（应用数学专业论文）电容层析成像中最优化算法的研究与应用.pdf

111 ； 华北电力大学硕士学位论文 摘要 电容层析成像技术( e c t ) 是一种可用于多相流浓度测量的可视化技术，它通过 测量被测区域外部布置的电极的电容来推算内部介电常数的分布。其具有不干扰流 场、快速、廉价、无放射性等优点被认为极具广阔发展前景的过程成像技术之一。 本文提出约束最小二乘算法( c o n s t r a i n e dl e a s t - s q u a r ea l g o r i t h m ) ，数值试验表 明，本算法产生较少的伪影，但是对于测量数据的粗差较为敏感，图像的成像速度 也不理想。基于稳健估计的图像重建算法( r o b u s te s t i m a t i o na l g o r i t h m ) ，从一 定程度上解决了对于测量数据的粗差较为敏感的问题，数值试验表明，能在电容数 据存在粗差的情况下重建图像，得到质量较高的图像。 关键词：e c t ，约束最小二乘算法，稳健估计法 a b s i r a c i e l e c t r i c a lc a p a c i t a n c et o m o g r a p h y ( e c t ) i sav i s u a l i z a t i o nt e c h n o l o g yt h a tc a n b ea p p l i e dt oc o n c e n t r a t i o nm e a s u r e m e n tf o rt h em u l t i p h a s ef l o w i ta t t e m p t st oi m a g e t h ep e r m i t t i v i t yd i s t r i b u t i o no fa no b j e c tb ym e a s u r i n gt h ee l e c t r i c a lc a p a c i t a n c e s b e t w e e ns e t so fe l e c t r o d e sp l a c e da r o u n di t s p e r i p h e r y ，w h i c hi s c o n s i d e r e da sa p r o m i s i n gt o m o g r a p h yt e c h n o l o g yd u et oi t sa d v a n t a g e ss u c ha sh i g hs p e e d ，l o wc o s t ， h i g hs a f e t ya n dn o n i n t r u s i v es e n s i n g ，i n c a p t e r4 ， c o n s t r a i n e dl e a s t s q u a r ea l g o r i t h mb a s e do nc o n s t r a i n e d o p t i m i z a t i o ni s d e d u c e d ，w h o s eo b je c t i v ei st om i n i m i z eq u a d r a t i cf u n c t i o n t h e s o l u t i o ng o tf r o mt h ea l g o r i t h mh a sb e t t e rp r e c i s i o na n db r i n gf e w e rf a l s es h a d o wt h a n o r i g i n a la l g o r i t h m s h o w e v e r ， i ti sm o r es e n s i t i v et og r o s se r r o ra n dh a sl o w e rs p e e d r o b u s te s t i m a t i o ni s as o l u t i o nf o rs e n s i t i v i t yt og r o s se r r o r ，s or o b u s t e s t i m a t i o na l g o r i t h mi s d e d u c e di nc a p t e r5 i tc o u l dg e th i g h q u a l i t yi m a g ei nt h e c o n d i t i o nt h a tt h ee l e c t r i c a lc a p a c i t a n c ee x i s t sg r o s se r r o r s h u r o n gw a n g ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f q i r o n gq i u k e yw o r d s ：e