（应用数学专业论文）功能梯度材料有限宽板反平面断裂问题的理论研究.pdf

功能梯度材料有限宽板 反平面断裂问题的理论研究 摘要 近几年来，功能梯度材料的概念被引入到工程结构中来由于这种材料有很大的 优越性，因此，人们对功能梯度材料的研究越来越重视了其应用领域涉及航天、航 空、核能源、电子学、光学、化学和生物医学等领域，前景十分广阔从应用力学的 角度来看，功能梯度材料是非均匀体，其非均匀性对材料的力学性能有很大的影响 为了给材料科学家和材料设计和制备人员提供技术支持，许多学者己经在功能梯度 材料的力学性能的理论和实验研究上投入了相当大的精力但是，有关功能梯度材料 断裂力学的研究还很不够，而且目前在对无限长条功能梯度材料的研究中，一般都是 将材料参数采用指数函数形式，而很少见到别的函数形式为此，我们对无限长条 功能梯度材料的断裂力学问题进行了进一步探讨 本文首先对功能梯度材料的提出及其发展应用进行了阐述，然后假设材料参数 按双曲函数模型变化，运用积分变换一对偶积分方程方法，对有限宽各向同性功能 梯度材料板条i i i 型裂纹反平面加载下静态问题进行了研究；对有限宽正交各向异 性功能梯度材料板条i i i 型裂纹反平面加载下静态问题和运动裂纹问题分别进行了 研究最后借助m a t l a b 软件进行数值求解和图像模拟，得出了一系列结果，主要研 究过程和结果如下： 1 研究了无限长有限宽各向同性功能梯度材料中i i i 型裂纹的反平面静态断裂 问题结果显示，在板宽给定的情况下，裂纹越靠近中部，应力强度因子随着裂纹 位置而变化的幅度越小；裂纹越靠近板边，应力强度因子随着裂纹位置的变化越明 显因此，裂纹位置也是影响应力强度因子的因素之一 2 研究了无限长有限宽正交各向异性功能梯度材料中i i i 型裂纹的反平面静态 断裂问题结果显示，正交各向异性功能梯度材料中，随着材料不均匀系数的增大， 应力强度因子的值反而减小因此，通过增加平行于裂纹面方向的剪切模量可以抑 制裂纹扩展驱动力 3 研究了裂纹位置平行移动时无限长有限宽正交各向异性功能梯度材料中i i i 型裂纹的反平面静态断裂问题结果显示，裂纹位置对应力强度因子的影响，与各 向同性功能梯度材料中i i i 型裂纹中裂纹位置对应力强度因子的影响大致相同；应力 强度因子随着裂纹长度的增加而增加，随着材料梯度参数的增加而减小，并且随着 裂纹长度的增加，材料梯度参数对应力强度因子的影响是增大的 4 研究了无限长条功能梯度材料板条中y o f f e 型运动裂纹问题结果显示，动 应力强度因子随裂纹运动速度的增大而增大；随材料不均匀系数的增大而减小 关键词：有限宽板；功能梯度材料；反平面断裂：双曲函数；对偶积分方程；应力强 度因子 i i t h e o r e t i c a li n v e s t i g a t i o ni na f u n c t i o n a l l yg r a d i e n tm a t e r i a lw i t h f i n i t ew i d t h u n d e ra n t i p l a n ef r a c t u r ea n a l y s i s a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，t h ec o n c e p to ff u n c t i o n a l l yg r a t e dm a t e r i a l s ( f g m ) h a s b e e ni n t r o d u c e da n da p p l i e dt o e n g i n e e r i n gs t r u c t u r e s t h ea d v a n t a g e so f f g ma r et h a tt h em a t e r i a l sc o u l dr e s i s tc o r r o s i o n ，r a d i a t i o na n dh i g h t e m p e r a t u r e se f f e c t i v e l ya n d ，a tt h es a m et i m e ，t h er e s i d u a la n dt h e r m a l s t r e s s e sc o u l db er e l a x e ds i g n i f i c a n t l y p e o p l ep a ym o r ea n dm o r ea t t e n t i o nt o r e s e a r c hf g m i ti s e x p e c t e dt h a tf g mh a v ep r o m i s i n ga p p l i c a t i o n s i n a e r o s p a c ee n g i n e e r i n g ，n u c l e a rp o w e rp l a n t s ，e l e c t r o n i c s ，o p t i c s ，c h e m i c a l e n g i n e e r i n