（理论物理专业论文）彩虹宇宙中的扰动和大反弹.pdf

摘要 摘要 彩虹引力( r a i n b o wg r a v i t y ) 作为一个半经典的量子引力框架，被认为是 双狭义相对论( d o u b l ys p e c i a lr e l a t i v i t y ，简称d s r ) 在弯曲时空中的推广。此 方案最近主要由m a g u e j i o 和s m o l i n 提出，其主要思想是考虑了运动粒子本身 的量子引力效应可能对背景时空的影响。作者在本论文中主要做了以下两个方 面的研究，一是在彩虹宇宙中，探索宇宙的原初扰动，包括原初扰动的产生和 演化。在此框架下，探测粒子的量子引力效应使得扰动谱依赖于探测粒子的能 量。另一个是在彩虹宇宙中，探索宇宙非奇异的大反弹解，期望能为解决宇宙 标准模型中的大爆炸奇点困难提供思路。 第一章，在综述里我们将对彩虹引力框架做一简单的介绍和总结。首先， 双狭义相对论( d s r ) 是平直时空里一种变形的狭义相对论，力图在考虑了高 能粒子的量子引力效应之后，依然能够保持相对性原理，同时使得时空具有一 个对于所有观测者都适用的最小普朗克长度。此种理论主要通过动量空间中非 线性洛伦兹变换而得以实现。但双狭义相对论具有一个主要困难，就是与此动 量空间相对偶的位置空间很难以被定义。为此，人们提出一个设想，那就是在 考虑了粒子的量子引力效应之后，就不会存在着一个单一的、固定的时空背景， 而是相对于不同能量的探测粒子将得到不同的时空背景，也就是说，时空度规 依赖于探测粒子的能量，这正是彩虹引力的由来。相应的再由彩虹度规，人们 可以得到依赖于能量的联络、曲率和修正的爱因斯坦方程组，并且得到依赖于 能量的宇宙学方程( f r w ) 。 第二章，我们研究彩虹宇宙中的暴胀模型。宇宙的极早期会有一个暴胀时 期，在这个时期内会产生影响宇宙大尺度结构的密度扰动。本章讨论彩虹引力 下的暴胀模型，并且推导出了度规场和标量场的扰动方程，分析密度扰动随时 间变化的性质。通过求解功率谱，发现彩虹宇宙里功率谱的标度不变性仍然保 持，谱指数和标准暴胀模型中一致，但是功率谱的幅度值却与探测粒子的能量 有关。 第三章，我们讨论彩虹宇宙学中的反弹解。如果把随宇宙时间演化的辐射 粒子作为探测粒子，就可以推导出修正了的f r i e d m a n n r o r b e r t s o n w a l k e r ( f r w ) i i 摘要 方程。给定不同的彩虹函数后，则可以继续推导出修正f r w 方程的大反弹解。 在大反弹处，为了能够得到一个合理的彩虹度规，需要考虑宇宙常数的存在， 此时宇宙常数也依赖于能量。结果，我们发现当存在正宇宙常数的时候，会得 到一个很好的大反弹解。 第四章，结束语。 关键词：彩虹宇宙，彩虹度规，彩虹函数，标量场扰动，功率谱，标度不变性， 大反弹，宇宙常数。 i i i a b s t r a c t a b s t r a c t r a i n b o wg r a v i t ya saf o r m a l i s mo fs e m i c l a s s i c a lq u a n t u mg r a v i t yh a sb e e n v i e w e da sag e n e r a l i z a t i o no fd o u b l ys p e c i a lr e l a t i v i t yi nc u r v e ds p a c e t i m e i ti s o r i g i n a l l yp r o p o s e db ym a g u e j i oa n ds m o l i n t h ek e yi d e ai n t h i sf r a m e w o r ki st o c o n s i d e rt h ei m p a c t sd u et ot h eq u a n t u mg r a v i t ye f f e c t so fp a r t i c l e so nt h e b a c k g r o u n ds p a c e t i m e i nt h i st h e s i sw em a i n l ys t u d yt h i sf o r m a l i s mi nf o l l o w i n g t w oa s p e c t s f i r s t ，w ew i l li n v e s t i g a t et h ep e r t u r b a t i o nt h e o r yo fi n f l a t i o n a r ys c e n a r i o i nr a i n b o wg r a v i t yf o r m a l i s ma n dd e r i v et h ep r i m o r d i a lp e r t u r b a t i o ns p e c t r u mo ft h e s c a l a rf i e l d s e c o n d ，w