c t , c o n s t r a i n e dl e a s t s q u a r ea l g o r i t h m ，r o b u s te s t i m a t i o na l g o r i t h m 9 4川56 9眦7，盯i- y 1 _ _ _ _ - - _ - 一 华北电力大学硕士学位论文 目录 中文摘要 英文摘要 第一章引言1 1 1 多相流参数检测的意义1 1 2 过程层析成像技术的发展及研究现状1 1 3 过程层析成像技术的分类2 1 4 电容层析成像技术( e c t ) 4 1 5 本文主要工作7 第二章电容层析成像的基本原理8 2 1e c t 系统8 2 2 电容层析成像问题的数学基础9 2 2 1r a d o n 变换和r a d o n 逆变换的基本原理9 2 2 2 电容层析成像的正问题1 1 2 2 3 电容层析成像的逆问题1 1 第三章现有e o i 图像重建的算法研究1 5 3 1 线性反投影算法15 3 2l a n d w e b e r 算法1 6 3 3t i k h o n o v 正则化方法1 9 3 4 其它迭代算法2 1 3 5 遗传算法2 2 3 6 数值试验2 4 3 7 现有二维图像重建算法的问题2 6 第四章基于约束最小二乘迭代的e o i 图像重建算法2 7 4 1 算法基本原理2 8 4 2 算法基本步骤3 1 4 3 数值实验3 1 第五章基于稳健估计的e o i 图像重建算法3 4 5 1 稳健估计概念及基本原理3 4 5 2 基于卜范数估计的图像重建3 6 5 3 线性规划及内点法3 7 5 3 1 算法原理3 7 5 3 2 算法基本步骤3 9 5 4 数值试验3 9 5 4 1 电容测量数据存在误差的图像重建结果比较4 0 5 4 2 电容测量数据存在异常点的图像重建结果比较4 1 第六章结论与展望4 3 6 1 结论4 3 6 2 展望4 3 参考文献4 5 致 谢4 8 在学期间发表的学术论文和参加科研情况4 9 华北电力大学硕十学位论文 1 1 多相流参数检测的意义 第一章引言 多相流是工程中应用十分普遍的现象，录入粉粒技术中的气固两相流，食品工 业招工的液固两相流，输油管道、蒸发换热器中的气液、汽液两相流，以及石油开 采管道内的气一液一固多相流等。 随着科学技术的迅速发展，多相流体系在国民经济和人类生活中的地位日益重 要，特别是本世纪后半叶，原子能核电站及航天工业的发展，能源工业及石化工业 高参数的引入，以及对环境保护的日益重视，极大地促进了多相流研究及其应用的 发展。多相流在自然界和工业生产中涉及范围十分广泛，自然界中的下雪、下雨、 江河、湖海中的泥沙流动和水土流失、空中弥漫的烟尘、沙漠中的风沙流动等等都 是与人类生活有关的多相流动现象。在化工、石油冶炼、冶金、轻工、环保以及医 疗、食品等国民经济行业中多相流现象更是普遍存在。随着多相流在工业中应用越 来越广泛，对多相流工业生产过程的计量、节能及控制提出了更高的要求，多相流 参数的准确测量变得至关重要。对于这些流动中各相的浓度分布的实时监测常常是 过程的关键，但是由于多相流物质分布的复杂性，其浓度的实时测量是十分困难的。 故目前多相流参数检测的发展水平还远未满足工业应用的要求。尽管很多工业发达 国家对此进行了大量的研究工作，多相流检测技术无论在国际还是国内仍属一个急 需研究探索的领域【i 】。 由此可见，积极发展多相流检测技术是现代工业发展的迫切需求，研究多相流 参数检测技术对工业生产和科学实验以及对国民经济发展的重要性和意义不言而 喻。目前已成为国内外给予极大关注的前沿学科。 1 2 过程层析成像技术的发展及研究现状 过程层析成像技术( p r o c e s st o m o g r a p h y ，简称p t ) 技术是8 0 年代兴起的一门 新技术。它将两相流参数检测方法从传统的局部空间单点测量方式发展成为对过程 参数在二维或三维空间分布状况的在线、实时测量，大大提高了人们对生产过程信 息的获取和分析能力，为在线检测和优化设计提供了一种全新的手段弘。 过程层析成像技术是一种在非侵入被测对象的情况下，通过断层成像揭示被测 对象内部结构的一种技术。这方面的研究最早可以追溯到2 0 世纪5 0 年代，而第 一台层析成像装置是在1 9 7 2 年由英国人h o u n s f i e l d 研制成功的x 射线计算机断层 扫描成像装置，随后就迅速地被推广应用于医学临床诊断。 华北电力人学硕十学位论文 后来，从事无损探测和过程参数检测技术研究的工程技术人员利用过程层析成 像技术，开展了将c t 技术“移植”于无损探伤和两相流检测的可行性研究，得到了 令人鼓舞的初步结果。然而，由于当时是采用x 射线和核磁共振成像这样的系统， 构造复杂、价格昂贵，再加上当时微电子技术水平的限制，使得大量数据的实时处 理和图像实时重建成为难以逾越的障碍，造成这一探索研究的发展步履艰难。 