（应用数学专业论文）关于椭圆型方程（组）正解若干问题的研究.pdf

博士学位论文 摘要 本学位论文主要研究二阶半线性椭圆方程及方程组的边值问题，运用b l o w u p 技巧、变分理论、不动点定理、上下解、先验估计、渐近分析等相结合的方法得到 了d i r i i 出l e t 边值和r o b i n 边值条件下半线性椭圆问题正解的存在性、非退化性、 唯一性以及多重性等结果 第一章中，简单介绍了所研究问题的背景及主要结果，并给出了基本术语和文 中需多次用到的引理，以及全文的结构安排 第二章中，首先研究了一般形式的二阶椭圆方程d i r i c h l e t 问题正解的存在性 与唯一性由于许多实际问题并不一定具有变分结构，常用于证明解的存在性的变 分方法不一定适用。为了避开这点，文中采用对解做先验估计结合不动点理论的方 法，得到了在d i r i c h l e t 边界条件下正解存在的充分必要条件第二章中更主要的 结果是关于解的唯一性的对半线性椭圆问题而言，要证明解的唯一性存在相当大 的困难，原因是解的个数不仅依赖于算子系数，而且也依赖于区域的几何特性文 中采用算子扰动与b l o w - u p 技巧相结合的方法，证明了如果某类半线性椭圆问题 的解是唯一的和非退化的，则对问题中的微分算子傲小扰动后其正解仍是唯一的 和非退化的，作为推论，还证明了正解的唯一性在区域的小扰动下是不变的 对于r o b i n 边值问题，很多学者都认为与d i r i c l l l e t 边值问题差不多，研究方 法也类似，但近期的研究文献表明，这两类边值问题的差别还是很大的因此，越 来越多的人开始关注r o b i i l 边值问题了当然，解的存在性和先验估计对r ，o b i n 边值问题而言是相对容易的，但有关r 0 b i n 边值问题解的唯一性和对称性至今没 有任何结果第三、四、五章分别就不同模型的r o b i n 边值问题正解的唯一性和多 重性作了研究 第三章中，研究了一维情形下带r o b m 边值条件的二阶半线性椭圆问题正解 的唯一性在d i r i c h l e t 边值问题解的唯一性研究中，经常用到的最为有力的工具 是打靶方法，但是对于一般的r o b i n 边值问题，由于解不一定具有对称性，打靶方 法不再适用文中先证明齐次r o b i n 问题的解是非退化的，再由隐函数定理得到 了正解的唯一性，随后再利用齐次问题解的唯一性和非退化性结合b l o w u p 技巧， 给出了带变号非齐次项的模型一和带凹凸非线性项的模型二存在一个或多个正解 的充分必要条件 第四章中，研究了高维一般区域上的半线性椭圆方程及方程组在r o b i n 边 值条件下正解的唯一性问题由于边界的复杂性，常用于证明某种对称区域上的 d i r i c h l e t 问题解的对称性和唯一性的移动平面法不再适用，文中利用先验估计结 博士学位论文 合解的渐近分析的方法，给出了带r o b i n 边值条件的方程及方程组正解具有唯一 性的充分条件，相比较于d i r i c h l e t 边值问题的相关结论，这一条件对区域的形状 没有特殊要求 最后，第五章中研究了高维环域上一u = ，( u ) 的r o b i i l 边值问题在一定 的假设条件下，通过先验估计结合交分方法中的n e h a r i 技巧证明了：当边界条件 中的参数p 充分小时，r o b i n 边值问题只有一个正解，又因为算子和区域是旋转 不变的，此解一定是径向解，当p 充分大时，r o b i n 边值问题存在无穷多个非径向 解这一结论再次说明r o b i i l 边值问题和d i r i e h l e t 边值问题有着很大的不同 关键词：半线性椭圆方程；正解；d i r i c h l e t 边值问题；r o b i n 边值问题：唯一性； 非退化性；多解性 i i i 博： = 学位论文 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ed e a lw i t hd i r i c h l e ta n dr o b j nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e i r 塔o f s e c o n do r d e rs e m i l i n e a re u i p t i ce q u a t o 璐a n ds y s t e m s s o r n er e s u l t so ne ) d s t e n c e ， u n i q u e n e s s ，m u l t i p l i c i t ya n dn o n - d e g e n e r a c yf o rp o s i t i v es o l u t i o n s a r ed e m o i l s t r a t e d b ye m p l o y i n gb l o w u pt e c h n i q u e ，v a r i a t i o n a lt h e o 巧，缸e dp o