ew i l lo b t a i nt h en o n s i n g u l a rb i gb o u n c es o l u t i o n si nt h e r a i n b o wu n i v e r s e ，a n dh o p e f u l l yp r o v i d i n gam e c h a n i s mt os o l v et h ep r o b l e mo ft h e b i g - b a n gs i n g u l a r i t yi ns t a n d a r dc o s m o l o g y i nc h a p t e r1 ，w ew i l lb r i e f l yr e v i e wa n ds u m m a r i z et h em a i ni d e a si nr a i n b o w g r a v i t y f i r s to fa l l ，d o u b l ys p e c i a lr e l a t i v i t yi sak i n do fd e f o r m e ds p e c i a lr e l a t i v i t y i nf l a ts p a c e t i m e ，w h i c hi n t e n d st op r e s e r v et h er e l a t i v ep r i n c i p l e ，a tt h es a m et i m e ， c o n t a i n sa ni n v a r i a n tp l a n c kl e n g t ha p p l i c a b l ef o ra l li n e r t i a lo b s e r v e r sw h e nt h e q u a n t u mg r a v i t ye f f e c t so fh i g h e n e r g yp a r t i c l e sa r et a k e ni n t oa c c o u n t t h i s f o r m a l i s mi s a c c o m p l i s h e db yn o n l i n e a r l o r e n t zt r a n s f o r m a t i o n si nm o m e n t u m s p a c e h o w e v e r , t h e r ei sac r u c i a lo p e ni s s u ei nd s 氏t h a ti s ，t h ed i f f i c u l t yo fd e f i n i n g t h ep o s i t i o ns p a c ed u a lt ot h em o m e n t u ms p a c e a sar e s u l t ，p e o p l ep r o p o s et h a t m a y b et h e r ed o e sn o te x i s tas i n g l e ，f i x e ds p a c e t i m ew h e n t h ei m p a c to fp a r t i c l e so n t h es p a c e t i m ei st a k e ni n t oa c c o u n t o nt h ec o n t r a r y , p r o b e sw i t l ld i f f e r e n te n e r g i e s w i l ld e t e c td i f f e r e n ts p a c e - t i m e s t h a ti st os a y , t h em e t r i cd e p e n d so nt h ee n e r g yo f p r o b e s ，l e a d i n gt oaf o r m a l i s mo fr a i n b o wg r a v i t y f u r t h e r m o r e ，f r o mr a i n b o wm e t r i c ， o n em a yo b t a i na ne n e r g y d e p e n d e n tc o n n e c t i o na n dc u r v a t u r e ，am o d i f i e de i n s t e i n s e q u a t i o n s i nt h ec o s m o l o g i c a ls e t t i n g ，i t w i l lg i v er i s et ot h em o d i f i e df r w e q u a t i o n s i nc h a p t e r2w es t u d yt h ei n f l a t i o n a r ys c e n a r i oi nr a i n b o wg r a v i t yf o r m a l i s m i t i sb e l i e v e dt h a tt h e r ei sas t a g eo fi n f l a t i o ni nt h ev e r ye a r l ye p o c ho ft h eu n i v e r s e i v 一 垒堕! 