（应用数学专业论文）几类具时滞神经网络模型的稳定性研究.pdf

硕士学位论文 摘要 近年来， b 于h o p f i e l d 型神经网络在信号和图像传输方面有着广泛的应用，因此关 于它的研究引起了广大数学工作者的关注众所周知，当神经网络引入时滞以后它的稳定 性分析将变得非常困难，通常具时滞神经网络的稳定性分析有两种方法：一种是将系统 在它的平衡点附近线性化，来得出神经网络局部稳定的条件；一种是通过构造一个合适 的l i a p u n o v 函数，得出保证神经网络稳定的条件，甚至是全局稳定的条件 ，4 i 文主要研究三类具时滞神经网络模型解的稳定性，得到了一些新结果，其中一部 分改进或推广了已有文献的相关结论文章研究了一类具时滞差分方程解的稳定性，我们 利用b r o u w e r 不动点定理得到了保证时滞差分方程平衡点存在的一些充分条件，并利用 l i a p u n o v 函数法给出了平衡点全局指数稳定的些充分条件在对一类具连续时滞神经 网络模型的研究巾，我们利用g a i n s 利m a w h i n 的拓扑度定理、矩阵理论，得出了该模 型的周期解的存在性与全局指数稳定性的一个充分条件，我们的结论比以往的结论所要 求的条件更宽松，所适用的神经网络模型的活泼方程可以既不可微也不严格单调，推广 了已有文献中的相关结论，我们给出了两个例子说明我们得到的结论文章还讨论了具分 仃时滞双向联：息记忆神经网络模型，我1 i n 用b r o u w e r 不动点理论和构造l i a p u n o v 函数 的方法，获得了一些保证神经网络平衡点的存在性，唯一性和全局指数稳定性的充分条 件 关键词：神经网络系统：平衡点：稳定性；指数稳定性：周期性 儿类具时滞神经网络的稳定性研究 = ：= ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! = = = = ! 皇= = = = = = = ! = = = = = = = = = = = ! ! ! ! ! ! e = ! ! = = ! ! ! = = = = ! ! ! ! = = = = = = = = = ! = = = = = = ! ! ! ! ! ! ! ! = ! ! ! = ! = = ! ! = = = ! = = = = ! ! ! = = = = e = = = a b s t r a c t r e c e n t l y ，s o m eo ft h er e a s o n sw h yh o p f i e l dn e u r a lw o r k sh a v er e c e i v e dag r e a td e a lo f a t t e n t i o no fm a t h m a t i c a l sa r eb e c a u s eo fi tc a l lb eu s e di n a p p l i c a t i o n st os i g n a la n di m a g e p r o c e s s i n g i ti s w e l lk n o w nt h a tf o rn e u r a ln e t w o r k sw i t hd e l a y s ，i ti sr a t h e rd i f f i c u l tt o a n a l y z et h e i rs t a b i l i t yp r o p e r t i e sd u et oi n t r o d u c t i o no fd e l a y s t h e r ea r eu s u a l l yt w ow a y s t o d ot h i s o n ei st ol i n e a r i z et h es y s t e mn e a r e q u i l i b r i u m ，c o n d i t i o n so b t a i n e di n t h i s w a y c o n c e r nt h el o c a l s t a b i l i t y a r o u n da n e q u i l i b r i u m a n o t h e rw a yi s t oc o n s t r u c tas u i t a b l e l i a p u n o vf u n c t i o nf o rs y s t e ma n dt h e nt od e r i v es u f f i c i e n tc o n d i t i o n se n s u r i n gs t a b i l i t y , t h i s u s u a l l yi n v o l v e sg l o b a ls t a b i l i t y t h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l