（理论物理专业论文）平均场加邻近轨道对力模型的角动量投影及对1820ne的描述.pdf

1斜铲 学位论文独创性声明 堋l i l i l l i i 舢1 | 1 l i l l i i l l l l 幽 y 1 8 9 0 2 6 6 学位论文作者签名：一 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：指导教师虢遂塾 签名日期： 列1年酊月知日 1 啊 ，_ 平均场加邻近轨道对力模型的角动量投影及对1 8 , 2 0 n e 的描述 研究生：谭奇指导教师：潘峰 学科专业：理论物理研究方向：量子多体理论与核物理 摘要n i l s s o n 平均场加邻近轨道对力模型是一种能有效描述形变核性质的结构模型 但是，由于形变而使该模型中核体系的角动量不是守恒量，在研究激发能谱时，就需 要采用角动量投影来恢复系统的角动量本文应用角动量投影方法对部分同位素 进行了激发能谱计算对相应核实验数据的拟合和角动量投影的计算结果显示，该模 型的计算结果与实验符合较好，并同时检验了所编制角动量投影程序的可行性该程 序为今后对形变核的应用提供了有意义的准备 关键词：n i l s s o n 平均场；邻近轨道相互作用；角动量投影；能谱 1 叫 0 a n g u l a rm o m e n t u mp r o j e c t i o nf o rt h en i l s s o n m e a n - f i e l dp l u sn e a r e s t o r b i tp a i r i n gm o d e la n d i t sa p p l i c a t i o nf o rt h ed e s c r i p t i o no f1 8 , 2 0 n e c a n d i d a t e ：t a nq i s p e c i a l i t y ：t h e o r e t i c a lp h y s i c s s u p e r v i s o r ：p r o f p a nf e n g a b s t r a c t ：t l l en i l s s o nm e a n f i e l dp l u sn e a r e s t - o r b i tp a i r i n gm o d e li sa ne f f e c t i v em o d e lf o rt h e d e s c r i p t i o no fd e f o r m e dn u c l e i h o w e v e r ，t h ea n g u l a rm o m e n t u mi sn o tac o n s e r v e dq u a n t i t yi nt h e m o d e ld u et ot h ei n t r i n s i cd e f o r m a t i o n c o n s e q u e n t l y , a n g u l a rm o m e n t u mp r o j e c t i o ni sn e c e s s a r y f o rp r o j e c t i n gt h em o d e ls p a c ei n t oap h y s i c a ls u b s p a c ew i t hd e f i n i t ea n g u l a rm o m e n t u m i nt h i s t h e s i s ，t h ea n g u l a rm o m e n t u mp r o j e c t i o nm e t h o di su s e dt oc o m p u t et h ee n e r g ys p e c t r ao fs e v e r a ln e i s o t o p e s i ti ss h o w nt h a tt h er e s u l t sa r ew e l lr e p r o d u c e da c c o r d i n gt ot h ec o r r e s p o n d i n ge x p e r i m e n t a l d a t a i ti sd e m o n s t r a t e dt h a tt h ec o d ed e s i g n e df o rt h ea n g u l a rm o m e n t u mp r o j e c t i o ni sq u i t ef e a s i b l e o u rr e s u l t ss h o u l db eu s e f u lf o rt h ea p p l i c a t i o no ft h em o d e lt oo t h e rd e f o r m e dn u c l e i k e yw o r d s ：t h en i l s s o nm e a n - f i e l d ； n e a r e s v o r b i tp a i r i n gi n t e r a c t i o n ； a n g u l a rm o m e n t u m p r o j e c t i o n ；e n e r g ys p e c t r u m q 目录 第一章引言 1 i 核结构模型与平均场理论一 1 2 关于对力 1 3 投影方法简述 1 4 本文目的 第二章理论模型 2 1n i s s o n 平均场加邻近轨道对力模型 2 2 模型的角动量投影方法 第三章数据计算 3 1 理论模型数据拟合 3 2 角动量投影的计算 第四章结论与展望 参考文献 i 5 5 7 1 3 1 3 1 5 1 8 1 9 第一章引言 1 1 核结构模型与平均场理论 探索物质的微观结构是自然科学的一项基本任务原子核作为物质结构的一个重 要层次，上承经典物理，下启量子力学，与原子物理一道成为联系宏观世界与微观世 界的桥梁1 9 1 1 年，卢瑟福用著名的的“o 【粒子散射”轰开了原子核物理学的大门虽 然在此之前，在贝克勒尔，居里夫妇等诸多科学家的努力下，人们对天然放射性已经 有了一定程度的认识，但直到卢瑟福才真正给出“原子核的概念并同时发现质子随 后，查德威克于1 9 3 2 年发现中子，紧接着海森堡等人立即提出原子核中除了质子和中 子外不再含有其它成分至此，核物理学的框架基本形成，对原子核内部结构的研究 也被提上日程时至今日，核结构仍然作为核物理学的一个重要分支受到理论物理学 界的广泛关注 由质子和中子( 即核子) 组成的原子核是一个复杂的量子多体系统，解决多体问题 的困难在于不可能像两体问题那样精确求解而且在核多体系统中，粒子的数目又不 像微观热力学系统那样多，因而统计物理的办法也不适用所以，建立各式各样的唯 象或半唯象理论模型用以近似描述原子核的性质及其内部构造就存在其必然性自上 世纪3 0 年代以来，多种核结构模型被先后提出，它们能够对原子核的部分基本性质给 出令人满意的结果，并为人们进一步深入探究物质结构提供了宝贵的经验和有力的手 段在核物理学发展史上，曾经产生过深远影响的结构模型主要有以下几类：费米气 体模型，玻尔液滴模型，壳模型( 1 9 6 3 年诺贝尔奖) ，集体模型( 1 9 7 5 年诺贝尔奖) ，相互作 用玻色子模型( i b m ) 等虽然这些模型的侧重点各不相同，甚至在基本思想上相互矛 盾，却都以各自不同的方式给出了一些令人信服的结果例如，液滴模型在推算原子 核质量，解释核裂变机制方面非常成功；集体模型则在对原子核电磁性质以及转动惯 量的计算上显得异常准确，等等但是，由于原子核内部结构的复杂性，要想建立一 种统一的物理模型用于描述原子核的全部性质及内部核子的运动状态是非常困难的， 这也正是今后核物理学发展的重要方向 在所有已建立的原子核结构模型中，一般认为，由迈耶和詹森于1 9 4 9 年分别独 立提出的壳层模型是其中最成功的一例，他们两人也因此获得1 9 6 3 年的诺贝尔物理学 奖壳模型是一种完全用量子力学方法来处理( 这也是标准壳模型的最大优势) 的微观 自洽模型，它的提出是基于对- 幻数的解释幻数的发现使人们联想到，同样作为 费米子的核子是否也具有像电子那样的壳层结构呢但原子核的内部空间毕竟不同于 核外电子的运动空间，最主要的差别在于，核内没有一个提供中心势场的核心为了 解决该问题，平均场的概念便应运而生 平均场理论是量子多体理论的零级近似，是进一步近似的出发点，也是最重要和 最流行的量子多体理论的基础【其基本思想为，将任意一个核子所受到其它所有核 l 平均场加邻近轨道对力模型的角动量投影及对1 8 ，2 0 n e 的描述 子的相互作用势迭加起来，用一个单体平均势代替，称之为平均场，并认为所有核子 都在这个平均场的作用下做独立运动一般认为，只要单体势选择恰当，平均场没有 包含的相互作用( 即剩余相互作用) 就可当做微扰处理原则上，平均场需要根据两体 核力的h a r t r e e - f o c k ( h f ) 自洽场方法建立但是，由于此方法比较复杂，许多计算都直 接采用一些唯象势场作为哈密顿量的平均场部分，例如球形壳模型平均场，n i l s s o n 形 变平均场，相对论平均场等这样，人们就可应用平均场理论，通过壳模型来了解原 子核的性质平均场理论的引入使得壳模型在诸多方面取得了重大突破它不仅成功 解决了困扰人们已久的幻数问题，还相当好地解释了大多数原子核的基态自旋和宇称 f 剖但是正如前面所述，壳模型也有其局限性，它也只是核结构模型中的一种，可能相 比之下足够优秀，但同样不够完美它的缺点之一就是对计算结果缺乏清晰的物理认 识，尤其是对价核子较多的系统更是如此对于价核子较多的核，即便借助大型计算 机也不能从如此庞杂的输出数据中挖掘出简约的物理内涵。