（应用数学专业论文）几类二阶非线性差分方程边值问题正解的存在性.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 几类二阶非线性差分方程边值问题正解 的存在性 摘要 差分方程边值问题正解存在性理论是微分方程理论中一个十分重要的分 支，它具有非常深刻的物理背景和数学模型近年来，这一理论在应用数学领 域取得了迅速的发展和广泛的重视有大批学者从事于这方面的理论研究，取 得了一系列较好的结果研究差分方程边值问题正解的存在性，有较好的发展 前景，并且有较高的实用价值差分方程边值问题正解的存在性也是差分方程 解的重要性态之一随着自然科学与生产技术的不断发展，在许多应用问题中 均出现了差分方程边值问题解的的存在性理论的应用特别是近几十年，微分 方程解差分方程边值问题正解的存在性的研究发展得相当迅速，其中以二阶非 线性差分方程最受人们的关注，因此也被研究得比较深入和广泛，无论是从方 程的类型上还是从研究的方法上均有长足的发展( 部分结果可参见文( 1 h 3 2 】) 本文利用锥压缩拉伸不动点定理，函数的单调性对几类二阶非线性差分方 程进行了进一步的研究，得到一些新的结果 根据内容本论文分为以下五章： 第一章概述本论文研究的主要问题 第二章在这一章中，我们主要研究如下p - l a p l a c i a n 差分方程 【p ( u 一1 ) ) 】+ f ( t ，u 0 ) ) = 0 ，t 1 ，t + 1 ( 2 1 - 1 ) 在边值条件 a u ( o ) = u 口+ 2 ) = 0( 2 1 2 ) 下的正解的存在性，主要通过k r a s n o s e l s k i i 7 8 锥压缩和拉伸不动点定理得到 上述方程及边值问题至少存在一个正解的结论 曲阜师范大学硕士学位论文 这里纬( s ) 是矿l a p l a c i a n 算子，即如( s ) = h p - 2 8 , p l ，( 如) 1 = q ，考+ 言。 1 ；，是( 【1 ，t + 1 ，r ) 一r + 上的连续函数 第三章在这一章中，我们主要研究如下的差分方程 奶( u ( 一1 ) ) + o ( t ) 厂( t ) ) = 0 ，t 1 ，t + 1 】 ( 3 1 1 ) 满足边值条件 u ( o ) = a u ( t + 1 ) = 0 ， ( 3 1 2 ) 这里r 为实数，z 为整数并且r + 为正实数，给定z 中整数a ，b ，并且 a 0 ，k 1 + 1 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 i 2 u ( t ) + ，( t ，u ( t ) ) = 0 ，0 t t ， m 一- 2 ( 5 1 1 ) 1u ( o ) = “( t ) 一脘u ( 吼) = o ， ”7 l i = l 的边值问题正解的存在性， 其中 z x u ( k ) = u ( 忌+ 1 ) 一u ( 忌) 关键词： 二阶差分方程；非线性；正解；边值问题；锥；不动点定理 i l l 曲阜师范大学硕士学位论文 _ - _ - - - _ _ _ - _ - _ - _ _ - - h _ - - _ _ _ _ _ _ _ - - 一- h - _ _ 。- _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ - - - - _ _ 一 一 - ，1 1 e x s i t e n c eo fp o s i t iv es o l u t i o n s 士o rb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mo fs o m en o n l i n e a r s e c o n d - o r d e rd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ab s t r a c t t h ee x i s t e n c et h e o r yo fd i f f e r e n c ee q u a t i o ni so n eo fi m p o r t a n tb r a n c h o fd i f f e r e n c ee q u a t i o n s i nt h ef i e l do fm o d e r na p p l i e dm a t h e m a t i c s ，i th a s m a d ec o n s i d e r a b l eh e a d w a yi nr e c e n ty e a r s ，b e c a u s ea l lt h es t r u c t u r e so fi t s e m e r g e n c eh a v ed e e pp h y s i c a lb a c k g r o u n da