（信号与信息处理专业论文）雷达目标信号的稀疏建模研究.pdf

摘要摘要信号的稀疏表示就是在变换域上用尽可能少的基函数来表示原始信号，从而抓住信号最本质的特征，在信号压缩、去噪、超分辨重建等信号处理领域具有广泛应用。本文应用信号稀疏表示理论对雷达目标信号进行建模，主要分为三个部分：第一部分研究了信号的稀疏表示，给出了针对雷达回波信号特征来构造匹配字典的方法，以达到与原始信号最为匹配的目的。对匹配追踪、基追踪等稀疏表示方法进行深入研究，并引入l a s s o 算法作为稀疏表示的方法。第二部分主要对脉冲压缩雷达和相控阵雷达的原始回波信号进行稀疏分解，由此估计出目标的距离、速度和方向等参数，仿真结果表明由稀疏表示得到的雷达目标参数估计优于传统方法；第三部分是在稀疏表示的基础之上，利用欠采样思想对雷达回波信号进行稀疏建模，目的是用更少的采样点数估计出目标参数。在对阵列信号进行欠采样d o a 估计时，采用了时域建模和空域建模两种方法，都达到了降低采样率的目的。关键词：稀疏表示欠采样稀疏建模雷达参数估计a b s t r a c ta bs t r a c tt h es p a r s er e p r e s e n t a t i o nc a l le x p r e s st h eo r i g i n a ls i g n a lw i t h 嬲f e wb a s i sf u n c t i o n sa sp o s s i b l ei nt r a n s f o r md o m a i na n de x t r a c tt h em o s ti n t r i n s i cc h a r a c t e r so ft h es i g n a l ，s oi th a sb e e nw i d e l yu s e di nt h es i g n a lp r o c e s s i n gf i e l d ss u c ha ss i g n a lc o m p r e s s i o n ，d e n o i s i n g ，s u p e r - r e s o l u t i o nc o n s t r u c t i o na n ds oo n t h i sa r t i c l ef o c u s e s0 1 1m o d e l i n go fr a d a rt a r g e ts i g n a lb a s e do ns p a r s er e p r e s e n t a t i o nt h e o r y , a n dm a i n l yc o n s i s t st h r e ep a r t s ：t h ef i r s tp a r ts t u d i e st h es p a r s er e p r e s e n t a t i o n ，a n dd i s c u s s e sr e d u n d a n td i c t i o n a r yc o n s t r u c t i o no fr a d a rs i g n a li no r d e rt om a t c ht h eo r i g i n a le c h os i g n a lm o s t a l g o r i t h m so fm a t c h i n ga n db a s i sp u r s u i ta lei n v e s t i g a t e da n dt h el a s s oa l g o r i t h mi si n t r o d u c e da sas p a r s er e p r e s e n t a t i o nm e t h o d t h es e c o n dp a r tg e t st h es p a r s er e p r e s e n t a t i o no fo r i g i n a le c h os i g n a lo fp u l s ec o m p r e s s i o na n dp h a s e da r r a yr a d a ri no r d e rt oe s t i m a t et h ed i s t a n c e ，v e l o c i t ya n dd o ao ft a r g e t s c o m p u t e rs i m u l a t i o nr e s u l t si n d i c a t et h a tr a d a rt a r g e tp a r a m e t e re s t i m a t i o nb a s e do ns p a r s er e p r e s e n t a t i o ni sb e t t e rt h a nt r a d i t i o n a lm e t h o d i nt h et h i r dp a r t , e c h os i g n a li ss a m p l e da ts u b - n y q u i s ts a m p l i n gr a t ea f t e rs p a r s er e p