（计算数学专业论文）h矩阵的新型判定方法和应用及一类矩阵aor迭代的收敛条件.pdf

h 矩阵的新型判定方法和应用及一类 矩阵a o r 迭代的收敛条件 杨亚强 摘要：本文主要讨论了h 矩阵的一种新型判定方法和应用及一类特殊矩阵 a o r 迭代法的收敛条件。众所周知，在线性代数方程组的讨论中，往往假设方程 组的系数矩阵为h 矩阵，而在实际工作中的确有许多矩阵为h 矩阵，早在1 9 7 6 年人们研究j o r 、s o r 、a o r 等迭代时发现这些迭代法的收敛性和h 矩阵有非 常重要的关系，即：只要所讨论的矩阵是h 矩阵，则0 。( g ) ，s 。( g ) 等迭代矩 阵是都是收敛的。因此快速而准确的判定一个矩阵是不是h 矩阵对于讨论一个迭 代矩阵的收敛性是非常重要的，本文就以此为基础来进行研究，给出了一个新型 的h 矩阵的判定方法，这个方法仅与所给矩阵本身的元素有关，方便可行。并将 此方法推广应用到矩阵范数的估计上，得到了0 m 1 0 的一个新的估计式，推广 了其适用的范围。其次对于a o r 迭代本文在总结已有的收敛条件的基础上，特 别对当j a c o b i 特征值为复数的情况进行了讨论，并给出了一个收敛条件，扩大了 a o r 迭代收敛的范围。 正文的内容包括第一章、第二章、第三章及第四章。第一章是序言部分，主 要讨论了现有的h 矩阵的一些判定方法、现有的矩阵范数的估计及近几年的发展 情况。第二章是重点，主要讨论了h 矩阵的一个新型判定方法及推广。第三章是 应用，主要讨论了h 矩阵的判定方法和结果在范数估计上的应用。第四章也是重 点，讨论了当j a c o b i 特征值为复数的情况下a o r 迭代法收敛的范围。其内容详 细说明如下： 第二章中，首先研究了文献【2 6 忡关于h 矩阵的判定方法和近几年专家学者 对于h 矩阵判定的探索，然后给出了一个h 矩阵新的判定方法，这个方法只与所 给矩阵的本身元素有关，而且可以程序化处理，简单且容易操作，再以这个新的 判定方法为基础给出了不可约矩阵、含有非零元素链的矩阵为h 矩阵的判定方法， 并通过数值例子可以看出来这种判定方法是十分方便和有效的。 第三章中，先对已有的怕。1 | | 、l m 。| | 的估计进行研究( 其中m 要求严格 i ii i i ii i 对角占优) ，然后利用第二章的结沦，给出了一个新的怕。19 、| | m l 1 i 的估计式 i ii il - o ( 其中m 不要求是严格对角占优) 通过数值例子比较可以看出来，这个估计不但 比已有的估计精确而且适用范围要广的多。 第四章中，首先总结了在j a c o b i 迭代矩阵的特征值全为零、全为实数、全为 纯虚数和为实数及纯虚数时收敛的充要条件。然后重点讨论了j a c o b i 迭代矩阵的 特征值为特殊复数的情况下a o r 迭代法的收敛范围，并给出了一个充分条件， 通过具体的数值例子可以看出来这个收敛条件是有效的，但是由于这只是充分条 件所以对其最优参数的讨论还需要进一步研究。 关键词：非奇异h 矩阵；对角占优；拟严格对角占优：a o r 迭代；m 矩阵； i i an e w j u d g e m e n t a n d a p p l i c a t i o no fh m a t r i xa n dt h e c o n v e r g e n c ec o n d i t i o no fa o r i t e r a t i v em e t h o d y a n gy a q i a n g a b s t r a c t ：t h i sp a p e rm a i n l yd i s c u s s e san e wi u d g e m e n ta n da p p l i c a t i o no fh m a t r i xa n dt h ec o n v e r g e n c ec o n d i t i o no fa o ri t e r a t i v em e t h o d a sw ea 1 1k n o w , i nt h e d i s c u s s i o no ft h el i n e a rs y s t e m s ，t h ec o e f f i c i e n tm a t r i xo ft h el i n e a rs y s t e m si su s u a l l y a s s u m e dt ob ehm a t r i x t h e r er e a l l ye x i s tm a n yhm a t r i c e si np r a c t i c e i n1 9 7 6 ， p e o p l ed i dm u c hr e s e a r c ho ni t e r a t i v em e t h o d so fj o r s o ra n da o r t h e yf o u n dt h a t t h ec o n v e r g e n c eo ft h e s ei t e r a t i v em e t h o d sw e r ec l o s e l yr e l a t e dt ohm a t r i c e s ，t h a ti s ， i ft h ed i s c u s s e dm a t r i xi shm a t r i x ，t h ei t e r a t i v em a t r i c e s 。