（概率论与数理统计专业论文）多元+gumbel型指数分布竞争失效产品加速寿命试验的统计分析及优化设计.pdf

e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y t h eo p t i m a ld e s i g n s u n d e ra c c e l e r a t e dl i f e a n ds t a t i s t i c a la n a l y s i s t e s t su n d e rm u l t i v a r i a t e e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o nw i t hd e p e n d e n t c o m p e t i n gr i s k s d e p a r t m e n t s c h o o lo ff i n a n c ea n ds t a t i s t i c s m a j o r r e s e a r c hd i r e c t i o n s u p e r v i s o r a u t h o r p r o b a b i l i t ya n dm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s a p r i l ，2 0 1 l 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文多元g u m b e l 型指数分布竞争失效产品加速 寿命试验的统计分析及优化设计，是在华东师范大学攻读硕士学位期间，在导师 的指导下进行的研究工作及取得的研究成果除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：裂豳蕴日期：加f 年6 月2 日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 ( 多元g u m b e l 型指数分布竞争失效产品加速寿命试验的统计分析及优化设 计系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文，本论 文的研究成果归华东师范大学所有本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使 用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位 论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、 借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索， 将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论 文本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文木， 于年月日解密，解密后适用上述授权 喙墓主一 本人签名：鎏鱼垄 加f 降多月日 掌。涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的 学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经 上述部门审定的学位论文均为公开学位论文此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适 用上述授权) 梁丽芬硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 张日权教授 华东师范大学主席 丁邦俊副教授 华东师范大学 张应山教授华东师范大学 摘要 a b s t r a c t 第一章绪论 1 1 1 多元g u l b e l 型指数分布 1 1 1 1 分布性质 1 1 2 竞争失效模型 3 1 3 加速寿命试验 5 1 3 1 加速寿命试验的参数模型 6 1 3 2 竞争失效产品的加速寿命试验 8 1 4 优化设计 8 1 4 1 优化设计的准则 9 第二章g m v e 型指数分布定数截尾恒加试验的统计分析及优化设计 1 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 试验安排与基本假定1 0 基本引理1 1 似然函数1 