（应用数学专业论文）双线性系统的最优控制.pdf

中文摘要 中文摘要 本文研究了类具有最坏扰动抑制的双线性系统的最优控制问题 双线性系统是形式上最简单且最接近线性系统的一类非线性系统双线性系统 在实践上有很多应用，工程、社会经济、生态、生物等过程中的很多对象都可以利 用双线性系统进行描述，这就使得双线性系统的研究变得很重要 双线性系统的控制律设计难度很大，最优控制问题更是如此而许多实际系统 中都存在着扰动，这使得研究具有扰动抑制的双线性系统的最优控制问题显得更为 重要 本文利用了非线性系统中关系度的知识对具有扰动抑制的双线性系统进行了局 部坐标变换，对系统进行了局部线性化处理，使得双线性系统的最优控制问题近似 的转换为具有扰动抑制的线性系统的最优控制问题，然后使用已有的结论得到原双 线性系统的最优控制，并同时得到了最坏扰动抑制仿真算例验证了此方法的高效 性 关键词：双线性系统；最坏扰动抑制；最优控制 a b s t r a c t t h i st h e s i sd i s c u s s e st h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l 锄o fac l a s so fb i l i n e a rs y s t e m s w i t ht h ew o r s td j s t u r b a n c er e j e c t i o n ab i l i n e a rs y s t e mj sa n o n l j i 】e a rs y s t e mw h i c hi st h es i m p l e s ti nf 0 衄a n dm o s t a p p r 嘶m a t et oal i n e a rs y s t e m b 1 i n e a r 墨”t e m si sa p p l j e di nm a n yp r a c t i s ea n di t c a nd e s c r i b em a n yp l a n t si n 朗舀n e e r i n g ，f o re x a m p l e ，t h es o c i e t ye c o n o i n y z o o l o 明 b i o l o 瞄e t c t h i sm a k e st h a tt h er e s e 8 础o f b i l i n e a rs y s t e m sb e c o m ev e r yi m p o r 七a n t t h ed e s i g no ft h ec o n t r o l l e ro fb i l i n e a rs y s t e 脚i sv e r y d i 伍c u l t y ，a n ds oi 8 o p t i m a lc o n t r o 】p r o b l e m s i n c em a r l ya c t u a ls y s t e m se 妇s td i s t u r b a n c e ，t h er e s e a r c h o fo p t i m a lc o n t r o lo f b _ i l i n e a rs y s t e i l l sw i t hd i s t u r b a n c er e j e c t i o ni sv e 珂i m p o r t a n t i nt h i st h e f ；i s ，b a s e do nt h ek n o l e d g eo fr e l a t i o ni nn o n l i n e a rs 对e 瑚，w em a k e t h ep a r t j a lc o o r d i n a t ea l t e r l a t et ot h eb i l i n e a rs y s t e m sw i t hd i s t u r b a n c er e i e c t i o n a n dt h ep a r t i 胡l i n e a r i z a t i o nt ot h es y s t e m ，w h i c h y i e l d st h eo p t i m a ic o n t r o ip r o b l e m 0 fac 1 8 s so fb i l i i l e a rs y s t e 璐i st r a n s f o n n e di n t ot h e o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mo fl i n e a r s y s t e i i l s 稍t hd i s t u r b a n c er e j e c t i o n u s i n gt h ee 】d s tc o n c l u s i o n ，t h eo r i g i n mo p t i m