r e s e n t a t i o n t h u sw ec a ne s t i m a t et h et a r g e tp a r a m e t e r sw i t hf e w e rs a m p l e s w h e ne s t i m a t i n gd o ao fa r r a ys i g n a l ，s p a t i a la n dt i m ed o m a i nm o d e l i n ga r ea d o p t e d ，b o t ho fw h i c hc a nl o w e rt h es a m p l i n gr a t e k e y w o r d ：s p a r s er e p r e s e n t a t i o ns p a r s em o d e l i n gs u b - n y q u i s ts a m p l i n gr a d a rp a r a m e t e re s t i m a t i o n第一章绪论第一章绪论1 1 研究背景及意义传统的信号表示【1 1 就是把给定的信号在已知的函数集或矢量集上进行分解，并在变换域上对原始信号进行表示。例如，傅里叶分析是将信号在三角函数上进行展开，以获得信号的频域表示；时频分析就是将信号在时频平面上展开，获得信号的时频表示；小波分析则是将信号在小波基上展开，获得小波域的信号表示。这些基函数能够有效的表示某些特定类型的信号，使得信号在其变换域上呈现出一些自然属性。然而这类方法都使用了性质相同的一组基函数，通常是正交基，来对任意信号进行表示，这就意味着一个信号在确定的一组基函数下只能有唯一的表示方法，因此对于一般信号而言，不一定能得到其稀疏表示。为了能够更加简洁、灵活和自适应的对信号进行表示，r c o i f m a n 和m w i c k e r h a u s e r 等人提出了稀疏分解的概念【2 】；与此同时，s m a i l a t 和z z h a n g 也提出了信号在过完备库上分解的思烈3 1 ，从而开辟了信号稀疏表示这一信号处理的新方向。信号在过完备库上进行分解时，用来表示信号的基函数可以自适应地根据信号本身特点灵活的选取，分解的结果即为信号的一个简洁表达一稀疏表示( s p a r s er e p r e s e n t a t i o n ) ；得到信号稀疏表示的过程称为信号的稀疏分解( s p a r s ed e c o m p o s i t i o n ) 。信号的稀疏表示就是在变换域上用尽可能少的基函数来表示原始信号，从而抓住信号的本质特征。传统的信号表示方法不一定能够获得信号的稀疏分解结果的一个重要原因就是用于信号表示的函数集不具有冗余特性，因此我们考虑构造一个冗余的函数集，使得信号能够根据自身特点从冗余集中自适应的选取稀疏表示所需要的基函数。由于信号的稀疏表示具有优良特性，从上世纪9 0 年代开始，通过稀疏性对信号建模成为信号处理领域中重要而且广泛使用的方法。目前，信号的稀疏表示已经被应用到信号处理和图像处理的许多方面，如图像压缩、音频压缩、视频信号压缩、噪声抑制1 4 1 、人脸识别1 5 1 、雷达成像处理1 6 1 等。另外，信号的稀疏表示在地震数据处理、生物医学成像、自动控制【7 】、系统识别1 8 】等方面也有广泛的应用。信号的稀疏表示在雷达系统中也有很多应用：常见的地基雷达对飞机的探测可以看成是对多个点目标的检测，待测量的回波信号在时间上是稀疏的；机载或星载雷达对地面的探测，可看成是对连续光滑目标或分段光滑目标的探测，待测量信号在频域或小波域是稀疏的；地基雷达对地面目标的探测，回波信号在时间域上是稀疏的；相控阵雷达对目标方向进行估计时，待测的回波信号在空域是稀2雷达目标信号的稀疏建模研究疏的。在这些雷达系统中，发射信号一般为线性调频信号，雷达分辨率尻与发射信号带宽b 之间存在关系最= ( c 2 a ) ，即带宽越宽雷达的分辨率越高。为了提高雷达的分辨率，就要增加信号的带宽。根据奈奎斯特采样定理，采样信号必须达到信号带宽的两倍以上才能精确重构原始信号，这一理论自出现以来一直是数字信号和图像处理领域的重要理论基础，支撑着几乎所有信号、图像处理过程，是信号、图像的采样、处理、存储、传输等方面的重要理论依据。然而，随着宽带信号越来越广泛的应用( 如超宽带雷达) ，以及获取的数据量越来越大( 如生物医学中的核磁共振成像) ，以奈奎斯特采样定理为基础的信号处理框架开始遭遇瓶颈，主要表现在高采样率给模数转换器件带来的巨大压力以及海量数据的存储和传输两方面。既然基于奈奎斯特采样定理的信号处理框架已经开始遭遇瓶颈，研究者们开始思考寻找新的信号描述和处理框架，在保证信息不损失的情况下用低于奈奎斯特采样率的速率对信号进行采样并无失真的恢复出来，也就是对信号进行欠采样。d d o n o h o 和e c a n d e s 等人于2 0 0 6 年正式提出了“压缩感知 ( c o m p r e s s i v es e n s i n g ，c s ) 这个概念1 9 1 ，亦称压缩传感或压缩采样( c o m p r e s s i v es a m p l i n g ，c s ) ，本文统一以压缩采样( c o m p r e s s i v es a m p l i n g ，c s ) 指代。