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极限周期连分式加速收敛的误差分析 摘要 极限周期连分式的加速收敛在连分式理论中占有重要的地位。 本文第一章从连分式的定义入手，详细概述连分式的基本性质、向前和向 后三项递推公式，最后简要介绍连分式的等价变换和几种特殊的连分式格式。 连分式的加速收敛是和其收敛性联系在一起的，本文第二章介绍几个非常 经典的连分式收敛定理，尤其是周期连分式的收敛结果，最后综述与连分式加 速收敛相关的过程算法。 连分式的加速收敛在工程技术领域中有着极其广泛的应用。本文第三章重 点介绍连分式加速收敛的两种方法一一加速收敛因子和序列变换方法，研究了 极限周期连分式加速收敛的误差并给出误差表达式。 关键词：连分式，收敛性，加速收敛， 误差估计 t h ee r r o ra n a l y s i sf o ra c c e l e r a t i n gc o n v e r g e n c eo f l i m i tp e r i o d i cc o n t i n u e df r a c t i o n a b s t r a c t a c c e l e r a t i n gc o n v e r g e n c e f o rl i m i tp e r i o d i cc o n t i n u e df r a c t i o n h o l dt h ei m p o r t a n t s t a t u si nt h ec o n t i n u e df r a c t i o nt h e o r y t h i sa r t i c l ef i r s tc h a p t e ro b t a i n e df r o mt h ec o n t i n u e df r a c t i o nd e f i n i t i o n ，o u t l i n e d c o n t i n u e df r a c t i o no fb a s i cp r o p e r t y ，f o r w a r da n db a c k w a r dt h r e er e c u r r e n c ef o r m u l a si n d e t a i l ，b r i e fi n t r o d u c t i o n e dc o n t i n u e df r a c t i o ne q u i v a l e n c et r a n s f o r m a t i o na n ds e v e r a lk i n d o fs p e c i a lc o n t i n u e df r a c t i o nf o r m sf i n a l l y a c c e l e r a t i n gc o n v e r g e n c e f o rc o n t i n u e df r a c t i o n r e l a t e sw i t hi t sc o n v e r g e n c e ， t h i sa r t i c l es e c o n dc h a p t e ri n t r o d u c e dt o g e t h e rs e v e r a lv e r yc l a s s i c a lc o n t i n u e df r a c t i o n c o n v e r g e n c et h e o r e m ，c o n v e r g e n c er e s u l to fp e r i o d i cc o n t i n u e df r a c t i o n ，s u m m a r i z e d f i n a l l y r e l a t e dp r o c e s sa l g o r i t h mw i t ha c c e l e r a t i n gc o n v e r g e n c ef o r , c o n t i n u e df r a c t i o n t h ea c c e l e r a t i n gc o n v e r g e n c eo fc o n t i n u e df r a c t i o nh a v et h ee x t r e m e l yw i d e s p r e a d a p p l i c a t i o ni nt h ee n g i n e e r i n gt e c h n o l o g yd o m a i n t h i sa r t i c l et h i r dc h a p t e ri n