ys t u d i e st h es t a b i l i t yo ft h r e ec l a s s e so fd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k s a s e r i e so fr e s u l t sa r eo b t a i n e d ，w h i c ho ft h e mi m p r o v eo re x t e n dt h er e l a t e dr e s u l t si nt h e l i t e r a t u r e s t h i s p a p e r c o n s i d e rt h e s t a b i l i t yp r o p e r t y o fac l a s so fd e l a y e dd i f f e r e n c e e q u a t i o n s ，w eo b t a i ns o m ed i f f e r e n tc o n d i t i o n se n s u r i n gt h ee x i s t e n c eo ft h ee q u i l i b r i u mb y m e a n so fb r o u w e r sf i x e dt h e o r e m ，a n dw eo b t a i ns o m ec o n d i t i o n s e n s u r i n gt h eg l o b a l e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i u mb ym e a n so ft h el i a p u n o vf u n c t i o n a lm e t h o d i nt h e s t u d y o fac l a s so f h o p f i e l d n e u r a ln e t w o r kw i t hc o n t i n u o u s d e l a y s ，w e o b t a i ns o m e c o n d i t i o n s e n s u r i n gt h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s a n dt h eg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h e p e r i o d i cs o l u t i o n sb ym e a n so fd e g r e et h e o r e ma n dl i a p u n o vf u n c t i o n a lm e t h o d o u r r e s u l t s a r el e s sr e s t r i c t i v et h a np r e v i o u s l yk n o w nc r i t e r i aa n dc a nb ea p p l i e dt on e u r a ln e t w o r k sw i t h ab r o a dr a n g eo fa c t i v a t i o nf u n c t i o n sa s s u m i n gn e i t h e rd i f f e r e n t i a b i l i t yn o rs t r i c tm o n o t o n i c i t y o u rr e s u l t se x p a n dt h er e l a t e dr e s u l t si nt h el i t e r a t u r e s w ea l s og i v et w os p e c i f i ce x a m p l e st o i l l u s t r a t et h eo b t a i n e dr e s u l t s i nt h i sp a p e r ，w ea l s of o c u s eo nt h eb i d i r e c t i o n a la s s o c i a t i v e m e m o r yn e t w o r km o d e lw i t hd i s t r i b u t e dd e l a y s ，b yb r o u w e r sf i x e dt h e o r e m ，a n db y m e a n s o ft h e l i a p u n o v f u n c t i o n a l m e t h o d ，w e o b t a i ns o m ed i f f e r e n tc o