（应用数学专业论文）零中心的5维3lie代数.pdf

摘要 李代数是李代数的推广，它是乘法运算为伽元运算的一种多元李代数在 结构上n 李代数与李代数存在着很大的差异因此研究n 李代数的结构及应用是 非常有必要的本文主要研究忍域上一类特殊的5 - 维3 - 李代数的结构特征及其导 子代数的结构特征详细的计算了当d i m a l = 2 时历域上具有零中心的5 - 维3 一 李代数的结构特点及导子李代数的结构并分别给出了导子的具体表示还证明了 在特征为2 的域上，不存在单导子代数的孓李代数 论文共分4 个部分，第一部分谈了佗李代数的背景及发展状况第二部分给 出了论文要用到的基本概念和基本结论第三部分研究了忍域上3 一李代数的结 构及导子代数的结构特征第四部分对文章结论进行了归纳 关键词m 李代数，导子，导子代数，特征 a b s t r a c t a b s t r a c t n l i ca l g e b r ai sag c n c r a l i z t i o no fl i ea l g e b r a ，w h i c hi sa na l g e b r a i cs y s t e mw i t h a nt , 一a rcm u l t i l i n e a ro p e r a t i o n t h es t r u c t u r eo fn - l i ea l g e b r a si sg r e a td i f f e r e n t f r o mt h a to fl i ea l g e b r a s s oi ti sn e c e s s a r yt os t u d yt h es t r u c t u r ea n da p p l i c a - t i o n so fn l i ea l g e b r a s t h i sp a p e rm a i n l yc o n c e r n st h ed e r i v a t i o na l g e b r a sw i t h 2 - d i m e n s i o n a ld e r i x 7 e da l g e b r a so v e rt h ef i e l d 易w ea l s og i v et h ec o n c r e t ee x p r e s s i o no fe a c hd e r i v a t i o n a tt h el a s to ft h ep e p e r ，w ep r o x t h a tt h e r ed o e sn o te x i s t 3 - l i ea l g e b r a sw i t hs i m p l ed e r i v a t i o na l g e b r a so v e raf i e l do fc h a r a c t e r i s t i c2 t h e p a p e rc o n s i s t so ff o u rs e c t i o n s t h eb a c kg r o u n da n dd e v e l o p m e n to f7 2 一l i e a l g e b r a sa r ci n t r o d u c e di nt h es e c t i o n1 i nt h es e c t i o n2w eg i v es o m ed e f i n i t i o n s a n db a s i cr e s u l t so fn l i ea l g e b r a sw h i c ha r cu s e di nt h ep a p e r i nt h es e c t i o n3 w es t u d yt h es t r u c t u r eo f5 - d i m e n s i o n a l3 - l i ea l g e b r a so x ，o r 历w i t h2 一d i m e n s i o n a l d e r i v e da l g e b r a sa n dn i lc e n t e r k e y w o r d s n - l i ea l g e b r a ；d e r i v a t i o n ；d e r i v a t i o na l g e b r a ；c h a r a c t e r i l 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知除了文中特别加以标注和致谢的地方外论文中不包含其他人已经发 表或撰写的研究成果也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书所使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了致谢。 作者签名：丑逾生一嗍砰“月上日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定即：学校有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版允许论文被查阅和借阅。