t r o d u c e dw i t h e m p h a s i st w om e t h o d so ft h ea c c e l e r a t i n gc o n v e r g e n c eo fc o n t i n u e df r a c t i o n - - t h e a c c e l e r a t i n gc o n v e r g e n c ef a c t o ra n dt h es e q u e n c et r a n s f o r mm e t h o d ，s t u d i e dt h ee r r o ro f a c c e l e r a t i n gc o n v e r g e n c ef o r l i m i tp e r i o d i cc o n t i n u e df r a c t i o na n dg a v et h ee r r o n e o u s e x p r e s s i o n k e y w o r d s ：c o n t i n u e df r a c t i o n s ，c o n v e r g e n c e ，a c c e l e r a t i n gc o n v e r g e n c e ， e r r o re s t i m a t e i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据 我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含为获得金胆工些态堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名： 菇勿冬 签字瞧1 年归舳 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金目曼三些盔堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权地 王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期： 彳勿乞 ￥月f 8 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 、 刁酝勋 签字日期：? 年丫月矽日 电话： 邮编： 致谢 本人在三年的硕士研究生课程学习和撰写论文的过程中，自始至终得到了我的导 师唐烁教授的悉心指导，无论从课程学习、论文选题，还是到收集资料、论文成稿， 都倾注了唐烁老师的心血，由衷感谢唐烁老师在学业指导及各方面所给予我的关心以 及从言传身教中学到的为人品质和道德情操，老师广博的学识、严谨的治学作风、诲 人不倦的教育情怀和对事业的忠诚，必将使我终身受益，并激励我勇往直前。 同时要感谢梁艳、邹乐、胡翔、李辰盛等多位师兄师姐们给予我学习和论文写作 方面的指导，也要感谢和我共渡两年多时光的同学李强、陈衡，他们与我共享学习心 得，给予我鼓励和支持，在我的学习和论文写作上提出过很多有建设性的意见。 此外，我还要感谢合肥工业大学数学系的各位老师，感谢他们在我学习阶段的 传道，授业，解惑，他们渊博的学识和高尚的师德给我留下了深刻的印象! 从 他们身上所学到的东西会让我受用终生! 最后，感谢各位评审专家和出席硕士论文答辩会的各位专家学者，感谢你 们在百忙之中给予的批评指正和宝贵意见! i i i 作者：杨志 2 0 0 9 年4 月 第一章引言 连分式是一个十分古老的数学分支学科，其思想方法可以追溯到1 6 世纪， 虽然它的问世没有像某些学科分支那样产生革命性的轰动效果，但在寂寞中成 长起来的连分式理论跨越数个世纪的时空，经受无数风霜雪雨，仍能绵延不绝、 薪尽火传。 有关连分式的论述首先出现在印度数学家a r y a b h a t a 的著作中。15 7 2 年， r a f a e lb o m b e l l i 首次利用连分式来逼近无理数1 3 。1 6 1 3 年，p i e t r oc a t a l d i 利用连分式逼近无理数1 8 。荷兰数学家和天文学家c h r i s t i a a nh u y g e n s 首次 将连分式用于解决有理逼近问题，从此连分式近入了充满活力的发展时期。一 代数学宗师如e u l e r ，l a g r a n g e ，g a u s s 等都为连分式的发展做出了重大贡献。 g a u s s 于1813 年给出了超几何级数之比的连分式展开，借助于连分式证明了 f e r m a t 猜想；h e i n r i c hl a m b e r t 于1 7 7 0 年给出了a r c t a n x 的连分式表示；l i o u v v i l l e 则利用正则连分式展开证明了超越数的存在性，这些都是连分式在数值近似求 解方面的经典例证。