到了2 0 世纪8 0 年代中期，以英国曼彻斯特大学理工学院( u m i s t ) b e c k 教授和 p l a s k o w s k i 博士为首的研究小组最早歼展了基于电容、超声、红外等适合工业现场 运用的敏感机理的工业过程层析成像技术的研究，并于1 9 8 8 年率先研制成功一种 结构简单、价格低廉、动态响应好以及非侵入的8 电极电容层析成像系统。对气固 两相流体静态模型进行测试，结果令人大为鼓舞。1 9 9 0 年，该系统发展成为一个 具有1 2 电极，配备了高速并行处理器件( t r a n s p u t e r 系列) 的电容层析成像系统， 可在油气水混合流体试验装置上稳定可靠地工作，在线图像重建速度达至l j 4 0 幅秒。 1 9 8 8 年，u m i s t 丌始了应用电阻层析成像技术检测导电流体的研究工作。在法 国，欧共体支持的微波层析成像技术也在研究之中。德国k a r l s r u h e 工业大学以 m e s c h 教授为首的研究小组在气液泡状流超声层析成像系统的研究也取得了比较 好的进展。自1 9 9 9 年开始，每两年召开一次工业过程层析成像技术世界大会。该会 议是于1 9 9 6 年8 月由英困政府t e c h n i c a lf o r e s i g h tc h a l l e n g e 计划组织的三所大 学( u m i s t ， u n i v e r s i t yo fl e e d s ，u n i v e r s i t yo fe x e t e r ) 所成立的“工业过 程层析成像技术虚拟中心( t h ev i r t u a lc e n t e rf o ri n d u s t r i a lp r o c e s s t o m o g r a p h y ) 所发起。第四届工业过程层析成像技术世界大会于2 0 0 5 年9 月5 同 8 日在日本a i z u 召开，第血届会议于2 0 0 7 年9 月3 日9 日在挪威b e r g e n 召开。 随着国外对p t 技术理论研究的开展，我国于2 0 世纪8 0 年代后期也丌始这方面的 研究。天津大学和清华大学分别开展了超声和电容层析成像技术的研究，浙江大学、 东北大学、武汉大学、中国科学院工程热物理研究所和哈尔滨理工大学等高等院校 和科研单位也相继丌展研究。 1 3 过程层析成像技术的分类 针对p t 技术的特点，近年来出现了多种基于不同原理的p t 系统，主要有： 光学成像( o p t i c a lt o m o g r a p h y ，简称0 t ) 、x 射线成像、y 射线成像、核磁共振成 像( n u c l e a rm a g n e t i cr e s o n a n c et o m o g r a p h y ，简称n m r i 或m r i ) 、超声成像 ( u l t r a s o n i ct o m o g r a p h y ，简称u t ) 、阻抗成像( e l e c t r i c a li m p e d a n c et o m o g r a p h y ， 简称e i t ) 、电阻成像( e l e c t r i c a lr e s i s t a n c et o m o g r a p h y ，简称e r t ) 、电容成像 ( e l e c t r i c a lc a p a c i t a n c et o m o g r a p h y ，简称e c t ) 、电感成像( e l e c t r i c a l i n d u c t a n c et o m o g r a p h y ，简称e i t ) 和电磁成像( e l e c t r o m a g n e t i ct o m o g r a p h y ，简 2 华北电力犬学硕士学位论文 称e m t ) 等。1 3 1 以下是主要的技术介绍： ( 1 ) 光学成像 光学成像( o p t i c a lt o m o g r a p h y ) 技术通过测量介质的边界信息，恢复其内部各 种光学参数的介质分布。该方法具有成本低、速度快、安全性好、数据采集系统简 单等优点，但要求被测对象透明或半透明且管路不能受到污染，其应用范围因此受 到限制；由于图像重建算法假设其灵敏场为硬场，忽略了光的传播路径受介质分布 影响的“软场( s o f tf i e l d ) 性质，使得该方法目l j i 只能用于实验室研究，难以 在工业现场中得到应用。 ( 2 ) 声学层析成像技术 超声层析成像( u l t r a s o n i ct o m o g r a p h y ，简称u t ) 是目前广泛研究的一种过程 层析成像。它以超声波为信号检测手段，利用被测介质对入射声波的吸收和散射等 效应所引起的入射声波幅值的衰减，进而从不同的角度对物场进行扫描测量而获得 管道或过程容器截面的投影数据，最后，利用相应的重建算法重建截面介质分布图 像。 ( 3 ) 电磁层析成像 电磁层析成像( e 1 e c t r o m a g n e t i ct o m o g r a p h y ，e m t ) 技术是2 0 世纪9 0 年代发 展的新型电学成像技术。其检测量为检测线圈的电压，重建对象为被测场域的导电 率或导磁率分布。基于不同介质具有不同导电率和导磁率的电学特性，通过电磁感 应原理检测被测介质的分布状况，采用图像重建算法重建出被测介质的电磁特性分 布。 ( 4 ) 电荷感应成像 电荷感应成像的成像原理为：两相介质中的固体颗粒在管道中流动时，与管道 摩擦产生静电，电荷感应成像通过测量带电粒子的管截面分布，获得两相介质中的 固相分布。该方法具有速度快、安全性好、成本低等优点，但仅适用于被测流体带 电荷的场合，由于较多因素影响被测物体的带电量，容易造成很大的误差。 ( 5 ) 电阻层析成像技术 电阻成像技术是通过给激励电极施加激励电流，在被测区域内建立敏感场，当 场内电导率分布变化时，导致场内电势分布变化，进而使场域边界上的电压值发生 变化，通过一定的图像重建算法，可以重建出场内的电导率分布。 ( 6 ) 电容层析成像技术 电容层析成像( e l e c t r i c a lc a p a c i t a n c et o m o g r a p h y ，简称e c t ) 通过测量 被测区域外部布置的电极的电容来推算内部的介电常数的分布，并根据介电常数进 一步推导出物质浓度的分布。因其具有不干扰流场、快速、廉价、无放射性等优点 被认为极具广阔发展前景的过程成像技术之一。近年来广泛应用于气油、水油、 3 华北电力大学硕： ：学位论文 特别是气固两相流测量以及过程可视化监测中。 1 4 电容层析成像技术( e e l ) 应用于两相流检测的e c t 技术的基本原理：管道内的两相流对应于不同的介质， 具有不同的介电常数，两相流在流动时在管内浓度不断变化导致介电常数变化，e c t 技术就是在管道外侧均匀的放置电极电板，任意两个不同极板组成一个两端子电 容，对应着不同的测量敏感区，其电容值由数据采集系统测量，不同电极对之间的 电容反映管道内的介电常数的变化，将电容数据输入计算机系统，通过各种图像重 建算法反算出管道内的两相流的介电常数，从而了解管道内物质的分布情况。 e c t 技术图像重建可描述为两大内容，一是正问题的建模，然后是逆问题的求 解，即图像重建过程。e c t 系统的正问题就是由已知介电常数分布，求出各极板对 形成的电容值。e c t 系统的正问题模型为h 1 ： c o = i | s ( x ，y ) s f ( ( x ，y ) ，c ( x ，y ) ) d x d y ( 1 1 ) d 其中d 表示管道截面，e ( x ，) ，) 为管道截面内电介质分布函数，对应于相流分布， 墨，( ( x ，j ，) ，e ( x ，y ) ) 为极板间电容g ，的灵敏度分布函数，即电容c ：，对点( x ，y ) 处介质的 敏感程度。逆问题足在已知电容测量数据，通过图像重建算法反求出管道截面内介 电常数分布的过程。 因此，电容层析成像技术的实现在很大程度上受图像重建算法的精度与速度的 影响。而由于问题本身的特点，使得图像重建算法的研究变得比较复杂。 层析成像中有两个难点：一是“软场”效应，即敏感场灵敏度分布不均匀， 并受被测介质分布的影响；另一个是测得的电容与物质分布之间的非线性关系。物 质分布浓度( 或强度) 的变化，并不一定引起各个电极对之间电容的比例变化。 为了解决图像重建问题，目前最常用的方法就是将模型( 1 ) 线性化得： c = s g( 1 2 ) 由于我们所能测量得到的电容的数据远远小于所划分像素的数目，所以即使 是线性化以后的模型也存在很多的问题。一是由于数据来自于实际测量，线性化得 到的方程不一定是相容的：二是由于未知变量数n ( 像素个数) 通常远远大于方程数 m ( 测量值的数目) ，因此，式( 2 ) 是一个不定方程组，其解是不唯一的；三是 式( 2 ) 是一个典型的病态方程，它的解不稳定。因此寻找既稳定又能准确成像的 算法成为电容层析图像重建的关键问题。目前，大部分图像重建算法的研究都是 基于线性化以后的模型，并且从不同的方面解决了问题的不适定性。主要的重建算 法如下： ( 1 ) 线性反投影法 4 华北电力大学硕士学位论文 线性反投影法( 1 i n e a rb a n kp r o j e c t ，l b p ) 算法是目前应用最广泛的方法 之一。l b p 算法是基于线性化模型( 1 2 ) 的，式( 1 2 ) 中，由于s 的逆矩阵s 叫不存在， 线性反投影法用s 的转置s r 代替s _ 来求得g 的近似解：g = s r c ，即可实现图像重 建。 l b p 是简单、快速的一种图像算法，对于简单的两相流分布常常有效。而对于 复杂的物体分布，l b p 重建的图像质量常常很差，它很难分辨出距离较近的较小物 体。造成这种缺陷的一个主要原因是电场的软场效应【6 】。 ( 2 ) l a n d w e b e r 迭代法 l a n d w e b e r 迭代法是将线性方程( 1 2 ) 转化为最小化最小二乘泛函问题，然 后基于最速下降法求解的迭代算法。