（概率论与数理统计专业论文）一类随机保费风险模型下的破产概率.pdf

摘要 本文主要研究了一类随机保费风险模型下的破产概率在经典的c r a m e r - l u n d b e r g 模型中，保费过程是时间的线性函数，本文中我们假设除了有个常值的保费收取率外， 还有一个随机的保费收入新模型下的保费过程表示为时间的线性函数与一个复合泊松 过程的和在上述模型下，首先我们得到生存概率所满足的积分一微分方程，用鞅方法得 到终极破产概率的上界特别地，当保费收取额与理赔量服从特殊分布如指数、e r l a n g ( 2 ) 时，我们做了具体探讨当保险公司将盈余进行投资时，我们得到其生存概率满足的积分 一微分方程并且在保费收取额与理赔量都服从指数分布时，用经典的微分方程方法。 我们得到了生存概率的渐进估计 关键词：破产概率，泊松过程，随机保费，积分一微分方程，常微分方程，指数分 布，e r l a n g ( 2 ) 分布，投资收益 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，r u i np r o b l e m sf o ra ni n s u r a n c ec o m p a n ya r es t u d i e d i nt h ec l a s s i c c r a m e r - l u n d b e r gm o d e l ，t h ep r e m i u mp r o c e s si sa l i n e a rf u n c t i o no ft i m e i nt h i sp a p e r ， b e s i d e st h ei n v a r i a b l ep r e m i u mi n c o m er a t e t h er i s km o d e l sa r ea l l o w e dt oe x i s ta n o t h e r s t o c h a s t i cp r e m i u m p r o c e s s t h u s ，t h en e wp r e m i u mi n c o m ep r o c e s si sg i v e i la st h es u m o fal i n e a rf u n c t i o no ft i m ea n dac o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s a ni n t e g r o d i f f e r e n t i a l e q u a t i o ns a t i s f i e db yt h es u r v i v a lp r o b a b i l i t yi so b t a i n e d b ym a r t i n g a l em e t h o d ，u p p e r b o u n df o rt h eu l t i m a t er u i np r o b a b i l i t yi sg i v e n w h e nt h et h ep r e m i u ma n dt h ec l a i m a m o u n tf o l l o we x p o n e n t i md i s t r i b u t i o no re r l a n g ( 2 ) d i s t r i b u t i o n ，s o m ed i s i r a b l er e s u l t s o nt h er u i np r o b a b i l i t y8 , r ep r e s e n t e d w h e nt h es u r p l u si si n v e s t e di nt h em u r k e t a n i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o ns a t i s f i e db yt h es u r v i v a lp r o b a b i l i t yi so b t m n e d e s p e c i a l y , b y c l a s s i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o nm e t h o d ，a na p p r o x i m a t ee s t i m a t eo ft h es u r v i v a lp r o b a b i l i t y i sg i v e n ，w h e nt h ep r e m i u ma n dt h ec l a i ma m o u n ta r eb o