（应用数学专业论文）利率期限结构模型及其在融资决策问题中的应用.pdf

y6 1 0 1 3 0 利率期限结构模型及其在融资决策问题中的应用 马晓丽 摘要金融数学足一门新兴的边缘科学，是数学与金融学的交叉其核心问 题是不确定环境下的最优投资策略的选择理论和资产定价理论而短期利率对金 融资产定价和金融风险管理有着决定性的影响，所以利率期限结构模型以及利率 的行为特征一直以来就是金融学研究的重点本文在回顾利率期限结构理论近二十 年发展历程的基础上，对这一领域的主要研究成果进行了简要的总结和探讨主 要做了以下几方面的工作： 第一，介绍利率期限结构的有关概念、定义和相关的金融背景 第二，传统的利率期限结构模型主要集中于研究收益率曲线的形状及其形成 的原因本文介绍了传统利率期限结构的几种理论，并对各种理论的特点做了比 较现代利率期限结构的研究与利率衍生证券的定价是密不可分的因此，本文 对常用离散时间和连续时间的利率期限结构模型分别进行了分析，并结合债券的 定价问题，得出了各模型的优缺点 第三，新型的利率期限结构模型的目的是将依赖于状态变量数的短期利率动 态化所造成的不确定的多源因素包涵到模型中，用现代数学的方法对利率行为加 以研究本文在c h a n ，k a r o l y i ，l o n g s t a f f a n ds a n d e r s 等人【2 ”提出的连续时问模型 统一框架的基础上，讨论了一系列水平模型的特点，这些模型显示了利率变动的 条件均值和条件方差与利率水平之间的关系利率的结构转换模型是对v a s i c e k 模型和c i r 模型的推广本文对这三种模型进行了分析和比较，利用中国金融 市场上银行间同业拆借利率的数据，对加入结构转换变量的g a r c h 利率期限结 构模型做了实证分析，发现利率结构转换模型更适合中国金融市场上利率行为的 特点随机跳跃过程模型考虑了金融市场上稀有事件对股票价格、期权定价等问 题的影响，将利率的动态过程分为连续部分和跳跃部分，用b r o w n 运动来描述金 融资产的价格过程是连续的，而用跳跃部分来描述不可预测的随机事件对这种连 续性的破坏本文从理论上探讨了用p o i s s o n 过程和l e v y 过程描述跳跃部分的利 率动态模型，并和扩散过程下的模型作了比较，得到随机跳跃过程模型只是多了 一个跳跃项，且这一模型是由一个具有均值回复特性的o r n s t e i n u h l e n b e k 过程 和p o i s s o n 过程混合而成的 第四，鞅方法的基本思想是先选取适当的随机贴现因子，便利率衍生产品 的价格除以贴现因子后得到相对价格，而这一相对价格过程在风险中性测度p + 下是一个鞅过程本文从零息债券的鞅表示法出发，探讨了在确定短期利率的模 型后，偏微分方程法( p d e 法) 和鞅方法结果的一致性，但鞅方法更直观，更 容易求解，也更便于应用从而得到了个更一般化的结论，它是对h u r l ，w h i t e 模型的推广并利用其结论从理论上讨论了如何将利率期限结构模型用于企业的 融资决策问题 关键词：利率期限结构套利鞅风险中性测度随机过程 t e ! r ms t r u c t u r em o d e l so fi n t e r e s tr a t ea n dt h e i r a p p l i c a t i o n si nf i n a n c i n ga n dp o l i c yd e c i s i o np r o b l e m m ax i a o l i a b s t r a c tf i n a n c em a t h e m a t i c si san e wb i - d i s c i p l i n a r ys c i e n c e a n di sa i n t e r s e c t i o nb e t w e e nm a t h e m a t i c sa n df i n a n c e ，t h e i rk e yp r o b l e m sa r et h ec h o i c e t h e o r yo fo p t i m a ls t r a t e g yf o ri n v e s t m e n ta n dt h ep r i c i n gt h e o r yo fa s s e t s a n ds h o r t i n t e r e s tr a t eh a sad e t e r m i n a t i v ei m p o r t a n c et ot h ep r i c i n go ff i n a n c i a la s s e t sa n dr i s k m a n a g e m e n t s s ot e r ms t r u c t u r em o d e l so fi n t e r e s tr a t ea n dc h a r a c t e r i s t i c so ft h e b e h a v i o ro fi n t e r e s tr a t ea r ea l w a y saf o c