型 一 - - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ - _ - - _ - - _ _ _ _ - _ _ - _ _ _ - _ _ - _ _ _ - _ - _ i _ _ 一 一 t h ei n f l a t i o n a r yp a r a d i g mg e n e r a t e sd e n s i t yp e r t u r b a t i o n sa ss e e d sf o rl a r g es c a l e s t r u c t u r ei nt h eu n i v e r s e i nt h i sc h a p t e r , w ed i s c u s st h ep e r t u r b a t i o n so fi n f l a t i o ni n t h er a i n b o wu n i v e r s ea n dd e r i v et h ep o w e rs p e c t r u m i tt u r n so u tt h a tt h es c a l e i n v a r i a n c eo ft h ep o w e rs p e c t r u mi sp r e s e r v e da n dt h ep o w e rs p e c t r u mi n d e xi s u n c h a n g e d h o w e v e r ，t h em a g n i t u d eo ft h es p e c t r u md e p e n d so nt h ee n e r g y o f p r o b e s i nc h a p t e r3w eo b t a i nt h eb i gb o u n c es o l u t i o n si nr a i n b o wc o s m o l o g y t h eu s u a l e i n s t e i n se q u a t i o n sa r em o d i f i e da sao n ep a r a m e t e rf a m i l yo fe q u a t i o n si n t h e f r a m e w o r ko fr a i n b o wg r a v i t y i nt h i sc h a p t e g w ed e r i v et h em o d i f i e d f r i e d m a n n r o b e r t s o n w a l k e r ( f r w ) e q u a t i o n sw h e nt h ec o s m o l o g i c a le v o l u t i o no f r a d i a t i o np a r t i c l e si st a k e ni n t oa c c o u n t i np a r t i c u l a r , g i v e ns o m es p e c i f i cr a i n b o w f u n c t i o n s ，t h eb i gb o u n c es o l u t i o n st ot h em o d i f i e df r we q u a t i o n sc a nb ed e r i v e d n o t a b l v t oo b t a i naw e l ld e f i n e dr a i n b o wm e t r i ca tt h em o m e n to f t h eb i gb o u n c e ，w e f i n di ts e e m sn e c e s s a r yt oi n t r o d u c eac o s m o l o g i c a lc o n s t a n tw h i c hd e p e n do nt h e e n e r g yo fp r o b e sa sw e l l ，i m p l y i n gt h a tau n i v e r s ew i t hap o s i t i v ec o s m o l o g i c a l c o n s t a n tm o r el i k e l yu n d e r g o e sab i gb o u n c ea tt h i sp h e n o m e n o l o g i c a ll e v e l c h a p t e r4i st h