直到1 8 世纪，连分式理论应用还仅限于数学领域。到了 2 0 世纪初，连分式开始越来越多地出现在其他应用领域，如r o b e r tm c o r l e s s 用连分式研究混沌理论。6 0 年代以后，苏联数学家v s k o r o b o g a t k o 将分支思想 应用于连分式开创了连分式理论与方法研究的新纪元，由此衍生出了受到西方 各国学者广泛关注的所谓多元分支连分式插值与逼近的研究。例如，波兰学者 w s i e m a s z k o 提出了一种二元分叉连分式插值格式；比利时学者a c u y t 和 b v e r d o n k 通过定义多元逆差商和多元偏倒插商构造了一种对称型的二元分叉 连分式展开和逼近；保加利亚学者k k u c h m i n s k a 以及法国学者c c h a f f y 等均 在二元连分式插值与展开方面做了大量工作。1 9 8 0 年，w j t h r o n 在对连分式 的解析理论做了深刻而系统的探讨后，将先前许多零碎的有关连分式的理论和 结果近行了总结、归纳、扩充和深化，完成了名著c o n t i n u e df r a c t i o n s ：a n a l y t i c t h e r o ya n da p p l i c a t i o n s ) ) ，该书对推动连分式的现代研究起到了不可忽视的重要 作用。与此同时，连分式理论也不断换代升级并应用于工程领域，如i j g o o d 将连分式理论应用于控制领域，解决传递函数的l a p l a c e 变换问题； g r a v e s m o r r i s 和j e n k i n s 从机械振动中有关“振动膜 这一实际问题出发，借 助于一元t h i e l e 型连分式和s a m e l s o n 逆变换，提出了一种t h i e l e 型向量值连 分式插值方法，证明了这种向量有理插值函数的特征定理和唯一性定理，由此 开辟了一个新的研究领域一一向量有理插值和向量有理逼近。尽管连分式是一 个相对古老的概念，但是连分式插值与逼近却是一种新的非线性数值计算工具， 或者可以说，它提供了一种新的非线性数值计算方法，并已经在许多工程领域 得到广泛应用。 第二章连分式的定义与基本性质 正如我们在引言中所述，连分式是一个十分古老的数学分支学科，其思想 方法可以追溯到1 6 世纪，因此，经过数个世纪沉淀的连分式理论体系博大精深。 h s w a l l 所著t h ea n a l y t i ct h e o r yo fc o n t i n u e df r a c t i o n s ) ) ，w b j o n e s 和 w j t h r o n 所著c o n t i n u e df r a c t i o n s ：a n a l y t i ct h e r o ya n da p p l i c a t i o n s ) ) 以及 l l o r e n t z e n 和h w a a d e l a n d 编著的c o n t i n u e df r a c t i o n sw i t ha p p l i c a t i o n s ) ) 是 连分式理论方面最有影响的三本著作。用较大篇幅介绍连分式的其余著作有： c b r e z i n s k i 的h i s t o r yo fc o n t i n u e d f r a c t i o n sa n dp a d 6a p p r o x i m a n t s ， g a b a k e rf f 勺( ( e s s e n t i a l so f p a d 6a p p r o x i m a n t s ) ) ，g a b a k e r 和p r g r a v e s m o r r i s 的p a d 6a p p r o x i m a n t s ) ) ( 2 n de d i t i o n ) ，a c u y t 和l w u y t a c k 的( ( n o n l i n e a r m e t h o d si nn u m e r i c a la n a l y s i s ) ) ，徐献瑜、李家楷、徐国良的p a d 6 逼近理论， 王仁宏、朱功勤的有理函数逼近及其应用，朱功勤、檀结庆的多元有理逼 近方法等。另外，王仁宏所著的数值有理逼近和数值逼近，j s t o e r 和p b u l i r s c h 的i n t r o d u c t i o nt on u m e r i c a la n a l y s i s 等也在部分章节中对连分式作 了介绍。