（应用数学专业论文）伴有轨道及倾斜翻转的两类分支研究.pdf

， d e p a r t m e n t ：d e p a r t m e n t o fm a t h e m a t i c s m a j o r ： s u b j e c t ： a p p l i e dm a t h e m a t i c s b i f u r c a t i o nt h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s u p e r v i s o r ：x i n b ol i u ( a s s o c i a t ep r o f e s s o r ) m a s t e rc a n d i d a t e ：x i a o t i n g d i n g 2 0 11 5 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文伴有轨道及倾斜翻转的两类分支研究，是在华 东师范大学攻读硕博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得 的研究成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过 的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表 示谢意 作者签名：翌生! 堡 日期：沙7 f 年箩月 jg 日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 伴有轨道及倾斜翻转的两类分支研究系本人在华东师范大学攻读学位期间在 导师指导下完成的硕幸博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所 有本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相 关机构如国家图书馆、中信所和”知网”送交学位论文的印刷版和电子版：允许学位论 文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅：同意学校将学位论文加入全国博 士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用 影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文 本学位论文属于( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的”内部”或”涉密”学位论文木，于年 月日解密，解密后适用上述授权 ( 、) 2 不保密，适用上述授权 导师签名：趔至醴 本人签名：丁j 、氆子 沙f 1 年j 月f 护日 ”涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位 论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文”涉密”审批表方为有效) ，未经上述部门 审定的学位论文均为公开学位论文此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用上述授权 硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 刘永明教授华东师范大学数学系主席 汪志鸣副教授华东师范大学数学系 傅显隆副教授 华东师范大学数学系 华东师范大学伴有轨道及倾斜翻转的两类分支研究 摘要 本文主要讨论了同宿轨和异宿轨的分支问题，全文分为三章 第一章主要介绍了分支理论的发展背景和研究现状，同时介绍了本文的主要工作 第二章，我们研究具有一个轨道翻转和一个倾斜翻转的异宿环分支而且该异宿环 连接着一个非双曲平衡点p l 和一个双曲鞍点m ，且非双曲平衡点p 1 假定可以发生超 临界分支首先，我们研究当p 1 不发生超临界分支时异宿环的分支情况即异宿环的 保存性，连接着p l ( 或耽) 的同宿环的存在性，以及一个同宿环和一个周期轨的共存性 其次，我们考虑当p 。