压缩采样实际上是一种欠采样方法，利用随机观测矩阵对信号进行观测的过程就是随机抽取部分样本值，使得采样速率低于奈奎斯特速率。除了压缩采样以外，还有一些其他的欠采样的方法，如快速傅里叶采样( f a s tf o u r i e rs a m p l i n g ，f f s ) 算法【4 ”l 】和中国余数定理( c h i n e s er e m a i n d e rt h e o r e m ，c r t ) 算法l m ， j 。f f s 算法由a c g i b e r t 等人于2 0 0 2 年提出【5 0 1 ，随后对其进行了改进p 1 | ，文献【4 9 给出了其具体实现方法_ a 彻a r b o r 快速傅里叶变换( a a f f t ) 。该方法首先利用随机采样技术将原始信号的重要频谱彼此分开，采用带通滤波器分析其各自的频谱特性；然后随机抽取少量样本来估计稀疏信号的频率，所需的样本个数依赖于信号所含的频率分量。c r t 算法利用一组两两互质的模数及相应的余数来估计一个整数，但是只有未知的整数小于这组模数的最小公倍数时才能唯一确定一个整数，且稳定性不高。文献【5 2 】提出了一种稳健c r t 算法，利用一组非互质的模数和相应的余数为实数且存在误差时重构任意实数，避免由余数的极小误差可能引起被估计整数相当大的误差，提高了算法的稳健性。此算法具有广泛的应用，如计算、密码学以及雷达信号处理和雷达成像中，文献 5 4 f l p 币l j 用c r t 算法对运动目标的多普勒频率进行估计，为多普勒解模糊问题提供了一种很好的解决途径。第一章绪论1 2 国内外研究现状传统的基于正交基展开的信号表示方法具有一定的局限性，不一定能达到最好的稀疏表示效果；过完备字典( o v e r - c o m p l e t ed i c t i o n a r y ，又称冗余字典) 下的信号分解具有更强的稀疏表达能力，因而成为近年来的研究热点。过完备字典下的信号稀疏表示方法始于19 9 3 年，s m a l l a t 和z z h a n g 首次提出了应用过完备字典对信号进行稀疏分解的思想，并引入了匹配追踪算法p 】。至今为止，学者们已经提出了多种稀疏分解算法，这些算法包括1 9 8 8 年1 d a u b e c h i e s提出的框架法【1 1 ( m e t h o do f f r a m e s ，m o f ) 、1 9 9 2 年r c o i f m a n 等人提出的最佳正交基法【2 ( b e s to r t h o g o n a lb a s i s ，b o b ) 、1 9 9 3 年s m a l l a t 等人提出的匹配追踪算法( m a t c h i n gp u r s u i t ，m p ) 以及其改进算法正交匹配追踪( o r t h o g o n a lm a t c h i n gp u r s u i t ，o m e ) 算法i l 副和正则正交匹配追踪( r e g u l 撕z e do r t h o g o n a lm a t c h i n gp u r s u i t )算法【1 、1 9 9 9 年d d o n o h o 等人提出的基追踪法1 1 4 ( b a s i sp u r s u i t ，b p ) 及其改进算法一噪声抑制基追踪( b a s i sp u r s u i td e n o i s i n g ，b p d n ) 算法。这些算法中，以b p算法和m p 算法最为常用。m p 算法的运算速度是最快的，但其计算量巨大，这是因为利用m p 算法进行稀疏分解时，每一步都要完成残差信号在冗余字典中每个原子上的投影计算。另外，m p 算法容易造成过匹配现象；而b p 算法由于寻求的是全局最优解，因此最稳定，逼近精度最高，但其计算复杂度极高，量级大约为o ( n 3 ) 。过完备字典下的稀疏分解算法的计算量巨大成为阻碍其在信号处理领域进行应用的致命缺点。目前，信号过完备稀疏表示的研究热点包括两个方面：一是针对一类信号，如何构造适合它们的过完备字典以获得最逼近的稀疏表示；二是针对已有算法如何实现它们的快速计算或者设计新的低复杂度的稀疏分解算法。本文主要针对第一个问题进行深入研究，即针对雷达回波信号的特殊形式，给出相应的过完备字典的构造方法，从而能获得回波信号的一个稀疏表示，然后根据此稀疏表示对雷达回波信号的参数进行估计。最近几年，d d o n o h o 等人提出的压缩采样理论将信号稀疏表示问题推向一个新的高度，因为能够对信号进行压缩采样的前提就是该信号可以进行稀疏表示，即信号在某一个域必须是稀疏的。压缩采样理论的广阔应用前景已经呈现在我们面前，涵盖了c s 雷达、分布式压缩感失h ( d i s t r i b u t e dc o m p r e s s e ds e n s i n g ，d c s ) 理论、无线传感网络、图像采集设备的开发、医学图像处理、生物传感、光谱分析、超谱图像处理以及遥感图像处理等诸多领域【1 5 】，因此对于压缩采样的理论及应用研究方兴未艾。在实际应用方面，压缩采样理论也有了很大的突破，如c s 雷达成像、单像素相机1 1 7 】和模拟信息转换器1 1 9 - 2 2 等方面。