a lp o i n tt of i n a n c i a lr e s e a r c h e si nt h i sp a p e r , r e c a l l i n gt h ed e v e l o p m e n tp r o c e s sa b o u tt h et e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t ei nt w e n t y y e a r s ，t h ea u t h o rw a n t st og e tac l e a rs e q u e n c eo fi d e a si n a l lk i n d so fc o m p l i c a t e m a t h e m a t i c sm o d e l s ，a n dg i v e sab r i e fs u m m a r yt ot h em a j o rr e s e a r c h e sa c h i e v e m e n t s i nt h i sf i e l d m a i n l yt h e r ea r et h ef o l l o w i n gc o n t e n t s ： f i r s t ，i n t r o d u c es o m ec o n c e p t i o n s ，d e f i n i t i o n sa n dr e l a t i o n a lb a c k g r o u n d si n f i n a n c e ， s e c o n d ，t r a d i t i o n a lt e r ms t r u c t u r em o d e l so fi n t e r e s tr a t ef o c u so nw h a tt h ey i e l d c u r v e ss h a p ei sa n dh o wi tf o r m st h ea r t i c l ei n t r o d u c ef o u rt h e o r i e sa n dc o m p a r e s t h e i rc h a r a c t e r i s t i c st h er e s e a r c ho nt h em o d e r nt e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t ei s r e l a t i v et ot h ep r i c i n go fd e r i v a t i v e s t h e r e f o r e ，t h ep a p e ra n a l y s e st h e s em o d e l s w h i c ha r eo f t e nu s e dd i s c r e t et i m ea n dc o n t i n u o u st i m e ，c o m b i n i n gt h ep r o b l e ma b o u t t h ep r i c i n go f b o n d ，a n dg e t st h e i ra d v a n t a g e sa n ds h o r t c o m i n g si nt h e o r y t h i r d n e wt e r ms t r u c t u r em o d e l so fi n t e r e s tr a t ei n c l u d es o m eu n c e r t a i n m u l t i - f a c t o r s ，w h i c ht h ed y n a m i cs t a t eo fs h o r ti n t e r e s tr a t ed e p e n d so nt h ev a r i a b l e a b o u ts t a t e ，a n dr e s e a r c h i n gt h eb e h a v i o ro fi n t e r e s tr a t eb ym o d e r nm a t h e m a t i c a l m e t h o d s i no r d e rt od e s c r i b et h er a n d o mb e h a v i o ro fi n t e r e s tr a t e ，t h ee s s a yd i s c u s s e s as e r i e so fc h a r a c t e r i s t i c sa b o u tl e v e lm o d e l sb a s e do nc h a ne t ct h e s em o d e l ss h o w t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nc o n d i t i o n a lm e a na n dv a r i a n c eo ft h ev