（计算数学专业论文）非饱和土壤渗流问题的数值方法与分析.pdf

山东大学硕士学位论文 非饱和土壤渗流问题的数值计算与分析 王强 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 本文采用混合有限体积元方法与混合元一变网格有限元方法对非饱和土 壤渗流问题进行数值计算与分析非饱和土壤渗流运动是指流体未完全充满 土壤孔隙时的流动，是多孔介质流体运动的一种重要形式在大气科学、土 壤学、农业工程、环境工程以及地下水动力学等方面具有重要的意义非饱 和流动的数学模型归结为非线性的偏微分方程，除了一些特殊情况外，很难 得到解析解罗振东等1 1 】用混合元法给出了这类问题广义解的存在唯一性 及其稳定性定理，给出了半离散混合元格式并做了误差估计；谢正辉等目 用有限元集中质量法也对该问题做了研究，较好的处理了边界条件本文在 上述工作的基础上，在第一章对该问题引入地下水通量函数，运用混合有限 体积元法对其进行数值分析，在求得体积含水率的同时也得到了地下水的通 量，节省了计算量，在获得半离散和全离散格式解的存在及唯一性的同时， 运用微分方程先验估计的理论和技巧，对这两种情况分别做了误差分析在 实际问题中，解在定义域中的变化经常是不均衡的而在非稳态问题中，这 种变化剧烈的部分随时问而移动，例如尖峰、冲击波、油水两相混溶驱动、土 壤渗流等问题，在空间域解曲面的峰值随着时间而推移，对这类问题，只有 对不同时刻的空间区域采用不同的网格，在变化剧烈的区域配置细网格，保 持峰值始终落在网格的局部加密处，才能够得到更好的逼近结果，而且对整 体计算量的却没有大的影响r b o n n e r o t 和p j a m e t 在【1 3 】中提出的时空 有限元方法，是一种很实用的变网格有限元法p j a m e t 1 4 】在特殊情况下 证明了由这种方法推导出的差分格式具有最优的收敛阶近年来关于变网格 有限元方法的工作有：k m i l l e r 和r n m i l l e r 【1 5 l 的变网格有限元方法， 袁益让 1 6 “1 r 】的油水两相渗流驱动问题的变网格有限元方法及非线性对流 扩散问题的变网格特征有限：方法，梁国平 1 8 “1 9 的一般抛物问题的变网格 有限元法，戴培良、沈树民【2 0 的抛物型积分微分方程的变网格有限元方法 山东大学硬士学位论文 等鉴于变网格有限元方法的优越性，在第二章对该问题提出了混合元变 网格有限元格式，运用微分方程先验估计的理论和技巧，最后得到了最优阶 驴模误差估计 文章结构如下： 第一章一非饱和土壤渗流问题的混合有限体积元方法的数值分析 第一节一引言引入非饱和土壤渗流问题的物理背景和其数学模型的微 分方程系统 磐一蕊oi 州j 瓦a q ) + 掣= s 工 q ( z ，0 ) = q o ( z ) 0 sz l q ( l ，砷= 口( 如 叩卜啪) 磐= m ) t ( 0 ，t ) 2 = 0 ，t ( 0 ，t ) 第二节一预备知识和弓 理该节给出了一些定义和将要用到的引理 第三节一半离散混合有限体积元格式解的存在性及误差估计分析了该 问题的半离散格式解的存在唯一性和误差估计 解的存在唯一性： 定理11假设引理1 2 中的条件成立，则( 1 3 1 ) 一( 1 3 3 ) 存在唯一 的解( 国h ，鼽) 碥 ，且存在与h 无关的常数u o ，使得； s u pi f 国 f f l 。sm o ；j 雪 | | ；d s 死 蚝【0 ，】 j o 半离散格式的误差估计： 定理l ，2在定理1 1 的条件下，s l 2 ) ，且问题( 1 2 ，2 ) ( 124 ) 的解( 国，庐) h 1 ( n ) l 2 ( q ) ，则有下面估计式成立： 国一国 l l l ：( 日】+ l f 一耍 l l l ：( ：) c h 第四节一全离散混合有限体积元格式解的误差估计 i i 山东大学硕士学位论文 定理1 3 在引理1 4 和定理1 1 、1 2 的条件下。当t 充分小时，问 题( 1 4 1 ) 一( 1 4 3 ) 的解( q x ，瓤_ - n ) x 玩，( osn n ) 使得下面的误差 估计成立： i l q “一q ：l l o + | | 矿一薅i i o c ( a t + h ) 第二章一非饱和土壤渗流阊题的混合元一变网格有限元方法数值分柝， 第一节一给出方程( 11 i ) 一( 1 。14 ) 混合元一变网格有限元格式 ( q 一固o ( 。) ，u ) = 0 ，v v ，( 21 1 ) ( q 一q 。( 。) ) = 0 ，v v 霹+ 1 ，n 1 ，( 2 1 2 ) ( 笔，旷簖，塞) ：( 跏) ，v ”舵1 ，( 2 1 3 ) 冉厂p + l ( d ( 0 ；) 竺! 