a l c o n t r o lp r o b l e mi sa t1 a s ts o l v e d a 出m u l a t i o nr e s u l td e m o n s t r a t e st h ee 骶c to ft h e p r o p o s e dm e t h o d k e y w o r d s ： b i l i n e a rs y s t e l s ；w o r s td i s t u r b a n c er e j e c t i o n ；o p t i m a lc o n t r o l i i 符号说明 月，b ， t 4 ( ) ，口( ) ，( ) ， r r “ r “n z ，z ( t ) ，x ( t ) u ，u ( t ) ，u ( 亡) y ，y ( t ) ，y ( ) ，f ，g 。g 未 4 一1 以丁 月 0 月0 c i c 2 l l c 2 l ，入( z ) l ；a ( z ) 岛l ，a ( a a 1 2 a m ( a ) t r a c e ( a ) 符号说明付丐现明 大写字母表示矩阵 时间 时变矩阵 实数域 所有实n 维列向量的全体 所有实m 礼矩阵的全体 系统的状态变量 系统的输入变量 系统的输出变量 非线性函数向量 岳z 矩阵a 的逆 矩阵a 的转置 矩阵月正定 矩阵a 半正定 属于 包含关系 向量z 的欧氏范数 可测函数的向量空间 ( f 洳圳z d t ) v 2 入沿向量场，的导数 将a 沿向量场，微分七次 先取入沿向量场，的导数，再取沿向量场9 的导数 矩阵4 的平方根 矩阵a 的最大特征值 矩阵月的迹 一v 一 黑龙江大学硕士学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料 学位论文作者躲汐金签字日期知锣年月吵日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人 授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文 学位论文作者签名：猡逸 签字日期游乡月z 1 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话； 邮编； 秒够 、私 心f-、(l水 啦沈 第1 章绪论 1 1 控制理论简介 第1 章绪论 迄今为止，控制理论的发展经历了古典( 经典) 控制理论和现代控制理论两个 重要的发展阶段，并进入了大系统理论和智能控制理论的第三个阶段我们重点介 绍一下前两个发展阶段 古典控制理论起源于2 0 世纪2 0 年代古典控制理论是具有下述特点的一门科 学【1 】： ( 1 ) 以单变量线性定常系统为主要研究对象； ( 2 ) 以频域法作为研究控制系统动态特性的主要方法； ( 3 ) 以各种图表，如n i c h l e s 图、b o d e 图、n y q u i s t 曲线、根轨迹、r d u t h 表 等作为系统分析和综合的主要工具 古典控制理论促进了二次世界大战中武器和通信自动化系统的研制工作，为武 器研制和设计提供了宝贵的技术资料，为战后的许多实际自动控制工程起到了良好 的指导作用，也为人类征服宇宙做出了贡献 到了2 0 世纪5 0 年代，随着生产力的发展，特别是近代航空及空间技术的发 展，对自动控制所提出的要求越来越高，而此时的控制系统也日趋复杂于是，那 种建立在传递函数、频率特性基础上的自动控制理论，即古典控制理论日益暴露出 其局限性面对客观实际所提出的种种亟待解决的理论问题，人们从问题的原始提 法出发，更加深入地讨论了控制系统内在的规律性，导致从变化后的频率域回到原 来的时间域，并由此建立了以状态空间法为基础的现代控制理论 现代控制理论以下述三个方面作为其形成的标志【l 】： ( 1 ) 用于系统的整个描述、分析和设计过程的状态空间方法； ( 2 ) 最优控制中的p o n t r i a g i n 极大值原理和b e l l m a n 动态规划； ( 3 ) 随机系统理论中的k a l m a n 滤波技术 现代控制理论的特点【l l ： ( 1 ) 以多变量线性系统和非线性系统为研究对象； ( 2 ) 以时域法，特别是以状态空间方法为主要研究方法； ( 3 ) 以现代数学为主要分析手段； ( 4 ) 以计算机为主要实现工具 黑龙江大学硕士学位论文 现代控制理论能处理的问题范围很广泛，它可以用来处理时变系统、非线性系 统、多输入多输出系统、分布参数系统、随机系统和离散系统的问题。现代控制理 论已逐步渗透到生产、生活、国防乃至规划、管理等许多领域，发挥着愈来愈大的 作用。 古典控制理论与现代控制理论虽各有特点，但二者密切相关【l j ： ( 1 ) 古典和现代控制理论从产生到发展至今在许多方面相互渗透； ( 2 ) 二者在单变量系统的分析和设计上是统一的，设计结果可在l a p l a c e 变换 及其逆变换下相互转化。 