t hd i s t r i b u t e da se x p o n e n t i a l k e y w o r d s ：r u i np r o b a b i l i t y ；p o i s s o np r o c e s s ；s t o c h a s t i cp r e m i u m ；i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a - t i o n ；o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n ；e d a n g ( 2 ) d i s t r i b u t i o n ；r e t u r n d ni n v e s t m e n t ， 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果据 我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研 究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作- rn 确说明并表示谢 意 作者签名 7 热感 学位论文使用授权声明 日期鼍z6 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论 文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用于非 赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有 关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后 适用本规定 学位论文作者签名： 日期。 永毛压 口7 - b f 导师繇1 渤， 日期： 一76 第一章绪论 破产理论是风险理论的核心内容之一现已公认为：破产论的研究溯源于瑞典精算 师f i l i pl u l l d b e 矸于1 9 0 3 年发表的博士论文经过近一个世纪的发展，破产理论日趋完 善，破产概率作为个衡量风险的指标，得到越来越广泛的应用破产理论的研究也越 来越贴近实际。基于经典的c r a m e r - l u n d b e r g 模型，做了多个方面的推广，出现了许多 复杂的风险模型 在经典的c r a m e r - l t m d b a r g 模型下，盈余过程为： n ( o x ( t ) = 。+ 彬一k ， ( 1 1 ) 其中为保险公司初始盈余。p 为常值的保费支付率， v ( t ) 为理赔次数过程，是参数 a 的p o i s s o n 过程，k ，i = 1 ，2 ，独立同分布，表示每次理赔量在此模型下我们定义 破产概率如下： 有限时间破产概率妒( ，t ) = p x ( t ) 0 ，对某个t n ，0 t o o ，z 2o ； 无限时间破产概率( 终极破产概率) 妒( z ) = 妒( z ，o o ) ，z 0 为了计算上的方便，我们一般定义有限时间或无限时问内生存的概率。 妒 ，t ) = p x ( t ) 0 ，对所有t s 丁) ，0 t ，z 2o ； 妒( 功= 妒( z ，0 0 ) = p ( x ( t ) 兰0 ，对所有t o ，z 0 在此模型下我们可以得到妒( z ，d 或妒( z ) 满足的积分一微分方程t c 掣= 掣州州) - f o z c p ( 。唱t ) d 蹴 或 c 4 0 ( z ) = a 妒( z ) 一妒( z u ) d f ( u ) 其中f ( u ) 为理赔量分布函数遗憾的是在多数情况下，这些方程的显式解是不易得到 的此类方程的典型解法是利用l a p l a c e 变换，但在对l a p l a c e 变换做逆变换时，会有很 大困难，关于这一点可参考j a n s s e n ，d e l f o s s e ( 1 9 8 2 ) c r a m e r 和l t m d b a g 给出了理赔量服从指数分布时的显式解，但理赔量为其他分布 时，情况将变得复杂，显式解不易解出，他们给出了z 一时，妒( z ) 的渐近表达式 a s m u s s e n ，s 和r o l s k i ，t ( 1 9 9 1 ) 在假设理赔额服从p h a s e - t y p e 型分布时，给出了 终极破产概率的显式表达式如果理赔额服从p h a s e - t y p e 型分布，在经典的风险模型 】 第一章绪论华东师范大学硕士论文 2 中，最大总损失量也服从参数极易得到的p h a s e - t y p e 型分布，这样破产概率就可用上述 分布的尾分布表示关于这方面研究还有d