o l a t i l i t yo fi n t e r e s t r a t ea n dt h el e v e lo fi n t e r e s tr a t e t h er e g i m e s w i t c h i n gm o d e la b o u ti n t e r e s tr a t e e x t e n d sv a s i c e ka n dc i rm o d e l s t h ee s s a yc o m p a r e st h e ma n df i n d st h a tt h ef o r m e r i sm o r es u i t a b l et ot h eb e h a v i o ro fi n t e r e s tr a t ei nc h i n af i n a n c i a im a r k e tt h a no t h e r s t h es t o c h a s t i cp r o c e s sw i t hj u m p sc o n s i d e r st h o s er a r ee v e n t sw h i c hh a v ea f f e c to n s t o c kp r i c e ，t h ep r i c i n go fo p t i o na n ds oo n ，t h ed y n a m i cs t a t eo fi n t e r e s tr a t ei s d i v i d e di n t oc o n t i n u o u sa n dd i s c o n t i n u o u s ( j u m p ) p r o c e s s e s t h ea r t i c l ed i s c u s s e st h e d y n a m i cm o d e lo fi n t e r e s tr a t ew i t hp o i s s o np r o c e s sa n dl e v yp r o c e s si nt h e o r y , a n dc o n t r a s t i n gw i t ht h o s em o d e l su n d e rd i f f i t s i o np r o c e s s t h ea r t i c l eg e t st h e f o r m e ro n l ya d d sa p a r tw i t hj u m p ，a n dt h em o d e li sm a d eu po fo r n s t e i n u h l e n b e k p r o c e s sw i t ht h ec h a r a c t e r i s t i co f m e a nr e v e r s i o na n dp o i s s o np r o c e s s f o u r t h ，t h ef u n d a m e n t a lt h o u g h to fm a r t i n g a l em e t h o di sh o wt oe l e c tas u i t a b l e s t o c h a s t i cd i s c o u n t e df a c t o r , s u c ht h a tt h ep r i c eo fo t h e rd e r i v a t i v e sd i v i d e db y d i s c o u n t e df a c t o re q u a l st h er e l a t i v ep r i c e a c c o r d i n gt or e p r e s e n t a t i o no fm a r t i n g a l e m e t h o do fz e r o - c o u p o nb o n d ，t h ep a p e rd i s c u s s e st h ec o n s i s t e n c yo f t e r ms t r u c t u r eo f i n t e r e s tr a t ea n dh o wt ou s et h e mt os o l v et h ef i n a n c i n ga n dp o l i c yd e c i s i o np r o b l e m i ne n t e r p r i s e k e yw o r d s ：t e r ms t r u c t u r eo f i n t e r e s tr a t ea r b i t r a g em a r t i n g a l e r i s k n e u t r a lm e a s u r e s t o c h a s t i cp r o c e s s i v 第一章绪论 本章主要介绍本文所涉及到的有关利率期限结构的概念、定义、背景以及聊f 究的目的、内容和意义 1 1 利率概述 作为货币资金的价格，利率总是一个备受关注的重要经济变量对于个人而 