i n tt h e o r e m ，s u p _ s u b s o l u t i o nt h e o r y ，ap r i o r ie s t i m a t ea n da s y m p t o t i ca n & l y s i s a sa ni n t r o d u c t i o n ，i i lc h 印t e ro n e ，t h eb a u c k g r o u n da n dm a i nr e s u l t sa r eb r i e f l y a d d r e s s e d t h eg e n e r a l ln o t a t i o 璐，l e m m a sa n do u t l i n eo ft h i sw o r ka r ea l s o 舀v e n i nt h i sc h a p t e r 。 i i lc h a p t e r 如旧，w es t u d yt h ee ) 【i s t e i 蛇ea i l du n i q u e i 麟so fp o s i t i v es o l u t i o n s o ft h eg e n e r a ls e c o n do r d e re l l i p t i ce q u a t i o i l 8w i t hd i r i c h l e tb o u n d a u r yc o n d i t i o n t h eg e n e r a u yu s e dv a r i a t i o n a lt h e o 巧c 8 nn o tb e8 p p l i e dt 0p r o v et h e 钗戳e n c e o fs o l u t i o 璐w h e nt h ep r o b l e i n sh a v en ov 缸i a t i o n a ls t r u c t u r e i na d d i t i o nt oa s u m c l e n ta i l dn e c e 豁a r yc o n d i t i o nf o rt h e 醯t e n c eo fp o s i t i v es 0 1 u t i o l l sb 舀v e n b yu s i n gb l o wu pt e 出匝q u ea n d 敝e dp o i n tt h e o r e m ，w ea k op r o v et h a t i ft h e u n i q u e r 峰；sa n dn o n d e g e n e r a u c yr e s u l t sa 舱v a 1 i df o rp o s i t i v es o l u t i o n so fac l a s s o fs e 嘶- 1 i n e a re l l i p t i ce q u a t i o 璐，t h e nt h e ya r es t i l lv a l i dw h e no n ep e r 乞1 l r _ b st h e o p e r a t o ral i t t l eb 毗a s ac o n s e q u e n c e ，s o m eu 1 1 i q u e n e s sr e s u l t so fp o s i t i v es 0 1 u t i o 璐 u n d e rt h ed o m a i np e r t u r b a t i o na r ea l s oo b t a i l l e d a sr o b i nb o u n d a r yv a l l u ep r o b l e m s 缸ec o n c e r n e d ，m o s to fm a t h e m a t i c i a 艇； t h i n kt h a tt h e ya r es i 血1 a rt od i r i c h l e tb o 皿d a r yv a l u ep r o b l e i n s i nf 如t ，s o m e r e c e n tr e s e a r c h 、r l c si m p l yt h a tt h e s et 、釉l 【i n d so fp r o b l e m sa r ed i 髓r e n ti nm 锄【y a s p e c t s t h o u 曲t h ee x i s t e n c ea n dap r i o r ie s t i m a t eo fs o l u t i o n sf o rr d b i nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma r ee a s yt oo b t a i n ，t h er e s u l t so nu n i q u e n e s sa n ds y m m e t r y o fp o s i t i v es o l u t