量函数的最小化问题，利用连续h o p f i e l d 神 经网络固有的快速下降特性，实现了对c d m a 系统的实时多用户检测。为了避免h o p f i e l d 神经网络的能量函数陷于局部最小点，在此之后，人们对h o p f i e l d 神经网络最优多用户 检测器进行了大量的改进。其中，王永刚、焦李成 1 9 等人提出了种基于随机h o p f i e l d 神经网络的最优多用户检测器，给出了c d m a 通信系统中基于随机h o p f i e l d 神经网络的最 优多用户检测器的统一框架。该检测器使用随机h o p f i e l d 神经网络对最优多用户检测器 中的最大似然函数进行优化，并通过对状态变量引入噪声，从而避免局部收敛，进而达到 最优检测。另外，将其它神经网络处理技术与多用户检测相结合也得到了一些理论成果。 例如，姬翔，钟义信 2 0 等人提出了b m 神经网络在多用户信号检测中的应用，分析了采 用模拟退火算法的玻尔兹曼机神经网络的多用户检测器的性能。刘明雷，周廷显 2 1 等人 分析了采用正交最小二乘算法的r b f 神经网络应用于d s - - c d m a 扩频通信的多用户检测的 问题，给出了基于r b f 网络进行多用户检测的理论依据和性能分析。戴一曼蒋铃鸽 2 2 】 等人提出了自适应变尺度暂态混沌神经网络在c d m a 多用户检测器中的应用。该检测器能 在优化搜索过程中根据暂态混沌神经网络能量函数的变化调整网络参数，自适应地控制能 量函数，对神经网络动力学特性产生了良好的影响，得到了接近最优的性能。 1 4 量子通信 量子信息学( q u a n t u mi n f o r m a t i o n ) 2 3 - 2 5 是上世纪8 0 年代以后发展起来的，是物 理科学与信息科学交叉融合产生的新兴学科领域，主要利用微观粒子作为载体，凭借着量 子力学所特有的一些性质：不确定性、相干性、纠缠等，可以完成些经典的通讯、计算、 密码学无法实现的任务。量子信息学涉及到经典信息论、计算机科学、量子物理学等诸多 学科，其中还用到概率论、数论、群论等数学知识，属交叉性学科。它可以解决许多经典 信息所不能完成的信息处理功能。量子特性在信息领域中有着独特的功能，在提高运算速 度、确保信息安全、增大信息容量和提高检测精度等方面可以突破现有的经典信息系统的 极限。量子信息科学为信息科学的发展开创了新的原理和方法，注入了新的活力。由于量 4 妻室坚皇奎兰堡主堡奎蔓二皇堕堡 子信息学潜在的巨大应用价值及其重大的科学意义，不仅引起各国政府和科技界的广泛关 注，而且受到信息产业界和军事部门的高度重视，因而量子信息学已成为国际上研究的热 点。不可否认，信息科学正在进入一个由经典信息跨入量子信息的新阶段。 1 5 本文的主要安排 本文结构安排及主要内容如下： 第二章：介绍量子力学理论基础。 第三章：介绍经典多用户检测算法。 第四章：讨论使用量子神经网络处理量子多用户检测问题。 第五章：讨论使用逆信道检测算法处理量子多用户检测问题。 第六章：讨论基于对称量子态的量子多用户检测问题。 第七章：对研究内容给出总结，并提出可能存在的一些问题。 注：为了计算简便且不失一般性，本论文如无特殊说明均采用两输入一单输出的多用户检 测模型。 南京邮电大学硕士论文第二章量子力学理论基础 第二章量子力学理论基础 量子力学是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科。它不仅是近代物理学的基础 理论之一，而且在其他学科和许多近代技术中也得到了广泛的应用。作为物理理论发展的 一个数学框架，量子力学本身并不能告诉我们物理系统服从什么定律，但它通过量子力学 基本假设，提供了研究这些定律的数学和概念的框架。【2 3 3 0 】 2 1 量子力学基本假设 整个量子理论系统建立在几个基本假设基础之上，这几个基本假设就是量子力学的基 本原则。 