本章我们从几个典型的实例出发，引入连分式的基本概念、介绍连分 式的三项递推公式、连分式的等价变换、连分式的奇偶压缩，以及几种特殊形 式的连分式等。 2 1 连分式的定义 定义2 1 1 设 ) 和 ) 为两个复数列，称形如： ”亏三c l l & + j l 6 4 + b o + 冬o o ( 吮) 或 + 昔+ 知 2 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 而称 ( 2 1 4 ) 为式( 2 1 1 ) 的玎次渐近分式或第聆项截断连分式。 连分式的起源可追溯到公元1 6 世纪。r b o m b e l l i1 5 7 2 最早使用连分式来 近似表示无理数4 i 3 ，即 伍讲詈+ 詈+ 鲁， 实际上，反复利用 而一矗2 i 丽b 而一2 a + 2 口+ ( 而一 可得一般形式 、而b ：c + 鱼鱼， ( 2 1 5 ) 口。+ =+ ， z l j 2 口+ 2 a + 而r b o m b e l l i 给出的西的连分式表示只不过是式( 2 1 5 ) 当a = 3 ，b = 4 时的特例。 p c a t a l d i 于1 6 1 3 年给出了丙的连分式表示： 瓜蚺吾+ 詈+ o 不难看出，这仍然是式( 2 1 5 ) 当口= 4 , b = 2 时的特例。下面让我们来看一 个用连分式近似计算无理数的例子。 觚1 1 由压_ 1 - 志= 瓦蒜珊出 压一1 = + = 2 + l - 。一 2 + 二_ _ 一 2 + 【2 1 ) 2 + ，一：一 2 + f 2 1 ) 3 2 + _ j r 一 2 + 二- 一 2 + o 一 2 + ( 4 2 - 1 ) 这样 压= 1 + 1 + 1 + 一1 222 + ( 2 1 6 ) + + + 经计算，我们发现上述连分式的前五项截断为 r l = + 5 ， 一：1 + 三! ：三：1 4 ， 2 + 25 匕：l + 三三三：旦：l 。4 1 6 6 ，匕= l + = = l 。， 3 2 + 2 + 21 2 _ ：1 + 三三三三：坐：1 4 1 3 7 9 4 ，匕= l + 一= = 1 ， 2 + 2 + 2 + 22 9 氏：1 + 三三三三三：望：1 4 1 4 2 8 44 2 8 5 7 ， 疋= l + 一一一一一= 一= 1 ， 。 2 + 2 + 2 + 2 + 27 0 。 压：1 4 1 4 2 1 3 5 6 2 。 由此可见，取式( 2 1 6 ) 的第五项截断，误差不超过8 1 0 。 例2 1 2从恒等关系式 订再一1 ：下兰一：二量 1 + x + 12 + ( 1 + x - 1 ) 瓜小主+ 考+ 知+ 2 + ( 鬲一1 ) 因此，可将1 + z 一1 形式展开成 瓜一1 ：兰兰兰， 2 + 2 + + 2 + 上式右端第一项、第二项、第三项截断分别为 似) = 主，r 2 ( x ) = 差+ 主= 熹， ，、x x xx 2 + 4 x 吩( 戈) 。三+ 互+ 虿21 i ；。矿 4 ( 2 1 7 ) 2 2 连分式的三项递推公式 2 2 1向前三项递推公式( f r ) 记 鲁= 6 0 + 瘩n ( 鲰玩) 或 ”拓1 一7 = + 等毒毒 定义2 2 1 1 o 一 若极限。l i m 。- g 8 _ _ 2 溉( 6 0 + 匿( 吼钆) ) = 三存在，则称连分式 + 匿( 吼玩) 收敛，且6 0 + 匿( 吼瓯) = l ，否则，称连分式6 b + k ( a k b , , ) 发散。 o i * 2 l 定理2 2 1 1 1 1 若定义4 l = 1 ，罡1 = o ，a o = b o ，岛= 1 ，则4 ，鼠有如下 递推关系： 令 则有 ( 2 2 1 ) 邑( w ) = + 等+ n a 2 + 南 泣2 2 ) ) = 妾，驰) = 杀 定理2 2 1 2 1 1 设4 与或分别表示截断连分式最( o ) 的分子与分母，则 邑( w ) =4 + 咄一l 或+ w 鼠一l 定理2 2 1 3 1 ：1 设爱2 + 寻+ 尝+ b 毒删有： 5 ( 2 2 3 ) 2 2 一 一以吃 n 甩 口 口 + + o 一 4 吃 巩 = l i 4 吃 、_，l 以最一l 一4 1 吃= ( 一1 ) 肿1 兀a k ， ( 2 2 4 ) 以色一2 4 2 色= ( 一1 ) 门b n 兀a k ( 2 2 5 ) 作为定理2 2 3 的推论，我们有： 定理2 2 1 4 t 1 】令 a 力= 以鼠一1 一a n 一1 色 ( 2 2 6 ) 且对一切r n ，a 。0 ，其中复。= 1 ，璺，= 0 ，4 = ，岛= 1 ，则有 铲一叁心掣 2 m 2 2 2向后三项递推公式( b r ) 定义2 , 2 2 1 对r l n o ，称形如下述连分式 星。