（应用数学专业论文）区间映射动力系统的混沌行为.pdf

c h a o t i cb e h a v i o ro fi m e r v a lm a p p i n gd y n a m i cs y s t e m b y s o n g m e i b e ( h e n a nn o r m a lu n i v e r s i t y ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e 1 n a p p li e dm a t h e m a t i c s l n c h a n g s h au n i v e r s i t yo fs c i e n c e & t e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e ss o rs u nb o a p r i l ，2 0 1 1 长沙理工大学 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行研究所 取得的成果，学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等， 均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成果做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 作者签名：、录糯 日期：| 1 年箩月2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 l 、保密在年解密后试用本授权书 2 、不保密( 请在以上相应方框内打 作者签名：祆7 晦 日期：矽|年s 月2 7 日 导师签名：弓 c 良 日期：伽，年 r 月乡7 日 摘要 二十世纪后期，非线性科学蓬勃发展，其中混沌理论的发展占了极大份额 随着人们对混沌认识的深入，特别是混沌在自然科学中的应用，如何界定混沌的 内涵和外延，从而科学地下定义混沌和怎么样判定混沌一直是学术界探索的课 题1 9 7 5 年，t i e n y i e nl i 和j a m e sa y o r k e 给出了最早的混沌定义，即著名的 m - y o r e 定理随后，d e v a n e y 把动力系统的混沌行为总结归纳为拓扑专递性、周 期点稠密及初值敏感性，并证明了符号动力系统具有这些混沌特性随后出现了 l i y a p u n o v 指数、拓扑熵、异宿点、非2 幂周期来描述混沌2 0 0 3 年，美国t e x a s a & m 大学陈巩教授提出了用迭代变分描述区间映射混沌行为的思想，并研究了 区间映射迭代变分增长趋势与初值敏感性等混沌行为之间的关系，得到了丰富的 结果，但有些结论还不是很成熟本文首先介绍混沌的经典定义和判据，然后具 体论述离散动力系统的混沌行为，最后探讨了区间映射混沌行为与迭代变分之间 的关系 关键词：动力系统；混沌； 拓扑熵；初值敏感； 迭代变分； a b s t r a c t i nt h el a t e2 0 t hc e n t u r y ，t h e r ei sag r e a td e v e l o p m e n ti nn o n li n e a rs c i e n c e ， w h i l et h ec h a o so ft h er e s e a r c hd e v e l o pg r e a t l y w i t ht h ed e v e l o p m e n to f t h eu n d e r s t a n d i n go fc h a o t i ch u m a ni nn a t u r a ls c i e n c e ， e s p e c i a l l yt h e a p p l i c a t i o no fc h a o s ，h o wt od e f i n et h ec h a o t i cc o n n o t a t i o na n dd e n o t a t i o n ， t h u ss c i e n t i f i cd e f i n i t i o nc h a o sa n dh o wu n d e r g r o u n dj u d g ew a st h e r e s e a r c he x p l o r a t i o no ft h ec h a o st o p i c i n1 9 7 5 ，t i e n y i e nl ia n dj a m e s a y o r k eg a v et h ec h a o so ft h ee a r l l e s