（应用数学专业论文）一类加权的拟线性椭圆方程解的存在性.pdf

福建师范大学学位论文使用授权声明 本人( 姓名)张世东学号至q q 墨鱼鳗专业应用数学 所呈交的论文( 论文题目。一类加权的拟线性椭圆方程解的存在性) 是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果尽我所知， 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果本人了解福建师范大学有关保留、使用学位论文 的规定，即：学校有权保留送交的学位论文并允许论文被查阅和借阅； 学校可以公布论文的全部或部分内容；学校可以采用影印、缩印或其他 复制手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 学位论文作者签名遴丝鹭指导教师签名 签名日期 福建师范大学张世东硕士学位论文 摘要 本文主要考虑如下拟线性椭圆方程 - d i v ( a ( x ) v u ) - # b ( x ) u u 三桫二茎量， ( r ) lu=0z a q ， 7 的解的存在性，其中q 为( 3 ) 中的具有光滑边界的有界开区域， q ，b 为非 负的权函数， 为满足一定条件的泛函，a 0 ，p 0 本文共分四章 第一章，介绍上述拟线性椭圆方程的研究背景 第二章。介绍一些临界点理论中的基本知识以及一些记号和引理 第三章。我们将考虑如下含奇异权函数的椭圆方程： p 土i x l 2 ( 1 + o ) = a 并+ p 2 a 两十 , p 1 却 z q 0 ，0 弘可= ( n 一2 2 5 ) 2 4 ，一o 。 q ( n 一2 ) 2 ，这里的可为如下c a f f a r e l l i - k o h n - n i r e n b e r g 不等式( 见【1 7 ，定理1 1 】) 的最佳常数： ， ， 豇i z l 2 ( 口+ 1 i 训2 d x i 圳- 2 a i v 让f 2 d xu ( 舻( r ) ( 0 0 1 ) ，r - ，r 我们采用山路引理和平移方法证明方程( r ) 解的存在性 第四章，主要讨论如下的退化的椭圆方程 0 是一参数，1 0 ，p 0 t h et h e s i sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，w er e c a l ls o m eb a c k g r o u n da n dr e s u l t so nt h ee x i s t e n c eo f p r o b l e m ( b ) i nc h a p t e rt w o ，w ei n t r o d u c es o m eb a s i ck n o w l e d g eo fc r i t i c a lp o i n tt h e o r y , a n d g i v cs o m en o t a t i o n sa n dl e m m a i nc h a p t e rt h r e e ，w es t u d yt i l ef o l l o w i n ge l l i p t i ce q u a t i o nw i t hs i n g u l a r i t y f l p 问= a 并+ 笨 z q o ) ， z q ( o ) ， z a q 。 w h e r e0 qi sab o u n d e dd o m a i nw i t hs m o o t hb o u n d a r yi nr ( 3 ) ，a 0 ，0 ，t 万= ( n 一2 2 n ) 2 4 ，一 o 0i sar e a lp a r a m e t e r ，1 0 l 0 本文共分四章 v 福建师范大学张世东硕士学位论文 第一章，介绍上述拟线性椭圆方程的研究背景 第二章，介绍一些临界点理论中的基本知识以及一些记号和引理 第三章，我们将考虑如下含奇异权函数的椭圆方程： 砌v c 器，一肛南= a 器牟品 t | 0 让= 0 z q o ) ， z q o ) ， z a q 其中0 q 为r ( 3 ) 中的具有光滑边界的有界开区域， 入 0 ，0 弘面= ( n - 2 - 2 a ) 2 4 ，一o o q 0 是一参数， 1 g o ) 这样的权函数，对于不同阶数的偏微分方程来说， s 的大小是至关重要的，这也就产生了所谓的临界权问题，且我们通常把s 所能达 到的最大值叫做临界的h a r d y 指数 在处理这类问题的过程中，通常有以下两个难点t 一是在原点附近的估计由此产生了相应的变分不等式而变分不等式在研究奇 性问题中是一个非常重要的工具 另一个难点是当方程含有临界的s o b l e v 指数时。