5 参数估计1 6 优化设计1 2 0 2 5 1 优化设计i 2 0 2 5 2 优化设计 2 3 f i s h e r 信息阵2 5 优化设计2 2 8 2 7 1 优化设计i 2 8 2 7 2 优化设计 3 0 第三章g m v e 型指数分布定时截尾恒加试验的统计分析及优化设计 3 3 3 1 试验安排与基本假定3 3 3 3 3 4 3 4 优化设计3 7 3 4 1 优化设计i 3 8 3 4 2 优化设计 4 3 第四章g m v e 型指数分布步加试验的统计分析及优化设计 4 9 4 1 定数转换步加试验4 9 4 2 定时转换步加试验5 1 4 2 1 似然函数5 2 4 2 2 优化设计5 3 结束语 参考文献 致谢 5 5 5 6 5 9 摘要 竞争失效模型是可靠性统计中的一种常用模型在现有的文献中，对于竞争失 效数据的分析大部分都假设产品的失效机理是独立的为了反映和评价产品失效机 理的相关性，本文用多元g u h l b e l 型指数分布来建立多种失效机理生存时间之间 的联系，讨论多元g u i n b e l 型指数分布失效机理产品的统计模型首先介绍了多元 g u n l b e l 型指数分布在恒加应力和步加应力下的竞争失效的基本过程及基本引理， 并对相应参数进行了估计；其次在后个应力砖个未知参数的加速寿命方程下，以 d 一最优和y 一最优为准则，分别研究了恒加应力与步加应力加速寿命试验中定数 与定时截尾的最优设计问题 关键词：多元g u m b e l 型指数分布，竞争失效，渐近方差，极大似然估计，f i s h e r 信息阵，最优设计，d 一最优，y 一最优 a bs t r a c t t h ec o m p e t i n gr i s km o d e li sc o m m o n l yu s e di nt h er e l i a b i l i t ya n a l ”i s a m o n g t h o s ep a p e r sd i s c u s s i n gs t a t i s t i c a la n a l y s i so fc o m p e t i n gf 址1 u r ed a t a ，m o s to ft h e m a s s u m ei n d e p e n d e n c ef o rf a i l u r em e c h a n i s m s t br e f l e c ta n da s s e s st h et r u ed e p e n - d e n c e ，w eu s em d i mg u m b e lm u l t i v a r i a t ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o nt ob u i l dm o d e l w h e nt h emf a i l u r em e c h a n i s h l sh a v ec o r r e l a t i o na n dr e s e a r c hi t ss t a t i s t i c a l lm o d e l f i r s t ，u n d e rt h ec o n s t a n t s t r e s sa n ds t e p s t r e s s ，t h eb a s i cp r o c e s so ft h ea u e e e l e r a t e d l i f et e s t so ft h em u l t i v a r i a t ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o ni si n t r o d u c e da n dc o r r e s p o n d - i n gp a r a m e t e r sa r ee s t i m a t e d n e x t ，g i v e nt h ea u c c e l e r a t e de q u a t i o no f 忍s t r e s sw i t h 七u n k n mp a r a m e t e r s ，t h eo p t i m a ld e s i g 璐o ft h ea c e e l e r a t e dl i f et e s t so f 咖eia n d 帅ei iu n d e rt h ec o n s t a n ts t r e s sa n