（应用数学专业论文）微分方程属于极限圆型的判定及解的有界性.pdf

曲阜师范大学硕士学位毕业论文 微分方程属于极限圆形的判定 及解的有界性 摘要 二阶微分方程按极限点型或极限圆型的分类问题是由h w e y l 最早提出 并进行研究的他指出，二阶线性常微分方程可分为两类：极限圆型与极限 点型若方程的每一解都是平方可积的，则称此方程为极限圆型，否则，称 为极限点型 常微分方程解的有界性问题最早是在研究生物学，生态学，生理学，物 理学，神经网络等问题中提出的，是常微分方程研究中一个十分重要的领 域本文利用推广的具有偏差变元的积分不等式，结合不等式的一些技巧以 及常微分方程的相关知识对一类二阶具有偏差变元的微分方程及一类二阶 差分方程极限圆型的分类问题作了相关的研究工作，并且讨论了一类1 2 阶 具有偏差变元的常微分方程解的平方可积性与有界性和一类二阶非线性具 有偏差变元的微分方程解的有界性 根据内容本文分为五章 本文第一章是绪论，概述了本文的研究背景 本文第二章，在0st 0 是冗+ = 【0 ，+ o 。) 上的绝对连续的实函数，o ，b ( t ) 是矿实 连续函数，( t ) 是连续可微函数且满足( t ) t ，( t ) 0 ，l i 弛o o 咖( t ) 0 ， ( t ，z ，9 ) 为定义于 0 ，+ o o ) r 2 上的实连续函数方程( 2 1 1 ) 或( 2 1 2 ) 称为 极限圆型的( 简记为三g ) ，如果( 2 1 1 ) 或( 2 1 2 ) 的所有解均属于l 2 【o ，+ 。o ) ； 方程( 2 1 1 ) 或( 2 1 2 ) 称为拉格朗日稳定的( 简记为l s ) ，如果( 2 1 1 ) 或 ( 2 1 2 ) 的所有解在f 0 ，+ 。) 上保持有界 本章利用文 9 】中推广的不等式，证明了在一定条件下，方程( 2 1 2 ) 属 于工，sn 二c 的问题可由方程( 2 1 1 ) 属于三。sn 三c 来判定 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 h w e y l 讨论了若方程： 是l c 的，则当b c t ) = o ( 1 ) 时，方程： ( 2 1 。3 ) + a ( t ) + 6 ( t ) 】z = 0 ，( 2 1 4 ) 也是工a 的 1 9 8 5 年，欧阳亮【2 】2 研究了方程( 2 1 1 ) 及方程 ( r c t ) = ) + a c t ) + 6 ( t ) 】z = 0 ， ( 2 1 5 ) 得出：如果方程( 2 1 1 ) 属于l - s n l g 且l b c t ) l x p o ，+ o o ) 1 ) ，则方程 ( 2 1 5 ) 也属于三sn 三，c 2 0 0 1 年，徐润【8 】证明了在一定条件下，方程 ( r c t ) x 7 ) 7 + ( a c t ) + 6 ( t ) ) z = ( t ，z ( t ) ，z ( ( t ) ) )( 2 1 9 ) 属于三sn 二c 的问题可由方程( 2 1 1 ) 属于二sn 三c 来判定。 当方程( 2 1 2 ) 中，r ( t ) 兰1 ，t ( t ，z ( t ) ，z ( ( t ) ) ) 三0 ，( 1 = 1 ，2 ，m ) 时即 为方程( 2 1 4 ) ； 当i c t ，z ( 舌) ，z ( 矽( 舌) ) ) 兰0 ，时，方程( 2 1 。2 ) 即为方程( 2 1 。5 ) ； 当方程( 2 1 2 ) 中m = i 时，方程( 2 1 2 ) 即为方程( 2 1 9 ) 因此本文的结果 是前述文献中结论的推广 本文第三章，在0 t 0 连续可微，t r + = 0 ，+ o o ) ，( 亡) 在r + 上连续( i = 0 ，n 一 2 ) ，f ( t ，z ，y ) 是定义在冗+ 霞r 上的连续函数，且假定方程( 3 1 1 ) 满足 c a u c h y 问题的局部存在性，( 舌) 是连续可微函数且满足( 亡) t ，( t ) 0 ， l i 啦_ 。( t ) 0 本文的主要目的是借助于文f 9 】中推广的具有偏差变元的积分不等式， 讨论了方程( 3 1 1 ) 的解属于z ，2 【o ，+ o o ) 及有界的条件 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 本文第四章，讨论了二阶差分方程 z ( n + 2 ) - t - g ( n ) z ( n + 1 ) + p ( n + 1 ) z ( n ) = 0( 4 1 1 ) z ( n + 2 ) + g ( n ) z ( n + 1 ) - i - p ( n + 1 ) z ( 几) = ，( n )( 4 1 2 ) 其中n n n 。