再如，壳模型对电四极矩 和能级间跃迁速率的计算也与实验结果相差很大此外，由于壳模型仅仅考虑了单个 核子在平均场中的独立运动，而未考虑价核子间的关联和原子核整体的运动【3 | 使得 模型在理论层面就欠缺完整性因此，必须寻求能够描述价核子间关联的恰当剩余相 互作用，并以此作为平均场理论的进一步修正，这种剩余相互作用正是核力在原子核 层次的某种表现 1 2 关于对力 五十年代以后，人们从实验中发现原子核在一系列性质上都表现出明显的奇偶差 异，主要有原子核质量及丰度奇偶差；能谱的奇偶差与能隙；转动惯量的奇偶差等f 4 1 奇偶差的存在说明偶偶核要比奇a 核和奇奇核稳定得多，这是由于核子间的短程吸引 所致，它属于核力的一部分，是除平均场之外的剩余相互作用中的重要部分，通常被 称为对关联或对力 对力的概念最早出现在超导领域在超导理论中为了解决电子之间的短程相互作 用而提出一种简化的相互作用力【5 1 这种相互作用仅对两粒子配对态产生影响，对其 它状态没有贡献，即谓之对力随后，根据玻尔，莫特尔松，派因斯等人的建议【6 1 ，对 力被推广到核结构领域中 将对力作为剩余相互作用引入到平均场中以后，必然会遇到求解对力哈密顿量的 问题一直以来，多数平均场加对力模型哈密顿量的对角化都采取b c s 理论或者h f b 方法来处理，实际上二者是等价的，再结合无规相近似( r p a ) 做进一步修正b c s 方 法的优点是，在概念上和计算上都比较简单，并在处理金属超导性等一系列问题时取 得了显著的成效，也在一定程度上地解释了原子核的部分性质但是，原子核毕竟只 是一个有限粒子体系核子，特别是价核子的数目要远小于微观热力学系统中的粒子 数，所以在应用上述理论处理核多体系统时就存在难以逾越的困难比如，粒子数不 守恒而产生多余的伪态，波函数的不正交，不容易处理量子阻塞效应等此外，人们 2 平均场加邻近轨道对力模型的角动量投影及对埔，2 0 n e 的描述 还发现若用b c s 理论来处理核子间的对关联，难以说明下列实验事实。原子核转动惯 量奇偶差的大幅涨落；转动惯量的相加性不再成立如果利用粒子数投影方法予以纠 正，会使计算更加复杂，而且对于对力高激发谱的修正效果也不显著近年来，比波 戈留波夫变换更好的办法得到了很好的发展，这些方法都能克服b c s 粒子数不守恒的 缺陷但是，应用这些方法进行计算时要用到组态能量或空间基底截断技术，因此其 结果仍然是近似的【7 _ 1 0 1 平均场加对力模型的严格解最早是从等强度对力模型波函数和激发能的解析解 研究开始的 1 1 - 1 3 将此推广至求解更一般的依赖轨道的对力模型的方法和结果也已完 成 1 4 - - 1 6 1 这些工作都利用了贝特假定，需要通过求解一组非线性方程来确定激发态和 相应的波函数但是当原子核的轨道数和价核子对数很大时，求解过程就变得相当困 难，而大形变核系统的轨道数和价核子对数都很大因此，该方法并不适用于大形变 核体系 针对大形变核的计算问题，文献 17 】给出了一种平均场加邻近轨道相互作用模 型该模型只考虑邻近轨道价核子对的相互作用，忽略非邻近轨道间的相互作用，避 免了求解高维非线性方程组的过程，并能利用代数方法得到严格解文献【1 8 】又给出 了上述对力模型的推广形式，保留了原来的两体对力部分，引入了所有轨道间多对价 核子同时发生对相互作用的高阶项修正其最大特点是，这种推广的对力模型仍能严 格求解，而且求解过程比仅包含两体对力的模型还要简单以上两种模型很好地解决 了大形变核的计算问题然而，由于模型中的角动量不再守恒，仅角动量三分量是守 恒量，所以只能计算基态能量或各激发能带的带头因此，采用恰当方法恢复此类模 型的角动量是非常必要的本文所采用的是角动量投影算符方法 1 3 投影方法简述 理论上，标准壳模型( 即球形壳模型) 无疑是原子核结构领域中一个非常重要，也 非常基本的模型，该模型利用球形单粒子基底进行相关计算但是，由于大多数原子核 都存在不同程度形变，所以用形变壳模型描述形变核更为简便直观但形变基底的采 用将导致系统的角动量不再守恒而需要通过某种方法恢复系统的转动不变性因此， 角动量投影技术在形变模型中的地位就凸显出来 在壳模型的发展进程中，人们曾尝试过许多投影技术为了解决b c s 理论中的粒 子数不守恒的问题就曾采用粒子数投影的方法通过投影，可以把b c s 波函数中粒子 数恰好等于原子核实际核子数的部分挑选出来并进行归一化处理多年来在粒子数投 影的研究中还提出了其它类似的方法比如，当遇到对称性破缺严重的大形变核时， 人们通常采用近似投影方法除此之外，完全建立在量子力学基础上角动量投影也是 一种实用且有效办法应用这种方法将形变本征态投影到好的角动量态上，得到合适 的壳模型基底角动量投影技术不仅可使壳模型计算以有效的途径进行，而且能将核 3 平均场加邻近轨道对力模型的角动量投影及对- 8 ，2 0 n e 的描述 多体问题的处理过程大大简化 角动量投影壳模型( p s m ) 是一种应用广泛的原子核结构模型，可以用来很好地描 述形变核的性质它的基本思想是，利用形变平均场( 