发生超临界分支时异宿环的分支情况此时非双曲平衡点p 1 分 裂为两个双曲鞍点硝和p ；，我们讨论连接着p ：和p 2 的异宿环、连接着p ；( 或p 2 ) 的 同宿环以及连接着p o 和p ：( 或p ：和p 2 ，p 2 和硝) 的异宿环的存在性 第三章研究了伴有轨道及倾斜翻转的的同宿环，并且对它做了一个对称变换足， 从而得到双同宿环我们首先研究了两个同宿环内部的同宿环、周期轨的存在性及它 们的共存性，然后研究了双同宿环外部的分支情况，即大的同宿环、周期轨的存在性及 它们的共存性 关键词： 超临界分支；轨道翻转；倾斜翻转；同宿环；异宿环；周期轨 华东师范大学伴有轨道及倾斜翻转的两类分支研究 a b s t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt oi n v e s t i g a t et h eb i f u r c a t i o n so fh o m o c l i n i co r b i t sa n dh e t e r o c l i n i c o r b i t s i nc h a p t e r1 ，t h er e s e a r c hb a c k g r o u n da n dd e v e l o p m e n ts i t u a t i o no fb i f u r c a t i o nt h e o r y a l eg i v e n w ea l s oi n t r o d u c et h em a i nr u s u l t sa c h i e v e di nt h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w ea r ec o n c e m e dw i t ht h eh e t e r o c l i n i cl o o pb i f u r c a t i o n sa c c o m p a n i e db y o n eo r b i tf l i pa n do n ei n c l i n a t i o nf l i p a n dt h eh e t e r o c l i n i cl o o ph a v eo n en o n h y p e r b o l i c e q u i l i b r i u mp la n do n eh y p e r b o l i cs a d d l ep 2 ，w h e r ep li sa s s u m e dt ou n d e r g ot r a n s c r i t i c a l b i f u r c a t i o n w ed i s c u s sb i f u r c a t i o n so fh e t e r o c l i n i cl o o pw h e nt r a n s c r i t i c a lb i f u r c a t i o nh a p - p e n so rd o e sn o th a p p e n ，t h ep e r s i s t e n c eo fh e t e r o c l i n i cl o o p ，t h ee x i s t e n c eo fh o m o c l i n i c l o o pa n dp e r i o d i co r b i t i nc h a p t e r3 ，w ei n v e s t i g a t et h eh o m o c l i n i cl o o pw i t ho r b i ta n di n c l i n a t i o nf l i p s w e m a k eas y m m e t r i c a lt r a n s f o r m a t i o nt oi t ，t h e nw ec a no b t a i nad o u b l eh o m o c l i n i cl o o p s t h ee x i s t e n s eo fp e r i o d i co r b i ta n dh o m o c l i n i co r b i ti n s i d eo ft w oh o m o c l i n i cl o o p sa n dt h e c o e x i s t e n c eo ft h e ma 陀o b t a i n e d w ea l s oc o n c e r nw i t ht h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i co r b i ta n d h o m o c l i n i co r b i to u t s i d eo fd o u b l eh o m o c l i n i cl o o p sa n dt h ec o e x i s t e n c eo ft h e m k e yw o r