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哈尔滨理工大学理学硕上学位论文 紧支撑多小波的构造 摘要 小波分析是2 0 世纪8 0 年代后期形成的一个新兴的数学分支，作为时一 频分析方法，在图像压缩和去噪等方面有着广泛的应用。与单小波梧比，多 小波可以同时具有紧支性、正交性、对称性等良好的性质，这决定了多小波 在信号处理方面越来越得到广泛的研究和应用。图像的传输与存储在可视电 话、数字电视以及卫星遥感等方面具有广阔的应用前景，由于大量的图像数 据传输给通讯带宽和存储介质带来了巨大的负担，因此，需要对图像进行适 当的压缩编码处理，去除图像中的冗余信息，压缩图像的数据量。 本文针对单小波理论、多小波理论及单小波在图像压缩方面的应用做了 系统的研究，主要包括以下几方面工作： 首先详细阐述了单小波与多小波的基本理论，将小波变换的分解与重构 算法推广到二维图像的分解与重构算法；之后引出了图像压缩原理、图像的 压缩与恢复的评价标准及几种常用图像编码方法，并将小波变换用于图像压 缩，给出小波图像压缩流程；最后通过本人图像与b a r b a r a 图像不同级别的 小波分解与重构图进行图像压缩模拟演示。 引出了多分辨分析理论，选取一个紧支撑正交单小波将其平移为多个小 波函数来构造二重紧支撑对称多小波；然后选取合适的正交矩阵与已构造的 二重紧支撑对称多小波做乘积，进而可以构造相应性质的二重紧支撑对称一 反对称多小波，并给出了原单小波与构造的多小波之间的矩阵系数关系；最 后，本文以提升h a a r 小波结合所选取的j 下交矩阵来构造相应性质的二重紧 支撑对称反对称多小波。该方法简单、易行、支撑长度更短，由此方法构 造的多小波拥有更好的实际应用价值。 选取适当的正交矩阵，与已知的紧支撑对称正交多小波做乘积，进而构 造出相应性质的紧支撑对称正交多小波，并以d g h m 紧支撑对称多小波为 例，给出了具体的构造过程。 关键词多分辨分析；多小波；图像压缩；多滤波器组；对称一反对称 哈尔滨理工大学理学硕七学位论文 皇皇暮皇詈詈| 皇鲁詈暑鲁昌置暑詈鼍葛昌重量昌= 詈量量量皇皇皇詈鲁皇詈皇詈詈詈昌詈皇暑詈= 詈詈昌詈毫皇= 皇詈詈毒皇暑暑詈皇詈皇暑皇葛鼍皇鼻皇皇暑皇薯皇暑詈昌鼍暑暑鼍量暑一i l l co n s t r u c t i o no fc o m p a c t l ys u p p o r t e d m u l t i wa v e l e t a bs t r a c t w a v e l e ta n a l y s i sh a sb e e nan e wb r a n c ho fm a t h e m a t i c ss i n c el9 8 0 s a sa t i m e f r e q u e n c ya n a l y s i sm e t h o d ，i t h a sb e e n w i d e l ya p p l i e d i n i m a g e c o m p r e s s i o na n dd e n o i s i n g c o m p a r i n gw i t hu n i w a v e l e t ，m u l t i - w a v e l e tc a n s i m u l t a n e o u s l yh a sp r o p e r t i e s l i k e c o m p a c t l ys u p p o r t e d ，o r t h o g o n a l i t ya n d s y m m e t r ye t c ，w h i c hd e c i d et h a tm u l t i - w a v e l e tc a ng e tb r o a da p p l i c a t i o na n d r e s e a r c hi ns i g n a l p r o c e s s i n g i m a g et r a n s m i s s i o na n ds t o r a g eh a v eab r i g h t f u t u r e i nv i s u a l t e l e p h o n e ，d i g i t a lt e l e v i s i o n ，r e m o t em e d i c a lt r e a t m e n ta n d s a t e l l i t er e m o t es e n s i n g ，b u tt h em a s s i v ei m a g ed a t al i m i t st h ec o m m u n i c a t i o n b a n d w i d t h a n ds t o r a g em e d i a t oa d a p tt h ec o m m u n i c a t i o nb a n d w i d t ha n d s t o r