丢 ， ) + ( 声：+ 1 ，伽) = ( g ( q ：一q ( t ”) ) ，山) ，v v 趼1 ，n 兰1 ， ( 2 t 4 ) 其中 q i = 酽“哦( 2 ) 一p ( p ) ， 船蹦副卜m 昝g 嗽) 一d n ) 警刊 第二节对第一节中的格式进行误差分析 定理2 1 设 q “：尹 ， 国z ，露 s 瓢5 玉) 分别是方程( 1 11 ) ( 】14 ) 的精确解和格式( 21 1 ) 一( 2 1 4 ) 的近似解，且满足上面讨论所需条 件，则当t 充分小时有下面的估计式 。淼”一铡。+ 咿一珊+ 岍脬一鳓。 一 t = l c ( a t 十h r + 1 ) ，礼= 0 ，1 ，2 ，- ，( 2 2 2 4 ) 关键词：非饱和流，数值分析，混合有限体积元法，变网格，误差估计 i i i 山东大学硕士学位论文 n u m e r i c a lm e t h o d sa n d a n a i j y s e sf o rt h eu n s 觚、u r a t e d s o i lw a t e rf l o wp r o b l e m w a n gq i a n g ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y ，j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h em i x e df i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o da n dt h em i x e d f i n i t ee l e m e n tm e t h o dw i t hm o v i n gg r i da r eu s e dt oc a l c u l a t ea n da n a l y z e t h eu n s a t u r a t e ds o i lw a t e rf l o wp r o b l e m t h eu n s a t u r a t e df l o wi st h ef l o wo ft h ef l u i dt h a td o e s n tf i l lt h ep o r o u s o fs o i l f u l l y i ti s a ni m p o r t a n tf o r mo ft h ef l o wi np o r o u sm e d i a p r e d i c t i o no ff l u i dm o v e m e n ti nu n s a t u r a t e ds o i l si sa ni m p o r t a n tp r o b l e mi n a t m o s p h e r es c i e n c e ，s o i ls c i e n c e ，a g r i c u l t u r a le n g i n e e r i n g e n v i r o n m e n t a le n g i n e e r i n g a n dg r o u n d w a t e rh y d r o l o g y i t sm a t h e m a t i c a lm o d e l c a nb ed e s c r i b e db yn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n b e c a u s et h ee q u a t i o n sa r e n o n l i n e a r a n a l y t i c a ls o l u t i o ni sn o tp o s s i b l ee x c e p t f o rs p e c i a lc a s e s t h e s t a n d a r da p p r o x i m a t i o n st h a ta r ea p p l i e dt ot h es p a t i a ld o m a i na r et h ef i n i t ed i f i e r e n tm e t h o da n dt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d l u oz h e n d o n ge ta l 1 1 j g a v et h ee x i t a n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e m ，a n ds t a b i l i t 3 t h e o r e mo f t h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o no ft h i sk i n do fp r o b l e m ；x i ez h e n g h u ie t a l 5 a l s os t u d i e d t h i sp r o b l e mw i t hc e n t r a l i z e dq u a l i