g ，b i o m e d i c i n ea n ds oo n f r o mt h ev i e w p o i n to fa p p l i e dm e c h a n i c s ，f g ma r en o n h o m o g e n e o u s s o l i d t h en o n h o m o g e n e o u so ff g mh a sa g r e a ti n f l u e n c eo n t h e i r m e c h a n i c a lb e h a v i o r t op r o v i d et e c h n i c a ls u p p o r tf o rm a t e r i a ls c i e n t i s t sa n d d e s i g na n dm a n u f a c t u r i n ge n g i n e e r i n ge n g i n e e r s ，s i g n i f i c a n ta t t e n t i o nh a s b e e np a i dt ov a r i o u st h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a la s p e c t so ft h em e c h a n i c a l b e h a v i o ro ff g m h o w e v e r ，t h es t u d i e so nf g m d y n a m i cf r a c t u r em e c h a n i c s a r en o te n o u g h ，e s p e c i a l l yf o rt h ep r o b l e m so nm o v i n ga n de x p a n d i n gc r a c k s a n dw a v e ss t r i k i n gc r a c k s i i i i nt h i s p a p e r , f i r s t t h e d e v e l o p m e n ta n di n t r o d u c t i o n o ff g ma r e e x p o u n d e d t h es t a t i cs t a t ec r a c kp r o b l e mo fm o d ei i ic r a c ki naf i n i t e i s o t h o t r o p i cf g ma n t i p l a n el o a d e da n dt h es t a t i cs t a t ea n dm o t o d a lc r a c k p r o b l e mo fm o d ei i ic r a c ki naf i n i t eo r t h o t r o p i cf g ma n t i - p l a n el o a d e da r e s t u d i e db yu s i n go fi n t e g r a lt r a n s f o r m s d u a li n t e g r a le q u a t i o n sm e t h o d t h e m a t e r i a lp a r a m e t e ri sa s s u m e dt oh y p e r b o l i cf u n c t i o n b yu s i n gw i t hm a t l a b s o f tw a r eas e r i e so fr e s u l t sa r eo b t a i n e d t h em a i ns t u d yp r o c e s sa n d p r o d u c t i o na r ea sf o l l o w s ： 1 m o d ei i is t a t i cs t a t ec r a c ka n t i - p l a n ef r a c t u r ep r o b l e mo ff i n i t es t r i p i s o t r o p i cf g mw a ss t u d i e d t h er e s u l t sd i s p l a yt h a tw i t ht h ef i x e dw i d t ho f t h es t r i pi ft h ec r a c ki sl o c a t e dn e a rt h em i d d l ep a r to ft h es t r i pt h er a n g eo f v a r i a t i o no ft h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o ri ss m a l l ，w h e nt h ec r a c ki sl o c a t e do i l t h ev e r g eo ft h