例如n i l s s o n 形变平均场) 的本征 矢做为模型基底，然后用投影方法恢复其对称性，再用投影后的态矢构建模型空间 由于该方法从平均场出发，从而保留了平均场的所有优点，并且又因为组态混合而优 于标准壳模型，从而成为联系形变壳模型和球形壳模型的桥梁另外，这种方法对组 态空间的截断也非常有效本文所用到的方法与p s m 所采用的方法在目标和手段上是 一致的，即都是采用n i l s s o n 平均场，并且都加入角动量投影不同点在于，p s m 是将 b c s 理论作为对相互作用计算的结果部分，而在本文中模型对邻近轨道对力的处理是 严格的前者存在粒子数不守恒的问题，而后者的粒子数是守恒的 1 4 本文目的 本文在文献【1 7 】所提出的严格可解的n i l s s o n 平均场加邻近轨道对力模型的基础上 引入角动量投影方法来恢复系统已破缺的转动不变性，使角动量量子数重新成为好量 子数，从而进一步完善和修正n i l s s o n 平均场加邻近轨道对力模型将角动量投影后的 模型应用于对”n e 和2 0 n e 能谱的描述，同时验证角动量投影程序的可行性 全文安排如下，第二章介绍理论模型，阐明n i l s s o n 平均场加邻近轨道对力模型， 并在此基础上介绍模型的角动量投影方法；第三章为数据计算与数理；第四章为结论 与展望 4 第二章理论模型 2 1n i l s s o n 平均场加邻近轨道对力模型 早期的壳模型对满壳附近的球形核或者形变不太大的核的描述较为成功，但对大 形变核就显得无能为力为了计算大形变核，人们在原有理论的基础上进一步发展并 推广了壳模型本文所采用的平均场加邻近轨道相互作用对力模型就是其中之一它 可利用简单快速的代数方法对角化【该模型采用n i l s s o n 形变势作为平均场部分，它 是在球形壳模型的基础上加入四极四极相互作用并作场近似后得到的，模型的剩余 相互作用部分就是价核子间的短程对关联修正，即对力相互作用 对大形变核可引入一种依赖轨道的高斯型对力【- 9 l 作为剩余相互作用 g 。口= a e 一口( 5 a 一。口) 2( 2 1 ) 其中e 。和印分别表示n i l s s o n 形变壳模型中计算得到的a 和轨道的价核子能量， a 0 为对力参数当能级靠得较近时，轨道间对力作用较强，随着两轨道间 能量差的逐渐增大，对力强度会迅速减弱作为进一步近似，可以将这种相互作用简 化为邻近轨道作用，即仅考虑相同轨道和最邻近轨道间的对力其它情况下，由于对 力强度足够小而可忽略这样，在区分质子和中子的情况下模型的哈密顿量可写作 2 0 l 宫= 宜”+ 古”= e + t 0 6 ：( p ) ( p ) 】 ( 2 2 ) 一。- - 一- 一一 j 。 pi 其中等式右端方括号内的的第一项求和的对象是被单个价核子所占据轨道的单粒子能 量，p = 丌或p ，丌代表质子，y 代表中子，第二项带撇的求和则指，求和不包括第一项 中被单个价核子所占据的轨道( 2 2 ) 式中的 吃= ( 2 e i p + g ： ) + g p j ( 5 j i + l + 妨i 1 ) ， ( 2 3 ) 玩( 力= a i t ( p ) a t t ( p ) ，b d p ) = 口i ( p ) 口t ( p ) ， ( 2 4 ) 其中g 巧由( 2 1 ) 式给出，b i t ( p ) ，b i ( p ) 均为相应的对算符，a i t ( p ) 表示第i 轨道中价核子 的产生算符，a i t ( p ) 为其相应的时间反演算符；同理眦( 力表示第i 轨道中价核子的湮 灭算符，嵋( p ) 为相应的时间反演算符b i t ( p ) 和b i ( p ) 满足如下广义形变玻色子代数 慨( p ) ，b j ( p ) 】= 妨( 1 2 n i ( p ) ) ， m ( p ) ，b j ( 酬= 如b j ( 力， 【t ( p ) ，b a p ) 】= 一b j ( p ) ，( 2 5 ) 其中札( p ) = _ 、1 。t ( 力口i ( 力+ n ；i t ( 户) 叼( 力) ，对偶偶核系统，n i ( p ) ( n i ( p ) ) 是第i 轨道的价核子 对算符根据泡利原理，每条轨道上只能容纳一对价核子，此时价核子对可被等价地 5 平均场加邻近轨道对力模型的角动量投影及对1 8 ，2 0 n e 的描述 当作玻色子处理，但是组态空间和哈密顿量都需要被投影到无轨道被双对占有的子空 间内【堋 弘对激发时，即系统有p ( 丌) 个质子对和p ( t ，) 个中子对时， ( 2 2 ) 式的本征态可表 为( 由于没有相互作用项，可以成质子部分和中子部分两态乘积) i 七f ) = i p ( 7 r ) + 卢( p ) ；f ( 7 r ) ，f ( ) ；扎，n ；) = i p ( 7 r ) ；f ( 7 r ) ；n ) l 卢( ) ；f ( ) ；扎7 ) 其中k 为总粒子数， i p ( 霄) ；( 丌) ；礼7 ) =c 恕6 撕) 6 t 。