假设1 状态空间假设 任一孤立物理系统都有一个称为系统状态空间的复内积向量空f 丘j ( o ph i l b e r t 空间) 与 之相联系，系统完全由状态向量所描述，这个向量是系统状态空间的一个单位向量。 该假设建立起了量子力学适用的场合，即h i l b e r t 空间。在量子通信的研究中，量子 比特( q u b i t ) 被视为最基本的量子力学系统。 假设2 量子态演化假设 一个封闭量子系统的演化可以由一个酉变换来刻画。即系统在时刻的状态i 伊) 和系 统在时刻乞的状态i 伊) ，可以通过一个仅依赖于时间和t 2 酉算子u 相联系： i 缈t ) = u l q , ) 。 该假设描述了封闭量子系统的量子状态在两个不同时刻的关系。这样，我们可以通 过酉变换算子来研究量子系统的演化。 假设3 量子态测量假设 量子测量由一组测量算子 w 肌) 描述，这些算子作用在被测系统状态空间上，指标m 表示实验中可能的测量结果。若在测量前，量子系统的最新状态是i i 炉，则结果m 发生 的可能性由下式 p ( 。) = ( i 暇呢f 少) ( 2 1 ) 6 南京邮电大学硕上论文 第二章量子力学理论基础 给出，且测量后系统的状态为 ( 2 2 ) 测量算子满足完备性关系( c o m p l e t e n e s sr e l a t i o n ) ： 暇= ， ( 2 3 ) 注：本文中如无明确说明，均以均以( ) 表示共轭转置，( ) 。表示共轭，( ) 7 表示转置。 该假设给出了一个描述测量统计特性的规则，即分别得到不同测量结果的概率以及 描述测量后系统状态的规则。在许多应用中，系统测量后的状态如何意义不大，人们主 要关心的是系统得到不同结果的概率。 假设仁复合系统假设 复合物理系统的状态空间是子物理系统状态空间的张量积，若将子系统编号为1 到万， 子系统f 的状态置为j ) ，则整个系统的状态为j ) j ) o ll ) ，“o ”表示张量积运算。 该假设给出了把不同量子系统状态空间组合成复合系统状态空间的方法。 2 2 量子力学基本概念 2 2 1 量子比特 相对于经典系统，比特表不一个状态，0 或者1 ；量子比特也是表不量子态的一个 状态，对于一个量子比特，若它的计算基矢是l o ) 和1 1 ) 态，它与经典比特的区别在于， 量子比特的状态可以是l o ) 和1 1 ) 态的线性组合，常称为叠加态( s u p e r p o s i t i o n ) 。例如 i ) = 口i o ) + 1 1 ) ( 2 4 ) 其中口和是复数，满足h 2 + i 1 2 = 1 。显然，量子比特的状态是一个二维复向量空间中 的向量。特殊的，1 0 ) 和1 1 ) 态称为计算基矢( c o m p u t a t i o n a lb a s i ss t a t e ) ，是构成这个 复向量空间的一组标准正交基。 量子比特可用如下的几何表示，因为h 2 + 俐2 - - 1 ，等式( 2 4 ) 可改写为 l 划，( c 。s 兰1 0 。q n 詈| 1 ) ( 2 - 5 ) 其中口，伊，7 都是实数，同时l 幅值e 一不具有任何可观测的效应可以略去，因此上式 ! 堕邮电大学硕士论文 第二章量子力学理论基础 可以重写为 怙c o s 扣+ e i * s i n 扣( 2 - 6 ) 其中基矢i o ) 、1 1 ) 和秒、缈一起定义了三维单位球面上的一个点，使i 少) 与球面上的点一一 对应。如图2 1 所示这个球面常称为b l o c h 球面。它是是单个量子比特状态的几何表示。 2 2 2 量子态表示 图2 一l量子比特的b l o c h 球面表示 量子力学是建立在h i l b e r t 空间上的数学模型。量子态是h i l b e r t 空间中的一个矢量， 常用狄拉克( d i r a c ) 符号表示。