= - o ，n o + 1 ，n o n ，g ( 佗) ，p ( n ) ，( n ) 是定义在上的 实序列的极限圆型的分类问题i 借助于辅助函数获得方程( 4 1 1 ) ，( 4 1 2 ) 是 极限圆型的若干充分条件及( 4 1 1 ) ，( 4 1 2 ) 的解有界的判定准则考虑二阶 差分方程( 4 1 1 ) ，( 4 1 2 ) 的极限圆型的分类问题，在差分算子理论及按差分 方程的特征函数展开理论中有重要应用，关于这类问题已早有研究欧阳亮 在文【3 1 中研究了一类二阶微分算子的有界和极限圆型问题，得到了方程所 有解有界的充要条件，并且得到了带摄动项的二阶微分方程所有界有界的 充分条件程远纪在文 4 】给出了判断一类二阶微分方程属于极限圆型或有 界的准则孟凡伟在文 5 】中给出了二阶非齐次微分方程属于极限圆型的判 定本文的主要目的就是讨论差分方程( 4 1 1 ) ，( 4 1 ，2 ) 的类似性质，目前这 方面结果不多 本文第五章，利用带有偏差变元的积分不等式研究下列二阶非线性具 有偏差变元的9 0 9 方程解的有界性 ( a ( t ) x 7 ( t ) ) 7 + f c t ，z ( t ) ，茁i 咖( t ) ) ) = 0 ( 5 1 1 ) 其中( t ) 是一连续可微函数且满足( 亡) t ，( t ) 0 ，( t ) 最终为正在本 章最后，我们还给出一个例子来说明我们所得结果的有效性 关键词：偏差变元，极限圆型，极限点型，有界性，积分不等式 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 a b s tr a c t t h ec l a s s i f i c a t i o no fl i m i tp o i n tc a s eo rt h el i m i tc i r c l ec a s ef o rt h es e c o n d - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw a sf i r s tm e n t i o n e da n dr e s e a r c h e db yh w e y l h e d o i n t e do u t t h a tt h es e c o n d - o r d e rl i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nc a nb e d i v i d e di n t ot w oc a s e s ：l i m i tc i r c l ec a s ea n dl i m i tp o i n tc a s e i fe a c hs o l u t i o n o ft h el i n e a re q u a t i o n si st h es q u a r ei n t e g r a b l es o l u t i o n ，t h e ni t i s c a l l e dt h i s e q u a t i o ni so f t h el i m i tc i r c l ec a s e to t h e r w i s e ，i ti sc a l l e dt h el i m i tp o i n tc a s e t h e b o u n d e i i n 鹪so ft h es o l u t i o nf o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sp r o p o s e dm o s t e a r l yi nt h er e s e a r c h e ss u c ha 8b i o l o g y , e c o l o g y , p h y s i o l o g y , p h y s i c s ，n e u r a ln e t w o r k q u e s t i o n , e t c w h i c hi s o n eo ft h em o s ti m p o r t a n ti nt h er e s e a r c ho fo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h i sa r t i c l eu 髭t h ei m p r o v e di n t e g r a li n e q u a l i t i e sw i t ht h ed e v i a t ev a r i a b l e a n ds o m es k i l l so fi n e q u a l i t i e sa sw e l l 硝r e l a t e dk n o w l e d g ea b o u ts e c o n d - o r d e r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，t oo b t a i nt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ：t h ec l a s s i f i c a t i o no fl i m i t p o i n tc a 昌eo rh m i tc i r c l ec a s ea n db o u n d e d n e s sf o rs e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a