t yo ff i n i t em e t h o d ：t r e a t e dt h eb o u n d a r y c o n d i t i o np e r f e c t l yi nt h i sp a p e r ，b a s e do nt h e s ew o r k ，t h em i x e df i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o da n dt h em i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o dw i t hm o v i n gg r i d a r ei n t r o d u c e dt oa n a l y s i st h ep r o b l e m ，o b t a i nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s o ft h es o l u t i o ni nt h ec o n d i t i o no fs e m i d i s c r e t ea n dd i s c r e t e ，i nt h ee n do f t h i sc h a p t e r ，w eg i v et h ee r r o ra n a l y s i so ft h e s et w oi n s t a n c e s a h n o s ta l l o ft h er e s e a r c h e so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v eb e e nd o n eo nf i x e d m e s h e s t nr e c e n ty e a r s ，m o v i n gg r i dh a sb e e ni nu s ef o ri t se a s i l ya d a p t i n g q u a l i t yf o rv a r i o u ss i t u a t i o n s ，i tc a nc h a n g eg r i dw h e nt h es p e c i f i cc o m p u 山东大学硕士学位论文 t a t i o nr e q u i r e s w ea d o p td i f f e r e n tf i n i t ee l e m e n tg r i d sf o rd i f f e r e n td o m a i n a r e a i nr a p i dc h a n g i n ga r e a ，w eu s ef i n eg r i d s ，a n dt h eg r i d sc h a n g i n gw i t h t i m e ，u s ed i f f e r e n tn e t w o r k sa td i f f e r e n tt i m el a y e r s t h i sk i n do fm e t h o d p r o v e st o b ev e r yu s e f u li n m a n yr e a l i s t i cc o m p u t a t i o n r b o n n e r o ta n d p j a m e t 1 a 】p r o p o s e dt h es p a c e - t i m ef i n i t ee l e m e n tm e t h o di n1 9 7 4 w h i c h i sav e r yu s e f u lf i n i t ee l e m e n tm e t h o dw i t hm o v i n gg r i d p j a m e t 1 4 】p r o v e d t h eo p t i m a le r r o re s t i m a t e si nd i f i e r e n c em e t h o d s t h e r ea x em a n yt h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a lr e s u l t sa b o u tt h i sm e t h o d s ：m i l l e r 【1 5 】y u a ny i r a n g 1 6 ”1 n p r o p o s e dm o v i n gf e m f o rt w o - p h a s e i n c o m p r e s s i b l ed i s p l a c e m e n ti np o r o u s m e d i a l i a n gg u o p i n g 1 s “1 9 】p u tf o r w a r dm o v i n