es t r i pt h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o ri sv e r ys e n s i t i v et ot h ev a r i e t y o ft h ec r a c kl o c a t i o n 2 m o d ei i is t a t i cs t a t ec r a c ka n t i - p l a n ef r a c t u r ep r o b l e mo ff i n i t es t r i p o r t h o t r o p i cf g mw a ss t u d i e d t h er e s u l t sd i s p l a yt h a tw i t ht h ei n c r e a s i n go f c o e f f i c i e n to fi n h o m o g e n o u sm a t e r i a l ，t h ev a l u eo fs t r e s si n t e n s i t yf a c t o r d e c r e a s e s w i t ht h ei n c r e a s i n go fl e n g t ho ft h ec r a c k ，t h ev a l u eo fs t r e s s i n t e n s i t yf a c t o ri n c r e a s e s s ob yi n c r e a s i n gs h e a rm o d u l i sg r a d i e n tp a r a l l e l c r a c ks u r f a c eo ff g m c a nr e s t r a i nt h ed r i v i n gf o r c eo fc r a c ke x p a n d i n g 3 m o d ei i is t a t i cs t a t ec r a c ka n t i - p l a n ef r a c t u r ep r o b l e mo ff i n i t es t r i p i v o r t h o t r o p i cf g m w a ss t u d i e dw h e nt h el o c a t i o no ft h ec r a c km o v e s p a r a l l e l l y t h er e s u l t sd i s p l a yt h a tt h ei n f l u e n c eo fc r a c kl o c a t i o no nt h es t r e s si n t e n s i t y f a c t o ri sm o r el i k et ot h ec o n d i t i o no fm o d ei i is t a t i cs t a t ec r a c ka n t i p l a n e f r a c t u r ep r o b l e mo ff i n i t es t r i po r t h o t r o p i cf g m w ec a na l s ok n o wt h a tw i t h t h ei n c r e a s i n go fg r a d i e n tp a r a m e t e r ，t h ev a l u eo fs t r e s si n t e n s i t yf a c t o r d e c r e a s e s ，w i t ht h ei n c r e a s i n go fl e n g t ho ft h ec r a c k ，t h ev a l u eo fs t r e s s i n t e n s i t yf a c t o ri n c r e a s e s ，a l s ot h ei n f l u e n c eo fg r a d i e n tp a r a m e t e ro nt h e s t r e s si n t e n s i t yf a c t o ri sl a r g e r s ob yi n c r e a s i n gs h e a rm o d u l i sg r a d i e n t p a r a l l e l c r a c ks u r f a c eo ff g mc a nr e s t r a i nt h ed r i v i n gf o r c eo fc r a c k e x p a n d i n g 4 t h ed y n a m i cp r o b l e mo fy o f f et y p ei l lm o d ec r a c kw a ss t u d i e d s u b je c t e dt oa n t i p l a n es h e a ri m p a c ti nf i n i t eo r t h o t