( 嚷玩) 2 石a n + l + 瓦a n + 2 + 为连分式b o + 答( 吼玩) 的第，z 项尾式，记作乙 从尾式定义易知： t k _ 1 = 吼a 瓦k ，尼= 玎，甩小2 ，1 则s ( o ) = b o + t o 众所周知，上述两种递推公式在连分式理论中有广泛的应用，下面给出一 种新的算法，称为连分式向后三项递推公式( b r ) 定理2 2 2 1 【2 】设 群= ，群= l ，群一= i 吃1 2 ，( n 1 ) 6 ( 2 2 8 ) “= 6 f e + q + 。z 1 ， ( 0 i 1 1 ) ( 2 2 9 ) 彰= 1 2 鲜1 + 2 吼( 砀+ 。钟2 ) + k ：1 2 钟2 ， ( 一1 f 兰 一2 )( 2 2 1 0 ) 这里j ? 1 ，1 q + ：分别为4 ：“，：的共轭，q ， i 部分分子与分母，则有 ( 1 ) l 群1 2 = 髟k k l 鸟分别为连分式b o + 辔( 哝) 第 ( k = n ，l ，0 ) 筹一吃+ 等考，m ”一1 川 ( 3 ) 磷0 ，( 托= o ，1 ，；k = 行，1 ，0 ，一1 ) 此定理证明可采用数学归纳法。 特别地，在式( 2 2 12 ) 中令k = 0 ，则有 ) = 五= 鲁= = 簧l t = 6 0 + 知+ 音 下面定理将给出4 ，e 与群之间的关系。 定理2 2 2 2 2 1对任意的刀0 ，有 ( 1 ) l 最驯= 历属， ( 2 ) 引= 虿， ( 3 ) = 厨 定理2 2 2 3 则利用连分式向后三项递推公式构造渐近差公式。 定理2 2 2 3 2 1 如果彰+ 。0 对v m ，刀n ，i 0 ，则式( 2 4 3 ) 称为一个篷分式。 2 关联连分式 关联连分式是指具有如下形式的连分式： 舞1 一旦1 + 1 2 z 一惫1 一旦1 + 1 4 z ，例，+ z 一 一+ 厶z 一 一 “ ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) 其中吒和乙都是复常数，一个规则c - 分式( 2 4 3 ) 的偶数部分是一个关联连分式 1 + a 2 z - l + ( a 3 + a 4 ) z 一1 + ( 口5 + a 6 ) z 一 然而，并不是每个关联连分式都可以称为一个规则c - 分式的偶数部分。 3 ，分式 以分式是指具有如下形式的连分式： ( 2 4 5 ) 士立关关，c n 2 o ， ( 2 4 6 ) 匾+ z d 2 + z 一以+ z 一以+ z 一 、。 其中c n 2 和以都是复常数。 4 p 分式 只分式是指具有如下形式的连分式： 6 0 ( z ) + 雨1 + 丽1 + 南+ 其中每个玩( z ) 都是1 2 的多项式： l o ( 2 4 7 ) 这里 0 瓦( z ) = 趔z ， n o o ，m 1 ，口缨0 ，胛= 1 ，2 ，3 ， 5 一般的分式 一般的互分式是指如下形式的连分式： e 1 + d t z + e 2 + 畋z + e 3 + a 3 z + ， e n 0 ， ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) ( 2 4 1 0 ) 其中巳和吨都是复常数。如果对所有的n ，都有e n = 1 ，则式( 2 4 1 0 ) 称为一个z 分式。 6 p e r r o n 连分式 p e r r o n 考虑了如下形式的连分式： + 嚣+ 专+ 嚣+ b ，枷 川舢， 亿4 m ， 其中和既都是复常数。注意到，如果对门1 都有b 2 。0 ，则式( 2 4 11 ) 的偶 数部分为 五+鱼丝三 丝鱼垒兰丝堡堡垒三 鱼竺z 堡垒三 峋a 2 + b , b 2 z q 如+ ( a 3 6 4 + b 2 b 3 b 4 ) g - a 6 b 4 + ( 口5 b 6 + 6 4 6 5 6 6 ) z - a s b 6 + ( 口，6 8 + 6 6 岛6 8 ) z ( 2 4 1 2 ) 相当于一个一般z 分式。 7 t h i e l e 连分式 t h i e l e 连分式是指具有如下形式的连分式： + 寻+ 寻+ 寻+ ( 2 4 1 3 ) 其中玩都是复常数且 乙 是不同复常数的序列。 2 4 2 几种分叉连分式 众所周知，如果我们定义如下形式的变换集合： t o ( z ) = 6 0 + z ，瓦( z ) 2 者，纠，2 ，3 ， 则它们的复合 卺= 死( 。) ，丢= 矗( 互( 。) ) ，去= 瓦( 弘砟( 。) ) ， 形成下列连分式的一个截断序列： + 鲁+ 尝+ b ( 2 4 1 4 ) ( 2 4 1 5 ) ( 2 4 1 6 ) 上述构造很容易推广。