( 丌) 6 ( 丌) 嗽n ) ， “ 幻 i p ( - ) i p ( ) ；f ( p ) ；n ) = ，c 裂t ：。，6 j l ( ) 6 1 2 ( ) 吃。，) ( ) i 蟛；n ) ( 2 6 ) i i 铲 ：，) ( 2 6 ) 中扎7 = ，啄，矗表示被r 个价质子占据的轨道，佗 就是占居这些轨道的价质子 总数；同样地，n ；= ，吆，其中站表示被r 7 个价中子占据的轨道，n 7 为占居这些 轨道的价中子总数而峭；佗7 ) 为无核子对的态，满足 k ( p ) i n ；礼) = 0 ， ( 2 7 ) 其中i = 1 ，2 ，( p ) ，p 可以是丌或p 此处，n ( p ) 表示所研究的主壳层内的轨道总 数( 2 6 ) 式中的咄_ 。由如下行列式给出 毋力鲳川鲤9 9 2 力夕2 刀9 2 9 9 晕9 9 2 川9 2 p ( 2 8 ) 其中( p ) 是附加量子数，当价核子数相同时，可以用它来区分不同的本征态扣( 户) 是 划去那些被单个价核子占居的轨道后的护矩阵的第p 个本征矢，将该矩阵记为护以 区别于原来的护矩阵如果价核子在某一主壳层共有n ( p ) 条单粒子轨道，则原来的 护是n ( p ) xn ( p ) 矩阵，而新的扣是划掉相应的r 行和r 列后的( n ( p ) 一r ) ( n i p ) 一r ) 矩 阵，这正是泡利阻塞效应的必然结果 与( 2 6 ) 式相应的对激发能可表为 “l 霄j肛t p ， 磷：m ( 。) - 勺”+ e 白( 7 r ) + 勺”+ e ( g ，) ( ) ， ( 2 9 ) ji = 1j j k l 其中等式右边的第一和三项是对奇a 核或拆对时的单个价核子所占居的轨道求和，第 二和四项表示划去被单个价核子占据的轨道后t v i p ) 矩阵的p ( p ) 个不同本征值之和， e ( ( ”) ，) 是扣矩阵的第p 个本征值，e ( ( v ) ，) 是护矩阵的第p 1 个本征值，即 6 平均场加邻近轨道对力模型的角动量投影及对1 8 ，2 0 n e 的描述 t 备i j g j “帕，= e 代_ b 一k ， j ft 。v 1 【, i , g i ，f ( ”) ，= e ( f ( ”) 一玑，( ”) p ( 2 1 0 ) j 从而，求解( 2 2 ) 式的本征值问题就可以转化为相应的护矩阵的对角化问题，从而大大 的简化了计算 文献【2 1 1 中指出，为利用平均场加对力模型来计算核的结合能，( 2 2 ) 式中的单粒 子能量s p f 可以改写为考= s ：；p ) 一e 妒一e ( 刃，其中3 口是核子所在壳无形变也无价核子时 对应的能量，e ( 一) 是所在壳单价核子的平均结合能用考代替( 2 2 ) 式中的e 1 5 p 后计 算出的结合能是以相应的双幻数核的结合能作为能量参考点得到的相对结合能若要 求出该核结合能的值还需加上相应双幻数核的结合能一般地，平均结合能( p ) 随着 价核子对数的变化而变化，但之前的计算结果显示，在大形变区域对于给定的壳层， 将平均结合能e ( 一) 取为常数是很好的近似手段可以证明，按照这种方法计算出的奇 偶能差与e ( p ) 是无关的因此通过( 2 9 ) 式计算出的基态能量再加上相应的双幻核结合 能后就可以得到该核的结合能 2 2 模型的角动量投影方法 本文所要描述的核为：s n e 和2 0 n e ，其中- s n e 为中子满壳结构，而2 0 n e 的质子和中 子均不满壳，因此对两者的处理有所不同对璩n e 能谱的计算相对简单，而对于2 0 n e ， 由于需要考虑不同类核子间的角动量耦合，会使计算变得复杂，同时增加了程序化难 度正因如此，使得对2 0 n e 的研究更具一般性对z o n e 进行描述时，为简化计算，在 编程时需要将质子和中子的投影算符矩阵分别处理，从而实现n i l s s o n 平均场加区分质 子中子的邻近轨道对力模型的角动量投影 模型的哈密顿量及本征态分别为 疗= 加+ 伊= 【 + t 0 6 ：( p ) ( 户) 】， ( 2 1 1 ) p i i 惫 ) = i p ( 7 r ) 4 - p ( 1 ，) ；f ( 7 r ) ，毒( ) ；n 7 ，札；) = i p ( 7 r ) ；( 丌) ；n ) i 肛( p ) ；f ( ) ；n ；) ( 2 1 2 ) 因为i 后f ) 是正交完备的，以此为基底可表示任意具有确定角动量为j ，三分量为k 的 角动量本征态i r j k ) ，其中r 是附加量子数，即 v j k ) = ( 磁l 下，k ) = g ；麒 f 为了确定展开系数畦肌，引入角动量投影算符 2 2 1 7 平均场加邻近轨道对力模型的角动量投影及对1 8 2 0 n e 的描述 其中 碟= 等d a s i nf l d j 3 d y d z 小删沙心矾一六，( 2 1 4 啪属萨莩学k ) k 卜州2 m 那伪蛾e = e 一。