（概率论与数理统计专业论文）对偶模型的分红问题.pdf

ab s t r a c t t h e o p t i m a l d i v i d e n d p r o b l e m p r o p o s e d 勿 b r u n o d e f i n e t t i ( 1 9 5 7 ) i s t o f o u n d t h e d i v i d e n d - p a y m e n t s t r a t e gy t h a t m a xim iz e s t h e e x p e c t e d d i s c o u n t e d v a l u e o f d i v id e n d s w h i m a r e p a id t o t h e s h a r e h o l d e r s u n t i l t h e c o m p a n y is r u i n o r b a n k r u p t . t h is p a p e r c o n s i s t s o f t w o p a r t s , i n t h e f i r s t p a r t w e c o n s i d e r a d u a l m o d e l w i t h t w o i n d e p e n d e n t r i s k p r o c e s s . i n t h is m o d e l , t h e t w o g a i n n u m - b e r p r o c e s s e s a r e i n d e p e n d e n t a n d t h e o p t i m a l s t r a t e gy i s a b a r r i e r s t r a t e g y . w e d e r i v e e x p l i c t e x p r e s s io n s f o r t h e o p t i m a l d i v i d e n d s w h e n t h e g a i n s i z e s a r e e x p o - n e n t ia ll y d i s t r i b u t e d a n d t h e b is d e t e r m i n e d . i n t h e s e c o n d p a rt, t h e d u a l m o d e l i s p e r t u r b e d场 d i f f u s i o n a n d t h e o p t i ma l s t r a t e gy is t h e b a r r i e r s t r a t e gy t o o . t o d e t e r m i n e 6 , t h e o p t i m a l l e v e l o f t h e d i v i d e n d b a r r i e r , a k e y t o o l i s t h e m e t h o d o f l a p l a ce t r a n s f o r m s . k e y wo r d s : b a r r i e r s t r a t e gy; o p t i m a l d i v i d e n d s ; d u a l m o d e l ; c o m p o u n d p o is - s o n p r o c e s s ; e r l a n g p r o c e s s ; b r o w n i a n m o t i o n ; l a p l a ce t r a n s f o r m s . a ms 2 0 0 0 s u b j e c t c l a s s i fi c a t i o n s : 9 1 13 3 0 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电 子版 本;学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、 缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务: 学校有权按有关规定向国 家有 关部门或者机构送交论文的复印 件和电子版; 在不以 赢利为目 的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动. 学 位 论 文 作 者 签 名 : 有 c k )o dl 年 月 74日 经指导教师同意， 本学位论文属于保密，在 本授权书。 年解密后适用 指导教师签名:学位论文作者签名: 解密时间:年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 内部 5 年 ( 最长5 年， 可少于5 年) 秘密1 0 年 ( 最长1 0 年，可少于1 0 年) 机密*2 0 年 ( 最长2 0 年，可少 于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。 除文中已经注明引用的内容外， 本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、 己公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体， 均己 在文中以明确方式标明。 本学位论文原创性声明的 法律责任 由本人承担。