它以l b p 算法的解为初始解，每次通过电容差 进行修正，逐步提高图像的质量。 l a n d w e b e r 迭代法的基本迭代公式如下： g ( o ) = s7 c ( 1 3 ) g 。+ 1 = g + 口s7 ( c s g ) ，( 七= o ，l ，2 ) ( 1 4 ) g _ ， 删) = g ，n a l - i ) ，若口( 。1 小于允许值( 1 5 ) 对于松弛系数的选取，一般取为【7 1 口= 2 k 。( s7 s ) ( 1 6 ) 从数值最优化的角度而言，该法属于最速下降法，故其收敛速度相对较慢； l a n d w e b e r 迭代法的另外一个缺点是“半收敛”特性。但是，与线性反投影算法相 比，l a n d w e b e r 算法大大提高了图像的空间分辨率，图像的质量确实提高，是现在 使用最广泛的算法。 ( 3 ) 基于正则化的图像重建 众所周知，e c t 图像重建问题是典型的病态问题，而病态逆问题往往是由于缺 乏足够的信息而导致的。正则化方法的原理是找到一个由先验信息约束的解集，然 后，再从中选择一个解。式( 1 2 ) 是一个病态逆问题求解，而t i k h o n o v 正则化方 法是一种应用最普遍的解决病态逆问题的方法。因此，利用正则化方法已是e c t 中 的图像重建一类常用方法。 但是由于正则化问题得到的解太过光滑，而图像本身很有可能是不光滑的，因 此图像重建的结果不是很理想。反映在图像重建中就表现为图像中的细节信息的丢 失，空间分辨率不高。 ( 4 ) 代数重建技术 代数重建技术( a l g e b r a i cr e c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u e 简称a r t ) 也是一种典型 s 华北电力人学硕+ 学位论文 的图像重建迭代技术，首先得出初始图像，然后通过敏感场和电容差值不断校正来 提高图像的重建质量。a r t 每次只考虑一条投影数据的影响，每次迭代只校正与该 投影有关的像素的灰度值。 ( 5 ) 同步迭代重建技术( si r t ) 由于算法中使用的是测量数据，难免存在测量误差，因此就要求算法能有效的 抑制噪声。同步迭代重建技术的校正方法是：每个像素的校正值是通过该像素的所 有投影数据的误差值之累加，而不是只与一条投影数据有关。这是si r t 算法与 a r t 算法的根本区别，也是它能有效地抑制测量数据中噪声的根本原因。si r t 算 法源于对代数重建( a r t ) 法的改进，迭代公式为： g 似“) = g 似) + 口仕s ( ) 墅d 里i a 二g 器( s s ( 1 7 ) 7 ) ( 6 ) 基于极小泛数解的算法 造成问题病态的根本原因就是信息贫乏，如果在图像重建的算法中加入限制信 息就能得到较稳定的解。 基于极小范数的算法在满足线性化方程( 1 2 ) 的条件下，求范数最小的解。 为了解决解的稳定性问题，针对电容层析成像( e c t ) 逆问题的特点，利用证则化技 巧对其进行改进，得到j 下则化的解。在此基础上，为了提高解的空间分辨率，利用 加权技巧建立加权的目标泛函进一步改进极小范数解，并在求解该泛函的过程中采 用讵则化技巧确保数值解的稳定性。该算法能有效的克h 艮e c t 图像重建时的数值的 不稳定性，提高图像重建的质量。 ( 7 ) 神经网络方法 在以上的算法中都是基于线性化的模型的，这样求得的解必然会对于原问题有 很大的误差。神经网络方法是将神经网络算法应用于图像重建问题，其基本思想是 首先通过实验取得必要的训练样本，通过神经网络进行训练得到介电常数分布与电 容之间的关系( 电容为输入，介电常数为输出) 。这样，通过实际测量的电容值， 就可以带入这个模型得到介电常数的分布。 ( 8 ) 遗传算法 e c t 图像鼋建的常用做法就是将问题转化为最优化问题，然后使用最优化算法 求解。智能优化算法是今年来发展起来的解决优化问题的有效的算法，这类算法求 解过程中只涉及函数本身，并且有较强的全局优化能力，得到的解较稳定。例如遗 传算法、蚁群算法、粒子群算法等。该方法利用流型数据作为初始值在一定的范围 内搜索最优解，能以较高的精度重建两相流体的断层图像。 ( 9 ) 基于模型的算法( m o r ) 基于模型图像荤建算法由 s a k e n 提出，首先基于一定的先验知谚 将图像用几 6 华北电力大学硕士学位论文 个特定的参数表示，这些参数的个数往往远少于测量数，因而将图像重建转换为 一个超定方程求解过程，然后依据最优化方程求得这几个参数的定量解【8 】。如环状 流，可用椭圆圆心坐标( z ，y ) 、长短轴长度b 和a 、及倾斜角度来描述。该方法需要 较多的经验。因此，对流型先验知识未知的场合不适用。 以上各种算法都有各自的优点，从不同的方面改进问题的病态性，但在目前， e c t 图像的空间分辨率相对较差，而且现有的算法的通用性不强，对于不同的重建 对象同一个算法的数值性能存在很大的差异。