设b o ，t ，a i , 1 2 是复数且设k ，k = l ，2 ，是复变 量。现在我们定义如下如下变换集合： 若记： t o ( z 1z 2 ，z j v ) = b o + z i + z 2 + + z ， ( 气t ，气z ，气一v ) 2 瓦j 乏i i ， ttlt2it(zili2itl,zi。hik2,)2瓦瓦j氅瓦 袭= 1 ，2 ，n ，k = 1 ，2 ， 喇= 啪o ，o ) 2 百a l i ， 1 2 ( 2 4 1 7 ) 则我们有： ( o ，o ，0 ) = a t i i 2 t t ， r “ q o = t o ( o , o , - - o ) = 6 0 ， 鲁2 瓦( 巧( 。) ，互( 。) 瓦( 。) ) = 6 0 + 善毒， 壹= 瓦( 互( 咖) ，孙) ，巧( 。) ) ，互( ) ，互：( 。) ，互( 0 ) ) ，一， ( 瓦，( o ) ，瓦：( o ) ，( o ) ) ) = 6 0 + 连续处理k 次可得到如下形式的表示式： 扣+ 蕃ni 气1 2 t 军1 气+ v n 鱼 刍 按照通常的连分式理论，称萎，尼= 1 ，2 为下述连分式的截断 6 f l + 厶= 1 a i r b 气一& t 这一连分式可写成以下更紧凑的形式 k 。七气l ”蕃l 谢i i + j i = 卜 h ， ( 2 4 1 8 ) ( 2 4 1 9 ) ( 2 4 2 0 ) ( 2 4 2 1 ) 由于上述形式有树一样的结构，我们称之为有个分支的分叉连分式，简记为b c f 。 社 + + 匕1 科 + 纠 + + 喳履1 叠k 纠 + 训一k 叫 构造上述形式的连分式的想法起源于v y a s k o r o b g a t k o ，2 0 世纪6 0 8 0 年 代，分叉连分式的理论得到了较大的发展。一般地，连分式的系数是实或复函 数。如果系数都是m 元多项式，则这个连分式的截断为m 元有理函数。显然， 选择各种类型的多项式将得到各种形式的分叉连分式。k u c h m i n s k a y a 对只有两 个分支的分叉连分式做了细致研究，她给出了以下四种特殊形式的分叉连分式。 ( 1 ) 在式( 2 4 2 1 ) 中，如果取n = 2 ，且系数为 q 2 z x o ，a 22y y 0 ，气f 2 t l2z x k ， 气f 2 t 2 = y 一儿，t = l ，2 ，= 1 ，2 ， ( 2 4 2 2 ) 近一步，我们假设点列x k ，y k ( k = o ，1 ，2 ，) 给定。相应的b c f 可写成以下形式： 其中： ( 2 ) 第二种形式的b c f 可以写成以下形式： 垦( x ，y ) = + ( x - x o ) ( y - y o ) 如+ 。 r 2 4 2 3 ) ( 2 4 2 4 ) + 婪 ( 2 4 2 5 ) 玩“l + 丛 ( 3 ) 第三种形式的b c f 可以写成以下形式： 其中对k = 0 ，1 ， 1 4 ( 2 4 2 6 ) 享啭 m 唔 + k | i 瓯 棼毒 其中： k = 玩。+ 量掣t+ 垦三二掣2 + + ，1 + + 。2 + 厶也+ 掣+ + ( 2 4 2 7 ) ( 2 4 2 8 ) ( 4 ) 第四种形式的b c f 为二元t h i e l e 型分叉连分式，可以写成以下形式： 目( w ) = r o + t x - - x 0 + 寻+ 瓦也+ 等+ 等+ l + 2 + 1 5 ( 2 4 2 9 ) ( 2 4 3 0 ) 掣 第三章连分式的收敛定理及相关算法 对连分式而言，我们首先要讨论的就是连分式的收敛性，关于连分式收敛 性的研究经过历代数学家的不懈努力g n | l - t - # $ 的成果，本章我们就一般 连分式收敛性理论中几个非常重要、经典的结论作一介绍，另外我们还将介绍 周期连分式及它的收敛性结果，本章第三节我们将介绍与连分式加速收敛相关 的算法。 3 1 几个经典的收敛定理 对数量连分式而言，存在着大量的收敛准则，本节重点罗列连分式收敛理 论中最重要、最为大家欣赏的结果：w o r p i t z k y 定理、p r i n g s h e i m 定理和v a nv l e c k 定理。 定理3 1 1 ( p r i n g s h e i m 定理) 如果l 阮l i i + 1 ( 刀1 ) ，z 为连分式星( 玩) 的第，z 项渐近分式，则 ( 1 ) 例 1 ； ( 3 1 1 ) ( 2 ) 连分式磊( 玩) 收敛。 通过使用连分式的等价变换，或令吼= 1 或令吃= 1 ，由p r i n g s h e i m 定理可 推出许多其他类型的连分式的收敛准则，现叙述其中的几个。 