n dr e a l i s t i cm a t h e m a t i c a lm o d e l s m a n ys c h o l a r st a k eo nt h er e s e a r c ho f t h i sf i e l d ，t h e yh a v ea c h i e v e dm a n y g o o dr e s u l t s w i t ht h ei n c r e a s i n gd e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , t h e r ea r em a n yp r o b l e m sr e l a t i n gt od i f f e r e n c ee q u a t i o nd e r i v e df r o ml o t so f r e a la p p l i c a t i o n sa n dp r a c t i c e ，i nv e r yr e s e n ty e a r s ，g r e a tc h a n g e so ft h i sf i e l d h a v et a k e np l a c e e s p e c i a l l y , t h es e c o n do r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n h a sb e e np a i dm o r ea t t e n t i o n sa n di n v e s t i g a t e di nv a r i o u sc l a s s e sb yu s i n g d i f f e r e n tm e t h o d s ( s e e 1 _ 【3 2 ) t h e p r e s e n tp a p e re m p l o y sf e dp o i n tt h e o r e m ，m o n o t o n eo ff u n c t i o n st o i n v e s t i g a t es o m ec l a s so fe x i s t e n c et h e o r yo fd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，t h er e s u l t s o fw h i c hg e n e r a l i z e da n di m p r o v e ds o m ek n o w ne x i s t e n c et h e o r y t h et h e s i si sd i v i d e di n t of i v es e c t i o n sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，p r e f a c e ，w ei n t r o d u c et h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w em a i n l ys t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so ft h e s e c o n d - o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n ( u ( t 一1 ) ) + f ( t ，u ( ) ) = 0 s a t i s f yb o u n d a r yp r o b l e m a u ( 0 ) = u ( t + 2 ) = 0 l t 1 ，t - t - 1 】 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 一些皇堕堕查堂堡主兰垡垒塞 _ _ 。_ 。_ _ _ - _ _ 。_ _ 。- _ 。- 。_ 。_ _ _ 。_ 。_ - _ 。_ _ - 。_ 。_ - 。_ 。- 。_ 。 w em a i n l ye m p l o y e dk r a s n o s e l s k i i lf i x e dp o i n t st h e o r e mi nac o n et og a i n o n e p o s i t i v e s o l u t i o n so fa b o v ed i f f e r e n c ee q u a t i o n 1 w h e r e 如( s ) i sp - - l a p l a c i a no p e r a t o r ，i ec p ( s ) = i s i p _ 2 s ，p 1 ，( 如) 一1 = 矽q ，考+ = 1 ；，： 1 ，t + 1 ，r ) _ r + i sc o n t i n o u sf u n c t i o n 。 