言，利率水平的变动会影响人们消费支出和投资决策的意愿；对企业和公司而言， 利率水平的变动会影响其融资成本和投资回报率；对政府和货币当局而言，利率 是调节宏观经济运行最有效的经济杠杆，可以毫不夸张地说，利率问题是金融市 场上最基础、最核心的问题之一，几乎所有的金融现象都与利率有着或多或少的 联系 1 1 1 利率的定义 诺贝尔经济学奖( 1 9 7 0 ) 得主p a s a m u e l s o n 教授( 1 9 8 0 ) 在e c o n o m i c s 一书第四 部分第3 0 节中给出了无风险竞争市场条件下的利率( i n t e r e s tr a t e ) 定义【15 】：“在任 何无风险或所有风险因素已被考虑从而所有风险均用特别保险费加以防范和补偿 的竞争市场中，市场利率( t h em a r k e tr a t eo fi n t e r e s t ) 是各种年收益率，或是任何一 种无风险贷款的报酬率，或是任何一种无风险债券或证券的收益率，或是任何一 种资本资产f 如机器、酒店、专利1 价值的回报率” 西方经济学认为：利率是可供借贷资本的使用价格，它由这些资本的供求关 系所诀定从供给方面看，利率取决于借贷资本的供给成本，即延期消费的报酬从 需求方面看，利率取决于资本的边际生产力 根据西方经济学的定义，资本( c a p i t a l ) 是人们生产出来并被用作投入的生产要 素，以便进一步生产物品和提供服务资本包括生产过程中使用的厂房、机器、 设备、工具和原材料等等对种类繁多的资本的需求必然导致对货币( m o n e y ) ( 或资 金( f u n d s ) ) 的需求，所以资本又被理解为用于购买或支配各种资本货物( c a p i t a l g o o d s ) 的货币( 资金) 因此，利率也经常被简称为“货币( 或资金) 的使用价值”例 如b a u m o l - - b l i n d e r ( 1 9 8 0 ) 的e c o n o m i c s - - p r i n c i p l e sa n dp o l i c y 一书第九章第3 5 节 “p r i c i n gt h ef a c t o r so fp r o d u c t i o n ”用一句话概括了利率的定义：“t h er a t eo f i n t e r e s ti st h ep r i c ea tw h i c hf u n d scanb er e n t e d ( b o r r o w e d ) ”其中文译为：“利率是 可供借贷资金的价格”而j o h n s o n ( 1 9 9 3 ) 的f i n a n c i a li n s t i t u t i o n sa n dm a r k e t s - - a g l o b a lp e r s p e c t i v e 一书第八章从金融角度给出了利率的简短定义：“t h eb a s i c c o m m o d i t yt h a tf i n a n c i a li n s t i t u t e st r a d ea m o n gt h e m s e l v e sa n d w i t ho t h e r si sm o n e y ， a n dt h ep r i c eo f m o n e yi st h ei n t e r e s tr a t e ”译为中文是“金融机构之间以及金融机 构与其它机构之问进行交易的基本商品是货币，而货币的价格是利率” 1 1 2 利率的表示方法 刹率有多种具体的表示方法，按照计息频率可以分为三类： 1 、单利 所谓单利，是指只给本金计算利息，而对前期已经产生的利息在后期不冉计 算利息具体的讲，设当前时刻为f ，年利率为r ，则对于本金为p ，的一笔资金， 在到期时刻丁收到的现金流为： b 训+ ，笔嚣) 其中关于生息天数和一年所包括的基准天数的具体计算银行实务中有3 6 6 0 、 3 吵3 6 0 、3 嘣6 5 等多种方法我国目前银行普通的存贷款计息均采用该方法 2 、复利 复利是指前期赚取的利息在后期会赚取附加利息即前期的利息将自动进行再 投资在到期时刻，收到的现金流辟为： b = p ，( 1 + 二) ” 其中m 为每年计息的次数，一为以年为单位的到期期限 3 、连续复利 连续复利是指复利中每年计息次数珊趋于无穷大时的一种人为设定的情 况具体讲，在到期时刻7 1 收到的现金流只为： p t = p f e x p ( r ) 该计息方法是进行金融学术研究最常用的方法，对于一般性或从实际中抽象 出来的金融理论问题，具体计息次数m 按无穷大处理 1 1 3 零息债券与附息债券 零息债券( z e r o c o u p o nb o n d ) ，又称为贴现债券( p u r ed i s c o u n tb o n d ) ，它是一 种以低于面值的贴现形式发行，不支付利息，到期按面值偿付的债券债券发行 价格与面值之问的差额就是投资者的利息收入如美国的短期国库券、储蓄债券 等 附息债券( c o u p o nb e