i o n sa r ev e r yd 瓶c u l 乞t od e m o i l s t r a t e w bs t u d yt h r e em o d e l so f r o b i np r o b l e l si nc h a p t e rt h r e e ，c h a p t e rf o u ra n dc h a p t e r 丘v er e s p e e t i v e l yf o rt h e u n i q u e n e s sa n dm u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v es o l u t i o n s i nc h a p t e rt h r e e ，t h eu n i q u e n e s so fp o s i t i v es o l u t i o nt oas e c o n do r d e ro r d i n a r y d i 髋r e n t i a le q u a t i o i l sw i t hr d b i nb o u n d a r yc o n d i t i o ni ss t u d i e d t h em o s tp o w e r f u l t o o lu s e dt op r o v eu n i q u e n e s sr e s u l t sf o rd i r i c h l e tp r o b l e mo fs e c o n do r d e ro r d i n a 叮 d i 髓r e n t i a le q u a t i o l l si st h es 伊c a l l e dt i m em 印p i n gm e t h o d ，b u tt h et i m em 印p i n g i sn o tv a l i df o rg e n e r a lf b b i np f o b l e mb e c a u s eo ft h el o s so fs y m m e t r y a t 丘r s tw e v 博士学位论文 p r o v e dt h en o n d e g e n e r a c ya n dm l i q u e n e s so fp o s i t i v es o l u t i o nf b rt h eh o m o g e n e o u s r o b i nb o u n d a r y 谳u ep r o b l e m t h e n ，a sa na p p l i c a t b no ft h en o n d e g e n e r a c ya n d m l i q u e n e s sr e s u l t s ，w eg a v ean e c e s s a r ) ，a n ds u 伍c i e n tc o n d i t i o i l sf o rt h ee ) ( i s t e n c e o fo n e0 rt w dd o s i t i v es o l u t i o n sf o rm o d e lo n ew i t ht h en o n _ h o m o g e n e o u s i t yc h a n g e s i g i l ，a n df o rm o d e lt w - ow i t hc o n c a v e c o r l v e xn o n l i i l e a r i t i e s 。 i nc _ h a p t e rf 0 1 l r ，w ed e v o t et op r o v eu n i q u e n e s sr e s l d t so fp o s i t i v es o l u t i o 璐 t or d b i i lb o u n d a r yv a l l u ep r o b l e mo fs e m i l h l e a re l l i p t i ce q u a t i o n sa n ds y s t e 1 so n g e n e r a lr e g i o ni n 伽d i m e n s i o ns p a c e s i n c et h em o v i n gp l a n ei n e t h o d ，w h i c hi s l l s u a l l y 印p l i e dt op r o v et h es y m m e t r ya n du n i q u e n e s so fs o l u t i o 璐f o rd i r i c h l e t b o u n d a r yv 烈u ep r o b l e m s6 ns o m es y m r n e t r yd o m a i n ，c a n n o tb eu s e d ，t h em e t h o d w e 璐ei sap r i o r