ec o n c l u s i o n o ft h et h e s i s k e yw o r d s ：r a i n b o wu n i v e r s e ，r a i n b o wm e t r i c ，r a i n b o w f u n c t i o n ，s c a l a rp e r t u r b a t i o n ， p o w e rs p e c t r u m ，s c a l e i n v a r i a n t ，ab i gb o u n c e ，c o s m o l o g i c a lc o n s t a n t v 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得南昌太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：吴庆辛 签字日期：2 挥7 湖矿日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌太堂有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权直昌太堂可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究 所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：吴厌罕 导师签名： 签- 7 - - e t 期：砌8 年f 硐，钼，签字日期：2 刃缉1 月陪日 第1 章综述 1 1 引言 第1 章综述 人们普遍认为时空背景几何应该最终由量子化理论所描述，例如广义相对 论也应该被量子化。不管结果怎么样，我们相信普朗克能量占。可以作为经典理 论和量子理论的分界标志。所以当能量接近普朗克能标占的时候，引力的量子 效应就会显现出，于是我们期望着新物理图像的产生。 另一方面，广义相对论有一个明显的不足，就是引力场是非量子化的。目 前，将广义相对论与量子理论相结合的量子引力正在发展中，并且已经有了多 种观点和理论，例如正在被广泛研究的圈量子理论【1 , 2 1 ，弦理论【3 4 】以及非对异几 何【5 】等都有可能成为这个候选的量子引力理论。在这些理论研究中，有一个重要 的问题会出现，就是当从经典的广义相对论向量子理论过渡的时候，所产生的 物理变化是怎么样的呢? 不妨把这个过渡理论称为半经典的量子理论。在宇宙 演化的极早期，宇宙处于一个高温高压的状态，能量有可能接近普朗克尺度， 从而需要一种量子化理论来描述。在还没有一个完备的量子理论建立之前，我 们可以利用半经典的量子理论来研究这个过渡时期的物理图像，其中就有可能 得到在普朗克尺度下对色散关系( 1 1 1 ) 的修正 例如可能采取如下的修正： e 2 一p 2 = m 2 ， e 2 - p 2 + 聊2 + a l p 8 3 + ， ( 1 1 2 ) 上式中口是一个无量纲的常数，是普朗克尺度。( 1 1 2 ) 式中的色散关系多出 了一个有效项，要想很好地理解这个有效项，就要分析量子引力中的洛仑兹对 称性在经典极限下的变化情况。许多物理学家希望过渡前后的洛仑兹对称性仍 然保持不变，但事实也许并不这样。因为洛仑兹对称性只是量子引力理论在低 第1 章综述 能描述下的近似对称，所以有可能被破坏或被修改。 在普朗克尺度下，色散关系多出了1 四种可能的变化，其中占是惯性观者观测到的量子化能量： ( 1 ) 洛仑兹对称性和惯性系之间的相对论性仍然正确，保持不变。但是基 本物质已经没有了粒子性，也许更像一根弦。就像在扰动弦理论中的结构或者 在其他量子引力中的扰动形式【6 j 。弦理论是一个大统一理论，其中微扰的量子引 力理论是其重要组成部分，类似于圈量子引力。 ( 2 ) 可能会出现一个优越参考系，在这个参考系中，观测可以精确到普朗 克数量级【6 蛐5 1 ，并且洛仑兹对称性被破坏掉。在这个参考系下，色散关系需要 引入新的修正项，而其他的物理关系，例如能量守恒定律在这个优越参考系中 仍然保持不变。不过这种情况已经被当前的观测所排除掉了【7 ，8 】。 ( 3 ) 洛仑兹对称性自然破缺为矢量场的真空期望值，从而产生了一个优越 参考系。这种情况正在被探索中【9 ，l o 】。 ( 4 ) 惯性系之间的相对论性仍然保持不变，只是作用在动量空间中的变换 关系为非线性的，所以需要引入一个修正项 1 1 , 1 2 1 ，从而改变了通常的色散关系。 但是惯性系中其他的物理规律，例如能量守恒定律仍然成立，只不过是非线性 的而已 1 3 , 1 4 。在狭义相对论中，所有惯性系中的光速是保持不变的，那么可以考 虑到，普朗克能量氐作为经典理论和量子理论的分界标志也可能保持不变，从 而构造出了一个新的物理模型d o u b l ys p e c i a lr e l a t i v i t y ( d s r ) ，或者称为修 正狭义相对论。我们可以把双狭义相对论( d s r ) 看为一种半经典的量子理论， 而其中的转换关系是非线性的。 