( g ) ，s 。( g ) a r ca l l c o n v e r g e d t h u s ，w h e nw ed i s c u s st h ec o n v e r g e n c eo fi t e r a t i v em e t h o d s ，i ti sv e r y i m p o r t a n tt om a k eaq u i c ka n da c c u r a t ej u d g e m e n to nw h e t h e ram a t r i xi sh m a t r i xo r n o t o nt h eb a s i so ft h i st h e o r y , t h ea u t h o rh a v ed o n em u c hr e s e a r c hw o r ka n do f f e r e d t h ej u d g e m e n ta b o u tan e whm a t r i x t h i sm e t h o di so n l yr e l a t e dt oe l e m e n t so fg i v e n m a t r i xi t s e f f i t sv e r yc o n v e n i e n ta n df e a s i b l e t h ea u t h o ra p p l i e st h i sm e t h o dt ot h e e s t i m a t i o no fm a t r i xn o r ma n dg e t san e we s t i m a t i o nf o r m u l al 旧_ 1 ，w h i c h i ii 。 b r o a d e n st h er a n g eo fi t sa p p l i c a t i o n o nt h eb a s i so ft h es u m m a r yo fe x i s t i n g c o n v e r g e n c ec o n d i t i o n ，t h ea u t h o rh a v em a i n l y d i s c u s s e dt h es i t u a t i o nt h a tt h e e i g e n v a l u e s o fj a c u b i a r e e o m p l e xn u m b e r s ，a n d o f f e r e da c o n v e r g e n c e c o n d i t i o n w h i c hh a v et h ec o n v e r g e n tr a n g eo f a o ri t e r a t i v em e t h o d t h em a i np a r to ft h i sp a p e ri n c l u d e s4c h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri sp r e l u d e ， w h i c hm a i n l yd i s c u s s e ss o m ej u d g e m e n to fhm a t r i c e s ，e s t i m a t i o no fm a t r i xn o r ma n d t h ed e v e l o p m e n ti nr e c e n ty e a r s t h es e c o n dc h a p t e ri sam a j o rp a r t ，w h i c hm a i n l y d i s c u s s e st h en e wj u d g e m e n ta n da p p l i c a t i o no fhm a t r i c e s t h et h i r dc h a p t e ri s a p p l i c a t i o n ，w h i c hm a i n l yd i s c u s s e s t h e a p p l i c a t i o n o ft h ej u d g e m e n ta n dt h e e s t i m a t i o nn o r m so fhm a t r i c e s t h ef o r t