ds t e ps t r e s sa r er e s p e c t i v e l ys t u d i e da c c o r d i n g t od 一0 p t i m a la d l dy o p t i m a l k e ) 佩砷r d s ：g u i i 【b e lm u l t i v a r i a t ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n ，d e p e n d e n tc o m p e t i n g r i s l 【s ，m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o n ，a s 皿p t o t i ev a r i a n c e ，f i s h e ri n f o r m a t i o n m a t r 没，o p t i m a ld e s i g n ，d o p t i m a l ，y o p t i m a l 1 1多元g u i n b e l 型指数分布 从现有的文献来看，对于失效机理相互独立的指数分布竞争失效产品加速寿命 试验的参数估计和最优设计的研究已经获得了相当丰富的成果，但是对于失效机理 相关的多元指数分布的加速寿命试验的统计分析方面却尚未得到足够的重视，理论 研究的成果还不多到目前为止，各种文献已提出了许多指数分布的多元推广，1 9 6 1 年n e u n d 提出了n e u n d 型多元指数分布，1 9 6 6 年w 西n m a n 提出了w 色i n m a n 型 多元指数分布，1 9 6 7 年m a r s h a u 与0 1 l ( i n 提出了m a r s h a l l - o l k i n 多元指数分布，并 且对于m a r s h a u 0 1 l 【i n 多元指数分布的加速寿命试验的参数估计和最优设计问题已 经取得了许多研究成果本文研究的是1 9 6 0 年g u i n b e l 提出的一种二元指数分布 的推广，以下称其为多元g u i 曲e l 型指数分布 多元g u n l b e l 型指数分布的生存函数为 f ( z 1 ，z 2 ，z n ) = 尸( x 1 z 1 ，j ，2 z 2 ，j 乙 z 佗) = e x p 一 1 a 1 ) 6 + 2 a 2 ) 6 + + ( z n 入几) 6 1 ， 0 z 1 ，z 2 ，z n 。，1 6 o 。，0 o ，托 0 ，k l 0 ，咒 既，五+ 1 0 ， 0 ) = e x p 一z t 入t ) 1 1 多元g u m b e l 型指数分布 2 所以，( 兢) = 凡e x p 一鼢九) ，t = 1 ，2 ，n ，那么咒服从参数为九的指数分 布 口 定理1 2 如果( x 1 ，恐，) 服从g m y e ( 入1 ，入2 ，k ，6 ) 分布，若令x = i i l i n ( x ，托，) ，那么x 服从参数为( 毒碍) v 6 的指数分布 证明 f ( z 1 ，z 2 ，z n ) = e x p 一 ( z 1 入1 ) 6 + ( z 2 入2 ) 6 + + ( z n a n ) 万】1 6 ) ，男b 么 f ( z ) = p ( x z ) = 1 一尸( x z ) = 1 一尸( m i n ( x 1 ，托，k ) z ) = 1 一p ( x 1 z ，) 幻 z ，) 乙 z ) = 1 一e x p 所以，( 垆入唧h 冰其中入= ( 彭) v 占 口 定理1 3 如果( x 1 ，x 2 ，) 服从g m y e ( a 1 ，入2 ，h ，6 ) 分布，若令x = m i n ( x 1 ，恐，) ，那么 p ( x = 磁) = p ( 托 m i n ( x 1 ，咒， 且 p ( x z ，x = 五) = 1 ，x 一1 ，咒+ 1 ， e x p ，k ) ) = 砖 n ， 暑入； ( 妻a 圹z ” j = 1 证明f ( z 1 ，z 2 ，z n ) = e x p 一 ( z 1 入1 ) 6 + ( z 2 入2 ) 6 + + ( z n 入竹) 6 】1 6 ) ，那么 p ( x z ，x = 咒) = p ( x t ， z l 6 j 入 n 弹 ，、 一 ；一碍 n 触 x酣 口厂观xx z 、j 入 佗触 ，一 n 芦 ，一1j、rj z f o l 礼触 ， p 既 一 1 一 ， 一 n 口 ，i 砖 、， z 