学校可以公布论文 的全部或部分内容可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 1 、保密口在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密刚。 ( 请在以上相应方格内打“ ) 作者签名： 导师签名： 日期： 日期：i 、j 珥群 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为嚏卿雌卜n 撒) 的学位 论文，是我个人在导师啦硝满指导并与导师合作下取得的研究成果，研究工作及取得 的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费资助下完成的。本人完全 了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定的各项法律、行政法规以及河北 大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大学的书 面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内容。如果违反 本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声肌斗啦吼呷月一日 作者签名： 蛐鹭 导师签名： 日期：2 罕年_ 厶止日 日期尹d 月l 日 第一章引言 李代数是一类重要的非结合代数，最初是由1 9 世纪挪威数学家，s 李创立 李群时引进的一个数学概念。经过一个世纪，特别是1 9 世纪末和2 0 世纪的前叶， 由于i 矿基灵，6 ( 一j ) 嘉当，( c h ) h 外尔等人卓有成效的工作，李代数本身 的理论才得到完善，并且有了很大的发展无论就其理论的完整性还是就其应用的 广泛性来说，李代数都已成为一个非常重要的数学分支它的理论和方法已经渗透 到数学和理论物理的许多领域 1 9 8 5 年，v t f i l i p p o v 在文献( 4 】中提出了m 李代数的概念，定义了7 z 一元多 重运算k 1 一，z 。】，满足反对称性及广义的j a c o b i 恒等式： n ，z 。】，y 2 ，y 。】= ： i f 7 1 ，ky 2 ，如】，z 住】， ( ，1 ) f = l 在这篇文章中，v t f i l i p p o v 给出了第一个m 李代数的基本例子以及一些类似予 李代数中的结构性概念，如半单性，幂零性等，还对复数域上( n + 1 ) 一维m 李代 数进行了分类s h i k a s y m o v 在文章 5 】中介绍并研究了七一可解性，k 幂零性 ( 0 k n ) ，c a r t a n 子代数，k i l l i n g 型以及f i l i p p o vn - 李代数的表示他还证明 了类似李代数中的e n g c l 定理s h i i ( a s y m o v 给出的n 李代数中的结构性概念 与李代数中的相关概念有一定的区别，反映出n 一李代数的多元运算 另一种对j a c o b i 恒等式的推广形式为 矗一，陋l 一，z i 。】，协1 一，y 1 。一。】_ 0 ， ( 3 2 ) 这里的和取决于( i l ，i 。) 和( 歹1 1 一，j n - - 1 ) 的所有满足 ，i 。) u 溉，矗一 = 1 ，2 ，2 n 1 ) 多元有序列这些在1 9 9 0 - 1 9 9 2 提出的理论在文献 6 中发表作者受f i l i p p o v 在 1 9 8 5 年的工作的启发，注意到n 为偶数时，( ，1 ) 一渺李代数也是( 了2 ) 一伽李代 数 0 一 水 至于它们在物理和几何上的背景，我们只介绍f i l i p p o vm 李代数( 简称为n l i e 代数) 一个佗一元李代数结构是一个n - p o i s s o n 结构，作为一个在光滑流形上的光 滑函数的代数上的多元导子的实现函数行列式 力， ， 】- d e t i 竺| i r q ，, - v 山j 是在a = c ”( r ”) 中具有这样结构的一个最简单的例子1 9 7 3 年，y n a m b u 推 广了h a m i l t o n i a n 动力系统f 1 】提出了n a m b u 动力系统，将空间的二元运算一 p o i s s o n 括号积推广为三元运算一称为n a m b u 括号积然而，y n a m b u 没有提 到相对于n - j a c o b i 等式( j 1 ) 中的n 一元括积后来l e n ot a k h t a j a n 在文章f 2 】中 的开始部分提出了这个问题他系统发展了n p o i s s o n 流形( 型( j 1 ) ) 的概念并称之 为n a m b u p o i s s o n 流形，其在n a m b u 动力系统中与p o i s s o n 流形在h a m i l t o n i a n 动力系统中具有同样的角色 1 9 9 3 年l c n ot a k h