n d i t i o n s e n s u r i n g t h e e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，a n dg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y o ft h ee q u i l i b r i u m k e y w o r d s ：n e u r a ln e t w o r k s ；e q u i l i b r i u m ；s t a b i l i t y ；e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y ；p e r i o d i c s o l u t i o n s n 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研冗成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文叶1 以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果臼本人承担。 作者签名： 豁件 日期：一以年涉月r 口 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名： 导师签名： 毫脚 日期：a 埠 日期乒争年 毕月5 日 华月f 日 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 问题研究的背景和意义 “入： 神经网络”( a r t i f i c i a l n e u r a l n e t w o r k ，简称a n t n ) 是在对人 脑组织结构和运行机制的认识理解基础之上模拟其结构和智能行为的一种工程系 统早在上世纪4 0 年代初期，心理学家m c c u l l o c h 、数学家p i t t s 就提出了人工神 经网络的第一个数学模型，从此开创了神经科学理论的研究时代其后， f r o s e n b l a t t 、w i d r o w 和h o p f 、j j h o p f i e l d 等学者又先后提出了感知模型，使得 人工神经删络技术得以蓬勃发展 1 9 8 6 年美国物理学家j j h o p f i e r t 陆续发表儿篇论文，提出了h o p f i e l d 神经网 络他利用非线性动力学系统理论中的能量函数方法研究了反馈人工神经网络的稳 定性，并利用此方法建立了求解优化计算问题的系统方程式基本的h o p f i e l d 神经 网络是一个由非线性元件构成的全连接型单层反馈系统网络中的每一个神经元都 将自己的输出通过连接权植传送给所有其它神经元，同时又都接收所有其它神经 元传递过来的信息，即：网络中的神经元t 时刻的输出状态实际上间接地与自己的 t - 1 时刻的输出状态有关，所以h o p f i e l d 神经网络是一个反馈型的网络，其状态变 化可以用差分方程来表征反馈型网络的一个重要特点就是它具有稳定状态当网 络达到稳定状态的时候，也就是它的能量函数达到最小的时候这里的能量函数不 是物理意义上的能量函数，而是在表达形式上与物理意义上的能量概念一致，表 征网络状态的变化趋势，并可以依据h o p f i e l d 工作运行规则不断进行状态变化， 最终能够达到的某个极小值的目标函数网络收敛就是指能量函数达到极小值如 果把个最优化问题的目标函数转换成网络的能量函数，把问题的变量对应于网 络的状态，那么h o p f i e l d 神经网络就能够用于解决优化组合问题 神经网络的研究内容相当广泛，反映了多学科交叉技术领域的特点迄今为止， 在人工神经网络研究领域中，有代表性的网络模型己达数十种，两学习算法的类 型更难以统计其数量神经网络研究热潮的兴起是上世纪末人类科学技术发展全面 飞跃的一个组成部分它与多种科学领域的发展密切相关，纵观当代新兴科学技术 的发展历史，人类在征服宇宙空间、基本粒子、生命起源等科学领域的进程之中 j l 类具时滞神经网络模型的稳定性研究 历经了崎岖不平之路我们也会看到，探索人脑功能和神经网络的研究将伴随着重 重困难的克服而日新月异 1 2 问题研究的进展和本文的研究 近年来，关于人工神经网络模型的理论和应用的研究引起了广大学者越来越 多的关 2 2 - 取得了丰富的成果( 见文献【1 4 1 ) ，其中h o p f i e l d 神经网络( 见文献 1 7 1 ) 和双向联想融| 乙神经网络( 见文献【2 ，8 1 1 ) 在信g - , n 图像传输方面都获得了广泛的 应用( 见文献【1 2 ) m a r c u s 和w e s t e r v e l t 利用将方程线性化的方法，得出了含时滞相似神经网络 模型的稳定性条件( 见文献f 1 3 