k e 一竹k d 玉k ( p ) 投影算符砭满足砭艰= 磁对于正交完备态，可以证明 碟j r j k ) = i r j k ) 将碟作用在( 2 1 3 ) 上，由( 2 1 6 ) 式我们得到 上式左乘( 蚓i ，得 v j k ) = 州碟 e ( 删下j k ) = 鳝麒( 删砭 f 即得到了关于9 ；j k 的线性方程 k = 鳕麒( 惫f 7 i 以 f 由于j r j k ) 也是正交完备的，所以鳝j 满足归一化条件 鳕j k 9 一k = b ，d ，如肌 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 求解本征值方程( 2 1 9 ) 就可得到相应的展开系数鳝心因此，确定矩阵元( 矗i 砭嗽) 就 成为主要问题为了简便，通常我们取k = ，因为眦) 包含质子和中子两部分，由( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 可得 ( 七f ，i p j l k f ) ：塾岩：”8 i n , o d f l d ；j ( 踯卢l 吣( 2 2 1 口) j 0 因为恢) = 妒p ) l k ”) ，上式可写为 ( 惫v f v i k ”一硝妒，) l k v v ) ；下2 j + 1f ”s i n # d 卢d j j ( 卢) ( 后v i ( k ”一e 调五妒f ”) l k ”n ( 2 2 1 b ) ，0 8 对于一般情况，( 2 1 2 ) 式可写成 k ) = i i t 2 “ i p ，t l t 2 t p 醒1 y 2 乱c 髫“，6 t 。( 丌) 6 t 2 ( 丌) 吃( 丌) 。t p + 。( 仃) 。0 + 。( 丌) 叱+ ，( 丌) b l ( p ) 屹( ) 也( ) b l + 。( ) 口k ( p ) 也+ ，( 圳o ) ， ( 2 2 2 ) 其中l i 为配对粒子对数，p 为未配对单粒子数，忌是总粒子数，上式可进一步写成单 粒子产生算符形式 七) = i t 2 缸，t l t 2 缸 。口! 。( 仃) 西，( ，r ) 口0 ( 丌) 吐( 丌) 。毛+ 。( 丌) 。毛+ 。( 丌) 口t p + ，( 丌) 口i 。( p ) n 。( ) n 0 ( ) n 毛( ) n i p + 。( p ) 。t + 。( 。! ，+ ，( ) i o ) ， ( 2 2 3 ) 其中砖和口 分别为。! 和口：的时间反演算符，将此形变壳模型产生算符展开为球形壳 模型产生算符，即 口k ( 丌) = 峨砒口t 呦憾k ( 丌) _ l d ：k = j ： 日麓。：口k z l ，k ：( 功， ( 2 2 4 ) 其中a 沁训。和赡z 分别为质子和中子的形变算符的球形展开系数通过计算整理最 后可确定矩阵元( 知7 i 硝眦) ， 似怖沪莩卜眦x 弘郇 ：，释釉抓邑，啭：黝n l l x j x n 也a a 岛1 1 1 j 。a 蜘。a 枷。a l 。 a j n 2 ，- l l 。，一。a ，伽a 戈嚣。l 。，+ 。如，+ 。n a i 2 + ，2 + 。l 。，+ 咖，+ 。a $ 肌1 1 - t - “j p - t ： t ： t ： 嗽 t l t 2 = 谨。；舯加j k ) = n j k ) ( 7 7 j k l f 下j k ) ， ( 2 3 1 ) f1 r ， 而( 2 3 0 ) 式等式右边为 曰j 叩j k ) = e k o 孙7 j k ) r ， 由( 2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) ，最终得到本征方程 o 耵j k l f - i l r j k ) = e j k a 一， 其中的矩阵元( 丁，j k i h i v j k ) 可插入投影前形变模型的完备基表为 ( 7 ，j k i h i + j k ) = ( 7 i j k l k f ) ( k 5 怕七f i 7 j k ) f f = 鳕。肌9 5 麒影， e 其中鳝，k 可由( 2 1 9 ) 式得到，彤为模型投影前在该模型下的能量本征值 及( 2 3 4 ) 就确定了角动量恢复后系统的能量本征值及本征态 1 2 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 第三章数据计算 3 1 理论模型数据拟合 本文的角动量投影方法建立在n i l s s o n 平均场加邻近轨道对力模型的基础之上因 此，首先需要对所选核素链( n e ) 的实验结果利用理论模型进行拟合拟合量为结合能 与奇偶能差在区分质子中子的情况下，利用n i l s s o n 平均场计算出各个轨道的单粒子 能量作为近似，仅考虑满壳层外价质子或价中子所占居的主壳层包含所有的单粒子 