a s t a n f o r d ，k j s t r o i n s k i ( 1 9 9 4 ) 等 同时对于理赔次数过程很多人也做了推广，把n ( t ) 推广为其他形式的更新过程如等 待时间为e r l a n g ，p h a s e - t y p e 分布，并对相应模型下的破产概率作了一系列研究，如k o n - s t a d i n o sp o l i t i s ( 2 0 0 5 ) ，d i c k s o n ，h i p p ( 2 0 0 1 ，2 0 0 0 ，1 9 9 8 ) ，s h u a n m i n gl i ，j o s eg a r r i d o ( 2 0 0 4 ) 等 考虑到保险公司多方面的业务，对模型也可作如下推广。 l ( 钟尥( t )p 0 ) x ( o = 蚪胪一m 一琢一髟， ( 1 2 ) 其中眼( t ) ，i = 1 ，2 ，p 表示第i 类业务的理赔次数到来过程。y 仉i ( i = l ，2 ， 1 7 , = 1 ，2 ，p ) 表示第m 类业务第i 次理赔的理赔量此模型中，1 ( d ，n 2 ( t ) ，n a t ) 般 假设是相依的如r o h a n a s a m b a g a s p i t i y a ( 1 9 9 8 ，1 9 9 9 ，2 0 0 3 ) ，x u e y u a nw u ，k c y u e n ( 2 0 0 3 ) k c y u e n ，j y g u o ( 2 0 0 2 ，2 0 0 1 ) ，h e l e n ec o s s e t t e ，e t i n n em a r c e a u ( 2 0 0 0 ) 等作的相关研 究 还有考虑到保险公司将盈余进行投资的情况在经典的模型中，我们假设保险公司 是没有投资收益的，但实际情况是保险公司相当大的一部分资金是具有投资收益的在 这样的假设下我们来探讨破产概率，无疑是更有意义的 如在模型( 1 1 ) 下，保险公司进行无风险投资，有一个常值利息力r 设u ( t ) = 一k ，则保险公司的财富过程m ( t ) 可以这样描述： t = l r ( t ) = e x p ( r ：) ( x + e x p ( - r s ) d u ( s ) ) ( 1 3 ) j 0 同样新模型下生存概率可如下定义t 妒( z ，t ) = p r ( t ) 0 ，对所有t t ) ，0 t o o ，岳o ； 妒( z ) = 妒( ，o o ) = p ( r ( t ) 0 ，对所有t o ，o 0 在上述模型下，s u n d t b ，t e u g e l s j ( 1 9 9 5 ) 给出了生存概率满足的积分方程，并用递推 方法得出了终极破产概率的上，下界 当利率是随机的时候，许多学者也有这方面的研究，j u nc a i ( 2 0 0 4 ) 在假设利率为 l e v y 过程时，得到了积分方程，并求得了终极破产概率的上、下界；特别地，假设利率为 带漂移布朗运动时，给出了罚金函数满足的积分- 微分方程，并用它在具体情况下讨论了 第一章绪论 华东师范大学硕士论文 3 破产问题的相关性质在假设利率为马尔科夫过程时，j u nc a i ，d a v i dc m d i c k s o n ( 2 0 0 4 ) 也做了研究其他关于保险公司在有投资收益的情况下，破产问题的研究也很多，如j u n c a i ( 2 0 0 2 ) j u nc a i ，d i c k s o n ，d c m ( 2 0 0 2 ) ，r o n g m i n gw a n g ，i i a i l i 鼬g g ，h a n x i n gw a n g ( 2 0 0 4 ) ， l i nx u ，r o n g m j n gw a n g ( 2 0 0 6 ) ，w a n g ，g w u ，r ( 1 9 9 5 ) 等 以上讨论的关于经典模型的推广，有一个共同点那就是对常值保费支付率弘的假设 没有改变，在( 0 ，胡时间内保险公司只有皿的保费收入在假设保险公司有随机保费收 入时，也有这方面的研究如a v b o i k o v + ( 2 0 0 2 ) ，a l e x a n d e rm e l i n i k o v ( 2 0 0 4 ) 本文考虑的模型是在( 1 1 ) 的前提下，在这段时问内除了脚的保费收入外，还有一 个随机的保费收入其中收到保费的随机次数用另个p o t i o n 过程l ( t ) 来表示，而每 次的保费收取额用独立同分布的随机变量a ，i = 1 ，2 ，来表示这样的假设无疑更贴 近于保险公司的实际这样新的模型为。 