gf e m f o rp a r a b o l i ce q u a - t i o n d a ip e i l i a n g ，s h e ns h u m i n 2 0 】p a r a b o l i ci n t e g r a l - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n a n ds oo i l b a s e do nt h i sw o r k w ep r o p o s et h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d s w i t hm o v i n gg r i d sf o rt h eu n s a t u r a t e ds o i lw a t e rf l o v p p r o b l e m ，a n do b t a i n t h eo p t i m a l 工2e r r o re s t i m a t e s t h i sd i s s e r t a t i o ni sd i v i d e di n t ot w oc h a p t e r s c h a p t e ro n e t h em i x e df i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o do ft h eu n s a t u r a t e ds o i lw a t e rf l o wp r o b l e m t h i sc h a p t e ri sd i v i d e di n t of o u rs e c t i o n s i nt h ef i r s ts e c t i o n ，w ei n t r o d u c et h ee q u a t i o n sw h i c hw ew i l lc o n s i d e r a sf o l l o w i n g 署一( d ( 。) 筹) + 百o r ( q ) = s o z 0 有： 鬻一副a 职q j 瓦a q ) 十1 a t ( 厂q ) = 鼠o ： l ， q ( 。，0 ) = q o ( z ) ，0 。l q ( l ，t ) = 卢( t ) t ( 0 ，丁) ， g ( q ) 一d ( c 2 ) 磐z = q ( 窥 z = o 、t ( o ，z ) 1 ( 1 ，l 。1 ) ( 】1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 114 ) 山东大学硕士学位论文 其中q 为体积含水率，一s r 为根系吸水率，g ( q ) 为水力传导系数，d ( q ) 为土壤水扩散率，q ( t ) 、卢( t ) 、q o ( z ) 分别为已知上边界水分通量、下边界 含水量与初始时刻的含水量因深层土壤含水率相对于表层温度变化极小， 可设鬻o ，土壤水力传导系数g 及土壤水扩散率d 与q 有如下关系： g ( q ) = 吲孚严 ， d ( q ) = 警( 护2 妒( q ) ：仇( 罢) ， v 8 q ，q ( z ，t ) sq 。 ( 1 1 5 ) ( 1 ，1 6 ) 其中q 。，q r 分别表示土壤饱和含水率和残余含水率，0 ( q 。 l ，饱 和水传导率甄、土质参数b 、土壤水势饥均为已知常数，显然存在常数 a ，1 ，垃使得： k 1 g ( 钒百o a ( q ) ，d ( q ) ，警鲍， ( 1 1 7 ) 为了将边界其次化，引入水分通量函数i - 】： 煳) 叫q ) i d ( q ) 警， ( 1 1 8 ) 令 q ( z ，t ) = q ( z ，t ) 一8 ( t ) f ( z ，f ) = p 0 ，t ) 一g ) 从而( 1 】) 一( 1 1 ，4 ) 可化为： 等+ 裳：s r z ( o ，l ) 胙( 哪) 面十瓦= * 名l j ，。i u 。j d ( q ) 警+ 口一g ( q ) 一口( ) ，= ( o ，l ) ，( o ，丁) f ( o ，) = 0 ，q ( l ，) = 0 ， te ( 0 ，t ) 国( 。，0 ) = q o ( z ) 一卢( o ) ， osz l 2 ( 1 1 9 ) ( 1 1 ，1 0 ) ( 1 1 1 1 ) ( 11 1 2 ) ( 1 11 3 ) ( 1 11 4 ) 山东大学硕士学位论文 1 2 预备知识和引理 工2 ( n ) 为在q = 【0 ，l 上平方可积的l e b e s g u e 空间，日1 ( q ) 为在q 内 直到一阶导数平方可积的s o b o l e v 空间n ( ，) 表示f 2 上的l 2 一内积： 得 ( u ， ) = f “v d z j n ( 1 2 1 ) 定义： h 刍( q ) = t j h 1 ( q ) ； ( l ) = o ) ，l 刍( q ) = 到l 2 ( q ) ；口( o ) = 0 ) 则与( 11 1 ) 一( 11 ，4 ) 等价的变分形式为：求( 国，声) h i ( q ) xz ( n ) 使 ( 卢祟) ：( s f ，。) 