lo r d i 田c e r e n c ee q u a t i o nw i t hd e v i a t i v ev a r i a b l e ，d i s c u s s e dt h ec l a s s i f i c a t i o nf o rc e r t a i n n o r d e rd i f f e r e n t i a ie q u a t i o n s ，c r i t e r i af o rt h ec l a s s i f i c a t i o no fs e c o n do r d e rd i f f e r - e n t i a le q u a t i o nw i t hd e v i a t i v ev a r i a b l e t h i sa r t i c l ed i v i d e si n t of i v ec h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s t h ef i r s tc h a p t e ri sa l li n t r o d u c t i o n ，w h i c ho u t l i n et h eb a c k g r o u n do ft h i s r e s e a r c h 。 t h es e c o n dc h a p t e r 。w ec o n s i d e rt h es e c o n do r d e re q u a t i o n ( r ( t ) z 7 ) 7 + 8 ( t ) z = 0 ， ( 2 1 1 ) m p ) z 7 ) 7 + d o ) + 6 ) 】z = ( ，z o ) ，z ( 妒o ) ) ) ， ( 2 - 1 2 ) t = 1 o n0 t 0i sa b s o l u t e l yc o n t i n u o u sr e a lf u n c t i o n ，口( 舌) ，6 ( t ) i s r e a 玉c o n t i n u o u sf u n c t i o no nr + = f o ，+ o o ) ，庐( 古) i sac o n t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n ，w h i c hs a t i s f i e s 驴( t ) t ，( 亡) 0 ，l i m t _ o 。咖( 舌) 0 ，五o ，z ，可) a r e c o n t i n u o u 8f u n c t i o n sd e f i n e do n 【0 ，+ o o ) r 2 t h ee q u a t i o n ( 2 1 1 ) o r ( 2 1 2 ) i s c a l l e dl i m i tc i r c l ec a s e ( d e n o t e dl c ) ，i fa l lt h es o l u t i o n so fe q u a t i o n ( 2 1 1 ) o r 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 ( 2 1 2 ) b e l o n gt ol 2 0 ，+ 。o ) ；t h ee q u a t i o n ( 2 1 1 ) o r ( 2 1 2 ) i sc a l l e dt h el a g r a n g e s t a b l y ( d e n o t e db ylc d o t s ) ，i fa l lt h es o l u t i o n so fe q u a t i o n ( 2 1 1 ) o r ( 2 1 2 ) a x e b o u n d e do n 0 ，+ o o ) i nt h i sc h a p t e r ，w eu s et h ei m p r o v e di n e q u a l i t yi na r t i c l e 9 】9t op r o v e dt h a t u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s ，t h ee q u a t i o n ( 2 1 2 ) b e l o n g st o 五s n l cc a nb ed e c i d e d b yt h ee q u a t i o n ( 2 1 1 ) b e l o n g i n gt ol snl - c h w e y ld i s c u s s e dt h ee q u a t i o n + o ( t ) z = 0 ，( 2 1 3 ) i fi ti so fl c ，t h e nw h e nb ( t ) = d ( 1 ) ，t h ee q u a t i o n z + 【0 0 ) + 6 ( t ) 】z = 0 ，( 2 1 4 ) i sl c i n1 9 8 5 ，o uy a n gl i a n g 【2 】r e s e a r c