能级的情况，不考虑跨壳层激发由于质子与中子之间的四极一四极相互作用部分的 贡献不大，利用n i l s s o n 平均场加对力模型是可以接受的 奇偶能差的定义为 p ( a ) = e b ( a + 1 ) + e b ( a 一1 ) 一2 e b ( a ) ( 3 1 ) 其中e b ( a ) 为质量数是a 的核素的结合能 计算结果显示，对所选取的n e 的同位素链，在区分质子中子的情况下，结合能 的均方差为矿= 0 0 0 3 9 5 m e v ，1 8 2 3 n e 结合能和奇偶能差的拟合结果见表3 1 和图3 1 ，图 3 2 表3 1 ，图3 1 和图3 2 的结果显示，结合能与奇偶能差的拟合结果与实验结果符合 的很好 表3 1 理论模型对1 8 2 3 n e 结合能与奇偶能差的拟合结果( 单位为m e v ) 1 3 平均场加邻近轨道对力模型的角动量投影及对1 8 , 2 0 n e 的描述 图3 11 8 2 3 n e 结合能( m e v ) 的理论值与实验值，三角为理论值，实心点为实验值 a一c a i 图3 21 8 2 3 n e 奇偶能差( m e v ) 的理论值与实验值，三角为理论值，实心点为实验值 1 4 平均场加邻近轨道对力模型的角动量投影及对1 8 , 2 0 n e 的描述 3 2角动量投影的计算 与f o r t r a n ，c 等程序语言所编写的程序不同，本文所使用的角动量投影程序是基 于m a t h e m a t i c a 编辑的m a t h e m a t i c a 的优越性在于，可大大提高计算结果的精确度 但是，由于m a t h e m a t i c a 的运算效率与f o r t r a n 存在差距，加之经验不足等原因，使得 该程序目前只能对较轻的核进行计算( 即价核子对数小于等于3 ，并且满壳外轨道数相 对较小的情况) ：如何改进程序使其能应用于大形变核是今后需要努力的方向 本文在计算中所选取的核为质量较轻的n e 同位素中的偶偶核成员( 满壳外轨道 数为6 ) 从数据拟合到投影计算，在理论允许的范围内，为了最大限度地提高程序运 算速度，我们进行了多次的近似处理，以致计算结果与实验数据存在一定的偏差需 要强调的是，本文的主要目的之一在于检验m a t h e m a t i c a 投影程序的可行性，相信在 程序得到更好的完善后，中重核的计算结果将会与实验符合得更好 最后需要说明一点，经过角动量投影计算后的激发态中，除o + 态外均为内禀坐 标下的本征态理论上，应存在一个由内禀坐标到实验室坐标的坐标变换，从而得到 实验室坐标中的相应激发态的表式但是，相应的坐标变换尚未完成，因此未能在该 模型框架下对核的电磁性质进行研究表3 2 和图3 3 给出了偶偶核- s n e 正宇称能级的 计算结果，表3 3 和图3 4 给出了z o n e 正宇称能级的计算结果 表3 2 对1 8 n e 正宇称低激发态能级( m e v ) 的计算结果及与实验值比较 1 5 平均场加邻近轨道对力模型的角动量投影及对1 8 2 0 n e 的描述 0 2 图3 3 对1 8 n e 正宇称低激发态能级( m e v ) 的计算结果及与实验值比较 表3 3 对2 0 n e 正宇称低激发态能级( m e v ) 的计算结果及与实验值比较 o + 2 + 4 + o + 0 + 2 + 2 + 0 + 6 + 2 + 4 + 2 + 2 + 3 + 1 + 0 0 0 0 1 6 3 3 4 2 4 7 6 7 2 5 7 1 9 1 7 4 2 2 7 8 3 3 8 7 0 0 8 7 7 8 9 0 0 0 9 0 3 1 9 1 9 6 9 4 8 7 9 8 7 3 9 9 3 5 0 0 0 0 1 1 3 5 4 6 8 8 6 4 1 3 7 3 9 7 7 5 1 5 8 0 9 5 8 7 1 0 1 4 9 3 9 8 6 5 0 9 3 4 0 9 0 8 5 1 2 2 8 3 8 9 4 8 1 0 4 7 4 4 + 9 9 9 01 3 9 7 8 本文中所采用的方法主要是针对形变偶偶核的低能谱部分，能量范围一般不高于 1 0 m e v ，并且作为初步尝试只进行了正宇称的计算由以上图表可看到，相对能量较低 的能级与实验数据符合较好随着能量的升高，误差逐渐增加初步的分析认为，由 二一一 平均场加邻近轨道对力模型的角动量投影及对1 8 , 2 0 n e 的描述 2 二= 图3 4 对2 0 n e 正宇称低激发态能级( m e v ) 的计算结果及与实验值比较 于1 8 ，2 0 n e 均为满壳层附近的核素，核芯内部的粒子一空穴激发是应该考虑的这有待 在形变壳模型加邻近轨道对力模型基础上引入t d a 来考虑进一步的修正 总得看来，计算结果虽略有不足，但整体上还是令人满意的我们将会在以后的 工作中逐步尝试进一步的理论修正为了获得更有力的结论，还应对原子核的其他性 