口： ( d ( q ) 警+ ( 声，u ) = ( g ( q ) 一) ，乩v w 明q ) ( q ( ：o ) ，u ) = ( q o ( ：) 一卢( o ) ，u ) ，v w l 2 ( q ) ( 1 2 ，2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) 引理1 1( g r o n w a l lb i n ) t ”】：设9 ( t ) 在【0 ，t 上为正的可积函数 c 0 为常数，若”( t ) c o ( o ，t ”满足： 则叫( r ) 也满足 r t o 印( ) 曼c + g ( s ) 妒( s ) d s ，v t ( o ，丁】、( 1 2 5 ) 0 os 砂( t ) c e z p ( 口( s ) d 3 ) j 0 特别地，若c = 0 ，则妒( t ) e 0 在引理i 1 的基础上，对变分形式( 1 2 2 ) 一( 1 2 4 ) 我们可得【1 】= 引理1 2若q ( t ) ，b ( t ) c o ( i o ，r 】) ，且s 与q o ( z ) l 2 ( q ) ，则变分形 式( 1 22 ) 一( 1 2 4 ) 存在唯一的解：( 国，乒) e 上睦( f 2 ) 埠( n ) ，且存在常数 m ，使得： 。黜p s m ：r 1 ，i 豢l ， ( 1 刎 i 0 u 3 山东大学硬士学位论文 其中： m = 岛( 掣+ t 2 t ( t k 。+ q o ) 唧( 毗 q 0 ：，t ( i q i | ：+ 掣辈) d s ， 尬：e l8 u p 【f , , 2 ( t k g + q o ) 掣( 1 趔) 1 ， 蟾【o j l n 1 c o ，c ，m 均为常数 定义椭圆( 或r i t z ) 投影尸0 ，它是关于内积( 札，u ) 的正交投影 ( r ( u ) ，x ) = ( 让，x ) ， v ) ( v o h ( 1 2 8 ) 引理p 3对于( 1 2 8 ) 定义的p o 有：当 日刍( q ) 时，i l p 0 ( ) l t o 曼i i v l l o ， 当t ，h ( q ) 时，一p o ( v ) l l 。c h 5 川， 引理f 4对于( 1 2 8 ) 定义的p 0 有：当v “j 驴( q ) 时，l l p o ) l l o l i u l l o ，当u h 7 ( n ) 时，l l u 一尸o ( u ) l 。c h 7 5 l u l ， 引理 ，5 ( 离散的g r o n w a l l 引理) ： a 。) ， b 。) ， ) 是正的序列， ) 是单调递增的，且满足 则 。n + b n c n e l “ 1 3 半离散格式解的存在性及误差估计 对区间q = 【o ，l i 作截分b ，节点为：o = z o 茹1 z 2 。= l ， 单元e 。长度为h i2z f 一孔_ 1 i 记h 2 1 m a 一 一 nn ：l + 一 一 孙 蚰 + + 0 o n 山东大学硕士学位论文 再作对偶剖分靠，节点为： 对偶单元e ；= 陋o ，z 】，e ；= 陋 z 。一 ：；( 一l + z t ) 1 茎i 茎n 检验函数空间v h 取为相应于瑁的分片常数函数空间，则【1 1 k = u l 2 ( n ) ，v h 。：p o ；v e ；丁：) 嘲 = u h u h ；让l = o ) = u u h ；u o = 0 ) 1 讥= v h ；v l = 0 ) 则问题( 1 2 2 ) 一( 12 4 ) 的半离散混合有限体积元格式为：求( ( h ，鼽) 使得： ( 警川邓n 塑o zh 跏也 v 眯l 孤，( 1 3 1 ) ( d ( q h ) i 娶，。 ) + ( 声h ，u h ) ：( g ( q ) 一g ( t ) ，“ ) ， 1 名， ( 1 32 ) ( 国h ( ：，o ) ，u ) = ( q o ( z ) 一盘( o ) ，u ) ，v “j 1x( 1 , 3 3 ) 定理i 1假设引理f 2 中的条件成立，则( 1 3 1 ) 一( 1 3 ，3 ) 存在唯一的解 ( 国 、m ) k h 1 ，t 且存在与h 无关的常数使得： s u pl i 国 l i l 。蚴；l i m 惦d s 凰( 1 34 ) 1 0 ，t 】 j0 证明：先证( 1 34 ) 式：在( 131 ) 和( 1 3 2 ) 中分别取v h = 国 ，u 一訾，则 有： 翔训+ ( d ( q ) 警，警) _ ( 晶+ ( g ( - 口( 饥警) ( ”5 ) l 处i | 此 n i 一”p = ( ” o 。