i 痧称为右矢，它的共轭转置 ，也包括由个可构成正交归一集的态矢量 ， ) 组成的叠加态 ( s u p e r p o s it i o n ) ： ， l ) = c 驴，i ) ( 2 7 ) i = 1 其中9 1 2 = l 。 南京邮电大学硕士论文第二章量子力学理论基础 如果一个量子系统由许多不同的态矢量i 妒， 描述的子系统构成，每个子系统在该系统 中以确定的概率出现，这个系统就称为混合系综( m i x e de n s e m b l e ) 。混合系综的状态称为 混合态( m i x e ds t a t e ) 。混合态可以通过指定各子系统的态矢量i ， 以及这个子系统在系 综中出现的概率只来描述混合态处于各种可能发生状态中的某一种状态。 以上采用的是状态向量的语言来描述量子力学，而另一种描述方式则使用密度算子 ( d e n s i t yo p e r a t o r ) 或密度矩阵。这种方式在数学上等价于状态向量形式，但它为量子力 学某些常见场合提供了方便得多的语言，为描述状态不完全己知的量子系统提供了一种方 便的途径。 设量子系统以概率a 处在一组状态中的某一个，记为l 矿， ，j 是一个指标。系统的密 度算子p 定义为 p - _ - b1 ) ( i ( 2 8 ) f 密度算子的算子类可以由如下定理描述：一个算子p 是和某个系综 p l ，i ， ) 相关联的 密度算子，当且仅当它满足迹( t r a c e ) 条件和半正定条件，即p 的迹扩( 纠( 算子夕的主对角 线元素之和) 等于1 且p 是半正定算子。 密度算子语言和状态向量语言给出了相同的结果，不过有时以某一种观点处理问题会 比另一种观点容易得多。 密度算子最重要的应用是作为描述复合系统子系统的工具，这个描述由约化密度算子 ( r e d u c e dd e n s i t yo p e r a t o r ) 提供，它是分析复合量子系统不可缺少的工具。假设有物理 系统a 和b ，其状态由密度算子p 仰描述。针对系统a 的约化密度算子定义为 p - t r s p 们j ( 2 9 ) 其中是一个算子映射，称为在系统b 上的偏迹( p a r t i a lt r a c e ) ，定义为 f l 以。) ( 口：i q l6 1 ) ( 吃i ) 兰l 口。) ( 口：l 护 i 岛) ( 6 2i ) ( 2 1 0 ) 其中f a l 5 和la 2 是状态空间a 中的两个向量，l 历 和i 如 是状态空间b 中的两个向量。等式 右边的迹运算是系统b 上的普通迹运算，因此t r l 岛 ， l 矿 ) = ( 1 矿 ，i 矽 ) ，且( i 砂 ，lo f ) t 0 ( 当且仅当i = o 时取等号) ，则定义函数( ， ) 为内积( i n n e rp r o d u c t ) ，矢量i 咖 和f 的内积记为 。 通过内积，我们可定义正交归一化条件： 是内积空间v 中的向量，l 多 是内积空间中的向量，定义外积l 矽 上的作用就被定义成i 妒 与一个复数 相乘。 外积的重要性可以从标准正交向量的完备性关系体现。令1j 为向量空间v 中的任 意标准正交基，于是任意向量f 力可写成i y ) = v i f ) ，n 是一组复数。e h - 于 是v 的一个标准正交基，i 昕 是w 的一个标准正交基，两次应用 完备性关系可得到下式 a = 1 w a v = i ) ( mh _ ) ( mi(2-13) = ( _ v f ) i ) ( v i 盯 这就是a 的外积表示。从式中可以看出，相对于输入基ln 和输出基l 畛，a 的第j 列第 行元素是 。 若要将向量空间合在一起，构成更大向量空间，则需要用到张量积运算。设v 和w 分别是维和j r 7 维的h i l b e r t 向量空间，定义v 张量w 是一个仍1 1 维空间，张量积运 算符号记为“o ”。