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 肖 吏 饥 w 习 年月 y o 日 chapte r 1 i n t r o d u c t i o n ( i ) t h e o p t i m a l d i v i d e n d p r o b l e m is a h o t t o p i c i n m o d e r n a c t u a ry f i e l d . i t c a n g o b a c k t o b r u n o f i n e t t i ( 1 9 5 7 ) , w h i c h c o n s i d e r e d a p r o b l e m o f m a x d m ; i n g t h e e x p e c - t a t i o n o f t h e d i s c o u n t e d d i v i d e n d s i n d i s c r e t e t i m e s e t t i n g s . i n b u h l r n a n n ( 1 9 7 0 ) d i s c u s s e d t h e o p t i m a l d i v i d e n d s - p a y m e n t s t r a t e g i e s o f t h e c la s s ic a l r i s k m o d e l i n c o n t i n u o u s t i m e s e t t i n g s . i n t h e a b s e n ce o f d i v i d e n d s , t h e s u r p l u s o f a c o mp a n y a t t i me t is u ( t ) =。 +c t 一s ( t ) , t _ 0 . ( 1 . 1 ) g e r b e r ( 2 0 0 6 ) d i s c u s s e d t h e d u a l p r o b l e m, w h e r e t n r s u r p l u s o r t h e e q u i t y o f t h e c o m p a n y ( i n t h e a b s e n ce o f d i v i d e n d s ) i s o f t h e f o r m u ( t ) =。 一c t +s ( t ) , t 0 . ( 1 . 2 ) h e r e , ”七0 i s t h e i n i t i a l s u r p l u s , a n d c i s t h e r a t e o f e x p e n s e s , a s s u m e d t o b e d e t e r m i n i s t i c a n d f i x e d . t h e p r o c e s s i s s ( t ) i s a r i s k y p r o c e s s o f p o s i t i v e g a i n s . i n c h a p t e r l t o c h a p t e r 3 w e c o n s i d e r t h i s r i s k m o d e l i n v o l v i n g t w o i n d e p e n - d e n t c l a s s e s o f i n s u r a n c e r is k s , i . e . , ni (u )价( ) s ( t ) 一 s , (t ) + + 艺y , _ 0 ,( 1 . 3 ) i =1 i =1 wh e r e 凡反; a r e t h e g a i n s i v e s fr o m t h e f ir s t c l a s s , a s s u m e d t o b e i . i . d . p o s i t iv e r a n d o m v a r ia b l e s w i t h a c o m m o n d is t r i b u t i o n f u n c t i o n f x , w h i l e y ; , a r e t h e g a i n s i z e s fr o m t h e s e c o n d c l a s s , a s s u m e d t o b e i . i . d . p o s i t i v e r a n d o m v a r i a b l e s w i t h a c o mm o n d is t r i b u t i o n f u n c t i o n丹 . d e n o t e 勿 p x a n d ja y t h e m e a n s o f x a n d y , r e s p e c t i v e l y . t h e g a i n n u m b e r p r o c e s s i n , ( t ) ; t 0 i s a s s u m e d t o b e a p o i s s o n p r o c e s s w i t h p a r a m e t e r 凡， t h a t i s , t h e c o r r e s p o n d i n g g a i n i n t e r - a r r iv a l t i m e s , d e n o t e d b y l ; ; , a r e i . i .d . e x p o n e n t i a ll y d i s t r i b u t e d r a n d o m v a r i a b l e s w i t h p a r a m e t e r a , . b y c o n t r a s t , n 2 ( t ) ; t _ 0 i s a r e n e w a l p r o c e s s w i t h i 1 d . g a i n i n t e r - a r r i v a l 1 . i n t ro d u c t i o n t i m e s l j ; 1 a n d g e n e r a l i z e d e r l a n g ( 2 ) d is t r i b u t e d , i . e . , l ; :=l i t +l ; 2 , w h e r e ; a n d l ;2 反: a r e i n d e p e n d e n t e x p o n e n t ia l r a n d o m v a r i a b l e s w i t h p a - s i n ce a j u x a n d 0 . 