a g em e d i ai nu s e ，i m a g ed a t am u s tb ec o m p r e s s e db yc o d i n gp r o p e r l ya n d r e d u n d a n ti n f o r m a t i o nm u s tb er e m o v e d t h i sp a p e rm a k e ss o m es y s t e m a t i cr e s e a r c h e so nt h et h e o r ya n da p p l i c a t i o n o fs i n g l ea n dm u l t i w a v e l e ti ni m a g ec o m p r e s s i n g t h em a i nw o r ki ss u m m a r i z e d a sf o l l o w s ： w ed e s c r i b et h et h e o r yo fu n i w a v e l e ta n dm u l t i w a v e l e ti nd e t a i l ，a n d a p p l yt h ed e c o m p o s i t i o na n dt h er e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h mo f w a v e l e tt r a n s f o r mt o t w o d i m e n s i o n a lp i c t u r ed e c o m p o s i t i o na n dt h er e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m ，t h e n g i v et h ep r i n c i p l e so fi m a g ec o m p r e s s i o n ，t h ee v a l u a t i o nc r i t e r i ao fi m a g e c o m p r e s s i o na n dr e s t o r a t i o na n ds o m ec o m m o ni m a g ec o d i n gm e t h o d s t h e i m a g ec o m p r e s s i o nf l o wi sg i v e nw h e nt h ew a v e l e tt r a n s f o r mi sa p p l i e dt oi m a g e c o m p r e s s i o n f i n a l l y , t h ed e c o m p o s i t i o na l g o r i t h ma n d t h er e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h ma r ed e m o n s t r a t e dt h r o u g hm yi m a g e sa n db a r b a r ai m a g ea td i f f e r e n t 1 e v e l so fw a v e l e tt r a n s f o r m 胎i n t r o d u c et h em u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i st h e o r y , c o n s t r u c t t w o d i m e n s i o n a lc o m p a c t l ys u p p o r t e ds y m m e t r i c a lm u l t i w a v e l e tt h r o u g ht r a n s l a t i n g - i i _ 哈尔滨理- t 大学理学硕士学位论文 a c o m p a c t l ys u p p o r t e do r t h o g o n a lu n i w a v e l e tt om o r et h a no n ew a v e l e tf u n c t i o n m u l t i p l y i n g s e l e c t e d a p p r o p r i a t eo r t h o g o n a l m a t r i x b yt w o d i m e n s i o n a l c o m p a c t l ys u p p o r t e ds y m m e t r i e a lm u l t i - w a v e l e t ，w ec a nc o n s t r u c tt w o d i m e n s i o n a l c o m p a c t l ys u p p