、j 入 竹触 ，一， 1 2 竞争失效模型 3 跗瑙) - 刚水矧2 熙参h 喀) v 6 圳葛 定理1 4 如果( x 1 ，磁，) 服从g m y e ( 入1 ，入2 ，a n ，6 ) 分布，若令x = m i n ( x 1 ，恐，k ) ，那么j ( x z ) 与j ( x = 五) 相互独立 n 证明 f ( z ) = 1 一e x p 一( a ；) 1 6 z ) ，那么 = l p ( x = 砭i x z ) = p ( 五 m i n ( x 1 ，托，五一1 ，五十1 ，) i x z ) p ( 咒 m i n ( x 1 ，恐，k _ l ，五+ 1 ，) ，x z ) 尸( x z ) 尸( 五 亡) = p ( x 1 ，恐 亡，x m ) 其中分布函数f ( t ) = 1 一s ( 亡) 在许多实际问题中，通常假定各失效机理的发生时间x 1 ，恐，x m 是相互 独立的，并设置的分布函数为e ( ) ，则产品的生存函数亦可表示为 m m s ( 亡) = p ( 咒 亡) = & ( 亡) =1扛：1 其中& ( 芒) = 1 一只( t ) 对于竞争失效产品而言，若第t 个失效机理的失效率为a t ( f ) ， 则产品的的失效率入( t ) 满足 m 川= 掷) t = l 上式通常被称为竞争失效产品的加法原则 在假设失效机理独立的条件下，m e e k e ra n dl u i s ( 1 9 9 8 ) 和张志华( 2 0 0 2 ) 等人 讨论了指数分布竞争失效产品和w e i b u n 竞争失效产品加速寿命试验的统计分析 以及各失效机理对产品在正常应力水平下的可靠性指标估计的影响问题他们还 讨论了竞争失效产品加速寿命试验的非参数统计方法在竞争失效产品试验设计方 面，b a i ( 1 9 9 1 ) 等首先研究了指数分布竞争失效产品的简单步加试验的最优设计问 题刘立喜和葛广平( 1 9 9 8 ，1 9 9 9 ，2 0 0 2 ) 在指数分布场合，一般七个未知数、忌个应 力的加速寿命方程下，研究了竞争失效产品恒加和步加试验的最优设计其结果几 乎概括了上述指数分布场合，竞争失效产品最优设计的各种结果葛广平等( 1 9 9 8 ) 还研究了威布尔分布和极值分布场合，简单步加试验( i 型) 的最优设计序加试验 最优设计的成果还较少b a i ( 1 9 9 2 ) 等研究了威布尔分布场合，简单梯度试验的最优 设计葛广平等( 1 9 9 7 ) 研究了对数正态分布场合简单梯度试验的最优设计 到目前为止，关于竞争失效产品加速寿命试验统计分析及最优设计的讨论都基 于失效机理独立性假设，这往往与实际不符本文讨论了基于多元g u i n b e l 型指数 分布竞争失效产品加速寿命试验的的参数估计和最优设计假定各失效机理的发生 时间x 1 ，磁，是相互关联的，并设x 1 ，此，x m 的联合生存函数为 f ( z 1 ，z 2 ，z m ) = p ( x 1 z 1 ，j ，2 z 2 ，j 0 订 z m ) = e x p 一 ( z 1 入1 ) 6 + 2 入2 ) 6 + + ( z m a m ) 6 】1 ) 0 z 1 ，z 2 ，z m ，l 6 ，0 ) = 尸( x 1 亡，咒 亡，x m t ) = e x p 一( 入 + 入! + + 入) 1 舻t ) 、上，o 即产品的寿命服从参数为( a ；) 。的指数分布 其中分布函数f ( t ) = 1 一s ( 芒) = 1 一唧 一( 耋a ；) 1 6 z 当6 = 1 时，x 。，恐， 县相互独寺的 1 3 加速寿命试验 寿命试验是一种重要的可靠性试验，是对产品的可靠性进行测试、分析和评价 的一种常用方法通常指：从一批产品中随机抽取一定数量的产品组成一个样本， 将此样本放在使用环境，即正常应力水平下进行寿命试验，观测每个样品的失效时 间，最后用统计推断方法对这些试验数据进行分析，得出该产品的各种可靠性指标 寿命试验的类型很多，且分类方式各有不同若按样品的失效情况划分，则可将寿 命试验分为完全寿命试验和截尾寿命试验完全寿命试验要求试验样品全部失效时 才结束试验，此类试验可以得到完整的试验数据，统计推断结果也极为可靠然而， 它常常需要较长的试验时间截尾寿命试验则仅要求试验样品中有部分失效便可停 止试验，此类试验可以缩短试验时间并及时的对产品进行可靠性评估，因此是人们 较为常用的寿命试验方法 随着元器件水平的迅速提高，高可靠、长寿命的产品越来越多，在正常应力水 平下进行寿命试验来评定产品的可靠性已不能满足实际需要，代价很高，不现实 