同时，由于测量对象的特殊性，算法 的计算速度也是一个至关重要的因素；然而，算法的计算速度和算法的精度又存在 矛盾，这些因素又严重的影响了e c t 技术的实际应用。 1 5 本文主要工作 电容层析成像技术具有成本低、结构简单、实时性好、非侵入、安全性高、适 应范围宽等优点，因此被认为是具有广阔发展前景的技术之一。而e c t 的成功在很 大程度上取决于图像重建算法的精度和速度。因此，本文主要研究电容层析成像图 像重建算法研究。 第一章是绪论。介绍了电容层析成像研究的工程背景及意义，过程层析成像技 术的发展及研究现状、分类，现有的电容层析成像图像重建算法的主要技术。 第二章是电容层析成像的基本原理。本章详细介绍了电容层析成像技术的应用 系统，研究了电容层析成像的数学原理，建立了e c t 技术的模型。 第三章是现有电容层析成像图像重建算法研究。本章研究现有的电容层析成像 目前最常用的l b p 算法，迭代算法、t i k h o n o v 正则化算法，以及智能优化算法的代 表一一遗传算法。迭代算法主要研究了包括l a n d w e b e r 迭代法、代数重建算法、和 同步迭代重建算法。最后对最具代表性的l b p 算法、l a n d w e b e r 迭代法、t i k h o n o v 正 则化算法进行数值试验，比较各算法的图像重建效果。 第四章是基于约束最小二乘迭代方法的图像重建算法。由于现有的算法主要基 于无约束最优化算法，本章基于约束优化的思想在约束条件下求最小二乘解，提出 基于约束最小二乘迭代法的图像重建算法，研究该算法求解的基本原理和实现的算 法步骤。最后，通过数值试验验证了该算法的有效性。 第五章是基于稳健估计的图像重建算法。由于基于2 范数的图像的重建算法对 于测量数据的粗差较敏感，本章研究了基于稳健估计的算法，最后对基于1 范数的 算法进行了数值试验并与第四章提出的算法进行比较，验证了该算法的有效性。 7 华北电力人学硕七学位论文 第二章电容层析成像的基本原理 电容层析成像( e c t ) 技术是2 0 世纪8 0 年代中后期发展起来的过程层析成像技 术。因其具有快速、廉价、安全、非侵入传感等优点近年来得到了快速的发展。本 章首先简单介绍电容层析成像的系统；然后介绍电容层析成像的基本原理，包括正 问题和逆问题；最后分析了目前常用的图像重建的基本技术和算法，并进行数值试 验。 2 1 e c t 系统 e c t 技术的工作机理是：非导电物场内介质分布变化必然会引起电容值的变化， 因此通过测量电容值的变化来重建物场内介质分布而实现对多相流参数的检测。图 2 1 给出了一个典型e c t 系统示意图。该系统包括电容传感器阵列、测量数据采集 装置、计算机三个部分。e c t 系统通过传感器阵列获取被测物场分布状况的投影信 息；测量及数据采集装置收集所测信息，并经过滤波、变换、放大；将数据通过接 口传给计算机进行图像重建及显示【3 】。 被侧物 _ - 垦 衡 电容 。户a 。r 采集 ， 二_ b i，】日| 崩莺鱼奁莲盛 系统 ， 1 i 控制信号 图2 1 电容层析成像采集系统 图像 显示 电容层析成像系统的传感器主要由绝缘管道、检测电极和屏蔽罩组成。在绝缘 管道壁外侧均匀安装多对铜极板，为防止外界电磁场的干扰，电极板的外部设置接 地的屏蔽罩。为降低相邻极板问的高固有电容以扩大系统的动态范围，在极板间设 置接地的径向保护极板。 本文以典型的1 2 电极传感器系统为研究对象，以1 2 个极板的某一极板为起点， 顺次为1 2 个极板编号，依次为1 ，2 ，1 2 。在一个完整的测量过程中，极板l 首 先被选择为源电极，即激励电极，给极板1 加一固定电压值u ，分别以极板2 ，3 ， 1 2 为检测电极，测量极板对1 - 2 ，卜3 ，卜1 2 2 _ 问的电容值；下一步选择极板2 华北电力大学硕士学位论文 为激励电极，极板l 接地，测量极板对2 - 3 ，2 - 4 ，2 - 1 2 的电容值；依此类推， 直至测量完极板对1 l 一1 2 的电容值。这样，在1 2 电极系统中可获得6 6 个独立测量值， 并依上述顺序编号为c l ，c 2 ，c 6 。，此外在考虑单个电容并注重电容的来源时，也常 用另一种电容表示方式：e ，表示电极对i j 间的电容。一般地，对于一个电极系 统，可得到的独立电极对总数刀为：厅：碍：n ( n - 1 ) 。 2 电容数据采集系统由多通道的数据采集控制，电容电压( c v ) 转换，( a d ) 转 换及通讯接口，采集数据处理等软、硬件组成。测量方式是根据计算机的指令将相 应的两个电极接入电压，其他电极接地。然后测量两个电极之间的电容。电容电 压转换就是用于测量由两个测量电极构成的测量电容，这是对微弱电容的测量，而 且电极数据越多电容数据就越小，导致测量误差和系统误差对电容之测量的影响越 大。 由于电容传感器极板间的电容值很小，在我们研究的1 2 电极系统中电容值的数 量级是0 0 3 p f 级，最大值和最小值相差近百倍。