5 a 2 1 + y a r e t h e e x p e c t e d a g g r e g a t e g a i n s a s s o c i a t e d 掩标 t h e 及1 r a m e t e r r a n d o m v a r i a b l e s w i t h n 1 a n d场， r e s p e c t i v e l y , t h e p o s i t iv e r e l a t i v e s e c u r i t y l o a d - i n g c o n d i t i o n i m p li e s t h a t 。 _ 0 , t h e l e v e l o f t h e b a r r i e r . wh e n e v e r t h e s u r p l u s e x c e e d s t h e b a r r i e r , t h e e x c e s s i s p a i d o u t i m m e d i a t e l y a s d i v i d e n d . l e t v ( u ; b ) d e n o t e t h e e x p e c t a t i o n t h e b a r r i e r s t r a t e gy w i t h p a r a m e t e r b i s o f t h e d i s c o u n t e d d i v i d e n d s u n t i l r u i n , i f a p p li e d . n o t e t h a t (z.l)(:.z) v ( o ; b ) = 0 , b e c a u s e r u i n i s i m m e d i a t e i f “=o , a n d t h a t v ( u ; b ) = 二 一b + v ( b ; b ) ,。 _ b . we c o n s i d e r t h e c a s e w h e n 0 “ ) 了 p ( w t w=v i ) = p ( wt w=l u ) =e x p ( - a t ) , w h e r e a= 入 1 +耘.i t i s o b v i o u s t h a t t h e t w o c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n s a r e e x p o n e n t i a l w i t h p a r a m e t e r a . u s i n g t h e s e p r o b a b i li t i e s , ( 2 .3 ) c a n b e r e w r i t t e n 日 吕 a e (a + ty i ( 。 一 d ; b )d t 叙 v 扣 ; b ) = j厂jo点 久 i + 了 a ep + 刃 r 1 f6+d 0 v ( 。 一 + 二 ; b ) d f x ( x ) + ix 一 b 一 d+ u +v i ( b ; b ) d f x ( 二 ) d t . ( 2 . 5 ) b y s i m i l a r a r g u m e n t s , ( 2 . 4 ) c a n b e r e w r i t t e n 。 气 v i ( u ; b ) = r、 广 歼 一 a 一 “ + a, t v (f/ 0“ 一 ct + x ;b)d f y (x ) + “x 十 二 一 一 。 十 v (b; b)d f y (x )d t + 了 r 愁r 歼d - u t w o t o 一 “ + a)t j v l(u - d + x ;b )d f x0(二 )+ _ x -n+a -u一 “ + “ + v i ( b ; b )d f x (二 )e at d t. ( 2 . 6 ) l e t s =“一以， t h e n cv (二 ;。) 一 * 2 厂 、 一 (a + 6 )(u - 8 ) v ,(s ;b)ds jo c + * ; 厂 ex p - (a + 8 )(u - 8) 广v (s + x ; b)d f x (x )十 j o c j 。一 j b - 卜 - b - c t + u + v ( b ; b ) d f x ( 二 ) d s . ( 2 .7 ) cvl (u; b)一 、 万 exp 一 (a + b)(u - s)c 厂v (s + x ; b)d fy (x ) + 或 is + 一 。 + 。 (。;。)。 ()。 + 】t e-p - (a + j)(u - 8)0 c 犷 v (s+ x ; b)dfx (x )+ jb-.、 一 、 s+ v l(b; b)df x (x)ds. ( 2 . 8 ) d i ff e r e n t i a t i n g w i t h r e s p e c t t o。 ， w e g e t t h e f o ll o w i n g i n t e g r o - d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s : cv (l)(u;。 一 ，。 (一 。) + 1! fb-ua i j v (u0 + 一 。 。 () + 尤 、 + 一 “ + v (b; b)df x (x)卜 (* + b)v (u ; b)- ( 2 . 9 ) cv (l) (u; b) = a2厂v (u + x; b)d f y (x ) + 双 ， + 一 。+ v (b; b)df y (x ) + a i ij 0 v (u + x ; b ) d f x ( x ) + 么x + “ 一 “ + v (b ; b ) d f x (x ) 一 ( 入 +3 ) v , ( u ; b ) . ( 2 . 