从p 空间到对应的s o b o l e v 空间的嵌入失去紧性，使得一般可应用于连续紧嵌入的方法都失去所拥有的效用， 极小化序列也不再满足( p s ) 条件1 9 8 4 年p l l i o n s 5 5 , 髂】给出了集中紧性原理， 从而解决了极小化序列也不满足( p s ) 条件的困难，并通过强极大值原理【7 3 1 讨论 了相应问题正解的存在性 1 2 1 含权的变分不等式 变分不等式在考虑方程解的存在性以及其估计等方面有着重要的应用下面我 们将列举几个比较重要的加权的变分不等式 1 9 1 9 年g h h a r d y 4 s 给出了这样的不等式，l i p 对于任意的l p + o o 有 zo o l 半卜( 寿) 0 阳t 乱嘲啉 2 q 1 9 2 6 年e l a n d a u 【4 8 】证明了常数( 寺) p 为不等式( 1 2 2 ) 的最佳常数 1 9 3 2 年j l e r a y 4 9 证明了如下不等式 厶警出( 志) 2 上i v 出汗妣心郴) ( 1 2 3 ) 1 9 7 5 年，i p e r a l 和j l v a z q u e z 6 1 】证明了不等式( 1 2 3 ) 的最佳常数为( 南) 2 4 第1 章前言 t 目= ；= ；= = = e i = _ _ _ - l - _ l i | 目；i | i ，自i e 目= 4 i i l j i 目，目_ _ l l _ _ _ _ l _ l = l = j _ l _ 目- _ _ - 到了1 9 8 0 年，沈尧天阳还证明了如下不等式： z 删呻胪拈( 寿) z 黼) i p 以 ( 1 2 4 ) 其中u 锑( o ，o o ) 且妒，满足( 曲l p g , 1 1 加) = ( p 一1 ) 妒；或者牡诺( o ，0 0 ) 且妒，妒满足( o ) 护一1 ( o ) ；0 ；1 9 8 2 年沈尧天【删还证明当1 0 ，0 q 1 ，1 p + 口礼 0 ，1 q + n 0 ，1 r + 7 i n 0 以 及，y = q 盯+ ( 1 一口) p 此类不等式实际上也是h a r d y 不等式的推广，近年来有许 多学者考虑了这类不等式以及应用 关于h a r d y 不等式的的最佳常数和达到函数的寻求与证明在偏微分方程的解 的存在性理论中一直占据着重要地位驴空间的模和s o b o l e v 空问的范数的关系， 5 一礼 +q一 + 孚 +o= 7 一佗 + 当仅 且当立 成 福建师范大学张世东硕士学位论文 或者口空问的模和含权s o b o l e v 空间的范数的关系。一直以来，甚为人们关注然 而在寻求最佳不等式的同时，很多人发现，这些。最佳”其实也并非绝对的最佳， 也就是说，不等式的常数即便是无法改进的，但还可以给它的某一边加上一个甚至 一些余项，使不等式仍旧成立 b r e z i s 和v 盏z q u e z 【1 3 】证明了存在与和q 有关的常数c ，使得当牡肼( q ) 时，有 ( 竿) 2z 群出+ c 加出上附出 b r e z i s 和v 屯z q u e z 还提出了这样的问题。上述不等式的余项中，除了上式左侧的两 项外，是否还可以插入更多的余项呢? 实际上，g a z z o l a ，g r u n a n 和m i t i d i e r i a t 证 明了当p n ，乱附p ( q ) 时，有 ( 等) p 上雠出+ c 加id x 0 z q ，( 1 2 9 ) l 缸= 0 z a q ， 其中0 q 1 0 为一个实参数，0 口 1 ，0 g 1 p ( n + 2 ) ( n 一2 ) ，n 3 ， 口( z ) ，6 ( z ) 为给定的满足一定条件的可测函数且证明了问题1 2 1 0 与问题3 1 2 有 相似的结果 2 0 0 0 年g h o u s s o u b 和y u a n 研究了如下凸非线性椭圆型方程的非平凡解及 多重解得存在性： f 一舢= 弘丌u q - 2 u 制订u z q 【u = 0 z a q 其中“嘣p ( q ) ，q 是r 中具有光滑边界的有界区域，且0 q ，n 3 ，0 