a r i n gb o n d ) ：是一种附有息票的债券，其发行人在债券到 期曰之前必须每年向债券持有人定期支付固定金额的利息，在债券到期日，还必 须偿付债券面值如中长期国库券、公司债券等 2 1 1 4 即期利率与远期利率 即期利率和远期利率在期货、期权和其它衍生金融工具的定价中是十分重要 的一对概念下面在复利概念的基础上，对这两个概念作一简单的介绍 即期利率：是指从目前时点开始计算的未来一定限期的利率水平例如：如 果目前投资的i 元本金在一年末的累积值为10 5 ，那就意味着1 年期的即期利率为 ( 1 0 5 1 ：5 如果目前投资的1 元在两年末的累积值为i1 ，那么在复利条件下，可以由下 式求得2 年期的即期利率为： l ( 1 + f ) 2 = 1 1 因此2 年期的即期利率为i = 1 1 一l = 4 8 8 更一般地，如果目前投资的a ( 0 ) 元本金在f 年末的累积值为a ( t ) ，那么相应的 债券r 年期的即期利率由下式确定： 彳( o ) ( 1 + ，) = 一( ，) u p t 年期的即期利率为：f = f 看罴i 一1 可以看出，这里所谓的即期利率，也就是零息债券( 到期一次性支付本息的债 券) 的到期收益率 远期利率：是指未来两个时点之间的利率水平，是由一系列即期利率所确定 的例如：如果1 年期的即期利率是5 ，2 年期的即期利率是5 2 ，那么其隐含的 第一年末到第二年末的远期利率i 可以根据下式确定，即 ( i + 5 ) ( i + ，) = ( 1 + 5 2 ) 2 解此方程可得第一年末到第二年末的远期利率i = 5 4 更一般地，假设从现在开始，在时刻，到期的即期利率是i ，在时刻j 到期的 即期利率是( 其中j ，) ，那么从时刻，到时刻j 的远期利率可以通过下述方程求 得： ( 1 + i t ) ( 1 + f ) ”；( 1 + f ，) 5 注；上式只适用于每年结转一次利息的情况，在一年结转多次利息的名义利率 条件下，首先应该把名义利率转化为每年结转次利息的实际利率，再用上式i 十 算远期利率 1 1 5 利率行为特征描述 利率也是遵循某种连续时间的随机过程，但是利率和股价行为不同，两者的一 个重要差别是随着时间的推移，利率呈现出向某个长期水平收敛的趋势，这个特 性被称为均值回复特性( 如图1 1 所示) ：当，较高时，均值回复现象使，具有负的 漂移率；当r 较低时，则会使r 具有正的漂移率因此，不宜将利率行为拙述成类 似于股价的几何布朗运动 r o 图1 1 利率的均值回复现象 针对利率的均值回复特征，v a s i c e k 【1 1 ( 1 9 7 7 ) 提出一个模型，该模型认为利率以 速率a 拉向b 水平，并同时加入一正态随机项盯d w ，具体表达式为： d r = a ( b - r ) d t + o d w 其中，d w 为标准w i n n e r 过程 但v a s i c e k 模型的缺点在于利率有可能变为负值随后c o x ，i n g e r s o l l ，a n d r o s s 川( 1 9 8 5 ) 提出的模型克服了这一点，并二指出利率的标准差应正比于析； h u l l w h i t e ( 1 9 9 0 ) 的研究结果进一步表明利率的标准差为一个变 量h o l e e l 4 1 ( 1 9 8 6 ) 又指出利率的行为特征与风险市场价格( t h em a r k e tp r i c eo f r i s k ) 有关并且，他们以其利率模型为基础，得到了一个关于面值为z 的零息普 通债券v ( r ，f ) 的统一表达式： v ( r n = z e 讹7 ) 一。( ，7 从上述的研究结果，可得到关于利率的随机模型设利率满足1 t o 过程 ( i t op r o c e s s ) ，五( ，s ，) 为市场的风险价格，则其表达式如下： d r = u ( r ，o a t + c o ( r ，t ) a w 其中，u ( r ，t ) 为利率的漂移率，且， ( r ，f ) = - y ( t ) r + 叩( ，) + 旯( r ，s ，f ) 口o ) r p ( o c o ( r ，) 为利率的波动率，且 ( ，) = j 、c t ( t ) r p ( o 该模型满足上述的利率特征 1 2 研究内容 本文的研究内容可用图i 2 表示： 5 1 3 研究目的及意义 利率期限结构理论和模型是金融研究中最具挑战性的课题之一本文的目的是 通过回顾利率期限结构理论近二十年来的发展历程，试图在各种复杂的数学模型 中理出一个清晰的脉络，并对这一领域的主要研究成果做一简要的总结和进一步 的探讨 利率作为基本的经济变量之一，历来就是金融学研究的重点特别是短期利率， 它直接影响着各种固定收益证券及其衍生产品的定价由于无风险短期利率常被 看作主要的参考利率，所以短期利率对于利率风险管理、资产定价、收益率曲线 的分析是相当重要的同时，短期利率在货币政策传导中也处于主要地位因此， 学者们提出了许多利率期限结构模型来解释短期利率的行为例如v a s i c e k 模型， c o x ，i n g e r s o l l ，a n dr o s s ( 简称c m ) 模型，c h a n ，k a r o l y i ，l o n g s t a f f a n ds a n d e r s 模 型等，还利用美国国库券收益率的数据对主要的模型进行了实证分析和比较，得 出了各种模型的优缺点，为实证研究提供了有力的理论依据 然而，由于我国金融机构利率风险管理的意识还比较薄弱，国内对利率期限结 构模型的研究还停留在简单介绍和定性分析的层次因此，无论是从理论研究的 角度，还是从实际应用的角度，我们都需要对利率期限结构模型进行深入的研 究。