控制理论研究的对象足系统，而控制足指对系统的控制现代控制理论的研究 内容和分支很大程度上取决于系统的范畴 1 2 系统简介 系统是由相互关联和相互作用的若干部分按一定的规律组合而成的具有特定功 能的一个整体。工程、社会经济、生态、生物等过程中的很多对象都可以利用系统 进行描述正因为系统具有这样的实际应用价值，因此对系统的研究就必不可少 系统可分为动态系统和静态系统动态系统又称为动力学系统，其含义是含有 动力学行为，在模型描述上表现为含有系统变量的导数项或差分项，即系统模型可 用微分或差分方程来部分或完全描述静态系统的模型只是各变量间的代数方程 由于动态系统的实际应用较大，因此在系统与控制理论中，主要研究的是动态系统 1 1j 对于动态系统，有连续和离散之分凡用微分方程描述的系统称为连续系统；凡 用差分方程描述的系统称为离散系统对于连续和离散系统有线性和非线性之分凡 其模型描述中含有非线性微分或差分环节的系统称为非线性系统，而在其模型中只 含有线性微分或差分环节的系统称之为线性系统对于线性系统和非线性系统，又 有确定性和随机性之分凡在其模型描述中含有随机变量的系统称之为随机系统， 而在其模型中不含有随机变量、只含有确定性变量的系统称之为确定性系统对确 定性系统和随机系统进一步划分又有正常和奇异之分。正常系统是指在其模型描述 中状态变量的个数与微分或差分环节数目一致的系统；奇异系统是指那些模型中同 时含有状态的微分或差分方程和代数方程的系统奇异系统也常称为广义系统对 于正常系统和广义系统又都有单变量和多变量之分。凡是具有一个输入变量和一个 输出变量的系统称之为单变量系统，而凡是具有多个输入和一个或多个输出的系统 第1 章绪论 称之为多变量系统单变量系统和多变量系统又有定常和时变之分凡在其模型描 述中含有时变参数的系统称之为时变系统，凡在其模型描述中全部参数均于时间无 关的系统称之为定常系统或时不变系统。而对于定常系统和时变系统，又有确定和 不确定之分凡其模型完全确定、参数已知的系统称之为确定系统，而模型描述中 含有未知因素的系统称之为不确定系统 人们在研究和分析了不同类型的系统后形成了很多已被承认并通用的理论，如 线性系统理论、非线性系统理论、分布参数系统理论、随机系统理论、广义系统理 论、大系统理论、不确定系统理论、系统辨识、自适应控制、鲁棒控制等 1 3 非线性系统简介 连续非线性动态系统常用下列微分方程描述 x ( ) = f ( x ( t ) ，u ( t ) ，t )( 1 - l a ) y ( t ) = g ( x ( t ) ，v ( t ) ，t )( 1 - 1 b ) 其中x ( ) r “为状态向量，v ( ) 舻为输入向量。y ( z ) r ”为输出向量， 只g 为非线性函数向量，t 为时间 1 3 1 非线性控制系统研究的目的和意义 近代控制对象的本质一般都是非线性的且其运动是大范围的，如卫星定位与姿 态控制、机器人控制、精密数控机床的运动控制等，这类非线性系统的控制问题很 难用线性系统的理论来解决。同时，现代非线性科学所揭示的大量事实，如分叉、 混沌、奇异吸引子等均无法用线性系统理论来解释，这都需要在非线性控制理论及 其应用上取得突破 1 3 2非线性控制系统的研究现状及主要方法 非线性控制系统的研究几乎是与线性系统平行的非线性控制系统的研究方法 一般是针对具体的非线性控制系统，由简单到复杂、由特殊到一般发展起来的但 由于非线性系统本身包含的现象十分复杂，这些方法都有其局限性，不能成为分析 和设计非线性系统的通用方法近几年，非线性控制理论的研究受到了控制理论界 空前的关注，并且，计算机技术的飞速发展和数学工具的突破也为发展一般的非线 性控制理论提供了可能性 一3 一 黑龙江大学硕士学位论文 非线性控制的经典方法【2 】 1 相平面法 2 描述函数法 3 绝对稳定性理论 4 李亚普诺夫( l y a p u n o v ) 稳定性理论 5 输入输出稳定性理论 研究非线性系统理论的新方法 1 微分几何方法 2 微分代数方法 3 变结构控制理论 4 非线性控制系统的镇定设计 5 逆系统方法 6 神经网络方法 7 非线性频域控制理论 8 混沌动力学方法 1 4 双线性系统的数学描述 双线性系统是形式上最简单，且最接近线性系统的一类非线性系统。它是非线 性系统 x = f ( 以) x + ，( u ，t )( 1 - 2 a ) x = g ( x ，t ) u + 9 ( x ，t )( 1 - 2 b ) 的简化称系统( 1 - 2 a ) 为状态线性系统或变结构线性系统，称系统( 1 2 b ) 为输入 或控制线性系统，夕为非线性函数。 