为了解决这个难题，人们又想到了另一种能够有效缩短试验时间的寿命试验方法， 即加速寿命试验加速寿命试验是指，在不改变产品失效机理的前提下，用加大应 力的方法对产品进行寿命试验，快速评价产品的可靠性寿命在此类试验中，人们 通常会选择一些比正常使用环境恶劣的应力水平( 称为加速应力水平) ，并在这些 应力水平下进行寿命试验，从而达到加速产品失效，缩短试验时间的目的在获得 失效数据后，可运用加速寿命试验模型对产品在正常应力水平下的各种可靠性特征 进行统计推断 加速寿命试验的类型很多，根据应力施加的方式不同，分为三种：恒定应力加 速寿命试验( 简称恒加试验) 、步进应力加速寿命试验( 简称步加试验) 和序进应力 加速寿命试验( 简称序加试验) ，它们各有优缺点，可按实际情况加以应用 1 - 3 加速寿命试验 6 1 3 1加速寿命试验的参数模型 加速寿命试验的基本思想是利用高应力水平下的寿命特征外推产品在正常应力 水平下的各种可靠性特征，其中建立寿命特征与应力水平之间关系的加速寿命试验 模型( 即加速方程) 是关键通常在加速寿命试验中，寿命特征( 常用中位数、平均 寿命、某一个p 分位寿命) 与应力之间的关系是非线性的但是我们可以通过适当 的变换，如对数变换、倒数变换等将其非线性关系变成线性关系由于线性关系不 仅容易拟合，而且方便外推，因而便于工程使用因此在建立特征寿命与应力之间 的关系时应尽量使之线性化 若产品在各应力水平下的寿命分布形式已知，即f ( i s ) f ( i 伊) ，p e ) 。对 产品所施加的应力只会影响到母体参数p 以及与p 相关的可靠性指标此时，加速 模型便可用参数p 与应力之间的函数关系来描述，即 口= 皿( sa ，b ) 上式中，皿( ) 是已知函数；s 为所施应力；a ，b 是待估参数在这种情况下，加速寿 命试验的统计推断问题就退化为利用不同应力水平下的试验数据对待估参数a ，b 进行估计，进而可以得到在正常应力水平下母体参数p 的估计，即利用估计a ，雪 算出如= 里( 岛，a ，b ) 其中阿伦尼斯( a r r h e i l i u s ) 模型和逆幂律模型是两类比较常 用的单应力加速模型 1 阿伦尼斯( a r r h e l l i u s ) 模型 在加速寿命试验中，温度是常见的应力之一，因为高温能使产品( 如电子元器 件、绝缘材料等) 内部加快化学反应促使产品提前失效1 8 8 0 年a r r h e l l i u s 在总结 大量试验数据的基础上，提出了著名的a r r e n i l l s 模型，即 f ：a 唧e 解， 其中为某寿命特征，如中位数，平均寿命，特征寿命等；a 为常数，且a 0 ；e 为激活能，与材料有关，单位是电子伏特以e y 表示；七为波尔兹曼( b 0 1 t z m a n n ) 常数，为8 6 1 7 1 0 ( _ 5 ) e w 。c ；t 为绝对温度 该阿伦尼斯( a r r h e n i u s ) 模型表明，寿命特征将随着温度的上升而按指数下降， 对此模型两边取对数得到 1 1 1 = o + 咖( t ) ， 其中口= l na ，6 = e k ，妒( t ) = 1 t n ，6 是待定的参数，所以阿伦尼斯( a r r h e n i u s ) 模型表明，寿命特征的对数是温度倒数的线性函数 2 逆幂律模型 1 3 加速寿命试验 7 在加速寿命试验中用电应力( 如电压、电流、功率等) 作为加速应力也是常见 的为此有了逆幂律模型 亭= 4 y ， 其中为某寿命特征，如中位数，平均寿命，特征寿命等；a 为正常数；y 是应力， 常取电压；c 是与激活能有关的正常数 该逆幂律模型表明，产品的寿命特征是应力v 的负数次幂函数，对此模型两边 取对数得到 1 n = 口+ 印( y ) ， 其中o = 1 n a ，6 = 一c ，妒( y ) = 1 1 1 y 口，6 是待定的参数 阿伦尼斯( a r r h e l l i u s ) 模型与逆幂律模型的线性化形式可统一写成如下形式 h l 荨= n + 印( s ) ， 其中其中荨为某寿命特征，妒( s ) 为应力水平s 的已知函数如s 为绝对温度 时，妒( s ) = 1 s ；当s 为电压时，妒( s ) = l ns 上式中口，6 是待定参数，它们 将从加速寿命试验的数据中获得 当线性关系不适用时，可选用多项式加速模型，如七次多项式 1 n f = 阮+ 卢1 妒( s ) + 仍眵( s ) 2 + + 凤p ( s ) 南， 当尼= 1 时，就是阿伦尼斯( a r r h e