由于量子引力的基本因素对相对论的修正，产生了时空量子效应。考虑到 这个时空量子效应对经典几何的修正，人们提出了被称为彩虹引力的量子修正 时型”】。本论文主要是利用了上述的第四种情况，即在d s r 这种半经典的量子 理论下所产生的量子修正时空中探讨宇宙演化问题，并且得到了一些有趣的结 果。 1 2 修正狭义相对论( d s r ) 人们相信，存在一个具有p l a n c k 长度量级的最小长度单元是量子引力一个 基本特础16 1 。这可以从几个候选量子引力理论中得到体现。 2 第1 章综述 圈量子引力作为量子引力的重要理论之一，是一种背景独立的非微扰量子 理论【1 7 1 。在圈量子理论中，空间是一种自旋网络系统【1 8 】，而该自旋网络是由具 有一定自旋量子数的边“编织 而成。计算表明，该自旋系统的面积和体积算 符具有最小本征值，其数量级分别为，：和，：，其中，。= 8 。= 7 l g c 3 = 4 - 6 为 p l a n c k 长度，s 。为p l a n c k 能量。另外弦理论也认为不能探测到比弦尺度，。更小 的空间距离【1 9 】，而且，。具有，。的量级。 另一方面，p l a n c k 标度7 。和s 。也被看作量子引力理论与非量子引力理论的 分界标志。所以，当接近p l a n c k 尺度时，引力的量子效应就会显现出，这时的 物理描述就要借助于量子引力理论了。 根据弦理论，在p l a n c k 长度附近，时空会出现非对易性1 20 ，例如 - x l , x 1 = i a i 。， lj ( 1 2 1 ) 其中，口p o 是一个表示时空离散化结构的反对称矩阵。这时空间坐标将不再是对 易的，从而导致了非对易几何的出现【2 1 1 。与此相应，通常的量子场论就被修正 为非对易量子场论【2 2 】，h e i s e n b e r g 不确定原理也被修正为广义不确定原理【2 3 】 缸三2 睁脚) ，l 卸 1 j ( 1 2 2 ) 其中，兄为具有p l a n k 面积量级的常量，表征引力对不确定性的贡献。通过广义 不确定性也可以得到一个最小长度单元。另一方面，在动量为主的情况下，相 空间d 2 谢2 p 内的量子态密度为 d n = d 2 x d 2 p 两丽 ( 1 2 3 ) 显然，与普通量子场论里由h e i s e n b e r g 不确定原理给出的量子态密度不同 如：d 2 x d _ 2 p ， ( 2 万) 2 ( 1 2 4 ) 第1 章综述 从( 1 2 3 ) 式中看到，非对易量子场论中的量子态密度和能量有关，就是说， 不同的能量对应着不同的量子态密度。在高能情况下( 1 2 3 ) 式和( 1 2 4 ) 式 有着显著的差别，但在低能情况下，( 1 2 3 ) 式可以回到( 1 2 4 ) 式。 根据圈量子引力，在p l a n c k 长度附近，自旋网络描述的离散时空图像就会 出现【1 7 】，从而广义相对论对时空的描述将不再适用。就是说在p l a n k 尺度就需要 不同的物理描述。另外，最小可观测长度的存在也引发了对狭义相对论的修正， 从而出现了修正狭义相对论【2 4 , 2 5 1 。那么进一步深入考虑修正狭义相对论的起因： p l a n c k 长度取决于基本的物理常量，但根据狭义相对论，该尺度的空间距离在不 同的惯性系中会发生变化。这样，在一个惯性坐标系中，衡量时空量子效应出 现的p l a n c k 长度在其他惯性系中就会发生改变，意味着优越参考系的出现，这 与“物理定律在所有的惯性系中都是等同的”相矛盾。另外，根据洛仑兹变换， 任何物质的尺度都可以在理论上变化到无限小，这又与最小长度单元的存在这 一量子引力的基本观念相矛盾。为了解决这些问题，人们提出了对洛仑兹变换 为非线性的修正，相应的修正狭义相对论也被提出。修正狭义相对论的基本原 理为： ( 1 ) 物理定律在所有的惯性坐标系中是相同的。 ( 2 ) 在低能极限下( s 忙。专0 ，占表示探测粒子的能量) ，光速对所有的 惯性观者都是相同的，而且为常数c 。 ( 3 ) 在低能极限下( s 唐。专0 ，s 表示探测粒子的能量) ，占。对所有的惯 性观者都是相同的，而且为常数。 不仅要求低能极限下光速是常数，同时还要求低能极限下p l a n c k 能量也为 常数，所以修正狭义相对论又被称为双狭义相对论。另外，目前为止色散关系 还没有被完全确定，考虑到量子引力效应时，通常的色散关系( 1 1 1 ) 式更需 要被修正。修正狭义相对论作为一种半经典的量子理论，给出了一个对通常色 散关系( 1 1 1 ) 式的修正式 e 2 f 2 ( o ) 一p 2 9 2 ( 勺) = 碥， ( 1 2 5 ) 其中，厂2 和9 2 是依赖于探测粒子能量的函数，以保持上式对应的色散关系张量 式在坐标变化下保持不变。通过( 1 2 5 ) 式可以看出，在修正狭义相对论中带 有不同能量的粒子对应着不同的色散关系，就是说在量子效应下，通常的色散 4 第1 章综述 关系修正为与能量有关的色散关系。关于厂2 和9 2 的函数形式还没有完全被确 定，但是已经有多种方案被提出【2 6 1 。