连续双线性系统的一般形式为 又= 月( ) x + m ( t ) x 阢+ b ( t ) u ( 1 - 3 a ) t = 1 y = c ( ) x( 1 3 b ) p 其中a ( ) 爬“”，b ( ) 腿“p ，c ( ) 酞n ，m ( ) x 以为双线性项 第1 章绪论 显然双线性系统的数学模型关于输入、状态或输出变量分别都是线性的，是在 线性系统的基础上增加了控制变量和状态变量的乘积项如果= o ，则( 1 - 3 ) 退 化为线性系统 1 4 1连续型双线性系统状态表达式 时不变的情况下，一般形式的多变量连续双线性系统的表达式为1 3 】 p 戈( t ) = a x ( ) + m x ( t ) u i ( ) + b u ( ) ， x ( t 。) = y ( t ) = c x ( t ) ( 1 - 4 a ) ( 1 4 b ) 其中x r “，u r p ，y r 分别为状态向量、控制向量和输出向量；4 ，t ，b ，c 为具有适当维数的常数矩阵，分别称为系统矩阵、双线性矩阵、输入矩阵和输出矩 阵 单变量双线性系统作为多变量的特殊情况具有以下状态表达式 x ( t ) = a x ( t ) + x ( t ) u ( t ) + 6 u ( z ) ，x ( o ) = y ( t ) = c r x ( ) 另有几种特殊情况 ( 1 ) 当b = o 时，称( 1 4 ) 为状态齐次双线性系统表达式为 ( 1 - 5 a ) ( 1 5 b ) p 又( t ) = ( a + m ( t ) ) x ( t ) ( 1 - 6 ) i = 1 ( 2 ) 当a = o 时，称( 1 4 ) 为输入齐次双线性系统表达式为 p x ( t )= ；x ( t ) 札i ( t ) + b u ( t ) t = 1 p = ( m x ( t ) + 玩) ，u ( t ) i = 1 其中阢是b 的第i 列 ( 3 ) 当月= o ，b = 0 时，称( 1 4 ) 为严格双线性系统表达式为 p 又( t ) = m x ( t ) u t ( ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 黑龙江大学硬士学位论文 这些特殊形式的双线性系统结构简单，便于分析并易于得到一些十分。漂亮” 的结果，因此在双线性系统研究的很多文献中都是基于这些特殊形式展开的它的 实际应用价值也很大，特别是在工程、生态、生物、社会经济等领域易于找到它们 的应用实例。 在文献中有时也出现如下形式的双线性系统 p 又( ) = 月x ( t ) + m x ( z ) u ( ) + j e i y ( ) ( 1 9 ) = 1 其中y r 。为与u 财独立的控制变量一般称矿为倍增控制向量，y 为叠 加控制变量。此类系统称为具有独立叠加和倍增控制向量的双线性系统 1 4 2 离散型双线性系统状态表达式 对应于( 1 5 ) 的离散型双线性系统的状态表达式为 p x ( 七+ 1 ) = a x ( 七) + 芝二t x ( 七) 讹( 七) + b u ( 七) ( 1 1 0 a ) t = l y ( 忌) = c x ( 七) ( 1 1 0 b ) 离散型双线系系统主要应用于数字控制或用数字计算机进行仿真分析和控制设 计，此时的时间变量考虑为离散变量 1 4 3 二者之间的转换关系 连续型双线性系统可通过离散化方法转换为离散型双线性系统离散化问题的 实质是，在一定的采样方式和保持方式下，由系统的连续状态空间描述导出其对应 的离散状态空间描述，并建立起两者系数矩阵之间的关系式离散化的方法包括近 似离散化和精确离散化两种方法近似离散化方法也称向前差分法，会使得原系统 方程仍然具有双线性形式，但这种方法只适用于采样周期较小的状况精确离散化 方法可使得原系统方程不再具有双线性结构，但双线性项的缺失会使离散化后得到 的系统可能损失掉原系统的某些信息，这会影响对离散化后的双线性系统的分析和 控制 1 5 双线性控制系统研究的目的和意义 由于双线性系统是形式上最简单且最接近线性系统的一类非线性系统，所以线 性系统中的一些理论和方法有可能移植或扩充到双线性系统此外，双线性系统具 第1 章绪论 有的特殊的变结构特性，使得其在可控性、最优化及建模等方面有着很强的优越性 【4 】： ( 1 ) 双线性系统的控制变量对状态变量的影响不仅反映在叠加控制( a d d i t i v e c o n t r 0 1 ) b ( ) v 上，还反映在倍增控制( m u l t i p l i c a t i v ec o n t r 0 1 ) ( t ) x v 上与仅有 叠加控制的线性系统相比，双线性系统的控制更为有效另外，对输入有约束的线性 系统而言，一般是不可控的，但对具有倍增控制的双线性系统却有可能是可控的 ( 2 ) r r m o h l e r i 叫等人已证明了双线性系统比线性系统在最优控制上有更好的 性能 ( 3 ) 许多非线性过程天然呈现控制变量与状态变量的乘积项，需进行双线性系 统建模以便研究 双线性系统在实践上有很多应用，由于核裂变等动态性能可以用双线性系统很 好的描述，因此r r ，m o h l e r 引等人利用其开展核反应器方面的工作并取得了成 功另外工程( 如化学、电气、机械等) 、社会经济、生态、生物等过程中的很多对 象都可以利用双线性系统进行描述不仅如此，由于双线性系统可近似许多非线性 系统，使得其近似精度比传统的线性近似精度要高很多，这就使得双线性控制系统 的研究变得更为重要 1 6 双线性系统的研究现状与前景 双线性系统的控制理论在很多方面都有相当的发展，特别是在结构特征、实现 理论、可控性、稳定化、最优控制等方面已有较好的结论或部分得到解决。