o r t e ds y m m e t r i c a la n da n t i s y m m e t r i c a lm u l t i w a v e l e t w i t ht h ec o r r e s p o n d i n gp r o p e r t i e sa n d s u b s e q u e n t l yg i v et h em a t r i x c o e f f i c i e n tr e l a t i o nb e t w e e no r i g i n a lu n i w a v e l e ta n dt h em u l t i w a v e l e t i nt h e e n do ft h i sp a r t ，t h et w od i m e n s i o n a lc o m p a c t l y s u p p o r t e ds y m m e t r i c a la n da n t i s y m m e t r i c a lm u l t i - w a v e l e ti sc o n s t r u c t e db yh a a rw a v e l e ta n ds e l e c t e do r i g i n a l m a t r i x t h i sm e t h o di ss i m p l e ，e a s yt oi m p l e m e n ta n dc a l lc o n s t r u c tc o m p a c t l y s u p p o r t e dw a v e l e t ，s oi tc a l lb e u s e di np r a c t i c e ，n l e c o m p a c t l ys u p p o r t e ds y m m e t r i co r t h o g o n a lm u l t i w a v e l e tc a nb e c o n s t r u c t e db y m u l t i p l y i n gp r o p e ro r i g i n a lm a t r i xb yg i v e nc o m p a c t l ys u p p o r t e d s y m m e t r i co r t h o g o n a lm u l t i w a v e l e t ，a n dt h ed g h mc o m p a c t l ys u p p o r t e d s y m m e t r i co r t h o g o n a lm u l t i w a v e l e ti st a k e na sa ne x a m p l et os h o wh o wt ot h i s p r o c e s s k e y w o r d sm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，m u l t i w a v e l e t ，i m a g ec o m p r e s s i o n ，m u l t i f i l t e rb a n k s ，s y m m e t r i c a l a n t i s y m m e t r i c i i i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文紧支撑多小波的构造， 是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研究工 作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或 撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体均已在文中以明 确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：芗援孙日期：吲冉月届日 1 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 紧支撑多小波的构造系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间在 导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理工大学所 有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔滨理 工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论 文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用 影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密豳。 ( 请在以上相应方框内打4 ) 作者签名： 导师签名： 亨狂斩 呷影傻 r 期：川年乒月口日 同期：彦z 夕年乒月口日 哈尔滨理工大学理学硕： 学位论文 1 1 研究的目的和意义 第1 章绪论 小波分析是近年出现的一种新的数学分析方法。它被数学家和工程师们 独立地发现，是多元调和分析5 0 年来发展的一个突破性进展，反映了大科 学时代学科之间相互渗透、交叉、融合的趋势，是纯粹数学与应用数学及工 程技术殊途同归的光辉典范。在信号分析、图像处理、模式识别、语言合 成、方程求解和分形力学等领域都已取得了具有科学意义和应用价值的重要 成果。小波分析是一种信号的时间一频率分析方法：还拥有多分辨分析与表 征信号局部能量的特征，又是一种窗口大小( 面积) 固定而形状均可改变的时 频局部分析方法，所以小波变换又被誉为“数学显微镜”。 在图像处理的实际应用中，正交性能保持能量，而对称性( 线性相位) 既 适合于人眼的视觉系统，又使信号在边界易于处理，所以，分析工具同时拥 有这两种性质是十分重要的。可是，实数域中，同时具有紧支、对称、正交 的非平凡单小波是不存在的，这使人们不得不在j 下交性与对称性之间进行折 衷1 2 1 。为了弥补上述不足，1 9 9 4 年，g o o d m a n 等提出多小波概念曲1 ，其基本 思想是将单小波中由单个尺度函数生成的多分辨分析空间，扩展为由多个尺 度函数生成，以此来获得更大的自由度。它既保持了单小波所具有的良好的 时域与频域的局部化特性，又克服了单小波的缺陷，将实际应用中十分重要 的光滑性、紧支性、对称性、正交性完美地结合在一起，从而在图像压缩方 面具有比单小波更优良的性能，这决定了多小波在这方面将被越来越被广泛 的研究和应用j 。 在当前这样一个充满信息的社会中，人们在交换图像、声音、文字等信 息方面的需求越来越大，对信息交换的要求也越来越高。与文字信息处理不 同，图像信息需要大的存储空间和宽的传输信道，尤其是在需要进行快速或 实时传输以及大量存储图像时就需要对图像数据进行压缩，以便减少存储信 息所需要的介质数目、提高传输信息的传输率、减少传输时间、提高效率、 降低成本1 5 1 。图像之所以可以压缩是由于图像数据间存在各种冗余，如：空 间冗余、信息冗余、视觉冗余和结构冗余等。所谓压缩就是去掉冗余，保留 有用的信息，7 1 。图像按压缩恢复效果可分为有损压缩和无损压缩协j 。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 图像经过小波变换后生成的小波图像的数据总量与原图像的数据总量相 等，即小波变换本身并不具有压缩功能，之所以将它用于图像压缩，是因为 生成的小波图像具有与原图像不同的特性，表现在图像的能量主要集中于低 频部分，而水平、垂直和对角线部分的能量则较少。水平、垂直和对角线部 分表征了原图像在水平、垂直和对角线部分的边缘信息，具有明显的方向特 性。对于压缩图像与恢复图像的质量和衡量标准分为主观与客观两种。客观 的衡量一般采用峰值信噪比( p s n r ) 和均方差( m s e ) 。其数学表达式分别为 1m m s e = i 圭i e x t , ( x ，y ) 一1 7 ( z ，y ) 】21 ， r 、。 h ov y 2 l x = i p s n r = 1 0 l g ( 2 5 s e ) 其中i ( x ，y ) 是原始图像，( x ，y ) 是恢复图像，m ，是图像的尺寸。对于一 个图像压缩方案来讲，m s e 越d , ( p s n r 越大) ，则其性能就越优良n 0 1 。 1 2 国内外在该方向的研究现状及分析 1 2 1 多小波的研究现状 小波分析的思想来源于伸缩与平移方法。小波分析的提出可以追溯到 h a a r 在1 9 1 0 年提出的小“波”规范正交基。随后d a u b e c h i e s ，g r o s s m a n ， m e y e r ，l e m a r i e ，b a t t l e 和m o r l e t 对小波也做出了许多贡献j 五1 3 】。1 9 8 7 年， m a l l a t 巧妙的将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引进到小波函数的构 造及信号按小波变换的分解及重构中，成功的统一了在此之前具体小波函数 的构造。研究了小波变换的离散化情形，并将相应的算法一现今称之为 m a l l a t 算法有效的应用于图像分解及重构t 1 5 。 1 9 9 4 年，g e r o n i m o ，h a r d i n 和m a s s o p u s 构造了著名的g h m 多小波。 它既保持了单小波所具有的良好的时域与频域的局部化特性，又克服了单小 波的缺陷，将实际应用中十分重要的光滑性、紧支性、对称性、正交性完美 地结合在一起n 氐川。1 9 9 6 年，人们将传统的滤波器组推广至矢值滤波器组、 块滤波器组，初步形成了矢值滤波器组的理论体系，并建立了它和多小波变 换的关系m 憎i 。