i nc h a p t e r3 ，w em a i n l ys t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so ft h e s e c o n d - o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n ， p ( u 一1 ) ) + o ( t ) ，( u ( ) ) = 0 ， s a t i s f yb o u n d a r yp r o b l e m u ( o ) = a u ( t + 1 ) = 0 ， t 1 ，t + 1 】 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) w h e r e 如( s ) i s ap - l a p l a c i a no p e r a t o r ， c v ( s ) a n d 妒q ( s ) a r ed e f i n e da sa b o v e ，a n d ，：舻_ r + i sc o n t i n u o u s ，n ( t ) i sa p o s i t i v ev a l u e df u n t i o nd e f i n e do n 【l ：t + 1 】 f i r s t ，w em a i n l yi n t r o d u c et h en o t a t i o np ( 6 ，d ) a 尸( 6 ，d ) ，p ( 6 ，d ) a n daf i x e d p o i n t st h e o r e m s e c o n d ，w ee m p l o yf i x e dp o i n t st h e o r e mt og e tt h em a i nr e s u l t i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h ef o l l o w i n ge q u a t i o n ( 矽p ( u ( 惫) ) ) + a ( k ) f ( k ，u ( 惫) ) = 0 ，k 0 ， s a t i s f yb o u n d a r yp r o b l e m w h e r e a u ( 0 ) = 0 ，乱( + 1 ) + 男o ( u ( f ) ) = 0 a u ( k ) = u ( 忌+ 1 ) 一u ( 七) w eg i v et h ef o l l o w i n ga s s u m p t i o n s ( 日1 ) f ：1 - 2 _ 【0 ，+ o o ) i sac o n t i n u o u sn n c t i o n ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 ( h z ) q ( ) i sas e q u e n c eo fp o s i t i v en u m b e r s ( 风) 如( s ) a n d 砂g ( s ) a r ed e f i n e da 8a b o v e ，n i sap o s i t i v ei n t e g e r ，ie o ，1 ，+ 1 ) i sac o n s t a n t ( 日4 ) 日o ：冗_ 尺i sc o n t i n u o u aa n ds a t i s f i e st h a tt h e r ea r ep d 0s u c h t h a tq z b o ( z ) sz ( x ) f o rz r + f i r s t ，w em a i n l yi n t r o d u c es o l n ed e f i n i t i o n sa n daf i x e dp o i n tt h e o r e m s e c o n d ，w ee m p l o yt h ef i x e dp o i n t st h e o r e mt og e tt h em a i nr e s u l t i nc h a p t e r5 。w em a i n l ys t u d yt h ef o l l o w i n gd i f f e r e n c ee q u a t i o n w h e r e f 晌州以螋2 = o ，。