随着中国金融市场的发展，新的金融产品在不断的推出，由此而产生的定价 问题自然成了人们关注的焦点所以如何把国际上已有的理论方法与中国金融市 场的具体情况相结合，提出适合中国金融市场的利率模型就显得尤为重要于是， 本文从这一点出发，分析和比较了一系列常用的利率期限结构模型，利用。l - 1 固银 行间同业拆借利率数据对加入结构转换变量的g a r c h 模型进行了实证分析，发 现该模型能更好地描述中国金融市场上利率的行为特征并从零息债券的鞅表示 法出发，讨论了利率期限结构模型的一致性问题，并将其结论应用到融资决策中， 对解决实际问题有一定的参考意义 6 第二章利率期限结构的理论基础 利率的期限结构( t e r ms t r u c t u r eo fi n s t e r e s tr a t o ( 或简称为期限结构) 的定义可 参见“f i n a n c ei n s t i t u t i o n sa n dm a r k e t s - ag 1 0 b a lp e r s p e s p e c t i v e ”的第四章：“t h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt i m e ( t e r m ) a n di n t e r e s tr a t e ”译成中文即为：“时间( 期限1 与利率之间的关系”具体是指在某一时点，各种不同期限国债的利率( 即到期年 收益率m e l dt om a t u r i t y ) ) 与到期期5 艮( t e r mt om a t u r i t y ) 之间的关系 由上述定义可见，研究期限结构就是研究利率与时间( 期限) 的函数关系收益 率曲线是描述利率期限结构的重要工具在图表上是指可观察到的不同形状的收 益率曲线一般来说，收益率曲线形状大致有4 种情况，即向上倾斜的、向下倾 斜的、拱形的和平坦直线型的利率期限结构理论就是要说明是什么因素决定了 收益率曲线的不同形状严格来说，利率期限结构和收益率曲线还是有区别的， 但在零息票国债的情况下两者是相同的 利率期限结构理论的发展可以分为两个阶段：传统的利率期限结构理论和现 代的利率期限结构理论。4 1 “”】利率期限结构理论的最新发展主要表现在三方 面：其一是对各利率期限结构理论之间关系的阐述；其二是从实证研究角度对各 利率期限结构理论进行检验；其三是出现了全新的利率期限结构理论，或者说是 一种新的建模方法，即随机过程分析方法 2 1 传统的利率期限结构理论 传统的利率结构理论主要集中于研究收益率曲线形状及其形成的原因，在历 史上有关的4 种理论引起了人们的注意：无偏预期理论( t h eu n b i a s e de x p e c t a t i o n t h e o 叻、流动性偏好理论( t h el i q u i d r yp r e f e r e n c et h e o r y ) 、市场分割理论( t h em a r k e t s e g m e n t a t i o nt h e o r y ) 、优先置产理论( t h ep r e f e r r e dh a b i t a tt h e o r y ) 下面分别给予阐 述： 2 1 _ l 无偏预期理论 首先由伊文费歇尔( i r v i n gf i s h e r , 1 8 9 6 ) 提出，是最古老的期限结构理论，也是 最著名、最容易应用的、定量化的期限结构理论该理论认为，长期债券的预期 平均年收益是预期短期利率的几何平均预期的未来短期利率等于收益率曲线隐 含的远期利率，收益率曲线的形状是由预期决定的收益率曲线向上倾斜表明投 资者短期利率将变高；而收益率曲线向下倾斜则表明投资者预期短期利率将变低； 如果投资者预期短期利率保持不变，收益率曲线就应该是平坦的既然收益曲线 7 已经隐含了预期的短期利率，那么对投资者而言，持有一个2 0 年期的投资，也就 是2 0 个连续的1 年期投资系列，与持有两个连续的1 0 年期投资应该是没有区别的， 根据这一理论，我们可以计算出一个预期的短期即期利率数列反过来，作为 个整体，它们可以产生收益率曲线所表示的任何给定期限的市场利率 其中：一：，时间零息票利率； 。f 。：f 一1 到f 期间的隐含远期利率 我们就可以把零息票利率分解为一个隐含远期利率数列对于筇一个短期期 问，远期利率等于零息票利率因此，我们有： ( 1 + ) 。