双线性 系统有很多实际应用，如在生物、生态、社会经济等过程中【6 ，7 1 、工业中的核反应 器【6 1 、精馏塔阎，焦化塔1 9 1 、谷氨酸结晶生产过程i m 、随机水文学1 1 1 】等方 面 1 6 1 近几年国内外双线性系统研究简介 文献 1 2 】提出利用状态反馈控制器实现广义双线性系统容错控制的方法文 献【1 3 】研究了广义双线性系统稳定化控制的设计问题文献( 1 4 针对输入受约束的 广义双线性系统给出了用极点配置的方法来设计广义双线性系统状态观测器文献 1 1 5 】研究了一类参考输入由外系统描述的双线性系统的最优输出跟踪控制问题文 献f 1 6 1 研究了离散广义双线性系统在有界能量外部输入作用下的无源控制问题。 文献【1 7 】给出了双线性模型描述系统可辨识的充分条件文献【1 8 】研究了广义双 一7 一 黑龙江大学硕士学位论文 线性系统的故障诊断与容错控制文献【1 9 通过一个饱和状态反馈控制器给出了 一类离散双线性系统的全局渐进稳定文献 2 0 】处理了时变状态延迟的离散随机 双线性系统的稳定分析和静态输出反馈稳定问题文献【2 1 】研究了结构化双线性 系统一致观测的分析问题文献 2 2 】考虑了连续型双线性系统的参数估计问题，系 统辨识方法建立在数值积分和可分非线性最小二乘法的基础上文献【2 3 】考虑了样 本数据型时滞双线性系统的全局可控性文献【2 4 】对于一个离散中立稳定的双线 性系统，给出了一种基于使系统全局渐进稳定的非线性状态反馈控制另外。文献 1 2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 】也就双线性系统作了研究 1 6 2 近几年国内外双线性系统最优控制研究简介 在生产过程、军事行动、经济活动以及其它人类有目的的活动中，常常需要对 被控系统或被控过程施加某种控制作用使得某个性能指标达到最优，这种控制作用 称为最优控制美国学者贝尔曼( r r b e l l m a n ) 创立的。动态规划”理论和前苏 联学者庞特里亚金( p o n t r y a g i n ) 等创立的“极大值原理”为目前最优控制理论的两 个柱石最优控制理论渗透到生产、生活、国防、城市规划、智能交通、管理等许 多领域，发挥着愈来愈大的作用。最优控制理论是一个十分活跃的研究领域 使用最优化方法解决实际工程问题可分以下几步进行： ( 1 ) 根据所提出的最优化问题，建立对应的最优化问题的数学模型，确定变量 并给出约束条件和目标函数( 或性能指标) ； ( 2 ) 对所建立的数学模型进行具体的分析和研究，同时选择合适的最优化求解 方法； ( 3 ) 根据最优化方法的算法，列出程序框图和编写程序，用计算机求出最优解， 并对算法的收敛性、通用性、简便性、计算效率及误差等做出评价 在双线性系统控制中，最优控制是研究的较多的问题二十世纪九十年代就有 【2 9 ，3 0 ，3 l ，3 2 ，3 3 等文献对双线性系统的最优控制问题作了研究进入二十一世 纪，双线性系统的最优控制问题更是研究的热点之一文献 4 】研究了一般形式的 双线性连续系统和离散系统的最优控制文献【3 4 】对广义双线性系统的最优控制问 题进行了研究文献 3 5 】讨论了具有二次型目标函数的离散双线性系统的最优控制 问题，提出了一种两级最优控制算法，并证明了该算法的收敛性文献 3 6 】给出了 双线性系统下的量子系统最优控制文献【3 7 】研究了具有二次型性能指标的离散时 滞双线性系统最优控制问题文献 3 8 】将基于二次型性能指标的离散双线性系统最 优控制问题转化为动态规划问题，并用h o p f i e l d 神经网络方法求解文献【3 9 】考虑 第1 章绪论 了具有二次型性能指标的一类双线性系统的最优输出轨迹控制问题文献 4 0 】对于 具有二次型性能指标的离散双线性系统，应用逐次逼近方法设计最优控制调节器 文献 4 1 对于具有弱耦合双线性系统的开闭环平行最优控制问题使用了新算法文 献 4 2 j 考虑了一类具有双线性模型的反馈系统的p i d 控制器设计文献【4 3 通过 考虑由系统矩阵生成的李代数得到了双线性系统的最优控制文献 4 4 】考虑了一类 具有模糊参数的部分可观测的双线性系统的模糊最优控制问题。文献 4 5 研究了无 限维双线性系统的最优控制问题 1 6 3 近几年国内外带有扰动的最优控制问题研究简介 系统中常常存在扰动，扰动可能来自系统内部也可能来自系统外部，有持续的 扰动也有间断性扰动一般的系统都是在外界持续干扰力作用下工作的如热点、 冷点、太阳射线通过它的入射( 阴影) 所造成吸收和反射等除了完全未知动态的外 部扰动外，还有已知状态特性( 但可能未知初始条件) 的外部扰动如阶跃扰动， 斜坡扰动、正弦扰动和周期扰动，还有白噪声等等扰动造成了对系统性能的影响， 而具有这类扰动的系统往往有着广泛的应用背景，这给我们对系统的研究带来了很 大的影响和困难。