张量积的定义相当抽象，但转到称为k r o n e c k e r 积的矩阵表示就会 1 0 南京邮电大学硕士论文第二章量子力学理论基础 具体得多。设a 是一个m x 7 维矩阵，易是一个p x9 维矩阵，则有矩阵表示： 么 b = a 11 b4 2 b l 4 ，l b 乏l b 乏2 b l a 2 胛b mmmm l b 2 bla m ”b ( 2 - 1 4 ) 在这个表不中，厶曰的项代表p xg 子矩阵，其元素正比于日全局比例常数为矩阵a 中 的元素儿，彳。易为历p 行t x 口列的矩阵。 另一个重要的矩阵函数是矩阵的迹。1 的迹定义为它的对角元素之和，即 t ，( m - = z 4 。 f 对于任意单位向量l 妙) 和任意算子爿。采用g r a m - s c h m i d t 过程把i ) 扩展成一个以 i 少) 为首个元的标准正交基i f ) 乃( 么1 5 f ，) ( 沙1 ) = 、l 胗v 均有下式成立： ( i v ) ，a l ) = ( a i v ) ，i ) ( 2 1 6 ) 这个线性算子被称为a 的伴随算子( a d j o i n to p e r a t o r ) 或厄米共轭。习惯上，如果i 诊是向 量，那么定义i 诊t - - - ， 都是非负实数的算子。 投影算子( p r o j e c t i v eo p e r a t o r ) 也是厄米算子的重要子类。设w 是，z 维向量空间v 的 k 维子空间，采用g r a m s c h i m d t 过程，可以为v 构造一个标准正交基1 1 ，i ，l ，使 南京邮电大学硕士论文 第二章量子力学理论基础 得1 1 ，i 胗是w 的一个标准正交基。定义 七 p 暑y i f ) ( f z 一一l ，、 1 = 1 ( 2 1 7 ) 是到w 上的投影算子。结合纯态、混合态及投影算子的定义可知，当混合态中仅有一个 p ，不等于零，则式( 2 - 8 ) 中的密度算子就将转化为式( 2 - 1 7 ) 中的纯态的投影算子。可见， 从某种意义上说纯态是混合态的一个特例。 由这些特殊算子的定义，还能得到一系列性质和推论。例如，由厄米共轭定义可知 ( a b ) = b t a t ，f a t1 = a ；任意投影算子p 满足p 2 = p ；投影算子的特征值全都是非0 即 、 、， l ；酉算子的所有特征值的模都是l ，等等。 2 3 量子力学基本原理 量子力学对已知世界的描述是最精确和完整的，也是理解量子计算与量子信息的基 础。作为量子信息理论和量子通信的基础，量子比特的属性由量子力学基本原理决定。本 节简单介绍与量子计算和量子信息相关的一些量子力学基本原理。更加详细的内容可参阅 参考文献。 2 3 1 量子态叠加原理 量子信息中使用的量子态与经典信息中使用的经典物理态有一些不同的地方。可以 说，经典物理态是量子态的一个子集，是量子态的一类特例。对经典物理态的测量，其结 果通常是确定的；而对量子态的测量并不一定是完全确定的，即可能是某一些测量结果的 概率分布。这是因为量子态可以是测量算符的一些本征态的叠加。从逻辑上讲，态叠加原 理( s u p e r p o s i t i o np r i n c i p l e ) n - i 以由量子力学的第一条基本假设推演出来，因此通常人们并不 把它作为量子力学的基本假设。态叠加原理的内容为：如果l ) ，i5 f ，：) ，i ) 是量子系统 的可能的态，那么它们的任意线性叠加态 j 少) = qi 少，) ，( f = l ，2 ，1 ) ( 2 1 8 ) f 也是系统的一个可能的态。 量子力学中的态叠加原理在量子信息中有着广泛的应用，也给量子信息赋予了与经典 信息截然不同的丰富内容。当然，这也体现了量子力学中的态叠加原理与经典物理中的叠 加原理的不同：两个相同的态的叠加在经典物理中代表一个新的态，但在量子物理中仅表 1 2 南京邮电大学硕士论文第二章量子力学理论基础 示同一个态；经典物理中的叠加是几率的叠加，而量子物理中的叠加是几率幅的叠加，是 同一个量子体系的各个可能状态的线性叠加，叠加的态是同一个量子体系的一个新态，具 有新的特性。 