s p 0 ，0 q 2 ，2 ：= 2 n ( 一2 + 口) ，qcr ，c h a u d h u r i 也是通过上面 的h a r d y 不等式得到该问题离散谱存在的充要条件是p 卢h 2 = ( n 一2 ) 2 4 作者 与b r e z i s 和n i r e n b e r g 在文献【1 2 1 中一样分n = 3 和n 4 两种情况讨论，且当 g ( u ) = a u q - 1 ( 2 g 0 ，0 q 0 ，p 0 本文共分四章 第一章，介绍上述拟线性椭圆方程的研究背景 第二章，介绍一些临界点理论的基本知识以及一些记号和引理 第三章，我们将考虑如下含奇异权函数的椭圆方程； 础v c 品，一p 南= a 寄+ 品 u 0 u = 0 z q 【o ) ， z q o ) ， z 锄 其中o q 为r ( 3 ) 中的具有光滑边界的有界开区域， a 0 ，0 肛万= ( n - 2 2 q ) 2 4 ，一o 。 口 0 是一参数， 1 q 2 ，g 是满足一定 条件的泛函我们采用山路引理证明方程( r ) 解的存在性 8 第2 章预备知识 第2 章预备知识 首先，我们先给出一些记号 整篇文章中，b a n a c h 空间x 的对偶空间用x 表示除非另做说明，gc ；【，c ， d ，也在不同的章节中均表示不同的正常数 接着，将介绍临界点理论中的一些定义，引理等 定义2 0 1 ( ( p s ) 条件，【7 6 ，定义1 1 6 ) 设c r ，x 是一个b a n a c h 空间。且 c 1 ( x ，兄) 我们说i 满足( p s ) 。条件，若对于x 中任意满足 j ( ) _ ci i ，7 ( 札n ) 恢_ 0 的序列 ) 都有一收敛子列若对于任意的c r ，( p s ) 。条件都满足，我们就说 i 满足( p s ) 条件 命题2 0 1 【6 4 ，命题b 1 】设qcr 为有界区域，且如果g 满足 ( 9 1 ) 夕c ( nxr ，r ) ，和 ( 眈) 存在常数p l ，p 2 l 以及c l ，c 2 0 使得 i g ( x ，t ) 冬c 1 + c 2 f z i m 抛 对所有的z 豆，r 成立 则映射( z ) _ 9 ( z ，( z ) ) 属于c ( 上尸- ，泸) 。 引理2 0 2 ( s o b o l e v 嵌入定理，【7 6 ，定理1 8 1 ) 下面的嵌入映射都是连续的t h 1 ( r ) c l p ( r ) ，2 p o 。，n = 1 ，2 ， 1 ( r ) ) c l p ( r ) ，2 p 2 ，n 3 ， d 1 - 2 ( r n ) ) cl 2 ( r n ) ， n 3 引理2 0 3 ( r e l l i c h 嵌入定理，【7 6 ，定理1 9 】) 若iqi 0 0 ，则下面的嵌入映射 是紧的： 硪( q ) c 妒( q ) ， 1 p 0 ，m 0 ，使得， ) m ，j i u i l = j d j ( i i ) 存在e x b p ( o ) ，使得，( e ) 0 令r 是e 中连接0 和e 的道路的集合。即 f = c ( 【o ，1 】，x ) ：h ( o ) = 0 ，h ( 1 ) = e ) 再记 c2 h i n e f f 嚣筒1 1m ( 。) ) ，挺【o ， 、。 则c m ，且若，满足( p s ) 条件，那么c 是，的临界值 最后，我们给出偏微分方程理论中的一些不等式 h 6 1 d e r 不等式设qcr 是一个可测集。 p 1 ，g 1 ，且；1 + i 1 = 1 若 i 扩( q ) ，g l q ( q ) ，则i ，9 己1 ( q ) ，且 ，( z ) 9 ( z ) ld x ( _ i ，( z ) i p 如) 1 p ( i 夕( z ) i 。如) 1 口 ，n，n- ，n 基本不等式：任意的口，b r ，m 1 ，有 ia + bi m ioi m + ibl m d ( iai m 一1 ibj + i 口i ibi m 一1 ) 成立 第2 章预备知识 c a f f a r e l l i - k o h n - n i r e n b e r g 不等式【1 7 】： ( i z | _ 助i 缸l p6 h ) 2 p q ，6 l z i - 2 口i v 牡1 2d z r nj 则 其中n 3 ，一o o 口 0 ，口卢 q + l ，0 p 口= ( n 一2 2 口) 2 4 ，一o o q ( n 一2 ) 2 ，这里的口为如下 c a f f a r e l l i - k o h n - n i r e n b e r g 不等式( c f 1 7 ，定理1 1 】) 的最佳常数： 乒i z i - 2 ( 口+ 1 l 让1 2 d x i z i - 2 口i v u l 2 d xu c 矿( r ) ( 3 1 1 ) 且1 q 2 p 2 = 2 n ( 一2 ) ( 2 。 