l ( 幻( t ) x ( t ) = z + 脚十g 一k i = 1t = l ( 1 4 ) 其中z 为初始盈余扛0 ) ，p 为常值保费支付率，1 ( t ) n ( t ) 分别为参数a l ，a 的 p o i s s o n 过程，( ) 为理赔次数过程，k ，i = 1 ，2 ，独立同分布，表示每次理赔量 ( ) ，l ( t ) ， q ，i = 1 ，2 ，) ， k ，i = 1 ，2 分别独立 在此模型下，文章第二部分先推导出了妒( z ) 满足的积分一微分方程，然后用鞅方 法导出了终极破产概率( z ) 的上界特别地，当理赌量和保费支付额分布为特殊分布如 指数。e r l a n g ( 2 ) 时。通过对原先给出的积分一微分方程的化简和推导给出妒 ) 的显式 解，同时给出几个具体数值例子文章第三部分在有投资收益时，分无风险投资和完全 风险投资两种情况，推导出新模型下，盈余过程的表达式利用前面同样的推导方法得 到更为复杂的积分微分方程，并在理赔额和每次随机保费支付额都服从指数分布时， 用经典的微分方程方法得到破产概率的一些性质 说明：在本文的讨论中，为了表达与计算上的方便，我们主要讨论了生存概率妒( z ) ，妒( z ，t ) 的相关性质，但破产概率( 力= 1 一妒( z ) ，妒( z ，t ) = 1 一妒( z ，t ) ，因此从中我们可以很容 易得到破产概率的相关性质 第二章基本模型下破产概率的探讨 我们讨论的基本风险模型如上章所述，盈余过程表示为； 1 ( t )( 0 x ( ) = x + l a t + eg 一k ( 2 1 ) 仁：li = l 其中茹为初始盈余0 0 ) ，肛为常值保费支付率，1 ( t ) n ( t ) 分别为参数a l ，a 的 p o i s s o n 过程，1 ( ) 收到保费的随机次数，( t ) 为理赔次数过程， a ，i = 1 ，2 ，) 独立同分布。表示每次的保费收取额 m ，i = 1 ，2 独立同分布，表示每次理赔量， ( ) ，1 ( t ) ， c ：【，t = 1 ，2 ，) ， k ，i = 1 ，2 分别独立 我们定义破产概率如下t 有限时间破产概率( 茹，t ) = p i x ( t ) 0 ，对某个t s t ) ，0 o ，为鞅 破产时刻r = i n f t 0 ：x ( t ) 0 ，丁a t 是有界 停时，由可选标样定理得如下： e e 一尉”( 7 t ) 一口( 7 d ， f t ) e e 一尉”p ) 一口( 7 ) ) = 1 同时，e e 毯“( 7 a t ) 一q ( 7 “o ) j r 0 = e e 一尉。( 7 ) 一口( 7 ) ) j rs ) e a 2 p r t ) 所以， p 7 50 = 1 一妒( z ，t ) e - 鼢，t o 。时，( z ) e - m ( 证明过程中，由于下是破产时刻，r 0 0 时，7 r ( 神一r ( r ) a d 由定理2 1 得t #， p ( z ) = ( a l 十a ) 妒( 砷一a 妒( z u ) a e 一“d u a l l p ( z + 口) 6 e 一如如 ( 2 2 1 ) j 0j 0 为了记号上的方便。我们记t = z 2 妒 一珏) 北一“砒， 经过计算可知； 于是( 2 2 1 ) 可写成t 如= z ”妒( z + 口) 6 e b d 厶= 一6 妒( z ) + b 2 ( 入l + 入) 妒( z ) 一弘( z ) = 入，l + a l 如， ( 2 2 2 ) 上式两边同时对z 求导可得； ( a i 十a ) 妒( z ) 一u t a ( z ) + ( a l b a n ) 妒( z ) = 一a a l l + a l b l 2 ， ( 2 2 3 ) 对( 2 2 3 ) 两边继续求导得； ( a l + a ) 妒”( z ) 一p 妒( 3 ) ( z ) + ( a l b a n ) ( z ) + ( a 口2 + a l 垆) 妒( 茁) = a 0 2 1 1 + a 1 6 2 如( 2 2 4 ) ( 2 2 2 ) 式右端乘以曲加上( 2 2 3 ) 式右端乘以( b 一可得到( 2 2 4 ) 式右端，故 a b ( a l + a ) 妒( z ) 一p ( z ) 】+ ( 6 一口) 【d l + a ) ( z ) 一p 妒”( 功+ ( a l b a a ) 妒( 。) 】 =( a l 十a ) 妒”( z ) 一p i p ( 3 ( z ) + ( a l b a a ) , p ( z ) + ( a 8 2 + a 1 6 2 ) 妒( z ) ， 整理得到： 卢妒( 3 ( z ) 一阻( 6 一n ) + a 1 + 川妒“( z ) + ( a b a 1 口一p 8 砷妒，( z ) = 0 第二章基本模型下破产概率的探讨华东师范大学硕士论文 8 这是个关于妒0 ) 的三阶常系数齐次常微分方程。