hc h a p t e r - i sa l s oam a j o rp a r t ，w h i c hd i s c u s s e s t h ec o n v e r g e n tr a n g eo fa o ri t e r a t i v em e t h o dw h e nt h ee i g e n v a h i e so fj a c o b ia r e c o m p l e xn u m b e r s t h ed e t a i l sa r e a sf o l l o w i n g ： i nt h es e c o n dp a r t ，t h ea u t h o rf i r s t l ys t u d i e st h ej u d g e m e n ta b o u thm a t r i xf r o m t h el i t e r a t u r e 【2 - 6 】a n dt h ee x p l o r a t i o n sw h i c ht h ee x p e r t sh a v ed o n eo nt h ej u d g e m e n t o fhm a t r i xi nr e c e n ty e a r s t h ea u t h o ro f f e r san e wj u d g e m e n ta b o u thm a t r i x t h i s m e t h o di so n l yr e l a t e dt ot h ee l e m e n to fe x i s t i n gm a t r i xi t s e l f m e a n w h i l e ，m a n a g e d 1 1 1 p r o c e s sc a l lb es i m p l ea n de a s yt oo p e r a t e o nt h eb a s i so ft h i sn e wj u d g e m e n t ，t h e a u t h o ro f f e r st h ej u d g e m e n tt h a ti r r e d u c i b l em a t r i xa n dm a t r i xw h i c hc o n t a i n se l e m e n t c h a i n so fn o n - z e r oi sh m a t r i x ，f r o mt h ec o m p a r i s o no fe x a m p l e so fn u m e r i c a lv a l u e i t i sc l e a rt h a tt h i sj u d g e m e n ti sv e r yc o n v e n i e n ta n de f f e c t i v e i nt h et h i r d p a r t ，t h e a u t h o r f i r s t l y s t u d i e st h e g i v e n e s t i m a t i o no f ”1 k a n dl l 。k ( mi ss t r i c td i a g o n a ld o m i n a n tm a t r i x ) ，s e c o n d l y , t h ea u t h o r o f f e r san e we s t i m a t i o nf o r m u l ao f p ka n d l i m 一1 忆b yu s i n gt h ec o n c l u s i o no f s e c o n dp a r t r mi sn o tn e c e s s a r i l yf o rs t r i c td i a g o n a ld o m i n a n tm a t r i x ) f r o mt h e c o m p a r i s o no fn u m e r i c a le x a m p l e s ，t h i se s t i m a t i o ni sm u c hm o r ea c c u r a t e l yt h a nt h e e x i s t i n go n e w h a ti sm o r e ，i th a s aw i d e rr a n g eo fa p p l i c a t i o n i nt h ef b n hp a r t ，t h ea u t h o rf i r s t l ys u m su pt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s o fc o n v e r g e n c ew h e nt h ee i g e n v a l u e so fj a c o b