】) ，同类文章见文献【1 4 】；王林山和高玉英研究了含 时滞的间隙h o p f i e l d 神经网络模型，利用同伦不变性定理和构造l i a p u n o v 函数的 方法得出了全局鲁棒稳定的充分条件( 见文献 1 ) ，同类文章见文献 5 ，1 5 - 2 3 ；周 冬明和曹进德通过构造l i a p u n o v 函数，得出了h o p f i e l d 神经网络模型全局指数稳 定的充分条件( 见文献f 2 4 】) ，同类文章见文献 2 ，6 8 ，2 5 2 7 ；t a n k 和j j h o p f i e l d 研 究了具分布时滞的h o p f i e l d 神经网络模型，解决了与时问无关的信号确认的一般 问题( 见文献【2 8 ，2 9 ) ，同类文章见文献 2 ，8 1 0 ，1 7 】；郭和黄在文 2 】中讨论了如下 形式的h o p f i e l d 型神经网络模型 z ；p ) = 一q t p ) + o p 一) ) + ，f ， ( 1 1 ) 其中i = 1 , 2 ，n ，l 表示的是神经网络神经元的个数，薯( f ) 和i ；分别表示的是第f 个神经元的激活子和外部输入值，己表示的是第，个神经元和第f 个神经元的相互 联系强度，a ，) - 0 表示的是当与网络和外部输入值没有关联时第i 个神经元重新排 列达到静止状态的比率，t ，表示的是第f 个神经元沿着横传管道到第i 个神经元的 传输时滞，l ( j ；1 ，2 ，n ) 为第，个神经元的信号转换函数，而且口。) o ，z ， 0 ， t - j r ，i ；r 为常数得出了如下结论 定理1 1 2 1 假设下列条件满足 i ) ls p 。l u i + 研， 其中“尺，i = 1 , 2 ，l ；p 。，q 。( f = 1 , 2 ，n ) 都为非负整数，而且p 口) c 1 ，其中 a = o 口) 。，n “t n i l 阢b ，则系统( 1 1 ) 至少有一个平衡点 定理1 2 【2 假设存在非负整数p ，j l ，2 ，以使得 硕士学位论文 j ，( z ) 一 ( _ ) ，) 卜p i l x - yj ，石，y e r ，j = 1 ，z ，n 且p ) t 1 ，其中a = 0 , i ) 。，n f = 口i l b h ，则系统( 1 1 ) 恰好有一个平衡点z ，且x 是指数稳定的 本文第2 章中，我们考虑如下离散系统 葺 + 1 ) = ( 1 - a i h ) + 乃 o ， 一k o - ) ) + i i ，f 一1 , 2 ，z ， ( 1 2 ) 这里，n 。e ( o ：1 ) ，r 为常数，乙 0 ，k k z 模型( 1 2 ) 可以看作是模型( 1 1 ) 的离散类似，我们得出了保证模型( 1 2 ) 的平衡 点的存在性，唯一性，全局指数稳定性成立的不同条件 郭和黄在文 2 】中还讨论了如下形式的h o p f i e l d 型神经网络模型 工沁) 一a l t o ) + 毛， ，( f o ) ) + ，( f ) ， ( 1 3 ) 其中i = 1 , 2 ，。n ，l i ( f ) ：r + 一r 是一个连续的周期函数，得出了如下结论 定理1 3 2 1 假设定理1 1 的所有条件都满足，则系统( 1 3 ) 至少有一个周 期解如果定理1 2 的条件满足，则系统( 1 3 ) 有且仅有一个周期解，而且它是全 局指数稳定的 受文【2 的启发，本文第3 章中我们考虑如下系统 工；( f ) = 一口 ( f ) + 巧l ，o 一o ) ) + ，r ( f ) ，f = 1 ，l ， ( 1 - 4 ) 其中( f ) ，均为r 上的连续m ，o ) 周期函数，0 ( f ) s f ，i t , ( 0 f s i i ，i ，= 1 ，n 我们得出了关于系统( 1 4 ) 的周期解的存在性和唯一性的充分条件，推广了已有文 献中的相关结论 k g o p a l s m y 和x u e z h o n gh e 等( 见文献【9 ，1 0 ) 考虑了如下的双向联想记忆模 型 “水) = 一“j ( f ) + s ( a j v j ( 一咯) ) + ， v 以) = 一吩o ) + s ( ，( f 一功) ) + j j ，f ，jz 堵一m ( 1 5 ) 其中，肛，r , i ，( f ，= 1 ，2 ，疗) 为非负常数，j ，疗f ，( f ，- 1 , 2 , ，n ) 3 0 实数，s ( x ) = t a n h ( x ) ，工( 一* ，。) ，得出了如下结论 定理1 4 假设存在c ( 0 , 1 ) 使得下式成立： 几类具时滞神经网络模型的稳定性研究 ! ! ! ! ! = = 2 = = ! ! ! = = = = = = o = = ! = = 自! 