之( 1 + ) ( 1 + 1 ) ( 1 + 2 工) ( 1 + ，一l 工) 该方程可以简化为下述形式，以计算连续期间的隐含远期利率： t - i j 产是等一l 产面i 严叫 预期假说解释了长期利率与短期利率一起变动的原因一般而言，短期利率 有这样个特征，即短期利率水平如果今天上升，那么往往在未来会更高吲此， 短期利率水平的捉商会使人们划。短期利率的预期也棚应捉商山于k ；i l j j 利! f - + l l 当 于预期的短期利率的平均数，因此短期利率水平的上升也会使长期利率上升，从 而导致短期利率与长期利率同方向变动然而，无偏预期理论有一缺点，即它忽 视了债券投资中所包含的风险因素，认为远期利率进而远期价格是确定的但事 实上，由于再投资风险和价格风险两方面的原因，债券到期价格是不确定的，这 样远期利率也就无法确定因此没有考虑风险因素是无偏预期理论的最大缺陷 2 1 2 流动陛偏好理论 为了包括风险因素，j r 希克斯( j r h i c k s ，1 9 3 9 ) 和j m 卡尔博特森( j m c u l b e r t s o n ，1 9 5 7 ) 对无偏预期理论进行了修正他们认为短期债券的流动性比长期 债券要高，这是因为：( 1 ) 短期债券到期并获得清偿的期限较短；( 2 ) 市场变化导致 的价格波动比长期债券要少得多，因而更易于定价流动性理论认为长期债券的 持有者会要求获得一个超过将来利率平均值的风险溢价，且该溢价同到期期限成 正比，也就是说该远期利率必须同时反映利率预期和流动性溢价f 实际上是风险溢 价) 根据该理论，收益率曲线只能向上倾斜假设到期期限t 的流动性溢价为厶， 则有 0 = l l l 2 厶 犯。一l 。) 即增加的流动性溢价随期限的增加而减少，这样收益率随期限增加而上升，开始 较快，但随后就以递减的速度上升流动性理论的特点是考虑了风险溢价，但是， r 它关于风险溢价随期限单调上升的假设却不符合经验事实，这在一定程度上影响 了该理论的说服力 2 1 3 市场分割理论 市场分割假设的基本命题是：期限不同的债券市场是完全分离或独立的，每 一种债券的利率水平在各自的市场上，由对该债券的供求所决定的，不受其它不 同期限债券预期收益变动的影响该假设中隐含着这样几个前提假设：( 1 ) 投资者 对不同期限的债券有较强的偏好，因此只关心他所偏好的那种期限的债券的预期 收益水平( 2 ) 在期限相同的债券之间，投资者将根据预期收益水平的高低决定取 舍，即投资者是理性的( 3 ) 理性的投资者对其投资组合的调整有一定的局限性， 许多客观因素使这种调整滞后于预期收益水平的变动( 4 ) 期限不同的债券不是完 全替代的这一假定和预期假设的假定正好相反一般而言，持有期较短的投资 人宁愿持有短期债券，而持有期较长的投资人可能倾向于持有长期债券由于投 资人对特定持有期的债券具有特殊的偏好，因而可以把债券的不同期限搭配起来， 使它等于期望的持有期，从而可以获得确定的无风险收益 按照市场分割假设的解释，收益率曲线形状之所以不同，是由于对不同期限 债券的供给和需求不同( 1 ) 收益率曲线向上倾斜表明，对短期债券的需求相对高 于对长期债券的需求，结果是短期债券具有较高的价格和较低的利率水平，长期 利率高于短期利率( 2 ) 收益率曲线向下倾斜表明，对长期债券的需求相对高于对 短期债券的需求，结果是长期债券有较高的价格和较低的利率水平，短期利率高 于长期利率o ) m 于平均看来，大多数人通常宁愿持有短期债券而非长期债券， 因而收益率曲线通常向上倾斜 市场分割理论也存在一定的缺陷由于该理论认为期限不同的债券市场是完 全分割的，某种期限的债券收益率上升不会影响其它不同期限债券的收益率，因 而它不能解释期限不同的债券收益率倾向于起变动的这种经验事实 2 1 4 优先置产理论 这一理论力图将上述理论统一起来，主要观点是长期利率是市场对未来短期 利率的预期的( 几何) 平均加上期限补偿不同期限的债券之间是可以互相替代的， 但人们又有一定的期限偏好购买债券，只有当其它期限的债券具有较高的预期收 益率时，才会转向购买其它期限的债券期限较长的债券必须含有期限补偿，这 一理论能较好地解释经验事实短期利率的上升会导致对未来短期利率较高的预 期，从而使长期利率也有升高的趋势，反之亦然所以，不同期限( 无风险) 利率有 相同的走势期限补偿通常为正，所以市场预期短期利率上升或者即使保持不变， 都会使收益率曲线上翘如果市场预期未来的短期利率下降甚至下降得很厉害， 即使期限补偿为正，收益率曲线也会出现平坦甚至下垂的现象 2 2 现代利率期限结构理论 现代利率期限结构的研究与衍生证券的定价一直是密不可分的现代研究认 为，在确定利率时，许多因素都在同时起作用，各种利率的运动过程均表现出一 定的随机性但同时还具有向一个均衡水平靠拢的行为，即均值回复行为收益 率曲线的形状也会随着时间而改变为描述利率的随机行为，人们在研究中引入 随机微积分结合现代期权理论，人们对利率期限结构理论进行了新的探索现 代的利率理论将期限结构视为一种随机过程在现实社会中，大量不确定因索时 刻影响着期限结构这些不确定因素可以是经济、政治、政策和法律因素、甚至 可以是自然因素因此，合理的期限结构模型应是一种与时间有关的随机函数关 系模型这种不确定性的期限结构被称为随机期限结构( s t o c h