t a j a n 提出了n a m b u 括号积的基 本恒等式一推广的j a c o b i 恒等式作为动力系统的一个相容性条件 2 】其像空间的 线性n a m b u 结构与n 李代数的结构一一对应所以n 一李代数的研究对动力系统 的研究有重要的意义 我们简单介绍论文的结构论文在第二部分介绍本文要用到的一些基本概念和 结论第三部分研究了磊域上5 一维3 李代数的导子代数的结构并给出其具体的 表达式且对一般特征2 域上的3 一李代数的导子代数结构进行讨论 第二章预备知识 在本章中给出本文要用到的一些基本概念和基本结论，主要参考文献可参见f 4 9 】 定义2 1 n 一李代数是域f 上的具有n 元运算 ，】的线性空间，且满足 下列恒等式： p 1 i 一，z 。】= ( 一1 ) 7 p ) i x 矿( 1 ) ，z ，洲，( 2 1 ) ， 】y 2 ，。】= ，ky 2 ，y 。】i ，z 。】， ( 2 2 ) i = l 这里口& ，7 - p ) 分别等于0 或1 ，当伊是偶排列或奇排列时 当c h f = 2 ，则对任意z a ，z = 一z 因此等式( 2 1 ) 应写成为 【x l ，x i ，巧，x n 】= 0 ，( 2 3 ) 这里i j ，= x j 关于n 李代数的例子很多，例如假设a 是交换的结合代数，d 1 ，一，d 。是 a 上的死个可交换的导子定义a 上的n 元运算：任取z l ，x 。a ， 这里 阢焉e t 匕 z l n 、 l 刊 x o = ( x j ) d i ，1 z ，j n 直接计算可验证a 按上述运算构成一个m 李代数且当d i m a = 。o 时，a 是无 限维的n 一李代数 设4 是一个玲李代数，对任意蟊a ，i = 1 ，死，线性变换 r ( x 2 ，z n ) ：a a ，( x 1 ) r ( x 2 ，x 。) = x l ，z 。】， 称为由元素z 。，z 。一1 a 所决定的4 的右乘算子 定义2 2 m 李代数a 的导子d 是a 到自身的线性变换，满足条件：对任意 z l ，3 7 n a n ，z 。 ) d = i = 1 ，( x i ) d ， ( 2 4 ) 由等式( 2 2 ) ，右乘算子及其线性组合是导子称其为内导子a 的所有导子生成g l ( a ) 的子代数称为a 的导子代数，记为d e r ( a ) ，记l ( a ) 为所有右乘算子生成的子代 数即内导子李代数 由几一李代数的定义易证内导子李代数是导子代数的理想 从等式( 2 2 ) 和( 2 4 ) 知， 【r ( a l ，( 1 n - 1 ) ，r ( b l ，6 n 一1 ) 】= r ( a l ，a n _ 1 ) r ( 6 l ，b n - 1 ) 一r ( b l ，b n 一1 ) r ( a l ，a n - 1 ) n 一1 = r ( q i = 1 ，( a i ) r ( b l ，b n _ 1 ) ，( - $ n - 1 ) ，( 2 5 ) 对a 的子空间a 1 ，a 。，记阻l j 一，a 。】为所有元素 n 1 ，- 一，a 。】生成的子代数， 这里a i a i ，i = 1 ，佗 引理2 1 r l 设a 是z 2 _ k s j5 一维3 李代数，它的一组基是e l ，e 5 则具 有零中心，导代数的维数等于2 的f = 邑上5 一维3 李代数在同构的意义下仅有 如下几类：设a 1 = f e l + f e 2 ， 】_ e 2 = c 1 = c 2 = e 1 ， ( c 4 ) = e = e l 一- 9 2 = e l = c 2 4 ( c 7 ) 2 c 2 = c 1 牟e 2 = e 1 e 2 ，e 3 ，c 4 c 1 ，e 4 ，9 5 c 2 ，e 4 ，e 5 = c 1 = e l = e 2 4 4 5 e e e 3 3 4 e e e 1 2 3 e e e e e e b ， ， ， ， 3 4 4 3 e e e 9 ， ， ， ， l 1 2 2 陋陋陋k e e e e ， ， ， ， 3 3 4 4 e e e e ， ， ， ， l 2 1 2 e e q j e l i - 【 、，、， z r 旧 似 第三章导子代数 在本章中主要研究磊上具有2 一维导代数且具有零中心的5 一维3 一李代数的结 构首先研究其可解性与幂零性，在讨论其导子代数结构通过由引理2 1 给出的 历上5 维3 - 李代数的具体分类及乘法表，具体的计算出每种情形的导子及导子 代数的表示形式 首先给出如下定理 定理3 1 设a 是易域上导代数维数是2 的中心为零的5 维3 一李代数，则a 是可解非幂零的3 一李代数，且具有性质a ( 2 ) = 0 证明设a 是易域上导代数维数是2 的中心为零的5 一维3 李代数，且在基 g l ，e 2 ，c 3 ，e 4 ，e 5 下，乘法表分别为引理2 1 给出的乘法表则直接计算可知，在任何 一种情形下， a 的导代数a ( 1 ) = 忍e l + 磊e 2 但p ( 1 ) ，a ，a 】= a ( 2 ) = 0 所以， a 是可解的 再由乘法表直接算可知，在( c 2 ) ，( c 4 ) 和( c 5 ) 中，r ( e a ，e 4 ) 是a 上非幂零的右 乘变换，在( c 7 ) 中，r ( e 4 ，e 5 ) 是非幂零的右乘变换所以，( c 2 ) ，( c 4 ) ，( c 5 ) 和( c 7 ) 都为非幂零的3 李代数证毕。 