ie s t i m a t ec o n l b i n i n gw i t ht h ea s y m p t o t i ca n a l y s i so fs 0 1 u t i o 鹏 c o m p a r e dw i t ht h eu n i q u e n e 豁r e s u l t sf o rd i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e 1 s ，t h e m a i nf e a t u r eo fo u rr e s u l t si st h a tt h e r ei sn os p e c i a lr e q u e s to nt h ed o m 越n i nt h el a s tc h a p t e r ，w ec o n s i d e r 乞h er o b i nb o u n d a i yv m u ep r o b l e i n s 一姐= 厂( u ) 0 na n n u l u si nn i i i m e i 西o ns p a u c e u n d e rs o m ea s s u m p t i o 璐，w ep r o v e 也a t t h ep r o b l e mh a sa ti n o s to n es 0 1 u t i o nw h e np ，t h ep a r a m e t e ri nt h eb o u n d 缸y c o n d i t i o n ，i ss m a l le n o u 曲，w h e r e a s ，i th a sa t1 e a s t 七n o n r a d i a ls 0 1 u t i o i l sw h e n 卢i s1 a r g ee n o u g h t h i sr e s u l tg i v e sa n o t h e re x 眦p l ew u c hi m p l i e st h a tr ，o b i n b o u i l d a 口试u ep r o b l e i l l sm a yb em u c hd i 舶r e n tf r o md i r i c _ h l e tb o u n d a r y 砌u e p r o b l e i i l s k e yw 0 r d s ：s e m i l i n e a u re l l i p t i ce q u a t i o n ；p o s i t i v es o l u t i o n ；d i r i c h l e t b o u n d 御yv a l u ep r o b l e m ；r o b i nb o u n d a i yv 砒u ep r o b l e m ；u n i q u e n _ e s s ；n o n d e g e n e r a c y ；m u l t i p l i c i t y v i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文关于椭圆型方程若干问题 的研究是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成 果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人 完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：阿砂龟 日期：切占年罗月，d 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的 规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅和借阅，本人授权湖南大学可以 将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书 2 、不保密劝 ( 请在以上相应方框内打“ ”) 作者签名：r 可包免 日期：力鸪年事月，一日 导师签名：磷蠢7u 日期：翮年弓月，。日 博士学位论文 第1 章绪论 随着科学技术的发展以及人们对社会、自然认识过程的深化，迫切需要精确的 数学模型来刻画千变万化的各类现象偏微分方程就是广泛应用于数学、物理、化 学、生物、环境科学等研究领域的一类重要的数学模型，其中，对许多物理过程的 定常态( 即不随时间变化) 问题，如：热传导和反应扩散过程中的稳恒态、振动薄 膜的稳定性、不可压缩流体的无旋流动等等问题的研究又都离不开椭圆型偏微分 方程的相关问题，因此对相应椭圆方程的理论作深入细致的研究不仅有利于数学 理论本身的发展，同时也是极具科学意义和应用价值的 十九世纪的物理学家们正是在研究各种物理和动力学现象时，建立了位势能 量方程， 一u = ，( z ，u ，v u ) ，z q ，( 1 1 ) 其中：qcr n 是开区域，= 筘+ 磊+ 磊称为l 印1 2 u c e 算子，v t = ( 矗，象，舞) 是“( 。