1 0 ) i n t h e c a s e o f e x p o n e n t i a l g a i n s , e x p r e s s i o n f o r v ( u ; b ) a n d v i ( u ; b ) c a n b e o b t a i n e d . s u p p o s e d t h a t f x ( x ) a n d f y ( x ) a r e e x p o n e n t i a ll y d i s t r i b u t e d w i t h e q u a l m e a n p . t h e n f x ( x ) is a n e x p o n e n t i a l d is t r i b u t e d w i t h e q u a l m e a n e b a n d f y (二 ) f o ll o w s a n e r la n g d is t ri b u t io n w it h d e n s ity p - 2x e x p - jj - l x . i n ， (2 .9 ) a n d ( 2 . 1 0 ) b e c o m e cv h l(u ; b) 一 、 v i (u ; b) + 兽 1 1 b v 仕 ，。) 、 一 _a l r i v (x , b) ex p - x-u d x 户j u补 + bwjji/ 6 ， 一 “ + v (b; b) exp - x u dx一 (， + b)v (u; b). cv i l(u;。 一 李 义 bh 2f v (x ;b)(一 )二 一 xx- udx+ wp jb 、 一 、 v (b; b)(一 )exp - x - u dx 2 . ba r r i e r s t r a t e g i e s + 李 b v , (x ; b) ex p 一 旱 * 十 厂 x 一 。 + 、 (。; 。) 二 一 二d x 尸 j u尸j b拼 一 ( 入 +s ) v , ( 二 ; b ) . d i ff e r e n t i a t i n g w i t h r e s p e c t t o“ o n ce a g a i n y i e l d s c v (2)(u ; b) 一 a 2v ()(u ; b ) + l - v (u , b) + r 6i v (x , b) 1 ex p - 户 j u拼 男 一 牡 d x r 6 1 x 一 。 + 二 (b ; b) e x p 一 二，d x 一 、 + 6 )v (l) (u ; b ) j u 户拼 一 ，2v () (u ; b) - 普 v (u ; b) + 去 cv () (u ; b) - a2 v i (u ; b)+ ( + b)v (u; b) 一 (a + s ) v ( )( u ; b ) 一 * 2 v () ( u ; b ) 一 a 2- v ( u ; b ) + ( c- 一 a - b )v (1 )( 二 ; b ) + a 2 + 5 v ( u ; b ) . ( 2 .1 1 ) 尹补拼 c v (2) (u ; b ) 一 ( c 一 * 一 。 ) v () ( u ; b ) + a 2 + b v i ( u ; b ) 户a 一 1 2 b v2 (二 ;。) 二 一 x-u d x + f , ix 一 。 + v (b; b ) exp 一 二 dx . 尸j u户j b拼 cv (3)(u ;” 一 _2cp 一 一 。 v (2) (u ; b ) + 孟 ( * : + 2 a 2 + 2 ; 一 c ) 砰 ) (。 ;。 ) 产拼 1 2 + 9 v i (u ; b ) + 1 ; v ( u , b) 厂川 ( 2 . 1 2 ) f u r t h e r m o r e , t h e r e s u l t i n g d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n i s a 5 v i(5 1 (u ; b ) + a 4 v (01 ( u ; b ) + a 3 v ) (u ; b ) + a 2 v 112 , ( u ; b ) + a 1 v (1 ) ( u ; b ) + 扬巧( u ; b ) =0 ( 2 . 1 3 ) wh e r e a o=一( 2 1 2 +a ) a 产 ， 、._ 、_ .2 c , a, = ( a 2 +o ) k z a , +3 a 2 +d o一一 ) 一戈， 井 a 2 = 2 c ( 1 2 + 6 ) + ( 。 一 1 a 一 a ,l) ( 1 , + 3 1 2 + 3 6 一 三 ) ， 补 a 3 = 3 c2 一 c p (4 1 1 + 6 1 2 + 6 b ) + ( 1 r + j a ) 2 r 2 . ba r r i e r 友 =c ,u ( 2 a p + 2 5 ,u 一 3 c ) , t h e r e , t h e b o u n d a ry c o n d i t i o n s a s =c 2 a 2 v ( o ; b ) =0 , v i ( 0 ; b ) =0 , c v (i )( b ; b ) = a 2 v i ( b ; b ) 一 (a 2 + b ) v (b ; b ) + a i m c v ili) (b ; b ) =2 y a 2 + a 2 v ( b ; b ) 一 ( a 2 + b ) v j (b ; b ) + a i1l , c v (2 )( b ; b ) 一 、 2 v ( ) ( b ; b ) 一 a 2 v i (b ; b ) + ( c 一 * 一 ; )v () ( b ; b ) + a 2 + 3 v ( b ; b ) 补拼一拼 ( 2 . 1 4 ) s u r e l y , t h e c h a r a c t e r is t i c e q u a t i o n f o r t h e b e l o w. e q u a t i o n ( 2 . 