ii t e r a t i v em a t r i xa r ea l l z e r o ，r e a l n u m b e r , p u r ei m a g i n a r ya sw e l la sr e a ln u m b e ra n dp u r ei m a g i n a r y s e c o n d l y , i t f o c u s e so nd i s c u s s i n gt h ec o n v e r g e n c er a n g ew h e nt h ee v g e n v a l u e so fj a c o b ii t e r a t i v e m a t r i xa r es p e c i a lc o m p l e xn u m b e ra n dn u m e r i c a lv a l u e sd i f f e r e n t l y w ec a ns e et h a t t h i sc o n v e r g e n c ec o n d i t i o ni se f f e c t i v e h o w e v e r , i ti s m e r e l yp r a c t i c a lc o n d i t i o n t h e r e f o r ew en e e daf u r t h e rd i s c u s s i o no nt h eo p t i m u mp a r a m e t e r k e yw o r d s ：n o n s i n g u l a rh - m a t r i x ；d i a g o n a ld o m i n a n c e ；g e n e r a l i z e ds t r i c t l y d i a g o n a ld o m i n a n c e ：a o ri t e r a t i o n ；m - m a t r i x v 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：整翌蕉日期：丝型兰 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期问论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索： 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：堑堡蓬 第一章引言 在线性代数方程组的讨论中，往往假设方程组的系数矩阵为h 矩阵，而在实 际工作中的确有许多矩阵为h 矩阵，很早在1 9 7 6 年v a r g a 和a l e f e l d 对j a c o b i 、 j o r 、s o r 、s s o r 等迭代矩阵以及p l e r n m o n 在1 9 7 7 年对一般的正规分裂迭代 矩阵m 一1 进行的讨论中，都得到致的结论：这些迭代矩阵的收敛和h 矩阵有 非常重要的关系，即只要所讨论的矩阵是h 矩阵，则l r 。( g ) 、s r 。( g ) 等许多迭 代矩阵是收敛的。因此快速而准确的判定一个矩阵是不是h 矩阵对于讨论一个矩 阵迭代的收敛性是非常重要的，为了解决这个问题，国内外一大批专家学者进行 了大量的讨论，也给出了许多重要的结果，如王川龙2 0 0 0 年给出的h 矩阵的判 定方法： p 设爿帆( c ) ，= m a x 矗 若 “1i a u l + 黔r l j + r i 一，七2 则a 为h 腓这些判定方法都有 一个共同的问题就是需要进行大量繁琐的计算，本文第二章中从h 矩阵的定义出 发，给出了一个新型判定方法：a = ( n 。) m 。( c ) ，若满足 剖幅等磊哿川咋1 ) 器c 弘l + 磊。絮茅磊督1 咋m ， 其中 珥= r a i n l a ；, l ，0 ) i ，= 1 , 2 n ，1 ，2 分别为均势和劣势的行， 则a 是非奇异h 矩阵。这个判定方法是从矩阵本身元素出发进行判定，不需 要引入其它参数，而且可以程序化，简单易行，从实际例子也可以看出来这个新 型判定方法是非常有效的，而且判定范围明显扩大。 在此基础之上，由h 矩阵的判定方法还给出了不可约矩阵、含有非零元素链 的矩阵为h 矩阵的判定方法。 另外，在第三章中以h 矩阵的判定方法为基础给出了一个新的矩阵无穷范数 的估计式： 忙。忆sm ；a x ( 岛) f = 1 , 2 ，3 此时j f i m 。苫卿而莉1 其中删2 酗i 其中硎小茹产j f | + 磊絮荟晋呦】1 酗 = r 箸宁”鲈i + 墓，絮茅荟脊呦】- 1 烈 铲【寄”i 鲈i + 磊等i ”i 墓，筲m 】_ 1 刚 从具体数值例子中可以看出来这是一个比较精确的估计。比较这个无穷范数 的估计式，结合m - 1 的估计，从而可以得到| | l f 。