2 3 2 海森堡不确定性原理 海森堡不确定性原：t 里( h e i s e n b e r gu n c e r t a i n t yp r i n c i p l e ) 根源于微观粒子的波粒二象性。 自由粒子的动量不变，自由粒子同时又是一个平面波，它存在于整个空间。也就是说自由 粒子的动量完全确定，但它的位置完全不确定。又如，单色正弦波频率完全确定，但延续于 全部的时域。频率国确定，相对于粒子的能量h 国完全确定，但时间完全不确定。从以上 、 两个大家熟悉的例子可见，动量p 与位置x 不能同时确定；能量e 与时间t 也不能同时确定。 c a d i ! 竺! ! ! ：2 11 竺2 2 ( 2 - 1 9 ) 式( 2 一1 9 ) 就是海森堡不确定性原理。根据算符x 与动量p 的对易关系 石，p 】_ i h ，代入上式 中得 缸卸圭h 再根据能量算符e 与时间算符f 的对易关系 e ，t 】_ i h ，有 a e a f h 2 2 3 3 量子不可克隆原理 ( 2 - 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) 根据量子态叠加原理，w o t t e r s 和z u r e k 于1 9 8 2 年提出了一个未知的量子态不可被 完全精确复制的理论，即量子不可克隆原理。这里的克隆是指保持原来的量子态不被改 变，而在另一个系统中产生一个完全相同的量子态。克隆不同于量子态传输，传输是指 量子态从原来的系统中消失，而在另一系统中出现。关于量子态的克隆，有如下三条定 理，它们构成了量子不可克隆原理。 定理1 如果i 矽 和i 沙 是两个不同的非正交态，不存在一个物理过程可以作出i 曲 和i 沙 两者的完全拷贝。 定理2 一个未知的量子态不能被完全拷贝。 下面给出简单证明。假设i a 是一个未知的量子态，有一个以酉阵u 表述的物理过 1 3 南京邮电大学硕士论文 第二章量子力学理论基础 程能完全拷贝它，即 u ( i 口) i o ) ) = l 口) i 口) ( 2 2 2 ) 这个物理过程必定不依赖于l 口 态本身的信息，从而和l 口 态本身无关。对于一个任意 态i 夕 i 口 ，应有 u ( i ) i o ) ) = l ) i ) ( 2 2 3 ) 故对于l ， = i 口 + ip ，有 u ( 俐o ) ) = u ( ( i 口) + l ) ) = i 口) j 口) + j ) i ) ( 2 2 4 ) i 蒯7 ) 这己不是态ij ， 的拷贝，所以该物理过程不可能存在。于是，定理2 证毕。 定理3 要从编码在非正交量子态中获得信息，不扰动这些态是不可能的。 虽然有研究证明，不保证复制必定成功的概率量子克隆是可能的，但以上不可克隆原 理明确否定了精确复制未知量子态的可能性。表面上，量子克隆与复制和经典克隆与复制 相互矛盾，其实本质上是一致的。在经典情况下，由于测量是针对宏观客体进行的( 如电压 信号) ，任何结果都可在误差范围内通过测量精确获得，因而可以精确克隆和复制。但从量 子物理的观点来看，所有的宏观操作都是近似的，因为客体本身的涨落总是存在的，只是 在经典情况下这种影响太小而可以忽略。当客体小到必须考虑其量子效应时，这些涨落起 着重要作用，正是这些涨落导致了量子信息的不可克隆性。因此，从某种意义上来说，经 典克隆与复制可以认为是量子情况下的经典极限。 量子不可克隆原理使得量子比特和经典比特有着根本性的差异。由于经典比特可以复 制，在实际通信时可通过复制信息位以增加冗余信息达到信息正确传输的目的，而量子信 息处理和量子通信则无法采取此类方法进行。同时，它使得量子检测在概念上与经典检测 有所区别，定理3 表明用非正交量子态编码的经典信息是不能用任何测量方法完全提取出 来的，这是在量子通信的编码部分必须考虑的。 