ht h ee q u a t i o n ( 2 1 1 ) a n dt h ee q u a t i o n ( r ( t ) ) - 4 - a ( t ) + 6 ( 舌) 】z = 0 ， ( 2 1 5 ) a n do b t a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： i f t h ee q u a t i o n ( 2 1 1 ) b e l o n g st o 厶s n l aa n df 6 ( t ) l 护【o ，+ o o ) p 1 ) ，t h e n t h ee q u a t i o n ( 2 1 5 ) b e l o n g st ol s n 三ct o o i n2 0 0 1 ，x ur u ni s 】p r o v e st h a tu n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s ，t h ep r o b l e mo ft h e e q u a t i o n ( r c t ) z ) + ( n ( t ) + 6 ( 亡) ) z = f ( t ，刃( 舌) ，z ( 妒 ) ) ) ( 2 1 9 ) b e l o n g st ol - s a l cc a nb ed e c i d e db yt h ee q u a t i o n ( 2 1 1 ) b e l o n g st o - l s t 3 l c i fr ( t ) - - z1 ，五 ，z ( 亡) ，z ( 妒( t ) ) ) 兰0t h e n ( 2 1 2 ) t u r n si n t o ( 2 1 4 ) ； i f ( t ，z ( t ) ，z ( 0 ) ) ) 兰0 ，( i = 1 ，2 ，m ) ，t h ee q u a t i o n ( 2 1 2 ) t u r n si n t ot h e e q u a t i o n ( 2 1 5 ) ；a n dw h e nm = 1 ，t h ee q u a t i o n ( 2 1 2 ) t u r n si n t ot h ee q u a t i o n ( 2 1 9 ) s ot h er e s u l t so ft h i sa r t i c l ei m p r o v et h er e s u l t so ft h ep a p e rc i t e db e f o r e i nt h et h i r dc h a p t e r w ec o n s i d e rt h eno r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nl n - 2 ( r ( t ) 譬( 州( 亡) ) + 8 i ( ) 矿( 亡) = ，秽( t ) ，管( ( ) ) ) ， ( 3 1 1 ) 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 i n0 t 0i sc o n t i n u o u sa n dd i f f e r e n t i a b l e ，o nt r + = f 0 ，+ o 。) ，啦( z ) i sc o n t i n u o u so n 月+ ( i = 0 ，佗一2 ) ，f ( t ，z ，y ) i sc o n t i n u o u s f u n c t i o nw h i c hd e f i n e do nr + x r x r ，a n dw ea s s u m et h ee q u a t i o n ( 3 1 1 ) s a t i s f i e s t b el o c a le x i s t e n c eo fc a u c h yp r o b l e m ，多( i sc o n t i n u o u sa n dd i f f e r e n t i a b l ea n d s a t i s f y ( ) t ，妒7 ( t ) 0 ，l i m t 。o o ( t ) 0 t h em a i np u r p o s eo ft h i sc h a p t e ri sd i s c u s s e dc o n d i t i o n sf o rt h es o l u t i o n s o fe q u a t i o n ( 3 1 1 ) b e l o n gt o 己2 f o ，+ o o ) a n dt h eb o u n d e d n e s sc o n d i t i o no ft h e 踟 l u t i o 璐，b yt h ei n t e 蓼a li n e q u a l i t i e sw i t hd e v i a t i o n v a r i a b l em e n t i o n e di na r t i c l e 【9 1 i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w es t u d i e st h es e c o n d o r d e rd i f f e r e n c ee q u a t i o n z ( n + 2 ) + g ( n ) z ( n + 1 ) + p ( n + 1 ) z ( 住) = 0 z ( n + 2 ) 十g ( 佗) z ( 佗+ 1 ) + p ( n + 1 ) z ( n ) = ( n ) ( 4 。