下面我们讨论易上具有2 维导代数且具有零中心的5 维3 一李代数的导子 代数的结构假设a 是乞上的5 一维3 - 李代数，d i m a l = 2 ，c 1 ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 为a 的一组基，其乘法表分别为引理2 1 中的各种情形将右乘算子曰( e 1 - ，色， 白，缸，e 5 ) 记为r c i ，j ，七) ，这里色表示g i 在右乘算子中不出现岛表示 为5 阶矩阵单位对a 的任意导子d 即v d d e r a ，令 五 ( e i ) d = a i j e j ，磊 j - - - 1 则d 在基e l ，e 2 ，e 3 ，c 4 ，e 5 下的矩阵形式为d = ；：lq 巧量j ，即 i a l f l 口2 ni 2l 口3 l 吼 0 5 n 2 2n 2 3 n a 弘2 4 n 2 5 l , a i j ez 2a32a a aa 3 5n 3 4 l a 4 2a 4 3a 4 4a 4 5 i 口5 2n 5 3 口5 4n 5 5 ( 3 1 ) 关于此类3 李代数的内导子代数的结构已经研究过因此首先给出下面引理 引理3 2 8 1 设a 是磊上中心为零的导代数维数等于2 的5 一维3 一李代数， e l ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 是a 的一组基，乘法表如引理2 1 所示则a 的内导子代数结构如 下： ( 1 ) 若a 是情形( c 2 ) ，则l ( a ) 可分解为a b e l 理想与2 维a b e l 子代数p 的直和，即 l ( a ) = 日只其中，p = z 2 r ( 1 ，2 ，4 ) + z 2 r ( t ，2 ，5 ) ， h = z 2 r ( t ，3 ，4 ) + z 2 r ( 1 ，3 ，5 ) + 而r ( 1 ，4 ，5 ) + z 2 r ( 2 ，4 ，5 ) ， h ，p 】日， r ( 1 ，2 ，4 ) = e 1 2 + 易l ，r ( 1 ，2 ，5 ) = e a i + 局2 ，r ( 1 ，3 ，4 ) = 易l ，r ( 1 ，3 ，5 ) = e 3 2 ， r ( 1 ，4 ，5 ) = e 5 1 + 且2 ，r ( 2 ，4 ，5 ) = e 4 1 + 岛2 ( 2 ) 若a 是情形( c 4 ) ，则l ( a ) 可分解为a b e l 理想h 与1 一维子代数尸的直 和，即 ( a ) = 日阜z 2 r ( 1 ，2 ，5 ) ， 其中，h = z 2 r ( 1 ，2 ，3 ) + 易r ( 1 ，2 ，4 ) b l ，r ( 1 ，2 ，4 ) = 日1 ，r ( 2 ，- l 5 ) = 邑2 ， 最2 + 岛1 + z 2 r ( 2 ，3 ，5 ) + z 2 r ( 2 ，4 ，5 ) ，r ( 1 ，2 ，3 ) = r ( 2 ，3 ，5 ) = b 2 ，r ( a ，2 ，5 ) = e 1 2 + 易1 + ( 3 ) 若a 是情形( c 5 ) ，则l ( a ) 可分解为一个a b e l 理想日与2 一维a b e l 子代 数p 的直和，即 ( a ) = h 阜只其中p = z 2 r ( 1 ，2 ，3 ) + z 2 r ( 1 ，2 ，5 ) ， h = z 2 r ( 1 ，3 ，4 ) + z 2 r ( 1 ，3 ，5 ) + 邑r ( 2 ，3 ，4 ) + z 2 j f 2 ( 2 ，3 ，5 ) ， r ( 1 ，2 ，3 ) = e 1 1 + e 2 2 ，r ( 1 ，2 ，5 ) = e 1 2 + 岛l + 易2 ，r ( 1 ，3 ，4 ) = 蜀2 ， r ( 1 ，3 ，5 ) = b 1 + 岛2 + e 5 2 ，r ( 2 ，3 ，4 ) = 且1 ，r ( 2 ，3 ，5 ) = 如1 + 如2 ( 4 ) 若a 是情形( c 7 ) ，则l ( a ) 可分解为一个a b e l 理想h 与2 一维a b e l 子代 数p 的直和，即 l ( a ) = h p 其中p = z 2 r ( 1 ，2 ，3 ) + 磊r ( 1 ，2 ，5 ) ， h = z 2 r ( a ，3 ，4 ) + z 2 r ( 1 ，3 ，5 ) + z 2 r ( 1 ，4 ，5 ) + z 2 r ( 2 ，3 ，5 ) ， r ( 1 ，2 ，3 ) = e 1 1 + 岛2 ，r ( 1 ，2 ，5 ) = e 2 1 ，r ( 1 ，4 ，5 ) = e 4 1 ， r ( 1 ，3 ，4 ) = e 4 2 ，r ( 1 ，3 ，5 ) = e 3 1 + e 5 2 ，r ( 2 ，3 ，5 ) = e 5 1 下面我们确定导子代数的结构 定理3 3 设a 是乙上中一l - 为零，导代数维数是2 的5 一维3 李代数且假 设在基e 1 ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 下，乘法表如引理2 1 所示则其导子代数的结构如下 ( c 2 ) a 的任意导子d 在基e l ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 下的矩阵表示形式为 。