t 正 卜) _ 叭丁卜触 a u ( k ) = 让( 庇+ 1 ) 一钆( 后) ( 5 1 1 ) k e yw o r d s ：s e c o n d - o r d e rd i f f e r e n c ee q u a t i o n ；n o n l i n e a r ；p o s i t i v es o l u t i o n s ；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；c o n e ；f i x e dp o i n tt h e o r e m i i i 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文几类二阶非线性差分方程边值问 题正解的存在性劳，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间 独立进行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或 撰写的研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 已明确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 储签名寻稠啸叫、 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 几类二阶非线性差分方程边值问题正解的存在性系本人在曲阜师范 大学攻读硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成 果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人 完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有 关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜 师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部 或部分内容 r 一 第一章绪论 随着计算机科学、生物数学、自动控制技术以及边缘科学的不断发展，微 分方程有着越来越广泛的应用，但生产实际和科学研究中遇到的微分方程，在 很多情况下都无法给出解的具体表达式，因此其离散后所得的差分方程往往更 具有应用价值，自然科学中的许多一般规律，用差分方程的语言来表达最为自 然随着科学的发展，差分方程应用的领域日益扩大不但对于理、工各科应 用逐渐增多，而且已经渗透到医学、经济学领域中在经济与管理及其它实际 问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的例如，银行中的定期存款是 按所设定的时间等间隔计息，外贸出1 3 额按月统计，国民收入按年统计，产品 的产量按月统计等等，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法再例如 计算培养细菌问题、人1 3 增长问题、市场经济、流行病的传染等实际问题中， 都需要应用差分方程而差分方程的各种边值问题正解的存在性的研究是差分 方程理论研究中一个活跃而且成果丰硕的领域 ( 部分结果可参见文 1 卜p 2 1 ) 目前人们常用的方法有各种不动点定理和上下解的方法，在各种不动点定 理中，锥拉伸压缩不动点定理广受研究者们的青睐 第二章一类差分方程两点边值问题正解的存在性 近年来，差分方程和微分方程边值问题正解存在性的研究得到了迅速的 发展，获得了很多好的结果，如文献 1 - 9 受文 1 的启发，本文讨论以下 p - l a p l a c i a n 差分方程 在边值条件 如( 札 一1 ) ) 】+ f ( t ，u ( ) ) = 0 ，t 1 ，t + 1 】 ( 2 1 1 ) a u ( o ) = u ( 丁+ 2 ) = 0 ( 2 1 2 ) 下的正解的存在性 为方便起见，本文约定o ( t ) = u l - - i - m 0 + 丛v y 绊- - ，厶( t ) = 墨恐弩掣，h6 i = 1 u _ o o 1 。 o ，a + 1 ，6 ，【o ，b ) = o ，a + 1 ，b 一1 ) ，p ，。) = a ，o + 1 ，) ，n 1 ，( 奶) - 1 = ，妄+ ! = 1 ； 厂是( 【1 ，丁十1 ，r ) 一r + 上的连续函数 2 2 预备妃识 首先需要说明，u ( t ) 是问题( 2 1 1 ) ，( 2 ，1 2 ) 的解，当且仅当 ) = 塾( 鼢1 川刚、) i 雕 0 ) 丁+ 2 ( 2 2 1 ) u ( t ) = ( 弛，u ( i ) ) ) ，t 0 ，丁+ 2 - ( 2 2 1 ) 5 = t、l = 事实上，由( 2 1 1 ) 得 如( 让0 1 ) ) 】= - f ( t ，戗0 ) ) 2 曲阜师范大学硕士学位论文 把上式从1 到s 进行和运算，得 88 a a a u ( i 一1 ) ) - 一，( ，也( i ) ) ， i ：1i ：1 此即 s 奶( ，u ( s ) ) 一如( u ( o ) ) = - f ( i ，u ( i ) ) i = 1 由p - l a p l a c i a n 算子的定义和( 2 1 2 ) 得 州砘( 喜州讪，) ， 把上式从t 到丁+ 1 进行和运算，再由( 2 1 2 ) 即可得到 t + l 占 、 u ( ) = 九( 巾，钍( 训 8 = t、i = 1 7 在本文中，我们定义范数i i u i i 。