4雷达目标信号的稀疏建模研究对于可压缩的或在某个变换域稀疏的信号，可以利用不相关的观测矩阵直接将这样一个高维信号投影到低维空间上，然后利用这些少量的投影解一个优化问题，就能以高概率重构原始信号。投影后得到的观测向量长度远远小于原始信号长度，相当于对原始信号进行欠采样处理。文献 2 2 1 给出如图1 1 所示的随机调制系统对稀疏信号进行欠采样。p c ( t ) 1 )图1 1 基于随机调制的欠采样系统y m 】信号x ( f ) 先经过p n 序列p c ( t ) 调制后，经过滤波器五( f ) 后用普通的a d c 就可以得到采样值弭m 】，这里的p n 序列p的变化率应至少是输入信号的奈奎斯特c(t)频率，可以通过高速移位寄存器实现。对于超宽带射频前端信号，文献【2 2 】给出如图1 2 所示的调制宽带转换器( m w c ) ，用以对超宽带模拟信号进行欠采样。m w c 系统由一个有m 个信道的模拟前端组成。在第f 个信道，输入信号x ( f ) 与周期性波形p a t ) 相乘，低通滤波后，然后以l 丁的速率采样，其中采样间隔丁等于珐( f ) 的周期。t = n t( f )图1 2 调制宽带转换器y l my ，【刀】y 肌m第一章绪论51 3 本文的主要工作及内容安排针对目前宽带雷达信号的高采样率问题，本文对信号稀疏表示和欠采样进行了深入的研究。在理论研究的基础之上，重点分析和讨论了信号稀疏表示在雷达目标信号参数估计中的应用，并对雷达回波信号进行稀疏建模。“稀疏”的思想贯穿全文始终，根据雷达回波信号的特殊形式，可以将一个雷达目标作为一个稀疏度进行建模，并对待估计的目标参数进行估计。为了降低雷达回波信号的采样率，需要对稀疏信号进行欠采样，以达到降低采样率、同时减轻软件计算负担的目的。本文共分五章，第一章为绪论，主要对稀疏表示的背景、研究进展以及欠采样的实现方法等进行概括性的介绍。其他各章的具体内容安排如下：第二章深入研究了信号稀疏表示。针对雷达回波信号的特殊形式，本文给出了其字典矩阵的构造方法，以达到与原始信号最为匹配的效果。在稀疏分解算法方面，除了对已有的匹配追踪、基追踪等算法进行研究外，还创造性地引入了l a s s o 算法，同时对f o c u s s 和b c s 算法也进行了介绍。第三章为本文作者的研究工作，针对脉冲压缩雷达和相控阵雷达的回波信号特征构造了冗余字典，并利用m p 、b p 、l a s s o 等稀疏分解算法对回波信号进行稀疏分解，实现对目标距离、速度、方向等参数的估计，仿真结果证明，由稀疏分解得到的雷达目标参数估计优于传统的处理方法。第四章也为本文作者的研究工作，在上一章建模仿真的基础之上，为了降低信号采样速率，减轻信号处理过程中的计算量和存储、传输压力，于是对稀疏信号进行欠采样，分别对脉冲压缩雷达和相控阵雷达的回波信号进行了仿真分析。在对阵列信号进行欠采样下的d o a 估计时，分别采用了时域和空域两种方法建模方法，都达到了降采样的目的。第五章为结束语，对全文的工作进行总结，并指出有待于进一步研究的问题。本文中的仿真验证主要利用m a t l a b 软件完成。第二章稀疏表示理论7第二章稀疏表示理论在对信号处理理论进行研究和应用的过程中，信号分解( s i g n a ld e c o m p o s i t i o n )与信号表达( s i g n a lr e p r e s e n t a t i o n ) 是二个基础性的问题，具有非常重要的研究意义。信号分解在信号处理与分析理论中起着很重要的作用，是一种常用的有效分析手段。传统的信号分解变换是在一组完备的正交基上进行，而且这种变换一定是可逆的，比如傅里叶变换、小波变换和短时傅里叶变换等。随着信号分解理论的蓬勃发展，近年来越来越多的研究者将注意力转移到信号的非正交分解上。为了能够更加简洁、灵活、和自适应地对信号进行表示，r c o i f m a n 和m w i c k e r h a u s 以及s m a l l a t 和z z h a n g 分别提出了将信号在过完备库上进行分解的思想，开创了信号稀疏分解这一信号分析的新方向【z ，3 j 。本章首先对信号稀疏表示进行研究，重点给出了针对雷达回波信号特征构造匹配字典的方法，对信号稀疏分解算法进行了深入的探索，在对已有算法进行研究的基础上，引入l a s s o 和b c s 等算法对信号进行稀疏分解。2 1 信号稀疏表示原理过完备信号的稀疏表示方法始于上世纪九十年代，19 9 3 年s m a l l a t 和z z h a n g首次提出了应用过完备原子库对信号进行稀疏分解的思想1 3 j ，并引入了匹配追踪( m a r c h i n gp u r s u i t ，m p ) 算法。信号稀疏分解的基本思想就是：基函数用称之为原子库的过完备冗余函数簇取代，原子库的构造要尽可能好的符合被逼近信号的特征，它的构成可以没有任何的限制，原子库中的元素被称作原子。从原子库中找到具有最佳线性组合的m 项原子来表示一个信号，被称作是信号的稀疏逼近( s p a r s ea p p r o x i m a t i o n ) 或者高度非线性逼j , 丘( h i g h l yn o n l i n e a ra p p r o x i m a t i o n ) 2 3 1 。