td e f i n i t i o n ，n a m e l yf a m o u sl i y o r k et h e o r e m t h e n ，d e v a n e ys u m m a r yc h a o ticb e h a v io r so ft h ed y n a m ic s y s t e mf o rt o p o l o g i c a lt r a n s i t i v i t y ，p e r i o d i cp o i n t sd e n s ea n ds e n s i t i v e d e p e n d e n c eo ni n i t i a ld a t a c h a o so ft h es y m b o li cd y n a m i c a ls y s t e mh a s b e e np r o v e d h o w e v e rt h e r ei so t h e rw a yt om e a s u r et h ec h a o ticn a t u r eo f t h ed y n a m i c s ，t h e ya r et h el i a p u n o ve x p o n e n t s ，t o p o l o g ye n t r o p y ，d i f f e r r e n th o m o c li n i cp o i n t ，a n dp e r i o di sn o tap o w e ro f2 i n2 0 0 0 ， g o n gc h e n w h oi saa m e r i c a nt e x a sa mu n i v e r s i t yp r o f e s s o r ，c h a r a c t e r i z e dt h e c h a o ti cb e h a v i o rb ym e a n so ft h eg r o w t hr a t eo ft h et o t a lv a r i a ti o no f i t e r a t e so nt h ei n t e r v a l r e s e a r c h i n gt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e na ni n t e r v a lm a pi t e r a t i v ev a r i a t i o ng r o w t ht r e n da n ds e n s i t i v ed e p e n d e n c eo n i n i t i a ld a t a ，w eg e ts o m eg o o dr e s u l t s ，b u ts o m ec o n c l u s i o ni sn o tm a t u r e y e t i nt h i sp a p e r ，f i r s tw ei n t r o d u c ec h a o so ft h ec l a s s i cd e f i n i t i o n a n dc r i t e r i o n s e c o n d ，c h a o t i cb e h a v i o r so ft h ed i s c r e t ed y n a m i cs y s t e m a r ed e s c r i b e dc o n c r e t e l y l a s t ，d i s c u s s i n gi n t e r v a lm a po ft h ec h a o t i c b e h a v i o ra n di t e r a t i o nv a r i a t i o nr e l a t i o n s h i p k e y w o r d s ：d y n a m i c a ls y s t e m ；c h a o s ；t o p o l o g i c a le n t r o p y ； s e n s i t i v e d e p e n d e n c eo ni n i t i a ld a t a ；i t e r a t i v ev a r i a t i o n a l ； 目录 摘要，i a b s t r a c t ：i i 第一章综述 1 1 研究背景和研究现状2 1 2 一般理论、方法及其进展3 1 3 本文的工作及文章安排10 第二章预备知识 2 1混沌及其相关概念1 2 2 2 混沌的判定定理1 3 第三章完备度量空间上离散动力系统的混沌行为 3 1离散动力系统在完备度量空间中混沌1 4 3 2 主要结果的证明1 7 第四章区间映射动力系统的混沌行为 