景髯2 】i u ( 。) i ，令e = u ： 0 ，t + 2 _ ra u ( 0 ) = u ( 丁+ 2 ) = o ) ，则( e ，| i i i ) 为b a n a c h 空间 定义锥尸： p = u e ：u ( t ) 0 ，t 0 ，t + 2 】且u ( t ) 盯( t ) l j 让| 1 ) ， 这里 。 盯( t ) = 1 一南，t 【o ，t + 2 】 下面的k r a s n o s e l s k i i 7 s 锥压缩和拉伸不动点定理( 见文献【1 0 】) 是获得本 文结果的主要工具 引理设e 为一b a n a c h 空间，并且pce 是e 中的一个锥，假设q l ，q 2 是e 中的开子集，且有0 q 1cq 1cq 2 ， t ：pn ( q 2 q 1 ) _ p 3 第二章 一类p - l a p l a c i a n 差分方程两点边值问题正解的存在性 为一全连续算子，如果 ( i ) i i t u l l uj | ，u pna q l ，且j i 丁钆| i | j u | l ，尸na q 2 ，或 ( i i ) i i 丁i l j | u | ，乱p n a q l ，且j i ? u | | j l u l l ，让p n a q 2 ， 则丁在尸n ( 璃q 1 ) 内有一个不动点 2 3 主要结果 f 面，我们给出本文的王要结果 定理若对任意t 【1 ，t + 1 】，总有 ( i ) 厂o = 0 ，厶= 。或 ( i i ) o = 0 0 ，厶= 0 则问题( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 在p 中至少存在一个正解 证明：定义算子t ：p _ e 酬垆参( 鼢州砌) o ，丁+ 2 】 ( 2 3 f 1 ) ( 丁钆) ( z ) = 九( 巾，u ( 训，t o ，丁+ 2 】 ( 2 3 f 1 ) s ：= t、l = 上 由( 2 3 1 ) 知，如果 i t p ，则( t u ) ( t ) 0 ，t 0 ，t + 2 ，并且 归训邛u ) ( o ) _ 驭黔畎刚) 令 ) = ( t 姒p ( 1 一高) 恻 o , r + 2 1 则 u ( o ) = u ( t + 2 ) = 0 ，2 u ( t ) s0 ，t 【o ，司 由 5 j 中的引理2 ，可以得到 ) o ， o , t + 2 1 ，( 刊( 1 一南) 恻 丁+ 2 】 4 曲阜师范大学硕士学位论文 所以t ：p 一尸，并且容易验证t ：p _ p 为全连续的 ( i ) 对于f o ，因为f o = o ，所以存在h 1 0 使得f ( t ，“) 斋( 舰) p ， 0 0 并且满足 o ( t + 2 ) 1 定义 q 1 = u 尸：i i u | | 0 对于牡曰2 ，有1 厂( t ，u ) ( 7 u ) p 这里7 0 并且满足 吉7 们) 1 ， 其中 。 x=t ez ：o 0 使得f ( t ，u ) ( v u ) p 一，0 0 并且满足 吉如( 1 ) 1 一s e x 对于珏尸并且| | 锃= 日1 ，有 丁u l i = 因此，当u pna q l 时，有 ( 2 3 。4 ) 这里q 1 = u p ：i i u f j 0 对于u 或，有f ( t ，i t ) 赤( a u ) p ，这里入 0 并且满足a ( t 十2 ) 1 令 现：m a x 2 h l ，2 百2 ) ， 6 、= 、 d i 呱 叫 八 八i 。吼 如 r 、1 p 崾 一 川 一)12 踟 八i 以 0 ， 巾 炉。甜嘶、l一 m 脚似 0 m 八 八| 。褂 夏p 唾 八l 川 啪 八i 一 0 0 严。：l呻厂“ m 瑚蹦 曲阜师范大学硕士学位论文 对于u 尸且| | = h 2 ，有 t + i 8、t+1 i i t u i t = 矽。( 巾，也( i ) ) ) 九( 地( i ) ) p 。1 ) s - - - - o i - - - - 1 s = 0 t + 1 a i j u f | 咖。