d s ：t r a n s c r i t i c a lb i f u r c a t i o n ；o r b i tf l i p ；i n c l i n a t i o nf l i p ；h o m o c l i n i cl o o p ； h e t e r o c l i n i cl o o p ；p e r i o d i co r b i t 华东师范大学伴有轨道及倾斜翻转的两类分支研究 目录 第一章引言1 1 1 分支理论概述和课题的研究背景1 1 2 文章结构概述2 第二章异宿环分支研究4 2 1 问题与假设4 2 2 局部坐标架与后继函数6 2 3 分支方程分析1 3 第三章同宿环分支研究2 0 3 1问题与假设2 0 3 2 局部坐标架与后继函数2 l 3 3同宿环内部分支讨论2 2 3 4 对称同宿环外部分支讨论2 5 参考文献3 0 致谢3 3 i i i 第一章引言弟一早5i 百 1 1 分支理论概述和课题的研究背景 微分方程分支理论是微分方程理论的重要组成部分分支理论是针对依赖于参数 的系统研究当参数在某一特定值附近作微小变化时，其性质发生本质变化的情况而 在微分方程分支理论中，我们大部分研究的是当参数在某一特定值附近作微小变化 时奇点个数的变化，奇点稳定性的变化，周期解个数的变化等问题而近年来，同宿 轨，异宿轨分支问题是许多学者研究的热点 同宿轨、异宿轨在许多科学领域都有着重要的作用包括物理学，化学，生理学 及其相应的领域，尤其是同宿、异宿轨的存在性问题，在混沌和反应扩散方程的行波 解等问题的研究中，有着重要地位近几年来，同宿轨、异宿轨分支研究已经主要偏向 于高维系统中具有高余维的分支问题高余维的同宿轨、异宿轨分支主要包括轨道翻 转环，倾斜翻转环，异维环，共振环等有时还会发生双曲奇点退化为非双曲奇点的可 能，此时就要考虑非双曲奇点发生超临界分支的情况 目前，人们已经获得了许多高维系统中余维数较低的同宿轨、异宿轨分支结果文 献【4 】中研究了在一般条件下余维2 的粗异宿环分支问题：文献【5 】考虑了一个非翻转的 异宿环分支；文献 6 】首次通过指数二分法建立了局部坐标架，而且获得了p o i n c a r 6 映 射来解决异宿环分支中各种问题而关于轨道翻转和倾斜翻转，文献【l 】研究了具有 轨道及倾斜翻转的异宿环分支；文献 2 】研究了发生倾斜翻转的余维2 的可逆异宿环分 支；文献 3 】研究了发生轨道翻转的异维环分支然而，大多数文章都考虑的是连接双曲 平衡点的轨道分支问题，非双曲平衡点的情形很少被讨论非双曲平衡点是不稳定的 且会发生鞍结点分支，所以连接非双曲平衡点的轨道分支问题要困难的多文献【7 】研 究发生了超临界分支的一般宿环分支；文献【8 】研究了有一个鞍结点的同宿环分支；文 献【9 】研究了在高维系统中连接非双曲平衡点的同宿环分支，获得了同宿环的保存性以 及周期轨的存在性与此同时，我们还可以通过对称映射来得到与已给同宿环、异宿 环想对称的同宿环、异宿环，我们在讨论已给同宿环、异宿环的分支问题时，还可以 ，o川 、l气基霉赣霜露i e 华东师范大学 伴有轨道及倾斜翻转的两类分支研究 讨论对称映射后得到的双同宿环、异宿环的分支情况关于单个同宿环分支的研究，可 以参考文献 2 1 2 5 1 而关于双同宿环分支的研究，可以参考文献 2 6 3 0 1 因为本文研究需要，下面给出关于轨道发生轨道翻转、倾斜翻转的定义： 定义1 1 ：一般情况下，同宿轨或异宿轨总是沿着弱稳定( 不稳定) 方向进入( 跑出) 奇 点，如果不是这样那么我们称这条同宿轨或异宿轨是轨道翻转的 定义1 2 ：当时间趋于负( 正) 无穷时，同宿轨或异宿轨的稳定( 不稳定) 流形上的向量 一般趋于较强的稳定( 不稳定) 方向，则称稳定( 不稳定) 流形具有强倾斜性质；如果不具 有这一性质，我们称这样的稳定( 不稳定) 流形为倾斜翻转的 1 2 文章结构概述 本文共分三章第一章为引言，主要介绍了分支理论的发展背景、研究现状及其主 要方法 在第二章中，我们研究了c r ( r 5 ) 系统 之= g ( z ，a ，p ) 及它的未扰系统 之= 八z ) 其中z ，向量g 依赖参量( a ，) ，a r ，p r l ，z 2 ，0sa ，1 ，g ( z ，0 ，0 ) = 八z ) ，g ( p l ，0 ，卢) = 0 ，g ( p 2 ，a ，p ) = 0 我们假设未扰动系统有一个非双曲平衡点p 1 和一 个双曲鞍点胁，以及连接着两个平衡点的异宿环f = f lur 2 ，这里r i 当t _ + 时发 生了倾斜翻转，r 2 当f 一一时发生了轨道翻转且非双曲平衡点p l 假定可以发生超 临界分支首先，我们研究当p 。