定理3 1 2 若 悱等， l 鲁l 篓，玎- 2 ，3 ， l 玩一，吃|乞一，只。 - 1 。 1 6 )、 ，二 3 ll 1 _ l 2 j，l，、 其中为大于1 的实数( 托= 1 ，2 ，3 ，) ，则连分式答( 吼色) 收敛。 定理3 1 3 ( w 。r p i t z k y 定理) 如果l 吼i 丢( ，z = l ，2 ，3 ，) ，则： ( 1 ) 连分式磊( 吼1 ) 收敛。 ( 2 ) | z i 寻，其中z 为星( 1 ) 的渐近分式序列； ( 3 ) i 厂i 专，其中厂= ! 骢z 。 定理3 1 4 【1 1 若 南+ 网1 虬删2 ， 则连分式磊( 1 b o ) 收敛。 定理3 1 5 ( v a nv l e c k 定理) 设o s 三，对v 刀n ，吨满足 一一7 1 + 占 a r g b 三一g(35)n 1 一i + 占 i g 3 5 则连分式k ( 1 b , ) 的一切渐近分式厶均有限，且 一一7 + s a r g 疋 一7 一s ( 3 1 6 ) 一i + s 0 ，且簖f = f ( o ) ，则： 簖s = c o s ( h ) + + c k s ( h n + 七) ，并且c o + + c 七= 1 。于是，插值条件可以写 成：群e = 1 ，髹g ，= o ，歹= l ，k 其中e ( h ) - i 。s c h n e i d e r 试图将妮表示成 髹= 日维1 + 6 列的形式。经过研究他给出： 簖e = a + b = 1 ， 砝g 七= 口经1 9 七十d 1 _ 吼t n 一+ l l g = 0 显然，a 、b 的值很容易求得，且有： 簖= 喘翳蔫学 所以，簖s 可以由此公式计算。只要给出初值条件，就可以用同样的过程 计算出辅助序列撵毋。从本质上来说，上述算法就是e - 算法。 1 9 7 6 年g f i n t e rm e i n a r d u s 和gd t a y l o r 的一篇文章 2 0 1 讨论了函数最佳 一致逼近的问题，其中的函数属于s p a n ( 9 1 一，g | ) cc a ，b 。c a ，b 上的线性 n + k 函数t 定义为：鹾( 厂) = c ，厂( 红)其中口啊 o ，g f ( o ) = 0 ，且g o ( x ) 三l ，则由此计算出的磁( o ) 和用e - 算法 得到的结果一样，即此时的m n a 算法就精简为e 算法。( 关于m n a 算法的起 源，可以追溯到h e n r im a r i ea n d o y e r ( 18 6 2 1 9 2 9 ) 的l9 0 6 年的研究 2 1 】，另外 2 2 中也有详细的叙述。) 说到e 算法，我们不能不提t o r eh a t v i e 。我们知道能用r o m b e r g 方法加 速梯形公式，得益于其误差能用e u l e r m a c l a u r i n 展式展开。而有此展开式的函 数必须满足：在对应的区间是可积的且无奇异点。当出现奇异点时，误差的展 式不再是步长h 2 的级数，而是依赖于奇异点的复杂函数。此时需要修改 r o m b e r g 规则，以便处理误差展式中出现的其它项。数位学者就不同类型的奇 异点分别作了深入的研究。首当其冲的就是h l v i e ，他在r o m b e r g ( 1 9 4 9 年他移 居至挪威的特隆赫姆) 的指导下，l9 7 8 年就形如： s ( h ) 一s = a l g l ( 乃) + a 2 9 2 ( 办) + 的误差展式写了一篇精彩的文章 2 3 】。s ( h ) 是 梯形公式得到的近似值，h 是步长，2 ，已知函数( h 专0 时，它是渐近序列) 。 若 0 ，s n = s ( ) ， 2 4 g ，c 耽，= g r c ，e f 哪= 墨型号三专导掌湍， 用和民+ 1 的展开式代入上式，得： e ( 0 = s + a 2 9 躞+ 口s g 器+ 其中g 譬= 墨墨二号妻宅芋兰 掣 重复同样的过程，消去目以中的g 躞，如此反复。可得到e 算法： 掣= 型黑掣，其中= 最，g 拶碣( 力)一 g 黜一g 引60 。副vv 同理，辅助序列g 艘能由类似的递归算法得出： 9 5 7 = g ，( 胛) h g l v i e 对这种算法的精辟解释是：利用g a u s s i a n 消元法求解关于e 的方 程组： 磁哪+ 6 l g l ( 咒+ f ) + + 6 j j g 七( 托+ f ) = s n + f ， z = 0 ，k 。 1 9 8 0 年 2 4 b r e z i n s k i 从外推的角度继续e 一算法的研究。