的一个新的估计式： i m l 忆s m l l i v l l 。，其中m = m a x ( 岛) ，通过比较可以看出来这个估计比以往 给出来的估计式估计效果要好。 最后，文章的第四章中从j a c o b i 矩阵和a o r 迭代矩阵特征值的关系出发讨 论a o r 迭代矩阵。；( d r l ) 。1 【( 1 一) d + 一r ) l + 硼】的收敛范围。 在j a c o b i 迭代矩阵的特征值全为零、全为实数、全为纯虚数和为实数及纯虚 数时讨论了收敛的充要条件。并重点讨论了当j a c o b i 迭代矩阵的特征值p ；为特殊 复数( 肛，= 一，+ f p ：，且j 斤；口( 常数) ，u 2 j 不为零) 时的收敛条件。在这个 讨论中，引入新的方法，并得到了一个a o r 迭代收敛的充分条件 满足o 。w 。i i l i 。翌= 立： j ( 1 - x f ) 2 + y f 2 ( j = 1 ，2 n ，其中x i , y j 的含义为t ，。迭代矩阵的特征值：一，。= x + 妒，的实部 与虚部) r 满足( i ) o - r ) 2 t ； ，舀c 呼阿 这个收敛条件讨论的j a c o b i 特征值是复数，比以往的讨论前进了一步，但是 这个讨论仅仅是对于j a c o b i 特征值是特殊的复数的情况，而且给出的是收敛的充 分条件，因此无法进一步讨论最优参数的选取问题，所以对于更一般的复数的情 况和收敛的充要条件的讨论还需要我们去更迸一步研究和探讨。 第二章h 矩阵新型判定方法及其应用 在本章中，我们考虑了一类特殊矩阵一h 矩阵的判定条件，并给出了一个新 型、简单的判定方法，使得判定范围明显扩大，并且这个判定方法只与给定的矩 阵本身元素有关，避免了一些判定( 【文献4 - 5 ) d p 要 , t 算j a c o b i 特征值与特征向量 的繁琐过程，从而解决了h 矩阵的一个判定问题。 2 1 预备知识 在矩阵分析中，h 矩阵是目前研究的热门课题之一，包括数学物理在内的许 多实际问题均可归纳为大型稀疏矩阵的线性方程组的求解，而线性方程组的讨论 中往往假设系数矩阵是非奇异的h 矩阵，因为在许多迭代法中的迭代矩阵对于h 矩阵都是收敛的( 见文献【1 】) ，因而简捷、迅速地判定一个矩阵是否是h 矩阵，便 成为理论和应用中个十分有意义的问题。 自1 9 9 3 年以来，国内、国外有一大批专家、学者致力与h 矩阵判定的研究， 也发表了数篇h 矩阵判定的文章( 文献【2 _ 巧】) ，近年来众多专家学者的研究大多 均以电子科技大学的黄廷祝教授于1 9 9 3 年发表的非奇异h 矩阵的简捷判据【j 】 为基础进行的。最近几年又有诸如冉瑞生等人发表的非奇异h 矩阵判定条件的 推广等文章，这些都是对h 矩阵的判定进行了新的探索，本文主要也是以此为 基础，对h 矩阵的判定进行了研究，并给出了一个新的判定方法，这个方法对h 矩 阵的范围进行了进步的推广，并将这个判定方法推广到不可约矩阵和有非零元 素链的矩阵，从实际例子也可以看出来这是对现有的理论的进一步推广，是具有 十分重要的理论和实际作用。 2 2 主要结果及证明 2 2 1 定义及预备定理 定义1 t 1 1 若a g r ，且4 可以表示为4 ；s l b ，其中，为阶单位矩阵，b 2 0 ， 当s p ( b ) 时称4 为m 矩阵，特别当s ，p ( b ) 时称a 为非奇异 f 矩阵。 定义2 若4 c “”，d = d i a g a ，a = d c ，则称1 d 卜l c l 为4 的比较矩阵， 且记作研( 爿) ，若吼( 4 ) 为m 矩阵，则称a 为h 矩阵。 4 定义3 1 1 设爿c ，d = d i a g a ，若4 的比较矩阵为非奇异m 矩阵，则称爿 为非奇异h 矩阵。 定义4 脚设麒，4 2 魄) ，制苫，善n ，i m 2 叼则称爿为 对角占优矩阵，若k | 窆k f ，( ，= 1 ，2 一”) 则称彳为严格对角占优矩阵。 定义5 1 1 试a a 6 c ，a = 瓴) ，若n 1 ，且存在= l 2 ，月 的一个非空 不交的分划s ，t ，s u t = n ，使得对v f s ，f 有口i 一0 ，则称爿为可约的，否 则a 为不可约的。 定义6 咖设爿c ，若有正对角矩阵设q ，使得j = a q ( q a ) 为行( 列) 严 格对角占优矩阵，则称a 为行( 列) 拟严格对角占优矩阵又称为广义对角占优矩 阵( 即a 为非奇异h 矩阵) 。 定义7 旧如果矩阵4 = ) m 。( c ) 满足k l 芑且口) ，( v f ) 且上式中至少 有一个严格不等式成立，以及对每一个等式成立的下标i 存在非零元素链 a f f , a a j 2 - 口 。a 0 ，满足k 胁l r a ) ，则称彳为具有非零元素链的对角占 优矩阵。 引理1 若a 为严格对角占优矩阵，则a 为非奇异日矩阵。 引理2 若爿为不可约对角占优矩阵，则a 为非奇异h 矩阵。 