r o p i cf g m t h ed y n a m i c s t r e s si n t e n s i t yf a c t o rw i l li n c r e a s ew i t ht h ei n c r e a s eo ft h es p e e d ，i tw i l l d e c r e a s ew i t ht h ei n c r e a s eo fm a t e r i a l i n h o m o g e n o u sc o e f f i c i e n t s ob y i n c r e a s i n gs h e a rm o d u l i sg r a d i e n tp a r a l l e lc r a c ks u r f a c eo ff g m c a nr e s t r a i n t h ed r i v i n gf o r c eo fc r a c ke x p a n d i n g k e yw o r d s ：f i n i t ew i d es t r i p ；f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l s ；a n t i - p l a n e f r a c t u r e ；d u a li n t e g r a le q u a t i o n ；s t r e s si n t e n s i t yf a c t o r v 承诺书 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立完成的， 学位论文的知识产权属于太原科技大学如果今后以其他单位名义发表 与在读期间学位论文相关的内容，将承担法律责任除文中已经注明引用 的文献资料外，本学位论文不包括任何其他个人或集体已经发表或撰写 过的成果 学位论文作者滏章) ：张话午 2 0 0 8 年5 月1 6 日 绪论 绪论 0 1 课题的背景及意义 在现代科技社会，随着人们对结构综合质量的要求越来越高，新材料、新工艺 的不断涌现复合材料已在工程中得到广泛应用，然而传统的复合材料，由于由两 种或以上的不同均匀材料结合在_ 起而存在明显的界面，因此材料的物性参数如弹 性模量、热膨胀系数在该处不匹配，从而使得界面容易成为失效的源泉为了消除这 种弊端，满足航天、航空等高新技术领域对材料的特殊要求，专家学者们进一步探 索出了一种新的材料，即功能梯度材料与传统复合材料相比，功能梯度材料有如下 优势： 将功能梯度材料用作界面层来连接不相容的两种，可以大大地提高粘结强 度： 将功能梯度材料用作涂层和界面层可以减小残余应力和热应力： 将功能梯度材料用作涂层和界面层可以消除连接材料中界面交叉点以及应 力自由端点的应力奇异性： 用功能梯度材料代替传统的均匀材料涂层既可以增强连接强度也可以减小 裂纹驱动力 因此，功能梯度材料在工程中有着广阔的应用背景，深入研究功能梯度材料的 力学行为，对于功能梯度材料的实际设计、制造以及工程应用都有着十分重要的意 义 o 2 国内外功能梯度材料的发展历史 1 9 8 4 年前后日本材料学家首先提出功能梯度材料( f u n c t i o n a l l yg r a d em a t e r i a l s ， 简称f g m ) 的概念最早出现的功能梯度材料一面为耐高温的陶瓷，一面为高强度、 高韧性的金属，中间各层为不同混合比的陶瓷和金属或其它纤维这种材料不仅各过 渡层的组成、结构呈梯度变化，而且其性能，尤其隔热性能也是逐渐变化的这样就 可使在高温条件下表层材料( 如陶瓷) 和底层材料( 如金属) 之间热膨胀使失配导致的 热应力得到很大程度的缓解1 9 8 6 年日本科学技术协会主持进行了“发展缓解热应力 的功能梯度材料的基本技术”的可行性研究：1 9 8 7 年日本起动了国家项目“用于缓解 功能梯度材料有限宽板反平面断裂问题的理论研究 热应力的功能梯度材料发展的基本技术研究，作为功能梯度材料的第一阶段研 究：1 9 8 8 年2 月日本成立了在广阔范围内进行功能梯度材料研究开发的政府、学术界 和产业界的联合组织一功能梯度材料研究会，意欲将材料的梯度功能从单纯的机械 功能扩展到电气、光学、原子核和生物领域：1 9 9 0 年国际功能梯度材料顾问委员会在 日本仙台组织召开了第届功能梯度材料国际研讨会：1 9 9 2 年美国圣弗西斯克召开 了第二届功能梯度材料国际研讨会：1 9 9 4 年在瑞典召开了第三届功能梯度材料研讨 会：1 9 9 6 年在日本召开了第四届功能梯度材料研讨会这几次国际研讨会以及其它一 些有关功能梯度材料的专题研讨会( 如1 9 9 5 年日本一俄罗斯一乌克兰关于能量转换 材料专题研讨会) 有力地推动了功能梯度材料的发展1 9 9 3 年日本启动了题为“具有 功能梯度材料结构的能量转换材料的研究”的题目，进一步将功能梯度材料的概念 扩展到更广泛的领域近几年来，功能梯度材料逐渐引起国际科学界和工程晃的广泛 关注，美国，俄罗斯，德国，英国，瑞士，芬兰及乌克兰等国家也在不同的应用领 