= ( 。2 2 + 蓁+ f z “a 3 5 奏d 2 1 喜妻熹) ，n 巧邑 d e 7 ( a ) = 磊( 且2 + 屡1 ) + 易( e 1 + 易2 ) + 磊( 马l + e 5 2 ) + 邑( 岛2 + 尾1 ) + 磊( e l l + e 3 3 ) + 磊( e 1 2 + e 3 5 ) + 易e 4 1 + z 2 目2 - 4 - 磊e 4 3 + 易( e 1 1 + 且4 - 4 - 岛5 ) + 磊且5 = l ( a ) - 4 - 磊( e u + 岛3 ) + z 2 ( e 1 2 + e 3 5 ) + 磊( e 1 1 + e 4 4 + 尾5 ) - 4 - 历e 4 3 + 丕e 4 5 ( c 4 ) 对a 的任意导子d 在基e 1 ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 下的矩阵表示形式为 。=(。喜n，。n11萎n12毒0毒0口。2喜。，)，。u2乞 d e r ( a ) = 而( 且1 + 岛2 + b 5 ) + 磊( 局l + 最2 + 岛2 + e 5 1 ) + 邑e 3 1 + 磊e 3 2 + 易( 岛3 + 且4 ) + 易岛4 + 磊e 3 5 - 4 - 易邑l + 易e 4 2 + z 2 且3 - 4 - 乞e 4 5 - 4 - 磊( 岛2 + 尾l - 4 - b 5 ) = l ( a ) + 易( e 1 1 - 4 - e 2 2 - 4 - 昂5 ) + 忍( e 3 3 + e 4 4 ) + z 2 岛4 + 汤e 3 5 + 易墨3 + 乙e 4 5 - 4 - 7 - , 2 ( 邑2 - 4 - 马l + 邑5 ) ( c 5 ) 对a 的任意导子d 在基e 1 ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 下的矩阵表示形式为 一7 乙 一u 0 、i 5 3 0 0 0 钆呶 o o o o o o鲰o m 渤 础十十伽叫 n 缸 o 0 m 们 奶 删 嬲 ，jili_-ll-i_iii l i d d e r ( a ) = 易( e 1 1 + 岛2 ) + 五( e 2 1 + e 1 2 + e 2 2 ) + 磊( e 3 1 + 局2 + 尾2 ) + 易( e 3 3 + 且4 + 昂5 ) + 磊e 4 1 + 邑局2 + 五日3 + z 2 e 4 5 + 易( e 3 2 + 扇1 ) = l ( a ) + z j ( e 3 3 + e 4 4 + 昂5 ) + 汤e 4 3 + z 2 e 4 5 ( c 7 ) 对a 的任意导子d 在基c 1 ，c 2 ，c 3 ，e 4 ，e 5 下的矩阵表示形式为 。=(n22+萎雾+a44奏al；2葶0喜0垂0j：口妇z2 d e r ( a ) = 历( e 1 1 + e 2 2 ) + 邑( 局1 ) + z ( 局1 ) + 乙( 局2 ) + z 2 ( 岛l + 局2 ) + z 2 ( 岛1 ) + 易( e 1 l + e 3 3 ) + 磊( e l l + 置4 + e 5 5 ) + 五( e 1 2 + 局5 ) + z 2 肠3 + z 2 日5 = l ( a ) + 而( e 1 1 + 邑3 ) + 磊( e 1 1 + 日4 + 尾5 ) + 磊( e 1 2 + 岛5 ) + 乙臣3 + 磊且5 证明 首先证明情形( c 2 ) 设d 是任意一个导子，d 在基e ，e 2 ，c 3 ，e t ，e 5 下 的矩阵表示如( 3 1 ) 所示首先根据引理2 1 ，讨论导子d 的约束 由导子的定义及乘法表直接计算 ( e l ，e 2 ，e 3 ) d = 【( e 1 ) d ，e 2 ，e 3 】+ e l ，( e 2 ) d ，e 3 】+ 【e 1 ，e 2 ，( e 3 ) d 】 = 【a 1 4 e 4 ，e 2 ，e 3 】+ 【e l ，a 2 4 c 4 ，e 3 】- a 1 4 e l + a 2 4 c 2 = 0 ， 得到a 1 4 = 口2 4 = 0 由 ( e l ，e 2 ，e 4 ) d = ( e l o d ，e 2 ，e 4 】+ e l ，( e 2 ) d ，e 4 】+ 【c 1 ，e 2 ，( e 4 ) d 】 = 【a 1 3 e 3 ，e 2 ，e 4 】+ a 1 5 e 5 ，e 2 ，e 4 】+ 【e l ，a 2 3 e 3 ，e 4 】+ 【e l ，0 2 5 e 5 ，c 4 】 = a 1 3 e l + a 1 5 c 2 + a 2 3 e 2 + a 2 5 e l20 得a 1 5 。