不发生超临界分支时异宿环的分支情况，即异宿环的 保存性，连接着p - ( 或p 1 ) 的同宿环的存在性，以及一个同宿环和一个周期轨的共存性 其次，我们考虑当p t 发生超临界分支时异宿环的分支情况，此时非双曲平衡点p 1 分裂 为两个双曲鞍点川和p ：，我们讨论连接着p ：和p 2 异宿环、连接着p ：( 或p 2 ) 的同宿 环以及连接着川和p ：( 或p j 和p 2 ，p 2 和硝) 的异宿环的存在性 在第三章中，我们研究了( 厂5 ) 系统 及它的未扰系统 之= g ( z ，) 之= ，( z ) = g ( z ，o ) 2 华东师范大学伴有轨道及倾斜翻转的两类分支研究 其中z r 3 ，r l ，z 2 ，0s 扯i l ，g ( p ，p ) = 0 我们假设未扰动系统有一个双曲平 衡点p 1 及连接它的同宿轨道r 1 这里r l 当t _ + o o 时发生了轨道翻转，当t 一一0 0 时 发生了倾斜翻转并且对r 1 做了一个对称变换尺，得到f 2 = r f l ，从而得到双同宿 环f = f luf 2 ，我们将研究两个同宿环内部的同宿环、周期轨的存在性及它们的共存 性，并研究了双同宿环外部的分支情况，即大的同宿环、周期轨的存在性及它们的共存 性 3 第二章异宿环分支研究 2 1 问题与假设 考虑下面的( ，5 ) 系统 之= g ( z ，a ，)( 2 1 ) 及它的未扰系统 之= 八z )( 2 2 ) 其中z ，向量g 依赖参量( 五，) ，五r ，1 t r ，z 2 ，0s i ，妇i 1 ，g ( z ，0 0 ) = 八z ) ，g ( p l ，0 ，p ) = 0 ，g ( p 2 ，a ，p ) = 0 假定系统( 2 2 ) 有一个异宿环r 连接着它的两个临界点p 1 p 2 这里f = f lu f 2 ， f i = z = n ( 力：t r i ，n ( + o o ) = r f + l ( 一) = p i + l ，f - l ，2 r 3 ( t ) = r l ( t ) ，1 ) 3 = p 1 而且，线 性部分d f ( p o 有实特征值o ，a ：，- p ；一p 满足_ 彳 - p ： 0 a ；d f ( m ) 有实特 征值，a ；，应一店满足_ 虞 砖 o 鸽 属 ( 风) ：令，；l r 是一个控制着系统( 2 1 ) 发生超临界分支的参数，且x 轴是p l 处 中心流形的切空间，o ( x , a ，) 是定义在中心流形上的向量场，则我们假设 o ( x p i ，l ，) = 0 ，( o o o x ) ( x p l ，0 ，0 ) = 0 ，( o 生o l o x 2 ) ( x p l ，0 ，o ) 0 ( 护p a 国a ) ( 却。，0 ，o ) 0 ( 或五 0 的情形( 对于a 0 充分小使得 ( 工，y ，“，v ) ：i x l ，l y l ，l u l ，i v l 筋 c 协明显的，i 嘿i = o ( o ，l 掣l = d ( d ，f = 1 ，2 接下来考虑线性变分系统 之= d f ( r i ( t ) ) z ( 2 5 ) 以及它的伴随系统 声= 一( j 9 叽n ( d ) ) 驴 ( 2 6 ) 这里( p 厂( n ( d ) ) 是w ( 以( d ) 的转置矩阵令z ： ( d = ( 霉( 力，考( f ) ，才( f ) ，霉( d ) 是( 2 5 ) 的 基解矩阵，我们有下面的引理 引理2 1 若条件( 日1 ) 一( 王，4 ) 成立，则 ( 1 ) 存在( 2 5 ) 的基解矩阵，满足 使得 z ：( 力( t r 。( r ) w r ) cn ( l ( r ) 哩y 右( ，) = ：l ( t ) l i l ( - - t 1 ) l l i ( r ) 研nl l ( ，) 眶 右( ，) et r i ( ，) w rn ( l i ( ，) 雕) 。 z 4 ( d ( l 。( f ) w p ynl ( f ) w ； z 1 ( 一孔) = z i ( t t ) = 7 0 研1 0 ) 4 1 2 1 ( 0 衅 讲10 砰0 似；3 0 u 1 l 0 o o o 早0 中 已 已 n，!