为了保持或提高系统的性能常常要消除系统的扰动或降低扰动对 系统的影响，因此研究具有扰动的系统就具有重要的实际意义。对扰动抑制问题有 几种可行的控制方法，包括内模控制、自适应输出反馈控制等，目前又增加了在最 优意义下的扰动抑制问题的研究随着控制理论的不断发展及其实际应用范围的逐 步扩大，扰动问题的研究已成为其中的一个重要分支 对于具有扰动的非线性系统的最优控制研究已有很多成果【4 6 4 7 t4 8 ，4 9 ，5 0 ，5 “， 其方法都有可能应用到具有扰动的双线性系统的最优控制问题的研究中去而具有 扰动的双线性系统的最优控制问题国内外已经有了些研究成果。文献【5 2 研究了具 有奇异扰动的双线性系统的最优控制文献【5 3 研究了具有外界持续扰动作用下的 双线性系统的最优控制问题，关于二次型性能指标给出了一种设计最优扰动抑制控 制律的逐次逼近方法。文献【5 4 对带有性能指标的奇异扰动双线性系统提出了有限 时间和无限时间闭环复合控制算法文献【5 剐和【5 6 】都是对奇异受扰双线性系统 进行等价变换得到快慢子系统，通过对快慢子系统的最优控制求解得到了原系统的 次优控制 一9 一 黑龙江大学硕士学位论文 1 7 本文主要工作 目前，双线性系统控制理论已经有了相当的发展，在很多方面已有较好的结果， 或至少部分得到解决但对于具有扰动抑制的双线性系统的最优控制仍处于起步阶 段，有效成果不多，且多数成果为迭代算法，计算时间较长且难以应用 本文的主要工作是在已有的研究成果的基础上，利用非线性系统的相关知识， 将满足一定条件的一类具有扰动抑制的双线性系统的最优控制问题转化为具有扰动 的线性系统的二次型最优调节器问题，给出了其最优控制，从而求得原系统的近似 最优控制，并同时得到了最坏扰动抑制仿真算例验证了本方法的正确性 本文共分三个章节来阐述： 第一章为绪论，概括地介绍了控制理论与系统的基本知识、本文所研究的问题 的现状及本文研究问题的方法和意义先引入了非线性系统的基本概念，然后给出 了双线性系统的简介，其中包括双线性系统的连续和离散状态表达式及其相互转换 关系，双线性系统研究的目的和意义最后对双线性系统的国内外研究现状作了介 绍，并特别介绍了双线性系统最优控制的国内外研究现状。就系统普遍存在的扰动 问题进行了说明，指出了扰动问题研究的重要性，同时给出了国内外对双线性系统 扰动问题的研究简介。 第二章为本文的主体部分在本章中，利用了非线性系统中关系度的知识对具 有扰动抑制的双线性系统进行了局部坐标变换，对系统进行了局部线性化处理，使 得满足条件的双线性系统的最优控制问题近似的转换为具有扰动抑制的线性系统的 最优控制问题，通过已有的结论得到原双线性系统的最优控制，同时得到了最坏扰 动抑制本文对所研究的问题给出了明确的方法和结论，并依此方法做的仿真算例 说明了此方法的有效性 第三章为结论通过与其它相关文献的对比指出了本文方法的意义所在及其局 限性，并对所考虑问题的进一步研究作了展望 第2 章一类具有最坏扰动抑制的双线性系统的最优控制 第2 章一类具有最坏扰动抑制的双线性系统 的最优控制 2 1 问题描述 考虑区间 o ，。) 上的双线性时不变模型 性能指标为 圣= a z + z u + 比+ b 叫，z ( o ) = z o y = 危( z ) j = o 。( z t q z + ，u 丁兄扎) c f t ( 2 1 a ) ( 2 1 b ) ( 2 2 ) 其中q o ，r o ，z ( 亡) ucr n ，y ( t ) r ，叫( t ) r 。，t 正( t ) r ，z = r1 i ( z ) 比z ( z ) l 矗1 ( z ) l ，7 _ 礼，r 为系统( 2 - 1 ) 的关系度 假设系统( 2 1 ) 具有有界扰动 和有界初始条件 叫l | z 全( z o o 协t ( t ) 硼( c ) 出) 1 肛p ( 2 3 ) z 0 0 全( z 手z o ) 1 2 n 这里p o ，n 0 本文要解决的问题是寻找控制一干扰对( 札，u + ) 使得 j + = m i nm a x ， uu 其中j + 是当( u ，u ) = ( u + ，u + ) 时j 的值 2 2 预备知识 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 借助状态空间的形式，具有m 个输入u l ，u 2 ，u m 和p 个输出y 1 ，沈，绑 的多变量非线性系统可描述为以下形式 黑龙江大学硕士学位论文 圣= m ) + 三玑( z ) 玑= 玩( z ) ，1 i p r1t 这里假定状态z = iz lz 2 z 。