但是，在低能极限下，这里的厂2 和9 2 的函 数必须趋于1 ，使得修正色散关系回到通常的色散关系。 修正色散关系( 1 2 5 ) 式也可以由其他的量子引力理论得到，例如圈量子 引力的半经典分析、时空泡沫模型、非对易几何等。但是我们所关心的是将修 正色散关系运用到不同的实验和理论中，并且可以很好的解释它们，比如伽马 爆中观测到光速的能量依赖可能性、紫外高能宇宙射线阈值、t e v 光子阈值、同 步加速器辐射、核物理实验现象等。修正色散关系对这些实验和现象的合理解 释，是对修正狭义相对论的最好支持。 1 3 彩虹引力 修正狭义相对论是在动量空间中定义完成的，为了讨论如何建立相应的广 义相对论，必须给出与该非线性动量变换定理所在的动量空间对偶的坐标空间。 目前，已经提出了多种方法，用于解决如何构造一个与修正狭义相对论相对应 的修正时空几何。比如，非对易几何中的修正闵可夫斯基时空方法【2 7 1 。 然而我们关心的是另外一种方法彩虹度规法【”2 8 1 。彩虹度规法认为，由 于时空量子效应，经典的时空背景几何被由占占。作为参数的一个单参度规族所 代替，就像材料性质可以依赖于其中的声子能量那样，时空背景几何也可以依 赖于其中的探测粒子能量。所以在修正狭义相对论中，与动量空间对偶的坐标 时空并不是唯一的，而是一个与探测粒子能量有关的坐标时空族，是一簇时空， 这也是彩虹度规名字的由来。 需要强调的是，e e 。中的s 并不是时空中的能量，而是一个用于探测时空 背景几何的尺度。也就是说，当一个做自由落体运动的惯性观者用一个粒子或 者一个多粒子的系统去探测时空背景几何时，占是这个惯性观者测到的并且应用 于探测的那个粒子或者多粒子系能量。 换句话说，不考虑引力的存在时，一个带有能量s 的运动粒子探测到的时空 几何是一个与能量有关的正交规范场 = 厂。1 ( 占) 毛，q = g 卅( s ) 互 ( 1 3 1 ) 第1 章综述 上式中，毛和巨可以构成一个在低能粒子探测下，与能量无关的正交规范场。这 样，与能量有关的基矢p o 和e i 就可以构成一个与能量有关的正交规范场，可以表 示为 g ( s ) = t l 动e a ( s ) o e h ( s ) ， ( 1 3 2 ) 实际上，上式是一个以能量g 为参数的单参平直度规族，是一簇度规群。这个度 规群可以共有相同的惯性系，但是由于能量尺度的不同，却不能共享所有相同 的测地线。事实上，这时候的测地线也是能量依赖的，因此对应的色散关系就 会被修正。我们就把这个与能量有关的单参度规族称为彩虹度规( r a i n b o w m e t r i c ) 。 关于修f 狭义相对论，人们已经提出了如何构造位置空间的方法【2 引，其中 要求平直时空中的自由场必须是平面波解。那么相应的，必须要求彩虹度规中 动量与无限小位移的缩并满足线性关系，以保证平面波解的存在 戤p o = d x p o + d x tp t ， ( 1 3 3 ) 因为动量转换是非线性的，那么出4 的转换就是能量依赖的【2 8 1 。相应对偶空间的 度规可以表示为能量依赖的，也可以从公式( 1 3 2 ) 中看出能量的依赖性 如一掣+ 譬， ( 1 3 4 ) 从( 1 3 4 ) 中可以看到，度规是依赖于探测粒子能量的，具体表现在厂2 和9 2 两 个与探测粒子能量有关的函数上。厂2 和9 2 的具体函数形式还有被确定，不过已 经有多种函数形式被提出【i5 1 。不管它们的函数形式怎么样，在低能极限下，厂2 和 譬2 必须趋于1 ，使( 1 3 4 ) 能够回到通常情况。 既然度规有了能量依赖性，那么在修正狭义相对论这个半经典的量子理论 下，许多物理实验和现象就需要考虑到能量尺度，预示着将有丰富的物理意义 需要去挖掘。例如，把彩虹度规应用在极早期宇宙，这时候处于高温高压的宇 宙会受到量子效应的影响，使的极早期宇宙的演化和扰动都有了能量尺度，因 6 第1 章综述 此需要重新考虑宇宙的极早期演化和结构形成，这就是本论文将要探讨的内容。 彩虹引力就是将彩虹度规推广到包含引力的情况，为了得到与修正狭义相 对论相对应的彩虹引力，需要给出修正的等效原理和对应原理【l5 j ： ( 1 ) ，修正的等效原理：设一时空区域的曲率半径r 远远大于z 。，而且一个 自由下落的观者所用的探测粒子的能量满足l i e 占s 。，则该观者看到的基本 物理规律与修正狭义相对论相同。 ( 2 ) ，对应原理：在s 占。专0 的极限下，可以得到通常的经典广义相对论。 其中，修正的等效原理说明，在具有曲率的时空中做自由落体运动的观者对时 空的描述和平直彩虹时空中的惯性观者对时空的描述是等价的。换句话说，弯 曲时空也可以用一个以s 为参数的单参度规族来描述，这就把彩虹度规和弯曲时 空联系起来，赋予了弯曲时空的能量依赖性，构成了彩虹引力。对应原理实际 上是要求在低能极限下能够回到通常的结果，即要求： 瞩l i m 。厂( 。) j l ，叫l i m 。g ( 衫) 专1 ( 1 3 5 ) 在彩虹引力中，彩虹度规是依赖于探测粒子能量的，那么与度规相对应的 联络和曲率也应该具有能量依赖性。