测量如此微小且相差倍数又较大的 电容是比较困难的，这对数据采集系统尤其是对电容电压转换部分提出了较高的 要求，由于充放电激励和交流激励法等能有效克服分布电容的影响，因此被广泛应 用于电容成像系统中【4 】。 2 2 电容层析成像问题的数学基础 2 2 1r a d o n 变换和r a d o n 逆变换的基本原理 1 9 1 7 年奥地利科学家j r a d o n 在“大线数学”杂志上发表了著名的论文“论如 何根据某些流形上的积分以确定函数证明了一个二维或三维的物体能够通过其无 限个或连续的投影数据来重建并提出了图像重建理论。现称该理论为r a d o n 变换及 其逆变换，e c t 技术和其它p t 技术都是以这一理论为数学基础的0 0 1 。 设f ( x ，y ) 为定义在二维空间r 2 上的连续有界函数，为一直线，称函f ( x ，y ) 沿 直线的线积分： r f ( x ，y ) = i f ( x ，y ) d t ( 2 1 ) 为r a d o n 变换，式中刃表示线微元，记符号尺为r a d o n 算子。 设a = ( x ，y ) 是直角坐标系x y 平面上的点，则f ( a ) = f ( x ，y ) 表示点( x ，y ) 上函 数值。平面上任意直线可表示为( 如图2 2 所示) l ：t = x c o s o + y s i n 0 9 华北电力大学硕士学位论文 式中，t 一坐标原点到直线的距离。 o - t 方向与的夹角( 即与正】，轴相交的角度) 。 则平面上的直线可由数对( f ，秒) 确定。f ( x ，y ) 的r a d o n 变换可表示为： r f ( x ，j ，) = i f ( x ，y ) d l ( 2 2 ) f = x c o s ；+ f s i n 护 采用新的坐标系( 旋转坐标) t - - j 与原坐标秒角，j 轴与直线上平行，f s 坐标 系如图2 3 所示。 两屯标系转换关系如下： 篇劣心 亿3 ， 将( 2 3 ) 代入式( 2 2 ) 则可得r a d o n 变换的经典表达式： r f ( t ，秒) = ，厂o c 。s 秒一s s i n 0 ，f s i n 秒+ s c o s o ) d s ( 2 4 ) 1 9 1 7 年r a d o n 给出了上式的逆变换；函数f ( x ，j ，) 在定义域r 2 中任意一点( 石，少) 处 的值町经过该点的所有线积分得集合按下式唯一确定。 ( 五力= 一去去娥。后o 1 2 ，1 研o c o s o + y s i n o + q , o 矽目由 ( 2 5 ) 式中：磁( g ，o ) - r f ( q ，秒) 关于第一变元q 的偏导数。 拳 i 入 e 、 。 0 y ” 图2 2x y 坐标系 图2 3t - s 坐标系 现一般将函数f ( x ，y ) 称为“图像”，将r f ( t ，秒) 称为该“图像”沿某一投影方向( 直 线) 的“投影”，则r a d o n 逆变换的含义是由“图像”在所有方向上的投影可 l o 华北电力大学硕士学位论文 重建该“图像”。因此，r a d o n 变换和r a d o n 逆变换为c t 和p t 奠定了数学基础。 由以上可知：电容层析成像的实质就是利用电容层析成像采集系统得到设备内 物场各方向的投影数据( 即电容) ，然后r a d o n 逆变换( 即图像重建算法) 得到物场 内介质的分布信息。 2 2 2 电容层析成像的正问题 所谓e c t 成像系统的正问题，就是指在已知传感器结构尺寸和管道内多相流相 分布( 即介电常数) 的情况下，用计算机求解各电极对间的电容值。 假定极板对i - j 所形成的二维敏感场的灵敏度分布为品( 五y ) ，根据电磁场理论 e c t 系统的正问题模型为： c ：f ，= i j e ( x , y ) s i j ( ( x ，y ) ，e ( x ，y ) ) d x d y ( 2 6 ) 万 其中d 表示管道截面，g ( 五y ) 为管道截面内电介质分布函数对应于相流分布， i s ：f ，( ( 石，y ) ，s ( 石，y ) ) 为极板间电容g 的的灵敏度分布函数，即电容q 对点( 石，y ) 处介质 的敏感程度。 2 2 3 电容层析成像的逆问题 根据公式( 2 6 ) 可知，极间电容与介电常数分布存在非线性关系，可用公式表 示为： c = f ( g ) 由t a y l o r 展开，并忽略高阶项，可得： a c ：竽( f ) c l s ( 2 7 ) ( 2 8 ) 对方程离散化、归一化，有： c = s g ( 2 9 ) 其中，c 是所l 的向量，代表电容数据；g 是n 1 的向量，代表介电常数，在图 像重建中常常表示灰度水平值；s 是m xn 阶矩阵，反映了电容c 受物质分布g 变 化的影响，它被称为敏感场。 简单地说，e c t 图像重建逆问题就是在已知电容数据c 和敏感矩阵s 的前提 下快速、有效地求出g 。