，b，甜似0 o o ，中 华东师范大学伴有轨道及倾斜翻转的两类分支研究 ( 2 ) 存在( 2 5 ) 的基解矩阵，满足 之( f ) ( ( f ) 畔) cn ( ( r ) 聊y 之( d = f 2 ( t ) l l f 2 ( - t 2 ) l ( r ) 皑n ( ，) 町 之( 力( ，) 皑n ( ( ，) 聊) c 雹( d ( ( f ) w , u ) cn ( r ) 町 使得 汤( 一死) = 汤( 死) = 1 以1 0 哇2 0 以3 0 掣 哇1 0 w 3 20 逅3 0 l 这里u ；2 0 ，叫2 2 0 ，叫7 0 ，江l ，2 ，j = 3 ，4 事实上，霉( 丁1 ) 和盈( 死) 的表达式及u 0 都是由于军( f ) 的定义我们可 以让z 3 ( 一r 1 ) l i ( r ) w 满足z ( 一丁1 ) = ( o ，0 ，1 ，o ) 由强倾斜性质，慨死( ，) 哩= s p a n e 。( ，乃。聊_ ，所以z 1 ( 一丁1 ) 的第四项衅非零 同时，选择乏( 死) ( ，) w r 满足乏( 死) = ( 0 ，o ，0 ，1 ) 由于吖的强倾斜 翻转，我们易知胡1 0 基于如必( 一乃) 0 和l i o u v i l l e 公式，我们得到u ；2 o ，因为山；2 = 0 意味着z ( - r , ) 死( ，) w ，而这与z ；( f ) ( l l ( f ) 岬) c ，乏( d ( ( ) 孵) 。矛盾现在，令( 习( d ，彳( d ，才( 力，z 4 ( 力) 是沿着n 的新的局部坐标系令西f ( 力= ( ；( f ) ，畔( d ，西? ( 力，吖( f ) ) = ( z - ( f ) ) ，则蛾( d 是( 2 6 ) 的基解矩阵，f = l ，2 作坐标变换 z = n ( d + z _ f ( t ) n i ( t ) = h i ( t ) ，这里f ( d = ( 以；，0 ，l ；，n ；) ，f = l ，2 定义 s o = i z = h i ( 一t d ：i x l ，l y l ，l u l ，i v l 2 研， s ；= i z = h i ( t i ) ：i x l ，酬，l u l ，i v l 2 毋 分别为n 在t = 一乃和t = 乃处的横截面，i = 1 ，2 注意到如果醇s o ，耐s _ 则 q o = ( # ，y o ，u o ，v o ) = 厅( 一瓦) + 乙( 一瓦) m ( 一t 3 ，m ( 一瓦) = ( n ? ”，0 ，吩0 , 3 ，n o 4 ) ， 8 o o l o 0 乎0 移 c ， l 2 3 以以以o 0 0 华东师范大学伴有轨道及倾斜翻转的两类分支研究 q ；= ( i ，爿，“；，w ) = r f ( 乃) + 忍( 乃) f ( 乃) ，m ( 死) = ( ，l ；”，0 ，n ；”，吩1 4 ) 图2 ：p o i n c a r 壬映射 基于z ：( 一瓦) 和z f ( 瓦) 的表达式，我们可以获得旧坐标q o ( 砖，卵，砖，嵋) ，纠( 爿，一，叫i ，w ) 和 新坐标卵l _ 0 ，1 ，0 ，r t 0 3 n o 4 ) + ，州( n ；”，0 ，n ；”，_ ，l ；4 ) 之间的关系，即 刀o 1 = ( ：2 ) - 1 叫一叫2 ( 衅) 1 巾 刀! ：= “? 一u m 2 ) _ 计+ 【u ：3 砰( 婀1 一螂衅) 。1 嵋 ( 2 7 ) n o l 4 = ( “r ) 。嵋 矸= 6 + u ：1 矸1 + c 9 1 咒? 4 6 n 1 1 1 = “；一u ；3 ( 妇1 ) 一z ： n 1 1 3 = ( q 1 ) 一x ： n l i 4 = y ：一研一u i 4 “：+ ( c 日1 ) _ 【u ：4 胡3 一u 】工： y l - 6 + 胡2 ，1 1 1 3 6 ( 2 8 ) ，z 多1 = ( 1 2 ) - 1 吠一砰( 掣) - 1 埋】 孳：= 蠼一吐1 ( 此) 。1 蠼+ 【以1 以2 ( 以2 ) 一以1 】( 掣) 。1 埋 ( 2 9 ) 程4 = ( “孝) 1 埋 “! = 万+ u ；3 ，1 2 0 1 + 哇3 ，1 0 2 4 5 ，1 2 i 1 = 吐一畦1 ( u ；3 ) 。1 “! n 2 i 3 = ( 叫；3 ) 。“i 疗1 1 4 = 畦一嘿一0 2 1 4 _ 2 1 + ( 畦3 ) l 2 1 4 3 1 一u 尹】“! 