l ，茁2 ，z 。) 的梯度模型( 1 1 ) 是一类经典的半线性椭 圆方程，长期以来受到人们的广泛关注源于非线性源的非线性扩散理论( 见【l 】) ， 热力学中的气体燃烧理论( 见f 2 ，3 1 ) ，量子场论和统计力学( 见 4 ，5 ，6 】) 以及星系 的重力平衡理论( 见【3 ，7 】) 等都与方程( 1 1 ) 有着极大的渊源。而且，数学内部 的许多问题，如几何中的y a 衄a b e 问题( 见【8 】) 和等周不等式( 见 9 】) ，调和分析 中的h a r d y - l i t t l e w o o d - s o b o l e v 不等式( 见【1 0 1 ) 以及人口动力系统( 见【1 1 1 ) 等 问题也都与方程( 1 1 ) 有着深刻的联系 模型( 1 1 ) 中的方程所描述的是区域内部的普遍规律，许多例子可参见 1 2 ，1 3 】， 如果要限制为一个具体的运动过程或自然现象，就涉及到不同的定解条件，而椭 圆型偏微分方程模型最为关键的定解条件是边界条件一般来说，边界条件不同 所得到的解的性态也是不一样的边界条件大致可以分为三种情形：即d i r i c h l e t 边界条件( 也称第一边界条件) ，u l 勰= 0 ；n e u m a n n 边界条件( 也称第二边界条 件) ，囊l 搠= o ，这里表示边界锄上的单位外法向量；r o b i n 边界条件( 也称 第三边界条件) ，象+ p u l 狮= o 除非是混合边界的情形，这三类不同的边界条 件不同时出现边界条件和方程一起可以描述确定的实际问题，如在研究薄膜的 微小振动时，方程一“= ，( z ，u ，v u ) ，z qc 砰的建立源于对薄膜运动满足 n e 毗o n 运动定律的数学描述，其中未知函数缸( z ) 表示在垂直于平面方向上的位 移，若带d i r i c h i e t 边界条件则表示薄膜在区域边界上是固定的不发生位移的情形； 若带n e u m a n n 边界条件则表示薄膜在边界上不受约束而自由振动的情形；若带 r o b i n 边界条件则表示薄膜在边界上有弹性支撑强迫振动的情形如果模型( 1 1 ) 关于椭圆型方程( 组) 正解若干问题的研究 描述的是生物物种的变化规律，则d i r i c h l e t 边界条件表示在区域的边缘上物种是 灭绝的，也就是没有该物种存在；n e u m a n n 边界条件表示在区域边缘上有物种存 在但不发生迁移；r o b i n 边界条件描述的是一种动态的平衡，即在边界上有物种活 动，并且也可能发生逃逸和死亡 本论文所考虑的几类方程可以归结为如下的形式 舭_ 一薹差( 。文z ) 嚣) + 萎坼) 差+ c ( 咖= 地砜) ( 1 - 2 ) 带上相应的d i r i c h i e t 边界条件或r ，o b i n 边界条件，我们称之为d i r i 出 e t 边值问 题或r ，o b i n 边值问题一直以来，许多学者都认为r 加i n 边值问题与d i r i c h l e t 问 题相差不多，其相关的研究结果非常少但就目前已有的文献 1 4 卜 2 0 】看，这两类 边值问题的差别还是很大的而且，已有的许多用于研究d i r i e h l e t 边值问题的方 法，如打靶法、移动平面法等不再适用于一般的r 曲i i l 边值问题本文除前半部分 研究d i r i c h l e t 边值问题解的性质外，另一个研究重点是r ，o b i i l 边值问题，因为常 用于研究d i r i c h l e t 边值问题的方法不再适用于一般的r ，0 b i n 边值问题，我们在方 法上作了改进 1 1研究问题的背景及结果 1 1 1d i r i c h l e t 边值问题正解的存在性 对于方程( 1 2 】的d i r i c h l e t 问题，研究的重点之一是证明其在s o b 0 1 e v 空间 砾( q ) 中正解的存在性常用的方法有上下解方法( 见 2 1 1 ) 、不动点理论( 见 f 2 2 ，2 3 1 ) 以及非线性分析中的度理论( 见f 2 4 ，2 5 】) 和变分理论( 见【2 6 1 ) 其中， 变分法被越来越多的实例证明是解决解的存在性问题的最为有力的工具之一，其 基本思想是将寻求方程解的问题转化为寻求一个相应变分泛函j ( 毯) 的非零临界点 的问题为寻求，( 让) 的临界点，一种典型的方法是按照p a l a i s 和s m a l e 的想法 ( 见2 7 1 ) ，利用变分泛函) 的几何结构由山路引理( 见【2 6 】) 导出( p s ) 序列 ：f ( ) 一c ，j 7 ( “霸) _ o ，礼_ o o ，再设法证明( p s ) 序列 钍疗 在磁( q ) 中强 收敛，最终得到f ( u ) 的非零临界点，从而方程的非平凡解存在这种方法的主要 困难在于( p s ) 序列收敛性的证明需要说明的是，在( 1 2 ) 中如果，满足次临界 增长条件，即关于z q 一致地有 ，( z ，乱，v 珏) = d ( i u i