根据常微分方程基本理论可得出 显式解它的特征方程为： 肛，一( p 6 一p a + a 1 + a ) 户+ d 6 一) q a p a b ) r = 0 ， 所以下l = 0 ，死，诒满足方程 卢r 2 一6 一p d + a l + a ) r + ( 舶一a l 口一# a b ) = 0 ( 2 2 5 ) 由安全负荷条件p + a l 6 a n ，得柏一) q a 一芦曲 0 ，所以方程 ( 2 2 5 ) 有且仅有一个负根s 下：坐二型垒查! = 堑照生二尘苎鲨二生坐二堡垒! 二趔2 2 “ 由于妒( 。) 是有界的，所以妒( z ) = c l + 饧e ”，( r = 记 o ) j o 证明。方法同定理2 1 ，由全概率公式可得， f z + p a t l p ，t ) = ( 1 一尬t ) ( 1 一a l t ) 妒 + p t ，t a t ) + a ( 1 一a l ) 妒 + p a t t l ，t j 0 f r o a t ) d f ( u ) + a l a t ( 1 一尬t ) 妒( z + t ，+ p a t ，t a t ) d g ( v ) + o ( a t ) ， 化简： 妒( o + t t a t ，t a t ) 一妒( z ，) = ( a l + a ) a t 妒( x + p a t ，t a t ) 一a a t 妒( z + # a t + t ，t a t ) d f ( u ) 一a 1 t7妒( z + # a t + t ，t a t ) d g ( v ) + o ( a t ) ， 两边同除以a t 并让它趋于0 由控制收敛定理右边易得； ( a + a 1 ) 妒( z ，t ) 一a 厂2 妒( x - - u , l a 1 f。妒(z+v,t)dg(t)df(u) 口) ； ( a + a 1 ) 妒( z ，t ) 一a 妒( 一a 1f妒( z + 口) ； j oj 0 左边得t 妒( z + p ，t a t ) 一妒( z ，t ) 妒( + u a t ，t a t ) 一妒( z ，t a t )v ( x ，t ) 一妒( 。，t a t ) 1 i 一一一一一一j i ；一一一一五 当越一0 时，左边得， p 掣一掣 左边一右边，即可得( 2 2 6 ) 式 当f ( u ) = 1 一e - “，g 0 ) = 1 一e h 时， 同样记 = v ( x t l ，t ) d f ( u ) ，屯= j 妒( z + u ，t ) d g ( v ) 则， i ：= 口妒( z ，t ) 一口 ， ，2 7 = 一6 妒( z ，) + 6 ，2 第二章基本模型下破产概率的探讨华东师范大学硕士论文 1 0 一p 幽o x + 掣娟“) 嘶= 地“如 ( 2 2 7 ) 经多次求导得： 一p 雾+ 袅+ ( a 十筹= a a 妒一a 口，l a - 却+ a ， ( 2 2 8 ) 一p 雾+ 袅邶仙) 雾伸。回筹= 膨，l 蛾6 2 屯仙。妒呐咖( 2 2 9 ) ( 2 2 ”，( 2 2 8 ) ，( 2 2 9 ) 整理可得， p 雾一急书峨州6 刊) 雾忡一口) 丽0 0 2 | 0 + 【( m 1 ) ( ) 一曲 6 制筹枷箬= 。 ( 2 2 1 0 ) ， 弓l 入甬毒，。 ( s ，z ) o w ( s ，) 如 沪w ( 8 ，动 8 矿( 8 ，z ) a z 3 l8-厂”毗t)e“dt=-1a”警e-t,dtjoj o ， l 妒。= 詈 ， u 一z 。争惦m z ”蛊e 。“出， 一z 。妇出一，s f o 。鑫e 岫豳 一z 。- 黟e - d t = - l s z ”盏e “奶 所以在( 2 2 1 0 ) 式两边同乘以e 一“然后对t 从0 到。o 积分得t p 鱼兰丢笋卫堕+ 盼+ a 。+ 肛( 6 一n ) + s 】篁丢笋 卜p 西一a 。a + a 6 + ( 6 一曲s 1 里坠鲁 盟一曲s 彬( s ，z ) = 。 所以得证 注：当弘= 0 上述方程即a v b o i k o v + ( 2 0 0 2 ) 中定理3 中的关于z 的微分芳程，进 而容易求得w ( 8 ，z ) 的解 2 3 保费收取额与理赔量分别服从e r l a n g ( 2 ) 和指数分布时的破产概率 当k 服从指数分布即a ( v ) = 1 一e 1 ”，a 服从e r l a n g ( 2 ) 分布，密度为，( 。) 伊船一肚0 0 ) 时。 