同时，由前所述，修正的色散关系也依赖 于探测粒子能量，因此在广义相对论中，爱因斯坦场方程也相应的修正为一个 单参方程族，即 瓯。( s ) = 8 万g ( s ) 乙。( s ) + 邬。( t r ) a ( e ) ， ( 1 3 6 ) 其中g ( s 1 是满足g ( 0 1 为通常牛顿常数的具有能量依赖性的牛顿常数，其能量依 赖性反映了有效的引力耦合将依赖于能量尺度，同时还要满足相应的重整化要 求【1 5 】。 小结，当能量极高时，例如极早期宇宙的能量可能接近于p l a n c k 能标，量 子效应就会显现，经典广义相对论就要过渡到量子引力的范围。在还没有建立 一个完备的量子引力之前，人们利用量子理论的基本因素和要求，对狭义相对 论进行相应的修改从而建立了双狭义相对论( d s r ) ，将其作为一种半经典的量 子理论应用于研究极高能情况。进一步推广到广义相对论，考虑到引力的情况， 人们构造出彩虹引力模型。彩虹引力考虑了探测粒子能量的影响，使得度规， 第1 章综述 联络，曲率和爱因斯坦场方程都依赖于这个探测能量，即产生了能量尺度。下 面我们将在彩虹引力下，研究宇宙早期的演化。 8 第2 章彩虹宇宙中的扰动问题 2 1 引言 第2 章彩虹宇宙中的扰动问题 1 9 1 5 年，爱因斯坦提出了广义相对论，使得研究宇宙空间的形成和物质演 化有了理论依据。1 9 2 2 年，f r i e d m a n n 通过求解爱因斯坦方程得到了一个膨胀 或者塌缩的宇宙学解，几年后，h u b b l e 又通过对宇宙星系红移的观测发现了当 今的宇宙正处于膨胀阶段。1 9 4 6 年，g a m o v 和他的同事根据原孑核形成理论得 到：我们的宇宙开始于一个高温高压态，并且预言了现在宇宙中应当存在着一 个处于微波段的黑体辐射，被称为宇宙的微波背景辐射。1 9 6 5 年，p e n z i a s 和 w i l s o n 用仪器观测到了微波背景辐射，这和g a m o v 的预言很好的相吻合，从而 极大的支持了人们对宇宙起源理论的预测，并逐渐形成了现在的宇宙标准大爆 炸模型。 在宇宙标准大爆炸模型中，宇宙经历了一个早期以辐射为主和后期以物质 为主的过程，在这一过程中宇宙的演化是一个减速膨胀过程。然而在这个减速 过程中，会存在着许多难以理解的实际问题，例如宇宙的平直性问题和视界问 题【2 9 1 。为了克服这些困难，需要在宇宙演化的极早期插入一个加速膨胀的过程， 我们称之为暴胀( i n f l a t i o n ) 。g u t h 和s a t o 首先提出了暴胀的理论思想，被 称为老暴胀，然而它却存在着一个很大的缺陷，就是当宇宙暴胀结束后，宇宙 将变得极不均匀，而这与实际所观测到的情况相矛盾。于是l i n d e ，a l b e r c h t ， s t e i n h a r d t 等人又提出了新暴胀模型，用它来解决不均匀性问题，但是这个新 暴胀模型仍然存在着一些问题。1 9 8 3 年，l i n d e 提出了混沌暴胀模型，可以很 好的解决许多问题。标量场是粒子物理中重要的组成部分，它的势能项y ( 缈) 可 能会引起宇宙的指数暴胀，但是目前为止，并没有一个确定的势能项矿f 妒) ，所 以不断地有新暴胀模型被提出。这些暴胀模型一般可以被分为三大类：第一类 是大场模型，暴胀场的初始值很大，然后运动到位于较小标量场矽的势能最低 值处，例如c h a o t i c 暴胀模型，图2 1 。第二类是小场模型，暴胀场的初始值 很小，然后运动到位于较大标量场缈的势能最低值处，例如n a t u r a l 暴胀模型， 图2 2 。第三类是h y b r i d 暴胀模型，暴胀结束于相变处，图2 3 。当然还有许多 9 第2 章彩虹宇宙中的扰动问题 根据不同理论而构造的一些其他物理模型，用来解决宇宙的演化问题【3 0 】。 v ( 中) i l - r 0 4 图2 1 大场暴胀模型，注意图中的标量场是用矽表示的，( 图来自 3 5 ) 。 ) k 0兀f气 图2 2 小场暴胀模型，注意图中的标量场是用西表示的，( 图来自 3 5 ) 。 1 0 第2 章彩虫t 宇宙中的扰动问题 矿 k 矿 一 | 0 ， 图2 3h y b r i d 暴胀模型，注意图中的标量场是用矽表示的，( 图来自 3 5 ) 。 虽然暴胀模型并不是唯一研究宇宙演化的途径，但它却是当前比较流行的 一种方法。在暴胀模型中可以产生密度扰动，这个扰动被认为是宇宙大尺度结 构形成的一个种子，实际上，暴胀模型也对研究宇宙扰动谱的产生提供了一种 机制，后面我们将详细说明。 为了能够更清楚的了解宇宙扰动理论的机制，我们必须回顾一下在插入了 暴胀模型后的标准大暴炸理论中，各种物理尺度是如何演化的，参看下图2 4 。 图中，在，f 。时期，宇宙是一个指数暴胀时期，在如一时期，宇宙经历了一 个标准大爆炸过程。如果暴胀是由标量场产生，那么在宇宙的初始时期，视界 内会存在着量子扰动。在暴胀过程中，量子扰动被冻结在视界外，结果被保留 了下来。暴胀结束后，被推到视界外的量子扰动重新进入到视界内，并且相互 作用，被看作是现在宇宙大尺度结构形成的一个源头【3 。