i l i u s ) 模型( 妒( s ) = 1 s ) 或逆幂律模型( 妒( s ) = l i ls ) 使用多项式加速模型时要求应力水平大于七十1 ，还需对拟合模型进行统计 检验统一的加速模型在常用的寿命分布中俄应用如下； 1 当产品的寿命服从指数分布e 印( 口) 时，常用平均寿命p 作为寿命特征，其加速 模型为 h l p = n + 如( s ) 2 当产品的寿命服从威布尔分布e i ( m ，7 7 ) 时，常用特征寿命叩作为寿命特征，其 加速模型为 l n7 7 = 口+ 印( s ) 3 当产品的寿命服从对数正态分布l ( p ，仃2 ) 时，常用中位数o 5 作为寿命特征， 其加速模型为 l n o 5 = 口+ 即( s ) 可以通过加速寿命试验数据分析，获得加速模型中两个未知参数口与6 的估计若 记n 与6 的估计为a 与6 ，则由加速模型 1 i l = a + ( s ) 可对正常应力水平岛下的寿命特征作出估 1 4 优化设计 8 1 3 2 竞争失效产品的加速寿命试验 对于高可靠性，长寿命的竞争失效产品，加速寿命试验无疑是评估其可靠性的 一个值得推荐的方法在竞争失效产品的加速寿命试验中，应力水平& 下的试验 数据通常由样品寿命与导致样品失效的原因组成，即 ( 屯1 ，d i ) ，( 岛2 ，d t 2 ) ，( ，也n ) 上式中，幻0 = 1 ，2 ，n ) 表示在应力水平& 下第歹个样品的失效时间，而如 可取 1 ，2 ，m ) 中的任一整数，它表示引起第歹个样品失效的原因编号 1 4 优化设计 基于加速寿命试验方法及数据处理的快速发展，又提出了加速寿命的最优设计 问题我们知道传统的恒定应力加速寿命试验，加速应力水平一般是等间距的，各 应力水平的样品数量一般是等分配的，这样安排的试验有时效果较差因此在给定 条件( 如应力范围、样品数量等) 下，如何选取应力水平的大小，如何分配各应力水 平下样品的数量，以获得对各种可靠性指标更准确的估计，节省试验时间和费用， 这是实际中需要解决的问题，这也就是加速寿命试验的最优设计问题 c h e r n o 丘于1 9 6 2 年首先讨论了指数分布场合简单恒加试验的最优设计问题由 于当时对于加速寿命试验数据的统计分析尚有许多问题没有解决，最优设计问题并 未引起人们广泛的注意最优设计的研究到七十年代以后才逐步开展起来，m e e k e r 和 n e l s o n 等在威布尔分布和对数正态分布场合，对简单恒加试验的最优设计，经过多 年研究，得到了此较满意的结论所谓“简单”指试验中只有二个加速应力水平，即 高应力水平x 日和低应力水平x l x 日是予先给定的它由同类产品试验的经验或事 先做的予备试验来确定分配给x h 、x l 的样品此例为丌何、丌l 最优设计就是要 选择最优的x l 和7 r l ( 因丌日= 1 一丌l ，由丌l 确定) ，使正常应力水平下某种特定 参数的估计量的方差达到最小显然只有两个应力水平的简单恒加试验，无疑给际 应用带来很大限制，相广宾( 1 9 9 4 ) 研究了指数分布场合，具有4 个加速应力水平的 恒加试验的最优设计 m i l l e r ，n e l s o n ( 1 9 8 3 ) b a i 等( 1 9 8 9 ) 研究了指数分布场合简单步加试验的最优设 计程依明( 1 9 9 4 ) 在指数分布场合，研究了后个加速应力水平步加试验的最优设计 由于产品内部结构及其外界工作环境的复杂性，引起产品失效的原因往往有多个， 每个原因发生都会导致产品失效，称这种产品为竞争失效产品近年来对竞争失效 产品加速寿命试验数据的统计分析，茆诗松及其学生获得了长足的进展，但最优设 计的研究仍相当欠缺b a i 等( 1 9 9 1 ) 首先研究了指数分布场合，竞争失效产品的简 _，-_-_-_1_，_jjjjll 1 4 优化设计 9 单步加试验的最优设计问题葛广平( 1 9 9 8 ) 在指数分布场合，一般七个未知数、尼 个应力的加速寿命方程下，研究了竞争失效产品恒加和步加试验的最优设计葛广 平( 1 9 9 8 ) 还研究了威布尔分布和极值分布场合，简单步加试验的最优设计 序加试验最优设计的成果还较少1 9 9 2 年b a i 等研究了威布尔分布场合，简单 梯度试验的最优设计当作用于受试产品的应力随时间线性增加时，即称这种序加 试验为梯度试验葛广平研究了对数正态分布场合简单梯度试验的最优设计 综上所述，加速寿命试验最优设计，还有大量工作要做 1 4 1 优化设计的准则 定义1 1 d 一最优一是以参数估计的协方差矩阵( 屁娩e r 