矢值滤波器组中处理的对象是矢值信号，在去除矢量之间相 关性的同时，它保持矢量内部的相关性，所以它更适合于矢量量化。作为矢 哈尔滨理工大学理学硕七学位论文 值滤波器组的特例一矢值变换，在图像压缩中是十分有效的乜引。为此，研究 者们认为，多小波和矢值滤波器组具有相当的应用价值。 多小波在理论上所表现出来的优势以及它在应用领域所具有的潜力，使 其受到高度重视。多小波诞生后的短短几年时间内，多小波的构造心和多小 波变换实现中，预滤波器的设计船列及信号的边界处理扫3 1 正迅速成为新的研究 热点，而对它在图像处理方面的应用，人们正进行积极探索，并在静止图像 编码、图像去噪两方面取得了一定的成果比t2 5 。 多小波的构造通常可转化为r x ，的矢值滤波器矩阵系数的求解。与单小 波相比，一方面，矩阵中元素的增多，提供了更大的自由度与灵活性，使得 相应的尺度函数、小波函数可同时满足对称性和正交性；另一方面，由于矩 阵中的运算要比实数中繁琐，这又使得多小波的构造明显比单小波困难。著 名的g h m 多小波是由g e r o n i m o 等人采用复杂的分形插值方法得到的隍6 1 。 接着，s t r e l a 等给出用二尺度相似变换法来构造光滑、紧支、正交、对称的 尺度函数和小波函数的具体步骤他引。而r i e d e r 则研究了如何把多小波的构 造转化为线性方程组的求解问题幢引。2 0 0 0 年，黄卓君和马争鸣结合现有的 两种前置滤波器提出了一种新的前置滤波器方法并用于多小波图像编码从而 提高图像压缩比心引。2 0 0 1 年，高西奇、甘露和邹采荣给出了一类对称一反 对称多小波滤波器组参数化设计方法，并在此基础上提出了新的多小波零树 编码方案0 。2 0 0 1 年，王玲和宋国乡综述了多小波的重要性质，对几个常 用多小波作了预处理阳。2 0 0 2 年，曾剑芬和马争鸣由若干个单小波的提升 格式作为搭建提出了一种新的实现多小波变换的提升格式模型，并把这种构 造的多小波应用于图像编码，得出了更好的压缩效果b 引。2 0 0 2 年，徐晶、 冉启文和谢颖利用低通矩阵序列来构造高通矩阵序列的方法给出了两种通过 单小波来构造对称一反对称j 下交多小波的方法1 3 引。2 0 0 3 年，高西奇、甘露 和邹采荣提出了g h m 正交多小波滤波器组的完备的因子化形式和参数化方 法1 3 引。2 0 0 4 年，徐晶和王丽媛给出了利用单小波基将一类对称一反对称讵 交多小波滤波器序列参数化没计方法”圳。2 0 0 5 年，康静构造了高逼近阶双 正交多小波系统并研究其在图像压缩中的应用| 3 6 1 。2 0 0 6 年，张同琦在多小 波与单小波的基础上利用矩阵卷积构造出了一类多尺度函数与多小波引。 2 0 0 7 年，王国秋和郑果通过对特定矩阵滤波器组的定义，构造了一类具有 期望的对称性、平衡性和高阶消失距的f 交多小波”驯。2 0 0 7 年，蒋勇、邓 彩霞和王旭利用函数构造一种紧支撑的多小波，这种多小波中一个小波对 称，另一个小波反对称。2 0 0 8 年，鲍润华由任意一对3 带双正交单小波 哈尔滨理工大学理学硕二仁学位论文 及两组滤波器来构造一类3 带双正交多小波的方法h 们。2 0 0 8 年，吕卫平和 杨守志给出了一类重数为2 ，的正交对称一反对称多小波的构造算法h 。 2 0 0 8 年，孙垒和程正兴对于给定的对称一反对称紧支撑正交，重尺度函数， 给出一种构造对称一反对称紧支撑正交多小波的构造方法h 引。 1 2 2 图像压缩简介 图像压缩的基本理论起源于2 0 世纪4 0 年代末香农( s h a n n o n ) 的信息理 论h 引。香农的编码定理告诉人们，在不产生任何失真的前提下，通过合理的 编码，对于每一个信源符号分配不等长的码字，平均码长可以任意接近于信 源的熵。在图像压缩中，对于单小波可以直接利用分解与重构公式对信号进 行滤波。但是对于多小波来说就不能直接利用，而应该在分解前对数据进行 预处理，对处理后的数据再进行分解。同样，对重构后的数据也要进行后处 理才能得到需要的结果。 所谓图像压缩，就是将二维图像看成一串数据，然后实施下列操作h 引： ( 1 ) 图像数据的向量化。指将图像数据串中所包含的所个数据截成m 段 ( 一般是相等的，例如每段含k 个数据) ，即把m 个数据( 图像数据) 变成肘个 数据向量。 ( 2 ) 数据向量的分组与代表选择。指将m 个数据向量分成个组，对 每个组挑选一个数据，作为这个组的代表，例如，第，组中的代表是 乃，= o ，1 9 j 9 n 一1 a ( 3 ) 数据向量的量化编码( 图像压缩编码) 。就是图像上的数据向量，如 果属于第，个组，则这个数据向量就用该组的代表向量y ，代替，这时的编码 就是在码书的相应位置上记下编号，而不必记下y ，本身。记录y ，的文件 称为密码书。 图像数据之所以能够进行压缩其数学机理主要有下面两点嗨0 。：( 1 ) 原始 图像信息存在着很大的冗余度，数据之间存在着相关性，如相邻像素之间色 彩的相关性等，数据中这些冗余信息将会产生额外的编码。