a 2 3 ，n 1 3 = n 2 5 再由 ( e l ，e 2 ，e s ) d = ( e 1 ) d ，c 2 ，e 5 】+ e 1 ，( e 2 ) d ，e 5 】+ e l ，e 2 ，( e s ) d 】 = a 1 4 e 4 ，e 2 ，e 5 】+ e l ，0 2 4 e 4 ，e 5 】- a 1 4 c 2 + a 2 4 e l = 0 ， 可知n 1 4 = a 2 4 = 0 由等式 ( e l ，e 3 ，e 4 】) d = 【( e 1 ) d ，e 3 ，e 4 】+ e i ，( e 3 ) d ，e 4 】+ 【e l ，e 3 ，( e 4 ) d 】 = a 1 1 c l ，e 3 ，e 4 】+ a 1 2 c 2 ，e 3 ，e 4 】+ 【e l ，a 3 3 e 3 ，e 4 】+ 【e l ，n 3 5 e 5 ，e 4 】+ 【e 1 ，e 3 ，a 4 4 e 4 】 5 得到 由 = a 1 1 c 2 + a 1 2 c 1 + a 3 3 e 2 + a , 3 s e l+ a 4 4 e 2 = ( e 2 ) d = o 巧勺 = n 2 1 e l + 0 2 2 e 2 十( 2 3 c 3 + ( 1 2 4 c 4 + a 2 5 e 5 ， j = l ( 1 1 2 。a 3 5 + a 2 1 ，( i l l + a 3 3 + a 4 42a 2 2 ，( 1 2 32 ( 1 2 42a 2 520 ( 【e l ，e 3 ，e 5 】) d = ( e 1 ) d ，e 3 ，e 5 】+ e l ，( e 3 ) d ，e 5 】+ 【e 1 ，e 3 ，( e 5 ) d 】 = e l ，a 3 4 c 4 ，e 5 】+ 【e l ，e 3 ，a 5 4 e 4 】：a 3 4 e 1 + a 5 4 c 2 = 0 ， 得a 3 4 = a 5 4 = 0 由 得 ( e l ，e 4 ，e s ) d = ( e 1 ) d ，e 4 ，岛】+ 【e l ，( e 4 ) d ，e 5 】+ 【e 1 ，e 4 ，( e 5 ) d 】 = 【( l l e l ，e 4 ，e 5 】+ f a l 2 c 2 ，e 4 ，e 5 】+ 【e l ，a 4 4 c 4 ，e 5 】+ 【e l ，e 4 ，a 5 5 e 5 】+ 【e l ，e 4 ，a 5 3 e 3 】 由等式 得到 5 = a l l e l + n 1 2 e 2 + 铂4 e l + a 5 5 e 1 + a 5 3 e 2 = ( e 1 ) d = n 1 j 勺 j = l = a l l e l + a 1 2 c 2 + ( 1 1 3 e 3 + a 1 4 e 4 + a 1 5 c 5 ， a 4 42 口5 5 ；a 1 32a 1 42 倪1 520 ；a 5 350 ( e 2 ，e 3 ，e 4 ) d = 【( e 2 ) d ，e 3 ，e 4 】+ e 2 ，( e 3 ) d ，e 4 】+ 【e 2 ，e 3 ，( e 4 ) d 】 = 【a 2 1 c 1 ，e 3 ，e 4 】+ 【a 2 2 1 7 , 2 ，e 3 ，e 4 + 【e 2 ，a 3 3 c 3 ，e 4 】+ 【e 2 ，a 3 5 e 5 ，e 4 】+ 【e 2 ，e 3 ，a 4 4 e 4 】 5 = 0 2 1 e 2 + n 2 2 e 1 + a 3 3 e 1 + 口3 5 e 2 + 0 4 4 e l = ( e 1 ) d = c 【l j 勺 j = 1 = a l l c l + _ ( 1 1 2 e 2 + a 1 3 c 3 + 口1 4 e 4 + a 1 s e 5 f = c 2 1 。n 1 2 + a 3 5 ，a 2 2 + 0 3 3 + a 4 42a l l ，a 1 32a 1 42a 1 520 9 ( 【e 2 ，e 3 ，e s ) d = ( e 2 ) d ，e 3 ，c 5 】+ e 2 ，( e 3 ) d ，e 5 】+ e 2 ，e 3 ，( e s ) d 】 = 【e 2 ，a 3 4 e 4 ，e 5 】+ 【e 2 ，e 3 ，a 5 4 e 4 】- a 3 4 e 2 + a 5 4 e l = 0 ， 得a 3 4 = a 5 4 = 0 得 由 ( 【e 2 ，e 4 ，e s ) d = ( e 2 ) d ，e 4 ，e 5 】4 - e 2 ，( e 4 ) d ，e 5 】+ 【e 2 ，e 4 ，( e s ) d 】 = a 2 1 e l ，e 4 ，c 5 4 - 【a 2 2 e 2 ，e 4 ，e 5 + ( 1 7 2 ，a 4 4 e 4 ，e 5 十【e 2 ，e 4 ，a 5 3 e 3 4 - 【e 2 ：e 4 ，a 5 5 e 5 】 = a 2 1 e l + a 2 2 e 2 4 - a 4 4 e 2 4 - a 5 3 e l + a 5 5 e 2 = ( e 2 ) d = = 6 2 