自! ! ! = = ! ! = j 日= 自e ! = = = = = = ! ! ! ! ! = = = = = = ! ! = = ! ! = = e ! = ! = = 自= 自= = = = = = = = = = = = = ! = = = = = = = = = 自= = 一 驴一i “ “驴一卜 1 则系统( 1 5 ) 对应于每一个外部输入向量，= ( ，：，i n ) ， 都存在唯一的平衡点 ( “，v ) 使得 2 n s ( a ，v ；) + ，。 = s ( ，“；) + j j 且平衡点是全局渐近稳定的 虽然在含反馈时滞模型中利用常数时滞已经是对含少量神经元的简单神经网 络的很好模拟( 见文献【1 ，2 7 ，1 1 1 6 ，1 8 4 1 】) ，但是，由于大量含有变动的横传管道的 平行路径的存在，使得神经网络己到了空间的范围，在这种情况下信号传导不再 是瞬时的，就再不能用离散的时滞来模拟，一个比较可信的方法是结合分布时滞 ( 见文献 2 ，8 ，9 ，1 0 ，1 7 】) ，而且，含分布时滞的神经网络比含离散时滞的神经网络更 具一般性，因为在某一个具体的时间时滞核是一个6 方程，这时候分布时滞就变 成了离散时滞 郭和黄在文 8 】中讨论了如下具分布时滞的h o p f i e m 型神经网络模型 珈) = - - u i x i 扣n 州嘞+ 孵拍) 邶刮川“加( 1 6 ) i = 1 ，2 ，n 其中n 表示的是神经网络神经元的个数，x f i 口i ；分别表示的是第i 个神 经元的激活子和外部输入值，口口和表示的是相互联系强度，“，o 表示的是当与 网络和外部输入值没有关联时第f 个神经元重新排列达到静止状态的速率，k ，定义 为第j 个神经元被激活后的活泼程度，厂，g ( ，= 1 2 ，n ) 为第j 个神经元的信号转 换函数 假设信号转换函数 ，g j ( ，一1 ，2 ，1 ) 具有下面的性质 ( h 1 ) f j ，g ，( ，= 1 ，2 ，n ) 在r 上有界； 4 硕士学位论文 且 ( h 2 ) 存在p ，0 和口，o 使得 ( “) 一 ( v ) 卜p j i “一v l ， l g j ( “) 一g ，( v ) 1s q ，卜一v i ， 盯历伺踟“，ve = r ，= i ，2 ，盯耆i ；厩且他们得到j 奶p 结佑 定理1 5 8 1 条件( h 1 ) 和( h 2 ) 满足，如果存在正常数d ，d ：，d 。和口，1 使得下列 条件之一成立： ( a 1 ) 罂 壶喜孵1 ) ( 协，+ 啪+ 扣舸岛嘶 l ； ( a 2 ) 翟j ：= 去扣_ 1 ) ( 协，嵋) + 扣i h 坩】 1 ； ( a 3 ) 翟刊去扣_ 1 ) ( 陆，+ ) + 手i 砒”附c i ) 】 c l ( a 。) m 。a ；。x i i 埘纠口一1 ) i i n a ”+ 和1 一m + k i “d j q i c i ) c 1 ； ( a 5 ) 翟x f 去扣_ 1 ) ( 协，+ a - l c j ) + 扣一岫晰i 删】 有个平衡点 证明略 称系统( 2 2 ) 的平衡点z + s ( x ；，x ；，z ：) 7 是全局指数稳定的，如果它是全局渐 近稳定的，且存在常数m 1 ， ，1 使得系统( 2 2 ) 的满足初始条件 b ，( n z ：( n 一，吒( 脚7 = a l 口：，一，口。f ) ( j 一k , - k + l ，0 ) 的任意一个解z ( 七) 有 k ) 一x i + f s m 忙一x 陋，i = 1 , 2 ，n ，这旱妒= ( ，妒：，吼) 7 如果进一步假设 ( f - 1 , 2 ，n ) 是全局l i p s c h i t z ，则能得到平衡点的唯一性和全 局指数稳定性：，我们可以得到下面的定理 定理2 2 假设存在非负数p ，( ，。1 ，2 ，) 使得 ) 一正( y ) 忙p j k 一_ i ， x ，y e r ，j = 1 , 2 ，n 且p ( a ) c 1 ，其中4 如定理2 1 中所定义，则系统( 2 2 ) 恰好 有一个平衡点工，且工+ 是指数稳定的 证明由二f a d 1 ( d a d 。) d ，其中d = d i a g ( a 1 ，n 2 ，a 。) ，p ( d a d 。) 一p ) 1 ，使得 硕士学位论文 一加r 一1 ) d ，+ 加z d j k p c o ，f = 1 ，2 ，m ( 2 5 ) 又由广满足l i p s c h i t z 条件可得 i l o ) | s p , 1 4 + j ，j ( o ) j ，= 1 ，2 ，n 从而定理2 1 的条件成立，故系统( 2 2 ) 存在一个平衡点x 令x ( k ) 为系统( 2 2 ) 的任意一个解，定义y ( 七) = x 似) 一x + ，则有 y i + 1 ) = ( 1 - a i ) y j ) + g ( y ， 一k o ) ) ，i = 1 ，2 ，n ， ( 2 6 ) 其中g j ( y ，似一t ) ) = ( z ，( 七- k “) ) 一无o j ) ，下面证明系统( 2 6 ) 的零解是全局指数稳 定的考虑l i a p u n o v 函数 咧栌酗( ) p + 酗畛磊) ”) ( 2 - 7 ) 很显然对任意非零的y ) ，v ( y ) ( t ) 0 沿( 2 6 ) 的解计算v 的差分a v 有 如s 豁矾”妁防以) i + 荆以以一毛巾+ ；| ；喀，。