吐= 6 + u ；2 ，1 2 i ，3 6 9 ( 2 1 0 ) 华东师范大学伴有轨道及倾斜翻转的两类分支研究 接下来，我们将通过下面三步在新的坐标系中建立p o i n c a r d 映射 s t e p1 考虑映射可：s ohs l 将z = h i ( t ) 代入( 2 1 ) ，得到 6 ( 0 + z i ( t ) n i ( t ) + z i ( t ) n i ( t ) = g ( r f ( r ) + z ：f ( f ) m ( 力，a ，p ) = g ( n ( r ) ，o ，0 ) + g z ( n ( f ) ，0 ，o ) z i ( t ) n i ( t ) + g a ( r i ( t ) ，0 ，o ) a + g u ( r i ( t ) ，0 ，o ) p + h 0t = ，( n ( d ) + d f ( r i ( t ) ) z i ( t ) n i ( t ) + g a ( r i ( t ) ，0 ，o ) a + 踟( 厂f ( 力，0 ，0 ) p + h o t 由6 ( 0 = ，( 厂f ( 力) 和2 ：( 力= d f ( r i ( t ) ) z i ( t ) ，得到 ( d = 虿( t ) g a r i ( t ) ，o ，o ) a + 踟( 厂f ( d ，0 ，o ) 】+ h o t 将上式从一瓦到乃积分，我们得到 懈m ( 棚+ 矾姚( f ) o 。) a d t + 矾嘣删，o ) p d t 批甜 由于西；( 力= z 1 ( f ) ，得到 仇1 = n o + 旗a + m u p + j 1 d t j = 1 ，3 ，4 ( 2 11 ) 买中 j | i ! 织= 上( ( f ) ) + g ( n ( f 3 i ，0 ，o ) d t , ( 2 1 2 ) 吃= 正( 妒；( f ) ) + 颤( r j ( 力，0 ，o ) d t , j = l ，3 ，4 s t e p2 建立映射碍：s i l 卜s ? ( 其中s j = s ! ) 设t i ，i = l ，2 为从q l l ( 吐l ，吐l ，吐1 ， 吐1 ) + 到卯( # ，y o ，印，岬) + 的时间，令j l = e - p l t 咖17 , & = p 一世t 2 为s h i l n i k o v 函数利用方 程( 2 3 ) 和( 2 4 ) 的近似解，我们很容易得到砰：s j 卜s ? ： 矗i i l ( s - ) 砰 j i “s ； 田 和足：s ：卜s ；： x ：眈霹 _ ； “；s ：! “1 1 0 y o j - “ 叠 嵋j ，嵋， 丛 o_ 3 i 蟛毛y i ， 互 埋毋v ：， ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 华东师范大学伴有轨道及倾斜翻转的两类分支研究 其中忽略高阶项，( 毋，“? ，v l 1 ) i = l ，2 称为s h i l n i k o v 坐标，且 厶0 a p = 0 图3 z i 五 y ( 2 1 5 ) 当p l 发生超邻界分支时，方程矗h ( s 1 ) g 仅当矗a p 时才成立而对于 矗【卢，如) ( o 1 ，我们 磐；1 一叫厂1 弛m 加：= o 如果我们假设畔u 。、t ) 发生了弱倾斜翻转，即q 3 o ，则 ( 2 1 3 ) 和( 2 1 5 ) 式，( 2 2 0 ) 式成为 生 ( u ：2 ) 一1 6 s l 一6 s ：5 + 肘沙一 3 ( c 嵋1 ) 一l 昆朋扣+ j 1 。f = o 生 ( u 1 2 ) 一6 ! 一 1 一p ：) 叫6 1 ns l ( 2 2 1 ) 定理2 1 ：假设条件( 日1 ) 一( 4 3 ) 成立且吮0 ，i = l ，2 则对于a = 0 和0 i 1 ，我们有下面性质： 华东师范大学伴有轨道及倾斜塑堡塑堕耋坌塞塑窒 _ _ - - _ 一。 ( 1 ) 若r a ，l j i ：( m l ，魄) = 2 ，则存在一个余维2 的曲面 l 1 2 = i p ：m ：+ | 1 d t = 生姐+ j 1 d t = o l 使得当且仅当l 1 2 时，异宿环f 保存，其中曲面l 1 2 在p = 0 处有一个法平 面 m l ，屹 ( 2 ) 存在一个( j 1 ) 维的曲面 置= p ：瓦驴面5 而一心比+ 胁= o ，似：2 m 缸 0 设 a = 0 ，砰且0 b i 1 则除了同宿环砰外，系统( 2 1 ) ( 1 ) 当应砖且u ；2 u 1 2 0 时，在f 附近至少存在一个周期轨 1 4 华东师范大学伴有轨道及倾斜翻转的两类分支研究 证明：( 1 ) 由定理2 1 ，p 目和0 。 