叶 0 乇 鸭逍 一 叠融。 堕阮 d0 d 有式由 山东大学硕士学位论文 由h s l d e r 不等式放c a u c h y 小等式百： ( s ，国n ) s 嗡1 1 s ；i s r l l 3 + 如钏系 7 ) ( g ( q ) - m ) ，硇- b t “- ： 警+ 等酬 ( 1 3 8 ) 将( 13 6 ) 一( 13 8 ) 代入( 1 3 5 ) 得： 景i l 国础3 + k 。l q 。l j i l 品“i + i 国。1 1 3 + 型学，( 1 ，3 g ) 对t 积分可得： i i 国圳：+ 凡t ：1l 国一l ：d s 墨2 ( t k r i + q o ) + ：。i l 囝n 幅d s ，t 【0 ，t 1 ，( 1 , 3 1 0 ) 其中q 。= 置( 3 + k t l l s , 1 1 3 1 2 ) d s 由引理1 1 可得： 躯掣泖( ? ) f o t 础d s 型k 1 + 芈唧 由积分定义和上式可得： 刚。sg ( 掣卜2 t 1 ( t k 。，+ q o ) 唧( 剐如( 1 3 1 3 ) 其中g 为常数占嵌入定理【， 有； s u p1 1 0 i l l msc 1s u pi i 国hj 1 1 t e o ，列蚝田，l 曼c ，s u p 嗡( 堑堕里婴趔向= 蜗 ( 1 f 3 f 1 4 ) t 6 0 t 1 n 1 在( 1 32 ) 中取“h = m ，由h s l d e r 不等式及c a u c h y 不等式可得： 旧圳3 墨i i g ( q ) - m ) - d ( q 一) 警慨t l 堕巡芈坐巡+ 扣憾 ( 蛉 l l 3 3 q n t0 山东大学硕士学位论文 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = l i 乒 l i is 鹾( 1 + 慨) 2 + i i q ( t ) l l ：， ( 1 ，3 1 6 ) 对( 13 1 6 ) 在t 0 ，t 积分可得： r r f 慨惦s 域( 丁，蜀，恐，眠) ( 1 3 1 7 ) 下证解的唯一性： 设( 瓯，厩) 和( 磊、露) 是问题( 1 3 1 ) 一( 1 3 3 ) 的两个解，则有： ( 警，t ，。) 一( 乒 一声i ，o 口v 。h ) ：。，v 。v j 。 ( 舶删謦叫甜) 警肭) + 慨叫 = ( g ( 国 + o ) 一g ( q j + ) ，u ) 矾j 1 名， ( 国 ( ：，o ) 。 ) = ( 国i ( ：o ) 。 ) = ( q o ( z ) 一卢( o ) ，“札) ，b o 。l i 、 在( 1 3 i s ) 中取= 魏一玩；在( 1 3 1 9 ) 中取；牮可得 ( 1 3 ，1 8 ) ( 1 3 1 9 ) ( 13 2 0 ) ( 掣，国。一 ：) 一( f 。一菇，掣) ：。，( 1 3 2 1 ) ( 叩删警叫计口) 警，唑掣) + 慨啊a c q h 。- 。q 一+ h ) ) = ( g ( 国一+ 8 ) 一g ( 国i + 卢) ，牮) ( 1 3 ，2 2 ) 对( 13 2 1 ) 一( 13 2 2 ) 整理得： 翔n 哪- * 2 + ( d 州警叫时芦馨，掣) = ( g ( 国n + ) 一g ( 国i + 卢) ，挚) ，( 1 3 2 3 ) 由h 6 l d e r 不等式，c a u c h y 不等式及( 1 , 1 7 ) ，( 1 3 4 ) 式可得： ( 叩) 警叫针卢) 警，掣) = ( d c q ) 警叫钳) 警，警) 山东大学硕士学位论文 + ( d ( 钳酬警一警) ，掣) ) ( 1 3 2 4 ) 猢心1 2 _ i ( d ( q ) 鲁- d ( 甜们警，掣) 1 k - i 国n 一国；1 2 一碹m i q n 一国i | l o l 国n 一国：i - 等i 国n 一驯- * 2 。一酉k 3 m 2 憎_ n 一蚓- * 2 同理对( 1 3 2 3 ) 式右端项有； i ( g ( q 卜g ( q * h 州，掣) | k z i i q n 一国：l i o i 国h q ： z 曼i 解k - 1 l q n 一铺+ 警1 饥堋- * h 2 把( 1 3 2 4 ) ( 1 3 2 5 ) 代入( 1 3 2 3 ) 有： 甍i i 国。一国划：墨墨学i i 国。一国刘； 对( 132 6 ) 在t f 0 ，t 】积分得； 磊dl l q - n q - 圳* 。2 墨z r 半| i 国n 一国洲：出 由引理i 1 得：国 = ；， 再由【1 3 1 9 ) 知： ( 口 一旌，u h l = 0 ，v w u ( 1 3 ，2 5 ) ( 1 3 2 6 ) ( 1 32 7 ) 取u n = 磊一露，则有m = 厩，解的唯一性得证 困问题( 1 31 ) 一( 1 3 3 ) 是非线性常微分方程，由( 1 34 ) 即可得( 1 3 1 ) 一 ( 13 3 ) 的解存在 定理j 2 ：在定理i 1 的条件下，s l 2 ( q ) ，且问题( 1 2 2 ) 一( 12 4 ) 的解( 国，p ) h 1 ( q ) x 三2 ( q ) ， 则有下面估计式成立： 国一国h i l l 。