甍” 一斟蚶) 旷一弘弘n 阢，羲k - 1 咖) ” = 薯吐( ( - z a , - 1 ) 1 m ( k ) l z “1 + 砉砉d j 毛p ，i y ，一岛) 卜。 = 毫d ，( a 一儿，一1 ) i y ，( t ) 防。1 + 耋耋d ，h l p ，i y ， ) i 才+ = 妻 ( 一加，一1 y ，+ 石“善n 陆p ，耖，似l 坩4 s o 故v ( y ) ( 女) sy ( y ) ( 0 ) 于是我们得到 砉t f y 陋“s 静“酬一+ 私b ，美) ”) d ， 1 + 【( 小“- 1 ) ( a 一1 ) 】b 圳妒h 则有i y l ( ) is m x 。俐l ， i = 1 , 2 ，z ，m 为某一正数，从而定理2 2 得证 几类具时滞神经网络模型的稳定性研究 3 1 引言 第3 章一类具变时滞的h o p f i e l d 神经网络 模型的周期解与指数稳定性分析 人工神经网络的理论和应用的研究引起了广大科学工作者的强烈兴趣并成 为二辩线性科学研究领域的热点之一郭和黄在文【2 】中讨论了如下h o p f i e l d 利 经网 络模型 z j ( f ) = 一口r o ) + 毛 ，( f ) ) + ，。( f ) ， ( 3 1 ) i = 1 ，一，n ，le - r ，得出了丰i f i 经网络的周期解的存在性与全局指数稳定性的一些充分 条件本文考虑如下带变时滞的h o p f i e l d 神经网络模型 z 怨) = 一n z 置( f ) + 丐乃 ，o 一岛( f ) ) + ，( f ) ， ( 3 2 ) i 一1 ，一，n ，其中n 为神经元的个数，z i ( f ) 为第i 个神经元在f 时刻时的状态变量， a ，0 表示在与神经网络不连通并且无外部附加电压差的情况下第i 个神经元恢复 静息状态的速率， ，( ) 为激活函数，? = ( 乙) 为联系强度矩 阵，= ( ，( f ) ，：( f ) ，i 。( f ) ) 为外部输入值，t ( f ) 为传输时滞，( f ) ，l i ( f ) 均为r 上的 连续u ，o ) 周期函数，且存在常数r ，t 使得 05 ( f ) e f ，i ，o ) l s i i i ，= 1 ，n ( 3 3 ) 设从 一，0 】到彤上的连续映射做成的b a n a c h 空间c ( 卜r ，o 】，舻) 遗通常的相空 问，其范数定义为 i l 妒4 = m 。a 。x 。s u 。p ，。i 妒, ( t ) l ，伊c ( - r , 0 ；r “) 通过迭代的方法，对任意的妒c ( 卜f ，o ；r 1 ) ，我们能够解出系统( 3 2 ) 的唯一的解 工：卜f ，。】一r “使得工j f - f 川一妒，x 对任意的t 之0 是连续的，它满足方程( 3 2 ) ，而 且是几乎处处可微的 下面我们给出一个引理，它的证明可参见文 3 2 】中的证明 引理3 1f 3 2 ( m a w h i n 延拓引理) 设x ，z 均为b a n a c h 空间，l ：d 口) c 盖一z 是 指标为零的f r e d h o l m 算子，q c x 为有界开集，且n ：q x 在凸上是一紧的， 如果下列条件成立： 1 0 硕士学位论文 ( i ) l x ) m x ，v x a q n d ( l ) ，a ( 0 , 1 ) ( i i ) q n x # 0 ，v x d q n k e r l ； ( i i i ) d e g q n ，q n k e r l ，0 0 则方程瓜t 舭在q ( 1 d ( l ) 中至少有一解 3 2 主要结果 定理3 1 假设，f ) 为r 上的连续函数， i 0 ) i5 p l l u i + q ， 且p ( 一) c 1 ，其中一= o f ) 。，a “= “i l l 五旧， 一周期解 证明定义 且存在常数p ，2o ，q i 0 ，使v u e r ， i = 1 , 2 ，n ， ( 3 4 ) i ，= 1 , 2 ，n 则系统( 3 2 ) 至少有一个 。2 哪m a 训x j x ( 0 j ，i = 1 2 。1 ，m ， 龇2 黼批j | 0 ) ，i h i 。2 m a x ， xi i 。，帆i i ) ， 盖： z i x e c l ( r ，尺) ，x ( f + m ) = x o ) ，v f r ， z 。 