即用如下的形式 的序列来插值( 最) 最= s + 口1 9 1 ( 耽) + + 口七g 七( 聆) ， g ，是依赖于数列( 最) 的已知数列，并且s n + f = 墨+ f ，f = 0 ，后 解关于s ( 依赖于托和k ，故后面将它表示为磁的形式) 的方程组： 群= s n g l ( 圪) s n k g l ( 聆+ k ) g 七( 刀) g 七( 刀+ 尼 1 9 1 ( ，z ) 1 g l ( 咒+ k ) g 七( 胛) g 女( 聆+ k ) 此时磋是以行列式的比值给出的，这与前面用行列式的比表示s h a n k s 变换后 的量很类似。事实上，选取g i ( 船) = 蝇+ f 后，e n 就是s h a n k s 变换后的量。当 础一 掣盟础 础 或一或 g f ( 刀) = x 以i 时，群则是r i c h a r d s o n _ 夕 推法得到的量。其它的算法可类似得到。 如何得到计算e ：的递归法则是我们关系的话题。运用s y l v e s t e r 行列式等 式，b r e z i n s k i 得到两种法则。他的规则与h h v i e 的十分类似，究其原因，s y l v e s t e r 等式可以由g a u s s 消元法得到。当( g ，( 咒) ) 满足给定的条件时，b r e z i n s k i 给出了 e - 算法的收敛和加速的若干结论 2 4 】。这些结论表明，加速序列( - s r 。) ，必须知 道误差s n s 关于渐近序列( g l ( 刀) ) ，( 9 2 ( 玎) ) ，的展开式，其中g f ( 聊) 的意 f 挖 一c 义同上所述。可以证明：v k ，1 i m 竺警二= 0 。a v r a ms i d i 2 5 2 7 】近一步修 n 喇e 盖一s 正了这些结果。可以看出，待加速序列的误差展式的研究显得十分重要，可以 参看w a l z 2 8 。众多学者将这一加速的思想应用到各个课题中。例如， m o h a m m e dk z a z 2 9 ，3 0 】和p i e r r ev e r l i n d e n 3 1 】用它加速g a s s 求积公式 2 9 】。p e d r ol i m a 和m a r i og r a c a 用它解决奇异点的边界值问题 3 2 3 4 】。关于 加速收敛的其它结果可以参看m a t o s 和m a r cp r 6 v o s t 的 3 5 】、p r d v o s t 的 3 6 】、p a s c a lm o r t r e n x 和p r 6 v o s t 的 3 7 。另外，w i l l i a mf f o r d 和a v r a m s i d i 3 8 】给出了一种比e 算法更节约计算量的算法。b e r n h a r db e c k e r m a n n 【3 9 】 研究了e 算法和g 算法之间的联系。c a r s t e nc a r s t e n s e n 4 0 给出了推广的占 算法和e 算法之间的关系。更详细的e 算法的研究见 4 1 】。 2 6 第四章连分式的加速收敛及误差分析 关于连分式的加速收敛的研究可以追溯到一百多年前，1 8 7 3 年，j g l a i s h e r i 就对某一类特殊的连分式的收敛速度进行了研究。随着科学技术的迅猛发展， 尤其是数值逼近方法在工程技术领域中的广泛应用，人们对连分式的加速收敛 问题进行了深入的研究。在前人关于连分式加速问题研究的诸多成果中，我们 总结出其加速方法主要有两种：一种是加速收敛因子方法；另一种就是序列变 换方法。本章主要介绍这两种方法在加速连分式问题中的应用及其误差控制分 析。 4 1 加速收敛因子方法 由于极限周期连分式在连分式解析理论中占有十分重要的地位，所以就加 速收敛因子方法我们主要研究的是极限周期连分式的加速收敛问题，对于其他 类型的连分式的加速收敛问题可参看相关文献。为简单起见，我们研究极限周 期连分式答( 1 ) 的加速收敛问题。 定义4 1 1 如果l i m a = a 存在，我们称连分式k ( 口。1 ) 为极限周期连分式。 对于极5 i i l 周期连分式k ( 口。1 ) ，有下列收敛结果 4 2 】： 若口硭( o 。，一三 ，其中口= 。l i m 。，则极限周期连分式星( 1 ) 收敛。 在极限周期连分式x ( a 。1 ) 收敛的情况下，引进因子，记： 瓯( ) 2 t a l + + 击 ( 4 1 1 ) 定义4 1 2如果通过选择合适的因子心，使得 l i m 墨! 堡! 二厂_ 0 ，厂o ，( 4 1 2 ) n 鼠( 0 ) 一f 。 其中厂2 答( 1 ) ，则称( ) 收敛于f 比鼠( o ) 收敛于厂的速度快，称为加速 收敛因子。 如何选择合适的加速收敛因子是研究极限周期连分式加速收敛问题的关 键。考虑极限周期连分式墨(