p 一1 ) ， p 0 ，z s 2 ， 7 t = 0 z a q 这里p ( 1 ，噶) 在问题( 1 3 ) 中，如果对一切的i = 1 ，n 都有晚( o ) 三0 ，则z 是一个散 度型算子此时问题具有自然的变分结构，在第一特征值a p ( z ) 为正的前提备件 下可用标准的变分方法得到问题( 1 3 ) 的一个存在性结果( 见 2 6 】) 但对于更一 般的情形，如玩( z ) o 对某些l i n 成立时，问题( 1 3 ) 不具有变分结构，变 分方法不再适用此时，我们须用其他方法来处理在本文中我们将沿用文献 3 0 】 和f 3 1 1 的思想，运用b l a w u p 技巧首先对解做先验估计，再结合不动点定理来寻 找问题的解我们将证明：问题( 1 3 ) 至少有一个解的充分必要条件是算子的 第一特征值入 ) ( z ) 为正详细过程见第二章中定理2 1 4 及其证明 1 1 2d i r i h c l e t 边值问题正解的唯一性 对于问题( 1 3 ) 研究的另一个重点是解的唯一性和多重性一般来说，具有变 分结构的方程其解的存在性是容易的，不具有变分结构的方程的解也可以利用不 动点定理来证明其存在性，而要证明解的唯一性则存在相当大的困难，原因是问题 ( 1 3 ) 的解的个数不仅依赖于算子系数，0 ) ，玩( z ) 和c ( z ) ，而且也依赖于区域的 几何特性下面两个例子就可以说明这一点 当瓯， ) = & j ，玩 ) 三0 ，( i ，j = 1 ，2 ，n ) ，且c 扛) 三0 时，问题( 1 3 ) 变 为 一让= 矿，z q ， t 正 0 ，z q ， 钍= 0 ，z a q ( 1 4 ) n i 和n u s s b a u m 在文献 3 2 1 中证明了：当q 为r n 中的球形区域时，问题( 1 4 ) 至多存在一个解d a m a s c e l l i ，g r o s s i 和p a c e l l a 在文献【3 3 】中证明了：当q 为r 2 中沿轴向凸的对称区域时，问题( 1 4 ) 有且仅有一个解，并且这个解是非退化的 一3 一 关于椭圆型方程( 组) 正解若干问题的研究 文献 3 4 1 中提出了一个著名的猜想：当q 为任意凸区域时，问题( 1 4 ) 至多有一 个解然而，迄今为止，还没有一个有效的方法来证明这个猜想 若口i j ( z ) = 最j ，玩( $ ) 兰0 ，( i ，歹= 1 ，2 ，礼) ，且c 0 ) = a 0 是个常数， 则问题( 1 3 ) 变为 l 一血+ 入u = 妒，z q ， t 正 o ， z q ，( 1 5 ) 【让= o ， z 勰 许多研究学者发现，区域q 的距离函数在找寻阀题( 1 5 ) 的解的过程申起着重要 的作用，概略地讲就是，当a 充分大时，问题( 1 5 ) 的解的个数不少于距离函数的 极大值点的个数例如d a j l c e r 在文献【3 5 1 中证明了：若q 为哑铃形区域，则当 入充分大时，问题( 1 5 ) 至少有两个解g r o s s i 和p i s t o i a 在文献 3 6 】证明了，若 q 是具有两个半球形底的圆柱体，则当a 充分大时，对任意给定的正整数忌，问题 ( 1 5 ) 至少存在七个不同的解然而，当a 充分小时，关于解的个数的结果如何仍 不清楚 由文献 3 3 】的结论我们可以期望：当入充分小且q 为平面上沿轴向凸的对称 区域时，唯一性结果对问题( 1 5 ) 成立但 3 3 】中的证明方法不能用于研究问题 ( 1 ，3 ) ，原因是，在证明解的唯一性和非退化性结论时， 3 3 】中运用了如下一个关键 的恒等式 伊( z ) 妒( z ) = o ， i ，n 其中乱( z ) 是问题( 1 5 ) 的解，而妒) 是下列问题的解 - 垆2 矽。妒，蚝q ，( 1 6 ) i - 妒= o ， z 勰 、。 但对于问题( 1 3 ) 要证明这一恒等式是困难的为了避免这一难点我们采用了扰 动的观点，换句话说，我们考察解的唯一性和非退化性结果在z 是负l a p l a c e 算 子一的小扰动时是否依然成立我们之所以只考察小扰动是因为问题( 1 5 ) 已 表明，在大扰动情形下唯一性结果是不能保持的在第二章中，我们证明了正解具 有唯一性和非退化性的某类半线性椭圆问题，对其中的微分算子作小扰动后，其 正解也是唯一的和非退化的，并且这种算子扰动的观点所得到的结果也包含了文 献【3 5 ，3 一】中从区域扰动出发所得到的结果详细的结论描述及证明过程见第二章 定理2 1 5 ，定理2 1 6 及其证明这部分的工作已发表于中国科学a 辑：数学 ( 中、英文版) 2 0 0 7 年第5 1 卷第8 期第1 1 4 1 1 1 5 6 页 1 1 3 关于r o b i n 边值问题 在前面我们已经指出，对于同一个方程模型，如果边界条件不一样，则反映不 一4 一 博士学位论文 同的实际背景一个自然的想法是：在不同的边界情况下，上述关于解的存在性、 非退化性、唯一性、多重性情况又是怎样的呢? 