x l x c ( r ，r ) ，x ( t + ) ：x ( f ) ，v t e r ， 于是，z 和z 分别在| | j | 1 范数和| | j | 0 范数下成为的b a n a c h 空间 令 ( 舰) r ( f ) = - - a i x i ( f ) + 乏毛厶o ，( f f f ( f ) ) ) 鸭( f ) ， h ) ( r ) = “( f ) ，砌；去r “o 渺，j ” 定义投影算予 a = 知雄冲， x ) ，彩= 昙f z ( t ) d t ，d z ) 不难得到k e r l = 剧，i m l t 仁z ：，：z ( o a t = o ) 在z 中是闭的，且 d i m k e r l = n = c o d i m l m l ， 因此l 为指标为0 的f r e d h o l m 映射容易验证p , q 都为连续映射，且使得 h n 尸一k e r l ，k e r q i m l ；i n a ( ，一q ) 故l 的逆映射存在，其逆映射r 4 , ：i m l k e r p n d o t a l 为： 噼州，= z t 。一丢r t ( s ) c l s d t ，i a l ，2 。 比z 几类具时滞神经网络模型的稳定性研究 我们有 ：q ) 。( f ) = 三r 卜 o ) + 善n ( f 一( t ) ) ) “，( r ) 坤， ( “卜o ) n u ) 以) 。f h 阱砉巧胎如1 ) 帕) 批 一丢r _ 卜n ( s ) + 荟n 弓 o ，o 一。) ) ) “，。) 出出 一( 去一圭v ：i 【一q t ( s ) + 喜毛，。一o ) ) ) “，。) ， i = 1 2 ，h s & 然，q n 和k 。( ，一q ) n 都是连续的，对于任意的有界开集q ，利用 a p z e l a a s c o ，! 定理可得k 。( ，一q ) ( q ) 是列紧的，而且q ( 凸) 是有界的， 则n 7 i ：q 上是l 紧的 下而我们找一个合适的丌有界子集q 来应用延拓定理，对于方程算子 l x = 肭， ( 0 ，1 ) ，有 工j p ) = 一) t a i x i o ) + a 毛 ( _ ( f f u ( f ) ) + 盯t o ) ( 3 5 ) f ：1 ，2 ，疗，( o ，1 ) 假设“= 群) = ( 置p ) ，x 2 p ) ，t 8 ”7 盖是系统( 3 5 ) 的一个 解，则存在f 。 0 ，c o ，使得拉以。) i2 f q m 岫a x l k ( f ) l ，且爿 ) = o 于是 d r 蕾 ) 2 善毛 ，( f f 一巧以) ) + t ( f f ) ， 从而 1 = 窿盹”删+ 掣i s 毫单啪；飞i + 多醴a i + 掣 s 薹警f ) | + i 多噬a i + - i z , 2 。, l s 扣l 怫 其中2 = 口1 霪陆b ，+ 。m a 。x i ( f ) 日，由于p 口) ，显然存在d ，1 使得蛾) m ，i = 1 ，2 ，n 令q = 恤e x ；一d h 1 和d h = d ( a h + d ) a d h + d ，可得 纸，口秒+ b ，f = 1 ，2 ，n ， 几类具时滞神经网络模型的稳定性研究 这是一个矛盾故( 3 9 ) 式成立，而且 q n u 0 ，“d q n k e r l 定义妒：q n k e r l 0 , 1 】一x i m l = 肖为： 妒( “，) = p d i a g ( 一a l ，- a2 ，一，一a 。姐+ ( 1 一p ) q n u ， 其中“= 0 i ，x 2 ，x 。) 7 a q n k e r l = d q f i r “且u 【o ，1 】，则 圳。= 恻f - - a i x i + ( 1 训嘻飘( ”+ 知驰) 斗 f 证 陋 ，p ) f 。，0 ( 3 1 0 ) 如果( 31 ( ) ) 不成立，则一定有 陟( “，z ) i 。= 0 ， 即 一“。x ，+ ( 1 - , u ) 喜弓 ( z ，) + 吉r “r ) 州= 。，f = 1 ，2 ，n ，( 3 1 1 ) 那么， 定有在t + 【0 ，m 使得 一日，_ + ( 1 一p ) ( 工，r ( f + ) ；o 冈此 妒k ) 静例j + 掣奢以崞 但是另 方面由d h = d ( a h + d ) a d h + d ，我们有砒j a q d h + d l ，f = 1 ，2 ， 从 而导出矛盾故( 3 1 0 ) 式成立，而且 妒以，口) 0 ，u a q n k e r l 利用拓扑度定理，令 j ：i m a _ k e r l ，x l ，工2 ，x n ) 1 - l ，x 2 ，) 1 ， 我们有 d e g ( j q n ，q n k e r l ，0 ) = d e g o p ( ，o ) ，f 2