证明：若a 为不可约对角占优矩阵，则显然，0 ( i ，= 1 ，2 n ) ，( 否则 若存在乇使得n 嫡= o 则由k 怿妻kj ，( f ，= 1 , 2 忍) 可以得到 4 “= 0 ，= l 2 n 这与a 是不可约矩阵相矛盾) 。为了证明a 非奇异，只 需要证明a x = 0 只有零解即可，将a x = 0 改写为： j 昌l j 喾 记m = m a x l x , i o l x 。 m = 蕾。f s 骞n ；，f f z ，i s m 砉f n ：，i ， t 2 一荟a o2 善n 咖 若a 是奇异矩阵，则对肛= 0 的非零解有m 一0 ，由( 1 ) 式可以推出 砉k ，i ；1 ，且k ，i 一。时，i _ l = m ，由对角占优的定义知i x ，i = m ，于是由一不 可约导出对于乇，k 有，之，使口嫡拉骗一。从而吒t a f 0 ，由 n 乙一。导出k f = ，再由n 磊，o 导出ka m ，重复上面的步骤可以得到： k i = m ，进而得到蔫。i n ：，i = 1 ，这与一为对角占优矩阵的条件相矛盾，故爿非奇 异。 又由a 为不可约对角占优矩阵，取a = d b ，( d = d i a g a ) ，则比较矩阵也 为不可约对角占优且矩阵，从而比较矩阵为m 矩阵，故a 为h 矩阵，综上所述 可知为非奇异h 矩阵。 引理3 阴设一c “，且爿为具有非零元素链对角占优矩阵，则a 为非奇异h 矩阵。 引理4 山设爿m 。( c ) ，如果存在正对角矩阵x ，使得删是非奇异h 矩阵， 则a 也是非奇异h 矩阵。 引理5 设4 为不可约矩阵，x 为正对角矩阵，若有b ：a x ，则b 也为不 可约矩阵。 2 2 2 非奇异日矩阵的判定方法 1 、设m 。( c ) 为n 阶复矩阵的集合，m 。( 尺) 为n 阶实矩阵的集合， 生 m 一 、 邕 ，呀 中 有 其 则 a = j ) m 。( c ) r ) = 川f ，= 1 ，2 2 珏) o i 1 - i e n ：o c l a “l = 母) n 2 = i e n ：o c k i c 墨研) ) 3 - i e n ：k i ，r ) ) 显然1 n n 2 = 庐，1 n n 3 = 驴，n 2 n 3 = 庐，1 u 2 u 3 ；n ， 规定 耐。一o ，则显然当1 u 2 ；庐时，a 为严格对角占优矩阵，即为非奇异h 矩阵，反之若a 是非奇异h 矩阵，则a 至少有一个严格对角占优的行，因此 3 一庐，由此我们总可以假设m ，1 u ：非空。 定理1 设a = ( 4 ) m 。( c ) 若 川，副峪等荟背蚓畔1 ， 小箍掣+ 磊等搿( v z 吼) 其中h i = m a n 蚓 o f ，= 1 , 2 - 。n 则a 是非奇异h 矩阵。 证明：由假设vf 1 则有 厶2 南蚓一到一磊等川一荟科】 0 ( 3 ) 厶2 南常k j 母i 毒等川嚣吲】 0 ( 4 ) 当k l = o 时，记l i = + m ，显然vf 1 u v ： - ，o ，因此一定 f d ， 存在充分小的s ) 0 ，使得 0 “r a 批i n l f + 。 ( 5 ) 7 构造x = d i a g ( x ，而)如 0 其中 = l 墨丝2 二堡 足即) 臀 f 批 i i e ， 具甲目t 。m 雕k f ，o i ，= 1 ，2 因为+ 故+ 显然x 为正对角矩阵，记曰；删。魄) ，则 2 _ f ，= 1 , 2 ，押，下面只需要证明b 严格对角占优即可。 1 ) l 当磊o 时v t e 3 = o 由( 1 ) 得 2 毒，；t 磊a i rj + 磊葺m 。磊。川+ 磊鬻茅m c 蚓= 当驴“ o 时，由( 3 ) 和( 5 ) 得 足。磊磊t 川 2 毒i i 1 + 荟等j j + 驴静k i 5 酽陋+ 甜蝠絮荟静m c 裂啦一副刊一，荔：絮k 卜，乏，舒m 一馕k i + ，善：焉茅+ 磊，臀州， 2 当2 磊k i _ 0 时3 a u = 0 由q 得 郫) 2 磊。喇+ ，篆i 磊k i 2 酽i + 磊，絮i i t 絮阱i 阪i 当磊o 时，由4 和5 爝 r 阶亲一x , in i + 磊磊k i 。驯+ 毒。等k i + 磊静k i = ( 驯 沙i + 墓，；等i ”i 荟背 c 裂学蚓剖一毒。等嵫静小 驯+ 墓。等i 叫+ 荟寄凇巾 = 絮茅i i i 阢i s ) 当删，惟2m 笔茅 0 得5 m ，( 6 ) 3 由( 6 ) 得 i b j ， - r j 阶如i 一荟地嚷如卜焉，_ 叫 嘶静阱驯一箴i 足( a ) - 1 t , 磊，p + 静m 2 s ( 1 a w l 一剖慨价驴幅等 t 驯+ 磊等皆m + 墓，臀k - r j 口， 刚，一驯一磊等”磊，督帅= 。 即b h f r j p ) 综上所述，v f 都有k i ) r ) 故，b 为严格对角占优矩阵，由定义6 ， a 为拟对角占优矩阵，即为非奇异h 矩阵。 