对于d i r i c h l e t 边界条件下的半线性 椭圆问题，人们已经有相当的了解，在关于解的先验估计、存在性、唯一性、稳定 性、对称性、凸性等方面已经有非常丰富的结果，如文献3 8 1 一f 5 0 1 及其引文，对于 r 曲i n 边界问题，很多学者都认为与d i r i c h l e t 边值问题差不多，相关的结果很少， 但就目前已有的文献【1 4 】 2 0 】看，这两类边值问题的差别还是很大的当然，对于 r 0 b i n 边值问题而言，解的存在性和先验估计是相对容易的，但关于解的对称性、 唯一性、稳定性和凸性至今没有任何结果其原因是：对某些问题而言，r d b i i l 问题 有其自身的难度，比如在研究唯一性问题时，对球域上的d i r i c h l e t 问题行之有效的 打靶法( 见 3 2 】) 就很难应用于球域上的r 0 b i n 问题，因为如果我们将d i r i c h l e t 问 题中的打靶比喻为打固定靶的话，那么，在r o b i n 问题中要打的就是移动的靶，在 数学上要唯一地打中一个移动靶其难度是可想而知的另外，常用于研究d i r i c h l e t 问题的移动平面法( 见【4 6 】) 、移动球面法( 见f 5 1 1 ) 、s c h w 砒z 对称化方法( 见f 3 4 1 ) 等在一般情形的r o b m 边值问题的处理上同样不一定适用，即使是最简单形式的 线性特征值问题，r 0 b i n 边界条件下的研究方法及结论与d i r i c h l e t 边界条件情形 也是不完全一样的，例如：在d i r i c h l e t 边值情形，我们知道算子一的第一特征 值a 1 ) 关于区域q 是单调的，也就是说，当q lcq 2 时入1 ( q 1 ) 入l ( q 2 ) 然而， 在r o b i n 边值情形这种结果是不成立的( 具体例子见f 1 4 】) ，只能得到由球严格区 分的两个区域上特征值的比较，不能对任意的包含区域作比较，也就是，若存在球 b 使得q icbcq 2 ，则a l ( q 1 ) a 2 ( q 2 ) 另外，虽然对算子一的d i r i c h l e t 边值问题和r r o b i n 边值问题而言，关于第一特征值的f a b e 卜k r a h n 不等式都成立， 也就是，当即是与q 同体积的球时，入1 ( q ) a 1 ( 甜) ( 见( 1 4 ，5 4 1 ) ，但是两者的证 明方法有很大的不同对于r o b i n 边值问题，由于边界的复杂性s c h 啪r z 对称化 方法不能使用，其f a b e r - k r a h n 不等式的证明要复杂得多，d a n e r s 在文献f 1 5 ，1 6 1 中通过构造与第一特征值相联系的一个泛函，再利用球上的第一特征函数以及某 种反向对称化方法来证明f a b e r k r a h n 不等式及其等号的唯一性 因此，对于r o b i n 边值问题解的性质的研究无论从方法上还是结论上，都是 非常值得进一步关注的在第三、四、五章我们分别就不同模型的r o b i n 边值问题 正解的存在性、唯一性、多重性等进行了研究 1 1 3 1 一维情形 在第三章中，我们首先研究一维情形下的r o b i i l 边值问题 关于椭圆型方程( 组) 芷解若干问题的研究 i 让+ 扩= o ，z ( 一；，2 ) ， d 0 蚝( - lf ) ， ( 1 7 ) lq ( 一! ) 一触( 一：) = o ， l7 ( f ) + 班( f ) = o 解的非退化性和唯一性 在二阶常微分方程d i r i c h l e t 边值问题解的唯一性研究过程中，经常用到的有 力工具即为文献 3 0 ，5 5 】中提到的所谓的时间影射法，其主要思想是利用特殊映 射，即所谓的时间映射的单调性来证明解的唯一性在文献 5 6 1 中曾提出：这种 利用时间映射的单调性来证明唯一性的方法可以推广到q ，p ，7 ，叼 o 的情形，当 a = ，p = 即时，问题( 1 7 ) 的解的唯一性的确可用时间映射的单调性来证明，因 为在这种情形下的解仍是关于某个z = z o 对称的，且时闯映射仍是单调函数，类 似的讨论请查阅文献 6 7 】而当a 7 或p 叼时，迄今为止仍没有这方面的结 果事实上，当口7 或p 7 7 时，由于解不具有对称性，这时的时间映射是两个 变量的函数，对于其相应图像的形状的分析是非常困难的，唯一性结论不能由以上 方法得到在第三章中，我们将避开时间映射，用一种新的方法来证明r d b i n 边值 问题解的唯一性在证明过程中一个关键点是证明解的非退化性，有了解的非退化 性后，由隐函数定理结合解的先验估计来证明问题( 1 7 ) 的解具有唯一性这部分 的结论详见第三章定理3 1 2 ，定理3 1 3 及其证明 作为问题( 1 7 ) 的解的非退化性和唯一性的一个应用，我们还讨论了 i 一= 伊+ a ，( z ) ， o ( 一z ，f ) ， d o ，艇( 一，2 ) ， ( 1 8 ) lq ( 一f ) 一p u ( 一1 ) = o ， 【7 ( z ) + 弘( 2 ) = o ， 在非齐次项， ) 变号的情况下一个或多个解存在的充分必要条件 当q = 7 = 0 且卢，7 7 o ，即d i r i c h l e t 边界情形，问题( 1 8 ) 被广泛研究， 可参见文献 2 9 ，4 0 ，5 2 ，5 3 ，6 7 】及其引文，但盘0 ，7 o ，即r ，o b i n 边值情形， 其相应的结果很少，并且在前期研究d i r i c h l e t 边值情形的文献中，为了应用极大 值原理获得解的非负性，通常假设非齐次项，( z ) o 如果，( z ) 在( 一f ，2 ) 上变 号，极大值原理不能直接应用将使问题变得复杂得多我们主要研究的是，( z ) 变 号时的r 0 b i n 边值问题( 1 8 ) 有一个解或多个解存在的充分必要条件简略地说， 假设，( z ) 歹= l 2 _ ? ，f 1 o ，将歹分解成两个不相交的子集m 和，这里 一6 一 博士学位论文 兰芦朋m 是使得线性问题 ， l 一妒= ，( z ) ，z ( 一f ，2 ) ， a 妒7 ( 一f ) 一却( 一e ) = o ， ( 1 9 ) i7 ( j ) + ，7 妒( f ) = o ， 有非负解妒o 的函数，( z ) 所组成的集合利用问题( 1 7 ) 的解的非退化性和唯 一性，可证得：当p 1 且入充分小时，问题( 1 8 ) 有且仅有两个解的充分必要条 件为，( z ) 朋，有且仅有一个解的充分必要条件为，p ) ，当o 0 q ( 一z ) 一p 仳( 一f ) = 0 ， 州( 1 ) + 叩乱( z ) = o z ( 一z ，f ) ， z ( 一 ( 1 。1 0 ) 在文献【4 0 】中已经证明问题( 1 1 0 ) 在入充分小时至少有两个解，我们的结论是关 于唯二性的这部分的结论详见第三章定理3 1 1 0 及其证明过程这部分的工作 已发表于j o u m “d i 髓r e n t i a je q u a t i o n s 2 0 0 7 年第2 4 l 卷第3 2 6 l 页 1 - 1 3 2 高维区域上的方程及方程组情形 进一步，在论文的第四章我们研究了r n ( n 3 ) 中一般区域上的r o b i i l 边 值问题 i 一t i = 矿， z q ， u o ， z q ，( 1 1 1 ) iq 器+ 触= o ， z a q ， 以及方程组情形的r o b i i l 边值问题 i u + 秒口= o ， z q ， l u + 矿= o ， z q ， 让，u o ， z q ， ( 1 1 2 ) iq 雾+ p u = o ， z a q ， 【a + p 口= o ， z a q 当q 0 ，口= o 时，即n e u m a n n 边值情形，经过简单积分易知，问题( 1 1 1 ) 无解若p 0 ，通过先验估计，利用变分方法或连续性方法易知问题( 1 1 1 ) 至 一7 一 关于椭厕型方程( 组) 正解若干问题的研究 少有一个解存在当q = o ，p 0 时，即d i r i c h k t 边值情形，问题( 1 1 1 ) 的 解的个数依赖于区域的形状例如前面提到的：当q 是n 维球或二维平面上沿 轴向凸的对称区域时，问题( 1 1 1 ) 有且仅有一个解( 见 3 2 ，3 3 】) 然而，对于钟 形区域即使是充分窄的瓶颈，问题( 1 1 1 ) 也有多个解存在( 见 3 5 ，5 7 】) ) 关于 d i r i c h l e t 问题的结果，还有很多相关文献，我们不可能一一指出，有兴趣的读者请 参阅f 3 7 ，5 4 ，5 7 ，5 8 ，5 9 ，6 0 】及其引文当q 0 ，p 0 时，即r o b i i l 边值情形， 这类问题常出现于生物、化学、环境科学研究中，_ 个重要的开创性结果是有关带 临界非线性项的r o b i n 边值问题解的存在性的研究( 见 5 9 】) 有关问题( 1 1 1 ) 解的存在性的证明类似于文献【5 9 】，这里我们主要关注的是 正解的唯一性众所周知，在带d i r i c h l e t 边界条件的情形，利用窄形区域上的极 大值原理证明解的唯一性时，区域的对称性和凸性取了关键作用( 见【3 3 ，6 l 】) 然 而对r o b i n 边值情形的问题( 1 1 1 ) 窄区域上极大值原理不可用，证明唯一性也 是困难的，即使在球上，由于边界的复杂性，无法利用极值原理启动移动平面法， 因此不能象d i r i 出l e t 边值问题一样，先利用移动平面法得解的对称性来证明闻题 ( 1 1 1 ) 的唯一性，至于其他的区域则更难考虑 在第四章中，我们主要利用先验估计并结合解的渐近分析证明了问题( 1 1 1 ) 及问题( 1 1 2 ) 解的唯一性相比较d i r i i 出l e t 边值问题而言，我们的唯一性结果没 有对区域作特别的要求详细过程请见定理4 1 2 和定理4 1 3 及其证明这部分 的结果已被g l a s g o wm a t h e m a t i c a lj o u m a l 录用 1 1 3 3 环域上的情形 在研究问题