如果去掉这些冗 余信息，就会减少数据所占的空间，例如“中华人民共和国”可以压缩成 “中国”。这样就能大大节省存储空间和传输的开销。当然，冗余信息在某 些情况下是非常有用的。具有一定冗余度的信息能有较强的抗干扰能力，当 消息在传输中受到干扰而出现错误时，这些冗余信息可以帮助人们根据上下 文纠j 下错误。( 2 ) 在多媒体系统的应用领域中，人眼对图像的亮度信息敏 4 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 感，而对颜色分辨率弱等，因此在高压缩比的情况下，解压缩后的图像信号 仍有着满意的主观质量。 图像压缩按恢复效果可分为有损压缩和无损压缩喳1 5 羽。对于有损压缩， 恢复图像的质量和衡量分为主观和客观两种哺3 h 1 。 然而，已有的阶段性成果仍具有以下不足：一方面，在进行离散多小波 的变换时，通常只是把单小波中的m a l l a t 算法简单的推广到多小波的情 形，没有很好的利用多小波的对称特性加速。在本课题中将给出一种二重紧 支撑对称一反对称的多小波的构造方法，这种多小波不但具有紧支撑性，而 且一个小波具有对称性，另一个小波具有反对称性；另一方面，多小波的构 造通常局限于重数，= 2 。而对于重数厂 2 的情形，由于自由参数的增多， 构造难度的加大，目前很少有人涉及其构造的探讨。本文将要构造一种任意 重数的正交多小波，最后通过m a t l a b 软件编程，对图像用多小波进行压 缩仿真试验。 1 3 本文主要研究的内容 本文主要研究以下三个问题： 第一，深入了解单小波的理论，将小波变换的分解与重构算法推广到二 维图像的分解与重构算法，并将其用于图像压缩，给出仿真实验。 第二，在给定一个紧支撑正交单小波的基础上将其平移为多个小波函数 来构造二重紧支撑对称多小波，再选取合适的正交矩阵与所构造的二重紧支 撑对称多小波做乘积进而构造得相应性质的二重紧支撑对称一反对称多小 波，指明单小波与所构造的多小波滤波器之间的具体关系，并给出构造实 例。 第三，选取一类良好性质的j 下交矩阵来构造任意重数的正交多小波，并 研究原多小波与所构造新的多小波的滤波器之间的关系。 哈尔滨理工大学理学硕：仁学位论文 第2 章单小波与多小波理论基础 2 1 单小波的基本理论 2 1 1 引言 作为目前国际上公认的时频分析工具，小波分析是f o u r i e r 分析的发展 与完善，是泛函分析、f o u r i e r 分析、样条分析、调和分析、数值分析的最 完美结晶。在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音分析、模式识 别、量子物理及众多非线性科学等领域，它被认为是近年在工具及方法上的 重大突破，被誉为“数学显微镜”。 尽管f o u r i e r 分析能够较好地刻画信号的频率特性，但几乎在时间域上 不提供任何信息。对于信号( 工) r ( r ) ，可以定义它的f o u r i e r 变换为 f ( c o ) = if ( x ) e 叫纵出 i 相应的逆变换为 厂( x ) = - z - i _ f ( c o ) d 。 x d c o z 乃i f o u r i e r 分析标出了信号中每一个分量发射的瞬间与持续时间，对于确 定的平稳信号，它是信号分析和处理技术的理论基础，影响深远。但是传统 的f o u r i e r 变换仅仅在频率域上有局部性，在时间域上不具备局部性。而事 实上，有用的信息常常是同时被发射的频率与信号的短暂结构所传递，在应 用的时间局部性是对信号进行分析的关键。因此人们开始对f o u r i e r 变换进 行改进，得到了加窗的f o u r i e r 变换( s t f t ) 。 信号的窗口f o u r i e r 变换定义为 1 一 厶( ) = 寿j f ( x ) g ( x 一弦1 纵d x n 二r 此时，有如下重构公式 1 f ( x 卜宏到厶垮 1 ) e 拟d p d q 值得注意的是，窗口f o u r i e r 变换是一种窗口大小及形状均固定的时频 哈尔滨理工大学理学硕：t 学位论文 局部化分析方法，但因为频率与周期成反比，因此反映信号低频成分需要宽 的时间窗，反映信号高频成分需要窗口越窄越好，这样，窗口f o u r i e r 变换 不能满足这一要求，从而不能敏感地反映信号的突变。于是，人们需要找到 一种分析工具，不但具有良好的时频局部性，而且在信号突变处有较高的分 辨率，小波分析应运而生。 小波分析的思想来源于伸缩与平移方法，其方法的提出，可以追溯到 1 9 1 0 年h a a r 提出的小“波 规范正交基及1 9 3 8 年l i t t l e w o o d p a l e y 对 f o u r i e r 级数建立的l p 理论。