稀疏逼近主要研究这样一个问题：给定一个集合甲= g k ，k = 1 ，2 ，k ，其元素是张成整个h i i b e r t 空间h = r 的单位矢量，k2 n ，我们称集合甲为原子库，其每一个元素颤称为原子。对于任意给定的信号厂h ，我们可以在甲中自适应的选取m 个原子对信号厂进行分解，分解的结果用厶表示：厶= 勺昌( 2 - 1 )y e j ”其中，。是选取的m 个原子对应的下标集合。因此我们可以得到由m 个原子在原子库甲中张成的最佳子集：b = s p a n ( g ，y l m )( 2 2 )8雷达目标信号的稀疏建模研究定义逼近误差为：盯，甲) = 挈f i i 厂一厶甲) = 壁f f i 一厶8( 2 - 3 )由于m 远小于空间的维数，这种逼近被称作稀疏逼近。显然信号的稀疏逼近问题即为寻找式( 2 1 ) 的最稀疏表达形式，其关键就是如何构造原子库、王，以及在满足式( 2 3 ) 所示的逼近误差的情况下如何从原子库中选取合适的原予。接下来的两节将分别对这个两个问题进行详细的讨论。2 2 字典矩阵的构造信号稀疏表示需要研究的问题之一就是原子库的构造，这样的原子库也被称为字典矩阵( d i c t i o n a r y ) 。字典的构造可以是某个函数经过某种结构化的调制变化得来，如2 2 2 节中的g a b o r 字典；也可以根据信号的结构特征进行精心的设计，如2 2 3 节中的匹配字典，还有一些其他常用的过完备字典，如余弦包字典和小波包字典等。总之，字典的构造是多种多样的，只要能包含广泛的时频特性即可，以达到对原始信号进行高精度逼近的目的。2 2 1时频原子的产生将信号分解为具有良好时频域局部特性的函数簇，在信号处理和谐波分析中有广泛的应用。这样的函数簇中的元素被称作“时频原子 。根据时频原子的不同选择，分解的结果也具有不同的特性。短时傅里叶变换和小波变换均为时频信号分解的例子【2 4 , 2 5 】。一般的时频原子可通过对窗函数g ( t ) e l 2 ( r ) 进行伸缩、平移和调制变换获得。假设g ( f ) 是实的连续可微函数，并n o ( 1 ( 1 + t 2 ) ) 。再假定g ( f ) 的范数为l ，积分不等于0 且起始时刻不为0 ，吕i j i i g l l = l ，e g ( f ) o 且g ( o ) o 。对于任意的伸缩因子s 、频率调制善和平移因子甜，记厂= ( s ，材，孝) 并定义：g ，( f ) ： g ( 生兰) p 皆( 2 - 4 )其中y r = r + xr 2 。如果g ( f ) 是偶函数，那么g r ( f ) 关于f = 甜对称，其能量集中在，= u 附近，大小与s 成正比。令营) 为g ( ，) 的傅里叶变换，上式的变换式为：第二章稀疏表示理论9白( 妫= ：西( s ( c o 一孝) ) p 一廿弘由于陪( 妨f 是偶对称的，i 宫( 功i 以缈= 善为中心，能量集中在= 善附近，与l s 成正比。( 2 - 5 )大小函数簇甲= ( g ，( f ) ) ，e r 是过冗余的，因此被称为过完备库。若由p 表示过完备库甲= ( 岛( ，”，e r 中的原子个数，则p 应远远大于信号的长度。为了高效的表示出任一函数厂( f ) ，我们必须挑选出最恰当的可数子集r 。，其中r = r + x r 2 ，这样( f ) 可以表示如下：2 2 2g a b o r 字典- b o o们) = 既( f )( 2 - 6 )开鲁在上面时频原子的产生方法中，如果令窗函数为g a u s s i a n 窗函数，即g ( f ) - - e 卅( 2 7 )那么经过伸缩、平移、调制变换可以得到下面的时频原子：岛： g 掣) 扩( 2 8 )岛= 下卜- u m吣ss这些时频原子被称为o a b o r 原子，由g a b o r 原子构成的空间即为g a b o r 字典，其中y = ( s ，u ，孝) 是原子库中原子的索引。通常这样的字典具有无限个元素，即为过冗余的，对匹配原子的选择也成为一个无限次的搜索过程，显然不具有可行性。因此我们需要寻找上述过冗余字典的一个有限子集甲。= ( g ，) 阿。c - 甲，其中r 。为r 的一个有限子集，且满足下式：s u 芝l c t 晋| ( 厂易) i ( 2 - 9 )为了高效实现匹配追踪，要避免计算所有信号残差的内积，即选择其中一部分字典原子。文献【3 】的定理2 给出了如下的离散化原则，确保对g a b o r 字典进行离散化以后获得的字典仍能满足式( 2 - 9 ) 。定理：假设z f 和孝分别为时间和频率的离散间隔，且满足衄：篮 1 为一基本扩张因子，r 。为r ：r + x r 2 的一个离散子集，对于( ，p ，七) z 3 ，f 。的索引y = ( 口7 ，p a a u ，c a 一孝) ，存在一个常数口 0 ，对于所有的f l 2 ( r ) 满足式( 2 - 9 ) 。1 0雷达目标信号的稀疏建模研究按照上述定理的离散准则，可以得到一个离散的字典空间如式( 2 1 1 ) ：甲。= g ，j 心( 2 - 1 1 )式( 2 1 0 ) 表明从离散字典空间、王，。中选取的分解原子是相对最优的。