4 1主要应用的定理和定义2 0 4 2具有无限个极值点的区间映射的迭代变分与初值敏感之间关系2 0 参考文献2 8 致谢3 2 附录a ( 攻读学位期间发表的论文) 3 3 第一章综述 二十世纪下半叶，非线性科学蓬勃发展，其中对混沌理论的研究占了极大份 额近几十年来，混沌理论迅速发展，一系列定义、定理相继建立，而且在自然 科学各领域的应用也越来越广，这说明人们对混沌的认识正在深入 1 9 7 5 年，t i e n - y i e nl i 和j a m e sa y o r k e 证明了关于线段自映射混沌性状的 一个重要结果 1 】： 命题1 1 设i 为- nx en ，f c o ( i ) 若存在a i ，使得 厂( 以) a f 2 ( a ) ，则 1 ) f 存在所有正整数周期p ； 2 ) 存在不可数点集sc i - p ( f ) ，满足 飘s u p i f ”( x ) 一f “( y ) l o ， v x ，y s ，x y ； i i ) ! i m i n ff ”( x ) 一厂“( y ) i = 0 ，坛，y e s ； i i n h m s u pj 厂”( z ) 一f ”( p ) l o ，协s ，v p c p ( f ) 后人把这一结果所描述的混沌性状称为l i y o r k e 混沌1 9 8 6 年，周作领对线 段自映射在l i y o r k e 定理条件下蕴涵的混沌行为进一步深入研究，构造性地证 明了l i y o r k e 定理中不可数混沌集可以由全部非游荡点组成1 9 8 7 年，周作领证 明了符号空间上的转移自映射具有较l i y o r k e 原始定义更强的混沌性状 2 ，3 1 ： 命题1 2 记仃为符号空间上的转移自映射，则下述( i ) 和( i i ) 成立： ( i ) 仃有以周期点，v n 0 ； ( i i ) 存在不可数集合ccs z + 一尸( 仃) ，仃( c ) cc ，且满足 a ) 1 ) m s u p ；( “( x ) 一仃”( y ) ) 1 ，垤，y e c ，x y ； b 、h m i n f p ( 盯”( x ) 一矿( y ) ) = 0 ，魄，y c ； c ) p m i n f ；( 盯”( x ) 一仃”( p ) ) o ，觇c ，p p ( 盯) 一 p ， 其中p = ( 1 , 1 ，1 ，) 尸( 仃) 审思l i y o r k e 定理的证明过程可以发现，t i e n y i e nl i 和j a m e sa y o r k 所 描述的3 周期区间映射的混沌形状主要来自他们所构造的区间序列，而区间序列 大致等同于符号序列于是可以说，l i 和y o r k e 所描述的3 周期区间映射的混沌 形状来自符号动力系统 随着人们对混沌认识进一步深入，出现了更多的描述方式和判据，如关于区 间映射混沌行为的主要也是很成功结论为异宿点、非2 幂周期及正拓扑熵三者等 价近些年来，通过迭代变分描述区间映射混沌行为的研究工作刚刚起步，得到 了一些结果，有待进一步完善2 0 0 4 年，国际著名混沌专家、美国t e x a s 大学g o n g c h e n 教授和t i n g w e nh u a n g 、y uh u a n g 在i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo fb i f u r c a t i o na n d c h a o s 上发表一篇论述一维区间映射的混沌行为与迭代变分之间关系( 见参考文 献 4 】) 黄煜教授随后又做了一篇关于线段映射的局部变差增长与局部拓扑熵的 文章而本文仅仅讨论了迭代变分增长趋势与初值敏感性之间的等价关系 1 1 研究背景和研究现状 二十世纪后期，科学技术得到发展，人们对自然界的认识也随之加深，其中 非线性科学发展尤为突出，当然对混沌的理论的研究占据很大部分半个世纪以 来人们对混沌运动规律认识也取得很大成果，于是在自然界和人类社会中广泛存 在混沌这一事实已经被普遍接受，然而如何应用混沌研究成果为人类服务已成为 非线性科学研究的一个重要的课题 尽管建立了一些定义、定理及判据来判定混沌，但是仍存在大量实际混沌系 统不能按现有定义和定理及判据来证明为了进一步探究和揭示混沌的本质，需 要建立更多的判据或从不同角度来描述混沌，这是混沌理论研究的动力和方向 世上存在的万物都有其两面性，混沌也是一样的，怎样利用混沌有利的一面、避 免混沌有害的一面是自然科学家要解决的难题近二十年来混沌的应用迅速渗 透到机械工程、生物学、经济学及通讯技术等领域随着对混沌理论认识深入， 在利用混沌过程中要对不利因素加以控制或加一些条件，使其为人类服务 动力系统特别是符号动力系统中的混沌理论的飞速发展是二十一世纪科技 领域的主要成就之一( 见专著 5 及其中的参考文献) 随着社会和科学技术的不 断发展，人类对自然界的认识也随之加深，学科分支日新月异，非线性科学迅速 2 发展，从而产生许多新的具有挑战性的问题，故对该领域的研究提供了得天独厚 条件国际学术界普遍认为：非线性数学、非线性自然科学、社会科学及其技术 发展是二十一世纪的主流和方向 一般说来，混沌主要指动力系统对初始条件的敏感性及长时间不可预测性。 