第二章基本模型下破产概率的探讨华东师范大学硕士论文 1 l 其中 则 定理2 5 ；在上述假定下，生存概率妒0 ) 满足下面方程： 山妒( 4 缸) + a 3 妒( ( z ) + a 2 ( z ) + a l 妒7 ( z ) j0 ， a 4 = 一肛，a a = a l + a p ( n 一2 p ) ， a 2 = a t a 一2 a l p 一2 a 一p 矿+ 2 p a f l ，a l = 一妒矿+ a 沪一2 a 1 n p 证明：从( 2 1 1 ) 式出发得。 ， i 妒，0 ) = ( a 1 十”妒( z ) 一a v ( x 一 ) 一“如一a l 妒缸+ ”) 伊v e 一却咖( 2 3 1 ) j 0j 0 记 = f 比刊口e _ 1 2 = 【p b + ) f 1 e - 却翻 i i = 口妒( 石) 一a i l ， 屯= f l l 2 一厶 其中 ，3 = p 2 e 一芦扣l 一2 ) 妒( 1 ) d r l ，1 3 = 一p 2 妒( z ) + p 厶 j 2 则( 2 3 1 ) 式变为： ( a 1 + x ) v ( z ) 一p ( z ) = 入j l + a 1 如， 两边对x 求导： ( 入l + a ) ( z ) 一p 妒”( z ) 一a a q o ( x ) = 一a a l l 一a 1 厶+ 入1 f l l 2 ， 对x 继续求导： ( a l + a ) 矿( z ) 一p 砷( 劝一a n ( 茹) + ( a a 2 一a l 俨) 妒( 功= a a 2 1 1 + 入l p 2 如一2 a l p 厶， 对x 再求导； ( a l + a ) 妒( 砷( z ) 一p 妒( 4 ( z ) 一a o 妒”( z ) +( a a 2 一a l p 2 ) ( z ) 一( a a 3 + 2 a l 矿) 妒( z ) = 一a a 3 f l + ) 、1 8 3 1 2 3 a 1 8 2 1 3 第二章基本模型下破产概率的探讨华东师范大学硕士论文 1 2 对以上四式整理化衙得t h v ( 4 ( z ) + 如妒( 砷( z ) + a 2 妒”( 。) + a 1 ( 动= 0( 2 3 2 ) a 4 = 一弘， a 3 = a l + a u ( a a ， a 2 = 入l a 一2 入1 p 一2 入口一弘卢2 + 2 t a f t ， a i = 一| i l 印2 + 入俨一2 入l o p 所以定理得证 注t 方程( 2 3 2 ) 是四阶常系数齐次线性微分方程，但由于也，4 3 ，4 2 ，a l 中包含很 多字母参数，我们很难给出其通解如果a ，a l ，肛，口，p 我们给定值，就容易得到上述微分 方程的特征方程的根，进而得到p ( z ) 的显式解，关于这一点下面我们将举例说明 例1t 当p = 2 ，a l = 1 ，卢= 2 ，a = 1 4 ，a = 0 5 时，我们可得： ( 动= 0 9 4 0 2 e - 0 0 2 9 9 z ，卫0 当弘= 0 时，方程( 2 3 1 ) 变为三阶常系数齐次线性微分方程，将变得容易处理，于 是我们得如下推论； 推论2 1 ：上述模型中，当p = 0 且k 服从指数分布即a ( v ) = 1 一e - ”，g 服从 e r l a n g ( 2 ) 分布即f ( x ) = p 2 茁e 一触 0 ) 时： 妒( z ) = 1 + o b 7 4 其中 r ；坐坚鲨竺显盥竖黑冬掣! 坐型竖型趔 0 ，2 a l n a p 0 其特征方程为t ( a l + a ) r 3 + ( ) h a 一2 a l p 一2 a ，) r 2 + ( a 卢2 2 a 1 n 历7 _ = 0 ， 所以r l = 0 ， 亿，两满足方程； ( a l + a ) r 2 + ( a l a 一2 a l 卢一2 a 所7 - + a 矿一2 a l 妒= 0 ， 由于2 a 1 a p 2 0 ， 所以上述方程存在唯一负解 仡= 地型生塑堑与筹坠坐巡生幽， 又 p ( z ) 是有界的，所以i p ( z ) = c 1 + c 2 e ”，( r = 吨 0 ) 时； 妒( 动= 1 + v 2 e 。+ c 3 e 4 2 ， 其中 心= 竖幽塑丝拦恭等型堕幽， 一a b 一2 ( a l + a ) p x 4 a a , p 2 + 4 a a , p b + 4 a 2 p 2 + a 2 b 2 + 4 a 2 够 巧一耳订了厂一+ c 2 与c 3 满足方程组； 证明：此时方程 ( a “一悲) c 2 + ( a + a - 一兰) c 3 一生 ( ( a l + 枷+ 枷一拦) q + ( ( a 1 + 帅+ 一避) c 3 = o 4 5 ) 变为； ( a 1 + a ) 妒( ( 。) + 【a 1 b + ( 2 p 一6 ) ( a 。