1 3 ) i s g i v e n a s r s + a 4 r 4 + a 3 r 3 + a 2 r z + a i r + a a = 0 ( 2 .1 5 ) o b v i o u s l y , t h i s f u n c t i o n d o e s n o t h a v e t h e a n a l y t i c s o l u t i o n s , s o ， h a v e t o d o s o m e n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n t o e x p r e s s o u r t a r g e t . chapt er 3 nu me r i c a l c a l c u l a t i o n h e r e w e a s s u m e : a l =1 , 耘 =1 . 5 , 8 =0 . 1 , w=1 , c =2 . w e c a n e a s i l y h a v e a o =- 0 . 3 1 0 0 , a l =2 .2 3 0 0 , a 2 =4 . 1 2 0 0 , a 3 =- 8 . 4 4 0 0 , , 6,=一 1 . 6 0 0 0 , a 5 =4 . f u r t h e r , w e h a v e 5 n u m e ri c a l r o o t s t o t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n . t h e y a r e l i s t e d b e l o w. r , =1 , r 2 =0 . 1 1 9 3 , r 3 =- 0 .4 1 9 3 , 、=1 . 1 0 4 0 , r 5 =- 1 .4 0 4 0 . s o t h e s o l u t i o n t o t h e d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n ( 2 . 1 3 ) i s g i v e n v r ( u ; b ) =c r e u + c 2 e + c 3 e 0 +c 4 e 0 +c s e 5 . ( 3 . 1 ) w h e r e c r , c 2 , c 3 , c 4 , c 5 a r e u n k n o w n p a r a me t e r s . u s i n g ( 2 . 1 2 ) , ( 3 . 1 ) a n d t h e g i v e n d a t a x i =1 , a 2 =1 . 5 , 6 =0 . 1 , a =1 , c = 2 , w e o b t a i n 1 .5 v ( u ; b ) =1 . 3 2 1 0 c 2 e u +2 . 1 2 8 9 c 3 e e + 0 . 1 5 6 0 c 4 e 0 - 3 . 6 0 6 1 c 5 e s 0 . ( 3 . 2 ) a s w h a t w e d i s c u s s e d a b o v e t h e f u n c t i o n v ( u , 句 ， v , ( u , 句w i ll s a t i s f y t h e fi v e b o u n d a ry c o n d i t i o n s g i v e n i n ( 2 . 1 4 ) . n e x t , w e p u t t h e v ( u , b ) , v j ( u , b ) g i v e n i n ( 3 . 1 ) , ( 3 . 2 ) a n d r e l a t i v e d a t a g i v e n a b o v e i n t o t h e c o n d i t i o n s ( 2 . 1 4 ) i n o r d e r t o c o n f i r m c r , c 2 , c 3 , c 4 , c 5 , . h e r e a r e t h e b o u n d a ry c o n d i t i o n s . c , +c 2 +c a +c 4 十c 5 =0 1 .3 2 1 0 汤+2 . 1 2 8 9 c 3 +0 . 1 5 6 0 c 4 一 3 .6 0 6 1 几 =0 4 .5 c 1 e 一 0 . 3 5 7 6 c 2 e b + 1 . 2 5 8 1 c 3 e 4 b + 3 .3 1 1 9 c 4 e 4 b 一 4 . 2 1 2 4 c 5 0 =- 3 ( 3 . 3 ) 1 0 .8 c 1 e . b + 1 . 5 5 2 8 c 2 e l 0 一 4 . 1 0 2 5 c 3 e e b + 1 0 .9 5 6 c 4 e 4 b + 7 . 1 9 4 3 c b e 4 b =1 2 2 6 8 c 2 e 2 b + 3 4 2 c 3 e 3 b + 3 1 c 4 e % b 一 5 1 5 c s e b =0 le t 1 0 4 . 5 e l b 1 0 . 8 e , 6 0 1 1 . 3 2 1 0 -0 .3 5 7 6 e 1 . 5 5 2 8 e 2 b 2 6 8 e 2 b 1 2 . 1 2 8 9 1 忍 5 8 1 e 9 b - 4 . 1 0 2 5 e 3 b 3 4 2 e e b 1 0 . 1 5 6 0 3 . 3 1 1 9 e 4 b 1 0 . 9 5 6 0 e 4 b 3 1 e 4 b 1 -3 . 6 0 6 1 - 4 .2 1 2 4 e b 7 . 1 9 4 3 , 4 b - 5 1 5 eb 9 . nu me ric a l c a l c u l a t i o n 、.声产、.，/ 00-3120ci场cac几 /了.1.eseseseses、2.龟、 b = c fo m c=a - 1 x b , w e h a v e c o n fi r m t h e c , , c z , c 3 , c 4 , c 6 . t h e n w e o b t a i n t h e r e t u r n f u n c t i o n v ( u , b ) . chapte r 4 i n t r o d u c t i o n ( i i ) s e c t i o n 4 . 