0 z q ， ( 3 1 2 ) 【t 正= o z a q ， 其中0 q 1 p a ，则该问题无解 c h e n 1 9 , 2 0 i 考虑了如下包含奇异项的问题 f - 俨嗨“阻l 口气+ i 衅气 张叭们h ( 3 1 3 ) 【u = 0 z 斑2 ， 其中i 口 2 ，p = 2 得到了如下结论： ( 1 ) 存在a 1 使得对于任意的a ( o ，a i ) ，该问题存在无穷多个非平凡解 ) ，歹= 福建师范大学张世东硕士学位论文 1 ，2 且其所对应的临界值c j 0 特别至少有一个毗是正的 ( 2 ) 设0 p 届一4 = ( n 一2 ) 2 4 ，m a x n ( 、面+ 、互。= 习，n ( 、面_ = 可一1 ) ) q 2 ，则存在人2 使得对于任意的a ( 0 ，a 2 ) ，该问题至少存在两个正解和一个变 号解 最近w n g 【7 5 】给出了1 口 2 p 0 = 0 z q o ) ， z q o ) ， z a q ， 其中p = 矿= 2 n ( j i 、r 一2 ( 1 + a 一) ) 时，并证明了以下条件任一满足时 i ) 一o o p 卢一( 口+ 1 ) 2 ，a ( 0 ，入1 ( p ) ) ， 税) 乒一( a + 1 ) 2 弘 乒，入( a ( 弘) ，入l ( 弘) ) ， 方程至少有一个弱解 这一章我们将采用变分方法来研究方程( b ) 在e = 肼( q ；h 一2 口) 下的弱解的 存在性，其中e = 础( q ；h 2 。) 表示c s o ( n ) 在范数i i = ( 矗- 2 n l w , 1 2 d x ) v 2 下的完备化由于采用变分方法考虑此问题。所以我们先定义方程( p 1 ) 的e u l e r - l a g r a n g e 泛函： 喇= 三z ( 第一p 南) 如一z ( 刍第+ 害臀) 肌4 ， 一川叫丘尸( t t ) 帆 其中= ( 厶( i v 1 2 m q 。一i l u 2 - 2 ( 1 + 。) ) d x ) 叫2 ，i j , + = m c u ，o ) ，( 1 1 ) = ( u + ) p - 1l z l 黝一( 牡+ ) 叮qi z f - 口，f ( u ) = 片f ( s ) d s ，由c a f f a r e l l i - k o h n - n i r e n b e r g 不等 式( 3 1 1 ) 知范数”眦等价于范数i i - i | 注3 1 1 由【3 2 】知川；，却= 厶让p i x 一却d x 是存在的 我们的主要结果如下： 定理3 1 2 设0 p 皿= ( ( 一2 ( 1 + q ) ) 2 ) 2 ，口p q + 1 ，一 q 0 ，使得对任意a ( 0 ，人。) ，方程( r ) 至少存在两个弱 解 1 4 第3 章一类带奇异权函数的椭圆方程的解的存在性 3 2 一些引理 最近x u a n 7 8 ，定理1 1 】给出了以下紧性条件，这里我们给出其简要证明过程： 引理3 2 1 设qcr ( n 3 ) 为具有光滑边界的有界开区域且0 q ， 一o 。 7 ( n 一2 ) 2 且如果1 7 0 ， ) 在上，( q b ( o ) ) 中收敛 另一方面，对任意的1 7 2 n ( 一2 ) ，存在b ( 口，口+ 1 】使得r 0 ，有 i x l l l 札m 一吻i d x ：三( 丘i 0 ，固定6 0 使得 i x l 一1 i u m 一吩l d x 丢，v m ，j n 所以，取n n 使得v m ，j n 一l u m 一哟i d x 福建师范大学张世东硕士学位论文 q 上、引。) l 一l r d x 量 ，n 上b ( o ) z 其中如果7 0 则q = 6 - y ；如果，y 0 ( i = l ，2 ，3 ，4 ) 使得对任意的，7 7 r ， 有 p - 2 荨一i 习l p - 2 刁l ( j 引p 一2 f i 叩l p 一2 