+ a ) l ( z ) + ( a l p 2 2 a 6 p ) ( z ) = 0 ， 其中a l ，a ，6 ，p 均大于0 ，并且有安全负荷条件得，a , b 一2 a 佃 0 即：a l p 一2 a b 0 ，a l p 2 2 a 肋 0 ， 其特征方程为t ( a 1 + a ) 7 - 3 + n l b + ( 2 卢一6 ) ( a l + a ) 】户+ ( a i 矿一2 a b p ) r = 0 ， 所以n = 0 ， 吃，乃满足方程t ( a l + a ) 产+ 【a l b + ( 2 p 一6 ) ( a 1 + a ) j 丁+ a 1 p 2 2 a 6 口= 0 r，l但 第二章基本模型下破产概率的探讨华东师范大学硕士论文 1 6 由于a l + a 0 ，a 1 俨一2 祁6 0 ， 同时，a l b + ( 2 一6 ) ( a l + a ) = 2 a 1 f l + 2 彬一b a a l p 一2 a b 0 判别式 = f 2 a l p + 2 a p b a 2 4 ( a l + a ) ( a l 俨一2 a 鲫 = 4 a a l 俨+ 4 a a l p 6 + 4 a 2 p 2 + a 2 6 2 + 4 a 2 b f l 0 所以上述方程存在两个不相等的负解： 死= a b - 2 狐( a 1 再+ 2 r ) f l + v a 。，死2 邳再丽一 o ) 时，我们继续探讨此种情 况下的妒( z ) ，此时得到的方程将变得更为复杂 定理2 7 ，在上述假定下。生存概率v ( x ) 满足下面方程， 其中 记 其中 a 5 妒( 5 ( z ) + a 4 o c 4 ( z ) + a 3 c p ( 3 ) + a 2 妒” ) + a l ( z ) = 0 a 5 = - i t ， a 4 = 4 a l + a 一2 t t ( a p ) ， a 3 = 2 ( a l + a ) ( a 一卢) 一u ( a 2 + 矿一4 a z ) ， a 2 = 一( a n 2 + 入l 酽) 一# ( 2 3 2 0 t 一2 0 r 2 p ) ， a l = 2 a 1 3 2 a 一2 a l a 2 卢一肛a 2 俨 证明：由( 2 1 1 ) 式得到。 r zr p 妒( z ) = ( a l + a ) l p ( z ) 一a 妒( z 一“) a 2 t i e 一口t ( 玩一a l 妒( z + 钉) p 2 e 一却d v j 0j o 则： 可得t ，1 = 上2 妒( z 一缸) n 2 乱e 一“如，屯= 上”妒( z + t ，) 2 t ，e 一加咖 i i = 一a i i + i ，i i = e 1 2 一i t j 3 = 0 1 2 妒( 动一。厶，1 4 = 一p 2 妒( z ) + 卢 厶= z 。妒( z 一“) 。2 e 一“如，厶= z ”妒( z + t ，) 俨e 一跏咖 ( a l + a ) 妒( z ) 一肛( z ) = a ，l + a 1 1 2 ， 第二章基本模型下破产概率的探讨 华东师范大学硕士论文1 8 同样进行一系列求导可得到； ( a l + a ) ( z ) 一即”( z ) = 一地，l + a 3 + a l p 厶一a l 厶， ( a 1 + a ) ( 动一p 妒( 3 ( z ) 一( a l 俨+ a 口2 ) 妒( z ) = a 口2 1 1 + a 1 俨如一2 a a l 3 2 a l p 厶， ( a l 十a ) 妒( 砷( 。) 一p 妒( 4 ( z ) 一( a l 矿+ a a 2 ) 妒( z ) + ( 2 a a 3 2 a l 矿) 妒( z ) 。x a 3 1 1 = a i p 2 2 + 3 a a 2 厶一3 a 1 p 2 j 4 ， ( a l + a ) 妒( 功一p 妒( 5 ( 功一( a l 胪+ a 口2 ) 妒”( z ) + ( 2 a c z 3 2 a l 矿) 妒如) 一3 a a 4 = 3 x l p ( 动+ x a 4 i l + a l 矿厶4 a a 3 3 4 a l 3 厶， 对以上四式整理化简得， 其中 边值条件为： a 5 妒( 5 ) ( 茹) + a 4 妒( 4 ) ( z ) + a 3 妒3 ( z ) + a 2 妒”( z ) + a l 妒( 功= 0 ，( 2 5 1 ) a s = 一p ， a 4 = 4 a , + a 一2 p ( 口一p ) ， a s = 2 ( a l + a ) ( a 一卢) 一弘( q 2 + 卢2 4 0 国 a 2 = 一( 地2 + a 1 矿) 一p ( 2 伊。一2 a 2 p ) ， a 1 = 2 a z 2 口一2 a l n 2 卢一p n 2 卢2 妒( o o ) = 1 ， ( a 1 +