1 d u a l mo d e l p e r t u r b e d妙 d i ff u s i o n t h e p u r p o s e o f t h e f o ll o w i n g c h a p t e r s a r e t o t h e p r o b l e m o f a d u a l m o d e l t h a t i s p e rt u r b e d 勿d i f f u s i o n . w e s h a ll e x t e n d t h e d u a l m o d e l 妙 a d d in g a d i f f u s i o n w h e r e t h e s u r p l u s o r e q u i t y o f t h e c o m p a n y i s o f t h e f o r m u ( t ) =。 一d+s ( t ) + a b 。 ) ，t _0 . ( 4 . 1 ) h e r e b ( t ) i s a b r o w n i a n m o t i o n w i t h i n fi n i t e s i m a l d r i f t 0 a n d v a r i a n ce 2 d0 , t h u s f o r a n y t 0 t h e r a n d o m v a r i a b l e b ( 幻is : t r ib u t e d . r t r t h e r m o r e , w e a s s u m e t h a t t h e p r o c e s s e s s ( t ) a n d b ( t ) d e n t . t h e r e l a t i v e s e c u r i t y l o a d i n g c o n d i t i o n i s ， 一 e s (1) + a b (1)卜 一 ， 厂 二 (， )、 一0 . ( 4 .2 ) s e c t i o n 4 . 2 b a r r i e r s t r a t e g i e s i t i s a s s u m e d t h a t d iv i d e n d s a r e p a id a c c o r d i n g t o a b a r r i e r s t r a t e g y . s u c h a s t r a t e g y h a s a p a r a m e t e r b _ 0 , t h e l e v e l o f t h e b a r r i e r . wh e n e v e r t h e s u r p l u s e x c e e d s t h e b a r r i e r , t h e e x c e s s i s p a i d o u t i m m e d i a t e l y a s d i v i d e n d . l e t v ( u ; b ) d e n o t e t h e e x p e c t a t i o n o f t h e d i s c o u n t e d d i v i d e n d s u n t i l 二 ， i f t h e b a r r i e r s t r a t e gy w i t h p a r a m e t e r b i s a p p l i e d . n o t e t h a t v ( o ; b ) =0 , ( 4 . 3 ) b e c a u s e r u i n i s i m m e d i a t e i f u =o , a n d t h a t v ( u ; b ) =。 一b + v ( b ; b ) ,。 _ b . ( 4 .4 ) f o r 0 0 . b y c o n d i t i o n in g o n t h e t i m e t a n d d a m o u n t y o f t h e fi r s t j u mp b e f o r e -r w e s e e t h a t v ( u ; b ) 二 ( 1 一 a t )e v (。 一 + o b t ; b ) + *厂 一 u+a+ )1t f v0 (一 + 、 + ，;。)，(，)、 一 + ” 二 _。u -u“ + 。 + ， 一 ” + + v (b; b)p (y )、 一 ( 4 . 6 ) n o w d i ff e r e n t i a t e t h i s e q u a t i o n w i t h r es p e c t t o t a n d t h e n s e t =0 . t h e r e s u l t i n g e q u a t io n y i e l d s . r e w r i t e 仕 5 ) 、f o ll o w s : - 2 v (z)(u ;b)+ cv tl)(u ;b)+ (* + 6)v (u;。 一 ， 厂 v (x; b)p(x )dx 一 ， 双 ， 一 p (y )1、 一 v (b; b)， 一 p (b - u)，一 0. chapter 5 e x p o n e n t i a l j u mp d i s t r i b u t i o n s i n t h i s s e c t i o n w e d i s c u s s h o w v ( u ; b ) c a n b e c a l c u l a t e d w h e n p ( y ) h a s a p a r t i c u l a r f o r m . i n t h e ， w h e r e 域 功=加- 6 y，0 ， 七 h e i n t e g r o - d i ff e r e n t i al e q u a t i o n ( 4 . 5 ) b e c o m e s a 2 _ _ _ 1， 、 _ . _ _ _。 f - t v (u ; b ) + 6v t (u ; b ) + ( + 6 ) v ( u ; b ) 一 a # e - 丈v ( x ; b ) e 0 x d x - a- e p - 6 (b ) 一 a v ( b ; b ) e 6 () = 0 . (5 .1 ) b y a p p ly i n g th e o p e r a t o r (