吒( 眈) =啦( 观) p 【蘑2 + 6 - 1 研s ( 婀t 吆川 生 吐2 暖5 + 矿一3 ( q 1 ) 一- 坳s z 一矿- 肘牡】 若u ；2 0 ，以2 0 ，则一( 娩) 0 ，吖( 也) 0 很明显 v 2 ( s 2 ) = n 2 ( s 2 ) 在r 附近没有周期轨 则 ( 2 ) 对于硅 0 = 幔( o ) ，这意味着存在一个0 岛1 使得对于0 0 ，使得 2 ( 而) = 必 1 一p ：) 一1 6 l n ：2 聋雠+ 6 - ，1 0 9 1 2 叫3 ( ；1 ) 一- 坳5 鹛一6 一t ；2 肘沙】 叫 1 一p ：) 一5 1 n ；z s z 2 似+ 矿- 山：z q 3 ( 山；) 一嘲毋瞒 2 s 2 = 屹( j 2 ) 结果，n 2 ( s 2 ) = v 2 ( s 2 ) 至少有一个满足0 而 0 时，在产生点p , o 和p ：后，将存在一个异宿于p o 和p ：的线段，它的长 度为砧，我们定义这个异宿轨为r 而且，矗= 厶是一个临界位置首先，我们研 究矗如这种情形此时，方程变为 生 ( u ：2 ) 一1 6 j l 一6 5 + 肘i a + m 沙一u ；3 ( ( 嵋1 ) 一l 眈( 朋刍a + 朋乞p ) + h 。f = 0 擘21 i ( 吐2 ) 一1 6 毋一& l v 5 一一厶) 5 ，】- + 叫。 + 够弘+ 哇1 ( 哇3 ) 一s 芦【胁；3 ( ：2 ) 一1 s l 一( 嵋1 ) s 2 ( m ；a a + m 掣3p ) 一m 1 3 a t m l p + d t = 0 生 令，= s ? i ，我们有 由( 2 2 2 ) 式得 七= 志= 如+ 兰鱼手型r + 。r 6 一( 6 一如) s 萝 6 一6 一a p r “p 。 6 。“ ( 2 2 2 ) ( u ：z ) 一t 6 r 善一6 s 2 考+ m ：。a + 肘，i 一“，( ；t ) 一- 眈( 朋乞a + 肘扣) + j 1 。工= 。 生 ( 2 2 3 ) ( 以2 ) 一硝! 一如一掣厂+ 叫 a + 蚴+ | 1 d 六：o 定理2 3 ：假定条件( 日1 ) 一( 飓) 成立，r a 咒七( m 0 ，峨) = 2 且0 a 1 ，则存在一个 ( 1 2 ) 维的曲面 l 乞= ( ) ：m ： z l + m l + | 1 d t = 砭，t a + 参匕p a p + j 1 1 d t = o l 华东师范大学伴有轨道及倾斜翻转的两类分支研究 使得当且仅当，0 i t , i 1 时，系统( 2 1 ) 在f 附近有唯一的连接着p 和p 2 的 异宿环，这里醍在p = 0 处有法平面s p a n m 1 p ，也 证明：假定在( 2 2 3 ) 式中r = 晚= 0 ，则 肘：a a + 肘己+ i 1 d t = 0 如t + 砭。一a p + ，1 d t = 0 若r a n k ( m l , ，屹) = 2 ，上面的方程决定了一个( 卜2 ) 维的曲面 l 乞= 乒( 1 ) ：肘k a + 肘l “+ | 1 口t = 砭 五+ 呓一a p + 口r = o l 使得当芦日2 且0 叫1 时，( 2 2 3 ) 式有一个解r = s 2 = 0 即系统( 2 1 ) 在f 附近 有唯一的异宿环明显的，在p = 0 处有一个由m 0 和峨张成的法平面证明完 成 定理2 4 ：假定( 日1 ) 一( - 3 ) 成立且0 a l ，吮0 ，f = 1 ，2 则 ( 1 ) 存在一个( z 一1 ) 维的曲面 墨 砰 = ( 1 ) ：w ，2 ( a ，) = a a - 1 以2 ( 如一 吃p 一 呓 a ) 】畦+ c l j ；3 ( u ；1 ) 一1 ( 知+ 珐a ) j ； 【扩1 “畦2 ( a p 一 z 乞。卢一 霉l 1 ) 】硅一肘l p 一肘k a4 - j 1 1 d t = o l 使得当且仅当弘l 2 ，t 且0 应( l ； p ：l 或码= p ! ) 时，日。在“= 0 处有法向量胡3 ( u ；1 ) - 1 峨一 肘l ( 一以2 心或q 3 ( 胡1 ) - 1 屹一以2 心一m l ) ( 2 ) 存在一个( z 一1 ) 维的曲面 吐 如= 似( a ) ：w ：( a ，p ) = 6 知+ 1 p ( a - a p ) i - a - 1 u ：2 ( m 1 1 十j l i _ a ) 】9 i 一6 ( m ：+ m ：_ 1 ) + h d - t = 0 ， 山：2 ( m l u + 肘：_ a ) o l 使得当且仅当h 砬 且0 妇i l 时，系统( 2 1 ) 有一个连接着p 2 的同宿环 定理2 5 ：假设( h o 一( - 3 ) 成立，0 0 则当p 研。