假设我们的信号为具有个采样点的实信号，令a = 2 ，甜= 1 1 2 ，厶孝= 万，此时索引参数的取值范围为：1 j l 0 9 2 ，0 p 2 7 ，0 七 n 。原始信号记为厂，要想对信号进行稀疏表示，就需要对式( 2 1 6 ) 进行求解，求解得出的口即为稀疏表示的系数。甲口= f( 2 - 1 6 )2 - 3 1m p 及其改进算法s m a l l a t 和z z h a n g 首次提出应用过完备冗余原子库对信号进行稀疏分解的思想的同时，引入了匹配追踪算法f 3 l ( m a t c h i n gp u r s u i t ，m p ) 。匹配追踪是一种贪婪算法，是目前信号稀疏分解中最常用的方法，因为其原理简单、易于实现，主要通过逐步逼近的方式来寻找信号的稀疏表示。当然这种算法也有缺陷，就是万一某一步的选择出现错误，就需要进行多步修正。假定h 表示h i i b e r t 空间，字典矩阵叩= ( g ，) 艚ch ，且i l g ，1 1 = 1 。令信号厂h ，为了逼近厂，匹配追踪需要先先从字典中选取与厂最为匹配的一个原子g ，。，满足下式：g ，o ) i 口s u , p l ，邑) l ( 2 - 1 7 )0 口 | 2 + 肛k 1 州2s 占2l 州2( 2 - 3 2 )因此原始信号可由朋项逼近得到式( 2 3 3 ) ：= 芝( r “1 厂峻) 雄k = l( 2 - 3 3 )从上面的算法步骤可以看出，随着分解过程的进行，分解出的原子越来越多，所有原子的正交化处理计算量会逐渐增加，这就是o m p 比m p 算法复杂度大的原因；但从分解效果上看，o m p 的收敛速度比m p 快，因此在相同的精度要求下，利用o m p 可以用更少的迭代次数达到指定精度，也就是说o m p 能够得到比m p算法更加稀疏的表示形式。为了对比m p 和o m p 算法的性能，我们给出一个仿真实验，对长度为4 8 0 的雷达回波信号进行分解，这里字典矩阵采用的上节所述的匹配字典形式，图2 3 为m p 和o m p 收敛性的比较。分解结果随迭代次数的变化图2 3o m p 和m p 算法收敛性比较由图2 3 可知，在迭代次数相同的情况下，使用o m p 算法所得到的残差能量比m p 算法的衰减得更快，得到的重建信号也更能逼近原始信号。正则正交匹配追踪( r e g u l a r i z e do r t h o g o n a lm a t c h i n gp u r s u i t ，r o m p ) 算、法 1 3 对所有满足r i p 条件的矩阵和稀疏信号都可以精确重建。对稀疏度为k 的信号进行1 6雷达目标信号的稀疏建模研究重构时，r o m p 首先对原子进行一次筛选，通过求余量r 与观测矩阵m 中各个原子的内积的绝对值来计算相关系数u ，并把筛选出来的k 个原子的索引值存到候选集j 中以便进行原子的二次筛选。当采用正则化过程对原子进行二次筛选时，根据式( 2 - 3 4 ) ：i u ( o i 2 i u ( 歹) if ，j j( 2 3 4 )将j 中索引值对应的原子相关系数分成若干组，然后选择能量最大的一组相关系数对应的原子索引值存入j 。中。具体步骤如下：1 ) 预设稀疏度k 和残差精度g ，初始化信号残差r ( o ) = y ，索引集j = f 2 j ，人( o ) = f 2 j ，迭代次数，= l ；2 ) 在u = u f 路中寻找幅值最大的k 项索引集，记为j ，其中q = ( i f ( t - i ) o f ) ；3 ) 对j 中索引值对应原子的相关系数进行正则化，并将正则化结果存入j 。中，j 。中原子的相关系数满足式( 2 - 3 4 ) ；4 ) 更新m ，其中a t ) = a t u a o ；5 ) o = o ( ：，人) ，求y 在o ) 上的投影：a ( f ) = a r g m i n i l y - o n a l l 厶( 2 - 3 5 )6 ) 更新r = y - o a ，l e n g t h ( a ) 2 ka s j l r 忆f 时，x l ( 人) = a ”，i = 峨，迭代终止；否则t - - - t + l ，返回第2 ) 步。2 3 2b p 及其改进算法d d o n o h o 等人于1 9 9 9 年提出了基追踪算法( b a s i sp u r s u i t ，b p ) 1 1 4 j ，严格意义上来讲，b p 只是一种约束规则而不能称之为算法。由前面的分析知，信号的稀疏表示就是对式( 2 1 6 ) 进行求解，b p 是在式( 2 1 6 ) 的约束下，寻找使系数向量的范数最小的解，即对式( 2 3 6 ) 求解。m i n l i x l l ，s ，y = a x ( 2 - 3 6 )口易见上式与框架法有很大的相似之处，将上式中的厶范数最小化替换为厶范数最小化即为框架法。但两者实质是不同的，框架法解决的是线性约束下二次最优化求解问题，而b p 解决的是非二次凸优化问题。目前基追踪的求解算法主要有单纯形算法、内点算法、块松弛算法和快速加权迭代算法等，另外美国斯坦福大学的m i c h e a lg r a n t 和s t e p h e nb o y d 两位教授设计了m a t l a b 工具箱c v x ，专门用于求解诸如m i n l i x l l ，s j y = a x 之类的问题。