1 1 ) ( 4 1 - 2 ) w h e r en a k = n o ，n 0 + 1 ，) ，n 0 ，g ( n ) ，p ( n ) ，( n ) a r et h er e a l s e a u e n c e sd e f i n e do nn a c c o r d i n gt ot h ea u x i l i a r yf u n c t i o n , w eo b t a i ns u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rt h el i m i tc i r c l et y p eo ft h ee q u a t i o n ( 4 1 1 ) ，( 4 1 2 ) a n dt h ec r i t e r i a a b o u tt h eb o u n d e d n e s so ft h es o l u t i o no f ( 4 1 1 ) ，a n d ( 4 1 2 ) c o n s i d e r i n gt h es e c o n dd i f f e r e n c ee q u a t i o n ( 4 1 1 ) ，( 4 1 2 ) ，t h ec l a s s i f i c a t i o n o fl i m i tc i r c l ec a 圆eo rl i m i tp o i n tc a s ei su s e f u li nt h ed i f f e r e n c eo p e r a t o rt h e o r y a n dt h ee x p a n s i o nt h e o r yo ft h ec h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o nf o rd i f f e r e n c ee q u a t i o n t h i sp r o b l e mh a dr e s e a r c h e de a r l y o u y a n gl i a n gs t u d i e dt h eb o u n d e d n e s sa n d t h e1 i m i tc y c l eq u e s t i o no fak i n do fs e c o n dd i f f e r e n t i a lo p e r a t o ri na r t i c l ep 】，h e o b t a i n e dn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no fa l lt h es o l u t i o no ft h ee q u a t i o n h a v i n gb o u n d e ( j l i l e s s ，a sw e l la st h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r a l lt h es o l u t i o n so ft h e s e c o n d o r d 【e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hp e r t u r b a t i o na r eb o u n d e d c h e n gy u a n j ig a 艟t h ed i s c i p l i n ei np a p e r 【4 1t oj u d g e dak i n do fs e c o n d - o r d e rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o nb e l o n g i n gt ot h el i m i tc i r c l eo rh a sb o u n d e d n e s s m e n gf a nw e i g a v e t h ec r i t e r i ao ft h es e c o n d o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nb e l o n gt ot h el i m i t c y c l ei na r t i c l e 5 】5 t h em a i np u r p o s eo f t h i sc h a p t e ri sd i s c u s s e st h ed i f f e r e n c e 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 e q u a t i o ni nas i m i l a rn a t u r e ，w h i c ht h er e s u l t so ft h i sa s p e c ta r en o tl i t t l e 。 