域开展了功能梯度材料的研究工作我国也开始认识到这一领域的重要性，在我国国 家自然科学委员会1 9 9 7 年编撰的自然科学学科发展战略研究报告“新型梯度功 能复合材料制备理论和技术研究”，梯度功能材料设计被列为我国5 - 1 0 年无机非金 属材料优先发展的基础研究项目他1 ，国家科委己将功能梯度材料的研究与开发列入国 家高技术“8 6 3 计划”b 3 金属和陶瓷组合的功能梯度材料能够充分发挥陶瓷耐高温、 抗腐蚀和金属强度高、韧性好的特点，还能很好地解决金属和陶瓷强行匹配而引起 的粘强度基底和热膨胀系数不协调等方面的问题随着功能梯度材料的研究和开发， 其用途由原来的航天工业扩大到核能源、电子、光学、化学和生物学等领域，其组 成也由原来的金属一陶瓷发展为金属合金、非金属一非金属、非金属一陶瓷等多种 组合，因此，功能梯度材料在工程中有广阔的应用前景 o 。3 功能梯度材料的分类及研究中的热点问题 o 3 1 功能梯度材料的分类 从应用领域看，功能梯度材料可分为以下几类： ( 1 ) 耐热功能梯度材料 耐热功能梯度材料是功能梯度材料的主要组成部分它以陶瓷金属组合为主，主 要应用于航天工业、核能源等领域由于航天飞机在进出大气层的过程中机头尖端和 2 绪论 机翼前沿可达n 1 6 0 0 度的温度，同时作为航天飞机机体的超耐材料要具有高的强度 有效地应用功能梯度材料的特点，可以很好地满足航天工业的要求另外，航天飞机 推进系统的燃烧器负荷极大，而且要有高可靠性、耐久性、长寿命而目前的发动机 受高温负荷以及由此而产生的热应力影响，其使用寿命受到很大限制 ( 2 ) 生物功能梯度材料 动物的牙齿、骨头、关节等都是无机材料和有机材料的完美组合，重量轻、韧 性好、硬度高用功能梯度材料制作的牙齿、骨头、关节等可以较好地接近以上要求 例如应用功能梯度材料制成的牙齿埋入生物体内部的部分由多空质且和人体有良好 的相容性的陶瓷组成，由外向里气孔减少漏出的外部是硬度高的陶瓷材料组成，为 保持强度，中心部分由高韧性的陶瓷组成 ( 3 ) 化学功能梯度材料 此种材料主要用于化学工业中的高性能分离膜和催化剂，以及耐腐蚀的反应容 器 ( 4 ) 电子功能梯度材料 梯度制造技术非常适合制造电子元件，如基板一体化、二维复合电子产品等 此外，地球表面以下的地质材料( 如土壤、沙、岩石等) ，其弹性性能的变化与其距 离地表的深度有关，也是一种天然的梯度材料随着各个领域对材料性能要求的提 高，功能梯度材料的概念可以不断地推广，利用更加完善的制备工艺将有可能将更 广阔范围的不同物质进行梯度复合，提高其使用性能 0 3 2 功能梯度材料研究中的热点问题 随着功能梯度材料巨大潜在的应用价值被发现，功能梯度材料得到了广泛的研 究，目前主要有以下几个方面： 首先是功能梯度材料的设计方面，美国的政策性报告9 0 年代材料科学与工程 认为现代材料研究体系包含4 要素：材料的固有性质、材料的结构与成分、材料的使 用性能与材料的合成与加工可以看出：从材料的制备到试用都是材料设计的工作范 围，功能梯度材料的设计有别于传统的材料设计方法功能梯度材料的设计目的是为 了获得最优化的材料组成和组分分布，美国和日本把功能梯度材料的设计作为功能 梯度材料研究的主要方向之一功能梯度材料的设计主要通过计算机辅助设计系统， 根据规定的所要设计构件的形状和工作要求，选择可能合成的材料组配和适当的制 3 功能梯度材料有限宽板反平面断裂问题的理论研究 造方法进而根据材料的物性参数及控制梯度化的适宜条件，进行温度分布分析和热 应力分析，以探索应力的最小的组分分部形状及材料组配目前，这方面的研究目标 主要是建立功能梯度材料体系准确的计算模型和完善功能梯度材料体系的专家系统 和设计数据库国内张联盟等在某些功能梯度材料优化设计方面作了一些工作r 3 在热应力方面，目前日本在这方面处于领先位置，其中以n n o d a 为首的研究小 组和以y t a n i g a w a 为首的研究小组所做的工作最多、最全面、提出的方法最具代表 性插1 n n o d a 等主要研究了功能梯度材料无限长板，功能梯度材料空心圆筒及功能 梯度材料空心球的稳态和瞬态一维热传导及相应的热弹性应力问题他们在研究中 所采用的方法为：一是对问题的简化，如只考虑一维热传导问题：二是假定功能梯度 材料的物性参数沿材料厚度方向任意变化，并将其表示为体积组分和孔隙率的函数 为了弄清影响功能梯度材料物体热应力的诸多因素，n n o d a d e n g 等的系列论文讨论了 下述问题：组成材料的体积组分与温度和热应力之间的关系：如何使功能梯度材料物 体中热应力减到最小的优化技术：物性参数随温度的变化及不同边界条件对热应力 分布的影响该研究组具体运用的解法有：变量变换法、积分法、摄动法和拉氏变换 法y t a n i g a w a 等主要研究了非均匀材料的瞬态热弹性应力问题，其研究论文涉及面 广，影响较大该研究组的研究论文主要涉及的是具有非均匀材料性质的各种物体在 各种不同热源下的瞬时热弹性应力分析和对热应力的缓和问题他们的作法主要是 将非均匀物体沿其厚度分层，只考虑非均匀性质呈一维形式变化例如，对于象板、 圆柱壳这样具有一定厚度的分析模型，假设这些非均匀物体是由无数层面组成，各 层面均垂直于厚度方向，而且假设每一层面的材料性质是均匀的，而邻近的层面具 有稍微不同的材料常数值因此，借助于层间界面的连续性条件，并假定材料厚度方 向的非均匀性质呈任意变化规律，从而，从分析解的角度便能够求解热传导和相应 的热弹性应力控制方程利用上述将非均匀物体分层使得控制方程线性化的近似方 法，可以解决几乎所有的由非均匀材料组成的规则分析模型的热应力问题：消除或降 低功能梯度材料中的残余应力是获得可靠功能梯度材料的关键，它是目前功能梯度 材料理论研究的重要内容日本的一些学者对功能梯度材料残余应力特性进行了研 究他们选用z r 0 。