( ，) + i i 芦一声 | | l 。( l 。) c h ( 132 8 ) 8 山东大学硕士学位论文 让明：征【1 2 2j 和【1 z3 ) 甲职v = ，u = c o b 与【1 3 1 ) 市口( 1 3 2 ) 日j 得误差方程： ( 盟池) _ ( 芦砥警) - o ，v 眯 ( 1 3 2 9 ) ( d ( 国+ 卢) 磐一d ( o + 卢j 、百o o h ，+ ( 乒一甄 = ( g 、- ? + 卢) 一g ( q + 卢) ，u ) v c “v h ，( 1 3 3 0 ) 则有： ( 掣国一亩。) = ( 掣，国一b o o ) + ( 掣，p o 亩一国。) = ( 旦学，国一p o q ) + ( g ( 国+ 卢) 一g ( 国n + 卢) ，旦掣) 书( 国删髻一d ( q ) ，掣) = ( 旦学，国一p o q ) + ( g ( 囝+ 卢) 一g ( q n + 卢) ，a ( p o q d 。- q ) ) _ ( d ( 国删署_ d ( 国川) 警，o ( p o q 。- q ) ) + ( g ( + 序) 一a ( q + 卢) ，曼掣) ( 1 3 3 1 ) _ ( d ( 国删警_ d ( 卢) 警，掣) ， 由h 6 l d e r 不等式和c a u c h y 不等式以及( 1 1 7 ) 式可得： d l f q 一训3 + 鲁i 国一训 ( 13 3 2 ) d i l q p o q i i ：+ c ( i q p o q l + i 国一国 l l ；) 对( 13 3 2 ) 在t 【0 ，t 积分，并由引理1 1 可得： l i 国一q - 1 1 2 l 。f h - 1 + i i 国一国 惦墨c h ( 13 3 3 ) 在( 1 3 3 0 1 中取“ = p 0 卢一i 有： l l 芦一声 i l ；= ( 声一声 ，声一声 ) 山东大学硕士学位论文 = ( 乒一p h ，庐p 0 乒) + 俗一办，p o p 一声 ) = i i 芦一p o n j + ( g ( o - f 声) 一g ( 国h + 3 ) ，p o p 声h ) _ ( d ( 国删筹叫z ) o 万q h ，p o p 嘞) = 1 1 声一p o n ：+ ( c ( o + 卢) 一c ( o h 十卢) ，p o p p ) ( 1 33 4 ) + ( g ( 国+ 卢) 一g ( 国 + 卢，芦一庐h ) ，p o p 一声) ( _ ( d ( 国删磐一d ( 0 ) 篆蛳刊 邶( 卢) 警_ d ( 卢) 警驴蹦， 从而： l l 声一声。1 1 3 j i 旧一p o p l l o ， ( 1 3 3 5 ) + c ( 1 l p p o n ：+ 1 1 国一国 啼+ 1 1 声一声 ) 从0 到t 积分( 1 3 3 5 ) 式，再由( 1 3 3 3 ) 与引理i ，4 可得； l 防一声 i l l 。( l 2 ) c h ( 1 3 3 6 ) 从而有： l | 国一国 i i i 。( 片。) + | 1 声一西川l 。( l z ) sc h ( 13 3 7 ) 从而( 13 2 8 ) 得证 1 4 全离散混合有限体积元格式解的误差估计 设n 为正整数， a t = 吾为时间步长， a t 。= n a t ，0 冬礼sn ， ( 国z ，露) c 儡为( q ( t 。) ，乒( k ) ) = ( 国“，矿) 的有限体积元逼近，则问题 ( 1 2 2 ) 一( 1 24 ) 的全离散混合有限体积元解为：求( q x ，露) v o h k ，0 n n 使得： ( q ：，) 一t ( 声：，o 口v 2 h ) = a t ( s , ，) + ( 国：，) v k ， ( 1 4 1 ) ( d ( 。：- 1 ) 髻擎，u n ) + 晒：，u n ) = ( g ( q ：_ 1 ) 一q ( 如) ，u n ) 妣n k ，( 1 42 ) 1 n 竺童奎兰矍圭兰堡兰圣 ( 国：，u ) = ( q o ( z ) 一卢( o ) ，u ) ， v w h k ，( 1 4 3 ) 定理l 量在引理i 4 和定理1 1 ，i 2 的条件下，当a t 充分小时，问题 ( 141 1 一( 1 4 3 ) 的解( 铆，p h ) v o h h ，( 0 兰nsn ) 使得下面的误差估 计成立： l i q “一q 2 i i o + ；i 矿一壤l i osc ( a t + 丸) ， ( 1 4 ，4 ) 证明：解的存在与唯一性类似于 记反驴= 照型a t ，在( 1 2 2 ) ( 1 23 ) 中取t = k ， = v h ，“j = u ，与 ( 1 。