信息阵的逆矩阵) 的行 列式值最小为准则 由于截尾样本常用极大似然方法来估计参数，根据极大似然估计的渐近正态性 质，参数估计的协方差矩阵即为f i s h e r 信息阵的逆矩阵，因此对于截尾样本d 一最 优准则是使得大样本下参数的f i s h e r 信息阵的行列式值最大 m、 定义1 2 y 一最优一在常应力岛下平均寿命对数估计的方差和y 口r ( 1 n a o ) 达 f = 1 到最小 第二章g m v e 型指数分布定数截尾恒加试验的统计分析 及优化设计 本章对竞争失效产品在恒加试验下的定数截尾数据进行统计分析，主要讨论 g a 彳y e ( 入1 ，入2 ，入n ，6 ) 中的参数入1 ，入2 ，k ，6 的各种估计和加速寿命试验的 最优设计问题 2 1 试验安排与基本假定 竞争失效产品恒加场合下的定数截尾试验安排如下： ( 1 ) 设岛，s l ，鼠为应力水平，其中岛为正常应力水平，且满足岛 s 1 鼠记慨= 垆( & ) ，i = o ，1 ，七，其中妒( s ) 为应力水平s 的已知单调函数 ( 2 ) 从一批产品中随机选出n 个产品并分为尼组，每组样本量分别为佗1 ，n 2 ，佗七， 且n 1 + 几2 + + 竹岛= 他，将第i 组样本安排在应力水平& 下进行寿命试验 ( 3 ) 在k 个加速应力水平下分别进行定数截尾寿命试验设在应力水平& 下有 n 个失效，其失效数据为 屯1 如2 饥，t = l ，2 ，七， 其中n 为失效个数 现对具有m 个失效机理的产品进行定数截尾恒加试验，该试验所得的失效数 据为 ( 如1 ，d n ) ，( 抚2 ，也2 ) ，( i “，d i r t ) ，z = 1 ，2 ，七， 其中。巧0 = 1 ，2 ，n ) 表示在应力水平& 下第歹个样品的失效时间，且满足 屯1 t t 2 t 2 ，功 m ) = e x p 一 ( 亡1 入1 ) 6 + ( 亡2 a 2 ) 6 + + ( 亡m a m ) 巧 1 ) 2 2 基本引理 1 1 0 z 1 ，z 2 ，z m ，1 6 o o ，o 0 ，正2 0 ，正( c 一1 ) o ，乃 ，正( z + 1 ) 0 ，正m 0 ) = e x p 一t a 乱) 即e l ( ) = 1 一e x p 一a 订) 口 引理2 2 在应力水平& 下，产品失效时间正的生存函数为 踯) ：钗p 即竞争失效产品的寿命仍服从指数分布? 正= n l i n ( 玩黾黜) 。e 印( ( 釜a 翕) 郴) 其中f = 1 ，2 ，m 证明由假定a 1 ，a 2 及g m v e 分布性质知，在应力水平& 下 r z ( 亡) = 尸( 正z ( 2 羲舾 一( 酗彬t a ( t ) = 掣。痧唧 _ 出 ( 魏) 卜v 占“咔。 、j = 1 7 f ( ) 出= ，0 入翕 f 入易 j = 1 m 歹= 1a 矿v mo 二l= 、rj f ov 、j 6 巧 ， m 芦 ，一 2 2 基本引理 1 3 引理2 4 在应力水平& 下，产品失效是由第z 个失效机理引起的概率为 只。：只。( 正：死。) ：1 笋l 心 j 2 l 证明，由上述引理知，在应力水平& 下 由此可知 且由上述 从上可知 引起的失 令 则在应力 总是假定 为应力水 引理2 5 口 2 2 基本引理 1 4 证明由上述两引理及g m v e 分布性质知，在应力水平& 下 p ( 乃= 正z i 正 ) =p ( 正 亡，正= 正z ) p ( 正f 亡，正= 正z ) 一：= = 一 尸( 互 )p 亿 亡) 羲 1 一唧 一( 酗) v 占t ) 、6 ：j ! ：! ：j 一：生 1 一唧 一( 鄞) v 6 母磐 p ( 正z m i n ( 正1 ，正2 ， 这表明产品的失效原因与失效时间没有关系 ，正( z 一1 ) ，互( 1 + 1 ) ，正m ) ) = p ( 乃= 正1 ) 口 记正为应力水平s 下的m 个竞争失效机理串联时引起产品失效的总试验时 间，则 r t j = 1 r t j = 1 o 巧+ ( 一n ) o 饥， o 巧+ ( 锄一n ) 死， 定数截尾 定时截尾 引理2 6 以) 在应力水平& 下，定数截尾试验时，有 e m )邓以：n ( 量入翕) 郴，渊 2 ， = n 以= n ( 入矿。