l 属于舯中的一个开集【厂 描述方程( 2 6 ) 的映射，9 1 ，铷为定义在开集u 上的r “值映射；通 常，( z ) ，9 ( z ) ，( z ) 表示其在u 中特定点z 的取值为了表示方便，这 些映射可用实变量z - ，z z ，z n 的仡维实值函数的向量表示，即 厂( z ) = ( z 1 ， 止( z 1 ， 厶( z 1 ， z n z n z n 弧t f ，、l 眈t 仇( z ) = l l 饥 z n z n z n ( 2 - 7 ) 描述方程( 2 6 ) 的函数 1 ，也为定义在矿上的实值函数，而 1 ( z ) ， k ( z ) 表示在特定点z 上的取值。为了与式( 2 - 7 ) 在表达上相一致，这些函数可表 示成如下形式： i ( z ) = ；( z 1 ，z 。)( 2 8 ) 在以下的讨论中，我们都假定映射，9 1 ，饥和函数 1 ，k 在其所 讨论的域中是光滑的，即式( 2 - 7 ) 和式( 2 8 ) 中的所有元素均为具有任意阶连续偏导 数的z ，z 。的实值函数在某些情况下，这一假设可以用更强的假设替代， 即假设所讨论的函数在其定义域中是解析的 许多物理控制系统的例子都可以用形如( 2 6 ) 的方程来描述【57 1 注记2 1 对于状态空间描述但一砂，我们仅考虑空间 中的一个子集u ，而 不考虑整个r n 本身。原因在于方程本身可能会限制或者对输入所施加的某些特定 限制等等，都会影响我们所考虑的状态空间的范围当然，大多数情况下我们可设 u = 酞“ 2 2 1 微分运算 运算包括一个实值函数a 和一个向量场，两者均定义于r “的一个子集 上。定义一个新的光滑的实值函数，其在u 中的每个点z 处的值等于内积 第2 章一类具有最坏扰动抑制的双线性系统的最优控制 似州瑚= 跏) = 喜差施) 该函数称为入沿，的导数，通常记为l ，入( z ) 特别定义工；入( z ) = a ( z ) 重复使用这种运算是可能的如果将a 沿向量场，微分尼次，那么就可以用 符号l a 来表示，其满足递归式 l ；入( z ) = l ，( l ；一1 a ( z ) ) ， 七= 1 ，2 ， 如果先取a 沿向量场，的导数，再取沿向量场g 的导数，可定义新函数 己9 l ，a ( z ) = l g ( l ，a ( z ) ) 2 2 2 状态空间的坐标变换 状态空间的坐标变换是非线性系统控制分析中经常用到的方法它对突出系统 的某些特性( 如可达性和可观性等) 或者对于解决某些控制问题( 如稳定性或解耦 等) 起着极为重要的作用对于非线性系统考虑坐标变换更有意义非线性坐标变 换可描述为如下形式 圣cz，=(三至j)=(三；三：jjjj z n z n z n 它具有如下性质： ( 1 ) 圣( z ) 足可逆的，即存在函数圣q ( z ) 使得对于舯中的所有z 有 圣_ 1 ( 圣( z ) ) = z ( 2 ) 圣( z ) 和西- 1 ( z ) 均为光滑映射，即具有任意阶连续偏导数 这种类型的变换称为p 上的全局微分同胚第一条性质可使得逆变换成为可 能，并且初始状态向量由z = 圣- 1 ( z ) 恢复而第二条性质可确保在新坐标下系统 的表达式仍然是光滑的 黑龙江大学硕士学位论文 想要找到一个同时满足上述两条性质对所有z 都有定义的变换有时是很困难 的，而且在许多具体问题中，这些性质能否满足也难以检测因此，在大多数情况 下，我们仅研究在给定点的一个邻域内有定义的变换：局部微分同胚 坐标变换对非线性系统描述的影响如下令 将上式两边对时间微分有 z ( t ) = 中( z ( ) ) 孙) = 塞= 篆象= 筹叭雄) m 啪心) 】 将z ( ) 表示为z ( ) = 圣_ 1 ( z ( t ) ) 后可得 其中 2 ( t ) = 7 ( z ( t ) ) + 歹( z ( ) ) u ( t ) ( t ) = ( z ( t ) ) ，( z ) = 【筹，( z ) 】：( 。) 歹( z ) = 【罄夕( z ) 】。：一( ：) ( z ) = 【 ( z ) 士：垂一t 乜) 上式是将系统的新描述与初始描述相关联的表达式 通过状态空间中适当的坐标变换，单输入输出非线性系统可以局部给出一种特 别令人感兴趣的“标准形”，在这种形式的基础上可解决很多重要问题。它的出发 点足基于系统关系度的概念 定义2 2 称单输入单输出非线性系统 孟= ，( z ) + 9 ( z ) u y = ( z ) ( 2 - 9 a ) ( 2 9 b ) 在点z 。处具有关系度7 ，如果 ( i ) l 9 l ； ( z ) = o ，对z 。的一个邻域内的所有z 以及所有七 o ，以上解唯一存在 由上面引理做保证我们可得到以下定理。 定理2 1 0 考虑满足条件俾一_ f 彳) 具有性能指标偿- 纠的具有有界扰动抑制俾- 砂和有界初始条件偿一彳，) 的双线性系统偿一j ) ，假设( a ，b ) 和( a ，) 能稳， ( q 1 2 ，两能检测，则以下结论成立 俐存在控制调节器使得 j + = 入m ( p ) p 2 + p p 2 其中p o 满足( o ) i j p ，尸o 满足 p 五+ 矛p _ p ( 而胪雨_ r 一去豆鼢p + q = 。 