4 ，1 ) ( 1 4 2 ) 可得误差方程： ( a 9 a 4 。一反国nc m h ) 一( 矿确- n ，磐) = o ，v 眯( 1 4 5 ) ( 嘲w 謦删钎- 删警憎碾 = ( o ( o “+ 卢) 一g ( 国：一1 + 卢) ，u ) ， v w t , ( 1 _ 4 6 ) 令检验函数矿= p 0 国“一国z ，则有： ( 反矿，矿) = ( 反 “一侥- v - n ，矿) ：( 静 ) 一( 蚴- - n n = ( 瓣，咄z ，警) 邓p 一鲁) _ ( 舻儿警) 娟弘筹) + ( g ( 舻g ( 订1 删，警)d z u z ( d ( n p 謦叫警，- 卯$ - z 、) ：( 盼一警 g ( 国“删一o ( q 州删，瓦o 铆n j , + ( ( g ( 国“邯) 卅国：_ 删，蔷) 州啪沪d ( 扩“f i , a 万q ，筹) ( 1 4 7 ) + ( 【叩一删一d 、- 。n - i 删) 警鼍) 山东大学硕士学位论文 对正，疋，乃作估计 对乃有 + ( 响一1 + z , o q 。- 。o q 2 ) ，竖o z 、 娟弘警一) + 丑一 乃+ 噩+ 乃) 五c a t 2 + c i i q 州一引肛等 乃t 2 + t k l 死2 一等圳一c l l q - 1 _ h 曙 ( 叩删华釉d h 2 + t k l 矿悟 ( dq ，n - 1 删i 竖i ) z ，警) 孙“瞪 将( 1 ，4 8 ) 一( 1 4 1 2 ) 式带入( 1 4 ，7 ) 并由引理1 3 可得： ( 1 48 ) ( 1 4 9 ) ( 1 4 1 0 ) 附惦一1 1 7 ”1 幅+ a t k l 矿片( 1 4 1 3 ) s t ( t 2 + 2 ) + c a t i i q - - 1 1 1 3 + w i i i | ；+ t | | 磊驴一警l 对( 14 1 3 ) 从0 到n 作和有： 矿惦+ a r k e i 耽l ；sa t l l q ”惦+ c a t e 卵t ； + c ( a t 2 + h 2 1 + a t e i i 一, q i ( 1 , 4 1 4 ) 从而越充分小时，由( 1 4 1 4 ) 可得： nn 盼a t k l e 堋c ( a t 2 + h 2 ) + c a t 堋 ( 1 4 1 5 ) i=l扛=l 由引理1 5 得： 矿惦+ a t k l e l 矿；c ( a t 2 + h 2 ) ，( i a 1 6 ) 1 2 n 抱 4 4 q q 山东大学硕士学位论文 从而： ij 矿i i osc ( a t + h ) ( 1 4 1 7 ) 由引理i 3 得： 1 1 q ”一q x i l os1 】q “p o q “j l o + 1 1 矿1 1 0 c ( a t 十 ) ( 14 1 8 ) 在误差方程( 14 6 ) 中取c o b = p o f 露，再由引理1 , 4 可得： 咿2 一蛾惦= ( 矿一蜀矿，矿一尸。矿) + ( 矿一菇，p 。露蔬) = i f 芦一p o 乒“t l ；+ ( g ( 口“+ ) 一g ( 国：一1 + 矽) 晶矿一醒一1 ) ( d ( 国n + 口) 掣一d ( + ) 擎，叼一一p 2 ) d z o z _ c ( a t 2 + 2 ) + ；l i 矿一z n 。1 ，2 则有： l f 矿一蕨1 1 0sc ( a t + 危) ( 1 , 4 1 9 ) 由( 1 4 1 8 ) 和( 1 41 9 ) 可得： i i q “一q x t l o + i i 直“一簖f o 曼c ( a t + ) ( 1 42 0 ) 从而( 14 4 ) 得证 1 3 第二章非饱和土壤渗流问题的混合元一变网格有限元 方法分析 2 1 变网格有限元格式 在上一章我们引入了方程( 1 1 1 ) 一( 1 1 4 ) ，并给出了混合有限体积元方 法的数值分析，以往求解各类偏微分方程问题的数值解法均是在固定网格上 进行的，但是在实际问题中，解在定义域中的变化经常是不均衡的，往往某 部分变化剧烈，某一部分变化平缓而在非稳态问题中，这种变化剧烈的 部分随时间而移动，例如火焰的传播、尖峰、冲击波、油水两相混溶驱动等 问题，在空间域解曲面的峰值随着时间而推移，对这类问题，只有对不同时 刻的空间区域采用不同的网格，在变化剧烈的区域配置细网格，保持峰值始 终落在网格的局部加密处，才能够得到更好的逼近结果，而在整体上又不太 增加计算量r b o n n e r o t 和p j a m e t 予：9 7 4 年在【1 3 l 中提出了时空有限元 方法，这是一种很有用的变网格有限元法p j a m e t t 4 】在特殊情况下证明 了由这种方法推导出的差分格式具有最优的收敛阶近年来关于变网格有限 元方法的工作有：k m i l l e r 和r m m i l l e r 1 5 j 的变网格有限