a s t i ct e r m s t r u c t u r e ) 如果把时问假设为连续( 或离散) 型变量，相应的期限结构模型就成了连 续( 或离散) 时间模型连续时间模型假定交易是连续发生的，交易者连续不断地调 整其各种资产的头寸而离散时问模型假定交易只在某个固定时间离散发生，如 考察在【o ，竹】这一段时间里发生的交易，则交易只发生在时刻f = 0 , 1 ，”下面分 别给予分析 2 2 1 离散时问模型 始于2 0 世纪8 0 年代初，近二十年来飞速发展的自回归条件异方差模型 ( a u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c i t ym o d e l so ra r c hm o d e l s ) 及其各种推广 模型1 1 8 - 2 5 1 就是近代计量经济学的一类重要而且实用的离散时间模型 大量的实证研究表明：经济( 尤其是金融) 领域的许多高频率数据数列( 例如： 通货膨胀率、资产回报率、股票价格、利率以及汇率等数据数列) 都具有明显的序 列相关性质这些数据数列的条件方差随时间推移而变化，经常产生波动串 ( v o l a t i l i t yc l u s t e r i n g ) 现象，即幅度较大的波动和幅度较小的波动经常分别集中在不 同的时段里有关的文献可追溯到m a n d e l b f o t ( 1 9 6 3 ) 和f a m a ( 1 9 6 5 ) 的两篇文章，他 们指出传统的线性回归模型关于独立同方差的假设，不再适合描述金融价格与收 益的行为 ( 1 ) a r c h 模型 最早是由美国圣迭亚哥大学教授恩格尔( e n g l e ) 在1 9 8 2 年提出的，他假定模型 的预测误差( 占。) 为某实值离散时间随机过程，记一为截止时刻f 的所有信息的信息 集合( 即d 域) ，且有 1 占。w - - ：。h f i z ，i d ，e 0 ，) = o ，v a r ( 2 。) = 1( 2 ：1 ) h r = 矗k 2 ，占2 h ，口) 其中，啊是给定信息集合甲。时占，条件方差( u i j 一的正可测函数) ，d 为方差参数向 量在某给定的模型中，占，通常是某随机过程y ，的随机扰动，即 y f = g ( x r ，6 ) + s f( 21 2 ) 其中，x ，是外生变量和相关变量儿的时滞组成的向量，b 是均值参数向量 ( 2 )a r c h 线性回归参数模型 若进一步假设0 是独立同分布的标准正态变量，并且具体地假设占，是某线性 回归方程的随机扰动，即 s ，= y 一x f 6( 2 1 3 ) 0 i , i d ，n ( 0 ，1 ：k 或q l 甲。n ( 0 ，厅) )( 2 1 4 ) 且h ，是时刻t 之前q 个随机扰动项的平方的线陛函数 h ，= d 。+ e a i e 。一，2 = 口。+ 彳( ，k 。2 ( 2 15 ) i = 1 其中q o ，口= 瓴，t ，口2 ，) 是未知的方差参数向量口。 o ，q o ，i = 1 , 2 ，q 可 以证明q 阶线性a r c h 过程协方差平稳的充要条件是其特征方程a ( u ) = o 的撒郝 在单位圆外于是，( 213 ) ，( 214 ) ，( 215 ) 三个方程便构成了应用性很强的带有q 阶自回归条件异方差的线性回归参数模( p a r a m e t r i cl i n e a rr e g r e s s i o nw i t h a r c h ( q ) m o d e l ) 对其参数的估计可采用计量经济学方法一广义矩法和极大似然 法 ( 3 ) g a r c h 模型和a r c h - m 模型 在e n g l e ( 1 9 8 2 ) 的a r c h 模型问世之后，各种修改或推广的a r c h 模型层出 不穷，以下只简要介绍两个比较重要的模型：b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 的g a r c h 模型 ( g e n e r a la r c hm o d e l ) 和e n g l e - - l i l i e n - - r o b i n s ( 1 9 8 7 ) 的a r c h m 模型( a r c h i n - - m e a nm o d e l ) 我们把各种a r c h 的修改或推广模型统称为a r c h 类模型 ( a r c hf a m i l ym o d e l s ) g a r c h 模型与a r c h 模型的不同之处在于把时刻f 之前的条件异方差作为独 立的自变量引入条件方差的函数h ，即 h = 口。+ 口，f 2 “+ ，h ，一，= 口。+ 爿( ，弦，2 + b ( ，弦。 i = 1 j = l 其中，p 0 ，q o ； o ，口。0 ，f = 1 , 2 ，q ；p ，0 = 1 , 2 ，p 显然，g a r c i a 模 型是a r c h 的推广，而a r c h 是g a k c h 的特例g a r c h 模型的未知参数的估 计方法以及