但迄今为止，还没有一个统一标准的定义1 9 7 5 年，t i e n y i e nl i 和 j a m e s a y o r k e 1 首次对混沌行为给予严格定义和具体描述，并证明了著名的“3 周期蕴含混沌”定理但其结论只对一维区间映射成立1 9 7 8 年，f r m a r o t t o 6 】 研究一般n 维系统的混沌判据并证明了s n a p b a c kr e p e l l e r s 蕴含l i y 0 r k 意义下的 混沌从总体来说，l i 和y o r k e 给出的混沌定义较为复杂，m a r o t t o 判据的条件 也具有其特别性并且难以验证1 9 8 9 年，d e v a n e y 7 把动力系统的混沌行为总结 归纳为拓扑专递性、周期点稠密及初值敏感性并证明了符号动力系统具有这些混 沌特性1 9 9 2 年，b a n k s s 发现d e v a n e y 定义的前两条可以推出第三条1 9 9 9 年， r o b i n s o n 9 干脆将混沌定义精确归纳为两条即拓扑传递性和初值敏感性九十 年代后期，人们发现m a r o t t o 定理的证明有些不足，于是，陈关荣等把该定理的 条件加强从而得到了m a r o r o l i c h e n 定理【1 0 】随后，y u m i n gs h i l l l 】将这一结 果推广到了一般度量空间尽管如此，仍存在大量实际混沌系统尚不能按上述定 义和判据证明它们的混沌性 1 2 1 因而，进一步揭示混沌的本质、建立更多的混 沌判据或从更多的角度来描述混沌仍然是混沌领域讨论的焦点和热点 相对来讲，l i y o r k e 和r o b i n s o n 的定义在理论界影响比较广泛此外，也有 一些定量描述混沌的方法和概念如l y a p u n o v 指数 1 3 - 1 6 、盒子维数、h a u s d o r f f 维数 1 7 ，1 8 和拓扑熵1 1 9 - 2 1 1 等 美国t e x a sa & m 大学陈巩教授在2 0 0 0 年国际分布参数控制系统年会的邀请 报告会上首次从实际应用的角度提出了用全变差增长率描述系统的混沌振动 【2 2 1 最近黄煜等人【4 】又证明了具有有限个极值点且连续的区间映射的初值敏感 性等价于在任意子区间上迭代无穷多次以后总变分趋于无穷，并在此基础上进一 步证明了这类映射具有正拓扑熵、非2 幂周期及迭代变分指数增长规律但他们 的证明过程有缺陷，于是有些结论尚不能成立所以，区间映射的初值敏感性等 混沌行为与迭代变分之间的关系有待于重新考虑和进一步探索 1 2 一般理论、方法及其进展 本节回j 顷有关混沌理论一些已有定理和方法首先，我们看一fl i y o r k e 的 经典混沌定理和周作领在符号空间上建立的混沌定理。从两者的证明过程可以 看出，l i 和y o r k e 所描述的3 周期区间映射的混沌性状来自符号动力系统那么 符号动力系统所具有的更丰富经典的混沌性状是否可以全部或更多地平移到3 周期区间映射上呢? 本文通过下面定理弥补了这方面的不足，得到了更丰富和很 有意义的结果 定理1 1 设厂c o ( ，) ，若存在ae ，使得f 3 ( 口) = d 口 f 2 ( a ) = c ) ，则厂满足下述( i ) 和( i i ) ( i ) f 的周期集合j p ( ) = z + ； ( i i ) 存在不可数且完全的混沌集氐q ( 厂) ，s o 中不含周期点并且满足 ( a ) v x ，y s o ，z y ， l i m s u p f ( z ) 一f “( j ，) i o ， ! i m i n f h f ( x ) 一f “( j ，) l = o ； ( b ) v x s o ，p p ( 厂) ， 熙s u p l s 刀( x ) 一f ”( p ) l o ； ( c ) v x e s o ，p 尸( ) ，如果 f i m i n f h f ( z ) 一厂”( p ) i = o ， 则过点p 的周期轨含于( 6 ，c ) ，或者可以这样说，若周期点p 的轨道经过k = 【口，b 】 中，则有： 熙i i l f i 厂“( z ) 一f n ( p ) i o ； ( d ) 对任意x s o 及其任意领域圪，存在y 圪和自然数甩使得 h x ) 一广( y ) i ( c 一嘭； ( e ) 厂具有如下意义的拓扑传递性：对任意x ，y es o 及其任意领域圪，巧，存在 自然数刀使得 4 f ”( k ) n 圪 注：上述定理的结论( i ) 和( i i ) 中( a ) ( b ) 是文献1 1 ，2 ，3 】的结果而( c ) 说明从s 出 发的混沌轨与经过k 中的周期轨道严格保持距离，这在一定程度上加强了定理中 结论( b ) ；然而( d ) 描述了系统在混沌集s 上关于初值敏感并且敏感常数 万= ( c 一；( e ) 说明系统在混沌集s o 上拓扑传递。