时，除了连接p ；的同宿环外，系统( 2 1 ) 不 存在周期轨 1 7 华东师范大学 伴有轨道及倾斜翻转的两类分支研究 定理2 6 ：假设( 日1 ) 一( 飓) 成立，0 l ，叫l ，吮o ，i = l ，2 且山；2 哇2 0 则当乒4 _ 时，除了连接p 2 的同宿环外，系统( 2 1 ) 不 存在周期轨 接下来，将考虑- p 矗 0 则 ( 1 ) 存在一个曲面 l ( ，a ) = “( a ) ：肘0 p + 肘： a + d t = o ，：p t 0 + ，t a + | 1 d t 如，0 似i ，a l 使得当“l m ，1 ) 时，系统( 2 1 ) 有两个异宿于p ：，p o ，p 2 的轨道 ( 2 ) 在平面( 五，p ) 中存在一个区域 = i ，a ) ：胡3 ( 胡- ) 一( z 弘+ 峨a ) 【。，- i g o z ( 矗一j l 复缸一叫_ l + j 1 d f ) 叠一m l p 一肘k a + i 1 d f = o ， _ 卢矗 , t p ，0 0 在( 2 2 4 ) 中消 去眈，我们得到 甜；3 “蠢1 ) - 1 ( 臻+ 殇1 ) 【扩1 吐2 ( 矗一 砭一 魑，t a + d ，) 】畦一肘j 一 舯a 矗+ d 六= 0 肚 这意味着存在区域使得当( a ，p ) a 时，系统( 1 ) 有一个异宿轨r 3 若我们假设w ：( f ) 发生强倾斜翻转，即砰3 = 0 则我们有下面结论： 1 8 笱 g 胁小 趔 肘矗 堡壅堕堇查堂堡查塾堂星塑型塑整塑堕耋坌塞塑窒 注2 1 ：假设( h 0 一( 凰) 成立且, 0 3 3 = o ，魄0 ，i = l ，2 则对于a = 0 和0 i 1 。我们有下面性质 ( 1 ) 若r a n k ( m ：p ，吮) = 2 ，则存在一个余维2 的曲面 l 1 2 = 似：肘缸+ | 1 d t = 咖+ | 7 1 d t = o l 使得当且仅当l 1 2 时，异宿环r 保存，其中曲面l 1 2 在j = 0 处有一个法平 面s p a n 肘0 ，心 ( 2 ) 存在一个( 卜- 1 ) 维的曲面 砰嘶瓦而知而一咄砌工_ 0 一阳枷 o 使得当且仅当l 2 时，系统( 2 1 ) 在r 附近有唯一的连接着p 2 的同宿环砰 ( 3 ) 存在一个( z 1 ) 维的曲面 砭= 伽：m 枷一( 一扩1 以2 肘扣卢，p ；+ d f = 0 ，u 1 2 肘扭 o 使得当且仅当芝时，系统( 2 1 ) 在f 附近有唯一的连接着p l 的同宿环r 注2 2 ：假设( h 0 一( 飓) 成立且吼0 ，i = 1 ，2 令a = 0 ，砰_ go l 1 则 除了同宿环砰，系统( 2 1 ) ( 1 ) 当硅a ! 或者u ：2 吐2 0 时，在r 附近至少存在一个周期轨 1 9 第三章同宿环分支研究 3 1 问题与假设 考虑下面的c ，( ，5 ) 系统 之= g ( z ，)( 3 1 ) 及它的未扰系统 之= ，( z ) = g ( z ，0 )( 3 2 ) 其中z r 3 ，p 剧，z 2 ，0 叫1 ，g ( p ，) = 0 我们先给出下面的四个假设条件： ( h 1 ) ：假定系统( 3 1 ) 有一个连接着点p 的同宿环f l = i z = r l ( f ) ：t r ， 厂l ( + ) = r z ( - o o ) = p 线性部分o f ( p ) 有实特征值五l ，- p l 一仡，满足_ 晚 - p l 0 0 充分小使得 ( x ，y ，“) ： 吲，i y l ，l u i 2 6 cu 接下来考虑线性变分系统 之= d f ( r i ( t ) ) z( 3 4 ) 2 1 华东师范大学伴有轨道及倾斜翻转的两类分支研究 以及它的伴随系统 多= 一( w ( n ( f ) ) ) 妒 ( 3 5 ) 这里( i 厂( n ( f ) ) ) + 是刃瓴( 力) 的转置矩阵令乙( f ) = ( 刁( f ) ，季( f ) ，霉( f ) ) 是( 3 4 ) 的基解 矩阵，我们有下面的引理 引理2 1 若条件( 日1 ) 一( 胁) 成立，则存在( 3 4 ) 的基解矩阵，满足 z z ( - t ) = 汤( 一丁) = ( 死( r ) h ) 。r l ( 瓦( f ) y ( f ) i 砰( 一t ) i l ，( d 酽nl 。( r ) 砑( o t t 删s 0 00 ) 3 1 01 c 出2 1 0 ( 由3 0 0 一叻l 01 0 3 2 - 1 0 一如3 其中纰l 0 ，u 1 2 0 ，0 2 3 0 3 3 同宿环内部分支讨论 ，z i ( 丁) = ，汤( 丁) = o j l l 0 1 0 ) 1 2 0 0 c 0 1 3 0 2 3 0 一似1 l 0- 1 0 ) 1 2 00 一d 1 3 一比3 0 本节中，