然而式( 2 3 6 ) 所示的模型在含有噪声的情况下，不能够准确的恢复信号，如当第二章稀疏表示理论1 7y = a x + n 时，这里假定刀为高斯白噪声且0 叫j ， 仃。对式( 2 3 6 ) 作进一步改进，沿用b p 方法对噪声的抑制方法，得到基追踪降噪( b a s i sp u r s u i td e n o i s i n g ，b p d n )方法，修改其约束条件如下式所示：m 2 n l l x i l 。，s j i i a x y l ：盯( 2 - 3 7 )对上述最优化阔题进一步求解，就可以得到原始信号的重构。b p d n 算法致力于将信号的重建误差最小化，同时确保信号的表示是最稀疏的。而莎是控制允许误差和稀疏性之间的平衡的参数，式中仃0 代表了噪声在信号中的强度。若盯= 0 ，则b p d n 算法等同于b p 算法。2 3 3g p s r 算法凸松弛类算法重构信号时，所需的观测次数最少，但往往计算负担很重，如基追踪算法。但是，稀疏重构下的梯度投影( g r a d i e n tp r o j e c t i o nf o rs p a r s er e c o n s t r u c t i o n ，g p s r ) 算法t 3 9 】以高运算速度和良好的重建效果著称。g p s r 是基于，1 范数最小进行求解的算法，它的原子选择方式与m p 和o m p相同，都是采用贪婪的方式选取原子，即在每一步迭代过程中选择和当前残差内积绝对值最大的列作为新的原子；不同之处在于，它用沿负梯度方向搜索得到的最优解代替o m p 中的最小二乘解，是m p 算法和最速下降法的完美结合。在重建效果上，g p s r 与o m p 相当，而在计算量上和m p 相当。2 3 4l a s s o 算法r o b e r tt i b s h i r a n i 于1 9 9 6 年正式提出了l a s s o ( l e a s ta b s o l u t es h r i n k a g ea n ds e l e c t i o n0 律r a t o r ) 算法阳，其基本思想是在回归系数的绝对值之和小于一个常数的约束条件下，令残差平方和最小，从而能够产生某些严格等于零的回归系数。它是一种压缩估计方法，通过构造一个惩罚函数得到个较为精炼的模型，压缩一些系数的同时设定其他的系数为零。首先我们来考虑这样一个模型：假定已有数据( x ，只) ，i = l ，2 ，n ，其中x 7 = ( ) r 为预测因子， 为第，次观测的响应且关于条件独立；同时假定是标准化的，即n = 0 ，嘞2n = 1 。令夕= ( 磊，戽) r ，则l a s s o 估计定义为：1|i|rn1夕= a r g m i n ( 只一局) 2 j j j 局i f( 2 - 3 8 )li = lj这里，0 为调和参数，控制了估计中的缩小量。令为最，j , - - 乘估计且1 8雷达目标信号的稀疏建模研究岛= i 雳i ，则f f 0 则引起解向0 缩小，使得一些系数等于0 ，例如f = t o 2 相当于找到大小为p 2 的最佳子集。这也就是说，这样的约束不仅使得一些变量的作用减弱，而且起作用的变量个数也仅为原来的一半。实际上我们选择的调和参数t使得l a s s o 估计中非零参数的个数不超过m i n ( p ，n ) 个，这对于我们解决“p的问题很有用。2 3 5f o c u s s 算法f o c u s s ( f o c a lu n d e r d e t e r m i n e ds y s t e ms o l v e r ) 算法【4 3 】是一种非参数估计算法，它包含两部分：首先找到稀疏信号的低分辨估计，然后对这个低分辨解进行修正得到期望的稀疏估计。修正过程是通过使用几何尺度变换( a f f i n es c a l i n gt r a n s f o r m a t i o n ，a s t ) ，a s t 是通过已有的迭代解来计算目前解，每步迭代的解是通过最小化变换后变量的f 范数找到的【4 3 1 。考虑a x = 5 的情况，唯一的最小范数解可以通过x = a b 得到，但是不具备稀疏性。f o c u s s 是基于加权最小范数解的一种求解思路，加权最小范数解定义为1 1 w - 1 x ，其中w 是一个矩阵，由下式得到：x = w t a w ) t b( 2 - 3 9 )为深入讨论，重新定义加权最小范数解如下：j m i n l n “a w q2y(2-40)【x = w qf o c u s s 算法的特点是：w 是采用前次迭代所得的结果来构成对角阵，即w ：= a i a g x , 一。( 1 ) ，x k 一。( 2 ) ，一。( ) 】，写为代价函数的形式为：冲酬吲嚣 2可以看出加权结果是减小了强的分量在代价函数中所占的比重，代结果强者更强，弱者更弱，能量得到集中，从而得到稀疏解。2 3 6b c s 算法( 2 - 4 1 )因而使得迭贝叶斯压缩感知( b a y e s i a nc o m p r e s s i v es e n s i n g ，b c s ) 算法【4 8 】也是一种比较常用的信号恢复算法，它是用b a y e s 估计的观点对压缩感知进行解释，利用基于先验信息的b a y e s 后验概率框架来克服信号重构中的不确定性，并可以通过对观测矩阵的最优化设计来提高压缩性能。