这些结论在一定程度改进 l i - y o r k e 定理和文献 2 】的工作 引理1 1 设c o ( i ，i ) ，若闭线段蝎i 使厂( m ) 2m ，则有闭线段鸩m 使 引理1 2 设c o ( i ，i ) ，又设闭线段序列 坂 ；，其中 坂ei ，厂( 坂) 鸩小v n o ，则存在闭线段序列 q ；，使q + 。q 眠且 厂”( q ) = 鸠， v n o ，进而x q = n qj 厂”( x ) 以，v n o ( 注意q = n q 是单 n = on = o 点集或闭线段) 这两个引理的证明简单见【1 】 下面我们来证明定理1 1 ：( i ) 的证明见文献 1 】接下来我们就构造满足条件 ( i i ) 的不可数混沌集& sq ( 厂) 设c o ( i ，i ) ，且存在口i 使得3 ( 口) = d - a 0 假如 嬲s u p l 厂“x r ) 一f ”( x 1 ) l = 0 ，即舰i 厂“( x r ) 一厂”( x 1 ) 1 = 0 ，而 l ，呻i m 。f 啊x r ) = 烘厂吩( x 五) = 6 从而烘厂吩+ 2 ( x r ) = l ，一i m f 一+ 2 ( x ) = d ，这导致当f 充分 大以后厂吩+ 2 ( ) 和厂吩+ 2 ( x 五) 不再属于工，这与m 7 和m t 的定义矛盾，故( 舢中前 一个式子成立 由于厂( 6 ) - c ，f ( c ) = d a ，我们可以构造点列 b = 6 b 6 l 既+ 1s 已+ l s c a 0 一口) 2 之一成立 ( e ) 的证明：从( d ) 的证明过程中厂”+ 2 ( 矿( x 7 ) ) 2k u 三即的本结论证毕 定理1 2 若厂c o 【j ，】除了满足定理1 1 的条件外，还要在【口，6 】上严格单调增， 而在 6 ，c 】上严格单调减，则 ( a ) 厂具有如下意义的拓扑传递性：存在- - , 点x ej 使得 丽两2 s ； 0 3 ) 觇岛，p ep ( 厂) ，如果 擞砒l 厂“( x ) 一f “( p ) l o 则p 只能是2 一周期点或不动点 ( a ) 的证明：对任意非负整数，z ，按定理1 2 ( a ) 的证明过程构造k 和l 的子区 8 间的排列 m q m 、m m 由于其中m ，心，鸭：可取k 或三，其余项依它们而定，所以这样的排列 共有刀2 个，将它们按任意次序连成一长度为2 ”n 2 + 1 ) 的序列，再将这类序列按刀 递增的次序连接起来，记为尸由于在k 及三上分别单调，故存在唯一闭区间 套三= 磊2 磊2 3 磊2 磊+ ，2 使厂七( 磊) = 丑令亘= n q ，则亘为非空闭区 n = o 间，任取x 亘即满足要求事实上，任取y s o ，存在r g ，1 ) ，m 7 = 蟛 ；及 唯一闭线段序列 饼 ；，鳙，c 鳞蟛满足”( g ) = 蟛，且 少 = 限对任意 n = o s o ，存在充分大的自然数使得l 饼l n 由区间序列p 的构造可知， 存在非负整数使得昂+ - ，= 蟛，o ，从而霄吖( x ) 蟛，o 歹，进 一步有厂力( x ) 蝶，i 厂霄( x ) 一y l i 繇i ，连续且具有初值敏感性，则对任 意子区间，都有。l i 。m 。巧( 尸) = 成立”然而遗憾的是他们定理2 的证明过程存 在某些的缺陷，也就是说上述结论并不一定是真，于是本章从另一角度来考虑这 一问题，提出下面的问题：“设，为有界闭区间，厂：，专，连续且具有极值点， 对任意子区间，都有。l i m 。