质，如电磁性质等进行研究另外，还应对奇核进行类似的计算 虽然依然存在有待解决的问题，但本文初步检验了现有m a t h e m a t i c a 角动量投影 程序的可行性该程序虽已完成，但尚需做进一步的改进目前，程序的运行速度对 具体计算带来了很大的限制除编写问题外，也不排除m a t h e m a t i c a 软件本身的某些固 有缺欠，而使目前能够处理的核素仅限于轻核或满壳层附近的核素另外，程序结构 本身也有待进一步的改进，这些都是今后有待进一步完善的工作 1 7 第四章结论与展望 初步的研究显示，严格可解的n i l s s o n 平均场加邻近轨道对力模型能有效地描述轻 核的基本性质，如结合能，奇偶能差等由于模型的角动量不守恒，就需要进一步引 入角动量投影，从而使模型能用于描述原子核的低激发谱 本文应用角动量投影后的n i l s s o n 平均场加邻近轨道对力模型对n e 的部分偶偶核 的能谱进行了计算首先利用模型的f o r t r a n 程序计算出n i l s s o n 轨道能量，结合能，奇偶 能差等相关物理量，并对结合能与奇偶能差进行拟合，拟合结果较好；然后用m a t h e m a t i c a 程序进行了角动量投影计算由于所选核素较轻，形变相对较小，以及为便于程序运 行，计算中取了能量截断等近似，另外也没有考虑可能需要的t d a 修正，使得所得能 谱与实验值相比，虽整体令人满意，但仍存在一定的误差 进行投影后的本征态仍在内禀坐标内的为了进一步研究核的电磁性质，内禀坐 标到实验室坐标的转换是必须进行的工作，这将是下一阶段工作的重点之一 本投影程序目前只能相对有效地计算轻核或满壳附近的核素如何改进程序使其 能应用于中重核也是今后的工作重点 另外，本文仅计算了所选偶偶核素的能谱，对奇核的相同计算也是今后必须进行 的研究任务 、 1 8 参考文献 1 1 】王顺金高等量子论与量子多体理论，四川大学出版社2 0 0 5 ，第一版，p p 5 l 【2 】郭江，赵晓凤，彭直兴原子及原子核物理，国防工业出版社- 2 0 1 0 ，第一版，p p 1 3 2 【3 】王永芬原子核物理学基础。清华大学出版社，1 9 8 6 ，第一版，p p 1 4 2 4 1 曾谨言，孙洪洲原子核结构理论。上海科学技术出版社。 1 9 8 7 ，第一版p p 2 8 4 【5 】b 8 r d 咖j ，c o o p 吼na n ds c h r i e f f e rjr t h e o r y o fs u p e r c o n d u c t i v i t y , p h y s r e v 1 9 5 7 ，1 0 8 ：1 1 7 5 【6 lb 0 h ra ，m o r t e i s o nb ra n dp i n e sd p a s s i b l ea n a l o g yb e t w e e nt h ee x c i t a t i o ns p e c t r ao fn u c l e ia n dt h 蛳 o ft h es u p e r c o n d u c t i n gm e t a l l i cs t a t e p h y s r w 1 9 5 8 ，1 1 0 ：9 3 6 mm o l i q u eha n dd u d e kj f o c k - s p a c ed i a g o l i z a t i o no ft h es t a t e - d e p e n d e n tp a i r i n g h a m i l t o n i a nw i t ht h e w o o d s - s a x o nm e a n i i e l d ，p h y s r e v 1 9 7 7 ，c 5 6 ：1 7 9 5 【8 1 w ucs a n dz e n gjy c o m p a r i s o no ft w ok i n d so f t r u n c a t i o n s ，p h y s r e v 1 9 8 9 ，3 9 ：6 6 6 9 1z 髓gjy a n dc h e n gcs n u c l p h y 8 p a r t i c l e - n u m b e r - c o n s e r v a t i n gm e t h o df o r 。嘶1 n g h en u c l 吲 p a i r i n gc o r r e l a t i o n ，n u c l p h y s 1 9 8 3 ，4 0 5 a ：1 【1 0 】z e n gjya n dc h e n gc s p a i r i n gr e d u c t i o nd u et ot h eb l o c k i n ge f f e c t ，n u c l p h y s 1 9 8 4 , 4 1 1 a