n i 基合金复合材料的梯度接合和直接结合，利用有限元分析发现： 梯度结合可以使均匀加热导致的残余应力低于直接结合功能梯度材料的成分在厚 度方向上的变化对材料中的残余应力也存在着密切关系美国r a v i c h a r d r a n 采用热膨 4 绪论 胀相差比较大的材料对不同成分变化状态下的残余应力进行研究，确定梯度材料组 分变化函数于残余热应力之间的关系，结果表明：材料组分线形变化的功能梯度材料 的残余应力比较小 功能梯度材料的研究目标最初是用作新型航天飞机的热应力缓和型超耐热材料 随着核能、电子、化学、光学、电磁学、生物医学乃至日常生活领域对材料性能要 求的提高，功能梯度材料的概念就可引入这些领域，利用更加完善的制备工艺就有 可能将更加广阔范围的不同物质( 如金属、陶瓷、塑料、玻璃、水泥等) 进行梯度复 合，提高其使用性能畸1 0 4 功能梯度材料断裂力学研究现状 由于功能梯度材料有许多方面的良好性能，国际上对功能梯度材料的研究给以 了充分重视而且功能梯度材料作为一种全新的材料，仍处于不断发展阶段，为了给 材料科学家，材料设计和制造工程师提供技术支持，为了在新材料开发中充分发挥 功能梯度材料的某些优越性，对功能梯度材料的力学研究显得非常重要从力学研究 的角度来看，功能梯度材料最突出的特点是非均匀性，这不仅体现在它的热机性能 上，也体现在它的强度相关特性上，如屈服强度、断裂韧性、疲劳强度、蠕变性能 盘譬 碍f 一般层状复合材料、纤维增强复合材料，其材料物性参数是空间坐标的非连续函 数材料物性参数的非连续性导致这类材料中界面裂纹以及与界面相交的裂纹尖端 的奇异性不同于内埋于均匀材料的裂纹尖端所表现的奇异性而功能梯度材料的最 突出的特点是其材料物性参数是空间坐标的连续函数，并且该函数一般是可导 的d e l a l e 和e r o g a n 在1 9 8 3 年就预测：对于材料物性参数变化是连续且连续可导的非均 匀材料，其裂纹尖端应力奇异性将等于均匀材料 3 随后，他们对非均匀材料平面裂 纹型问题进行了分析，采用的材料物性参数模型为指数形式，求解方法为积分变换 一奇异积分技术，最后的结果证明他们的预测是正确的事实上，早在1 9 5 8 年就有人 提出用指数模型或幕级数模型对与非均匀材料相关的问题进行研究1 后来，k a s s i r 等人对非均匀半空间b o u s s i n e s q 问题和接触问题进行了研究拇12 i 相关的半空间扭转 问题在p r o t s e n k a 和k a s s i r 的论文中也研究了此问题n 卜1 4 3 他们采用的材料物性参数模 型都是指数模型或幂指数模型值得一提的是，k a s s i r 在1 9 7 2 年研究了代圆形裂纹的 非均匀柱体的扭转n 引，d h a l i w a l 等研究了非均匀材料反平面问题n 引 5 功能梯度材料有限宽板反平面断裂问题的理论研究 1 9 8 5 年e r d o g 觚又对粘合的非均匀材料反平面裂纹问题进行了研究口 ，结果表明： 即使弹性模量的导数不连续，只要材料的弹性模量是连续的，那么裂纹尖端应力奇 异性仍等同于均匀材料情形后来，d l a v e 和e r d o g a n n8 ，e r d o g a n ，k a y a 和j o s e p h n 鲫以及 k o n d a 幂i e r d o g a n t 2 0 g v j - i i i 型载荷条件下的裂纹问题的研究，e r d o g a n 胁1 等以及k o n d a 和 e r d g o a n 瞳2 1 对平面裂纹问题的研究，o z t i k 和e r d o g a l l 以及f i l d i s 和y a s h i 对轴对称硬币 型裂纹的研究和对有限宽板裂纹问题的研究口3 屯5 1 ，后来李永东进一步对有限宽板问题 进行了研究邹振祝、王旭跃、李春雨等对平面裂纹和扭转裂纹问题的研究陋3 ，都进 一步证明了弹性模量的连续变化的非均匀材料裂纹尖端应力奇异性保持与均匀材料 的裂纹尖端应力奇异性相同 材料的非均匀性对表面裂纹及与界面相交裂纹的断裂力学参数有很大的影 响e r d o g a n 等研究了裂纹垂直与功能梯度材料界面或与界面相交的情况心1 i ，他们采 用奇异积分方程技术，最后得出：材料物性参数连续的情况下，裂纹尖端奇异性为标 准的平方根倒数形式，应力状态的反常现象可以消除e r d o g a n 和w u 研究了功能梯度 材料板条裂纹问题汹1 ，考虑了各种不同的载荷条件，对材料非均匀性对应力强度因子 