巧( 厂”- - 0 0 ，能否推出在，上关于初值敏感，在一定 条件下，我们将给出肯定的回答 第二章预备知识 2 1 混沌及其相关概念 为了更好地了解本篇硕士论文工作的背景，我们认为有必要先介绍一下有关 混沌相关定义 定义2 1 3 设( x ，f ) 是紧致系统，x x 如果对每一个占 0 ，存在刀 0 ，使 f ”( y ( x ，s ) ) ny ( x ，g ) ， 则把x 叫做的非游荡点；所有非游荡点组成的集合叫做非游荡集，记为q ( 厂) 定义2 2 设( x ，f ) 是紧致系统，d 是x 的一个拓扑度量设托cx 非空如果 存在不可数集合sc 蜀，满足： n l i m s u p d ( f ”( z ) ，f ”( 少) ) o ，v x ，y s , x 少 i i ) 舰i n f d ( f ”( x ) ，厂”( y ) ) = o ，v x ，y s ； 于是说厂在k 是在李- 约克意义下混沌的 定义2 3 1 3 设( z f ) 是紧致系统，如果存在万 0 ，使得对每一点x ex 和x 的 任意邻域虬存在y 以和刀 0 ，满足 a ( s ”( z ) ，f “( y ) ) 艿， 则称厂对初值敏感依赖，万称为敏感常数 定义2 4 设( x ，f ) 是紧致系统，如果下述三个条件得到满足， i ) f 是拓扑传递的； i i ) 厂的周期点在x 内处处稠密，即尸( 厂) = x ； i i i ) 厂对初值敏感依赖， 则称厂在狄万内意义下是混沌的 定义2 5 1 3 设( x ，厂) 是紧致系统，e n t ( f ) = s u p e n t ( a ) ) 叫做厂的拓扑熵，其中 1 2 s u p 是对所有x 的开覆盖取上确界拓扑熵是一个非负实数，但可以达到+ 口 2 2 混沌的判定定理 定义2 6 1 3 7 设( 彳，厂) 是紧致系统，x x 若存在p 尸( 厂) ，使 李约克 第三章完备度量空间上离散动力系统的混沌行为 3 1 离散动力系统在完备度量空间中混沌 下面是一个离散动力系统： 而+ l = 厂( 而) ，刀o ( 1 ) 这里厂：x 哼x 为一映射，( x ，d ) 是一个度量空间 混沌理论在区间映射或者一维离散动力系中的性状有t yl i ，j a y o r k e 、陈 巩和其他作者介绍【4 ，2 4 ，2 5 ，2 6 1 那么n - 维离散动力系统混沌首次被e r m a r o t t o 提出，然后经l i ，c h e n ，h s us 和z h o u 进一步完善【6 ，2 7 ，2 8 2 0 0 4 年，ys h i 和q c h e n 介绍( 1 ) 在一般度量下的混沌，也得到下面结果： 推论3 1 设( x ，d ) 为完备度量空间，巧，k 是x 中非空闭的有界子集并且 d ( v o ，k ) o ，如果连续映射f ：v ouk - - - yx 满足： ( 1 ) 厂( 巧) 2v ouk j = 1 ，2 ； ( 2 ) f 在和k 分别扩张，也就说，存在常数九 1 使得 d ( 厂( x ) ，f ( y ) ) a o d ( x ，y ) ， v x ，y ev o 或k ( 3 ) 存在常数风 0 使得 d ( 厂( x ) ，f ( y ) ) 1 使得 1 4 d ( 厂( x ) ，( y ) ) 厶d ( x ，少) ，魄，yev o 或g , ， 那么存在一个康托集人c uk 使得厂：人专人与符号动力系统盯：；- - ；是 拓扑共轭的 推论3 3 设( x ，d ) 完备度量空间，厂：x 哼x ，假设有： ( 1 ) f 有一个非退化的s n a p - b a c kr e p e l l e rz x ；也就是说，存在正的常数吒和 五 1 使得( 或( z ) ) 是开集和d ( 厂( x ) ，厂( y ) ) d ( x ，y ) ， v x ，ye ( z ) ，还存 在一点x o 暖( z ) ，x o z ，一个正整数m 和正常数磊和7 使 f mx o ) - - - - z ，( x o ) c 吃( z ) ，z 是厂埘( ( ) ) 的内点且 d ( 厂册( x ) ，f 删( j ，) ) ( x ，j ，) ，v x ，ye 民( ) ； ( 2 ) 存在一个正常数一使得 d ( 厂( x ) ，f ( y ) ) e n t ( g ) 这里口所( ) 表示拓扑熵 3 2 主要结果的证明 定理3 2 1 设( x ，d ) 是一个完备度量空间，巧是x 两个非空闭的有界子集 且d ( ，巧) 0 ，如果有一个连续映射厂：u 巧专x 满足下列条件： 拓 步 这 如 使 d ( 厂7 ( x ) ，f 7 ( y ) ) o ， v x ，y s ，x c y 或者少尸( 仃) 证明：设s = ( ，西，) ；，x k 就有厂7 ( x ) 屹，j o ，考虑集合 鼢鸭= x k ：厂7 ( x ) ，0 - - - j - - - 甩) ，刀o 这里吒= 吃，就有下面 鼢= n f 。1 ( ) n n f 嘲( ) ，刀1 这就意味 ) 二。是k 的非空稠密的紧子集因为k 也具有紧性就有 。n 卸u s 。c 州s 鸭矽由于缺少厂的扩张或厂- 1 得收敛，不能保证q 踽只含 有一个点，它有可能含有很多点，取任意墨q 辆有厂7 ( 以) _ 对所有 j o 设s = ：s c ，c 为命题3 1 中的混沌集，从命题3 1 中的( a ) 和它的 注中可以得到 l i m s u p d ( f ”