( 1 ) = f i u l i a ( r + 2 ) 1 1 札1 1 因此，当u pna q 2 时，有 丁训l l i ，( 2 3 5 ) 这里q 2 = u p ：i 凰) 利用引理中的( i i ) ，由( 2 3 4 ) ，( 2 3 5 ) 知t 在p n ( _ 2 q 1 ) 内有一个不动 点 综上，由引理知，无论是定理中哪一种情形，我们均可得到r 在p n ( 豆2 q 1 ) 内有一个不动点，这个不动点即为问题( 2 1 1 ) - ( 2 1 2 ) 的解，定理得证 考虑方程 2 4 应用 f 奶( u ( t 一1 ) ) 】+ f ( t ，饥( t ) ) = 0 ，t 1 ，4 9 】，( 2 4 1 ) 浦足边值杀仵 也( o ) = u ( 5 0 ) = 0 ，( 2 4 2 ) 这里p = i ，( t ，u ( t ) ) = t 缸，丁= 4 8 ，此时e = 札：【0 ，5 0 _ r i a u ( o ) ：= u ( 5 0 ) = o ) ，p = u e ：u ( t ) o ，t ( 0 ，5 0 】且u ( t ) 可5 0 - t 1 1 2 i i ) 容易验证 扣删l i m + 掣= 岛器= 一l i m 吲1 拈o j ：恕掣= 一 i r a 。- 掣 主= 恕一 7 第二章 一类p - l a p l a c i a n 差分方程两点边值问题正解的存在性 由定理知问题( 2 4 ，1 ) ，( 2 4 2 ) 在尸中至少有一个正解 注对于方程( 2 1 1 ) ，考虑边值条件 u ( o ) = a u ( t + 1 ) = 0 ，( 2 ，4 ，3 ) 我们可以用非常类似的方法对问题( 2 i 1 ) ，( 2 4 3 ) 进行研究 8 第三章一类p - - - l a p l a c i a n 差分方程边值问题正解存在性 3 1 引言 本节研究p - l a p l a c i a n 差分方程 【多p ( a u ( t 一1 ) ) 】十g ( t ) ，( u ( ) ) = 0 t 【1 ，t 十1 ( 3 1 1 ) 满足边值条件 锃( o ) = a u ( t + 1 ) = 0 ，( 3 1 ，2 ) 这里r 为实数，z 为整数，并且r + 为正实数，给定z 中整数a ，b ，并 且口 b ，如( s ) 是一个p - l a p l a c i a n 算子 a ，翻= a ，a + i 酚，t 1 奶( s ) ，如( s ) 的定义同第二章，并且f ：r + 一r + 为连续的，o ( t ) 是定义在 1 , t + 1 上的正值函数 3 2预备知识 为了得到本章的主要结果，我们先来介绍以下的不动点定理。 令x 为一个b a n a c h 空间，p 是x 中的一个锥，任意的一个pcx 可 在x 上建立偏序，我们定义p 中的元素满足关系”墨”，如果z y 当且仅 当芗一z p ， 令占：尸_ 【0 ，。) 是一个非负的连续的增函数，并且 p ( 6 ，d ) = ( z 尸：巧( z ) a 尸( j ，d ) = z p ：j ( z ) = d ) 夕( 万，回= ( z p ：6 ( z ) d ) 引理1 1 9 x 为一个实b a n a c h 空间，尸为x 中的一个锥，7 和o c 是 两个非负的连续的递增的映射，p 是一个非负的连续映射，并且o ( o ) = 0 ，存 在两个正实数c ，m ，使得对任意的。p ( ，y ，c ) ，均有下式成立 ，y ( z ) o ( x ) sa ( z ) ，j i zj i m ( x ) 9 笪三皇二耋堡垦翌! 竺塑董坌塑矍望笪回墼里堡塑壹垄：堕 一 再假设t ：丽_ p 是全连续的，存在正数0 a 6 c ，z 0 p ( 7 ，c ) ( i i ) e ( t z ) a ，p ( n ，口) 9 ，茁8 p ( q ，o ) ， 则在；而y 中，至少存在两个不动点x l 和2 2 满足下式 n 口( z 1 ) ，曰( 。1 ) b ，b 目( z 2 ) ，7 ( x 2 ) 0 ，c 0 满足 吣伙害k 志害c 并且，满足下列条件： ( a ) ：当南u c 时，( u ) 移，( 景) ( b ) ：当彳u b 时，( u ) i a ) 则边值问题( 3 1 1 ) 和( 3 1 2 ) 至少有两个正解u l ，乜2 使得 口 ( 髓1 ) ，o ( u 1 ) b ，并且6 ( f 札) ( 7 1 ) r 丁+ 1 。口o s - - 1 i - - - s t f t ，l - 1 砉三。( 善 。”) ) 下面证引理l 的( i i ) 徭到满足，令乱o p ( o ，6 ) ；则 伊( u ) 2 。m 三。a 三x ，( 。) 2u ( r ) = 6 ， 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 并且 所以 u ( 。) 删州而b ，z 高婶) 6 ， 1 川 由于条件( b ) 成豆，对任葸的t 【1 ，r j ，( 乜( ) ) ( 孝) 因此 o ( s u ) = ( f u ) ( r ) ， t + z = 。l 。