，江1 ，2 ， 例在应力水平& 下，定时截尾试验时，有 e ( 正) = 吼哦p 产啦( f = 1入磊) 郴 1 一唧 ( 釜入鑫) 1 兀) ， 2 其中仇= 1 a t ，a = 1 一e x p 一a t 凡) ，凡= ( 薹入鑫) v 6 ，n 为产品失效个 数，r 为定时截尾时间 证明( 1 ) 因为正一f ( n ，1 ，所以e ( 正) = n 以，t = 1 ，2 ，忍 ( 2 ) 设在应力水平& 下的个产品的寿命分别为砀，歹= 1 ，2 ，他，记 rf 1 ， 2 1 0 ： o 瓦 则n = 薹因为e ( ) = p 死) = 1 一e x p = 1 一 则n = 因为e ( ) = p 死) = 1 一e x p 一( a 鑫) 1 死 = 1 一 ，2 l 2 1 e x p 一a 以) = p t ，且 e ( 码) = 矗e x p 一砧) 出= 一死e x p 一九氕) + 毫( 1 一e x p 一九几) ) e ( 码) = 九亡e x p 一a i t ) d = 一死e x p 一九氕) + 亡( 1 一e x p 一九几) ) ，0 t 、 7 2 3 似然函数 1 5 n tn i 幻+ ( 扎i n ) 兀= 幻+ ( 礼t n ) 乃= +( 吼一岛) 兀 j = 1j = 1j = 1 e ( 正)：一礼i 兀e x p 一九凡) + 譬( 1 一e ) ( p 一九瓦) ) + ( 礼t 一佗t 鼽) 死 i 咄死( 1 _ 胁) + 孙+ ( m 一唧i ) n ：竿：锄 1 i t (兰入嘉) 枷 1 一雠p ( 釜a 鑫) 郴瓦) 2 3 似然函数 口 由上述引理知，在恒加试验的定数截尾中，在应力水平& 下，试验数据的似然 函数为 厶= j = lf = l 1 一凡( 幻) ( 1 _ 讹埘【肿巧) p ，) 以纠州奶) f i 1 一腓一 j = n + 1 入鑫 m ( a 易) 1 1 加 j = 1 a 碧n ( 入易) 吼t ( 1 1 6 = 1 r t f 入磐诧 1 一眦吖广n z = 1 礼tm j = n + 1 e x p 一( 入6 t 巧) e x p 一( 入护) j = 1 ， z = l z = 1 入挈n j = n + l z = 1 m e x p 一( a 6 正) ( 入易) 鲫一1 6 ) k 1 j = 1 m 兀入妒 m z = 1 h t ( 入易) t ( 1 1 6 j = 1 e x p 一( a 扩6 正) - z = 1 芦 为 = 因 正 以 又 所 矗 、j 以 6 一叼 一 0 们 叫= 警一喜扣一 u = o 5 7 7 2 1 5 6 6 4 为欧拉常数，而( ( 2 ，n 1 ) 为黎曼e 函数 从而有 令 即n k ) = 昙即n 罢) + l n ”e ( 1 n 正) 吾- n 簧+ h n + n a 订+ 昙h 蔫一砂c ， l i ln + 1 n 入订一砂( n ) ( 1 n a 订) + 全1 n 又祝+ 矽( n ) 一l n n ， 秒一 l一z 州澍 2 4 参数估计 1 8 因为 e ( h l 入n ) = e l na 订+ 矽( n ) 一l i l n l n n + h 1 入乱一妒( n ) + 妒( n ) 一1 1 1 n l na 钉 所以( 1 n 入以) + 是l na 订的渐近无偏估计从而有 令 y n 7 ( ( 1 1 1a 韶) )= 哳( 1 n 支订) = 哳( 昙l n 尝仙”l i l 正) = 嘉哳( 1 n 譬) + 哳( 1 n 互) ：去掣+ ( ( 2 一1 ) 2 萨1 f 十妣r 叫 ：击警+ 警一萋去 2 乒1 f 十百一各孑 全仉 鼠= ( 风，p l f l 一，卢( 七一1 ) z ) 7 ，硗= ( ( 1 n 入1 z ) + ，( 1 i l 入2 z ) + ，( 1 n 入埘) 4 ) 7 ，f - 1 ，2 ，m c = ( 薹! 薹! j j ；三篆：) ：厂专z专。；q。昙圳耋。、 且由范德蒙德行列式有 c i = 1 妒1 妒；妒：一1 1 妒2 妒；妒；一1 1 妒忌妒l 妒2 一 = ( 一忱) 1 t j s 膏 ：要圳 且有 ( 一亿) 1 t j 詹 ( c 7 k - 1 c ) = ( a f c ) 一1 = c - 1 a r l = 其中伊，a + 分别为c ，a 的伴随矩阵 渐近方差为 c 4 + c j | a 扇= ( c 7 k 一1 c ) 一1 c 7 k 一1 而 = ( a z c ) 一1 a z 吩= c 一1 a f l a f 而= c 一1 ； ， y 口r ( 雪f ) = ( c 7 k 一1 c ) 一1 = c + a + c l 川 综上可知在正常应力水平岛下m 个失效机理的加速方程的