2 3 4 量子测量塌缩原理 任一量子态在 h ) ) 为基矢的表象中可以表示为 渺) = a n 怫= ( 少协蚶= l ( 2 2 5 ) 1 4 南京邮电大学硕士论文第二章量子力学理论基础 其中，l a n l 2 是测量结果为的概率。也可以说，测量时，i ) 量子态坍塌到l ，z ) 基矢的概率 为k 1 2 。实质上量子态的测量是将测量前的系统状态投影到被测力学量所张成的整个系统 空间的子空间中。测量过程可以分为三个步骤。首先将系统量子态进行谱分解，即将被测 量子态按所测力学量的本征态矢展开。然后进行量子态的坍缩，将量子态坍缩到某一特定 的本征态上。最后以坍缩后的量子态为初态，在新的算子作用下进行新一轮的量子态演化。 2 4 量子测量 量子测量理论联系着量子理论计算和量子实验测量，是两者之间必经的桥梁，是量子 理论的基础和支柱【9 1 。 2 4 1 测量算符 测量是了解量子系统的实验手段。量子测量由一组测量算子 帆) 描述，这些算子作 用在被测系统状态至i 剐上，指标，z 表不实验中口】能的测量结果。若是在钡9 量前，量子系统 的最新状态是i i f ，) ，则结果朋发生的概率由 p ( m ) = ( i m , n t m 。i 少) ( 2 2 6 ) 给出，且测量后的系统状态为 丝= 些( 2 - 2 7 ) ( yi 帆肘。l f ，) 测量算子满足完备性方程 m m m 。= j ( 2 2 8 ) 完备性方程表达了概率之和为1 的事实： 1 = p ( 聊) = ( l m 。+ 帆i ) ( 2 2 9 ) 该方程对所有的l 沙) 成立，等价于完备方程。 最简单但是最重要的测量是沿计算基矢的测量。除非特别声明，单个量子比特的测量 都被认为是在基 l o ) ，1 1 ) ) 上的测量。 南京邮电大学硕士论文第二二章量子力学理论基础 2 4 2 投影测量 投影测量( p r o j e c t i v em e a s u r e m e n t ) 是量子力学最常见最重要的测量，它是上述的一般测 量算符的一个类别。所谓投影测量，其实是讲量子态投影到一个可观察量( 厄米算符) 的本 征矢量空间去进行测量。厄米算符的本征值是个实数，是个观察量。投影测量定义为如下 的形式：厄米算子m 是被测系统状态空间上的一个可观测量，该观测量具有谱分解： m = m p 。 ( 2 3 0 ) 其中以是特征值历的本征空间上的投影。测量的可能结果对应于测量算子的特征值i l l , 测量状态i ) 时，得到结果历的概率为 p ( 所) = ( 沙i 乞i i f ，) ( 2 3 1 ) 给定测量结果历测量后量子系统的状态立即为 型( 2 - 3 2 ) 艺 投影具有非常好的特性，特别地，很容易计算投影测量的平均值。由定义 e ( m ) = r a p ( m ) = 所( y i i f ，) ，n(2-33) = ( i ( ，z 只) l ) = ( l m l 沙) 由于投影测量的特性，投影测量也可以理解为在一组正交基 i 小) 所张成的空间中进行到子 空间的投影，即 只= l 所) ( 川i ( 2 3 4 ) 当投影算子乞作用于量子态时，将量子态投影到i 聊) 子空问。 2 4 3p o v m 测量 量子力学假设，即假设3 ，涉及到两个要素。首先，它给出了描述测量结果统计特性 的规则，也就是说不同的结果以各自的概率出现；其次，它给出测量后量子坍塌的状态。 对于一些实际的应用来说，测量后系统的状态是没有太大的用处。然而在一些应用中，需 1 6 南京邮电大学硕士论文第二章量子力学理论基础 要对测量结果状态进行分析，应用这样的测量方法，称之为半正定算子值测量( p o s i t i v e o p e r a tio n v a lu e dm e a s u r e ，p o v m ) 。 根据公式( 2 2 6