7 7 ) ( f 一7 7 ) 旧p - 2 一i n l p - 2 叩i ( i f l p 一2 f l , 7 1 p 一2 ，7 ) ( f 一叩) d z ( 1 i + 7 7 i ) p 一2 垮一7 7 i ， d j “引+ l , 7 1 ) p 一2 k 一, 7 1 2 ， 如垮一7 7 i p 一1若1 p 2 3 3 定理3 1 2 证明 3 3 1 ( p s ) 条件与第一弱解的存在性证明 我们首先证明吼满足( p s ) 条件，即： 引理3 3 1 在定理3 1 2 的条件下，吼c 1 ( e ，r ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 证明：由于吼的一阶可导较易证明，故我们这里省略其证明过程，令9 ( u ) = 厶( u + ) p 一却d x ，x ( u ) = ：】( u + ) 9 川一d x ，于是由( 3 1 4 ) 式可得，对任意t i ，妒e ， 我们有： ( m ：( u ) ，妒) = ( u ，妒) s ，g 一；1 ( 7 ( u ) ，妒) 一害x 7 ( u ) ，妒) = 上( 鬻一p 南) 如上( 带+ 入警) 蜊3 s 1 ， 下证圣：是连续的 波在e 中当_ u ，l i 弘上，凶此我们有t lt , n 一让，妒) 伊，e i _ 0 第3 章一类带奇异权函数的椭圆方程的解的存在性 由口p 1 ，p p = 2 n i ( 一2 ( 1 + q p ) ) ，我们i n 导励 n ( 1 - p 2 ) - t - p ( 1 - 1 - p p ) 。 所以由引理3 2 1 知，在汐( q ，一却) 中，一i t , 于是由引理3 2 2 中的( 3 2 1 ) 式以及h s l d e r 不等式可得： = jz 盟铲如i g ( 盟! 锑掣出 = g 上丝盐铲出+ q 上鱼2 铲出 岛譬如) 珈业i x l 。 小1 加龄出) 沪2 珈 + q 帑如) 珈“筘如) 1 加龄习沪2 即有i i 皿7 ( ) 一皿7 ( u ) i i 一0 ，因此皿7 ( u ) 是连续的 由引理3 2 2 中的( 3 2 3 ) 式以及h s l d e r 不等式可得。 i ( ( 缸订) 一x 7 ( “) ，妒) i = i 上幽学出l a 上铲如 既窄如) 向q 枷群如) 1 加 g i i 一u l i 纩1 0 所以( u ) 也是连续的综上所述我们可得垂：是连续的 引理3 3 2 在定理3 1 。2 的条件下，以及啡c 1 ( e ，r ) ，则啡满足( p s ) 条件 证明：由题设可得：对任意的c r 序列 乱n 在e 中满足： 吼) 一c ，( 3 3 2 ) 西：l ( ) _ 0 在e 中 ( 3 3 3 ) 福建师范大学张世东硕士学位论文 下证 ) 在e 中有收敛子列 由( 3 1 4 ) 式以及( 3 3 3 ) 式知，对任意的垆e 有： ( 西：( ) ，妒) _ 0 ，( 3 3 4 ) 即： f n ( v u n v q 。一p 赫) 如一上( 警+ a 警) 如一o q 3 q 我们先证序列_ 【) 在e 中有界当佗足够大时，由引理2 2 可得 c 4 - 1 - 4 - o 【1 ) | l u 西p ( t 正n ) 一三( 圣二( 让n ) ，t 工n ) = ( 互1 一矿1 2 一石1 一；1 ) a 上学如 = 譬：一a 掣呲a 譬川：枷( p 云q ) i i 训 又因为1 1 7 2 ，所以序列 仳。) 在e 中有界我们选取子列( 仍记为 ) ) ，于 县可设： t k 一“千e 中由弓i 翊13 2 1 知： 一t 在u ( f l ，1 ) 中，( 3 3 6 ) 其中一 ，y ( n 一2 ) 2 ，l r 一生俨一入丝彤 因此易知吼在- g n 中有下界令 c = i n f 吼( u ) u e b r 取妒e ，当l i 弘= 1 时，对于任意t 0 有： 西p ( t 妒) = 萼i i 妒i i 三一；i 妒+ i ；，励一a 詈i 妒+ i 口 口 因此，存在t o 使得，当0 t t o 时，圣p ( 妒) 0 因此如果我们在b nce ( r = t o ) 上对泛函圣。