小波的迅猛发展始于1 9 8 6 年，m e y e r 创造性 地构造出具有一定衰减性的光滑函数g r ( t ) ，其二进制伸缩与平移 沙，i ( f ) = 2 - j 2 j u ( 2 - j t - k ) ：j ，k z 构成l 2 ( r ) 的规范正交基，从而为小波分析的发展奠定了基础。1 9 8 8 年， d a u b e c h i e s 提出了具有紧支集的光滑正交小波基d a u b e c h i e s 基，为小波的 研究和应用增添了催化剂。与此同时，m a l l a t 将计算机视觉领域的多尺度分 析概念引入小波函数的构造及信号的分解重构，成功地统一了大量的具体小 波函数的构造。m a l l a t 还研究了小波变换的离散化情形，提出了m a l l a t 算 法，从而使小波分析的广泛应用成为可能，并应用于图像分解与重构。1 9 8 9 年，m e y e r 出版的小波算子是小波理论这一新兴学科产生的标志。 2 1 2 单小波的定义与多分辨分析 小波确切定义为：设杪( f ) l 2 ( r ) ，其傅立叶变换为痧( 缈) ，当汐( 国) 满足 条件： q = 工咩揪o o 时，则称y ( f ) 为一个基本小波或者小波母函数，上面条件为小波函数的可 容许条件。作为母小波，( f ) r ( r ) 且i i y ( f ) 阮 0 0 ，即它具有衰减性，是 i 局部非零的紧支函数，在这个意义下被称为“小”；另一方面，由于 痧( o ) = 0 可知i 沙。陟= 0 ，则又具有波动性和带通性，因此称y ( f ) 为小波函 i 数，小波的名称由此而来。小波变换的带通滤波器的带宽与中心频率成正 比。这样就克服了s t f t 中分辨率与信号不匹配的缺陷，让分辨率和带宽在 时频平面上变化。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 将小波母函数经过伸缩和平移后，n - j 以得到一个小波序列： 州2 丽l 沙( 钟a , b e r , 删 其中a 是缩放因子，b 是平移因子。 定义2 1 若缈( 功r ( r ) 且满足p ( x ) 出= o ，则( x ) 为小波函数。 定义2 2 空间r ( r ) 中一列闭子空间 巧 ，e z 称为r ( r ) 的一个多分辨分析 ( m r a ) ，如果该序列满足如下条件： ( 1 ) 一致单调性：( 2 2 巧一2 ( 2 2 巧一lc 巧c ic 巧+ 2 ，w z ； ( 2 ) 渐近完全性：且巧= o ) ，旦巧= r ( r ) ； ( 3 ) 伸缩规则性：厂( ，) 巧营厂( 2 f ) 巧+ i ，夥z ； ( 4 ) 平移不变性：厂( f ) 巧f ( t - k ) 巧，z ； ( 5 ) r i e s z 基存在性：存在，使得 矽( f 一尼) 腻是v o 的r i e s z 基。即 ( f 一七) ) 础是线性无关的，且存在常数a 与b ，满足o a b ，使得对 任意的( f ) ，总存在序列 q ) 础z 2 ，使得 厂( f ) = c “b ( t 一后) 且 a l l l l l ；i c , 1 2 - a l l ：l l ： 则称矽为尺度函数，并称生成亭( r ) 的一个多分辨分析 巧 斌。特别地，若 矽( f 一尼) ) 砸构成u o 的一个标准正交基，则称矽为正交尺度函数。相应地，称 矽生成r ( r ) 的一个正交多分辨分析 巧 斌( 当a = 曰= 1 时，此时r i e s z 基为正 交基1 。 在多分辨率分析空间中 巧 愆在 0 和r ( r ) 之间是相互嵌套的，即 0 ) 卜c 圪ic 圪c 2kc 圪c 专l 2 ( r ) 在多分辨率分析中，巧称为逼近空间。一般地，随着逼近空间巧的不同， 尺度函数也不同，从而对应e ( r ) 的不同的多分辨分析。在实际中，较有用 的一类尺度函数是那些具有紧支撑的函数。 由多分辨率分析概念知，若矽( f ) ，( f ) 分别为尺度空间圪和小波空间 哈尔滨理- t 大学理学硕士学位论文 的一个标准正交基。又由于圪c k ，c k ，必然存在系数序列 惋 。e z ， 础使得以下关系成立 ( f ) = 压魂矽( 2 卜j | ) ( 2 - 1 ) 七 少( f ) = 压& 矽( 2 卜k ) ( 2 2 ) 七 其中 吃= ( ( f ) ，谚，。( f ) ) 反= 缈( f ) ，谚。( f ) ) 称公式( 2 1 ) 和公式( 2 2 ) 为二尺度方程。 推论2 1 彩( 2 7 x - k ) 椒是巧的基。 证明设f ( x ) 哆有f ( 2 - j x ) ，所以f ( 2 7 x ) 可用的基线性表示。即 f ( 2 - j x ) = q 矽( x 一后) 七 令y = 2 - x 可得 厂( y ) = q 0 ( 2 7 y - k ) 由y 的任意性可得，对任意f ( x ) 中的f ( x ) 均可由矽( 2 7 x - k ) 线性得出。 定义2 3 由推论2 1 将0 ( 2 7 x - k ) 进行标准正交化便可得 ) ，z 的标准正 ， r 1 交基够。= 2 2 矽( 2 7 x 一尼) h 。