1 e 1 4 - a 2 2 c 2 4 - a 2 3 e 3 + 0 2 4 e 4 4 - a 2 5 e 5 a 5 3 = 0 ，a 4 42a 5 5 ，a 2 3 = 0 2 42a 2 520 ( e 3 ，e 4 ，e 5 】) d = 【( e z ) d ，e 4 ，e 5 】4 - e 3 ，( e 4 ) d ，e 5 】+ ( e 3 ，e 4 ，( e s ) d 】 = a 3 1 e l ，e 4 ，e 5 + a 3 2 e 2 ，e 4 ，e 5 】+ he 4 ，a 5 2 e 2 + e 3 ，e 4 ，a 5 1 e l 】_ a 3 1 e l + a 3 2 e 2 + a 5 2 e l + a 5 1 e 2 = 0 ， 可知a 3 1 = a 5 2 ，a 3 2 = a 5 1 概括所有约束，得到 a 1 32a 1 42a 1 52a 2 32a 2 4 。a 2 52a 3 42 a 5 32a 5 420 a 1 22a 3 5 4 - ( ：2 1 ，a 2 22a 1 1 4 - 6 3 3 + a 4 4 ，a 4 42a 5 5 ，a 3 12a 5 2 ，a 3 22a 5 1 则可知导子d 的矩阵形式为 因此 上)=(n221卜蓁。n44n35奏。21：；。堇妻) d = a 2 1 ( e 1 2 4 - 岛1 ) + a 2 2 ( e n - 4 - e 2 2 ) 4 4 0 3 1 ( 岛1 4 - 昂2 ) + a 3 2 ( e 3 2 - 4 - e s l ) + a 3 3 ( e 1 1 + e 3 a ) + a 3 5 ( e 1 2 - 4 - e 3 5 ) 4 - a 4 1 局1 + a 4 2 e 4 2 4 - a 4 3 e 4 3 + a 4 4 ( e u 4 - e 4 4 - 屁5 ) 4 - a 4 5 e 4 5 ， 1 m e 巧 0 。芦 则 d e r ( a )= z 2 ( 且2 + 易1 ) + 邑( e l l + 岛2 ) + 磊( b l + 邑2 ) + z 2 ( b 2 + 昆1 ) + z 2 ( e l l + e a a ) + 易( e 1 2 + 岛5 ) + 易e 4 l + z 2 e 4 2 + z 2 e 4 a + z 2 ( e l l + e 4 4 + b 5 ) 十z 2 蜀5 由引理3 2 ，得 d e r ( a ) = ( 4 ) 十易( e 1 1 + e a a ) + z 2 ( e 1 2 + 历5 ) + 乙( e l l + 且4 + 岛5 ) + 易e 4 3 + 五且5 现在讨论情形( c 4 ) ，设d 是任意一个导子，在基e 1 ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 下的矩阵表示 如( 3 1 ) 所示由引理2 1 ，首先讨论导子d 的约束由乘法表及导子的定义直接计 算 ( k l ，e 2 ，e a ) d = 【( e 1 ) d ，e 2 ，e 3 】+ e l ，( e 2 ) d ，e 3 + e l ，c 2 ，( e a ) d 】 则a 1 4 = a 2 4 = 0 由 = 【q 1 4 e 4 ，e 2 ，e 3 】+ e l ，a 2 4 c 4 ，e 3 】 = q 1 4 ( c 1 + e 2 ) + 0 2 4 c 220 ， ( 【e l ，e 2 ，铂j ) d = i ( e 1 ) d ，e 2 ，e 4 】+ 【e i ，( e 2 ) d ，9 4 】+ 【e 1 e 2 ，( e 4 ) d 】 = 【a 1 3 e 3 ，e 2 ，e 4 】+ 【e l ，a 2 3 e 3 ，e 4 】 得到n 2 3 = a 1 3 = 0 由 得 由 = a 1 3 ( e l + e 2 ) + a 2 3 c 2 。0 ， ( 【e l ，e 3 ，e 4 】) d = 【( e 1 ) d ，e 3 ，e 4 】+ 【e l ，( e a ) d ，e 4 1 + e l ，c 3 ，( e 4 ) d 】 = 【a l l e l ，e 3 ，e 4 】+ 【a 1 2 e 2 ，c 3 ，c 4 】+ 【a 1 5 e 5 ，e 3 ，e 4 】+ e l ，a 3 3 e 3 ，c 4 】+ 【e 1 ，e 3 ，a 4 4 c 4 】 = a l l e 2 + 口1 2 ( e 1 + e 2 ) + a 3 3 c 2 + a 4 4 e 2 + a l s e l 5 = ( e 2 ) d = n 2 j 勺= a 2 1 e 1j r - a 2 2 e 2 + 0 2 3 e 3 + a 2 4 e 4 + 1 2 2 5 e 5 j = t 1 22a 1 5 + a 2 1 ，a l l + 1 2 1 2 + a 3 3 + a 4 420 2 2 ，a 2 35 ( t 2 42a 2 520 ( 【e l ，e 3 ，e 5 】) d = ( e 1 ) d 。