在该算法中，解的可信度可以通过微分熵来衡量，在已有观测的基础上，下一次最优的观测矢量应该使问题解的微分熵下降第二章稀疏表示理论1 9最快，它可以由已有的观测矢量和观测值唯一确定。由于对观测矩阵的最优化设计，b c s 与使用普通的随机观测矩阵相比，在同等观测次数的情况下，性能得到了很大提高，但是计算最优观测矢量需要很大的计算量，与贪婪算法相比耗费更多的时间。2 4 本章小结本章首先给出了信号稀疏表示的一般原理，指出了信号稀疏表示需要解决的两个问题：字典( 原子库) 构造和原子选择。接着分别对这两部分内容进行了详述，字典矩阵的构造主要给出了通用的g a b o r 字典构造方法和针对特定信号的匹配字典的构造方法，其中g a b o r 字典具有普遍适用性，但字典中原子数目比较大，相应的计算量也较大：匹配字典由于是根据信号的特征来设计的，因此原子数目有很大的减少，减轻了计算负担，同时根据雷达回波信号特征给出了其匹配字典的构造方法。原子选择的过程也就是对信号进行稀疏分解的过程，本章第三节详细介绍了信号稀疏分解最常用的匹配追踪和基追踪算法，并对它们的改进算法进行了讨论，同时对这两种算法的性能进行了对比分析，后面的章节中还将用到这几个算法。另外，还介绍了g p s r 、f o c u s s 和b c s 算法，并尝试着将l a s s o 算法应用到信号的稀疏分解领域，后面将用此算法对雷达回波信号进行d o a 估计。第三章雷达回波信号的稀疏分解第三章雷达回波信号的稀疏分解雷达接收机接收到回波信号后，就要从回波中提取有关的信息，以达到对目标的距离、速度、空间角度等参数进行测量的目的。在对雷达回波信号进行处理的过程中，为了估计地面目标的距离以及运动目标的速度，传统的做法是直接对回波脉冲串进行脉冲压缩( p c ) ，从而得到目标的位置；然后对脉压后的结果进行动目标显示( m t i ) 和动目标检澳i j ( m t d ) 来估计运动目标的运动速度。由第二章的理论我们得到启发，以发射信号的不同时延作为字典矩阵，采用匹配追踪算法( ) 对雷达回波信号进行稀疏分解，目标个数即为稀疏分解的稀疏度，根据稀疏分解的结果可以估计出静止目标的位置。得到静止目标的位置后，我们对静止目标进行滑动对消从而得到运动目标的位置，然后继续利用m p 分解算法来估计运动目标的运动速度。对于相控阵雷达，其回波信号模型为阵列信号的形式，根据阵列信号导向矢量的形式我们可以构造匹配字典，然后同样可以对相控阵雷达的回波进行稀疏分解，从而得到波达方i f i - j ( d o a ) 估计。本章是作者的研究工作，分别针对脉冲压缩雷达和相控阵雷达的回波信号特性构造字典矩阵，再利用2 3 节的稀疏表示方法对回波信号进行稀疏分解，从而估计出雷达目标的距离、速度、波达方向等参数。3 1 脉冲压缩雷达回波信号的稀疏分解假设我们发射的信号如下：s ( ，) = u ( t ) e 一，2 ”o l对于固定目标，其回波信号如式( 3 2 ) ：s ( t f ) = u ( t r ) e j 2 , t r o t 一7 ) u c t ) e j 2 ”而卜7 式中，f = r c ，r 为固定目标到雷达接收机的距离。而对于运动目标，由于多普勒频移的存在，因此它的回波信号为：( 3 - 1 )( 3 - 2 )s o f ) = u ( t r ) e 一，2 4 f o + 厶x 一7 ) u ( t ) e j 2 ”兀+ f s 一7 ( 3 - 3 )其中厶= 2 v 2 为多普勒频移，v 是运动目标的速度，z 是雷达工作波长。对上述回波信号进行脉冲压缩处理以后，固定目标对应的输出为：只= l u ( ) 1 2p ，2 咖( 3 - 4 )而运动目标的输出为：雷达目标信号的稀疏建模研究瓯= i u 钟e j 2 嘶e - j 2 斫。吖( 3 5 )由式( 3 - 4 ) 可知，同一固定目标的不同脉冲之间的回波是相同的。由式( 3 5 ) 可知，同一运动目标不同脉冲之间的回波由于附加多普勒频移而不同。上面给出了常规的脉冲压缩雷达的工作原理，接下来我们根据此原理对脉冲压缩雷达的回波信号进行建模仿真，通过对其稀疏分解实现对目标个数、距离以及运动目标速度的计算。3 1 1线性调频信号根据雷达体制的不同，可选用各种各样的信号形式，常见的有固定载频矩形脉冲调制信号波形、线性调频信号以及相位编码信号等。这里我们采用线性调频信号( l f m ) 进行仿真，以同时获得大的时间分辨率和距离分辨率。线性调频信号的数学表达式如式( 3 6 ) 所示：s ( f ) = r e c t ( t ) e j z z ( f o t + 喜? ( 3 - 6 )其中f o 为中心频率，k = b t 是调频斜率，b 为调频带宽，信号瞬时频率为j o k t 2 2 ，r e c t ( tid 为矩形信号如式( 3 - 7 ) ：删利t ，懿p 刀11 0 ，e 伽妇图3 1l f m 的时域波形和幅频特性假设发射信号的脉宽t = 4 2 s ，调频带宽b = 2 m h z ，于是信号的调频斜率第三章