的影响进行了比较仔细的分析 目前，有关功能梯度材料动态断裂力学研究的还不是很多王保林、韩杰才等对 非均匀复合材料反平面裂纹问题 3 2 - 3 3 和动态载荷作用下的硬币型裂纹问题4 3 司进行 了研究他们采用将非均匀材料沿厚度方向分层的方法，每一单层材料参数假设为常 数，利用l a p l a c e 及f o u r i e r 变换求解各单层的运动方程，再利用刚度矩阵方法表达界 面应力与界面位错密度函数的关系，推出了控制问题的奇异积分方程组，最后利用 虚位移原理得出了裂纹尖端的动应力强度因子和能量释放率李春雨等利用他们提出 的剪切模量双参数模型对功能梯度材料的反平面问题、扭转问题、进行了静态分析 和冲击响应的分析口，其中利用f o u r i e r ，l a p l a c e ，h a n k 变换，将运动方程变为第一类标 准的修正b e s s e l 微分方程，对方程求解后代入边界条件得到了对偶积分方程利用 s c h m i d t 法求解对偶积分方程得出了裂纹的位移场，应力场，给出了剪切模量参数对 应力强度因子的影响l o y , n g 3 6 - 3 s 1 等人对圆柱壳的动载荷问题进行了研究，b r u c h 口引， h a n h 们对弹性波入射下的功能梯度材料做了些探讨m e g u i d 等利用f o u r i e r 变换和 h e b y s h e v 多项式方法，对功能梯度材料运动裂纹问题进行了理论分析和数值计算h ， 并讨论了梯度对裂纹尖端应力的影响近年来，李春雨等利用积分变换方法研究了 6 绪论 含圆柱状裂纹的功能梯度材料在扭转冲击载荷作用下的动力学问题，分析了对应条 件下的应力强度因子h 2 _ 制，鼬m 利用材料物性为连续模型，通过有限元方法，对正交 各向异性功能梯度材料含任意角度裂纹问题进行了分析，并计算了不均匀参数对应 力强度因子的影响h5 | r o u s s e a ua n dt i p p u r 研究了裂纹平行于梯度方向的功能梯度材 料受弯矩作用时，裂纹尖端的应力强度因子m 1 0 5 本文研究的主要内容及数学方法 o 5 1 本文研究的主要内容 从以上对功能梯度材料及其研究现状的分析可以看出，在研究功能梯度材料的静 态问题中，参数模型通常采用指数函数这类比较简单的类型，鉴于这种情况，本文 参数模型采用双曲函数形式来对功能梯度材料有限宽板的静态问题进行了研究，并 对功能梯度有限宽板条中的运动裂纹进行了研究，并得出了相应的结果 绪论对功能梯度材料的发展及研究现状进行了阐述 第一章材料物性参数模型采用双曲函数模型，对各向同性功能梯度材料有限宽 板中的静态裂纹反平面断裂问题进行了研究 第二章材料物性参数模型采用双曲函数模型，对正交各向异性功能梯度材料有 限宽板中的静态裂纹反平面断裂问题进行了研究 第三章材料物性参数模型采用双曲函数模型，对正交各向异性功能梯度材料有 限宽板中的y o f f e 型运动裂纹进行了研究 o 5 2 本文研究的主要数学方法 本文在研究过程中，始终采用双曲函数模型来对每个问题进行推导分析在研究 无限长有限宽功能梯度材料板条的反平面静态问题以及运动裂纹问题时，先利用 f o u r i e r 变换求解功能梯度材料的基本方程，然后采用积分变换一对偶积分方程方法， 将偏微分方程分别化成标准的修正贝塞尔微分方程，进而化成对偶积分方程，借助 c o p s o n 方法将问题求解并借助m a t l a b 软件对积分方程进行了数值求解，进一步运 用m a t l a b 软件对所得结果进行模拟分析，这样数形结合，很容易就看到最后结果的变 化趋势，使得文章容易理解，同时还具有说服力 7 第一章各向蚓性功能梯度材料有限宽板的反5 r 面断裂分析 第一章各向同性功能梯度材料有限宽板的反平面断裂分析 1 1 引言 功能梯度材料最突出的特点是非均匀性，作为一种全新的材料，仍处于不断 发展阶段在功能梯度材料断裂力学研究中，反平面裂纹问题是工程中普遍存在的 一类问题目前对于有限宽板功能梯度材料静态反平面的断裂研究中，一般只考虑 材料的非均匀性参数对应力强度因子的影响，很少考虑功能梯度材料板条裂纹位 置对应力强度因子是否影响但是李永东通过指数模型进一步研究，发现这些确实 影响应力强度因子“刀功能梯度材料的物性参数变化形式可以为任意函数形式，因 此通常将材料物性参数假设为空间坐标的某种特定函数，如指数函数、幂函数、 线性函数等本章将通过双曲函数模型来研究各向同性功能梯度材料板条反平面 断裂问题 1 2 各向同性功能梯度材料板条反平面断裂问题 1 2 1 材料物性参数模型及偏微分方程的导出 图l 所示为宽度为h 的无限长功能梯度材料板条，其中在离下表面距离为办l 的 平面上有一条长为2 口的裂纹 图1 各向同性功能梯度材料板条含有限长裂纹 f i g 1i s o t r o p i cf g m w i t hf i n i t el e n g t hc r a c k 如图1 所示建立的直角坐标系，假设材料的剪切模量是y 的如下函数： 如) 2 赢 ( 1 1 ) 其中a 是材料梯度参数，地是材料板条在y = 0 处的剪切模量 9 功能梯度塑垫查堡童堡垦兰亘堑型塑垦塑堡笙婴窒一 - _ - _ _ - p 一一 非零厦力分重如卜： 铲触) 老铲时) 考； ( 1 2 设y ：o 平面上裂纹面受反平面剪切载荷f 。