并有 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 第2 章 一类具有最坏扰动抑制的双线性系统的最优控制 p = 务州p 秀伊p ) 】l 2 ( 2 - 3 1 ) 这里a 。= ( a 一r 一1 舻一( 1 儿) 百百t ) p ，并且k 满足李雅普诺夫方程 a 。+ k a + 磊哥= o 而为p 的最大特征值h 所对应的单位特征向量 俐在情况俐下，控制率 使得俾一彩在最坏扰动抑制 “：一r 一1 t p z 叫：三秀t p z 肛 和最坏初始条件俾一下获得最优值偿一2 纠 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 证明由本文前面所给运算及引理2 9 可得 上面定理给出的具有最坏扰动抑制的双线性系统的最优控制可总结为如下算 法： ( 1 ) 若 ( z ) 不满足( 2 一1 4 ) ，则该算法失效；否则构造系统( 2 1 6 ) ( 2 ) 选取一个较大的肋； ( 3 ) 解( 2 3 0 ) 式中的尸； ( 4 ) 求p 的最大特征值所对的单位特征向量磊，代入( 2 3 2 ) 式，求解； ( 5 ) 按( 2 3 1 ) 计算p 若p 肛o ，则取p o = p ，返回到( 3 ) ，如此计算，直到 按( 2 3 1 ) 得到的p = p o 停止计算 ( 6 ) 由上面计算所得的p 和，z ，我们可得到性能指标的最优值( 2 2 9 ) ，最优控 制律( 2 3 3 ) 和最坏扰动抑制( 2 3 4 ) 注记2 1 1 初始条件为忙( o ) | i 乜时，满足使得忙( o ) i | p 成立的正数多 数时候是存在的例如，设 ( z ) = c z( 2 3 5 ) 黑龙江大学硕士学位论文 则有 此时有 那么得到 其中 2 4 仿真算例 其中 z = 危( z ) 厂c z l a 。危( z ) g 4 z c a 2 z c a 7 一l z z ( o ) = z ( o ) 1 1 2 = z 吾 p 2 = a 。 给定时不变双线性系统 c g a c a 2 c a 7 一l c c a c a 2 g a 7 1 a c a c a 2 c a r 一1 g c a g a 2 c a r 一1 c c 4 c a 2 c a r 一1 ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) z o p 2 ， ( 2 3 8 ) z ( o ) 1 1 2 圣= 以z + z u + 乩+ b u ，z ( o ) = 。o y2z 2 2 2 一 ( 2 3 9 a ) ( 2 3 9 b ) p 舡 z r d 1。1 |；c洲胖一 第2 章 一类具有最坏扰动抑制的双线性系统的最优控制 = ( 三三三)6 = ( )000 1 求最优控制矿使得性能指标 z ( o ) i i l i l u l i z o 1 j = l ：2 + z 3 + 。a t 1 1 f b = lo 0 ko1 达到最小 对( 2 3 9 ) 部分线性化后得到一个2 阶的带绕动抑制的线性系统 其中 乏= a z + n 札+ b ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) 万= ( 三：)丙= ( ；)秀= ( 三：三) c 2 4 4 ， 同时得到忙( o ) | i 1 基于定理2 1 0 ，沿算法我们得到以下结果 p = 8 7 3 9 8 h ( p ) = 2 2 1 1 7 t 正= 一o 4 2 1 4 石2 1 4 4 2 5 2 3 u + = ( o 0 4 8 2 z z o 1 6 5 1 2 3 j + = 2 2 9 9 1 2 3 一 ( 2 4 5 a ) ( 2 4 5 b ) ( 2 - 4 5 c ) ( 2 - 4 5 d ) ( 2 4 5 e ) ( 2 - 4 5 f ) o42 lj，( 1 0 o 、l， 1 1 0 o 1 0 0 l有 = 巳 a 并 、l、 4 5 l 2 2 4 4 4 o l 8 4 0 l 8 2 9 4 1 0 = p 0 + 0 黑龙江大学硕士学位论文 注记2 1 2 在本算例的求解过程中，我们采用了文献 刚所给的矩阵r i c c a t i 方程的求解方法中的牛顿迭代法( t h ei t e r a t i v em e t h o do fn e w t o n ) ，配合本文中 所给算法，利用m 舢队l a b7 o 得到了此算例的计算结果 结论 结论 本文处理了具有扰动抑制的一类双线性系统的最优控制问题在此过程中，首 先应用了非线性系统的关系度，局部线性化等知识，得到了一个线性化的子系统， 通过对子系统的最优控制求解，近似地得到了带扰动的双线性系统的最优控制及最 坏扰动由于是近似化的结果，其精确度还有待研究在此之前，文