推论：设a 2 ( ) ( c ) ，且满足定理1 的条件，其中巩= m i j a i l ，o ， i ，= 1 ，2 疗，若e = a i ij 即为文献【6 】的结果。 2 、数值例子 恸i1 其中】= 1 ) 2 = 2 ，3 n 3a 4 ，5 ) l a , , i 小雨1 3 2 等肛：i + 等i ”i 背k 。i + 背k i 悱3 圯8 2 蒜瓮她| + 等阱哿| 4 2 4 | + 舒呦 阱踮j 5 2 稿等i 絮j 口3 2 j + 哿m 背l a i j 由于矩阵a 满足定理1 的条件，所以a 为非奇异h 矩阵。 但 l a 2 2 1 玖百1 8 2 2 高i ，i + 掣k 小筲k i + 筲k i 】 所以用文【6 】的定理无法判定。 1 0 1 1 1 小1 札，卜哿+ 她l a d 协3 0 其中 o 0 5 m 5 1 4 3 1 o 0 5 0 o 0 1 0 0 1 0 工= 1 r 似) 一只 墨似) 母) 蚓 i e 1 i e n 2 其中h i = 吵n 川，0 f ，j 一1 , 2 i e 3 记b 。a x 2 ) ，则2 x j a q ，i ，j2 1 , 2 ，l p 向只需要证明b 为小司 约对角占优矩阵即可。 1 ) v i e 1 由( 1 ) 得 r 2 毒y x , in 嚏喇+ 荟喇 2 剖i + 磊等磊寄i i s = m 2 ) v i e 2 由( 2 ) 得 郫) 2 荟喇+ 墓y x , in 卜，磊喇 2 驯+ 墓。等 匆p , 川t ( a ) j i s 絮茅阱m 。峭刚，畦2 叭等“惟3 队臀d 所以r 舢一驯一磊絮毒，臀协。 则卧r i ( b ) - i 小一幅w i j - - i 荔引j - 葛。j x j n f e e ，* j 阢j 啊r j ( a ) m 讶圹i 荟等仆毒，背k i = r j ( a ) 一驯一磊等仆茹，箐协。 综上1 ) ，2 ) ，3 ) 可知，v ，都有i b 自i 尺，( 曰) ，= 1 ，2 栉且至少有一个 严格不等式成立，则b 为对角占优矩阵，而a 又不可约，由引理5 知道，b 为不 可约对角占优矩阵，再由引理2 知b 为非奇异h 矩阵，则由引理4 ，显然爿为非 奇异日矩阵。 这个定理是针对不可约矩阵提出了判别非奇异h 矩阵的方法，使定理1 的适 用范围更加广泛，具有十分重要的实际意义。 2 、数值例子 例1 爿； 2of1 0 0 7 5f o 0 5 11 61 5 f 一1105 f 其中l = 1 )n ：； 2 ) 也= 3 ，4 ) 而：口1 2 = 0 ，但是a 1 3 a 3 2 0 ，a 2 i = o ，但是口口3 1 0 ，口2 4 = o ，但是口3 4 0 ， a 。= 0 ，但是a 4 2 a 。* 0 因此这是一个不可约且不严格对角占优的矩阵，但是： i z ，= 等2 絮叫+ 背悱i 筲l q ：1 - o 7 _ _ j 5 o + 三。1 + 兰。1 ：竺 11 658 0 | 2 2 | 一o - m 盯s2 可繁瓮她f + 筲筲叫】 =丽110 7 5 【。+ 三1 6 1 + 细5 = 三4一_ l j 故有上边的判断可以知道满足定理2 的条件，所以这也是一个非奇异h 矩阵。 1 4 2 2 4 具召非零兀索链的矩阵为h 矩阵的判定方法 1 、本节内容是在定理1 的基础之上，将其判定方法推广到具有非零元素链的 特殊矩阵，并依此推导出了具有非零元素链的矩阵为h 矩阵的判定方法。其中符 号约定如第一节。 定理3 设a = ( a 0 ) e m 。( c ) 如果满足： 悱毒，in i + 磊等铲i ”i 磊寄1 l ( v 刚) k 悻箍酬+ 毒等k + 墨背i l 】咋也) 其中h i = l i l i n i o , , i o f ，= 1 ，2 - - ，l 且上面两个式子中至少有一个严格不等式成立，对于每一个等式成宴的明e 3 中的f 存在非零元素链4 “4 l 8 。o 且满足： 嘲且磊。i 峪等磊筲k i 或t n 2 且 协意瓮c 驯+ 磊。等孙磊臀 h i = 删n k i ，o i ，= 1 2 则a 是非奇异h 矩阵。 证明：构造一个对角矩阵x = d i a g “，z ，x )魄i 其中n 0 1 月。( 4 ) 一日j r ，( 一) r 。似) a i n l i 其中q ；m i n 川，o f ，= 1 , 2 n i n 3 1 已b 2 a x 2 【) ，! i l u5 z j 4 口 l ，j2 1 2 ，。n 1 ) 1 时，由题目条件得： r 阶毒y x , in i + 磊吵i 磊i 2 磊ii 磊絮茅i ”i 磊背k i s k i = m 2 ) 2 时，由题目己知条件得： 郫) 2 磊t i 墓y x , i “i + 磊j 吼i 2 驯+ 墓i 等i + 磊型l u l l i i s 笔茅i ”i i b , , i 。刨z 帅c 等“睢也叭背a 钉 r ) 3 l 。l 所以r j ( a ) 一驯一磊等i i 奎，臀协。 