i nt h ef i f t hc h a p t e r ，w ec o n s i d e rt h eb o u n d e ds o l u t i o no fs e c o n d o r d e rn o n - l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hd e v i a t i n ga r g u m e n t ( n ( t ) z ( t ) ) 7 + f ( t ，z ( t ) ，。( 妒( 亡) ) ) = 0 ( 5 1 1 ) w h e r e ( t ) i sac o n t i n u o u sa n dd i f f e r e n t i a b l ew h i c hs a t i s f y i n g 咖( t ) t ，( t ) 0 ，( t ) i se v e n t u a l l yp o s i t i v e ，u s i n gt h ei n t e g r mi n e q u a l i t yw i t hd e v i a t i n ga r g u - m e n t ，a tl a s tw eg i v ea ne x a m p l et os h o wt h er e s u l t sw h i c hw eg e ti se f f e c t i v e 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 k e yw o r d s ：d e v i a t ea r g u m e n t ，l i m i tc i r c l e c a s e ，l i m i tp o i n tc 3 s e ，t h e b o u n d e d n e s so fs o l u t i o n s ，i n t e g r a li n e q u a l i t y 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文微分方程属于极限圆型的判 定及解的有界性，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期 间独立进行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经 发表或撰写的研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中已明确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 澎班瓤州驯专 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 4 微分方程属于极限圆型的判定及解的有界性系本人在曲阜师范大 学攻读硕士学位期i 日- j ，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成 果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本 人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授 权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论 文的全部或部分内容 作者签名历眵日期多口嵋? d 新i j 獬2 多伊6 l 艮 可y 亚佃。 二1 h 拶】3) 、 f 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 第一章绪论 常微分方程是随着微积分的产生而产生的，是数学中一个古老而重要的 分支，它在自然科学和工程技术中有着广泛的应用近代物理学和应用数学 的发展，非线性微分方程理论的重要性e t 益显现，不仅在工程技术，航天技 术以及自动控制等领域中有重要作用，而且在计算机科学、人口动态学和金 融等领域中也成为不可缺少的工具因此，微分方程理论引起国内外学者的 研究兴趣，其基础理论和应用意义越来越被人们所注意 微分方程属于极限圆型的判定理论和有界性理论作为微分方程理论的 重要组成部分，尤其是有界性理论的研究更是得到了迅速的发展近十几年 来，大批学者对微分方程属于极限圆型的判定和解的有界性研究进行了深 入的探讨，这在很大程度上归因子微分方程在应用方面的重要价值常微分 方程解的有界性问题最早是在研究生物学，生态学，生理学，物理学，神经 网络问题中提出的，是微分方程研究中一个十分重要的领域 本文的主要目的在于对几类二阶微分方程、差分方程极限圆型的分类问 题以及二阶和n 阶具有偏差变元的常微分方程解的平方可积性与有界性进 行进一步的研究 