在暴胀模型中，通过 慢滚近似得到的理论结果已经很好的与c o b e 卫星所观测到的数据相吻合。 第2 章彩虹宇宙中的扰动问题 、 l 图2 4 暴胀宁宙模型中的时空演化图，纵轴是时间，暴胀持续了，r 。时间。在暴胀时期， 与视界有关的h u b b l e 半径日- 1 是一个常数，但在暴胀结束后，它又随着时间的演化而线 性增加。在共形坐标里，用波数k 来标示的物理尺度在暴胀时期以指数形式迅速增大，超 出视界，暴胀结束后，它又回到了视界内，( 图来自 3 1 ) 。 实际上，在p r e g i g b a n g 模型和e k p y r o t i c t y p e 模型中也可以到相同的 结果。如图2 5 所示，在这两种模型中，宇宙首先经历一个收缩时期，并且结 束于一个大反弹处，然后才进入到标准大爆炸模型中。在宇宙收缩的过程中， h u b b l e 半径日。1 收缩的速度要比物理尺度收缩的速度快，使得在共形坐标下用 波数k 来标示的物理尺度被留在了与视界相关的h u b b l e 半径h 1 外，而在随后 的宇宙标准演化过程中，波数k 又重新回到了h u b b l e 半径h 1 内。所以，相应 的量子扰动尺度也两次通过视界，最终成为了后期宇宙大尺度结构形成的一个 种子3 。 无论是在暴胀模型还是在p r e - g i g - b a n g 模型或者e k p y r o t i c - t y p e 模型，要想 能够充分的理解宇宙原初扰动的产生和演化，必须同时用到量子理论和广义相 对论，这就为我们运用彩虹引力提供了一个很好的机会。 1 2 第2 章彩虹宁宙中的扰动问题 、 图2 5p r e g i g b a n g 模型和e k p y r o t i c t y p e 模型中的时空演化图。纵轴表示时间，t b 处是 一个反弹。在收缩过程中，h u b b l e 半径日- 1 收缩的快，使得波数k 留在视界外。在标准大 爆炸演化过程中，h u b b l e 半径日_ 1 增加的快，使得波数k 回到视界内，( 图来自 3 1 ) 。 在现代宇宙学中，宇宙的扰动理论是其重要的组成部分，因为通过宇宙的 扰动理论，我们可以把现在所观测到大尺度结构中的实际数据运用到宇宙极早 期演化。所以宇宙扰动理论起到一个重要的桥梁作用，使得极早期宇宙理论能 够得到实际的检验，从而能够被不断的完善。 2 2 彩虹引力下的爱因斯坦方程 2 2 1 修正的爱因斯坦张量 下面将从彩虹度规开始计算爱因斯坦方程，大家知道这是一个很繁琐的过 第2 章彩虹宇宙中的扰动问题 程，但是作为工作的一部分，我们还是较详细的叙述一下。为了简化情况，只 考虑单场暴胀模型，取度规为( + ，一，一，一) 的形式，并且把彩虹度规( 1 3 4 ) 写 为共形坐标的形式 2 一出0 隰2 ， 其中，口是尺度因子，f 是共形时间。厂2 ( 占) 和9 2 ( 占) 是彩虹函数，并且依赖于 探测粒子的能量。可以选择任意粒子来进行探测，使得粒子的能量可以是一个 常数【l5 。但是作为更一般的情况，我们并不取某一些特殊的粒子，而是选取随 着宇宙一起演化的物质，例如光子，引力子等。这时候的彩虹函数f 2 ( 占1 和9 2 ( s ) 就是与时间有关的函数了。为了简化情况，可以选取9 2 = 1 ，并且厂2 只是时间 的函刻3 2 , 3 3 】。利用简化后的( 2 2 1 ) 式可以求得非零克氏量为 ， 1 1 = 日一每，r ：= 厂2 日岛，1 1 ：，= h 或 ( 2 2 2 ) 其中，h = a a 是在共形坐标下的h u b b l e 参量，a 7 中的一撇表示对共形时间f 求导。将这些非零克氏量带到黎曼曲率公式中，然后缩并为里奇张量和标量曲 率： 爱因斯坦张量表示为 = - 3 n 3 h 号， ( 2 2 3 ) r e = 庐+ 厂2 h 7 + 可2 h 2 嗡， ( 2 2 4 ) r = 一导 厂2 h + 汀+ f 2 日2 ， ( 2 2 5 ) 口l o 睇= r z “一圭啄尺， 1 4 ( 2 2 6 ) 第2 章彩虹宁宙中的扰动问题 如果将( 2 2 3 ) 、( 2 2 4 ) 、( 2 2 5 ) 三式代入到爱因斯坦张量( 2 2 6 ) 式中， 就会得到爱因斯坦张量的各个分量 ( 。) g 0 ：3 h 2 了2 ， 口。 ( 2 2 7 ) q = 等 2 等一日2 。 陇2 上面只是计算了在非扰动情况下爱因斯坦张量的各个分量【0 鳏和1 0 j g ：，但 是考虑到有标量场扰动存在的时候，背景度规场也可能存在着扰动，所以相应 的就把彩虹度规( 2 2 1 ) 修正为扰动的彩虹度规【3 4 】。 在广义相对论中，所有惯性系都是等价的，因此在描述扰动的时候，人们 可以任意选择坐标系。对于时空是均匀和各向同性的情况，通常可以选取一个 对称的坐标系显得更优越一些，但是对于扰动，却没有类似的“优越参考系 。 由于坐标系的任意选取，就会人为的产生一个与物理扰动无关的坐标假扰动。 这个假扰动并不能描述时空的不均匀