卧量阶_ 蚪磊 磊地 - 葛，x j m 。脊钋i 驴i 一荟等i n ，噱，督川 5 删一驯一磊等磊，臀协。 由1 ) ，2 ) ，3 ) 可知， v j 都有i b z f z r j ) ，；1 , 2 n ，但由非零元素 娃的条件可以知道，jf 0 1 u 2 ，使得i i ，气( 南，因此由定义可知b 为具有 非零元素钵的对角占优钷阵v 引弹3 b 曲非奇异h 钮陈再i _ | = 1 日i 理4 a 柏 非奇异h 矩阵。 2 、数值例子 例1 a = 1 1 01 1 f - 10 oo - 3 fo 9 0 o3 i 其中1 = 1 ) n 2t 2 ) 3 ： 3 ，4 ) 而：a l z = o ，但是q ：。一o ，a i 。一o ，但是找不到一个非零元素链使得： 8 - 8 j ：口 44 0 ，“2 42 0 但是找不到一个非零元素链使得a 2 a a j 。j 2 a j r4 - 0 口，2o ，也找不到一个非零元素链使得：a 3 h a h j 2 - - a a 4 0 ，因此由矩阵可约的 定义知道这是一个可约矩阵且是不严格对角占优的矩阵，但是： 悱1 ) ；2 絮川+ 背+ 晋k ：3 - _ _ 2 1 x 1 + 三o + 1 0 三 39 33 悱2 瑞瓮她怿1 7 , 3 ( ，a ，训) + 臀 = 击【0 + 詈m ；1 0 】= 嚣= ， 且对于等式成立的f = 2 ，存在非零元素链： a ：3 a 3 1 0 而，此时女1 ，七；1 ， 且满足： 川 笔刚+ 臀叫+ 可r 4 ( a ) 故有上边的判断可以知道满足定理3 的条件，所以定理3 的结果可以知道这 是一个非奇异h 矩阵。 第三章一类特殊矩阵无穷范数的估计 在矩阵计算中，经常要对某个矩阵的特征值进行估计，l 司此对一个矩阵范数 的估计尤为重要，在这一章里我们先讨论一类特殊矩阵逆的无穷范数的估计。在 文献【1 ，1 0 1 6 】中对忙一1 忆的讨论往往假设爿为严格对角占优矩阵，得到了许多结 果，如胡家赣在矩阵分析中提到的一个估计：i p - i i 。si 1 ，口2 呼n k i 一善k 1 ) ， 其中要求爿为严格对角占优矩阵。但在实际中所讨论的矩阵往往是弱对角优势矩 阵甚至没有对角优势的矩阵，在1 9 7 6 年，v a r g a 曾对a 为h 矩阵的情形给出了一 个忙一1 忆上界的估计，但是此上界比较抽象不便于实际应用，后来胡家赣在文【1 】 中也给出了两个估计： 结论一：若a = ( n 。) 为不可约h 矩阵，则： h i ai 。s m a x ( q , ) m i n ( 1 a u l q , ) ( 1 - p ( i j l ) ) 此处g 。眩，口z ，吼) 7 为的与特征值 p - ，i ) 相对应的正的特征向量a 结论二：若爿= 瓴) 为可约h 矩阵，其法式为 pa p ： 4 。4 ：a 一。4 。 4 2 2 4 h4 i 4 m 一14 a 此处p 为一个排列矩阵，又设 q = d i a g ( q 。，q 2 ，q ) 7 为一个块对角矩阵，其对角块q 1 ，q 2 g 分别与p 7 胛 的对角块有相同的阶，则：l l a - 1 l l 。s 将 这两个结论可以对怕一1 忆作处估计，但是他们每一个都要进行大量的计算， 因为要计算出p ( 1 i ) 及对压的特征向量与构造q 郡需费大量的计算。本币主曼利 用了矩阵范数的定义给出了一+ 1 1 a 一1 忆的估计，并且不要求4 为严格对角占优矩 阵，在估计式子中，只与矩阵本身的元素有关，因此可以说是一种比较简便和实 用的估计公式。 3 1 i a 。1 k 上界的估计 定理4 设a ；) m 。( c ) 且满足： 协甜n i + ，丕等 荟督川咋1 ) 揣酬+ 毒等墨背( v i 叫， 则j i a - i 忆s 峄) f = 1 , 2 ，3 此时j m 其中 = m 妒 k i ) o f ，= 1 ，2 n 酬”i ( 磊，i 嚏等”磊督m 】- 1 刚 = r 絮i 蚓少三，絮l n 一嚏堂l a 1k 旷m 铲【寄卅i 驯+ 磊等协。虿，背帅】_ 1 斛 证明：构造一个对角矩阵x ；d i a g ( x , ，k 工1 ； 0其中 1 r i 似) 一h ， r ，) r ，( 爿) 蚓 i n l f ： 其中 h j = m i n i i o f ，昌1 ，2 n i n 3 记b = a x = ) ，则= x j n ，i ，j = 1 ，2 ，。n 1 9 ( 1 ) 同第二章定理1 的证明过程，可以知道b 为严格对角占优矩阵，即为非奇异h 矩阵，由文【1 】第7 8 页定理可知： 1 1 口- 1 1 1 * 掣高 而由( 1 ) 可知 = 蚓 墨鲤二堡k i r ) ” 背k f 1 f i e ， 蓍阱焉。i ”i 磊。等茅i ”i 磊；背m 又口= 删，则 a ；b x ，即a = x b 。1 故由矩阵无穷范数的定义可以z 1 0