( i ) 他( 训 害垫隆) ) 最后我们证明引理1 中的( i i i ) 得到满足， 令t ( ) = ；，0 t t + 2 ，则珏( z ) 在p ( q ，o ) 中，所以尸( a ，o ) 仍， 如果孔o p ( a ，o ) ；贝4 所以 q ( 也) = m i n 乜( t ) = u ( 叼) = a ，、7 t ( 善) ，t 【l ，7 7 】 a , n 1 3 第三章 一类p - l a p l a c i a n 差分方程边值问题正解的存在性 所以 a ( f u ) = ( f “) ( 7 7 ) =0 由引理l ，我们得到边值问题( 3 1 1 ) 和( 3 1 2 ) 至少存在两个正解u l ，u 2 在 p ( 7 ，c ) 中，使得 定理证明完毕 a a ( 珏1 ) ，o ( u 1 ) b ，b 夏洳九三 苫势谑 曲阜师范大学硕士学位论文 证明：选取a = 1 0 2 ，b = 2 1 0 2 ，c = 1 0 5 则 k = 2 九隆，) = 9 8 。1 曲3 9 9 l 善- 隆j ，) l = 8 容易得到0 o 軎6 姊( 善) ： a r m ) 如( 导) = 、叼 = 9 8 0 1 = 1 9 4 0 5 1 0 a 乜 1 0 5 2 l t 1 0 2 i 让 1 0 2 所以由定理3 1 知问题( 3 4 1 ) ，( 3 4 2 ) 至少存在两个正解i t l ，i t 2 ，并且满足 1 0 2 m i n 2 t i 0 0u 1 ( t ) 且恶瞽让l 2 1 0 2 2 1 0 卜蚴m a 1 满足；+ ；= 1 ，奶( s ) ，。( s ) 的定义同第二章，n 是一个正 整数，f o ，1 十1 ) 是一个常数 ( 凰) b o ：r _ r 是连续的并且满足存在p a 0 ，使得o t 2 l b o ( z ) p ( z ) 3 2 r + 序列扣( o ) ，钆( 1 ) u ( n + 2 ) 称作边值问题( 4 1 1 ) - ( 4 1 2 ) 的正解，如 果对于k o 满足方程( 4 1 1 ) 和边值条件( 4 1 2 ) ，并且乜( 岛) 0 ， k 1 ，十1 ) 4 ，2预备知识 在这一部分，我们介绍b a n a c h 空间中的一些定义和个不动点定理 1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 定义1 9 】：x 是一个实b a n a c h 空间，非空的闭凸集pcx 称作x 的 锥，如果它满足下列条件； ( i ) 若z p ，a 0 ，则a z 尸 ( i i ) 若。尸 一z 尸：贝0z = 0 每一个锥尸cx 可在x 上建立偏序，我们定义关于p 中的”5 ”，若 o5y 当且仅当y z 尸 定义2 ：映射妒：尸一 0 ，+ ) 称作非负连续递增的函数，如果砂是非负 的和连续的并且满足对所有的z ，y p 和z y ，都有妒( z ) 矽( 可) 定义3 ：一个算子被称作全连续的，如果它是连续的并且映有界集到预紧 集 令 p ( 妒，d ) = z p ：妒( z ) d ) a p ( 妒，d ) = 。p ：母( z ) = d ) p ( 妒，d ) = ( z p ：妒( z ) d 引理1 1 9 x 是一个实b a n a e h 空闯，户是x 中的锥，y 和a 是两个 菲负连续递增的映射，口是一个非负连续映射，并且o ( o ) = o ，存在两个正数 c ，m 使得 7 ( z ) o ( x ) ( z ) ，i x l i j 订7 ( z ) ，z p ( 7 ，c ) 再假设t ：p ( - y ，c ) _ 尸是全连续的，并且存在正数0 o b c ，z o p ( 7 ，c ) ( i i ) o ( t x ) a ，尸( q ，o ) 仍，z o p ( a ，o ) 则t 至少存在两个不动点勋，x 2 p ( ，y ，c ) ，满足 n q ( z 1 ) ，o ( z 1 ) b ，b 。 a ，= ( n r 十1 + 口) 9 下面我们给出本节的主要结果 t 9 畎旬户n：l 笙婴童二耋查堡差坌友矍三：量望焦塑望垂堡堑壹垄：堕 定理l ：假设存在正数g b c 使得0 d 鲁6 如( 妥) ， ( i i ) f ( k ，u ) 九( 砉) ， 0 乱c 0 学b 0 u a 则b v p ( 4 1 1 ) - ( 4 1 2 ) 至少有两个正解? 2 1 ，秽2 使得 蚁r r i o l a x ，v 1 ( k e是) ，且k e m h 咎l ( 露) 一 一 一 = 接下来，我们证明 由于o ( v ) = b ，所 b 口( 尼) i i v l f 所以有下式成立 o ( t v ) = 曲阜师范大学硕士学位论文 若口o p ( o ，6 ) ，则o ( t v ) 鼍( n - r + l + a m 隆，卜 这样，由引理1 可知丁至少存在b v p ( 4 1 1 ) 一( 4 1 2 ) 的两个不同的个不动点 u 1 和到2 ，使得( 4 3 2 ) 成立，定理证明完毕 咖 加 加 常胃一 第五章一类= 阶差分方程m 点边值