本文第二章和第三章借助于文【9 】中推广的具有偏差变元的积分不等 式，讨论了一类二阶具有偏差变元的微分方程极限圆型的分类问题和一类 1 7 , 阶具有偏差变元的常微分方程解的平方可积性与有界性，所得结果推广了 已有文献中的相应结果本文第四章，首先推广了一类离散不等式，进而应 用得到的不等式讨论了一类二阶差分方程属于极限圆型的判定，并给出实 例说明我们所得结论的有效性本文第五章，主要目的是利用带有偏差变元 的积分不等式研究一类二阶非线性具有偏差变元的微分方程解的有界性 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 第二章二阶具有偏差变元的微分方程 极限圆型的分类问题 2 1 引言 本文在0 t 0 是绝对连续的实函数，o ( 亡) ，b ( t ) 是r + = 【0 ，+ 。) 上的实连 续函数，( 亡) 是连续可微函数且满足( 舌) t ，他) 0 ，l i m t 。妒( 亡) 0 ， 五( t ，z ，y ) 为定义于 0 ，+ ) r 2 上的实连续函数方程( 2 1 1 ) 或( 2 1 2 ) 称为极限圆型的( 简记为l c ) ，如果( 2 1 1 ) 或( 2 1 2 ) 的所有解均属于 l 2 【o ，+ 。) ，否则称为极限点型( 简记为l p ) ；方程( 2 1 1 ) 或( 2 1 2 ) 称为 拉格朗日稳定的( 简记为l s ) ，如果( 2 1 1 ) 或( 2 1 2 ) 的所有解在【0 ，+ ) 上保持有界；方程( 2 1 1 ) 或( 2 1 2 ) 称为6 ( 亡) 权平方有界( 记为l 6 ) ，若 ( 2 1 1 ) 或( 2 1 2 ) 的解z ( t ) 满足： p + o o i b ( t ) l z 2 ( t ) d t 0 ，l i m t 一毋( 亡) o ； ( 3 ) 如果不等式： 婶) o 拧 ( 2 2 1 ) 成立，其中r 移，劬( 0 ，1 】是常数，那么有 绯脚小圳o ) ) e x p 猷) r v k r , - l d s e x p - j t 扩- ，( u o ) 扪g # ( s ) 出， ( 2 2 2 ) 对任意的k 0 成立，其中 f ( t ) = + 厶( ( s ) ) ( s ) ( 1 一r 口) 后”+ 忌r - l p ，( ( s ) ) 】d s 缈( s ) 【( 1 一劬) 老劬+ 劬惫毋1 p 1 ( ( s ) ) 】d s ， p t ( 亡) = p ，+ 妻k 。，f 。- l ( o ) 乳c s ， u c c s ，) 】劬d s c 2 2 3 ) 1 ， 一 r k 广k 。宁博 曲阜师范大学硕士学位毕业论文5 ( 1 ) u ( 亡) ，厶( 亡) ，g j ( t ) ，c ( t ) 和p ( t ) 是定义在 0 ，+ o o ) 上正的连续函数，口= 1 ，2 ，3 1 ，j = 1 ，2 ，3 缸 ( 2 ) ( 亡) 是r + 上的连续可微函数，且( 亡) t ，妒他) 0 ，l i r a ( 亡) o ； ( 3 ) 如果不等式： u c t ，p k ( t ) + f o c c s ，乱c s ，d + 妻z 。，；c s ，c u c s ，r ”d s 。2 2 4 ，量 一t - 。- 1 ， + r ；i o 毋( s ) 心( ( s ) ) 】彩d s ，t o ， 成立，其中r v , 劬( o ，1 】是常数，那么有 t 一c 牡( 亡) p 1 - ( 亡) + 户( 一1 ( 亡) ) e x pf o c ( s ) d s e x pe 。：1 0 0 厶( s ) r 移忌r 一1 d s 一 e 印彩釉渺q 如， ( 2 2 5 ) 对任意的k 0 成立，其中 ，- ，t 其2 如1 ) “烈。，( 咖“烈s ”d s + 萎z - l ( o ) 10 纵烈s ) ，( s ) 【( 1 吒矽”，妒一( o ) ：it ，妒一( ) 押矗h “烈s ”忙s + 善如) 以s ) 【( 1 - 劬) k q j + q j k q j - l p l 渺( s ”m s ， 州恻卅妻厂m 删啪( s ) 炉 ( 2 2 6 ) 定理2 1 设： ( i ) v t j 矿，z ，秒r ，有： 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 6 其中：e i ( t ) ，吼( t ) ，玩( 亡) ( i = 1 ，2 ，m ) 为r + 一舻上的连续函数，o t i ，屈 ( 0 ，1 1 为常数； ( 2 ) ( 亡) 是r + 上的连续可微函数，且( 亡) t ，( 亡) 0 ，l i m o o ( 亡) o ； ( 3 ) 方程( 2 1 1 ) 属于l snl c ； ( 4 ) e i ( t ) ，仇( z ) ，吃( 亡) ( i = 1 ，2 m ) ，1 6 ( t ) i l 0 ，+ ) ，则方程( 2 1 2 ) 属于 l snl c 证明设z l ( z ) ，x 2 ( t ) 是方程( 2 1 1 ) 的满足条件：r ( 舌) p l ( 右) z ；( 右) 一z i ( 舌) z 2 ( 亡) 】三 l 的两个线性无关解，并设z ( 吉) 是方程( 2 1 2 ) 的任意解，则由常数变易法 知，存在常数c l ，c 2 ，使得 z ( 亡) = o x l ( t ) + c 2 x 2 ( t ) - 4 - 【x l ( s ) x 2 ( t ) 一z 1 ( 亡) z 2 ( s ) 】 匡胁州“啪( 8 ) 胪6 ( s m 小 l 讹z ( s ) ，。