作用，相应的有如下边界条件： f m ( x ，而一 ) ：f f ( x ，一j i l l ) = 0 x ( a 。，+ o o ) ( 1 3 a ) f 。( x ，o ) ：町。 x 口，口) ( 1 3 b ) f 弦( x ，4 0 ) ：r 声( x ，- - o ) x ( ，十o o ) ( 1 3 c ) w ( x ，0 ) = 0 x 仨( - a ，口) ( 1 3 d ) f 。( x ，一魄) ：0 x ( 埘，佃) ( 1 3 e ) 反平面问题的平衡方程为： 丝+ 笠：o ( 1 4 ) 缸 砂 将( 1 1 ) 式、( 1 2 ) 式代入( 1 。4 ) 式后得到： 塑一 垡塑+ 堡：0 ( 1 5 ) 一一- t 。一 一。 o x 2 1 + a ( y + q ) 砂 砂 1 2 2 对偶积分方程的导出 对( 1 5 ) 式关于x 作f o u r i e r 余弦变换，可得如下方程： 了a z u ( s , y ) 一* _ a u ( s , y ) 一s w ( s , y ) _ 0 ( 1 6 ) -_-_一一一 r ，一 砂21 + a ( y + 扛) 砂 其中，u ( j ，力为反平面位移吣，y ) 关于x 的如下f o u r i e r 余弦变换： 毗力= 吾f 朋c 。s ( s x ) d s ( 1 7 ) 做适当变量代换，令 l ，2 了赢x = s 【1 + a ( y + 扛 可以得到 o g - 仉【1 + 础删詈 q 8 曲 c wu y 罟嘲蔷+ 【1 州y 】等 q 8 将( 1 s a ) 式、( 1 8 b ) 式代入( 1 6 ) 式，得到 1 0 第一章各向同性功能梯度材料有限宽板的反甲面断裂分析 歹d 2 y + 丽a 万d y 一 高“) y = 。砂21 + a ( y + 扛) 方 、【1 + a ( y + 矗) r 。 方程( 1 9 ) 为标准的修正b e s s e l 微分方程，其在变换域内的通解为 u ( s ，y ) = 4 ( s ) ，l ( 毒) 【l + a + 扛) 】+ 4 ( 5 ) k 。( 毒) 1 + a ( y + 啊) 】 ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 其中考：些丛趔，( 髻) 和k ( 考) 分别为第一类和第二类修正贝塞尔函数， a 4 ( j ) 、4 ( j ) 为关于j 待定多项式 将( 1 1 0 ) 式代入( 1 7 ) 式可得： w ( 工，y ) = 一2f “( j ) ( 考) 【1 + a ( y + 扛) 】+ 4 ( s ) k ( 毒) 【l + a + | 1 2 1 ) 】 c o s ) 丞 ( 1 1 1 ) 将( 1 1 1 ) 式代入( 1 2 ) 式中的应力分量，得： ( 葺y ) = 赢昙f 缸4 ( 占) ( 善) + 叫( s ) ( 毒) 【l + a ( y + 啊) 】+ a 4 ( s ) 蜀( 考) ( 1 1 2 ) + 4 ( j ) ( 毒) 1 + a ( y + ) 1 c o s ( s x ) d s 程： 以w ) = 一南j 2 。f a l ( 毗( 烈( y 圳】+ 碘) 础) ( 1 1 3 ) 【1 + a ( y + h 1 ) s i n ( s x ) d s 由( 1 1 1 ) 式和( 1 1 2 ) 式以及边界条件( 1 3 b ) 和( 1 3 d ) ，可得到一组对偶积分方 点b 。c 。s ( 麟凼= o 。x 专- ：矗、 ( 1 1 4 ) j i s b ( s ) g ( s ) c 。s ( 置x ) a b = 一掣 xl a 。1 11 兵甲， 盘( s ) ：4 ( s ) 掣】+ 4 ( s ) 墨掣】， a口 口4 ( s ) 厶【删1 + 瞄( s ) 【删】( 1 + 口如) 取。2 i 蒜萼琢蕊茚 s 4 ( s ) 【业】+ 4 ( s ) k 【? 】 。口舭) 墨掣】+ 啪) 兰! 竺坐型 s s ) 【删】+ 4 ( s ) 墨 掣】) aa 熔( 1 3 e ) 式代入( 1 1 3 ) 式有： ( 1 1 5 a ) ( 1 1 5 b ) 塑墼塑鏖塑型查堕童堡垦兰亘堑型塑里堕望笙堑窒 - - - - - _ _ _ 。i - l - _ - _ _ - _ _ _ _ - i _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ l - _ _ _ _ - - _ _ _ - _ _ _ - - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ 。- _ _ _ _ i _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ - 。_ 。_ 。1 。一一一。 啪，圳=