取极小值时，有c 0 使得当0 0 ，使得当i i v l l p = a 时有z以( 口) 6 0 等式 第二弱解的存在性t 同理我们可以证明( 3 3 1 0 ) 式中的厶对所有的c 满足( p s ) 条件，由基本不 ( b + d ) m b m + 扩+ m b , n 一1 d ，仇 1 ，b ，d 0 以及g 的定义可知，对于每一个u 0 ，p 2 有t 9 ( z ，口) ( 矿一14 - 一1 ) 嵋秒) h 一励 g ( t v ) ( 矿p 矿+ ( p 一1 ) 2 2t 正；一2 2 ) i 圳一励， 因此，当t o o 时，厶( ) _ 一o o ，因此存在v o e 使得以v o ) 0 ，因此由山路 引理【7 6 ，引理1 1 5 】，我们就得到山的另一个临界点t ，又由9 和札 的定义可得 u 一仳 ( z q ) 2 1 第4 章一类加权的退化的椭圆方程的解的存在性 第4 章一类加权的退化的椭圆方程的解的存 在性 4 1 引言 这一章我们将主要学习如下的退化的椭圆方程 ( 恳) 一d i v 。z v 之三0 入g z 川u 卜一2 u + ，z 札：主纛， 解的存在性，其中a 是q 上的非负可测的泛函，a 0 是一参数，1 g o ，当q 为无界区域时， ( 9 1 ) 当s 一对所有的z q 有g ( x ，s ) = o ( i s l p _ 1 ) 其中p ( 2 ，2 ) ( 9 2 ) 8 0 对所有的z q 有夕( z ，s ) = o ( s ) ( 9 3 ) 存在一个常数p 2 ，0 弘g ( z ，) t g ( x ，t ) 其中g ( x ，t ) = 后夕( z ，t | ) d u 并且p 2 ：= 2 n ( 一2 + 口) ，则对于任意的a a 1 ( 口) 方程( 4 1 。1 ) 在 ，小【2 ；n ) 叶l 有一个非负蝴解乓i l je = j f l l ( 52 ；c 1 ) 足c 铲( q ) 关于泛数i i 札i i n = ( 厶仃( z ) i v 扎1 2 如) 1 7 2 的闭包 。) _ 删i 蟹n f 譬， 妒e 片6 ( n ；d )j n 妒。o z 妒o 一 福建师范大学张世东硬士学位论文 此外y u s o 考虑了p - l a p l a c i a n 问题 i 一出v ( n ( z ) iv 札r 2 v 让) 4 - 6 ( z ) l 仳r 2 缸= f ( x ，牡) z q ， u l n 。u =0 z q ， 【 t = o z a q ， 其中qcr 是外部区域，并证明了f ( x ，牡) 在以下三种情况下 i 夕( z ) 伊，p l o t 矿一1 ； f ( x ，牡) = ( z ) 钍卢，0 卢 p 一1 ； l9 ( z ) u 口+ ( z ) u 口，0 p p 一1 口 p 一1 ， 其中p 。= v n ( 一p ) ，问题( 4 1 2 ) 存在一个正解 r f i l i p p u c c i 、p p u c c i 和v r a d u l e s c u 3 3 l 考虑了如下问题 j - d i v ( a ( x ) v u p 一2 v 锃) + l 让l p 一2 让= 入i 锃1 7 2 铭 z f l ， 【 口( 正) i v 让i p 一2 乱+ 6 ( z ) i “j p 一2 u = 0z a q ， ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) 其中a 为实参数，1 2 边界上的单位外法向量，p 7 0 ，对任意的x o a - 1 ( o ) ，其中( 0 ，2 ) ， 2 4 第4 章一类加权的退化的椭圆方程的解的存在性 ( 9 1 ) g ( x ) l ( q ) 以及g ( x ) o ( 0 ) ， ( ) i ( x ，t ) c ( 豆r ，r ) ， ( ，2 ) 存在一个常数c 使得i ，( z ，z ) i c ( 1 + i t l 5 ) ，t 足够大时，其中1 0 4 2 紧性结论 本节我们将给出一些紧性结果 命题4 2 1 【1 5 ，命题3 2 】若q 为有界区域，o 满足( a 1 ) ，则以下嵌入成立 i ) 硪( q ；o ) ql 2 ；( q ) 连续。 i i ) 硪( q ；a ) qz z ( o ) 为紧嵌入，如果p 1 ，2 刍) 引理4 2 2 在条件( 口1 ) ，( 9 1 ) ，( ) ，( ，2 ) 下，我们有厶c 1 ( e ，r ) 证明t 与【6 4 ，p r o p o s i t i o nb 1 0 】相似，我们易证厶是f r 6 c h e t 可微因此