而目i j i 的绝大部分的图像重建算法都是基于线性化以后 的模型( 2 9 ) 研究的。 层析成像中有两个难点：一是“软场 效应，即敏感场灵敏度分布不均匀， 1 l 华北电力入学硕十学何论文 并受被测介质分布的影响；另一个是测得的电容与物质分命之间的非线性关系。物 质分布浓度( 或强度) 的变化，并不一定引起各个电极对之间电容的比例变化。 此外，由于电容测量系统的灵敏度限制，传感器电极的宽度不能太小，以保证 它们之间的电容能够被测量，即电极的数目受到限制。然而为了提高分辨率，被测 区域内的像素数目远多于所测的电容的数目。因此，如何利用有限的测量电容值推 算出众多像素的物质分布是一个极为困难的问题。 敏感场的计算 敏感场实际上就是各小单元的相对介电常数有低变高时引起的电容变化量，目 前人们都是在管袋内均匀分布着低介电常数相介质的情况下研究灵敏度分布的，此 时可定义i 一，极板对的灵敏度为 s ，( e ) = f ( e ) i 乙z 手貉 ( 2 1 。) 其中，墨，( e ) 为f ，j 电极间第e 个测试微元的灵敏度；e ，( p ) 是当管内第e 个单元材 料的介电常数为毛，且其余单元材料的介电常数都为句时的电容值；c ：，和c t 分别 是管内充满介电常数为气和q 材料时的电容值；f ( p ) 是与管内第e 个单元面积有关 的修正因子。 由于该计算方法计算量较大，本文采用通过电势的方法求敏感场。计算公式为 聃川= 七y ，掣，掣d x d y 泣 其中，e ( x ，y ) 表示当i 是源电极时的电场分布( 对应的施加电压为常数r i ) ， p ( x ，y ) 表示像素在( x ，y ) 的面积。 该方法相对于介电常数的方法计算量较小，适宜在计算机上实现。 电容数据 电容数据即是有前面所述的e c t 系统进行实验测量。而在实际计算中由于数量 级的影响，计算出使用的电容数据的归一化数据，计算公式为： 屯2 糟 式中：c 己，q 一管道中充满高介电常数相和低介电常数相时的电容值； 工程问题。 方程 ( 2 1 2 ) i i ：式( 2 1 2 ) 的解是唯一的存在的； i i i ：问题( 2 1 2 ) 的解连续依赖于右端项h 的变化，即：若砜= g o ，k f = g ， 则当gj 岛时，有专五。 只要上述条件之一不被满足，就说该问题是不适定的。 而对于矩阵算子来说，如果限制空问为欧式空间，则算子方程为以下的线性方 程组形式 k f = h 其中k 为线性算子，则求解问题时会出现以下情况： 1 d e t a = 0 a 叫不存在，此时方程组不唯一，即有无穷多解，此时不满足条 件2 ，该问题是不适定的； 2 d e ta 0 a 叫存在，此时方程组解存在且唯一，但根据条件数 c o 刀u - - ia i l i l 彳。10 的定义，又分为下述两种情况： ( 1 ) 若条件数较小，即为良态( w e ll c o n d itio n e d ) 线性方程组，则问题适 定； ( 2 ) 若条件数较大，即( il l - c o n d i t i o n e d ) 方程组，此时问题为不适定的。 e c t 技术具有非侵入、结构简单、成本低等介质具有不同的介电常数，便可应 用该技术。但是由于问题本身和装置的有限，目前在图像重建方面还存在很大的问 题： 1 3 华北电力人学硕士学位论文 ( 1 ) 微弱电容检测问题，对传感器灵敏度、抗干扰性要求高； ( 2 ) “软场 效应，即敏感场灵敏度分布不均匀，并受被测介质分布的影响： ( 3 ) 测得的电容与物质分布之间的非线性关系。物质分布浓度( 或强度) 的 变化，并不一定引起各个电极对之间电容的比例变化。 ( 4 ) 即使是线性化后的模型，由于系统本身的缺陷，电极的数据远远小于离 散后灰度的维度，这样未知变量数n ( 像素个数) 通常远远大于方程数m ( 测量值的 数目) ，因此，式( 2 9 ) 是一个不定方程组，其解是不唯一的。 ( 5 ) 式( 2 9 ) 是一个典型的病态方程，它的解不稳定。这样测量时微小的误差 就会使得解发生很大的变化。 因此寻找既稳定又能准确成像的算法成为电容层析图像重建的关键问题。 1 4 华北电力大学硕士学位论文 第三章现有e c t 图像重建的算法研究 电容层析成像问题是典型的病态问题，具有不适应性。目前国内外研究人员对 容层析成像技术进行了深入的研究，并已取得令人鼓舞的初步研究成果。本章研 目前常用的图像重建算法，并对目前最常用的线性反投影算法、l a n d w e b e r 迭代 、t i k h o n o v 正则化迭代法进行数值试验。 1 线性反投影算法 l b p 算法是由早期应用于医学c t 的反投影算法发展而来的，是e c t 最使用的一种 像算法，目前在e c t 系统中使用的是以灵敏度信息为权值的l b p 法。它基于以下两 假设： ( 1 ) 假设介电常数分布对传感器的灵敏度分布影响可以忽略( 即不考虑软场效应) 。 ( 2 ) 电容变化是由介电常数的均匀变化所