e 3 ，e 5 】+ e l ，( e a ) d ，e 5 】+ e l ，e 3 ，( e 5 ) d 】 = 【a 1 4 c 4 ，c 3 ，e 5 】+ 【e 1 ，e 3 ，a 5 4 c 4 】= a 1 4 e l + a 5 4 e 2 = 0 ， 1 l 一 则口1 4 = 0 5 4 = 0 由 ( e 1 ，e 4 ，c s ) d ( e 1 ) d ，e 4 ，e 5 】+ 【e l ，( e 4 ) d ，e 5 】+ c , 1 ，e 4 ，( e 5 ) d 】 = 【a 1 3 e 3 ，e 4 ，e 5 】+ e l ，e 4 ，a 5 3 e 3 】= ( z 1 3 e l + 0 5 3 e 2 = 0 ， 则n 1 3 = 0 5 3 = 0 由 ( e 2 ，e 3 ，e 4 ) d = ( e 2 ) d ，e 3 ，e 4 】+ e 2 ，( e 3 ) d ，e 4 】+ e 2 ，e 3 ，( e 4 ) d 】 = 口2 1 e l ，e 3 ，c 4 】+ 【a 2 2 e 2 ，e 3 ，e 4 】+ 【a 2 5 e 5 ，e 3 ，e 4 】+ e 2 ，a ：x 3 e 3 ，e 4 】+ 【e 2 ，e 3 ，a 4 4 e 4 】 = a 2 1 e 2 + a 2 2 ( e l + e 2 ) + a 2 5 e l + a 3 3 ( e l + e 2 ) + a 4 4 ( e l + e 2 ) 55 = ( e l + e 2 ) d = n l j 勺+ n 2 j e j = 1j = l = ( n 1 1 + a 2 1 ) e 1 + ( a 1 2 + a 2 2 ) e 2 + ( 0 1 3 + a 2 3 ) e 3 + ( a 1 4 + a 2 4 ) e 4 + ( a 1 5 + a 2 5 ) e 5 ， 可知a 2 2 + a 3 3 + 0 4 4 + n 2 52n 1 1 + n 2 l ，n 2 l + 口2 2 + n 3 3 + 4 42n 1 2 + ( 1 2 2 ，c l l 32 a 2 3 ；a 1 420 2 4 ；a 1 52n 2 5 由 ( e 2 ，e 3 ，e s ) d = ( e 2 ) d ，e 3 ，e 5 】+ 【e 2 ，( e 3 ) d ，e 5 】+ 【e 2 ，e 3 ，( e 5 ) d 】 = 【( 1 2 4 e 4 ，e 3 ，e 5 】+ 【e 2 ，e 3 ，c t 5 4 e 4 】= a 5 4 ( e l + e 2 ) + a 2 4 e l = 0 ， 则( 2 2 4 = a 5 4 = 0 由 ( e 2 e 4 ，e s ) d = ( e 2 ) d ，e 4 ，e 5 】+ 【e 2 ，( e 4 ) d ，c 5 】+ e 2 ，e 4 ，( e 5 ) d 】 = 【a 2 3 e 3 ，e 4 ，e 5 】+ e 2 ，e 4 ，c l 5 3 e 3 】= n 5 3 ( e l + e 2 ) + n 2 3 e l20 ， 得到n 2 3 = n 5 3 = 0 由 得到 ( e 3 ，e 4 ，e 5 】) d = ( e 3 ) d ，c 4 ，e 5 】+ 【e 3 ，( e 4 ) d ，e 5 + 【e 3 ，e 4 ，( e s ) d 】 = 【a 3 3 e 3 ，e 4 ，e 5 + f e 3 ，a 4 4 e 4 ，e 5 】+ 【e 3 ，e 4 ，a s l e l 】+ 【e 3 ，e 4 ，( 1 5 2 e 2 】+ 【e 3 ，e 4 ，a 5 5 e 5 】 = n 3 3 e l + a 4 4 e l + c 1 5 1 e 2 + n 5 2 ( e l + e 2 ) + 0 5 5 e l 5 = ( e 1 ) d = n l j 勺= 。1 1 e l + n 1 2 e 2 + 口1 3 e 3 + 0 1 4 e 4 + q 1 5 e 5 ， j = 1 n 3 3 + 1 2 4 4 + 1 5 5 + a 5 22n l l ，a 5 2 + 0 5 1 = a 1 2a 带，口1 3 = a 1 42n 1 5 。0 12 所以 则 概括以上所有约束可知 a 1 32a 1 42a 1 5 。a 2 32a 2 42a 2 52a 5 32a 5 450 ，a 1 22n 2 l ， a l l + a 1 22a 2 2 ，a 3 32a 4 4 ，a 5 5 + 0 5 22a l l ，a 5 1 + a 5 22a 1 2 ， 上)=(：口；。萋，。口11薹n12：妻0：亭0n。童0。)， d = a l l ( e l l + e 2 2 + e 5 5 ) + a 1 2 ( e 2 1 + e 1 2 + e 2 2 + e 5 1 ) + a 3 1 e 3 1 + a 3 2 e 3 2 + a 3 3 ( e 3 3 + 蜀4 ) + a z 4 e 3 4 + a 3 5 e 3 5 + a 4 1e 4 1 + a 4 2 e 4 2 + q 4 3 e 4 3 + a 4 5 e 4 5 + a 5 2 ( e 5 2 - t - 岛1