( 荆) ) 一6 ( s ) z ( s ) 卜 l i = lj 由条件( 1 ) 知： l z ( t ) l | c l l l z l ( ) i - 4 - l c 2 l l z 2 ( 三) l - 4 - - 【l g - ( s ) 1 1 名2 ( 亡) l - 4 - l z l ( 亡) i l 舅2 ( s ) l 】 善脚( s 脚s + z i x l 。) 1 1 观 ) l + l 魂 ) 1 1 娩( s ) i 1 “s 如) l 如 l c - | i z ) f + l c 2 i i z 2 ( 亡) i + i x x ( s ) l l x 2 ( t ) i4 - l x l ( t ) l l x 2 ( s ) 1 l b ( s ) i x ( s ) l d s 肛1 ( s ) l | 以圳专陬陋2 ( 3 ) i 】昏s ) + 喜删) i ： 喜九t ( 5 ) l z ( ( s ) ) i 反 d s 因为。l ( 亡) ，x 2 ( t ) 线性无关，故不同时为零，所以：l z l ( 亡) i + l z 2 ( 亡) i 0 ，令 邵) = 丽俐丽 ( 2 2 7 ) + + 曲阜9 币范大学硕士学位毕业论文 于是有： ，c i 孟( 亡) l i c ，l + 1 5 2 + ( j x l ( s ) l + i z z ( s ) i ) 2 i b ( s ) j l s c ( s ) i d s ，0 e i ( s ) d s 1 + 啦吼( s ) l 孟( s ) p d s ( i z ( ( s ) ) i + i z 2 ( ( s ) ) i ) t ( s ) i 孟( ( s ) ) ( 7 i 风如 2 2 8 ) 由于l i r a h o o 咖( 亡) 0 ，所以存在蜀 0 ，当t t o 时，( t ) 0 ，因为方程 ( 2 1 1 ) l s ，所以z l ( 亡) ，z 2 ( t ) 在【0 ，+ ) 上有界，故存在m 0 ，使 i z l ( 亡) l m ，l z 2 ) l m ，t 0 ，t m ，t l e ( t ) l 驯+ | c 2 l + 心聊1 6 ( s ) 1 1 j 0郑凇s + 著j 心0 脚小 i 一1 + 妻序埘懈酬孙) l q 协+ 妻小帆( s ) 献帅) ) 1 s mt oi + ( 2 m ) 1 懈仇( 州s ) + 疋( 2 m ) 2 附( w 协，t = 1 ，u = lv u 因为e i ( s ) ( z ：1 ，2 ，m ) 面积，所以令：c = l c li + l c 2 f + 墨。f o ( 2 m ) e i ( s ) 如， 则c 为常数，由引理( 2 1 2 ) 及( 2 2 9 ) 得： ， ， 献驯百+ 户( _ 1 ( 啪e x p 0 ( 2 m ) 2 | 6 ( s ) i d se x p 萋1j 0 ( 2 m ) 1 + 肌( s ) 旷旷砣s ， i e x p 喜z ：c 2 a z ，2 屯c s ，劬之q j 一1 d 5 ，亡蜀 ，、 ，加，加厂，加 m等言汹 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 对任意的k 0 成立，其中 户(亡)2以一。(。)(2m)216(咖(s)i咖7(s)百ds+i=lft以r t 一。( 。) ( 2 m ) 1 + n i 阢( ( s ) ) ( s ) ( 1 一) 忌h m + r v k r p - 1 粥卧；k ) ( 2 聊( s ) ( 卜q j ) 舻+ 栌。讹 嘻厂0 1 ( 2 帆( s ) m 帅) ) 】 由条件( 4 ) ，e i ( 亡) ，仇( 亡) ，玩( 亡) 0 = 1 ，2 ，仇) ，1 6 ( 亡) l l 0 ，+ o o ) ，故弓，户( t ) 在【0 ，+ o 。) 上有界，由此可知存在常数k ，使得岳( 亡) k ，( t 0 ，+ o 。) ) ，由 ( 2 2 7 ) 知： l z ( 亡) i 尼( 1 2 1 ) l 十l z 2 ( 亡) 1 ) 2 k m ，t 0 所以； i z ( t ) 1 2 尼2 ( x l ( t ) + x 2 ( 亡) ) 2 后2 2 ( z ；( 亡) + z ；( 亡) ) 由方程( 2 1 1 ) 属于l sn l c 及z ( 亡) 的任意性即得方程( 2 1 2 ) 也属于 l snl c 定理2 2 设： ( i ) v t 冗+ ，。，y r ，有： i ( 亡，z ，秒) i e i ( t ) + g t ( t ) l x l a t + h i