：，此时巧= c l o s ts p a 咒 2 2 # ( u x - 后) ，七z ) 称为 lj 由矽尺度函数生成中l 2 ( r ) 中的一个多分辨分析空间。 定义2 4 由单调性可知：巧是巧+ 。的真子空间，于是存在巧在巧+ 。中的 正交补空间，使得巧+ 。= 巧o 。由此可对巧+ 。的逼近空间巧递归有： 巧+ 。= 巧哌， j 。令，专o o ，一o o 得r ( r ) = 0 哌。由巧+ = 巧。哆可 k = ，k = i 推出缈肌= 2 2 矽( 2 7 x 一尼) ) 似。：构成的标准正交基，从而缈j , k ) 卅。：形成r ( r ) 的标准正交基。这时称形为小波空问，( j ) 为正交小波。由矽( x ) c 巧 得矽( 力k ，此时可解得 q k ( x ) = r 2 _ , h , q k ( 2 x - k ) ( 2 3 ) 令g 。= ( 一1 ) j i l l t 及ck ，得 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 妙( 力= 互( 2 j 一砷( 2 4 ) 七 公式( 2 3 ) 和公式( 2 4 ) 分别称为两尺度方程与小波方程。 2 1 3 单小波的分解与重构 相应的正交单小波的分解算法和重构算法为： 分解算法 f q z c z 巧瓯m + ，= 磺：。 1 - i 二九脚囊吐劓弦盛t 伫与 重构算法 = q 吃嘲+ 彤一1 反嘲 ， ( 2 6 ) 斗 证明因为i f ( r ) = o ，对任意厂( 戈) 叠( r ) 得 厂( x ) = 蚧，。( x ) 对任意形f f ( r ) 有 巧。巧一- o 乃一t = 巧一o 嘭一：o 一= = 0 o + lo o 彬一。( m 触是由正交尺度函数的两尺度方程 对应的滤波器系数序列，可被视为低通滤波器； ) 碰( g k = ( - 1 ) 啊一。) 视为 高通滤波器。 令c 7 = 僻) 触，c 川= 以。1 ) 脏，d 产1 = 以一) 触，则c 产1 和d h 可分别看成 c ，的低频信号和细节信号。对低频信号递归应用小波分解算法，则可得到 的c 7 低频信号及其在不同分辨率下的细节信号d 肘，d 肌1 ，d h ，并 称c 肘，d ，d 肌1 ，d 产1 为一的小波变换。小波分解与小波重构算法合 起来就是一维情况下的著名的离散小波变换的m a l l a t 算法。 2 2 多小波的基本理论 2 2 1 引言 在图像处理的实际应用中，正交性能保持能量，而对称性( 线性相位) 既 适合于人眼的视觉系统，又使信号在边界易于处理。所以，分析工具同时拥 有这两种性质是十分重要的。可是，实数域中，同时具有紧支、对称、正交 的非平凡单小波是不存在的，这使人们不得不在正交性与对称性之间进行折 衷。为了弥补上述不足，1 9 9 4 年，g o o d m a n 等提出多小波的概念，其基本 思想是将单小波中由单个尺度函数生成的多分辨分析空间，扩展为由多个尺 度函数生成，以此来获得更大的自由度。它既保持了单小波所具有的良好的 时域与频域的局部化特性，又克服了单小波的缺陷，将实际应用中十分重要 的光滑性、紧支性、对称性、正交性完美地结合在一起。从而在图像压缩方 面具有比单小波更优良的性能，这决定了多小波在这方面将越来越被广泛的 研究和应用。 著名的g h m ( g e r o n i m oh a r d i nm a s s o p u s t ) 多小波是最早被广泛应用的多 小波函数，由g e r o n i m o 等人采用复杂的分形插值( f r a c t r a li n t e r p o l a t i o n ) 方法 得到。它是正交的、对称的、紧支的，而且具有二阶逼近阶。接着，s t r e l a 等给出用二尺度相似变换法来构造光滑、紧支、正交、对称的尺度函数的具 体步骤。而r i e d e r 则研究了如何把多小波的构造转化为线性方程组的求解 问题。别外，j i a n g 引入了多小波的时频分辨率概念及计算方法，并以尺度 函数与小波函数时频分辨率之和最小为目标，构造了，= 2 ，长度n = 3 ，7 的对称一反对称多小波。这使得多小波的构造有了较好的准则，也为以后的 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 了奠定基础。可是，上述多小波的构造都未能找到多小波构造的简单和易行 的方法。值得一提的是，j i a n g 通过直接分解矢值滤波器组的多相元素矩 阵，对，= 2 的两类特殊的多小波，平衡多小波和对称一反对称多小波给出 完备的参数化设计方法。这一结果对多小波的构造方面的发展起到积极的推 动作用。然而，对于其它类型线性相位正交多小波的设计，有待进一步的探 索与完善。 2 2 2 多小波的多分辨分析 定义2 5 ( r i e s z 基) h i b c r t 空间中的一个元素序列称扣。) 触为日的一 个r i e s z 基，如果它满足以下条件：